Math. Nachr. 119 (1984) 239-255

Ein Lokslisierungsprinzip in der Theorie der Spline- Approximstionen nnd einige Anwendungen

Hewn Professor A lbrecht Pietsch z w n filnfxigsten GeburWag gedmet

Von SIEGFRIED F'R~~SSDORF in Berlin

(Eingegangen am 19.9.1983)

C'erschiedene Klassen von finiten Elenlenten. inshesondere Splines, haben die hemerkenswerte Eigenschaft (vgl. die Abschnitte 2-5)

(1 ) iI(I-P,J fPh[i-O fur L O .

Hierbei hedeutet P/, den Orthoprojektor im Raum D ( D ) (oder im SoBomwraum Hb(D) , R E R ) auf den rnterraum der finiten Elemente (z. B. der stuckweisen Polynome) iiber einem regulliren Gitter Dh des Gebietes D c R" mit der Maschen- weite h. Die Funktion f wird als stetig (bzw. entsprechend glatt) in D vorausge- setzt, und //.I/ bezeichnet die entsprechende Operatornorm. Eine unmittelbare ein- fache, aher wichtige Folgeimng der Eigenschaft (1) ist die Konvergenz des GALER- Kixverfahrens (PI(, Ph) fur den Operator der Multiplikation mit der Funktion i , falls f ( x ) + O fiir alle T E D ist. Letzteres gilt heknnntlich nicht fur polynomiitle An- satzfunktionen (vgl. [2]).

( 1 ) ist eine der grundlegenden Eigenschaften, auf denen in der vorliegenden Arbeit ein Lokalisierungsprinzip zur Untemuchung der Konvergenz (Stabilitiit) einer gewissen Klassevon Projektionsverfahren entwickelt wird (siehe Abschnitt 1). Eine solche Lokalisierungstechnik erlaubt es, den Beweis der Kon~rergenz (Stabilitat) von Spline-Ayproximationsmethoden fur eine ziemlich grol3e Klasse von Operatorgleichungen auf einfeche Modellgleichungen, fur die die Konvergenz (Stahilitat) bekannt ist. zuruckzufuhren. Das Lokalisierungsprinzip liefert u. a. neue Resultate (notwendige und hinreichende Konvergenz- und Stahilitatsbe- dingungen) iiber Kollokations- und iiher GALERKIN- hzw. GALERKIX-PETROV- Verfahren fur singulare Tntegralgleichungen mit unstetigen Koeffizienten auf ge- whlossenen oder offenen Kurven (Abschnitte 2, 5 ) sowie fur geu-isse Klassen von Peeudodifferentialgleichungen (Abschnitt 3). Im Abschnitt 4 wird die Eigen- schaft (I ) fur finite Element e im Sinne von M~CHLIN 161, die keine Splines zu sein hrauchen, gezeigt. A u f weitere mogliche Anwendungen der Ergehnisse des Ab- schnitts 1 wird an anderer Stelle einzugehen sein.

In unserem Lokalisierungsprinzip haloen wir neben der Spezifik der Spline- Approximation einige Aspekte aus den lokalen Prinzipien von SIMONENKO [ 181 und yon GOCHBERG-KRTPNIK [3] heriicksichtigt. DiesePrinzipien sindhereitsin [4.5,17]

240 ProDtlorf, Em Lokdlisieruiigsprinxip

mit Erfolg bei der Untersurhung anderer Niiherungsverfahren benut i t c\ or- den.

Die Hauptergebnisse der \ orliegenden Arbeit stellte der Autor ohne Keweihe in seinem Vortrag [9] auf der 8. Tagung iiber Probleme urid Methoden cler !Usthe matischen Physik in Karl-Marx-Stadt im Juni 1983 vor.

I

1. Das Lokalisierungsprinzip

1.1. Es seien X und Y BANAcH-Raume. Mit % ( X , Y ) (x(X, Y ) ) bezeichnen wir den Raum der linearen beschrlnkten (kompakten) Operatoren von X in Y ; irri Falle X = Y schreiben wir e ( X ) (cX(X)) anstelle % ( X , X) (3t(X, X)). Des weiteren seien Folgen von Projektoren P,C S ( X ) und Sn€ S( Y ) mit den Bildraumen . X n : -

=rim Pn3 Y n : =im S, sowie Clperatoren A,€ S(X,, Y B ) (nEN) gegehen. die fol- gende Eigenschaften besitzen sol len ( fur 12. -- -) :

(2) Pn+Ix, ,Sn+Iy , A,P,,-A E 2(X, I') . Hierbei bedeutet I x den identischen Operator in X und -+ die starke Konvergenz in dem entsprechenden 'KANACH-hum.

Bekanntlich versteht man in der numerischen Analysis unter einem N d h - rungsverfahren fur die Operatorgleichung

(3) Az-y (y€ Y)

(4) AnXn=Yn 1

den obergang von (3) zur Folge der Gleichungen

wobei yn/laE Y , (nEN) vorgegeben und x,E X, gesucht ist. Man sagt, da13 das durch (4) definierte Niiherungsverfahren konvergiert (fur festes y) , wenn die Gleichungen (4) fur alle hinreichend groaen n ( n z n o ) eine eindeutige Losung $,EX, besitzen und wenn xn+x fur n-- gilt, wohei x E X eine Losung der Gleichung (8) ist. Offen- sichtlich ist yn +-y eine notwendige Bedingung fur die K0nvergen.z des Verfahrens (4). Das Naherungsverfahren (4) (oder die Folge der Ngherungsoperatnren { A B } ) heifit stabil, wenn die Operatoren -4%E S ( X n , Y,) invertierbar sind fur 12 z"no und wenn sup ilA,'I/ <- ist. Der Zusamriienhang zwischen Konvergenz und Stabilitiit.

des Niiherungsverfahrens (4) wird bekanntlich durch folgenden Sachvorhalt her- gestell t.

a

Lemma 1. (siehe [lo, 201. Es seien die Bedinquizgem ( 2 ) u1uI y,+y erfullt. (i) Wenn das Naherungsverfahren (4) stabil ist, dann konvergiert es uied es gil t &e

Fehlera bschatzung

PriiSdorf, Ein Lokalisieriingspririzip 21 1

Bernerkung. \Venn in (4) speziell ya =S,y und A,, =S,AP, gewiihlt wird, dann apricht nian gewohnlich vom Projektionsverfuhren { Y,, S,}. Letzterex konx-ergiert fur beliehiges y E 1' genau d a m . wenn es stabil ist u n d wenn A E f (X, 1') invertier- bar ist (siehe [Z]).

