Einfuhrung in die

Supersymmetrie (SUSY)

Martin Reitz

07.12.2010

Inhaltsverzeichnis

1 Das Standardmodell 31.1 Uberlick uber das Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Kritik am Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Erweiterungen des Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Supersymmetrie 92.1 Uberblick uber die Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Die Vorzuge der Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Herleitung von Generatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Die supersymmetrische Zukunft 133.1 Konsequenzen der Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Wird SUSY gefunden? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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Abbildungsverzeichnis

1.1 Teilchen des Standardmodells [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Erhaltungsgroßen des Standardmodells [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Zerfall eines Neutrons im Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Reaktion eines eines Protons (p) mit einem K−-Meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 τ -Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Yukawa Kopplung (hier als roter Vertex veranschaulicht) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Theoretische Erzeugung von Higgs-Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8 Kopplungen im Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Compositness-Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 Ubersicht zu den sich bewahrten Theorien (Ausblick zu moglichen Vereinheitlichungen) [3] . . . . 8

2.1 Darstellung von Teilchen und ihren Superpartnern [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Kopplungen in der Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Feynman-Diagramm zum Squark-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Theoretische Erzeugung von Squarks, welche zum Neutralino zerfallen . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Theoretische Erzeugung von Smuon, welche zum Neutralino zerfallen . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Theoretische Erzeugung von Charginos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Chargino-Zerfall bis zum Neutralino (erste Moglichkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6 Chargino-Zerfall bis zum Neutralino (zweite Moglichkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.7 Chargino-Zerfall bis zum Neutralino (dritte Moglichkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.8 Theoretische Erzeugung von supersymmetrischen Teilchen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.9 Theoretische Erzeugung von supersymmetrischen Teilchen 2 [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.10 Theoretische Erzeugung von supersymmetrischen Teilchen 3 [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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1 Das Standardmodell

1.1 Uberlick uber das Standardmodell

Das Standardmodell hat im wesentlichen sechs Leptonen, sechs Quarks, acht Gluonen (starke Wechselwir-kung), drei Teilchen fur die schwache Wechselwirkung, ein Teilchen fur die elektromagnetische Wechselwirkungund ein Higgs-Teilchen.

Abbildung 1.1: Teilchen des Standardmodells [1]

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Alle Atome des Periodensystems, sowie aus ihnen aufgebauten Strukturen (z.B.: Molekule, Zellen, ...), sindaus den Teilchen der ersten Familie aufgebaut: Die den Atomkern bildenden Protonen und Neutronen bestehenaus Up-Quarks und Down-Quarks, die Elektronen der Atomhulle sind hingegen selbst Elementarteilchen derersten Familie. Die zweite und dritte Familie werden oft naherungsweise als Kopie der ersten Familie mit große-rer Masse und ansonsten identischen Eigenschaften der Teilchen beschrieben. So verhalten sich alle Neutrinos,alle up-artigen Quarks, down-artigen Quarks und geladenen Leptonen gleich. Die einzigen Unterschiede liegenin der Masse, was dazu fuhrt, dass nur die erste Familie stabil ist. Die Existenz einer weiteren Familie, mitentsprechenden noch nicht experimentell nachgewiesenen Elementarteilchen, kann nicht ausgeschlossen werden.Ein Experiment am Large Electron-Positron Collider, welches das mogliche Vorhandensein weiterer Familienuntersuchte, schloss eine vierte Familie zu 98% aus.Die Erhaltungsgroßen des Standardmodells sind nach Energie, Impuls, Drehimpuls und Ladung auch Baryon-zahl, Leptonenzahl, usw.. Sie geben vor, welche Teilchenprozesse erlaubt sind, und welche nicht. Nach derEntdeckung neuer Teilchen, die das Pauli-Prinzip verletzen, wurde eine neue Erhaltungsgroße eingefuhrt - dieFarbladung, welche von Quarks und Gluonen getragen wird. Zu jedem Teilchen gibt es ein Anti-Teilchen. (Bei-spiel: Up-Quark: u ; Anti-Up-Quark: u )

Abbildung 1.2: Erhaltungsgroßen des Standardmodells [2]

In der Teilchenphysik benutzt man oftmals Feynman-Diagramme, um Reaktionen und Zerfalle zu visua-lisieren. In diesen Diagrammen stecken viele Informationen (u.a. Erhaltungsgroßen), so dass alle Terme derStorungstheorie der QFT erkennbar sind. Als Beispiel betrachten wir ein Neutron (udd), welches durch schwa-che Wechselwirkung (W−) in ein Proton (uud), ein Elektron (e−) und ein Elektron-Neutrino (νe) zerfallt.

