UNIVERSIDAD DE CHILE Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Eléctrica Área de Energía

CLASE AUXILIAR 24 DE MAYO DE 2006 – EL57A

Prof.: Rodrigo Palma B. Aux.: Juan Muñoz Tapia P1 (Despacho económico sin pérdidas) El siguiente SEP de la Figura está compuesto por 3 centrales cuyos costos variables son los que se indican a continuación:

G1: C1(P1)= 100 [US$/MWh] P1MIN = 0 [MW] (Central hidroeléctrica de pasada)

P1MAX = 20 [MW] G2: C2(P2)= 12 + P2 + 0.001P2

2 [US$/MWh] P2MIN = 35 [MW] (Central ciclo combinado G.N.)

P2MAX = 100 [MW] G3: C3(P3)= 500 + 0.5P3 + 0.005P3

2 [US$/MWh] P3MIN = 20 [MW] (Central termoeléctrica a carbón)

P3MAX = 200 [MW] D1=250 [MW] a) Calcule el despacho económico considerando un sistema uninodal b) Determine el costo marginal del sistema y el costo total de operación c) (PROPUESTO) Cuál es el despacho económico, costo marginal del sistema y costo de

operación si la potencia máxima que se puede transmitir por la línea L2 es de 70 [MW] d) (PROPUESTO) Debido a los cortes de gas natural proveniente de Argentina, la central de

ciclo combinado debe operar con combustible Diesel, con lo cual su función de costo aumenta al triple (C’2(P2)= 36 + 3P2 + 0.003P2

2 [US$/MWh]). Calcule el despacho económico y el costo marginal del sistema.

P2 (Despacho económico con pérdidas) Considere el SEP de la Figura:

G1: C1(P1)= 100 + 0.04P1 + 0.001P1

2 [US$/MWh] P1MIN = 0 [MW] (Central termoeléctrica a carbón)

P1MAX = 100 [MW] G2: C2(P2)= 25 + 0.01P2 + 0.0045P2

2 [US$/MWh] P2MIN = 50 [MW] (Central ciclo combinado G.N.)

P2MAX = 300 [MW] En torno al punto de operación: PL1 = 0.0035P1

2

PL2 = 0.0009P22

D1=200 [MW] a) Calcule el despacho económico considerando las funciones de pérdidas b) (PROPUESTO) Determine el costo marginal del sistema y el costo total de operación

Solución: Teoría: Despacho económico sin pérdidas y sin restricciones Se tiene centrales con funciones de costo de esta forma:

2iC (P )= + P + P [US$/MWh]i i i i i iα β γ

F.O.=F*= C (P ) + [D- P ]i i iλ∑ ∑ Lagrange:

i

i

F* = + 2 P 0P

+ P2 2

i ii

i

i i

β γ λ

β λγ γ

∂− =

∂

→ =

Sumando para todo i:

i1 1 1

1+ P 2 2

N N Ni

i i ii i

β λγ γ= = =

=∑ ∑ ∑ (1)

Además:

F* D- P 0iλ∂

= =∂ ∑ (2)

(1) y (2) => 1 1

1+ 2 2

N Ni

i ii i

Dβ λγ γ= =

=∑ ∑

Por lo tanto, se llega a:

1

1

+D2

1 2

Ni

i iN

i i

βγλ

γ

=

=

=∑

∑ (3)

2

ii

i

P λ βγ−

= (4)

Despacho económico con pérdidas y sin restricciones Pérdidas:

2i iL = P i δ∑

2

i iF.O.=F*= C (P ) + [D+ P - P ]i i iλ δ∑ ∑ ∑ Lagrange:

i i iF* = + 2 P 2 P 1 0P i i

i

β γ λ δ∂ ⎡ ⎤+ −⎣ ⎦∂=

=> ( )2

ii

i i

P λ βγ λδ−

=+

(5)

P1 a) Dos formas de resolver:

• La primera forma es utilizando las fórmulas (3) y (4): Como la central G1 es de pasada, se le asigna su máximo (Cmg=0) => P1 = 20 [MW] Por lo que se puede resolver un sistema con 2 centrales y una demanda D1=230 [MW]

=>

1 1 0.5 +2302 0.001 0.005 1.3

1 1 12 0.001 0.005

λ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Usando 2

ii

i

P λ βγ−

= se llega a:

