UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”

VICERRECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

CABUDARE EDO. LARA

MATEMÁTICAS IV

SAIA – A

Ejercicios Propuestos – Unidad II

Ecuaciones Diferenciales

Integrantes:

Roger Armando Figueira Gonzalez CI: 20.891.189

Glenda Josefina Fonseca Guillén CI: 14.095.733

Anderbram Valera CI 24.549.864

Profesor: José Morillo

Diciembre 2016

DESARROLLO

1.- Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.

a ) y=65

−65e−20 x ; y ,−20 y=2

b) y=e2 x+xe2 x ; y ,,+ y ,+4 y=10

R=

a ) y=65

−65e−20 x ; y ,−20 y=2

→ y '=(65 )'

−( 65 e−20 x)'

→=0−65

(−20 ) e−20 x→=24e−20 x

→ y '−20 y=24e−20 x

−20 [65−65 e−20 x] ¿24e−20 x - 24 + 24 e−20 x ¿−24

Se observa que y’ -20 y ≠ 2; así, la función dada no satisface la ecuación diferencial dada.

b) y=e2 x+xe2 x ; y ,,+ y ,+4 y=10

Derivando respecto a X

→ y '=2e2 x+e2x+2 xe2x

¿3e2x+2x e2x

→ y ' '=6 e2 x+2e2 x+4 x e2x

¿8 e2x+4 x e2x

Por lo tanto:

→ y ' '+ y '+4 y

¿ [8e2 x+4 x e2x ]+ [3e2 x+2 x e2x ]+4 [e2x+x e2x ]

¿ 11e2x+6 xe2x+4 e2x+4 xe2 x

¿ 15e2 x+10 x e2 x

Vemos que y ' '+ y '+4 y≠0 Luego, la función dada no satisface la ecuación diferencial dada.

2.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.

a . ) y ,+1xy=senx

xb ) (x+3 x3 seny )dx+(x4 cos y )dy=0

R =

a .¿ y '+ 1xy= senx

x

Ecuación lineal de primer orden así:

P ( x )=1x;Q ( x )= senx

x

Seau ( x )=e∫ P ( x ) dx

¿e∫ 1x dx→=eLnx→=x

Multiplicamos la ecuación diferencia por u(x):

x y '+x 1xy= x∗senx

x

Simplificamos:

→x y '+ y=senx

→ ddx

[xy ]=senx

→d [ xy ]=senx∗dx

Luego integrando:

∫ d (xy)=∫ senx dx

→xy=−cosx+C

Así:

y=C−cosxx

b .¿ (x+3 x3 seny )dx+( x4 cosy )dy=0

Sea M (x , y )=x+3 x3 seny

→ ∂M∂ y

=3 x3 cosy

M (x , y )=x4cosy

→ ∂ N∂x

=4 x3cosy

Como ∂M∂ y− ∂ N∂ x

=3 x3cosy−4 x3 cosy→=−x3cosy

No es exacta son diferenciales

Pero: ∂M∂ y

−∂N∂ x

M (x , y)=−x3cosy

x4 cosy

→f ( x )=−x3

x4=−1

x

Así el factor integrante es: →u (x )=e∫−1

x dx=e−Lnx=e ln x

−1

=x−1

Multiplicamos la ecuación diferencial por u(x)

x−1 ( x+3 x3 seny )dx+x−1 ( x4cosy )dy=0∗x−1

→ (1+3x2 seny ) dx+(x3 cosy )dy=0

Ahora;

M '=1+3 x2 seny

∂M '

∂ y=3 x2cosy

N '=x3 cosy∂N '

∂ x=3 x2cosx

Como: ∂M '

∂ y=¿

∂N '

∂ x La ecuación se redujo a exacta y se resuelve como tal

Sea f ( x , y )=∫Mdx

¿∫ (1+3 x2 seny )dx

¿ x+3 x3

3seny+h( y )

¿ x+3 x3 seny+h( y )

→ ∂f∂ y

=N '

→x3cosy+h ' ( y)=x3cosy

→h' ( y )=0 Con lo cual h' ( y )=C

Así:

f ( x , y )=x+3 x3 seny+C

Y la solución es:

x+3 x3 seny+C=0

3.- Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N por coeficientes indeterminados:

a . ) y ,,,−6 y ,,+11 y ,−6 y=20 xe−x

b . ) y ,,+9 y=20sec23 xR= Hallemos solución homogénea

a .¿ y ' ' '−6 y ' '+11 y '−6 y=0

Cuya ecuación característica es:

r3−6 r2+11r1−6=0

Factorizamos:

1 -6 11 -6

2 2 -8 6

1 -4 3 0

3 3 -3

1 -1 0

1 1

1 0

Así:

r1=1 ;r2 ¿2;r 3=3 Diferentes, con lo cual

y h ( x )=C1ex+C2 e

2x+C3 e3x→ Es la solución homogénea

Supongamos la complementaria como: y p(x )=[ A x2+B ] e−x

y p' ( x )= A e− x→−(Ax+B)e− x

→ y p'=e−x (−Ax+A−B)

y p' '=¿

→ y p' '=e−x (Ax−2 A+B)

y p' ' '=¿

→ y p' ' '=e− x(−Ax+3 A−B)

