3/$1,78 'RF 6

0HGLFLRQHV GH 7UiILFR (Soluciones de los ejercicios) De TETRAPRO, editado por el Sr. H. Leijon, UIT

81,21 ,17(51$7,21$/( '(6 7(/(&20081,&$7,216 ,17(51$7,21$/ 7(/(&20081,&$7,21 81,21 81,21 ,17(51$&,21$/ '( 7(/(&2081,&$&,21(6

-1-

EJERCICIOS Y SOLUCIONES - MEDICIONES DE TRAFICO 1. En el diagrama se muestra una parte del proceso de trfico. Este se refiere a las ocupaciones de un grupo de disponibilidad total de seis circuitos, durante cinco minutos. Las lneas horizontales sealan la ocupacin de los circuitos. La escala de tiempo es de 10 segundos sobre el eje de tiempo. Marque en la lnea de sucesos con , cada vez que comience una nueva ocupacin y con , cada vez que termine una ocupacin. Cuntos sucesos hubo? Llene el diagrama con el nmero de dispositivos ocupados para el perodo de cinco minutos. Calcule el trfico cursado en el perodo! (Pruebe distintas maneras!). Asuma que el grupo es explorado cada 30 segundos, comenzando en t = 5 segundos. Cul sera el trfico como resultado de la exploracin? Cul es el tiempo de ocupacin promedio de aquellas ocupaciones que se han completado totalmente dentro del intervalo de cinco segundos?

CCTS NO 6 5 4 3 2 1 Tiempo Min. 0 1 2 3 4 5

Sucesos

NUMERO DE CIRCUITOS OCUPADOS 6 5 4 3 2 1 0

-2-

1.

SOLUCION Sucesos Los sucesos se marcan en el diagrama. En total, durante el intervalo de observacin ocurren 10 llamadas y terminan 10 ocupaciones. Existen, por tanto, 20 sucesos en el perodo de 5 minutos. Nmero de circuitos ocupados. Observe el diagrama adjunto. Cada vez que ocurre una nueva llamada, la curva da un paso hacia arriba y con cada terminacin, da una paso hacia abajo. Trfico cursado. Si sumamos el total de tiempos de ocupacin y lo dividimos entre la duracin del tiempo de observacin, obtenemos el trfico cursado. Tomando en cuenta que cada cuadrado es 10 segundos tenemos:CCTS NO 6 5 4 3 2 1 Tiempo Min. 0 1 2 3 4 5

Sucesos

NUMERO DE CIRCUITOS OCUPADOS 6 5 4 3 2 1 0

-3-

Dispositivo 1 2 3 4 5

Tiempos de ocupacin 7+8+8+1 4 + 11 + 5 12 + 8 3+6 9 = = = = = 24 20 20 9 9 82 x x x x x x 10 10 10 10 10 10 segundos segundos segundos segundos segundos segundos

$ =

=

AREA = 82 cuadrados - sobre 30 pasos

$ =

=

Exploraciones: 10 exploraciones Circuito No. 1 2 3 4 5 6

$ =

= Ocupaciones en 10 segundos 7+8+8+1 4 + 11 + 5 12 + 8 3+6 0 0 Total segundos 240 200 200 90 90 0 820

Tiempo de observacin: 5 x 60 = 300 segundos Trfico Cursado: 820/300 = 2.73 erlang

Otro mtodo consiste en integrar el rea en el diagrama para el nmero de dispositivos ocupados. Este es, casi siempre, al menos dos circuitos ocupados. El rea es entonces ms de 30 x 2 = 60. Area = 60 + 1 + 2 - 2 + 15 + 5 + 2 - 1 = 82 Trfico Cursado = 82/30 = 2.73 erlang Exploracin.- Cuando se hace la exploracin, los puntos del tiempo para el nmero de circuitos ocupados se marcan en el diagrama. Resultado de la exploracin: 2 + 2 + 2 + 2 + 4 + 5 + 2 + 3 + 2 + 2 = 26 Hicimos 10 exploraciones. Nmero de promedio de circuitos ocupados por exploracin = WUiILFR FXUVDGR HVWLPDGR = 26/10 = =2.6 erlang.

