EJERCICIOS PROPUESTOS

Muestreo de Aceptación

1) Un proceso de llenado para recipiente de aceite en condiciones de estado estable, tiene una media de 100 lb y una desviación estándar de 3 libras en dicha etapa, la cual suministra los recipientes llenos a la etapa de despacho.

La situación actual de la etapa de llenado es satisfactoria para las exigencias de despacho (100±5.8799) libras, pero consideraría de pésima calidad si los recipientes llenos viniesen con una variación en la media de ±3.5 libras, conservando su variabilidad. En el despacho aceptan un 5% de rechazar los lotes de buena calidad, caso dado, que reciben de la etapa de llenado y el doble del riego anterior para lotes de mala calidad y por lo tanto van a poner en aplicación un plan de muestreo por atributos con un lector que clasifica los recipientes como conformes o no conformes.

Cada lote que se procesa en serie en la etapa de llenado, consta de 100.000 recipientes.

a) Diseñe el plan de muestreo correspondiente. b) Suponga que el proceso de llenado está generando en total el 15% de

producto no conforme, la cantidad de productos no conformes por uno de los límites de especificación es el doble con relación a la cantidad de no conformes que se generan por el otro limite de especificación. ¿Cuál es la capacidad general del proceso? ¿Cuál es la capacidad real del proceso?

Solución:

a)

Especificaciones (100±5.8799)

LSE=105,8799

LIE=94,1201

x=100

σ=3

α=0,05

β=0,1

*Consideremos el AQL como el nivel actual de PNC en el proceso ya que nos dicen que este es aceptable para las exigencias del despacho.

PNC LIE=P (z≤ 94,1201−1003 )=P ( z≤−1,95 )=0,0249

PNC LSE=1−P (z≤ 105,8799−1003 )=1−P ( z≤1,95 )=0,0249

PNC=2∗0,0249=0,0498

AQL=0,0498

*Consideremos el LTPD como el nivel de PNC cuando la media varia ±3,5lb ya que nos dicen que este nivel de PNC se considera pésimo.

Si se produce una variacion en la media de ±3,5lb, supongamos que se corre la media hacia la derecha.

x=100+3,5=103,5

Recalculamos los PNC

PNC LIE=P (z≤ 94,1201−103,53 )=P ( z≤−3,12 )=0,00088

PNC LSE=1−P (z≤ 105,8799−103,53 )=1−P ( z≤0,7933 )=1−0,7861=0,2139

PNC=0,00088+0,2139=0,21478

LTPD=0,21478

Diseño del plan: usando las formulas

λ1=[|Zα|+Zβ√ p2p1

p2p1

−1 ]2

λ2=λ1∗p2p1

c1=λ1+Zα √λ1c2= λ2+Z β√ λ2 c=c1+c22

n1=λ1p1n2=

λ2p2

n=n1+n22

Se obtiene:

n=2c=0

b) PNC=0,15PNC LIE+PNC LSE=0,15PNC LIE+2 PNCLIE=0,15

PNC LIE=0,153

=0,05

PNC LIE=P (z≤ LIE−xσ )=0,05

z0,05≤LIE− x

σ

−1,65≤ LIE−xσ

Despejando a LIE−1,65σ+x=LIE EC 1

PNC LSE=2 PNCLIE=0,1

PNC LSE=1−P (z≤ LSE−xσ )=0,1

1−P( z≤ LSE−xσ )=0,1

P(z ≤ LSE− xσ )=0,9

z0,9≤LSE−x

σ

1,28≤LSE−x

σ

Despejando a LSE

LSE=1,28σ+x EC 2

Restamos las ecuaciones 1 y 2 para obtener LSE-LIE

LSE−LIE=1,28 σ+x−(−1,65σ+x )=1,28σ+x+1,65σ−x=1,28 σ+1,65σ=2,93σ

Luego, la capacidad potencial del proceso es:

Cp= LSE−LIE6σ

=2,93σ6σ

=0,4883

De la Ec 1 se obtiene

x−LIE=1,65σ

De la EC 2 se obtiene

LSE−x=1,28σ

La capacidad real del proceso es:

cpk=min (cp l ;cpu )

cpk=min( 1,65σ3σ;1,28σ3σ )

cpk=min (0,55 ;0,426 )

cpk=cpu=0,426

2) Un fabricante de productos en serie le despacha a su cliente en lotes de 100.000 unidades cada uno, quien le ha fijado un NAC=4% y un LTPD=6%.

