8/18/2019 Ejercicio resuerlto de ecuaciones diferenciales de segundo grado

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Problema 33:  Un circuito RL con una resistencia de 5 ohm y un inductor de 0.05 H tiene una

corriente de 1 A en t = 0, cuando se aplica una fuente de voltaje () = 5cos120t V. Determine la

corriente y el voltaje subsecuentes en el inductor.

Solución:

Datos:

 

R = 5 ohm

  L = 0.05 H

   = 1 A

  () = 5cos120t V

  () = ¿?

   = ¿?

Según la ley de voltajes de Kirchhoff tenemos:

dI  L RI E 

dt 

dI  RI L V 

dt 

dI RI V  

dt L L

 

Según los datos:

5 5 cos120

0.05 0.05

100 100cos120

dI I t  

dt 

dI  I t 

dt 

 

Aplicando la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden:

100 100

100 100

. .100cos120

. .100 cos120

dt dt  

t t 

 I e e tdt C 

 I e e tdt C 

 

Según la propiedad de las integrales notables:

2 2

a .cos(bu) b.sen(bu).cos(bu) .au aue du e C  

a b

 

Nos resulta:

8/18/2019 Ejercicio resuerlto de ecuaciones diferenciales de segundo grado

2/2

100 100

2 2

100 100

100.cos(120t) 120.sen(120 )100 .

100 120

cos(120t) 1, 2.sen(120 )100 .

244

t t 

t t 

t  I e e C 

t  I e e C 

 

Reemplazamos en (), I=1 cuando t es 0 para así poder hallar la constante:

0 0

0

0

cos(0) 1, 2.sen(0)1 100 .

244

11 100.

244

1 1

100 244

1, 44

244

t 

t 

 I e e C 

 I C 

C 

C 

 

Por lo tanto () nos resulta:

100 100

100 100100

100

100

cos(120 t) 1, 2.sen(120 ) 1, 44100 .

244 244

cos(120 t) 1,2.sen(120 ) 1,44100 .

244

100. cos(120 t) 1, 2.sen(120 ) 1, 44

244

cos(120 t) 1, 2.sen(120 ) 1, 44

t t 

t t 

t 

t 

t 

t  I e e

e e t  I e

 I t e

t e I 

 

 

2,44

 

Finalmente para  reemplazando nos resulta:

100

(t) RI

cos(120 t) 1, 2.sen(120 ) 1, 445cos120 5

2,44

 L

t 

 L

dI  E L E 

dt 

t e E t 

 

 

100

100

1, 44cos120 1, 2sen120 1, 445

2,44

7,2 cos120 6sen120 7,2

2,44

t 

 L

t 

 L

t t e E 

t t e E