Fur die weiteren Uherlegungen erweist es sich als giinstig, die Folgen der Ope- ratoren A , und B, aus S(X,. ra) aquivalent zu nennen und dafiir A . r R , XII

schreihen. wenn jlA, -Bn( -0 fur n-cm gilt. 1.2. I n diesem Ahschnitt werden wir axiomatisch eine Klasse von Projektions-

verfahren heschreiben. die genau dann stabil sind. wenn sie - in einem noch zii definierenden fiinne - lokal stabil sind.

Es seien x', 1' und z ~AXAoH-Riiume, wohei 2 stetig in Y eingebettet sei. Des weiteren &en Folgen von linearen Projektoren P,'E $!(X). R, und S,€ f( Y). Q, entsprechend in den Rgumen X und J' mit im P , =im R,,, im S, =im &, (uES) gegeben. wobei die Projektoren R, und &, im allgemeinen auch unbeschrankt sein kiinnen. Wir aetzen voraus, dal3 die nachfolgenden Redinpungen T - I r erfiillt sind : ..

I . P,, - Z,, und Qnz -r> ,z fur f)eliebiges x EZ 11 lid n - -. I J . Es existiert eine lineare Teilmenge 8, x ( X , Z) c 8c f ( X , Y) mit

I I I . Gegeben ist eine Menge dK von Multiplikat.oren fur 8 (d. h. eine Algel>ra :Xcf (X)nS(Y) mit. AfC& f A f 8 , ' d A ~ 8 . Y f f X ) . die Fnlgende Eigen- svhnften hcsitzen :

t l . l E 8 : Q n A P , ~ P ( S . Y)? Q,AP,+A.

1 . s11p .!H,fP,,I' e: sup &?,fSnl1 .=".> . J1 n

2 . ,\&f ( ~ - - Q , ) / ! + o . IIR,f (&-Rn)ll+(~ fiir n.+m. 3. ;9,,.4 ( I - R a ) fP,;: -0 fiir n-tw.

I \'. ER ist ein System von Teilmengen 3n,cX(f f J) erkllrt, das folgenden zwei Kedingungen geniigt : I . (Lokalisieirn~8hedi1i~uiig) : 0 @ %,(t C J ) , iind fur zwei heliebige Elemerrte

o j " € X t ( j =. I . 2) IaRt sidiein drittesElement.a,~3lZtfindenderart.da13gilt

2 . (ifl)erdcckun~sl)edingung) : jede Wenge (at}tEJ von Elementen a,€ $ 1 ~ ~ enthillt, endlich viele Elemente, deren Summe in X invertierlmr ist.

2. Jedem Operator AES ist eine Schar von Operatoren A,(tEJ) aus 8 zu- geordnet, so dafi es fur beliebiges E ~ O und t € J Operatoren T,EX(X . 27) und n,E3Kt mit $Qn ( A -At)ntPa-&,TtP, i i<~. Vn€-V, nZn,, gibt.

BeInerkung 1. Wenn Q.E !?(IT) (BEN) gilt und wenn die letzte Redingung in I mit, 2 = I.' erfiillt ist, d a m ist,. wie man leicht einsieht, Redingung V.2 der folgen-

fly)., ;:qp = Qt ( j = 1 * 2) .

I-. 1 . L 4 f - - f A E x ( X , 2 ) , YACS, VfE311, ( tEJ) .

:G Xath. Sachr.. Rd. 119

den Heziehung Bquivalent

l m lokalen Prinzip von SIMONENKO [ 181 heiBen Operatoren ,4, die eine Bedingung der Gestalt V. l erfullen, Operatoren vom lokalen T y p . M'enn die Kedingungen V. 1 nnd ( 5 ) erfiillt sind, dann nennt SIMONENKO die Operaboren A und A , Zokal iiqui- valent .

Beinerkung 2. I n Bedingung V.2 sind die Operakoren A,C S nur his a d eiiieii Summanden Ti E X ( X , 2) eindeutig bestimmt. Um unser Lokalisierungsprinzip fur Projektionsverfahren { P n ,

Definition. Die Folge der Naherungsoperatoren {Q,A P,) (oder das Projek- tionsverfahren {P,, Q,} fur den Operator A c 8) nennen wir lokal stabil, wenn fur heliebige t c J und nchi, n s n o , Operatoren Ti, T,"cX(X, 2) und Ct,,, n,,,cf (im Q,, im P,) sowie Elemente a, E 3Kt existieren, die folgenden Redingungen ge- niigen :

(6)

formulieren zu konnen, geben wir folgende

C,,,Q, (A, 4- 2";) a tPn z Rna.,Pn, &,a, (A, .t TI') llt,lk sQnatSn ,

~111) IjCt,nll<a, SUP l I ~ t , n l l < ~ - , n

Es gilt

Bedingungen erfallt:

(a) dimim Pn=dimimQ,-=a ;

(h) P:-Ix* und (Q,AP,)*-A*, " € 5 .

t hnn ist (la8 Projektionsverfahren {P,, Qn} far einen invertierbnren Operator A 8 dman und nur dann stabil, iceiin, es lokal stabil ist.

Satz 1. Es seien die Bedingungen I bis V sowie mindestens eine der folgenden xwei

.Beweis. Wir vereinbaren zuniichst folgende Hezeichnungrsweise:

A,:=Q,AP, (AES),

ff:=RJP,, fz:=Q,fS, (fE311).

Dann kann man die Beziehungen (6) wegen der Bedingungen 1TT.2-3 in folgender Form schreiben :

** (7) Qt,n ( A t + Tl),(a,tC' (at):, tat): ( A , + G ' ) n ~ t , n 2 ( ~ t ) n *

Als erstes zeigen wir, daB ails der Stabilitiit die lokale Stnhilitiit folgt. b'ir ntJ irnen dso an, da13 fur den Operator A c S die Operatoren A.;' c 2 (im &, im ( n z no) existieren und de13 c : =sup 11.4>;'// < O J gilt. Aufgrund der l3edingungen 111.3 und

R

ProBdorf, Ein LokalisierungspIinsip '343

1- 1 exiitieren fiir 1)eliel)ipes t c J Operatoren A t 6 S , T , : X ( Y . 2) untl otcil1l, iriit

ll[A@-(AJ,'] (ut):-(T,),c/-= l/c. V'1LSrLo.