-4-

Tiempo promedio de espera. El tiempo de ocupacin total era 820 segundos. Tuvimos en total 12 ocupaciones. Hubo, sin embargo, dos ocupaciones salientes cuando comenzamos las observaciones. No sabemos su duracin total. Hubo tambin dos ocupaciones no terminadas al final del perodo. Para obtener un justo estimado del tiempo promedio de espera, tenemos que excluir estas cuatro ocupaciones y tomar el promedio de las 8 ocupaciones restantes. El tiempo total para estas 8 ocupaciones fue:820 - 70 - 30 - 10 - 50 = 660 segundos

entonces h = 660 8 = 82.5 segundos

Si hubisemos incluido los cuatro tiempos de ocupacin incompletos habramos obtenido:

h = 820 12 = 68.3 segundosSi el perodo de observacin hubiera sido ms largo que cinco minutos, la diferencia sera menor.

-5-

2. grupo

Una medicin especial durante una hora dio un estimado de la distribucin del trfico de un de cinco dispositivos. El resultado fue como sigue: 0 0.086 1 0.214 2 0.268 3 0.222 4 0.140 5 0.070

No. de circuitos ocupados Parte del tiempo

Cul fue el trfico cursado? Cul fue la congestin temporal si el grupo slo tena cinco circuitos? Cul fue el trfico ofrecido si podemos asumir que % (?

Cuntas llamadas seran rechazadas durante la hora, si asumimos que el tiempo promedio de ocupacin es h = 100 segundos ?

2.

SOLUCION Calculamos el trfico cursado de la frmula

$ =la cual da

S=

S[ S]

$

$ HUODQJ

El trfico cursado es:

Congestin de Tiempo .- De acuerdo a la medicin, todos los circuitos estaban ocupados 0.070 del tiempo, por tanto: E = 0.070 Trfico Ofrecido .- Tenemos que encontrar el trfico ofrecido, de la ecuacin:

$ ( $

RU $ > @

Despus de algunos intentos, encontramos

A = 2.500

Nmero de llamadas rechazadas.- Con el tiempo promedio de ocupacin = 100 segundos, encontramos que debera haber:

y=

A 2.5 = .3600 = 90 h 100

llamadas ofrecidas durante la hora. El nmero estimado de llamadas rechazadas es entonces:

\ ( = 90 0.070 = 6.3 llamadas

-6-

3.

El trfico en un grupo de circuitos se midi explorando cada 30 segundos durante un perodo de dos horas. El contador se lea cada 30 minutos, sin reinicializarlo. El contador fue puesto en cero al comienzo de la medicin. Determine la hora pico y el trfico cursado durante esta hora! Cul es el error estndar del trfico ofrecido observado?. (El tiempo promedio de ocupacin fue de dos minutos). Tiempo 9:30 10:00 10:30 11:00 Lectura 1 2 3 4 Valor 172 434 622 848

3.

SOLUCION Los resultados de la exploracin por cada media hora fueron: Tiempo 9:00 - 9:30 9:30 - 10:00 10:00 - 10:30 10:30 - 11:00 Contador 172 262 188 226

La hora ms alta es 9:30 - 10:30. Durante ese tiempo las exploraciones dieron 262 + 188 = 450. Se hace una exploracin cada 30 segundos, de modo que habr 120 exploraciones/hora. El trfico cursado es entonces $ HUODQJ. Error estndar $ Usamos la frmula (5.5) 7 K

=

$ H K + K K 7 H

para

y encontramos

= y =

El error estndar es = 0.50 , entonces podemos escribir el resultado como $

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4. En un grupo de disponibilidad total se hace una medicin, mediante exploraciones de tres minutos para el perodo de 8 a.m. - 12: a.m., durante 10 das de trabajo. Para este grupo de circuitos, se encuentran los siguientes totales de 15 minutos (sumados para los 10 das): 340 400 430 440 500 480 470 450 450 435 400 380 365 350 310 340

Asumimos que ste es un sistema de prdida Erlang y que los tiempos de ocupacin son distribuidos exponencialmente con la media = dos minutos. a. b. c. Encuentre la hora pico consistente. Encuentre el valor esperado (media) del trfico cursado durante la hora pico. Encuentre la varianza del trfico medido (intensidad) cuando este valor se obtiene por: i) exploracin ii) observaciones continuas Encuentre el intervalo de confianza de 95% de la intensidad de trfico.

d. 4. a.

