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Ejercicios Adicionales Caalculo 3 Economıa
Roberto Ortiz
Junio de 2011
1. Construya la grafica de la siguientes funciones y sus curvas de nivel:
a) z = 1− e1
x2+y2
SOLUCION
1) Curvas de nivel:Si z = k tenemos 1 − k = e1
x2+y2 de dondetenemos que x2 + y2 = 1
ln(1−k) = R2(figura− 1)
de nivel 1.jpg
Figura 1: Curvas de nivel ejercicio 1
2) Grafica de la superficiePrimero construimos algunas trazas, por ejemplo y = 0, y = 1,(figura-2)La grafica de la superficie es(figura-3):
b) z =1
x2 + y2
SOLUCION
1) Las curvas de nivel son cırculos, como en el ejercicio anterior(x2 + y2 = 1
k )
1
Figura 2: Trazas ejercicio 1
2) Las trazas para esta funcion son de la forma, por ejemplo, cony = 0, y = 1, z = 1
x2 , z = 1x2+1 , y se muestran en la figura-4 La
grafica de la superficie se muestra en la figura-5
c) z = max(|x|, |y|)SOLUCION
1) Las curvas de nivel de esta funcion se muestran en la figura-62) La grafica de la superficie se muestra en la figura-7
d) z = sen(x)SOLUCION
1) Las curvas de nivel de esta funcion se muestran en la figura-82) La grafica de la superficie se muestra en la figura-9
e) z = ln(10− x2 − y2)SOLUCION
1) Las curvas de nivel de esta funcion se muestran en la figura-102) La grafica de la superficie se muestra en la figura-11
f ) −x2 + 6x + y2 − 4z2 + 8z − 2y = 0SOLUCIONCompletando cuadrados tenemos
(x− 3)2 − (y − 1)2 + 4(z − 1)2 = 12
La grafica de la superficie se muestra en la figura-12
g) z = e2y
SOLUCION
2
Figura 3: Superficie ejercicio 1
1) Las trazas con x = k se muestran en la figura-132) Las curvas de nivel se muestran en la figura-143) La grafica de la superficie se muestra en la figura-15
h) z = 10− (4x2 + 9y2)SOLUCION La grafica de esta superficie se muestra en la figura-16
2. Cosntruya las curvas de nivel de las siguientes funciones:
a) z = max(x, y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION
b) z = min(x, y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION
c) z = max(x + 2y, 2x + y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION
d) z = min(x + 2y, 2x + y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION
e) z = min(x2, y), x ≥ 0, y ≥ 0SOLUCION
3. Para las siguientes funciones :
a)
f(x, y) =
{x3−3xy2
2x2+3y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
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Figura 4: Trazas ejercicio 2
b)
f(x, y) ={
(x2 + y2)sen( 1x2+y2 ) si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
SOLUCION
c)
f(x, y) ={
(x2 + y2)ln(x2 + y2) si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
d)
f(x, y) =
{x3y−xy3
x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
e)
f(x, y) =
{x3−2xy2−2y3
2x2+3y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)
a) Analice la continuidad de f(x, y)
b) Calcule las derivadas parciales fx(x, y) y fy(x, y) para todo (x, y)
c) Determine si fx(x, y) y fy(x, y) son continuas en (0, 0)
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Figura 5: Superficie ejercicio 2
nivel2.jpg
Figura 6: Curvas de nivel ejercicio 3
5
Figura 7: Superficie ejercicio 3
nivel3.jpg
Figura 8: Curvas de nivel ejercicio 4
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Figura 9: Superficie ejercicio 4
nivel4.jpg
Figura 10: Curvas de nivel ejercicio 5
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Figura 11: Superficie ejercicio 5
Figura 12: Superficie ejercicio 6
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Figura 13: Trazas ejercicio 7
nivel5.jpg
Figura 14: Curvas de nivel ejercicio 7
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Figura 15: Superficie ejercicio 7
Figura 16: Superficie ejercicio 8
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nivel6.jpg
Figura 17: Curvas de nivel ejercicio 2a
nivel8.jpg
Figura 18: Curvas de nivel ejercicio 2b
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nivel7.jpg
Figura 19: Curvas de nivel ejercicio 2c
nivel9.jpg
Figura 20: Curvas de nivel ejercicio 2d
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Figura 21: Superficie ejercicio 3b
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