P1 = 20 [MW] P2 = 150 [MW] ¡Viola Limite! P3 = 80 [MW] Por lo tanto, se restringe P2 = 100 [MW], con lo cual el nuevo λ :

=>

1 0.5 +(230-100)2 0.005 1.8

1 12 0.005

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

P1 = 20 [MW] P2 = 100 [MW] P3 = 130 [MW]

• La segunda forma es graficando las curvas de costo marginal

1

1

C =0P

∂∂

2

22

C =1 + 0.002PP

∂∂

3

33

C =0.5 0.01P

P∂+

∂

Graficando:

Con este gráfico se sospecharía que la central 2 debería ser más barata que la central 3 en el rango de operación, con lo cual se llegaría a lo siguiente: P1 = 20 [MW] P2 = 100 [MW] P3 = 130 [MW] ¿Cómo Confirmar esto? utilizando las condiciones de Kuhn-Tucker

1 0.5 +(250-20-100)2 0.005 1.8

1 12 0.005

λ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1

C =0 1.8P

λ∂< =

∂ => P1=P1MAX

2

2

C =1.2 1.8P

λ∂< =

∂ => P2=P2MAX

3

3

C =1.8P

λ∂=

∂ => P3MIN <P3<P3MAX

Kuhn-Tucker confirma el despacho

B) Costo marginal del sistema: λ = 1.8 Costo de operación real : CT = C1+C2+C3= 100 + 122 + 649.5 = 871.5

P2 A) PL = 0.0035P1

2 + 0.0009P22

Los despachos con perdidas se deben resolver iterando. De la ecuación (5) se obtiene que:

( )1

0.042 0.001 0.0035

P λλ

−=

+ (2.1)

=>( )

12

46.53060.285714

Pλ λ∂

=∂ +

(2.2)

( )2

0.012 0.0045 0.0009

P λλ

−=

+ (2.3)

=>( )

22

2783.335

Pλ λ

∂=

∂ + (2.4)

Se tiene además que:

(1 1T LçP D P P P∆ = + − + )2 (2.5)

i TP Pλ λ∂ ∆

=∂ ∆∑ (2.6)

Para elegir un punto de partida, lo optimo es realizar un despacho económico sin pérdidas, y de hay obtener λ . Una segunda opción, es elegir un λ al azar. ITERACIÓN 1: Sea 0λ =0.5 Reemplazando en (2.1) y (2.3) P1 = 83.63 [MW] P2 = 49.49 [MW] Utilizando (2.5)

( )2 21 2 1200 (0.0035* 0.0009* )

93.5561[ ]T

T

P P PP MW

∆ = + + − +

∆ =2P P

Además:

75.3719 92.011 167.383iPλ∂

= + =∂∑

Usando (2.6) 93.5561 0.558935167.383

λ∆ = =

=> 1 0 0.5 0.558935 1.058935λ λ λ= + ∆ = + = Con este nuevo λ se realiza una segunda iteración: ITERACIÓN 2: P1 = 108.253 [MW] P2 = 96.1789 [MW]

44.909[ ]TP M∆ = W

25.7348 75.8181 101.553iPλ∂

= + =∂∑

44.909 0.442223

101.553λ∆ = =

=> 2 1 1.50116λ λ λ= + ∆ = Como la central 1 esta sobre el margen, se fija P1=100 [MW] ITERACIÓN 3: P1 = 100 [MW] P2 = 127.427 [MW]

22.1871[ ]TP M∆ = W

3 65.8543Pλ

∂=

∂

22.1871 0.336965.8543

λ∆ = =

=> 3 2 1.83807λ λ λ= + ∆ =

ITERACIÓN 4 P1 = 100 [MW] P2 = 148.521[MW]

6.3311[ ]TP M∆ = W

2 59.5248Pλ

∂=

∂

6.3311 0.106374

59.5248λ∆ = =

=> 4 3 1.9444λ λ λ= + ∆ = ITERACIÓN 5 P1 = 100 [MW] P2 = 154.756 [MW]

1.7988[ ]TP M∆ = W

2 57.7152Pλ

∂=

∂

1.7988 0.031157.7152

λ∆ = =

=> 5 4 1.97561λ λ λ= + ∆ = P1 = 100 [MW] P2 = 156.546 [MW]