Abbildung 1.3: Zerfall eines Neutrons im Standardmodell

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Es gibt in der Teilchenphysik einen ganzen”Zoo an Teilchen“, darunter viele Mesonen und instabile Baryo-

nen. Ein Meson besteht immer aus einem Quark und einem Anti-Quark, ein Baryon hingegen aus drei Quarks.Meistens zerfallen instabile Baryonen sehr komplex. Hierzu ein Beispiel einer Reaktion eines Protons (p) miteinem K−-Meson, die zur Entdeckung des Ω−-Baryon (sss) fuhrte.

Abbildung 1.4: Reaktion eines eines Protons (p) mit einem K−-Meson

Massive Teilchen, wie zum Beispiel das τ , konnen in verschiedene Teilchen zerfallen. Das τ -Lepton kann inein τ -Neutrino und zum Beipiel in ein µ und ein µ-Anti-Neutrino zerfallen; oder auch in ein τ -Neutrino, einDown-Quark (mit der Farbladung

”Blau“) und ein Anti-Up-Quark (

”Anti-Blau“).

Abbildung 1.5: τ -Zerfall

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Das Standardmodell beinhaltet außerdem ein Teilchen, das Higgs-Boson, welches bis jetzt noch nicht nachge-wiesen wurde. Das Higgs soll eine Erklarung fur die Masseneigenschaften von Fermionen liefern. Dies geschiehtdurch die Yukawa-Kopplung, welche den Vertex zwischen Higgs und einem Fermion beschreibt.

Abbildung 1.6: Yukawa Kopplung (hier als roter Vertex veranschaulicht)

Das Higgs soll indirekt uber eine hochenergetische Photonenkollision, aus der ein tt-Paar und ein Higgsentstehen, nachgewiesen werden. Hierfur musste das Higgs die doppelte Masse eines top-Quarks haben, so dassdieses dann in ein weiteres tt-Paar zerfallen kann. Da diese Energien noch nicht erreicht wurden, ist das Higgsbis heute nicht nachgewiesen.

Abbildung 1.7: Theoretische Erzeugung von Higgs-Teilchen

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1.2 Kritik am Standardmodell

Das Standardmodell ermoglicht im Prinzip prazise Vorhersagen. Allerdings wird die Gravitation nichtberucksichtigt. Außerdem gibt es zuviele freie Parameter (mindestens 18) fur Massen, Kopplungen, usw..Auch kann das Standardmodell die Materie-Antimaterie-Asymmetrie nicht erklaren, sowie das Hierar-chieproblem, also den extremen Unterschied der fundamentalen Skalen, nicht losen. Das Problem zeigt sichauch dadurch, dass die elektroschwache Theorie (bei ca. 100GeV bis 1TeV) und die Plankskala, welche den Be-reich beschreibt, in dem Quanteneffekte der Gravitation wichtig werden, (bei ca. 1019GeV) sehr weit auseinanderliegen.

Die Kopplungen der fundamentalen Krafte treffen sich, bei hohen Energien von ca. 1016 GeV,nicht. Die Kopplungskonstanten werden mit α und den jeweiligen Indize gekenntzeichnet.

Auch die Higgs-Masse stellt im Standardmodell ein Problem dar, denn diese wurde sich fur naturliche Teil-chen bei einer Plankmasse befinden: MP = 1√

GN≈ 1019GeV (GN :Wechselwirkungskonstante der Gravitation).

Hingegen musste ein Higgs fur die elektroschwache Wechselwirkung eine Masse von 80GeV haben (MW =80GeV).Dieses Problem wird Naturlichkeitsproblem oder auch fine-tuning-problem genannt.

Das Standardmodell lasst außerdem keine Neutrinos mit Masse zu. Da aber nach Experimenten bewiesenwurde, dass Neutrinos eine Masse besitzen, besteht hier Klarungsbedarf.

Abbildung 1.8: Kopplungen im Standardmodell

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1.3 Erweiterungen des Standardmodells

Um die in Kapitel 1.2 angesprochnenen Probleme zu losen, muss das Standardmodell erweitert werden.Hierfur gibt es viele Ansatze wie zum Beispiel Compositness, Great Unified Theories und neue Symmetrien.

Unter Compositness versteht man, dass Quarks und eventuell die anderen Elementarteilchen aus weiterenTeilchen,

”Preons“, zusammengesetzt sind. Diesen Ansatz kann man mit dem Aufbau von Atomen vergleichen,

die fur lange Zeit als unteilbar galten.

Abbildung 1.9: Compositness-Ansatz

Great Unified Theories (GUTs) sind Theorien, welche die drei Krafte, elektromagnetische, schwacheund starke Wechselwirkung, vereinigen. Eine Theorie of Everything (auch Quantengravitation genannt),welche es ermoglicht bei Energien von ca. 1019 GeV alles zu beschreiben, soll aus der nachgewiesenenGUT und der ART entwickelt werden.