SOLUCION La hora pico se determina al sumar cuatro resultados consecutivos de 15 minutos, escogiendo los cuatro valores ms altos. En este caso 500 + 480 + 470 + 450 = 1900. Estos son los perodos, de 15 minutos, 5to. 6to. 7mo. y 8vo. y la hora pico es de 9:00 - 10:00 a.m. La suma promedio para un da (una hora pico) es 1900/10 = 190. Este es el total de 60/3 = 20 exploraciones, por tanto, el resultado promedio por exploracin es 190/20 = 9.50. El trfico promedio para los 10 das es 9.50 erlang. La varianza del trfico medido por exploraciones puede calcularse de la frmula:

b.

c.

=donde A = 9.5 T = 10 horas

$ H + K 7 H K

K

h = 3/60 horas (intervalo de exploracin) s = = 2/60 horas (tiempo de ocupacin promedio) as

K =

K = = V

Entonces obtenemos Si hubisemos medido $

=

=

Erlang mediante observacin continua, la varianza se calcula de la frmula

= $ V 7donde $ (distribucin exp) horas KRXUV

V 7

-8-

d. Los intervalos de confianza del 95% se hallan multiplicando el error estndar por 1.96. Consecuentemente. < $ < para exploracin < $ < para observaciones continuas

Comentario: El clculo de los errores estndar se basa en el supuesto que cada una de las 10 observaciones diarias, son muestras de la misma poblacin con la misma media. Esto generalmente no es cierto, ya que el trfico vara. Por ejemplo, si los 10 valores se tomaron en dos semanas consecutivas, de lunes a viernes, sabemos que ciertos das de la semana tienen sistemticamente trfico ms alto que otros. Por otro lado, si los 10 valores fueran obtenidos el mismo da de la semana durante 10 semanas consecutivas, sabemos que ste es un perodo suficientemente largo para apreciar las variaciones estacionales. De aqu sigue que no hay porqu usar tanta matemtica para determinar la exactitud de la medicin.

-9-

5. El nmero de llamadas que llega a un grupo de dispositivos en un sistema telefnico se grab en un contador. El contador se ley cada tres minutos. Obtuvimos los siguientes valores durante la hora pico: 16 a. b. c. 13 21 17 23 22 13 18 23 21 19 18 19 28 23 22 20 29 17

Calcule el valor medio (valor esperado) del nmero de llamadas entrantes cada dos minutos. Calcule la varianza del nmero de llamadas entrantes cada dos minutos. Estime el intervalo de confianza de 95% de la intensidad de llamada.

5.

SOLUCION a. Se suma el nmero total de llamadas durante la hora: 398 llamadas/hora. Consecuentemente, durante un perodo de dos minutos habra un promedio de 398/30 = 13.27 llamadas. Si consideramos un perodo singular de dos minutos, podemos usar las estadsticas dadas por intervalos de tres minutos para estimar la varianza por intervalo de dos minutos. Otro mtodo sera el de aplicar una distribucin estadstica apropiada. Los 20 valores para los perodos de tres minutos dieron: la media = 19.9 la varianza = 17.88

b.

Asumiendo que el nmero de llamadas en un perodo de dos minutos est distribuida segn Poisson, tenemos: la media = 13.27 varianza = 13.27

Este es un lmite superior para la varianza. Esta se reducira un poco con ms anlisis estadstico c. A los lmites de 95% de confianza para los perodos de dos minutos, se llega multiplicando el error estndar por 1.96. El error estndar es: = = Por tanto, los lmites de confianza de 95% para el nmero de llamadas por cada perodo de dos minutos es: < \ < !

Esto significa que en uno de 20 casos, el nmero de llamadas por perodo de dos minutos puede caer fuera de este intervalo, sin contradecir nuestra hiptesis.

- 10 -

6.

El nmero de llamadas cursadas por un grupo de circuitos se cuentan en intervalos de 10 minutos durante una hora y el tiempo promedio tiempo de ocupacin es de 3 minutos. El nmero de llamadas en progreso simultneamente era: 13, 10, 15, 10, 12

a. b. c. d.

Encuentre el trfico cursado. Encuentre el nmero promedio de llamadas durante la hora. Encuentre el nmero de llamadas durante un perodo de tres minutos. Qu exactitud tiene la medicin.

6.