Swh €3etlingung 1V.1 iaUt Rich eiii b , ~ $ l i , finden tlergestalt. dal3 b, ~ fttbt -=h,at ist. Ihmit erhalten wir (vpl. 111.2)

(b,f+A,'E(A,)n - A,] ({lt):

dI+B,,,*) ( b ~ ) ~ - - ~ ~ l ( ~ , ~ , i ( b t ) ~ , J\ oljei

4 , n : =,4,' {h-4t)@--4,21 ( . t ) ; P + ( ~ ' t ) n }

cl.n (4 4- n,t (4) :~

cesetzt wurde. Regen T I G ) t o ) iin ertierhar, und es gilt

-= 1 sind die Operatoren I t B,,?,E L (im P,) ( t < J ,

init =(I+13t,91)-1-4;' . Damit ist die crste (IerHeziehungen (7 ) mit !Z1,E8X(Y, 2) anstelle Ti und b, anstelle at hewiesen. Offensichtlich gilt sup llCf,,z~l (00. Analog

zeigt nittn die zweite Heziehung aus (7 ) . d. h.. das Projektionsverfahren {P,(* Q71)

frir den Operator .4 ist lokal stabil. QJ fur

'-1 E 8, (1. h. die Gidtigkeit der Reziehungen ( 7 ) , voraw. Aufgrund der Redingungen 111.2 und V.2 lassen sich fur heliehiges tE.1 und alle hinreichend grorjen i z c N Operatoren .4,~8. T t 6 X ( X . Z ) , btE3Kt und B t , n ~ P (im Pn, im &,) finden derart, clall gilt

n

\Vir setzen jetzt umgekehrt die lokale Stahilitat des Verfahrens

( 8 ) (bt); [ A , - (At)>aI Bt,n + ( F t ) n

und gleichzeitig I I B ~ , ~ D ~ ~ , g q - c 1. M'ir wahlen ftC3111 mit ftut=ftb, =ft . Dann folqt i ius (8) wegen Bedingung 111.2

(f t) ,Y [-A,, -(At)n~ 2 (f tC W t , n + (TtM *

l'nter Uenutzung der zweiten Beziehung (7) erhalten wir hieraus

(ft),Y~wDt,n (ft); [ ( I + Bt,nDt,v) + ( F t W t , J u n d folglich

(9 ) Vt),YAnGt,n 2 ( f t f [ I + C,*~I init

G,, : = Dt,a (1 + Bt,not.,a) - ' t C , n : = ( Tt)>@t,s . t )ffenhar gilt sup 1 Gt,,,il -= .

1z

Aufgrund der Redingung lV .2 kann man a u ~ der Menge { f t } t E , endlich viele Element r ff , , . . . , ft, ausu ahlen derart , daB das Element

I ti'

244 PrBDdorf, Ein I.okaliaieriingsprinzit,

in 3 2 invertierbar ist Mit den Operatoren N

k = l Dn z= C RnftkGtk.n

ergiht Bich jetzt infolge der Redingungen 111.3 und V. I

wobei TkE3%(X, Z ) ist. IJnter Kenutzung der Kedinyung IIT.2 sowie der Ueziehung (9) finden wir schl ie131 ir ti

s N

k = l k=l .v

AnDns 2 ( f t , t A n G , , n + C QnT&tk,.,n (10)

ZfF + C Q a C G t p k = l

mit 5!'LcX(X, 2). Wir hetrachten nun die Operatoreti s

D, = I ) , - c P, A - ~ T ; G ~ ~ , ~ . k= I

\Vepen (1 0) erhalteu wii.

Anf ins f:. + 11*11 . wc-)l)ei

*v M', : .= C (Q7& -. :I il A - 1 ) T,&+,,

k=I

geLsetzt wurde. lnfolpe der Kedingungen 1. u n d l l sowie der Eigenschaft TLEX(X .2 ) gilt ~ ~ W J + o fiir n-m utid damit A,f),rfc. Aus den Bedingungen 1-11.2 ergibt sich leicht., dafj die Operatoren f z E 2(im &,) invertierlmr sind, wobei (f:)-lz

2 ( f - 1 ) : ist. Da wegen I I I . 1 sup li(f-l)zl/ gilt, so ist damit die Existenx voli

Operatoren 11; Y D,(f-l)Lf 2(imQn, im P,) mit folgenden Eigenschaften hewiesen: n

A,D:, = I i l l , ~ , l q S U ~ 11.DAIl<- . n

\\'en11 nun die Bedinguiig (a) des Satzes 1. erfiillt ist. dnnn FoIgt. hieraus A;' =I);& und damit die Htaliilitiit clvr Folge {An}.

( 1 0 ) konstriiieren wir Operatoren C,EP(im Q,, im P,) niit. LVir iiehrnen & t i , (la13 die Uedingung (h) des Satzes t erfiilltist. I n Xiialok,' 710 xu

s

einfuhren. erhalteh mir unter Henutzuny ~ ' 0 1 1 ( 1 1 )

mit C,A% 2g + v,

.Ails den 13etiingungen I und (1)) des Satzes 1 mwie der Eiyenschttft TkA- lc 3C( 1'. %) dilieUt man leicht, da13 ilVai/.+U fur n-cu und damit C n A n s f t gilt. F~1glic.h hind die Operntoren s l , ~ P(im P,, im 0,) inrertierhar und A;' =I&rP,. (1. h. die Folge (A,) ist stahil. (4.e.d.

Beinerkuug 3. Reim Reweis der Implikation Stabilitat -lokale Stalditat wurde 1 on den Kedingungen (a)* (I)) sowie yon der Invertierbarkeit des Operators -4 c 8 kein Ge1)rauch gemacht.

Renierkung 4. Die Idee des Lorstehenden IIeweises stdtzt sich auf eine modifi- xierte HANAc.H-Algebra-Technik, \vie Hie im Heweis des lokalen Prinzips 1 on (~WIIBF:RG itnd KRVPNIK [3] henutzt wurde.