Viele der GUTs, zum Beispiel die Stringtheorien, benutzen neue Symmetrien (lokale und auch andereSymmetrien). Die lokalen Symmetrien werden durch die sogenannte Poincare-Gruppe (Invarianzgruppeim Minkowskiraum) beschrieben. Ein Beweis hat gezeigt, dass diese nur noch um eine einzige Symmetrieerweitert werden kann - durch die Supersymmetrie (SUSY).

Abbildung 1.10: Ubersicht zu den sich bewahrten Theorien (Ausblick zu moglichen Vereinheitlichungen) [3]

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2 Supersymmetrie

2.1 Uberblick uber die Supersymmetrie

Die Supersymmetrie ist eine Erweiterung des Standardmodells, bei jedem Teilchen ein Superpartner zuge-ordnet wird. Sie haben bis auf den Spin die identische Quantenzahlen. So ist der Superpartner eines Fermionsein Boson und der Superpartner eines Bosons ein Fermion. Sie werden mit einer Tilde gekennzeichnet undheißen bei Leptonen und Quarks Sleptonen und Squarks. Die Superpartner zu den anderen Teilchenbesitzen eine

”ino“-Endung.

Abbildung 2.1: Darstellung von Teilchen und ihren Superpartnern [4]

Außerdem wird das Higgs aus dem Standardmodell in funf verschiedene Higgs-Teilchen aufgeteilt (h0, H0,A0, H−, H+ (hierbei ist h0 das leichteste Higgs-Teilchen und wird bei 120 GeV vermutet)), daaufgrund der Transformation auch die Freiheitsgrade erhalten sein mussen. Da Bosonen (1 Freiheitsgrad) zuFermionen (2 Freiheitsgrade) transformieren, wurde ein weiteres Higgs-Dublett eingefuhrt. Diese Higgs-Teilchenhaben jeweils ihre Superpartner.

Man kann Teilchen und Steilchen durch ihre R-Paritat unterscheiden. Wenn die R-Paritat erhalten ist,muss es das LSP geben. Daraus folgt, dass mindestens ein LSP ubrig bleiben muss, wenn Steilchen zerfallen, diein Beschleunigern nur als Paare erzeugt werden konnen. Wurde die R-Paritat verletzt sein, waren L und B keineErhaltungsgroßen mehr und auch das Proton ware nicht stabil. Man weissbis heute nicht, wie die Symmetriezwischen Fermionen und Bosonen gebrochen wird.

PR = (−1)3(B−L)+2s (2.1)

Die Supersymmetrie wurde von Juri A. Golfand und seinem Studenten Evgeni Likhtman, 1971 in Moskau,sowie unabhangig von D. V. Volkov und V. P. Akulov, 1972 in Charkiw/Charkow, Ukraine, eingefuhrt.

Das erste mit den bisherigen experimentellen Beobachtungen vertragliche supersymmetrische Modell, dasMinimale Supersymmetrische Standardmodell (MSSM), wurde 1981 vorgestellt. Nach den Vorhersagen des

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MSSM liegen die Massen der bisher unbeobachteten Superpartner im Bereich von 100 GeV/c2 bis 1 TeV/c2, derdem Teilchenbeschleuniger Large Hadron Collider (LHC) zuganglich ist. Und somit kann die Theorie verifiziertbeziehungsweise falsifiziert werden. (Die Steilchen konnten auch schwerer sein)

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2.2 Die Vorzuge der Supersymmetrie

Die Supersymmetrie lost nicht nur das Hierarchieproblem sondern auch das Naturlichkeitsproblem. Au-ßerdem treffen sich durch die Anderungen und Erweiterungen des Standardmodells die Kopplungen bei ca.1016GeV. Noch viel interessanter ist aber die Tatsache, dass die Poincare-Gruppe nur noch durch eine lokaleSymmetrie erweitert werden kann, wodurch die Fermionen und Bosonen vereinheitlicht werden.

Die Supersymmetrie postuliert ein Teilchen χ01, das stabil ist und sehr schwach wechselwirkt mit uns be-

kannten Feldern. Dieses Teilchen ist ein geeigneter Kandidat fur die Dunkle Materie, da diese nach dessenEigenschaften verlangt. Es ist das leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) und setzt sich aus Binos, Winosund Higgsions zusammen.