SOLUCION a. b. El nmero promedio de ocupaciones es 72/6 = 12, entonces el trfico cursado es $ El nmero esperado de ocupaciones durante una hora es .

\

$ K

El nmero de llamadas ofrecidas al grupo puede ser mayor, ya que no conocemos la congestin. c. El nmero de ocupaciones durante un perodo de tres minutos es 240/20 = 12 llamadas. Ahora, el nmero de llamadas por tiempo medio de ocupacin es igual al valor del trfico ofrecido en erlangs. Ya que no conocemos el trfico ofrecido, no podemos estimar el nmero de llamadas ofrecidas al grupo por tiempo medio de espera. Puede ser ms de 12. d. Calculamos la exactitud aplicando la frmula

=

$ H + K 7 H

con A = 12 s =

T = 1

h

=

10 minutos

=

1/6 hora

3 minutos =

K

KV

=

=

El intervalo de confianza de 95% es entonces $

- 11 -

7.

En un grupo de disponibilidad total de 10 circuitos, se observ que la carga del ltimo circuito era de 0.05 erlang durante una hora. Cmo estima usted el trfico ofrecido al grupo?

7.

SOLUCION Si asumimos distribucin Erlang , la carga en el dcimo circuito es:

D = $ ( ( $ ( $ )As podemos probar diferentes valores de A, hasta que se cumpla con D = $ 4 5 4.5 4.3 4.35

D0.0321 0.0954 0.0588 0.0469 0.0498

El trfico ofrecido es casi 4.35 erlangs. El valor medido erlang es, sin embargo, un estimado pobre del trfico, por lo que no podemos confiar en el valor anterior.

- 12 -

8.

Una ruta de larga distancia entre dos ciudades grandes A y B, tambin se usa para el trnsito a otras seis ciudades ms pequeas. Si queremos encontrar la dispersin de las llamadas con 90% de certeza y 90% de intervalo de confianza, cuntas llamadas de A hacia B deben analizarse? La dispersin es aproximadamente como sigue: Ciudad B C D E F G H % de llamadas 60 10 10 4 6 5 5

8.

SOLUCION La precisin de tal estadstica de llamadas es menos satisfactoria para la proporcin menor. La parte crtica, consecuentemente, son las llamadas a la ciudad E. Simbolizamos: n = nmero total de observaciones en la ruta A B x = nmero de llamadas a E p = proporcin desconocida de llamadas a E, luego, p = x/n La varianza v = p(1-p)/n desviacin estndar = Y

Asumimos a priori que la proporcin de 4% es correcta. Entonces, el intervalo de confianza del 90% es:

3 { < [ Q = S < + } = La longitud del intervalo de confianza es De acuerdo con los requerimientos establecidos, a este intervalo de confianza no se le permite exceder del 10% de 4% = 0.004. Entonces podemos entonces calcular n, si establecemos p = 0.04.

S S Q

Q

Q

=

Consecuentemente, es necesario analizar 26,000 llamadas en la ruta AB para llegar a la precisin deseada en la ruta ms corta. Comentario Si la ruta AB porta 100 Erlang en la hora pico y el tiempo promedio de ocupacin es de tres minutos, habr 2000 llamadas por hora pico. Si el estudio se limita a las horas pico, las observaciones deben cubrir 13 horas pico. Si las observaciones se hacen en el transcurso de todo el da, podemos esperar casi 16,000 llamadas por 24 horas. Entonces, podr ser suficiente con dos das de mediciones. Puede, sin embargo, cuestionarse si la dispersin de llamadas es realmente la misma durante todo el da y para la hora pico. Diferentes categoras de abonados pueden usar la ruta. De acuerdo a las observaciones efectuadas durante 13 horas pico, uno puede preguntarse si los resultados sern o no influidos por variaciones estacionales. Slo estudios extensivos pueden responder estas preguntas. Lo que puede suceder en realidad es que la administracin reduzca el nmero de llamadas a ser analizadas y acepte una precisin menor en las rutas ms pequeas. Puede tratar de obtener informacin complementaria para la ruta ABE en la central E.

- 13 -

9. Se conect un medidor, con el fin de recibir un impulso cada seis segundos cuando un grupo estuviera completamente ocupado. Durante cierta hora el contador del medidor se increment de 2430 a 2439. Cul fue la congestin de tiempo?

9.