2. Eine Kollokationsmethode fur die singuliire Integralgleichung

\\'ir 1)etr:tchten die singulare Integralgleirhiing der Ge~tttlt

( 1 ' ) (-43.) ( t ) : = c z ( t ) r ( t )+b( f ) (Sr) ( f ) = y ( f ) (tEI',,) mit dern ('Accmwhen singularen Jntegral

r n

Hierbei Hei I-,,: = (f E ( ' : it/ = 1 ) der positiv orientierteEinheitskreisundfz. b c PC(I',) ( ( I . h . (lie Ai)schlieBung in der Su]jremum-Norm der A41gehra der Rtuckweise steti- gen Fiinktiotwn mif T(,) gegebene Koeffizienten. Rekanntlich i a t A E 2(L2(.Z7,,)). Jm 11 eiteren bezeirhnen wir mit c( ( t -t 0). b (t k 0) entsprechend die (im Sinne der Orien- tierung von J',,) rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte der Funktionen a, 6, wohei .sir fiir einen Lhstetigkeitspunkt fcTo stets n(t) =a (t - O ) , b ( t ) = b ( t - 0 ) rereinha- yen wollen . (;esucht ist, eine Niiherungslosuny der GIeichung (12) in Form eines Polygons der Gestalt

11 - I (13) l , ( t ) = 2 t k $ P ( t )

k=O

mit den stuckweise linearen Splines I

( t - - t k - l ) / ( t k - t k - i ) fur t € t k U l t k ,

~ ? ( t ) : = ( t k + l - f ) / ( t k L l -fk) fiir tEtktk+, ~ I 0 in allen uhriyen FBllen .

h

246 PrtiDdorf, Ein 1.okalisierungspririzip

A

Daljei ist tk = e 2 z i k ” z ( k : = ( ~ . ..., n - I ) , und t r - l t k hedeutet, das Hogenstuck euf r;, rnit den .Endpinkten t k P l u n d t,. Die Koeffizienten tk ---tp) (72 c*V) sind ails dctm linearen a1~:el)ralscizen Bystem der sog. Koliokstionxgleichu ngen

(14) ( . 4 q z ) ( t ; ) -==!/(ti), j ;= 0. ... , n - 1 ~

zii bestimnien-. Die ljeschrielrene .Kollokationsmethode wirci oft T’ol~~g~~rr.,/,lc.tlr~f/~~ genannt..

Es ist leicht eineusehen, dalS (14) der Projel;tioiisglei<!hung li,AL,&r,, = Kn?/ Bquivdent ist ; hierbei hezeichnet L, den Orthoprojektor ~ 0 1 1 Lz(.l’u) auf deli

Unterraum aller stuckweise linearen Funktionen der Form (13) und K , den (fur heschrlinkte Ihnk t,ionen y defi nierten) ~ntery)olat,icinsl)rojektc,l.

n-I

( Kny)( t ) : = c y(tk.) c#’(t) . h = ( I

Sa.Oz 3. .Die Kollokatiorwmethode ( 14) (oder die F o l p dar N ~ ~ h ! r u . n g s o ~ e r a t ~ r ~ i ~ . {Kn44 L,)) isf rt’uijm u.nd nw rltrn,,r sticbil, i r e n n tlie folyrudeti Bedingungm e,rfiillt sind : (i) d ( t ) : = n ( t ) --h(t) + o . V t E I ; , ;

c G ( t + O ) + ( t - p ) (, (t-O)B(--Cx>, 01 P (1

(iij

f u r alle t E 1; und all! reallen Zahlen p, 0 s p 5 1 , wobei c = a t h ist.

Tf7erin clic Reili t igwigeiz (i) i d (ii) erfulkt sind, da~zn 1 i . d dtrs SysterrL ( 14) e h c eiii - de?itige Losung x, f u r alle hinreichend gropen n, und rnit n--- konvergiart rR in tier .Lz-Norriz gegen die Losmg x c L?(I’()) der Gleirhung ( 13) f i ir cinr b e l i e b l p besrhrdnN(, RIEI1.A~~--i?ztegrierbare Funktion y.

Bmcrkiing 1. Offensichtlich ziehen die Redingungeti (i) iind (ii) die I iivertiw- harkeit des singulBren 1nt.egraloperators A im ltauin U(J‘,,) nach sich (vgl. I3.1 odor [ i ] ) . l r i i Falle st,et’iger Koeffixietiten a und b sind tlie I<edingiingen (i) und ( i i ) der starken Elliptizitilt von A , d. h., der Beclingung

Ziquivalent, (vgl. hierzu [ 101). Fiir stetige Koeffizienten wurde Sakz 2 (in etwas ver- schiirfter Fnrm) in [ 101 unter Renutzung dcr Theorie der %irkulanten I.iewieser1. In [ 101 sind hereits die grundlegenden Eigenschaften der Operatoren A, = K,A 11, en finden, auf denen das LokalisieningRI)rineip a u s Ahschnitt 1 hs ie r t . Viir KO- effizienteii ti,, b e PC(Po) ist Sat,z 2 mit einer etwas anderen lokiden Technik i n [ 131 Lewiesen worden.

Bemerkiiiig 2. \Vie leicht einzusehen ist, sind die Bedingutyen ( i ) nnd (ii) tler

n. ( f ) .tAr,(t) + o . vtcr,,. V?.: - 1 21 2 1 ,

folgenden l3ediiigiing Bfiuivalent (siehe [ 131) :

(15) ,L6 ( ( I .C( t+O) f i l~b ( t + O ) ) ( u , ( t - O ) f & b ( t - 0 ) ) + ( 1 ---p)(cr(t-tO)+A.,b ( t ~ 0 ) ) ( , ( t - o ) t . I , b ( t - 0 ) ) ~ i 0

fur alle f c l ’u sowie alle reellen Zahlen , u c [ O , 11 und A,, A S & [ - 1 , 13.

\\'ir zeiyen jetzt. dd3 Rich Satz 2 aus Satz 1 ableiten liiBt, wenn man fnlgende .\tiiiahnien trifft : x'= 1' =&(To). z sei der I<Ah-AcH-Raum R(ro) aller heschrknk- ten KiEJrrlss-integiierbaren Punktionen auf I ; , mit der Supremum-Norm, P,, =A',, L,,. d ) , , = K B = = K n . 8 = { A + T : TEc7i(LJ(l',,), B(f',,))}, X=C"(I',). Des nei- teren sei :'lit (tcI; ,) die Menge aller reellwertigen Funktionen f,C;TZ mit 0 -:ti 1 .

