ejemplos claves de modelamiento

CONTROL MECATRONICO I

EJEMPLOS CLAVES DE MODELAMIENTO

Autor: MARCELO JAIME QUISPE CCACHUCO

Contenidos.

1.- Tarea propuesta en clases, masa-resorte-amortiguador.

2.- Sistema con 3 Opams bastante difcil. ***

3.- El pndulo invertido muy interesante

Sistemas mecatrnicos.

Diseo de Sistemas de control.

Ejemplos y problemas.

1.- Tarea propuesta en clases: masa-resorte-amortiguador

Hallar X1(s)/F(s)


Volviendo a dibujar


Volviendo a dibujar y al realizar el acomodo se observa queaparte de x1 y x2, tambin aparece una tercera referencia lacual llamaremos x0.

Realizando los DCL (Diagramas de Cuerpo Libre), tenemos 3 ecuaciones:

F k3(X2 X0) = m2X2 ....(1)

c1(X0-X1) + k2(X0-X1) = k3(X2-X0) ....(2)

m1X1 = -k0X1 k2(X1-X0) c1(X1X0) ..(3)


Revisin del bloque 1:

m1X1 = -k0X1 k2(X1-X0) c1(X1X0) ..(3)

c1(X0X1) + k2(X0-X1)- k0X1= m1X1 ..(3)

Si factorizamos el menos queda bien, ojo no se confundan cada quien tiene su mtodo.

m1


Simplificando y aplicando la transformada de Laplace:

En (1)

F - k3X2 + k3X0 = m2X2

m2X2 + k3X2 = k3X0 F

[m2S2 + k3] X2(s) = - k3 X0(s) F(s) ..(a)

En (2)

c1 [sX1(s) sX0(s)] + k2[X1(s)-X0(s)] = k3 [X0(s) X2(s)]

X2(s) = [(c1s + k2 + k3)X0(s) (c1s + k2)X1(s)] / k3 ..(b)

En (3)

m1X1 + c1X1 + k0X1 + k2X1 = c1X0 + k2X0 X0(s) = [(m1S

2+c1s+k0+k2) / (c1s+k2)] X1(s) ..(c)


Ahora se resolver con la ayuda del matlab, si se consideraque tenemos 3 ecuaciones linealmente independientes, alordenarlo de la sgte. Forma AX=B, luego se despeja el vectorX:

Paso 1: Ordenamos de la siguiente manera:

[m2S2 + k3] X2(s) + k3 X0(s)= F(s) ..(a)

k3 X2(s) -(c1s + k2 + k3)X0(s) + (c1s + k2)X1(s)=0 ..(b)

0+X0(s) (c1s+k2) -(m1S2+c1s+k0+k2) X1(s)=0 ..(c)


Ahora se resolver con la ayuda del matlab, si se considera quetenemos 3 ecuaciones linealmente independientes, alordenarlo de la sgte. Forma AX=B, luego se despeja el vector X:

Paso 2: Armamos laa matrices A y B.[m2S

2 + k3] k3 k3 (c1s + k2 + k3) (c1s + k2)

0 (c1s+k2) (m1S2+c1s+k0+k2)

X2(s)

X0(s)

X1(s)

F(s)

0

0

Paso 3: Para usar el matlab, se declara el siguiente codigo:

syms F m s k3 k2 c k0

A=[m*s^2+k3 k3 0;k3 -k3-k2-c*s k2+c*s;0 k2+c*s -k2-c*s-k0-m*s^2];

B=[F;0;0]; Z=inv(A)*B


Entonces al correr el programa nos quedara:Z =

(F*(k0*k2 + k0*k3 + k2*k3 + c*m*s^3 + k2*m*s^2 + k3*m*s^2 + c*k0*s + c*k3*s))/(2*k0*k3^2 + 2*k2*k3^2 + 2*c*k3^2*s +c*m^2*s^5 + k2*m^2*s^4 + 2*k3^2*m*s^2 + k3*m^2*s^4 + k0*k2*k3 + c*k0*k3*s + c*k0*m*s^3 + 2*c*k3*m*s^3 + k0*k2*m*s^2+ k0*k3*m*s^2 + 2*k2*k3*m*s^2)

(F*k3*(m*s^2 + c*s + k0 + k2))/(2*k0*k3^2 + 2*k2*k3^2 + 2*c*k3^2*s + c*m^2*s^5 + k2*m^2*s^4 +2*k3^2*m*s^2 + k3*m^2*s^4 + k0*k2*k3 + c*k0*k3*s + c*k0*m*s^3 + 2*c*k3*m*s^3 + k0*k2*m*s^2 + k0*k3*m*s^2 +2*k2*k3*m*s^2)

(F*k3*(k2 + c*s))/(2*k0*k3^2 + 2*k2*k3^2 + 2*c*k3^2*s + c*m^2*s^5 + k2*m^2*s^4 +2*k3^2*m*s^2 + k3*m^2*s^4 + k0*k2*k3 + c*k0*k3*s + c*k0*m*s^3 + 2*c*k3*m*s^3 + k0*k2*m*s^2 + k0*k3*m*s^2 +2*k2*k3*m*s^2)

