322 ARCH. MATH.

Eine Charakterisierung konvexer Mengen

Von

WILFRIED IMI%ICH und FRANZ SCH'IqITZER

Ausgehend yon einer yon L. Fejes T6th [1] s tammenden Charakterisierung der Kreisscheibe wurden in [2] die kompakten konvexen Mengen der Ebene durch folgende Schnitteigenschaft unter Translationen charakterisiert:

Satz 1. Es sei A eine kompakte Teilmenge der Ebene. Ist die Menge A -- H A ]i~r aUe Translationen H der Ebene zusammenhSngend, so ist A konvex.

I)abei ist die BeschrHnkung auf ebene Mengen wesentlich, da der Satz schon im JR3 nicht mehr gilt, wie in [2] gezeigt wurde. Sind nun ftir eine Teilmenge A des ]~n die Mengen A - - HA zusammenhHngend, so ist auch CA - - HCA ftir alle Trans- lationen H zusammenhHngend, denn es gilt

C A -- H C A = H(A -- H-1A).

Die Menge CA braucht dabei weder beschrHnkt noeh zusammenhHngend zu sein. Dies gibt _A_nlaB zu vermut~n, dab jede oftene oder abgeschlossene Teilmenge A der Ebene, fiir die A - - HA ftir alle Translationen H der Ebene zusammenhHngend ist, konvex ist oder eine konvexe KomplementHrmenge hat. Wir werden diese Vermutung in dieser Arbeit nieht in roller Allgemeinheit beweisen, sondern den Fall, in dem A und CA beide unbeschrHnkt sind, einer spHteren Igotiz vorbehalten.

I)ie Eigenschaft, dab A - - H A fiir alle Translationen zusammenhHngend ist, wollen wir Sehnitteigensehaft nennen. Wir zeigen zunHehst:

Sa/z 2. Ist A eine konvexe, o/[ene oder abgeschlossene Teilmenge der Ebene, so hat A die Schnitteigenscha/t.

B e w e is. Es sei A ein konvexer, oftener oder abgeschlossener Bereich in der Ebene trod ~q : x ~-> x -1- q eine Translation des R 2 mit q =J= 0. Weiters sei L eine zu q ortho- gonale Gerade und P die orghogonale Projektion des JR2 auf L. I)arm ist P(A) ein nieht leeres Interval1 I . ~Fiir jedes p ~ I ist augerdem p -1 (p) ~ A ---- Av ebenfalls ein nichtleeres Intervall , wHhrend das Intervall

(A -- HqA) f~ p - l ( p ) ._= Ap -- HqAp

anch leer sein kann. Angenommen A v - q~qAp ist leer. ])as heiBt Ap c q~qA~o, oder x - - q c a p for

alle x ~ Av. ])ann ist Av zumindest in der Richtung - - q unbegrenzt. Wir zeigen,

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dab dies dana aueh fiir alle anderen As, s e I , gilt. Ware dies nicht der Fall, so g~be es also ein s e I und ein as e A s mit as - - tq ~ As fiir alle t ~ ~ ~ 0. Da A konvex ist, ware dann auch jede Strecke Ix, as] fiir x e A~ in A. Bezeichnen wir nun die in Richtung - -q yon einem Punkt a e A~ ausgehende Halbgerade mit M und die yon as in derselben Richtung ausgehende Halbgerade mit N , so ist klar, dal3 der yon M , [a, as] und N begrenzte Bereich in A liegt, nicht jedoeh die Punkte a s - tq fiir t ~ ~. Ist A abgesehlossen, so miissen jedoch aueh die Punkte yon N in A liegen, im Widerspruch zu a8 - - tq ~ As f'fir alle t ~ ~. Fiir offenes A w~hlen wir eine offene Kreisumgebung K von as, die ganz in A liege und einen Punkt t e I so, daI3 p-1 (t) (~ K nicht leer ist und dal3 s zwisehen p trod t liegt. Wendet man nun die soeben fiir s angestellte ~berlegung auf t an, so erh~lt man N c A, also denselben Widerspruch wie vorhin.