Así: y ' ' '−6 y' '+11 y '−6 y

¿e− x (−Ax+3 A−B )−6 ( Ax−2 A+B ) e− x+11 [ e−x (Ax+B)e− x ]=20 xe− x

¿e− x [−Ax+3 A−B−6 Ax+12 A−6 B−11 Ax+11 A−11B−6 Ax−6 B ]=20 xe− x

¿−24 Ax+26 A−24B=20 x

De donde: ¿−24 A=20→ A=−2024

→A=−56

26 A−24 B=0

B=2624

→A=1312

∗(−56 )→=−6572

Así la solución complementaria Y: y p(x )=(−56 x+−6572 )e− x

Y la solución es:

Y (x)=Y (h)+Y (p )

¿C1ex+C2e

2x+C3e3x−(−56 x+−65

72 )e−x

b . ) y ,,+9 y=20sec23 xSiendo: Y (x)=20 sec

23 x

No tiene alguna función particular que se le parezca, no se refleja en tablas ni tiene anuladores. Esta

ecuación no se puede resolver por sus coeficientes indeterminados, pero si por variación de parámetros.

4.- Resuelva por variación de parámetros:

a)y ,,+9 y=1

4Csc3 x

b) Y” + 9y2- 24y = ex

a) y ,,+9 y=14Csc3 x

Soluc. Homogénea: y ' '+9 y=0

Ec. Cart.

r2+9=0→r2=−9→r=±√−9→r=±3i

Raíces compleja:

Yh( x )=C1 cos3x+C2 sen3 x

Sea: f 1 ( x )=cos 3x

f 2 ( x )=sen3 x

g ( x )=14CSC 3x

Luego la solución particular será:

Yp ( x )=U1 cos3 x+U 2 sen3 x -> Donde U 1=∫W 1

W y U2=∫

W 2

W

Sacando W, el Wronskiano:

W=|f 1 f 2f 1' f 2

'|=¿| cos3 x sen3 x−3 sen3 x 3cos3 x|¿

¿3cos23 x+3 sen23 x→=3 (cos23 x+sen23 x )→=3

W 1=| 0 f 2g(x) f 2

'|=¿| 0 sen3 xCSC3 x ⁄ 4 3cos3 x|→=−1

4sen3 x∗CSC 3 x→−

14∗sen3 x

sen3 x→=−1

4¿

W 2=|f 1 0f 1

' g( x)|=¿| cos3 x 0−3 sen3 x CSC 3 x ⁄ 4|→=1

4cos3 x∗cos3 x→

14∗cos3x

sen 3x→= 1

4ctn3 x¿

Así:

U 1=∫−143dx=−1

12∫ dx→=−112

x

2=∫−1

4 ctn3 x3

dx= 112ln|sen3 x|

3→= 1

36ln ∨sen3 x∨¿

Así:

Yp ( x )=−112

x∗cos3 x+¿= 136ln|sen3 x|∗sen3x ¿

Y la solución es:

Y (x)=Y h(x)+Y p (x)

¿C 1cos3 x+C2 sen3 x−112

x cos3 x+ 136ln|sen3 x|∗sen3 x

b) Y” + 9y’- 24y = ex

Solución homogénea:

Y ”+9 y '−24 y=0

Cuya ecuación característica es: 12+9 r−24=0

Factorizamos:

r=−9±√92−4 (−24 )2 (1 )

r=−9±√81+962

→r=−9±√1772

→r=−9±13,302

→r1=2,15 ;r2=−11,15

Así:

Yh ( x )=C1 e2,15 x+C2 e

−11,15 x

Sea:

Y p ( x )=U 1e2,15x+U2 e

−11,15 x→f 1 ( x )=e2,15 x f 2 (x )=e−11,15x

Sacando Wronskiano:

W=| e2,15x e−11,15 x

2,15 e2,15x −11,15 e−11,15 x|=¿−11,15 e−9x−2,15 e−9x=13,30 e−9x¿

W 1=|0 e−11,15 x

ex −11,15 e−11,15x|=¿−ex (e−11,15 x )=−e−10,15x¿

W 2=| e2,15 x 02,15 e2,15 x ex|=¿e3,15 x¿

Así:

U 1=∫−e−10,15 x dx13,30 e−9 x = −1

13,30∫ e−1,15x dx→−

113,30

∗e−1,15x

−1,15= 115,295

e−1,15x

U 2=∫ e3,15x dx13,30 e−9x=

113,30∫e12,15 xdx→

113,30

∗e12, 15 x

12 ,15= 1161 ,595

e12, 15 x

Así:

Yp ( x )= 115,295

e−1,15 x∗e2 ,15 x+ e12 ,15 x

161 ,595e−11 ,15 x= ex

15,295+ ex

161,595= 4005589

ex

Y la solución es:

Y (x)=Y h(x)+Y p (x)

¿C1e2 ,15 x+C2e

−11, 15 x+ 4005589

ex