>> pretty(Z)

| 3 2 2 |

| F (k0 k2 + k0 k3 + k2 k3 + c m s + k2 m s + k3 m s + c k0 s + c k3 s) |

| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |

| 2 2 2 2 5 2 4 2 2 2 4 3 3 2 2 2 |

| 2 k0 k3 + 2 k2 k3 + 2 c k3 s + c m s + k2 m s + 2 k3 m s + k3 m s + k0 k2 k3 + c k0 k3 s + c k0 m s + 2 c k3 m s + k0 k2 m s +k0 k3 m s + 2 k2 k3 m s |

| 2 |

| F k3 (m s + c s + k0 + k2) |

| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |

| 2 2 2 2 5 2 4 2 2 2 4 3 3 2 2 2 |


| F k3 (k2 + c s) |

| ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |

| 2 2 2 2 5 2 4 2 2 2 4 3 3 2 22 |



Al final ordenando se obtiene

la funcin de transferencia de

la siguiente manera:

2 2 2

2 2 2

Se pide lafuncin detransferenciarespecto a cadauna de lasentradas y lasalida respecto alas 2 entradas

2.- Problema con opams y 2 entradas.

Primerotrabajamos soloentre U1 y Uo,haciendo U2igual a 0, usamoslo queconocemos yseparamos entres partesporque hay 3opams enconfiguracininversora.

Olvidemonosde R20 y R30


3

2

1

8

4

U1:A

1458

5

6

7

8

4

U1:B

1458

3

2

1

8

4

U2:A

1458

R5

10k

R20100R

R30100R

R2

10k

R4

10k

R3

10k

R8

5k

R620k

R1

10k

C3

2u

C1

1u

C2

1u

U1

u2

Uo

A

B

C

Este caso ya es conocido por nosotros, (salida entre la entrada)

1

1

1

1

1 1

1


B

C

En esta parte se debe tener cuidado, ya que hay dos enytradasde corriente, por lo tanto hay q hacer otro analisis, pasando todoa lapalace.


3

2

1

8

4

U1:A

1458

R20100R

R2

10k

R1

10k

C3

C1

1u

U1

B

1

1

o

C

R6

En los puntos B, C, o, lo que se tiene es un voltaje, lo que sequiere es armar los bloques, para lo cual tenemos que ver lasuma de corrientes en el OPAM


3

2

1

8

4

U1:A

1458

R20100R

R2

10k

R1

10k

C3

C1

1u

U1

B

1

1

o

C

R6

1

i1

i2

i3

Por la segunda ley de Kirchoff (sumatoria de corrientes qentran= sumatoria de corrientes q entran)

0

0

0 !

Despejando VB!

-

Ahora todo lo pasamosa un diagrama de bloques en baseA la ecuacion anterior y lo q ya se obtuvo


3

2

1

8

4

U1:A

1458

R20100R

R2

10k

R1

10k

C3

C1

1u

U1

B

C

R6

1

i1

i2

i3

Por la segunda ley de Kirchoff (sumatoria de corrientes qentran= sumatoria de corrientes q entran) al final quedara de lasiguiente manera el diagrama de bloques


B

1

1

1

1

C

1

(-Z)

U1X U0

Finalmente usando toda nuestra habilidad para simplificarbloques obtenemos:

1

Un pndulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la figura 3-16(a).

ste es un modelo del control de posicin de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posicin es conservar el propulsor primario espacial en una posicin vertical.) El pndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier direccin, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aqu consideramos slo un problema en dos dimensiones, en el cual el pndulo slo se mueve en el plano de la pgina. Se aplica al carro la fuerza de control u. Suponga que el centro de gravedad de la barra del pndulo est en su centro geomtrico. Obtenga un modelo matemtico para este sistema.

Suponga que la masa m de la barra del pndulo es de 0.1 kg, la masa M del carro es de 2 kg y la longitud 2*l de la barra del pndulo es de 1 m, o bien,

3.- El Pendulo invertido.

Se pide la funcin de transferencia entre el ngulo y la fuerza u


Se pide la funcin de transferencia entre el ngulo y la fuerza u

D.C.L para M1

D EF G HIJ

En el otro eje no importa, porque no hay movimiento


Mu

HV

D.C.L para la barra

i) En el eje horizontal

D E

G H KL

KML I NOPQRii) En el eje vertical

D E

S TU T KL

KML NVWORiii) Respecto al centro de garvedad

DX YZ

G[\]R . N S]_`R . N T KL

KML R


H V

Ahora tenemos que aplicar la transformada de Lapalce considerando

las cndiciones iniciales

F G HIJG H K

L

KML I NOPQR

S TU T KL

KML NVWOR

G[\]R . N S]_`R . N T KL

KML R


Ahora tenemos que aplicar la transformada de Lapalce considerando

las cndiciones iniciales

F G HIJG H K

L

KML I NOPQR

S TU T KL

KML NVWOR

G[\]R . N S]_`R . N T KL

KML R

4.- Tanques hidraulicos y linealizacion.

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