Ein A n a l o g o n zum Satz von Ivory.

Memoria di WOLFGA~G B~IHM (a Berlin)

Enrico Bompiani zu seinem wissenschaftlichen Jubildum.

Zusammenfassung.. Es wird das Tange#tenvierseit sines Kegelschni~ies einer Schar bstra. chtet und in diesem Zusammenhang sin SatB i~er gewisse Doppetverd|tnisse a u f Schar. kegslschni~tsn bewiessn. Dutch Vertauschen der ~Begf'iffe • Kegslschn4ttei~er Schar . und • Tangents sines Scharkegelsehnittes, geht dieser Saim in sine projektive Fassung des ~a~ge$ vo~ IVORY i~ber.

Ein lineares System 1. Stufe yon Klassenkegelschnitten heisst Kegelschnit- schar. In ibm sind i. a. 3 Punktepaare, n~tmlich die Gegeneckenpaare des gemeinsamen Tangentenvierseits, als ausgeartete Kegelschnitte enthalten. Fallen die Punkte sines Paares zusammen, so enth~lt die Schar einen Dop- pelpunkt, sie heisst dann Btlschelsehar und besteht aus allen Kegelsehnitten, die sich in einem festen Punktepaar berilhren.

Ein lineares System 2. Stufe yon Klassenkegelsebnitten heisst Kegel. sehnittgewebe. In ihm sind ~ Kegelsehnittscharen enthalten, und zwei Scharen eines Gewebes haben immer einen Kegelschnitt gemein. Besitzt insbe- senders ein Kegelschnittgewebe einen Doppelpunkt d, so gibt es in jeder Schar des Gewebes, die den Doppelpunkt nicht enth~tlt, einen Kegelschnitt, der durch ein gegebenes Punktepaar des Gewebes geht.Er~ehSrt der Btlsehel. schar an, die das Punktepaar und den Doppelpunkt enth~tlt [1].

Da zwei beliebige Kegelsehnitte Ko and K1 und sin Punktepaar pl, ql auf KI ein solches Gewebe mit einem Doppelpunkt bestimmen, so kSnnen wir den letzten Satz aueh so ausspreehen:

(1) Liegt ein Paar yon Gegenecken p~, q~ eines Tangentenvierseits des Kegelschnitts Ko auf einem Kegelsehnitt K1, der mit Ko die Schar S bestimmt, so liegen auch die beiden anderen Gegeneekenpaare p2, q~ bezw. pS, qS dieses Tangentenvierseits (weft sie ebenfalls unserem Gewebe angehOren) auf je einem Kegelschnitt Ks bezw. Ks der Schar S (erste Figur) (1).

Dieser Satz l~sst sieh au[ folgende Weise erganzen:

(1't Ist T eine beliebige, aber feste Tangente yon Ko und sind s t und t I ihre Sehnittpunkte mit Ki, so gilt: Das Doppelverhaltnis (~) DV~ {p~q~s~ttl

(') Verv~andte S~tze bei [I.] und [2]. (s) ital. : birspporto.

222 W. BSH~x: E i n Analogon zum /$atz yon Ivory

der Punktepaare p~, q~ und s ~, t ~ auf K~ hat ftir die drei Kegelschnitte Kx, K~ und K~ denselben Wert (erste Figur).

p '

p~

K, " / /

7

/ / \ \

"'v(" / t I / /

J I o

"'- ' o) , ~ ~ ; f ;+ ....... /

/

/ / / //S ~ " - ."-.

K~

Wir wollen diesen Zusatz analytiseh beweisen : Es seien p~, p~, p~ bezw. i i i q0, ql, q~. die homogenen Koordinaten der Punkte p~ bezw. q~ und do, d~, d~

die homogenen Koordinaten des Doppelpunktes d unseres Gewebes. Denken wir uns diese Koordinaten boreits mi~ geeigneten Faktoren verseheu, so haben die Kegelsehnitte K~ bezw. K~ in don Geradenkoordinaten uo, u~, u2 wegen des Satzes (1) die Gleichungen

1 1 K~ : E p~q~u~u~ - - Y.. d~d~u~u~ = 0 ik ik

and K2 : E ~ u p~q~u~u~ ~ ~. d~d~u~u~ = O. ~k ~k

Subtrahieren wir die eine yon der anderen Gleichung, so erhalten wir die Gleichung des Kegelschnitts Ko

Ko: ~k i k

der ja gleiehzeitig der Sehar S angehSrt und dem Vierseit ]nit den Gegenek-

enpaaren p~, q~ and p2, q: einbeschrieben ist. Die Koordinaten m~, w~, x~

W. Boan: Ein Analogon xzcm Batx von Ivory 223

eines lanfenden Punktes x1 des Kegelschnitts Kl haben dann, wie man leicht nachpriift, die Parameterdarstellung mif dem Parameter A

Insbesondere ergeben sich ftir A = 0 und A = oo die aaf Ka gelegenen Gegenecken p3 und q' unseres Ta.ngentenvierseits. Setat man dies in die Gleichung zouo + xrUr + zzu2 = 0 einer zunt2chst beliebigen Ueraden u ein, so erhglt man eine Gleichung aweiten Grades fttr A

Ihre LBsungen A, und At sind die Parameterwerte der Schnittpnnkte s1 und t1 des Kegelschnitts Kl mit der Geraden u .