Wir haben damit gezeigt, dab alle As - - qDqAs leer sind, wenn ein A~ -- ~vqA~ leer ist. Da

A - - qoA = ~ (As - - Cfq As)

ist, ist damit aueh A -- ~A leer, und damit zusammenh~ngend. Ist A -- ~0A nicht leer, so kana nach obigem kein As ~ q~qAs leer sein und alle

As sind in der Richtung - -q begrenzt. Es sei nun

ts----- i n f { t : s + t q ~ A }

und as = s + ts q. Die as bflden eine stetige Kurve C yon l~andpunkten yon A und fiir abgeschlossenes A gilt offensichtlich

C c A - - cpqA.

Damit ist klar, dab A - - cpqA zusammenh~ngend, ja sogar bogenzusammenh~ngend, ist. Fiir offenes A gehen wit folgendermal~en vor. Wir bflden

t* = sup{t :s + tq e A} .

Wie vorhin sieht man, dab alle ts* unendlich sind, wenn dies ftir ein s e I der Fall ist. Dann ist

v + _ q 2

in A ~ cpqA und alles gezeigt. Andernfalls bilden wir die Menge atler Punkte

bs ---- s -{- �89 ( - - t s -k- min (ts -}- 1, r

Die bs bilden eine stetige Kurve C* in A - - cpqA und A - - q)qA is?, bogenzusammen- h~ngend.

Es sei noch erw~hnt, dab sieh analoge l~berlegtmgen auch im Raum durchffihren lassen, nur ist I dann dutch einen konvexen Bereich zu ersetzen und C und C* dutch stetige Fl~ehenstiieke.

Wir erweitern nun Satz 1 auf offene, besehr~nkte Mengen. Der Vollst~ndigkeit halber, und da kein groBer Mehraufwand erforderlich ist, fiihren wit den Beweis jedoeh vollst~ndig durch.

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Satz 3. I s t A eine o/]ene oder abgeschlossene, beschriin]cte Teilmenge der Ebene mit der Schnitteigenscha/t, so ist A ]convex.

B e w e i s . Zun~ehst ist klar, dab A zusammenh~ngend ist; denn ist der Betrag yon q grSBer als der Durchmesser yon A, so ist A ----- A - - q~qA und daher, laut Voraus- setzung, zusammenh~ngend.

Es muB aber auch CA zusammenh~ngend sein. Um dies zu zeigen, gehen wir indirekt vor. I s t CA unzusammenhi~ngend, so ist C A die Vereinigung yon zwei dis- junkten l~r M und _~, die fiir abgeschlossenes A beide often sind, w~hrend sie fiir offenes A beide abgeschlossen sind. Wir kSnnen almehmen, dab M besehr~Lnkt ist und den lXTullpunkt en~h~lt. I s t p ein nichtverschwindender Vektor und L eine zu i0 parallele Gerade durch den Ursprung, so bilden wir

t l - = i n f ( t : t p e M } und t 2 - - - - s u p ( t : t p e A } .

Fiir abgesehlossenes A liegen dalm die Punkte al ---- t i p und a2 ----- t2p beide in A. Es sei nun q der Vektor t ip . Dann ist

A - - q~qA : (A n q~qM) w (A (~ ~qN) ,

al = ~qO e q~qM und a2 e ~qN. Damit besteht A - - q~qA aus mindestens zwei nieht- leeren Komponenten, im Widerspruch zur Almahme.

Fiir oftenes A w~hlen wit ein tl* <1 tl mit al -~ t~p e A und ein t~' ~ t2 mit

a2=t2*io~A und t2--t2*<~]tl* 1.

Wie vorhin ist dann ffir q ---- t~p der P u n k t at in q~qM, a2 in ~qN und A besteht aus mindestens zwei niehtleeren Komponenten.

Es seien also sowohl A als aueh C A zusammenh$ngend. Wir betrachten den Fall, in dem A abgesehlossen ist, zuerst und nehmen an, A sei nicht konvex. Dalm gibt es eine Stfitzgerade L, fiir die L (~ A zusammenh~ngend ist. Wir kSnnen annehmen, der Nullpunkt liege in einer beschr~nkten Komponente I yon L - A. Fiir einen be- liebigen Vektor p, der in L liegt, bilden wir iihnlich wie vorhin

t l = i n f ( t : t p e I ) und t 2 - - - - s u p ( t : t p e A } .