La línea de producción tiene una fracción de no conforme igual al 7%. El cliente utiliza para la recepción Nivel General de Inspección, Normal MIL STD 105 E para su plan de muestreo. El fabricante utiliza un plan de muestreo CSP 1 con f=4% y un valor de i=86 para el despacho de los lotes.

a) Calcular la probabilidad de aceptación de los lotes por parte del cliente.b) Calcular el riego tipo IIc) Calcular la mínima probabilidad de aceptación de los lotes por parte del

cliente.

d) ¿para qué valor del LTPD, el riesgo tipo II del plan del cliente es de 0.1?

3) Su empresa obtiene un contrato para suministrar 10 lotes de 50.000 piezas cada uno.

La fabricación de estas piezas es relativamente sencilla pero representa la dificultad de tener una tolerancia bilateral muy estrecha en una de sus dimensiones. El contrato establece que el cliente realizara una inspección según MIL STD 105 E Nivel General de Inspección, AQL 2.5 simple, nivel II.

a) Para poder cumplir con el pedido, su empresa piensa adquirir una nueva máquina para realizar la operación de fabricación mencionada anteriormente. Si se supone que el proceso se mantiene cerrado. Cuál es el índice de capacidad del proceso Cp que debe tener la maquina a adquirir si se pretende tener una probabilidad conjunta total de 0,85 para la aceptación de los 10 lotes.

b) Cuál es la probabilidad de aceptar al menos el 50% de los lotes.

Solución:a) Se requiere inspección por MIL STD

AQL 2.5Letra código “N”

N=500 c=21

seaY=numero de lotes aceptados

Entonces:La probabilidad de aceptar los 10 lotes es:

P ( y=10 )=(1010) pa10(1−pa)

10−10

Esto es:

P ( y=10 )=pa10

Nos dicen que la probabilidad de aceptar los diez lotes es 0,85

P ( y=10 )=pa10=0,85

De donde

pa=10√0,85=0,983

Por otra parte la probabilidad de aceptación viene dada por:

Pa=∑x=0

21

[(500x ) pdx (1−pd)

500−x ]Iterando en Excel esta ecuación se puede obtener que Pa=0,983 cuando pd=0,0266Como el proceso permanece centrado entonces:

Cp=Cpu=Cpl

Por lo cual solo calcularemos uno de ellos.

PNC LIE=PNC LSE=pd

2=0,0266

2=0,0133

PNC LIE=P (z≤ LIE−xσ )=0,133

z0,0133≤LIE−x

σ

z0,0133σ=LIE−x

−2,21σ=LIE−x

2,21σ=x−LIEPor tanto

Cpl= x−LIE3σ

=2,21σ3σ

=2,213

=0,7366

Cp=Cpu=Cpl=0,7366b) sea

Y=numero de lotes aceptados

Entonces:

La probabilidad de aceptar los al menos el 50% de los lotes es:

P ( y≥5 )=1−P ( y≤4 )=1−∑x=0

4

[(10x ) pax (1−pa)