SOLUCION

El medidor indica que todos los circuitos estuvieron ocupados durante 9 x 6 = 54 segundos. La congestin de tiempo fue, por tanto,

E=

54 = 0.015 3600

Para estimar la precisin de este valor, debemos conocer el trfico, el nmero de circuitos y el tiempo promedio de ocupacin del grupo. 10. Un grupo de 40 circuitos se conecta a un medidor Ah. Las resistencias usadas son 100 k -ohm y el voltaje es de 50v. Cuntos circuitos estn ocupados si la corriente hacia el medidor Ah es 10 mA? Qu error se introduce si el voltaje sube a 52 v? 10. SOLUCION La corriente por circuito es

,=

50 = 0.005 $ = 0.5P$ 100000

Si la corriente resultante es 10mA, evidentemente hay 10/0.5 = 20 circuitos ocupados. Si el voltaje es 52 V, entonces la corriente por dispositivo es 0.52 mA. El valor 10 mA, entonces, corresponde a 10/0.52 = 19.23, lo cual significa que subestimaremos el trfico si el medidor se calibra para 50v. 11. Durante una hora se hicieron tres tipos de mediciones sobre un grupo de circuitos. a. Cada 36 segundos (comenzando en t = o) se explora el nmero de ocupaciones y se aaden al contador A. b. Cada 2 segundos (comenzando en t = o) se explora el grupo. Si todos los dispositivos estn ocupados, el contador B se mueve un paso. c. El nmero de llamadas se registra en el contador C. Las lecturas son: Contador Contador Contador A: B: C: 1500 54 500

Estime el trfico cursado, el tiempo promedio de ocupacin y la congestin de tiempo! 11. SOLUCION

La exploracin se ejecuta cada 36 segundos. Consecuentemente, hay 100 exploraciones/hora. El trfico cursado es: $ El grupo tuvo 500 ocupaciones, entonces el tiempo promedio de ocupacin es:

K=

$ 15 = 3600 = 108 segundos \ 500

Cada dos segundos, el contador B revisa si el grupo est completamente ocupado. El tiempo de congestin es 542 = 108 segundos y la congestin de tiempo E = 108/3600 = 0.03.

- 14 -

12. En el pas Ut-O-Pa, la administracin de telecomunicacin decidi aplicar la recomendacin CCITT E 500 para mediciones en relaciones automticas internacionales. Ellos la aplicaron en una ruta nacional de larga distancia (STD). Durante un ao se registr el trfico de hora pico cada da de trabajo normal. Encuentre cuntos circuitos seran requeridos si se aplicaran los estndares de grado de servicio de la CCITT (ahora UIT-T). Los registros del ao fueron los siguientes, despus de descartar los registros dudosos y errados: Enero: 33 Febrero: 43 Marzo: 51 Abril: Mayo: Junio: Julio: 48 60 55 39 37 49 42 49 51 58 26 28 42 54 57 68 43 43 56 60 66 54 38 35 36 59 60 58 48 45 46 64 56 48 30 28 41 50 64 73 46 38 59 47 66 55 25 27 45 45 52 62 33 39 45 60 65 59 31 35 44 53 56 61 38 53 55 63 57 44 43 32 48 64 56 66 26 46 61 56 63 36 53 66 61 60 69 59 70 52 51 30 49 52 57 63 45 40 55 40 50 45 53 40 53 51 45

Agosto: 21 Septiembre: Octubre: 48 Noviembre: Diciembre:

Encuentre los 30 y 5 valores ms altos durante el ao y estime cuntos circuitos se requeriran:

12.

SOLUCION

Hay 112 valores dados en la tabla, de los cuales slo interesan los 30 ms altos. Subraye el valor ms alto para cada mes. Subraye todos los valores Subraye todos los valores

60: 57:

Hay 24 Hay 33 Hay 2

Cuente cuntos valores son = 57: Excluya un valor = 58 y quedan 30. Sume el resto: Indique los valores.

