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逆格子ベクトルと回折現象
朝倉清高
Catalysis Research Center, Hokkaido UniversityCatalysis Research Center, Hokkaido University
CRC Hokkaido University
波の回折
θ1 θ1
d
dsinθ=d・k1
nλ= 2dsinθ
k1
k2波数ベクトル波の進行方向をベクトルの方向とし、大きさが2π/λなるベクトルを波数ベクトルk1,k2と定義する。
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格子と波数と回折条件
格子ベクトルをdとすると、
11 /sin kkdd ⋅=θ
22 /sin kkdd ⋅−=θ λπλ
θ
n
kd
=−⋅=
−⋅=
2/)(/)(sin2 1
21
21
kkdkkd
πn2)( =−⋅ 21 kkd回折条件
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逆格子ベクトル
逆格子ベクトルとは上の条件を満たすbjのことを言う。a1,a2,a3に対しては、b1,b2,b3が存在する
ijπδ2=⋅ ji ba
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問題
逆格子ベクトルは次のように表される。)(2 kijkij aa/aaab ×⋅×= π
これを証明せよ。
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回折条件と逆格子
回折条件は、散乱ベクトル(k2-k1)が逆格子点に等しくなったときにおこる。
∑=− i12 bkk in
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エバルトの作図
逆格子をえがく
逆格子の原点に向かって 入射波の波数ベクトルを書く
その始点を中心に波数を半径とする球
を書くとその交点で回折が置き、回折の方向はAHの方向。
k2
k1
k
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X線の散乱
X線は電子より散乱される。
その散乱の強度は電子の密度に比例する。
散乱された波は互いに干渉するが、その干渉の仕方は行路差による。
行路差は原点からの距離と波数とで
とかける
で干渉する。
rk •−= )( 12 kkrk•−ie
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構造因子
A(k)は結晶格子の中の式と結晶格子の式に分けられる。
))(exp(')'(
)()(
'
)()(
321rq,p,
'
)'(
321
321
aaakr
rk
aaarr
rrk
rk
aaark
rk
rqpider
derA
rqp
deA
i
rqpi
V
i
++−=
=
+++=
=
∑∫
∫
∫
•−
+++•−
•−
単位格子ρ
ρ
ρ
結晶格子構造因子F(k)
G(k)
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ラウエ関数とラウエ条件
ラウエ関数とよぶ。
k・a=2πでピーク すなわち、kは逆格子点 k=mb1+lb2+nb3(ラウエ条件)
)21(sin
)2
(sin
)21(sin
)2
(sin
)21(sin
)2
(sin)(
32
32
22
22
12
12
2
ak
ak
ak
ak
ak
akk
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅=
aba NNN
G
∑∑∑
∑⋅−⋅−⋅−=
++−=
)exp()exp()exp(
))(exp()(
321
321
akakak
aaakk
iriqip
rqpiG
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結晶構造因子
ラウエ条件より、k=G(逆格子ベクトル)
')'()( '∫ •−=結晶格子
rk rk derF iρ
')'()( '∫ •−=結晶格子
rG rG derF iρ
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光(X線)散乱の強度と電子密度
各逆格子点における散乱強度Fc(G)
rrGrG diFc c∫ ⋅−= )exp()()( ρ
)(rρ は電子密度
∑ ⋅=G
c iF )exp()(v01)( rGGrρ
電子密度は、各逆格子点での散乱強度のフーリエ級数として表すことができる。
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回折と原子の位置
電子密度は、原子の位置に対応するので、X線回折を測定することで、構造を決定できる。
電子線の場合には、電子密度の代わりに電場分布が散乱強度あらさすので、散乱強度のフーリエ変換は電場分布を表す。
中性子線の場合には、核の位置が分かる
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表面の逆格子
a1,a2は定義されるがa3(表面に垂直)は無限大と考えてやる。表面内の逆格子は定義できるが、b3=2π/a3は0の大きさを持つベクトルとなる。すなわち、表面の逆格子点に垂直に線がたつ。(逆格子ロッド)
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表面の回折法
LEED(Low energy electron diffreaction)低速電子回折
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RHEED(Reflection high energy electron diffraction)
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透過電子
回折像
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透過電子回折
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それぞれの手法のEwald球
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LEED,TED,RHEED
LEED
TED
RHEED
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付録Laue関数の導き方
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−−
=
−−
=
ΣΣ∑=
Σ=
−−
−
−
−
−−−
−
−−−
2sin
2sin
2sin
2sin
2sin
2sin
|)(|
2sin
2sin
)(
11
)(
32
32
22
22
12
12
2
1
1
2/)1(
2/)1(2/)1(2/)1(
2/)1(2/)1(
)1(
)1(2/)1(
)3()2()1(2/
2/
)3()2()1(
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
ka
k
ka
kakaka
kaka
ka
kaka
kakaka
kakaka
NNN
kG
N
e
eeeee
eee
eee
eG
i
iii
NiNi
i
NiNi
iriqipN
N
iriqip
L
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LEED,TED,RHEED
LEED
TED