10−x ]=1−∑x=0

4

[(10x )0,983x (1−0,983)10−x ]=1−0 ,0000000047=0,999999995=1

4) Su empresa obtiene un contrato para suministrar 5 lotes de 1.000 piezas. La fabricación de estas piezas es relativamente sencilla pero presenta la dificultad de tener una tolerancia muy estrecha en una de las dimensiones. El contrato establece que el cliente realizará una inspección según MIL-STD-105E, AQL=0.65, simple, nivel II.Previamente al lanzamiento de la fabricación usted realiza un estudio de capacidad del proceso de fabricación de la cota problemática y obtiene Cp=0.95. Debido a la naturaleza del proceso de fabricación resulta sencillo mantenerlo centrado. Si su empresa sirve ese pedido sin realizar una inspección final:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente acepte los cinco lotes?b) Si el cliente no ha rechazado ningún lote ¿cuál ha sido la fracción

defectuosa de los lotes fabricados?c) Si el cliente ha rechazado algún lote ¿cuál ha sido la fracción defectuosa de

los lotes fabricados?Solución: 5 lotesN=1000AQL=0.65Se obtiene letra código “J”Se obtiene n=80 c=1Cp=0,95

a) La cantidad de artículos no conformes en la muestra se aproxima a una distribución binomial con n=80 y p=pd.Sea x= numero de no conformes hallados en la muestra de tamaño 80

Pa=∑x=0

1

(80x ) pdx (1−pd)

80− x

Pero aun no se conoce pd

Se sabe que el proceso está centradoEntonces:

Cp=Cpu=Cpl=0,95

Y además: PNC LIE=PNC LSE=pd

2

Cpl= x−LIE3σ

=0,95

Entonces:x−LIE=3∗0,95σLIE−x=−3∗0,95σ

PNC LIE=P (z≤ LIE−xσ )

PNC LIE=P (z≤−3∗0,95σσ )

PNC LIE=P ( z ≤−2,85 )=0,0021

pd=2∗0,1710=0,0042

Por tanto

Pa=∑x=0

1

(80x )0 ,0042x (1−0 ,0042)80− x=0,9550

La aceptación de los lotes tiene una distribución binomial con n=5 y p=pa=0,9550

Sea y= numero de lotes aceptados

P( y=5)=(55)0,95505(1−0,9550)5−5

P ( y=5 )=0,95505=0,7943

b) Dado que el plan de muestro es sin rectificación la proporción de no conformes es pd=0,0042

c) Dado que el plan de muestro es sin rectificación la proporción de no conformes es pd=0,0042

5) Su empresa obtiene un contrato para suministrar 5 lotes de 1.000 piezas. La fabricación de estas piezas es relativamente sencilla pero presenta la dificultad de tener una tolerancia bilateral muy estrecha en una de las dimensiones. El contrato establece que el cliente realizará una inspección según MIL-S TD-105E, AQL=0.10, simple, nivel II.

a) Hallar el tamaño de la muestra necesario para cada lote y el criterio de aceptación y rechazo.

b) Dado que su empresa no tiene experiencia en la fabricación de la pieza, su jefe le pide que calcule la probabilidad de que su cliente acepte los 5 lotes en función de la fracción defectuosa de la fabricada, si su empresa sirve ese pedido sin realizar una inspección 100% final.

c) Para poder cumplimentar el pedido, su empresa piensa adquirir una nueva máquina para realizar la operación de fabricación mencionada anteriormente. Si se supone que el proceso permanece centrado ¿Cual es el índice de capacidad de proceso Cp que debe tener la máquina a adquirir si se pretende tener una `probabilidad del 90% de que el cliente no rechace ningún lote?

d) Debido al alto precio de la máquina anterior, su empresa decide hacer un lanzamiento piloto con la máquina antigua. Fabrica 50 unidades que se verifican todas y 2 de ellas resultan defectuosas. Se pide estimar la fracción defectuosa existente mediante un intervalo de confianza del 95%.

e) Para cumplimentar el contrato con la maquinaria antigua, se planifica realizar una inspección final 100% para segregar las unidades defectuosas. Alguien propone reemplazarla por un muestreo. ¿Qué opina usted?