I . U I ~ ) f,c ft '= 1 in V t , u-ohei V , c t ' tcTo Umgehungen des Punktes t<rO be- zeic.l;nen. SchlieNich ordnen wir noch jecleni singullren Operator A der Gestalt

i 2 ) und eineni heliehigen fester1 Punkt t c I'(, den folgenden singuliiren Operator .1, mit o t i i c . l i u else konstanteu Koeffizienten Z I I

(n ,p- to-g) l + ( b + p + b - q ) AS.

1)alJei Iiezeichnet 2) die rharakteristische Funktion des Kreishogens mit den End- iiunkten t mid - t , q = t - p iind c(+ - ==u (fFO), 6, -7b (fkO).

1)anii sind atle Bedingungen I bis V aus Ahsrhnitt 1 erfiillt, wohei aulierdem fi ir eine heliehige heschriinkte Funktion f auf To die Keziehnng l/KJA,ii > c sup I f , niit eitier 1 on n unabhangigen Konstanten c gilt (siehe [ 101). Satz 2 ist somit eine ctirekte Folgerung des Ratzes 1 und des nachfolyenden Lemmas 2.

Leiiiiiia 2 . Die Folge {KnALfi] ist gennu dnntk lok((1 .utnbil. wenn (lie Rdingtctigeiz (i) m d (ii) (IPS Sntzm 2 erfallt dnd.

iSeweis. Ua die Riiume X,: =im r,?, endlirhclimensional sind, ist die lokale Stnhilitat hereits diirch eine (heliehige) der Keziehungen (7) erkliirt. Wir betrach teti die 0l)eratnren (.4!),,: :- K J t l & . \'l'egen K,,f = IC,JK,, erhalten wir

( '4th = (a tPn + (' - 411) 1, + ( h +P, f +h s,, . I)en Raiiin S,, identifizirren wir mit dem durcli

, 9 1 - 1

nortnierten Kaum aller 'i'ektoren E = (tk)izA (&gC:) (vgl. hierzu [lo]. Abschnitt 1). h n n ix t durch die Beziehung

248 ProBdorf, Ein Lokalisierringsprinzip

und

(17)

\Vjr nehmen zuniichst an. clan die Redingungen (i) und (ii) des Satzes 2 erfiillt sind. Aus (15) folgt unmittelhar, da13 die Operatoren B,' : =0--1~~ +b_i l , invertier- har sind. wohei sup i[B;'ll -=a ist,. Unt>er Reriicksichtigung von (16) erhdt man aus

(1 7) leicht die Darstellnng

F; ' (A t),F, = P,(. + 1, + b + A,) +Q,(a - I , + b -1 I , ) .

t1

(18) F,-'(At),Ka = (In + PJ%aQm) (PnJ%P, +Q,J B,

u, : = (a.+ I , +b,' 1,) &-I, t b -An)- ' . mit dem Diagonaloperator

Dahei gilt, offensichtlich ( I , + PnDnQ,)-l = I , - P,D,Q,. Da die Diagonalelemente von .!Itl. infolge einer hekannten Eigenschaft gehrochen-linearer Ahhildungeii aiif einem Kreisbogenstuck liegen, dessen konvexe Hiille nicht die Null enth8lt (vgl. (Is)), so existieren Konstanten ~ E C , 161 = 1, und 8 > 0 mit ( 1 0) Re ( @ P , D ; P , ) z d . Folglich sind die Operatoren P,D,P, +Q, invert.ierbar, itnd es gilt sup i1(.P,DlLPR + +62,)- 111 -=m. Damit ist die Stabilitat der Folge {(At)m} fiir heliehiges tCF0 u n d erRt recht die lokale Btalhilitiit der Folge {A , } hewiesen.

Sei umgekehrt {A , } lokal stabil. Durch Anwendung dos Satzes I auf den Ope- rator A,(tCr,,,) schliel3t man leicht, dal3 die Folge { (At ) tL} stabil ist. Fur n.+- gilt

P , , L , , - P : = . - ( I + X ) und .I , ,L,-eI, wobei ~(C'""):=/(S) und /cC-[O, 11 eine mo-

noton fallende Funktion mit den1 W'ertebereich [ - 1 , I ] ist (0. B. d. A. kann man t = 1. setzen; siehe [lo], [I.3]). Hieraus folgt zusammen mit (17) fur n-cm:

wobei B:=P(a+ -kb+p)+&(a-+b-e) und &:=I-€' ixt . Die beiden letzten Re- ziehungen sowie die Stabikiit der Folge {(At)?:} liefern die Invert ierhrkeit dew Operators BE f(L'(I"J) und damit die Bedingungen (i) und (ii) (vgl. [7]) .

Beinerkung 3. Aus bekaniiteri StorungssBtzen fur Projektionsverfahren (xiehe [12]) liiBt sich leicht schlieljen, daB Sat,z 2 seine Giiltigkeit behllt, wenn man ,4 durch ,4 + T ersetzt, wobei TcX(L'(r,,), R(P,,)) ein beliehiger Operator mit dim ker (-4 + 5") = 0 ist. Aunerdem liifjt sich Satz 2 unter lIeiiutzung des Satzes 1 auf Systeme singularer Integralgleichungen der Gestalt ( I 2) sowie auf den Fall einer heliehipen geschlossenen ~~JAPUNOw-KUrve F verallgemeinern (siehe [ 1 1 . 131).

