Problema 11Un lote rectangular mide 100 ft por 150 ft. Determine el área de este lote en metros cuadradosSolución

100 ft ×150 ft=1500 f t 2=(0.3048m)2

(1 ft )2 =0.9290m2

1 f t2=1393.5m2

Problema 13Una habitación mide 2.3 m por 3.6 m y su techo está a 2.5 m de altura, ¿Es posible empapelar por completo las paredes de esta habitación con las páginas de este libro? Explique su respuestaSolución

Área de una pared = 9.5 mPáginas del libro= 400Área de una página= 530 cm^2 Área total abarcada por las paginas=21.2 m^2

Tomando en cuenta que una pared de la habitación mide 9.5m y que por las 4 son 38m^2, sobrepasando el área posible de cubrir con las paginas, se puede concluir que no es posible empapelar la habitación con el total de las páginas del libro

Problema 15Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23,94g y un volumen de 2,10 cm3.

A partir de estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI. (kg/m3

) Solución

ρ = m = 23,94g 1kg (100cm)3 = 11400kg/m3 V 2,10cm3 1000g 1 m3

Problema 17

Cuando se imprimió este libro la deuda nacional estadiounidence era de aproximadamente $8 billones. A) si hicieran pagos con la rapidez de $1000 por segundo ¿Cuántos años tardaría en ser pagada la deuda? Si se supone que no se cargan intereses. B) un billete de dólar mide aproximadamente 15.5 cm de largo. Si 8 billones de billete de dólar de pusiesen extremo con extremo alrededor del ecuador de la tierra. ¿Cuántas veces daría la vuelta al radio de la tierra? Si el radio de la tierra en el ecuador es de 6 378 kmSolucióna)

Segundos en un año=31 556 926 segundosSi se pagan 1000 dólares por segundo

8e12÷ (1000×31 556926 s )=253.65b)

6 378km=( 100 000cm1km )=637.8e6 cm÷15.5cm=41148 387.1billetes

Si se tienen 8 000 000 000 000 billetes entonces8 000 000000 000÷41 148387.1=194 418.3555vueltas

Problema 15Un vector tiene una componente X de -25 unidades y otra componente Y de 40 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector.Solución

X=-25 y=40 r= √ (-25)2 + 402 = 47,16m

Tan θ = 40/25

θ = 57,99º pero estaba ubicado en el segundo cuadrante

La respuesta es 47,16m 122,01º

Problema 19Obtenga las expresiones en forma de componentes para los vectores de posición que tienen las siguientes coordenadas polares:a) 12.8m, 150ºb) 3.30cm, 60.0ºc) 22.0 pulg, 215º.

12,8m, 150º 

ax = 12,8 cos 150 = -11,09 m ay = 12,8 sen 150 = 6,4 m

b) 3,30cm, 60,0º 

ax = 3,30 cos 60 = 1,65 cm ay = 3,30 sen 60 = 2,86 cm

c) 22,0 pulg, 215º

ax = 22,0 cos 215 = -18,02 pulg ay = 22,0 sen 215 = -12,62 pulg

Problema 21Mientras explora una cueva, un espeleólogo comienza en la entrada y se mueve las siguientes distancias. Va 75m al norte, 250m al este, 125m a un ángulo de E30ºN y 150m sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.Solución

X=0 X=250 X= 125cos 30 X=0Y=75 Y = 0 Y= 125sen30 Y= -150

ΣX= 0+250+108,25+0=358,25mΣY=75+0+62,5+-150=-12,5m

R=√ (358,252+ (-12,5)2)= 358,46mTan θ = -12,5/358,25

θ = E1, 99ºS pero estaba ubicado en el cuarto cuadrante

Problema 25 → →Considere los dos vectores A= 3i-2j y B –i-4j Calcule → → → → → → → →→ → → → →a) A+B, b) A - B, c) | A+B | d) | A - B | e) las direcciones de A+B y A - B

a) 3i-2j + –i-4j = 2i-6jb) 3i-2j – ( –i-4j ) = 4i+2jc) magnitud de la parte a =√ (22 + (-62)) = 6,32d) magnitud de la parte b =√ (42 + 22) = 4,47e) θ = tan -1 (-6/2) = -71,56º que en el cuarto cuadrante es 360-71,56=288ºf) θ = tan -1 (2/4) = 26,56º

Problema 35 → → Dados los vectores desplazamiento A= (3i-4j+4k) m y B= (2i+3j-7k) m, encuentre las magnitudes de los vectores → → → → → →

C = A +B y b) D = 2A-B. Y también exprese cada uno en términos de sus componentes rectangulares