La suma es 1887 y.. $

"

68:

Ellos son 68, 73, 69, 70 Ellos son 66, 66, 66

Busque un valor = 67 66:

La suma de los ms altos es = 346 y A 5 = 69.2

- 15 -

Enero: Febrero Marzo Abril: Mayo: Junio: Julio: Agosto: Septiembre: Octubre: Noviembre: Diciembre:

33 43 51 48 60 55 39 21 42 48 57 68

37 49 42 49 51 58 26 28 36 54 60 58

43 43 56 60 66 54 38 35 41 59 64 73

48 45 46 64 56 48 30 28 45 50 52 62

46 38 59 47 66 55 25 27 44 45 56 61

33 39 45 60 65 59 31 35 48 53 56 66

38 53 55 63 57 44 43 32 46 64 56 63

30 49 52 57 63 45

40 50 45 53

45

40 53 51

40

55

26 36 61 66 61 52 53 60 69 59 70 51

La condicin ( requiere n = 78 circuitos, mientras la condicin ( requiere slo n = 72 circuitos, lo que lleva a la suposicin de que la congestin es alta para el valor ms alto, ya que slo se mide el trfico cursado." $

Sin embargo, si tomamos en cuenta que tratamos con trfico cursado, nuestro estimado para el trfico ofrecido debera ser:

$ = $

obtenemos Q obtenemos Q

$ = $

Por tanto, la ruta debera haber tenido 79 circuitos. Nota De las estadsticas observamos que ciertos meses tienen trfico muy bajo. El valor ms alto para cada mes es: Enero: Febrero: Marzo: Abril: Mayo: Junio: 48 53 59 64 66 59 Julio: Agosto: Setiembre: Octubre: Noviembre: Diciembre: 39 35 52 64 66 73

Los meses ms bajos son julio y agosto y el ms alto es diciembre. Esto refleja cierto patrn de variacin estacional. Tambin es posible que la tendencia general de incremento con el tiempo est incluida en los valores.

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13. Considere de nuevo los datos de trfico dados en el ejercicio No. 3, en Bcx/2.3, el cual provee 3 x 12 valores mensuales de trfico. Asumimos que los valores individuales en la tabla son los resultados de mediciones mensuales, realizadas en base a una rutina definida. Discuta qu rutina de medicin mensual debera aplicarse para obtener cifras representativas para pronsticos. Qu datos seran ms apropiados para el planificador si l fuese a prever anticipadamente el trfico de cinco aos?. TRAFICO TOTAL DE ORIGEN MES Enero: Febrero: Marzo: Abril: Mayo: Junio: Julio: Agosto: Septiembre: Octubre: Noviembre: Diciembre: 13. SOLUCION 1979 38.6 37.9 42.1 40.6 40.1 38.1 37.7 39.9 40.4 40.7 40.8 42.2 1980 39.4 43.7 48.7 43.8 40.2 42.6 41.1 44.2 41.0 43.8 41.8 49.5 1981 45.6 46.2 47.2 46.2 45.6 48.5 44.4 47.4 49.1 48.7 45.0 49.5

Los valores de trfico dados en la tabla, se obtienen conforme a una rutina de medicin dada. Los registros, entonces, han sido tomado en base a una rutina definida. Podemos por tanto entender, que las cifras mensuales son el resultado de ms de una medicin de hora pico por mes. Una prctica muy comn es medir la hora pico de una semana por mes y tomar el promedio de estos registros como valor representativo del mes. Esto es aceptable si se escoge la semana ms alta y los valores individuales de trfico no varan mucho. Esta es una prctica en la que existe el riesgo de que los valores ms altos del mes no se distingan en el valor mensual de trfico presentado. La proyeccin se hace a fin de evitar congestin muy alta con mucha frecuencia. El planificador est, por tanto, interesado en los valores ms altos de trfico que ocurren cada ao. En consecuencia, no le es muy til esconder esos valores en promedios. Es mejor para l tener una lista de los 10 - 20 valores de trfico ms altos observados durante el ao. Esta lista sera complementada con la congestin observada, etc. en estas ocasiones Esto define una prctica de medicin fiable! Podemos analizar las cifras dadas para encontrar cules pueden ser la ms tiles para el planificador: Si se suman las filas y las columnas de la tabla, obtenemos el siguiente resultado. MES Enero Febrero: Marzo: Abril: Mayo: Junio: Julio: Agosto: Septiembre: Octubre: Noviembre: Diciembre TOTALES 1979 38.6 37.9 42.1 40.6 40.1 38.1 37.7 39.9 40.4 40.7 42.8 42.2 479.1 1980 1981 39.4 45.6 43.7 46.2 48.7 47.2 43.8 46.2 40.2 45.6 42.6 48.5 41.1 44.4 44.2 47.4 41.0 49.1 43.8 48.7 41.8 45.0 49.5 49.5 519.8 563.4 1.085 1.084 TOTAL 123.6 127.8 138.0 130.6 125.9 129.2 123.2 131.5 130.5 133.2 127.6 141.2 1562.3