?a

1 9 .#

F;'(At)t4F,Lp& -R, E','(At);F,L, .-+ B*,

3. Spline-Kollokation von Pseudodifferentialgleiehnngen auf geschlossenen Hurveii

Sei 1' eine einfache geschlosaene C"-Kurve in der komplexen Ebene und 2 = : ( T ) . 0 >x I: f . eine regulare I'nrameterdarstellung von 1'. Dann kann man jede Funktion f auf 1' mit der 1-periodischen Funktion f ( x ( x ) ) der reellen Veriinderlichen .r identifixieren. Entsprechend identifizieren mir auch den 8 0 ~ m r ~ ~ w r a u n i H8(I')

(s heliel~ig reell) mit dein periodischen SoBoJ,i:wraum H a , d. h. der i2bschlieBung der Menge aller glatt,en 1 -periodkchen Funktionen hexudich der Korm llfl18 = ( ( I . f)8)1"29

1wbei '/. $,&: '"&+ z' f& 12nk,?8

O+ktZ 1

tias innere Yrodukt ist. mit den FoURImkoeffizienten j?k = e-'nikzf(z) dr . Sei

E ?(W. H8-'lf) ein Yseudodifferentia.loyerat.or auf I' der Ordnung 2 x , U E R, niit dein Hauptsymlml no=a,,(z, E ) : I'xR\(O)-C ( ( lo ist eine C--Funktion, die auBer- dem positiv homogen vom Grade 2a bezuglich 6 .tr 0 ist ; bezuglich Definitionen siehe z. 13. 1191). Lm Falle a=O hat A die Darstellung A = A o + T , wobei A . der singuliire Integraloperator (12) und T konipakt (ein Tntegraloperator mit glattem .Kern) ist; dahei gilt a&. 5 ) =a(z) +tb(z ) .

0

\l'ir uiitersuchen die Approximation der Lomng der Cleichung

(20) A U = f in it t el s Koll oktttion bei Spline- Ansatz f unk tionen. Zu diesem Zweck hetrach ten wir die Stutzstellen xk = k/n fur k = 0, ..., 12. - 1 (nt: N) und bezeichnen A : = {xk>. AuBer- dein fiihren wir die Kollokationspunkte t j = ( j + l / 2 ) / n . j = O , ..., 11- 1, ein iind xetzen :.I: =(ti}. Mit S,(A) bezeichnen wir den Raum aller 1-periodischen. ( ( I - 1)- fach Rtetig differenzierbaren Splines (d. h. der beziiglich .4 stuckweisen Yolynome) yom Grade ( I 1 1 ; #,(A) bedeute den Kaum der entsprechenden St~fenfunkt~ionen.

Die Kollokat,ionsmethode fur die Gleichung (20) hesteht nun darin. eine Spline- Funktion zi, t: #,(A) so zu bestimmen, daB die Gleichungen

(21)

erfullt sind. Jni weiteren werden wir stets d 2 2 a voraussetzen, so daW Au,, stetig ist wegen S,(:I) c Hd+'['-' ( E =-O heliebig). AuOerdem heschrknken wir uns hier auf Splines geradeu Grades d z 0.

Jlit den Kollokat,ionspunkten t j =: xj iHt die Nethode (21) vollsthdig von h- SOLD und \VImDJAXD [ 13 fur Splines ungeraden Grades c.! und von 8CHlTIl>T [ 161 iiir Splines geraden Grades untersucht worden. Alle genannten .Untersuchungen stiitzen sich auf die in [ I ] bewiesene Bquivalenz zwischen der Kollokationsmethode (2 1) und gewissen Variationsmethoden, wobei Anmtz- und Testfunktionen im all- yemeinen von verschiedenem Grad sein konnen.

Leinnia 3 ([.I, 8. 151). Sei dzo sine gertcde ynnze Znhl. Dunit siwJ d i e Kdloku- tiomgleirhungen (2 1 ) den GAI,ERKTN-PE;.laov-Gl~ichuizgen

-.

(,4@.%) ( t i ) = / ( t i ) , j = o1 ..., n - 1 ,

(22) (B?.&, I l ) ( j = ( f 7 O)& vcESd+l(d) * (1 2

sitit d = - t t iiquiw.lant.

I)er YYeudodifferent.ialoperator A heifit &zrk elliptkch. wenn pqI(z: 4- 1 ) + (1 - p ) a, (2 , - 1) *o, Y(z, p ) E r X [ O . 11

gilt. Der Index eines solchen Operat.ors ist gleich Null.

280 PrBBdorf, Ein Lokalisicrun~~priiieip

Satz 3. Sei A : Hd'+a-+Ha'-a , d' = ( d + 1)/2, stark elliptiscil ?end dim ker A =: 0. Damn ist die Kollokatiotwrnethode (2 1) stabil, die Gleich.uragerz (21) besitzen eine eiw- deirtige Tloswig Ti,& ~S,( r l ) fur 91 2 no itwl a gilt die Pehlerabsclzafz~cr~g (23) I:?! -

1I7~nn zusi i tdidi u E I?', d' -1- CI = d + 1 , ist, d a n n gi l t 1

(24) 1,'1~--,~li~-cn'-'ll~II, fur d ' + a : s t - : s , t -=cl+9 . -

Satz 3 ist von SARAKEN und %'ENDLAND [ 181 unter der sehr einschrinkendeii Voraussetzung hewiesen worden, da13 das Hauptsymlrml ctl,(z, [) =ti,,([) nicbht von der \.'nriaMen z ahhiingt. Diese Voraussetzung ist jedoth wesentlich fiir die in [l5l henutzte Methotie. die von einer expliziten FOURTERitn&Ij his ~ n v o h l der Spline- r h m e a18 aurh drr C T ~ ~ l ~ ~ ~ ~ N - P ~ ' ~ R o \ ~ - G l e i e h l l l l g e n aubgeht und die Rich weiterhin auf die St~bi1itats~)edingunbr von B A B V ~ A stutzt. Slit Hi1 re defi Batzes 1 kijnnen wir die in [ ISJ erhaltenen Resultate auf den im Ciatz 3 hetrachteten allgemeineren Fall ubertragen : M'ir setzen hier X = Ha'+', I'=Z = Hd'-a und 3lZ=C"(I'). Mit P, = R, bezeichnen wir den Orthoprojektar von x auf Xd( r l ) und mit &, = 8, = pi den Projektor, der in P durch die Beziehunp

(P;71. l !>)~==(U* P,UJ>,. .uCH&-a, ?DFHcf"Ci

definiert ist. woilei P , den Orthoprojektor von H c + 2 + ' aiif dessen Unterruuni S d + l ( A ) hezeiehnet. Des weiteren xei Xtc S X die in Ahschnitt 2 eingefuhrte Unter- merige und 8 die Menge aller Pseudodifferentialoperatoren A : X --t Y . Fiir A E 8 und festes t € J'bezeichnen wir durch A,€ 8 den Operator mit d e n Hauptsymbol ao(t,5). I)afurdielierdefiniertenProjektoren P,dieHeziehung (1) mith = l/ngilt (siehe[!b]) und da ein Pseudodifferentialoperator hekanntlich ein Operator vom lokalen Typ ist, so sind aUe Redingungen I bis V. t am Abschnitt 1 erfiiilt. Aufgmnd des Satzes von GOCHRERG-SJ~:EI,EY IllAll j --max Inn(z, f)] (siehe [7. 191) gilt (5) u n d drtmit IZe- dingung V.2.