Solucióna) → → → C = A +B =(3i-4j+4k) + (2i+3j-7k) = 5i -1j-

3k √(52 +(-1)2 +(-3)2) = 5,91m b)→ → → D = 2A-B. =2(3i-4j+4k) - (2i+3j-7k) = 4i-

11j+15k√ (42 + (-11)2 + (15)2) = 19,02m

Problema 37 → El vector A tiene componentes X, Y y Z de 8,12 y -4 unidades respectivamente. A) Escriba una expresión vectorial para A en notación de vector unitario. B) Obtenga una expresión en vectores unitarios para un vector B de un cuarto de la longitud de A. c) Obtenga una expresión en vectores unitarios para un vector C tres veces la longitud de A que apunte en dirección opuesta a la dirección de A.) Solución

a)8i+12j-4k√ (82+122+ (-4)2) = 14,96ul

(8x+12y-4z)/14,96 = 0,53i+0,8j-0,26k

b) 14,96*1/4*(0,53x+0,8y-0,26z) = 1,98i+2,99j-0,97k

c) 14,96*-3*(0,53x+0,8y-0,26z) = -23,78i-35,9j+11,66k

Problema 39 Una estación de radar ubica un barco hundiéndose en un intervalo de 17,3km y orientación de 136º en sentido de las manecillas del reloj desde el norte. Desde la misma estación, un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6km, 153º en sentido de la manecillas del reloj desde el norte, con una elevación de 2,2km a) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión, con i que representa el este, j el norte y k hacia arriba. B) ¿qué tan separados están el avión y el barco?

Solución

12,01x-12,44y 8,89x-17,46y+2,2z

a) (12,01x-12,44y)-(8,89x-17,46y+2,2z) 3,12x+5,02y-2,20z

b) √ (3,122+5,022+ (-2,2)2) = 6,30km

Problema 1

Las coordenadas polares de un punto son r=5.50m y s=240°.Cuales son las coordenadas cartesianas de este punto

Las coordenadas cartesianas vienen expresadas por las siguientes ecuaciones:x = r•CosØ y = r•SenØ

x = 5.50m•Cos (240º) = -2.75m..........x = -2.75my = 5.50m•Sen (240º) = -4.76m..........y = -4.76m

Problema 2

Las coordenadas rectangulares de un punto están dadas por (2, Y) y sus coordenadas polares son(r, 30º) Determine Y y r

SoluciónCos 30 = 2/r r=2/cos30 = 2,30 u.l. (unidades lineales)

Tan 30 = y/2

2tan30 = y = 1,15m

Problema 3

Una mosca aterriza en la pared de una habitación. La esquina inferior izquierda de la pared se elige como el origen del sistema coordenado cartesiano bidimensional. Si la mosca se ubica en el punto con coordenadas (2, 1) m, a) ¿a qué distancia está de la esquina del cuarto? b) ¿cuál es su ubicación en coordenadas polares?

2.24 m; b) 2.24 m a 26.6º a partir del eje X

Problema 4Si las coordenadas polares de un punto (x, y) son (r, θ) determine las coordenadas polares para los puntos:a) (– x, y)b) (– 2x, – 2y)c) (3x, – 3y)

RESPUESTA=

Para el punto P (x, y) tenemos:

r=√x2+ y2

tgθ= yx

⇒θ=arctg ( yx )a) punto P2 = (-x, y)

r2=√ (−x )2+ y2=r

tgθ2=y

−x⇒θ2=arctg(− xy )=90 º+θ

b) punto P3 = (-2x, -2y)

r3=√ (−2 x )2+(−2 y )2=√4 (x2+ y2 )=2√ x2+ y2=2 r

tgθ3=−2 x−2 y

= xy

⇒ θ3=180 º+θ

c) punto P4 = (3x, -3y)

r 4=√ (3 x )2+ (−3 y )2=√9 (x2+ y2)=3√ x2+ y2=3 r

tgθ4=3x

−3 y=− x

y ⇒ θ4=arctg(− xy )=360 º−θ

4.- Un avión vuela 200 Km directo al oeste desde la ciudad A hasta la ciudad B y después 300 Km en la dirección 30º al norte del oeste desde la ciudad B hasta la ciudad C.a) En línea recta, ¿a qué distancia está la ciudad C de la ciudad A?b) Respecto de la ciudad A, ¿en qué dirección está la ciudad C?Resolución

a) A partir de la figura tenemos que α = 150º

Aplicando teorema del coseno: R2=( AB )2+(BC )2−2 (AB ) (BC ) cosα=

=( 2002+3002−200 x 300 x cos60º ) Km2

R2=100000Km2 ⇒ R=316 .2Km

Por lo tanto la distancia de la ciudad A la ciudad C es: R = 316.2 Km

b) El ángulo entre el eje x y la dirección AC estará dado por: θR = 90º + β

Aplicando teorema del seno:

sinαR

=sin β(BC )

⇒ sin β=(BC )R

sinα=300316 . 2

sin150 º=0 .474

sin β=0 . 474 ⇒ β=28 .32 º

θR=90 º+β=90 º+28. 32 º=118. 32º