Da A abgeschlossen ist, sind al = t i p und a2 ---- t2p beide in A. Wir bilden nun die Vereinigung yon A mit dem Spiege]bild yon A an der Geraden L. Dieser Bereieh sei B. Es ist leicht zu sehen, dab B die Ebene in mindestens zwei disjunkte offene Mengen trennt, und dab I in einer besehri~nkten Komponente M yon C B enthalten ist. Es sei C B = M ~) N. Setzen wir q = t ip , so sieht man wie vorhin, dab die Punkte al and a2 in verschiedenen Komponenten yon B - - cfqB liegen und daher auch in versehiedenen yon A - - ~ B . Nun ist aber A - - ~ q B = A - - q~qA, was den gewiinschten Widerspruch liefert.

Fiir offenes A gehen wit folgendermaBen vor. I s t A nicht konvex, so gibt es Punkte a , b aus A und einen Punkt c e CA, der auf der Strecke [a, b] liegrt. Da A often und zusammenh~ngend ist, ist A auch bogenzusammenh~ngend. Es sei also C eine Kurve yon a nach b. Wir kSnnen ohne Beschr~nkung der Allgemeinheit an- nehmen, dab a und b die einzigen Punkte sind, in denen C die Gerade K dureh a

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und b trifft. Sind L u n d M die beiden zu [a, b] parallelen Stii tzgeraden an A, so kSnnen wir weiters annehmen, dab c zwischen L u n d (K - - [a, b]) u C liegt.

Da c n i c h t au f C liegt, ha t c positiven Abs~and yon C. Wir kSrmen daher eine Zahl r wihlen, so dab der Kreis Br (c) yore Radius r u m c die Kurve C n i c h t trifft und Br (a) sowie Br (b) ganz in A liegen. Weiters gibt es einen P u n k t / in A, dessen Distanz yon L kleiner als r i s t . Fiir den Vektor p yon c nach g i s t dann g e A - - ~0vA. Da es Punk te yon A gibt, die beliebig nahe bei M liegen, g ib t es einen P u n k t h in A, der zwischen (K - - [a, b]) u C und M liegt, und f'tir den h - - 1o nicht in A liege. Dami t ist h e A - - ~v A.

Es sei nun q ein zu K orthogonaler Vektor der L&nge r, der yon K in Rich tung L zeigt. Wir bilden nun eine Kurve N bestehend aus

q~p+q(K- [a, b]), ~ p C

sowie aus den Strecken [~0va , q~+qa] und [~vb, q)~+qb]. Da ~0~C sowie die beiden Strecken in q~pA liegen und da q~+q(K - - [a, b]) im Komplement yon A enthal ten ist, ist N offensichtlich in C(A -- ~pA) enthalten. Nun liegen aber g und h auf verschiedenen Seiten yon ~Y, im Widerspruch zum Zusammenhang yon A --~0vA.

Wir erweitern nun Satz 1 au f unzusammenh~ngende Bereiche. Dabei ist die Be- schr~nkung auf die Ebene nicht mehr notwendig.

Satz 4. Ist A eine unzusammenhgngende, abgeschlossene Teilmenge des R n und ist A - - q~A/iir ]ede Translation qD des ]Rn zusammentdingend, so besteht A aus zwei Halb. rdumen des ~ n (mit Tarallel@n Begrenzungshyperebensn).

B e w e i s . Wi t werden zuerst zeigen, dab C A zusammenh ingend ist. Dazu be- zeichnen wir die Komponen te yon A in der a ]iegt mit Aa und bet rachten zwei ver- schiedene Komponen ten Aa und Ab yon A und einen l~ lak t x yon C A . Dann ist ~0a-x (x) ---- a ein Element yon

A (~ qoa-x C A = A -- 9a-x A .