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La suma de todos los valores mensuales de cada ao, muestra que su suma o promedio aumenta progresivamente anualmente; 8.5 y 8.4% por ao. Tambin vemos que los valores de diciembre son los ms altos del ao y que otros ciertos meses parecen dar casi siempre valores bajos. Esto se confirma an ms si calculamos la relacin entre cada valor y su media anual: MES Enero: Febrero: Marzo: Abril: Mayo: Junio: Julio: Agosto: Setiembre: Octubre: Noviembre: Diciembre: 1979 0.967 0.949 1.055 1.017 1.004 0.954 0.994 0.999 1.012 1.019 1.022 1.057 1980 0.910 1.009 1.124 1.011 0.928 0.984 0.749 1.020 0.947 1.011 0.965 1.143 1981 0.971 0.984 1.005 0.984 0.971 1.033 0.946 1.010 1.046 1.037 0.959 1.054 PROMEDIO 0.949 0.981 1.061 1.004 0.968 0.990 0.946 1.010 1.001 1.023 0.982 1.085

Es evidente que las mediciones en ciertos meses son casi siempre ms bajas que en otros, al menos en los valores mensuales presentados aqu! Pueden ser promedios de un nmero de mediciones. En un promedio de mes bajo, como julio, pueden esconderse algunos valores altos inusuales. Concluimos que los valores de diciembre son los ms interesantes para encontrar los valores ms altos durante el ao. Estos valores deberan, por tanto, darse al planificador, si los registros individuales de hora pico no estuviesen disponibles. Ahora asumimos que estamos al comienzo de 1982. Sabemos que el planificador va a proyectar el trfico hasta 1987. Ms an, sabemos que tres aos de material histrico es muy pobre para basar un pronstico de cinco aos. (Pero es suficiente para diciembre de 1983). Deberamos, por tanto, tratar de encontrar los registros de aos anteriores, 1978, 1977, etc. En lo concerniente al incremento anual, vemos que el trfico medio aumenta cada ao de 8.4 a 8.5%. Como coincidencia, encontramos que los valores de diciembre desde 1979 a 1981 tambin se incrementaron en 8.3%, si hacemos caso omiso al valor de 1980. Por tanto, es probable que el planificador estime tal incremento en su proyeccin. OBSERVACION: Los datos aqu presentados son un ejemplo tpico del tipo de datos dados a los planificadores. Antes de llevar a cabo la medicin para tomar los registros con propsitos de pronstico, es recomendable discutir el problema con el planificador.

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14. En el pas vecino de Teleria se hicieron mediciones en ocho rutas, tal como se muestra en la tabla de abajo. Revise los registros e indique si alguno de los datos es errneo. Observaciones sobre algunos grupos troncales de Teleria 18 de agosto 1980; Grupo troncal 1 2 3 4 5 6 7 8 14. No. de circuito s 18 24 36 10 20 16 75 75 Trfico observado Erlangs 10.51 12.03 24.5 11.52 18.6 5.0 68.0 60.0 Congestin observada % 1.8 12 6.8 10.5 31.5 0 4 2.1 No. de ocupaciones 300 827 503 27 1865 148 2101 1487 9:30 - 10:30 Reclamos Otras observaciones

Ning. S Ning. Ning. Ning. S Ning.

Trabajo de instal. en ejec.

Tasa de llamadas completadas baja

SOLUCION

Antes de aceptar los registros como correctos, podemos hacer algunas verificaciones. Son verificaciones sencillas: a. Es A < n ?

Son los tiempos promedios de ocupacin crebles? Coincide la congestin medida con el valor terico esperado?

Trfico cursado registrado, comparado con el nmero de circuitos. La ruta nmero 4 tiene A = 11,52 erlang en n = 10 circuitos, lo cual es imposible. Este registro no es correcto. En todos los otros casos A < n. El clculo de los tiempos promedio de ocupacin da los siguientes resultados: Ruta 1 2 3 4 5 6 7 8 h 126 seg. 52 175 1536 36 122 117 145 Credibility OK ? OK NO ? OK OK OK

b.