Der erste TeiI des Satzes 3 ist somit eine urimitte1t)are Polgerung aus Ratz I , wenn men lberiicltsichtigt, daB die Kollokstiorismethode (21 ) Fur die Operatoren A , nach [15] strthil ist. Die Ahschiitzungen (23) und (24) erhslt man mit Hilfe der ult- lichen GAL'mKm-Technik (vgl. Theorem 3.5 aus [la]).

Renierkiing 1. Mit Hilfe des Satzes 1 und der in [I51 benutzten cherlegungen 15iBt sich zeigen, daS die Hedingungen des Satzes 3 auch notwendig sind fur die Staiditkt der l(olIokationtime,thode (21) Auf dieselbe \Z eke kann man beweisell. daB ein zum Satr; 3 analoger Satz auch fiir Splines ungeradeii Grades rl gilt. wenil man vorauwetzt, dalS anstelle A der Operator AS stark elliptiwh ist.

-

Hcmerkung 2. Die Ergelmisse dieses Ahxchnitts haben wir in unserem Vortrag [9] vorgestellt. Unmittelbar vor dieser Tagung 'hahen wir von Herrn Professor WENUI,AND yon einer unlingst entstandenen Arbeit von D. N. ARNOLD, IV. L.

\YI~:SJII,AXI~ "On even decree spline cwllocation of pseudodifferential rquationb with non-mnstamt principal itart" (erscheint ~ora~issiehtlieh in Numerisehe Math.. 1934) erfaliren, in tler Satz 3. ehenfalls i~riter Iknutzung der Eigenschaft (1). he- !\ well \\ orden ist.

-1. Reweis der Eigensehaft (1) fiir bhramsche ~iiisga~ngsfuiik~onen~

ti ier 1)emeisen wir die Eigenschaft (1) fiir eine Klrtsse mehrdimetisiondtv f i i i i - ter Eleniente. die r an MTOHLTX [GI (siehe Kap. 1, $5 4-5) eingefuhrt r u d e .

\Venn r = (z,. .... q,J eiii Punkt des m-dimensionalen Eiiklidischen Raumes Rm Y - = ( x , . .... rm) eiii Multiindex. N eine reelle %ah1 iind u(x) ejne Funktion f on x ist, r1:inii 1w.n iitzen wir (lie ill diche Rexeichnunlrsweise

;z - X ~ L . . . + T ~ ~ . I( '(u ..... n)cR'". ~ - - ( t ' .

Sei .s eine festc naturlicheZah1, !z und y beliehige Multiindizes mit 1 % . /q' s.? - 1 .

1 . mq<C('-')(Rm) .? H'((Rm). wobei H'(R") = iVy)(Rffl) den Soholemschen Itaum

2 . supp m,cQ. wohei Q der Kul)us 0 =t 1 3 i d .

\Vir yehen iins eine Funktion ojP vor, die folgenden Rchngungen genugen sol1 :

lbezeichuet .

3. w(;)(l) -h l I ,

Fnnktionen O J ~ mit den Eigenschaften 1-3 nennt MIVFILTX [ 6 ] A 2/RYC(?IBSfl l lZkf iOl i ( ' ) (

(der Dimension 111 wid der Hohe R - 1 ). Yerschiedene Methoden %UP Konstrul<tion derartiger Funktionen sind in [6] angepehen.

Sei jettzt Qc R" ein hesehranktes Gehiet und h eine gewisBe positive Zahl. Jlit .I,, 1)ezeichnen wir (lie Merge ganzzahliyer Yektoren j clerart.dal3 (j t 1) h c Q gilt und itiit KIl den durch die Formel

fn r eine I)eliel)iaeFunktion 21 Cc8- " (Q) definierten Znterpolatioiisopertttor. SchlieK Iicli hezeichne Sfi =im K,, den Raum aller Funktionen der Gestalt

252 PriiBdorf, Ein Lokalisi~.run~~€iprinzip

init einer eon h anabhangigen positiven Konstanfen c = c ( f ) . Dabei bsdefezctPf ?(f. h,) d m Atetigkeitsrochd der Funktion f .

'Reweis. ?f7ir setzen qh=fur und x j = = ( j + l ) h. Unter Henutziing der Reziehung (25) sowie cler L~~nwizsc~hen Formel erhllt man leicht

init gewissen Konst.anten c,. Hierauv ergibt sich durch Differentiation DB mit -2 r :

a- - l

woraus unmittel tmr die Kehaiiptung des Batxes 4 folgt.

Pt, : H'(I2) +X,t den Orthoprojektor irn rCjoHom\vrauin H i (Q) hezcirhmt. Folgerung. I 'nter dlrin Voraitssetzunqen dcs Srctze8 4 gilt die Rcziehung ( 1 ), I I ' P I ~ , ~

,j.~. Der folgeride Ratz zeigt. dal3 die Rtabilitiit get\ iseer Projekt.ionsvei.fahren t)exiiglich der Multiplikation init Operatoren einev bestimmten T y p invariant 1st .

seien P,, Q , tind AS,, die i n Abschnitt 1.2 erklarten Projrktorcn un,d H E P( I-) eiii i ,iwrtierbrmr Opwrtor mit folgendvtr Eigetischnften: (i) ~ 1 1 p ~l&,SS,ll -=zoo, sup IIQnB-lXnll -=m.

(ii) IjQ,,B (I-Qfi)l l -0, l(Q,B-I (I-Q,)l l -0 fur )i --,a.

D a m ist far einen beliebigen Operator A E f (X , Y) die Folge {Q,&APB] gennnu dnttn stnbil. 7vcnr~ dic Folge {Qjl BA Pll} stabil ist.

Satz 5.

