ejercicios distribuciones multivariantes
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7/22/2019 Ejercicios Distribuciones multivariantes
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Distribuciones Multivariantes
Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Distribuciones marginales y condicionadas
Independencia entre variables aleatorias
Caractersticas de un vector aleatorio
Esperanza
Varianza, Covarianza, Correlacin
Transformaciones de vectores aleatorios
Distribucin Normal multivariante
Estadstica. Profesora: Mara Durbn
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Objetivos del tema:
Al final del tema el alumno ser capaz de:
Utilizar la funcin de probabilidad o densidad conjunta para el clculo deprobabilidades
Calcular distribuciones marginales y condicionadas a partir de lasconjuntas
Interpretar y calcular covarianzas y correlaciones entre variables aleatorias
Calcular medias y varianzas de transformaciones lineales de vectoresaleatorios
Comprender las propiedades de la distribucin Normal bivariante
Distribuciones Multivariantes
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Distribuciones Multivariantes
1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
2. Distribuciones marginales y condicionadas
3. Independencia entre variables aleatorias
4. Caractersticas de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlacin
5. Transformaciones de vectores aleatorios
6. Distribucin Normal multivariante
1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
En el tema anterior estudiamos distribuciones de probabilidad para unavariable aleatoria. Sin embargo, a menudo nos interesa estudiar ms deuna variable en un experimento aleatorio.
Por ejemplo, en la clasificacin de seales emitidas y recibidas, cada sealse clasifica como de baja, media o alta calidad.Podemos definir:X=nmero de seales de baja calidad recibidas, eY=nmero de seales de alta calidad.
En general, si X e Y son dos variables aleatorias, la distribucin deprobabilidad que define simultneamente su comportamiento sellama distribucin de probabilidad conjunta.
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Variables discretas
Dadas dos v.a. discretas, , definimos su funcin distribucin deprobabilidad mediante la funcin de probabilidad conjunta:
( , ) Pr( , )p x y X x Y y= = =
,X Y
Como en el caso unidimensional est funcin debe verificar:
( , ) 0
( , ) 1x y
p x y
p x y
=
La funcin de distribucin conjunta:
0 0
0 0 0 0( , ) Pr( , ) Pr( , )x x y y
F x y X x Y y X x Y y
= = = =
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisin de informacindigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la seal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Nmero de bits aceptablesY = Nmero de bits sospechosos
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisin de informacindigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la seal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
( , ) 0
( , ) 1x y
p x y
p x y
=
X
Y
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisin de informacindigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la seal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
Pr( 1, 2)X Y
X
Y
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Distribucin Multinomial
Un experimento se repite n veces de forma independiente:
1. El experimento tiene k posibles resultados
2. La probabilidad de cada resultado, se mantiene constante
La variable = el nmero de veces que ocurre el resultado i-simo
1 2, , kp p pK
1 2, , kX X XK
iX
siguen una distribucin multinomial con funcin de probabilidad
conjunta:
1 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 2
!Pr( , , , )
! ! !
1
kxx x
k k k
k
k k
nX x X x X x p p p
x x x
x x x n p p p
= = = =
+ + + = + + + =
K KK
K K
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
Las probabilidades de que cierta lmpara de un modelo de proyector duremenos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y ms de 80 horas de uso son0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente.
Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lmparas, 2 duren menos de40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure ms de 80 horas.
Hay 3 resultados posibles: 1 1
2 2
3 3
40 0.3
40 80 0.5
80 0.2
X dura p
X dura p
X dura p
= < =
= =
= > =
2 5
1 2 3
8!Pr( 2, 5, 1) 0.3 0.5 0.2 0.095
2!5!1!X X X= = = = =
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
Dadas dos v.a. continuas, definimos su funcin distribucin deprobabilidad mediante la funcin de densidad conjunta:
( , )f x y
,X Y
Como en el caso unidimensional est funcin debe verificar:
( , ) 0
( , ) 1
f x y
f x y dxdy+ +
=
La funcin de distribucin conjunta:
0 0
0 0 0 0( , ) Pr( , ) ( , )y x
F x y X x Y y f x y dxdy
= =
2 ( , )( , ) d F x yf x ydxdy
=
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
La probabilidad ahora se calcula como un volumen:
Pr( , ) ( , )b d
a ca X b c Y d f x y dxdy =
Pr( 1 1, 1.5 1.5)X Y
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
La probabilidad ahora se calcula como un volumen:
Pr( , ) ( , )b d
a ca X b c Y d f x y dxdy =
Pr( 1 1, 1.5 1.5)X Y
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1. Distribucin conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conecta con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que elservidor te autoriza como usuario.
La funcin de densidad conjunta viene dada por:
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y=