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Einführung in die Fouriertransformation
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Einführung in die Fouriertransformation
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Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
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Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
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Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
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Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
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Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
Fouriertrans-
formation
inverse
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Einführung in die Fouriertransformation
Fouriertrans-
formation
Fouriertrans-
formation
inverse
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Fourier-Entwicklung
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen:
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx)
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx)
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(2x)
2π
sin(2x)
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(3x)
2π
sin(3x)
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(4x)
2π
sin(4x)
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(5x)
2π
sin(5x)
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Fourier-EntwicklungElementare Funktionen: 1, cos(kx), sin(kx) für k = 1, 2, 3, . . .
02π
1
−1
cos(x)
2π
sin(x)
02π
1
−1cos(5x)
2π
sin(5x)
u.s.w.
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Fourier-Entwicklung
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x)
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−1
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−1
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−1
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−1
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−12π
![Page 36: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/36.jpg)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−12π
![Page 37: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/37.jpg)
Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−12π
Fourier-Koeffizienten
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Fourier-EntwicklungBeispiel:f1(x) = 0.9 · cos(x)f2(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x)f3(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x)f4(x) = 0.9 · cos(x) + 0.5 · sin(3x) + 0.4 · sin(6x) + 0.3 · cos(20x)
02π
1
−12π
Fourier-Koeffizientenf4(x) = 0.9 ·cos(x)+ 0.5 ·sin(3x)+ 0.4 ·sin(6x)+ 0.3 ·cos(20x)
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Fourier-Entwicklung
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Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R
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Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch
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Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
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Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
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Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
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Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
![Page 46: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/46.jpg)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
![Page 47: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/47.jpg)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich
![Page 48: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/48.jpg)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich
ak :=1π
π∫
−π
f (t) cos(kt) dt
![Page 49: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/49.jpg)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
falls man ak , bk geschickt wählt, nämlich
ak :=1π
π∫
−π
f (t) cos(kt) dt , bk :=1π
π∫
−π
f (t) sin(kt) dt
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Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe
a0
2+
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = f (x)
Fourier-Koeffizienten
ak :=1π
π∫
−π
f (t) cos(kt) dt , bk :=1π
π∫
−π
f (t) sin(kt) dt
![Page 51: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/51.jpg)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
![Page 52: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/52.jpg)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe (andere Schreibweise)
![Page 53: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/53.jpg)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe (andere Schreibweise)
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
![Page 54: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/54.jpg)
Fourier-EntwicklungFunktion f : R → R, 2π-periodisch, f (x + 2π) = f (x)
3ππ−π−3π
x
f (x)
Fourier-Reihe (andere Schreibweise)
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
![Page 55: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/55.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
![Page 56: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/56.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
![Page 57: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/57.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
![Page 58: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/58.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort:
![Page 59: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/59.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort: Ja.
![Page 60: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/60.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort: Ja. Durch die
![Page 61: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/61.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort: Ja. Durch die
Fourier-Transformierte
![Page 62: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/62.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
Frage:
Läßt sich die Fourier-Ent-wicklung auf nichtperiodischeFunktionen übertragen?
Antwort: Ja. Durch die
Fourier-Transformierte
f∧(u) :=1
2π
∫∞
−∞
f (t)e−iut dt
![Page 63: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/63.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f : R → R nichtperiodisch
Fourier-Transformierte
f∧(u) :=1
2π
∫∞
−∞
f (t)e−iut dt
![Page 64: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/64.jpg)
Fourier-Entwicklung Fouriertransformation
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f : R → R nichtperiodisch
Fourier-Rücktransformation
f (x) =
∫∞
−∞
f∧(u)eiux du
Fourier-Transformierte
f∧(u) :=1
2π
∫∞
−∞
f (t)e−iut dt
![Page 65: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/65.jpg)
Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f0, . . . , fN−1 diskrete Daten
![Page 66: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/66.jpg)
Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f0, . . . , fN−1 diskrete Daten
diskrete Fourier-Transformierte
Fn :=1N
N−1∑k=0
fke−ikn 2π
N
n = 0, . . . , N − 1
![Page 67: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/67.jpg)
Fourier-Entwicklung Diskrete Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
f0, . . . , fN−1 diskrete Daten
diskrete Rücktransformierte
fn =N−1∑k=0
Fkeikn 2π
N
diskrete Fourier-Transformierte
Fn :=1N
N−1∑k=0
fke−ikn 2π
N
n = 0, . . . , N − 1
![Page 68: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/68.jpg)
Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
2D-Daten fk ,l1 N-1
01
N-1
...
0 · · ·
fk,l∈ {0, . . . , 255}
![Page 69: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/69.jpg)
Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
2D-Daten fk ,l1 N-1
01
N-1
...
0 · · ·
fk,l∈ {0, . . . , 255}
diskrete Fourier-Transformierte
Fn,m :=1
N2
N−1∑k ,l=0
fk ,le−i(kn+lm) 2π
N
n, m = 0, . . . , N − 1
![Page 70: Einführung in die Fouriertransformationfelten/archiv/bildverarbeitung/Fourier... · Fourier-Entwicklung Fouriertransformation f 2π-periodisch −3π −π π 3π Fourier-Reihe f(x)](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040219/5e1a0ee79a2757227162d8ac/html5/thumbnails/70.jpg)
Fourier-Entwicklung Diskrete 2D-Fouriertransform.
f 2π-periodisch
3ππ−π−3π
Fourier-Reihe
f (x) =
∞∑k=−∞
ckeikx
Fourier-Koeffizienten
ck :=1
2π
∫π
−π
f (t)e−ikt dt
2D-Daten fk ,l1 N-1
01
N-1
...
0 · · ·
fk,l∈ {0, . . . , 255}
diskrete Rücktransformierte
fn,m =N−1∑k ,l=0
Fk ,lei(kn+lm) 2π
N
diskrete Fourier-Transformierte
Fn,m :=1
N2
N−1∑k ,l=0
fk ,le−i(kn+lm) 2π
N
n, m = 0, . . . , N − 1