91 n

PrGBdorf, Ein Lokalixierungsprinzip 253

I!eweis. Itifolge der Hedingunpen (i) und (ii) gelten die Bezjehuiigeii

&,,BAY, 2 (Q,BU QJ P,& (QnBSn) QnB-'Sn ( Q n B - l S n ) &,BS, zsn,

woraus leicht die Behauptung folpt.

Heinerkung. Wenn B zuni Heispiel der Ope1 ator cler Multiplikatioii niit eii,cr nirgends vewchwindenden Funktion fim Raum Lj(T,) ist, dann sind die Bedi~gun- gen des Satzes 5 fur die Kollokationsmethode aus Ahschnitt 2 utid auc.11 fiir clas nachstehende ~ALER~rN-\~erfahren erfullt (siehe Lemma 4). Dasselhe gilt fur tlas (:Al,16RKI1-\'erfahren {p,L, p,,j mit deli 0rtiioj)r"jektoren P,, im Raum H'(f2) ( \ g1. Ahschni t t 4).

5.2. \\'ir hetracxhteti jetxt tlaS (;ALERKIN-\rei fahren fur die singdike Integral- yleicliung der Gestalt

(26) (Aa.) ( t ) :=n( t ) .r.(t) +b(t) ( S r ) ( t )=?J(t) ( t E I ' ) . Dahei sei cine heliehige einfache yeschlossene LupcNov-Kurve mit der h r a - meterdarstellung ; = Z ( . F ) , O s x & l , und a. bEYC'(1'). Mit 6 , . ..., s,.t[O, 1 1 bezeicli- nen wir alle Unstetigkeitsstellen der Funktionen n uncl b. Wir wahlen eine helie- hige (nicht notwendip aquidistante) Zerlegung * I : ={O=xo-=xI~. . . -=xn=l} , die siimtliche Punkte s, ( J = 1 , ..., X) enthalt. Mit PS,(.I) bezeiclinen wir den Rauni allel- 1 -petiodiwhen Splines, die ( d - 1)-fach stetig differenzierhar auf [ O , 1 {.pi. ..., ssi sind und deren Einschrankung auf [.rk, ~ ~ + ~ 1 (k=O. ..., t i - 1) ein Poly- n r ) m votn (:rade d P 1 ist : PS,(A) hedeutet den Raum der entsprecheiiden Stufeti- funktionen. GchlieBlich sei h : =max (xk+, --xk).

Das (~.4i.~~~is-\ 'erfatiren fdr die Gleichung (28) lhljt sich nun u ie folgt foniiu- liereri : (iesucht ist eine NaherungslSsung a ,F PAY,( 1). die die (lALERKTN-Gtei-

1

cllulIgen

(27) erfidlt. Dahei ist (.,.) das Skalarprodukt in Lz(1').

Hediiigumpi (i) w i d (ii) des h'atzes 2 erftilk sind.

ttnclerer Ktelle werciffentlicht wird (siehe [ 141).

( d z o ) . Wean die Punktioi? n -0 .

(As, , v)-(y, T ) , Vf*EPS,( 'I)

SatZ 6. n O 8 GALERKTB-FeYfIxkre7? (27) id yP?I(lU dO?t7? stabil (fc? h +o), 7CC???? diC

Zum Heweis des Satees 6 henbtigen wir folgendes Lemma. desseii Bewcis air

Lemitia 4. E.9 sri P,, der Orthoprojekfor in Lz(.Z') nuf den Unfrrruuiii PS,(A) YC(I ' ) nzcf LO, l]\{si9 .... ss} deli9 ist. damz giZf lzir

!l(I-Pd) f P , : -0, IPd f (I-P,J)i,+O. Der Heweis des Ratzes 6 aerlauft analog xu dem des Ratxes 2. Ziinachst bemer-

ken wir, dalJ (27) der Projektion~g~eichuJi~ I-',A-F)&', = P ,?/ Lquh alelit ist. \ \ i r setzen A,, : = P , A P , und hehalten ansonsten die Heeeichnungen ails Ahschnitt 2 bei.

254 ProBdorf, Ein Lokaliuierunguprinzii)

Es seien die Bedingungeti (i) und (ii) des Satxes 2 erfiillt. \\.ir wiihlen F=-O so klein, dafj (15) fiir alle pEl0, 1 1 und alle I , , I ,E[- l - E , 1 + F ] erfiillt ist. 13ekannt- lich gilt inf !/AS +TI! = 1 , wohei das Infimum iiher alle TEX(L1'(I')) zu erstrecken ist (siehe [3], Geite 328). Sei T,EX(Ls(F)) ein beliebiger Operatcrr rnit !IS +!Pjil-c 1 +E ui:d f l : =Re (S f !Pi). Da.tin ist selbstadjungiert, liflll< 1 + F , und wegen S* - -,SE3(L'(l')j gilt S=8 +T, mit T2€X(L2(F)) . Durch Einsetzen in den Operator A, (ten) erhalten wir (vql. Ahsclinitt 2)

(At) / ,%Ph (a+I/i +b,W,) f q h (a-I/' + b - J / J +T, = : A, +7',!. TEX(L"(r)) .

Dabei ist S,, eine 1ierniitesvIIe Matrix mit Eigenwerteii i:"'~[ - 1 - F , 1 + F ] . Sei jetzt .F, die unitkre Matrix niit

.ltA: = F;lfi/d;,b;,=diag (At), ..., I$)) . \Vegen Lemma 4 gelten die Beziehungen (16) mit GZ statt = . hidem wir die t he r - legungen aus dem ersten Teil des Beweises von Lemma 2 wiederholen, erhalten wir die Stabilitat derFolge{A,).Andererseits gilt fur h - 0 : A , p A , (Al) /&+At=A +T. Hieraus folgt zusammen niit tler Invertierbarkeit von A , die 1 nvertierharkeit von '4 und damit auch die Staiditat der Folge {(At),L} (vgl. z. B. [2]) . Satz 1 liefert nun die Stabjlitat der Polge {A,<}.

Die .Notwendigkeit der Hedingungen (i) und (ii) lli13t sicli ehenfalls in Anslouie zum zweiten Teil ties Reweises von Lemma 2 zeigen (vgl. [ 141).

Remerknng. Ein etuas atitierer 'Beweis des Gatees 0, tler sich auBerderri auf G1eichungss;vsterne der Gestalt (26) iihertragen l a k , wird i n [ 141 gege1)en.

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