Solución5 lotes

N=1000

Inspección según MIL STD simple nivel 2

AQL=0,1

En la tabla se obtiene letra código “J”

a) n=80 c=0

b) Pa=(800 ) pd0(1−pd)

80

como (800 )=1 y pd0=1 ,entonces :

Pa=(1−pd)80

La probabilidad de queel cliente acepte los5 lotestieneunadistrib ucion de probabilidadbinomial conn=5 y p=pa

P5=(55) pa5(1−pa)

5−5

P5=pa5

como Pa=(1−pd)80

P5=((1−pd)¿¿80)5¿

P5=(1−pd)400

c) Tenemos que:

P5=pa5=0,9

Luego:

(1−pd)400=0,9

pd=1−400√0,9

pd=0,000263

Como el proceso está centrado:

pLIE=pLSE=0,000263

2=0,0001315

pLIE=0,0001315=P ( z ≤LIE )=P(z ≤ LIE−xσ )

z0,0001315≤LIE−x

σ

−3,65≤ LIE−xσ

−3,65σ+x=LIE EC 1Por otra parte:

pLSE=0,0001315=P ( z≥ LIE )=1−P(z ≤ LSE−xσ )

1−P( z≤ LSE−xσ )=0,0001315

P(z ≤ LSE− xσ )=0,9998685

z0,9998685≤LSE−x

σ

3,65≤LSE−x

σ

3,65σ+x=LSE EC 2

Restamos las dos ecuaciones 1 y 2

LSE−LIE=3,65σ+x−(−3,65σ+x)

LSE−LIE=3,65σ+x+3,65σ−x

LSE−LIE=3,65σ+3,65σ

LSE−LIE=2(3,65σ )

C p=LSE−LIE6 σ

=2(3,65 σ)6σ

=2(3,65)6

=3,653

=1,21

d) P=P̂ ±Z∝/2√ P̂ (1−P̂)n

P̂= 250

=0,04

1−P̂=0,96

1−∝=0,95

∝=0,05

∝2=0,025

n=50

P=P̂ ±Z∝/2√ P̂ (1−P̂)n

P=0,04±1,95 √ 0,04(0,96)50

P=0,04±0,054

P=0,04±0,054

−0,01≤P≤0,094

dado quese esta estimandouna proporción , esta no puede tomar valores negativos

0≤ P≤0,094

e) parla

6) Su empresa ha acordado con un cliente las condiciones de recepción de los envíos de lotes de 5000 piezas. El plan de muestreo por atributos acordado es el siguiente:n =50.Ac = 0.Por datos históricos Ud. sabe que la fabricación de su empresa es muy estable y tiene un 0,25% de unidades defectuosas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte un lote?b) Si está prevista la entrega de 400 lotes ¿qué cantidad R de lotes espera

que le rechacen? Se supone que no se toma ninguna acción correctora sobre el proceso después de cada retraso.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que le rechacen exactamente “R” lotes, ni uno más, ni uno menos?

d) Si los lotes rechazados se reinspeccionan al 100% y se reponen las unidades defectuosas ¿Cuál es la calidad de salida media?

e) Con objeto de estudiar una posible mejora del proceso de fabricación, ha encomendado a un operario que haga un estudio de índices de capacidad de una de las fases de fabricación. Una vez realizado el estudio, el técnico de calidad le facilita los datos indicados más abajo. ¿Qué conclusiones saca de ellos? Justifique brevemente la respuesta.

Solución:

n =50.c = 0.

a) Pa=(500 ) pd0(1−pd)

50=(1−pd)50=(1−0,0025)50=0,8823

b) PR=1−Pa=1−0,8823=0,1177

R=400∗PR=400∗0,1177=47,05≈47

c) Con binomial hecho en computador porque no se puede hacer con calculadora

P ( x=47 )=(40047 )0,117747 (0,8823 )353=0,0618

Con poisson hecho manualmente

λ=np=400∗0,1177=47

P ( x=47 )= e−47 4747

47 !=0,0580

d) AOQ=0,8823∗0,0025∗(400−50)

400=0,00193

e) No se puede hacer porque no nos dan los datos