Abbildung 2.2: Kopplungen in der Supersymmetrie

2.3 Herleitung von Generatoren

Fur die folgenden Ausfuhrungen werden folgende Definitionen verwendet:

nF = a†FaF nF = 0, 1 (2.2)

nB = a†BaB nB = 0, 1, 2, 3, ... (2.3)

Fur die Herleitung der Generatoren benotigen wir den Hamiltonian des harmonischen Oszillators fur Boso-nen:

HB = hω(a†BaB +1

2) (2.4)

und den Hamiltonian fur den harmonischen Oszillator fur Fermionen:

HF = hω(a†FaF −1

2) (2.5)

Wenn wir nun diese Hamiltonian zu einem Gesamt-Hamiltonian addieren, erhalten wir:

H = HB +HF = hω(a†FaF + a†BaB) (2.6)

Dieser Hamiltonian ist unter einer Bosonen-Fermionen-Transformation invariant. Dies zeigen wir, indem wirnach einer Entartung der Energieeigenwerte gesucht wird:

|nB , nF 〉 ⇒ EnB ,nF= hω(nB + nF ) (2.7)

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|nB = 1, nF = 0〉 ⇒ EnB ,nF= hω (2.8)

|nB = 0, nF = 1〉 ⇒ EnB ,nF= hω (2.9)

Aus den Gleichungen (2.8) und (2.9) erkennen wir die Entartung. Nun mussen wir lediglich nur noch dieOperatoren fur diese Transformation finden. Wir addierden zu der Gleichung (2.6) eine Null,:

H

hω= a†FaF + a†BaB + a†Ba

†FaFaB − a

†Ba†FaFaB (2.10)

anschließend benutzen wir die Kommutatorrelation und Anti-Kommutatorrelation:[a†B , a

†F

]= 0 = [aB , aF ] (2.11)[

aB , a†B

]= 1 ⇒ aBa

†B = 1 + a†BaB (2.12)

aF , a†F

= 1 ⇒ aFa

†F = 1− a†FaF (2.13)

und setzen diese in (2.10) ein und erhalten:

H

hω= a†BaFa

†FaB + a†FaBa

†BaF (2.14)

Dann definieren wir die Operatoren, die auch Generatoren der Supersymmetrie genannt werden:

Q := a†BaF (2.15)

Q† := a†FaB (2.16)

Diese Generatoren transformieren Fermionen in Bosonen und Bosonen in Fermionen:

Q |Fermion〉 = |Boson〉 (2.17)

Q |Boson〉 = |Fermion〉 (2.18)

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3 Die supersymmetrische Zukunft

3.1 Konsequenzen der Supersymmetrie

Wurden supersymmetrische Teilchen gefunden werden, konnten alle GUTs die nicht supersymmetrisch sindausgeschlossen werden. Auch dunkle Materie konnte hochst wahrscheinlich erklart werden. Außerdem wurdeman durch das Nachweisen von SUSY ein hoheres Verstandnis fur das fruhe Universum erhalten, so dass mannur noch die letzten drei Großenordnungen beschreiben musste (Plank-Ara: 1019 GeV).

Abbildung 3.1: Feynman-Diagramm zum Squark-Zerfall

3.2 Wird SUSY gefunden?

Supersymmetrische Teilchen hatte man nachgewiesen konnen, wenn man die Energie von den Positronen undElektronen am Large-Electron-Positron-Collider (LEP) erhohen hatte konnen.

Abbildung 3.2: Theoretische Erzeugung von Squarks, welche zum Neutralino zerfallen

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Abbildung 3.3: Theoretische Erzeugung von Smuon, welche zum Neutralino zerfallen

Abbildung 3.4: Theoretische Erzeugung von Charginos

Abbildung 3.5: Chargino-Zerfall bis zum Neutralino (erste Moglichkeit)

Abbildung 3.6: Chargino-Zerfall bis zum Neutralino (zweite Moglichkeit)

Abbildung 3.7: Chargino-Zerfall bis zum Neutralino (dritte Moglichkeit)

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Am LHC stellt man sich die Erzeugung von supersymmetrischen Teilchen durch eine Protonenkollision sovor, dass zum Beispiel ein Gluon und ein Quark aus den jeweiligen Protonen reagiern:

Abbildung 3.8: Theoretische Erzeugung von supersymmetrischen Teilchen 1

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Abbildung 3.9: Theoretische Erzeugung von supersymmetrischen Teilchen 2 [5]

Quellen

[1]: http://www.desy.de/~ringwald/axions/talks/jena.pdf

[2]: http://de.wikibooks.org/wiki/Teilchenphysik:_Erhaltungsatze

[3]: http://cms.web.cern.ch/cms/Physics/Supersymmetry/index.html

[4]: http://www.weltmaschine.de/physik/supersymmetrie/

[5]: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1010/1010.5419v1.pdf

[6]: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1010/1010.5419v1.pdf

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Abbildung 3.10: Theoretische Erzeugung von supersymmetrischen Teilchen 3 [6]

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