Fur das Doppelverhiiltnis unserer vier Punkte pl, ql, sl, f1 auf Kl, das bekanntlich gleich dem Doppelverhlltnis der augehijrigen Parameterwerte unserer Parameterdarstellung ist, ergibt sich dam, falls wir flir A,, At noch die Wuraeln der quadratischen Gleichung einsetzen

Einen ganE entsprechenden Ausdruck erhMt man fur das Doppelverhlltnis der vier Punkte p2, q2, s2, t2 auf K, , man braucht unter den Wurseln nur die oberen Indiaes ' durdh die Indiaes 5u erset~en,

1st nun u Tangente von KO, ist also

so sind die beiden Doppelverhi-iltnisse gleich, was 5u beweisen war; denn natttrlich hat d ~ n n auch das DoppelverhLltnis der vier Punkte p S , q8, s S , tS auf K8 denselben Wert

Der Sat5 (1) und unsere Ergi-insung (1') stehen in einer merkwlirdigen Besiehung aurn Sata von IVORY [Y] iiber die Diagonalen eines yon vier Kegelschnitten einer Schar S gebildeten I v o ~ ~ s c h e n Vierseits, den wir in seiner projektiven Verallgemeinerung etwa so formulieren wollen :

(2) Liegt ein Paar von Gegenecken p l , q1 eines T ~ o ~ ~ s c h e n Vierseits der Schar S auf einer Tangente I; des Kegelschnitts KO der Schar S (er wird

224 W. BSHM: Ei~ Analogo~ zum Satz von Ivory

in der Sehar S dureh T~ bestimmt), so liegen aueh die beiden anderen Gegeneekenpaare _p~, q" bezw. p~, q~ dieses lvoRYschen ¥ierseits auf je einer Tangente T2 bezw. Ta dieser Seharkurve Ko.

(2') Ist K ein beliebiger, aber fester Kegelsehnitt der Sehar S, und sind s ~, t ~ seine Sehnittpunkte mit T , so gilt: Das D o p p e l v e r h a l t n i s DVi(p~q~sq ~) der Punktepaare p~, q~ und s ~, t I auf ~/~ hat ftlr die drei Dia- gonalen T 1, T~ und Ts denselben Wert (zweite Figur).

ro

\

-. .

s i :

J i J t~i

/K ! ///1/~(~

Vergleieht man beide Figuren und die zugehSrigen S~ttze, so bemerkt man die knalogie: Es entsprechen sieh offenbar, wobei wir das gegenseitige Entspreehen in beiden Richtungen durch einen Doppelpfeil andeuten wollen,

Kegelschnitt Ki <---> Tangente T~

Sehar S ~ Kegelschnitt Ko;

also etwa: ein yon 4 Tangenten des Kegelschnitts Ko gebildetes (Tangenten-) Vierseit <---> ein yon 4 Kegelschnitten eider Schar S gebildetes (IvoRYsehes) Vierseit u.s.f. . Die S~ttze sind so formuliert, dass sie auf diese Weise fast w~rtlieh auseinander hervorgehen. Es sei noeh bemerkt, dass diese Abbildung bolder S~t~,e aufeinander durch eine allgemeine quadratische (nicht birationale) Transformation und ihre Umkehrung erreicht werden kann.

Im Ubrigen zeigt die erste Figur eine konfokale Sehar, die zweite hingegen eine Sehar mit 4 gemeinsamen reellen Tangenten To.

W. B~HI~I: -~i~¢ Analogo~ zum Satz yon Ivory 225

L I T E R A T U R

[1] E. M~LLER,

[2] ~ . CHASLES,

G. ~ARBOUX~

TH. REYE, [3] J . IVORY,

M. CHAm,ES

• D 6 n t s c h e M a t h . , V e r . B e t , 12 (1908) p. 105.

P a r i s C. R . , 17 (1843) p. 841 und 50 (1860) p. 626.

• S t t r n n 8 c lasse . . . . Par i s (1878) p. '208.

• Z g r i c h . Vier t . • 41 (1895) p. 68.

• P h i l . T r a n s , L o n d . , 9, (1809) p~ 355.

• J. M a t h . , 5 (1840) p. 485.

W. BLASCHKE • M a t h . Z. • 27 (19"28) p. 653.

W . B~HM , M a t h . N a c h r . • 13 (1955) p. 153.

Annali di Matematic.a 29