W/~re 9a-x(b + x - - a) = b ein Punk~ yon A - - 9a -xA , so wi re A - - 9 a - z A nicht zusammenh~ngend, da a und b in verschiedenen Komponen~en yon A liegen, also auch in verschiedenen yon A - - 9 A . Es liegt also b + x - - a in A, und das fiir alle x aus CA. Daher ist ~ b - a C A ---- {b -k x - - a : x e CA} eine Teilmenge yon A. Dann ist aber q ~ b - a C A = A - - qPb-aA, woraus sich sofort der Zusammenhang yon C A ergibt.

Man kann sogar noch mehr zeigen. Dazu wandert m a n yon x in gerader Linie gegen a, bis man zum ersten Mal einen P u n k t yon A trifft. Dieser P u n k t sei c. I s t d e Acz ~= Ac, so ist nach der obigen l~berlegung jeder P u n k t auf der Strecke yon d zu d - k x - c in A, und wegen der Abgeschlossenheit yon A sogar in Aa. Erse tz t man nun d du tch d + x - - c, so sieht man, dab auch die Strecke yon d -k x - - c bis d -~ 2 (x - - c) in As liegt. Durch For tse tzung des Verfahrens ergibt sich schlieB- lich, dab der gauze yon d gegen d -k x - - c gerichtete Halbs t rahl in A~ liegt.

Da C A offenist , gibt es zu jedem x e C A eine offene Kugel mit Zen t rum x, die in C A liegt. Es sei B die grSBte derartige Kugel. Der Abs tand zwischen dem R a n d yon B und A ist Null. Da der R a n d yon B k ompak t ist, g ib t es einen P u n k t c am

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Rand yon B, der yon A den A bstand Null hat und der wegen der Abgeschlossenheit yon A selbst zu A gehSrt.

Es sei r eine beliebig vorgegebene Zahl, die nicht grS~er ist als etwa der Radius yon B, und S die Menge aUer Punkte des Randes yon B, die yon c den Abstand r haben. Weiters sei K der durch die Halbstrahlen yon c nach Punkten in S erzeugte Vollkegel. Dann ist q~s-cK offensiehtlieh fOx jedes As 4 = Ac in As enthalten. Da der 0ffnungswinkel yon K beliebig nahe an n angen~hert werden kann und As ab- geschlossen ist, enth~lt As also einen Halbraum, dessen Begrenzungshyperebene orthogonal zu x - - c ist. Dies gilt ftir a l l ed ' e A~, und A~ ist daher die Vereinigung all dieser Halbrgume.

Von A~ haben wir nur A~ =~ Ac vorausgesetzt. Es ist daher auch jede andere Komponente Ae 4 = Ac ein Halbraum, dessen Begrenzungshyperebene zu x - - c ortho- gonal is~, und Ac : As. Das heiBt, A besteht aus den Komponenten Ac und A~.

Wir betraehten nun eine Strecke, die einen Randpunkt ~0 yon Ac mit einem Rand- punkt q yon A~ verbindet. Es ist nicht mSglieh, da~ kein Punkt dieser Strecke yon A~ kleineren Abstand hat als yon Ac, denn dann ware q H~ufungspunkt yon Ac und daher selbst in Ac. I s t y so ein Punkt, so zeigt eine Wiederholung der obigen ~3ber- legung, dal] Ac ebenfalls ein Halbraum ist, und dab die Begrenzungshyperebene yon Ac zu der yon As parallel ist.

Es sei noch erws dal3 Satz 4 auch fiir offene, unzusammenh/~ngende Teilmengen des Rn gilt. Den Zusammenhang yon CA zeigt man genau so wie vorhin, uncl den Rest des Beweises fiihrt man vSllig analog, indem man star t der offenen Kugeln in CA solehe in A verwendet.

Literaturverzeichnis

[1] L. F~J~S T6T~r, Eine Kennzeichnung des Kreises. Elem. Math. 22, 25--27 (1967). [2] T. NIS~IURA and F. Sc~rrzER, Translations of Planar Convex Sets. Arch. Math. 22, 103--105

(1971).

Eingegangen am 31.5. 1974

Anschrift der Autoren:

W. Imrich F. Schnitzer Instimt fiir Mathematik und Mathem. Statistik Montanistische Hochschule Leoben A-8700 Leoben