Excepto la ruta nmero 4, los tiempos de ocupacin para las rutas nmeros 2 y 5 son excepcionalmente bajos, lo cual puede significar que hay algn error en los registros o averas tcnicas en la ruta. c. Calculamos el valor terico de la congestin y lo comparamos con las prdidas registradas. Asumimos que todas las rutas son grupos de disponibilidad total y aplicamos la primera frmula de Erlang. Para hacerlo, debemos encontrar el trfico ofrecido desde el trfico cursado observado y el nmero especfico de circuitos. Calculamos tambin el nmero esperado de llamadas perdidas y su intervalo de confianza de 95% y lo comparamos con el nmero observado. Asumimos que el nmero de llamadas rechazadas, x , es de distribucin poissoniana, con el error estndar = [ . El intervalo de confianza es entonces:

([

[ [ + [

)

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se calcula x

para el nmero especfico de ocupaciones siendo y el nmero de llamadas perdidas.

[ = ( \ + [) ( Q $ Route 1 2 3 5 6 7 8 n 18 24 36 20 16 75 75 A 10.51 12.03 25.50 18.60 5.00 68.00 60.00 A 10.63 12.04 24.76 30.03 5.00 73.65 60.00 En(A) 0.0115 0.0008 0.0069 0.3806 0.00005 0.0767 0.0096 x 3.49 0.68 3.49 1146 0.007 175 14.5

[=xmin-xmax 0 - 7.2 0 - 2.3 0 - 7.2 1080 - 1212 0 - 0.2 149 - 200 7.0 - 22.0

\ (Q $ (Q $ xOBS 5.5 113 37 858 0 88 32 Coment. OK ? - NO ? - NO ?-? OK ? - NO ?-?

Ahora podemos resumir el resultado de las tres verificaciones hechas: Ruta 1 2 3 4 5 6 7 8 A < n OK OK OK NO OK OK OK OK h? OK ? OK NO ? OK OK OK E OK NO NO -? OK NO ? Conclusin OK NO NO NO NO OK NO NO

En consecuencia, los registros de las rutas nmeros 1 y 6 parecen ser correctos; todos los otros registros son dudosos. Si regresamos a la tabla dada, vemos que realmente hubo quejas en las rutas 2 y 7. Tambin est anotado en la tabla que la tasa de complecin era baja en la ruta nmero 8. Entonces, para esas tres rutas se esperaba que pudiera haber algo incorrecto. De nuestras comprobaciones obtuvimos adems, que los registros de las rutas 3, 4 y 5 no eran correctos. Eplogo La verificacin de los registros de trfico ocasionaron que la administracin empezara con la bsqueda de averas. Luego de limpiar las rutas de perturbaciones, el trfico se sirvi sin quejas durante algn tiempo.

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15. Un jueves, durante la hora pico, ocurrieron seis errores en una central. Se consider que era demasiado, as que el mircoles se hicieron ciertos ajustes. El jueves siguiente, durante la hora pico, ocurrieron dos errores. Asuma que el trfico ofrecido a la central en ambas horas pico es la misma y que la ocurrencia de error puede describirse por un proceso poissoniano. a. b. Es esta reduccin en el nmero de errores, evidencia una fiabilidad mejorada del sistema? La misma pregunta, si el nmero de errores fuese 22 antes y 9 despus de los ajustes.

15.

SOLUCION a. [ [!

Aplicamos la hiptesis de que ambos resultados provienen de la misma distribucin poissoniana, con la misma media. Podemos calcular la probabilidad de que una desviacin todava ms grande, pueda ocurrir los mismos (ambos) das, de la frmula: [ [ [ 3(>) = Y Y=

donde

[

[ [

[

[

Entonces obtenemos:

3(>) = ( ) + + =

No tenemos, por tanto, motivacin estadstica de que haya ocurrido una mejora. Deben tomarse ms estadsticas. b. [ [

Los nmeros son tan grandes que nos atrevemos a considerar la variable:

X=

[ [ [ + [

( [ > [ )

como normalmente distribuida (0, 1). Encontramos u = 2.16 lo cual significa que es una desviacin bastante grande de la media = 0. Para u = 1.96, tenemos 5% de probabilidad de una desviacin mayor. En este caso, podemos concluir que ocurri una mejora.