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EES-20: Sistemas de Controle II
04 Setembro 2017 - Parte 1
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Margens de estabilidade
Lei de controle: u(t) = −Kx(t) + Fr(t)
r t u t y t
x t
F
K
r t u tF
K
x t Ax t Bu t Cx t y t
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Margens de estabilidade
r t u tF
K
x t Ax t Bu t Cx t y t
Introduzindo a notacao ψ = Kx , pode-se redesenhar o diagrama de blocosna seguinte forma:
r t u tF Kx t Ax t Bu t
C
x t
y t
t
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Margens de estabilidade
Para analise de estabilidade da malha de controle, pode-se considerarapenas os elementos destacados abaixo:
Kr t u t
F x t Ax t Bu t
C
x t
y t
t
Portanto, pode-se realizar a analise considerando o seguinte diagrama:
Kr t u t
F x t Ax t Bu tx t
t
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Margens de estabilidade
Kr t u t
F x t Ax t Bu tx t
t
Considerando estas equacoes de estado e saıda:
x = Ax + Bu, ψ = Kx
pode-se escrever a seguinte funcao de transferencia:
H(s) =Ψ(s)
U(s)= K (sI − A)−1B
R s U sF H s
s
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Margens de estabilidade
R s U sF H s
s
Se a malha for estavel, a robustez da estabilidade dependera da distanciaentre a curva H(jω), ω ∈ R, e o ponto crıtico (−1, 0) no plano complexo(pelo criterio de Nyquist).
Terminologia: Neste caso, esta sendo analisada a robustez considerando amalha aberta na entrada da planta.
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
Fonte deCorrente
i
f
mg
Ele
troí
mã
h
v
h = v
mv = mg − f , f = Kfi2
h2
Entrada: u = i
Saıda: y = h
Estados: x1 = h, x2 = v
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
Modelo linearizado em torno de uma posicao de equilıbrio h:
δx = Aδx + Bδu
A =
0 1
2g
h0
, B =
0
−2
h
√Kf g
m
Valores adotados neste exemplo:
m = 0,02 kg, g = 9,8 m/s2, Kf = 1× 10−4 Nm2/A2, h = 0,02 m
A =
[0 1
980 0
], B =
[0
−22,1
]
Matriz A com autovalores em ±31,3 (dinamica instavel em malha aberta)
Par (A,B) controlavel8 / 40
Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
Projeto por alocacao de polos:
• Fator de amortecimento ξdes = 0,9
• Frequencia natural ωn,des = 10 rad/s
tr (0− 100%) =π − acos(ξ)
ωn
√(1− ξ2)
= 0,62 s
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
>> A = [0 1;980 0];
>> B = [0;-22.1];
>> csi = 0.9; wn = 10;
>> p = roots([1 2*csi*wn wn^2]);
>> K = place(A,B,p);
K =
-48.8688 -0.8145
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
x2
x2
y1
Integrator
1s
Integrator
1s
22.1
980
u1
x1dx1/dtdx2/dt
To Workspace
y
Planta
u
y
xConstant
0
K* u
Condicao inicial: x1(0) = 0,01 m, x2(0) = 0 m/s.
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2
0
2
4
6
8
10
12x 10
−3
t (s)
y (
m)
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
Introducao de ganho α na entrada da planta:
To Workspace
y
Planta
u
y
xConstant
0 alfa
K* u
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2
0
2
4
6
8
10
12x 10
−3
t (s)
y (
m)
alfa = 1.0
alfa = 0.95
alfa = 0.90
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
>> sys_H = ss(A,B,K,0);
>> nyquist(sys_H)
>> margin(sys_H)
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Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nyquist Diagram
Real Axis
Ima
gin
ary
Axis
16 / 40
Exemplo: Sistema de levitacao magnetica
−40
−20
0
Magnitude (
dB
)
100
101
102
103
104
−180
−135
−90
Phase (
deg)
Bode DiagramGm = −0.844 dB (at 0 rad/s) , Pm = 10.2 deg (at 10.8 rad/s)
Frequency (rad/s)
PM = 10,2◦
GM = −0.844 dB
>> 10^(-0.844/20)
ans =
0.9074
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Calculo da margem de ganho
A =
[0 1
980 0
], B =
[0
−22,1
], K =
[−48,87 −0,8145
]
H(s) = K (sI − A)−1B =18s + 1080
s2 − 980⇒ H(jω) =
18jω + 1080
−ω2 − 980
∠H(jωcg ) = −180◦ ⇒ ωcg = 0
|H(jωcg )| = |H(0)| =1080
980= 1,102
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Calculo da margem de ganho
|H(jωcg )| = 1,102
Suponha que seja acrescentado um ganho α na entrada da planta. Nolimiar da instabilidade, tem-se
αcrit |H(jωcg )| = 1
ou seja, αcrit = 1/|H(jωcg )| = 1/1,102 = 0,9074 (que corresponde a−0,844 dB).
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Exercıcio (para casa): Calculo da margem de fase
H(jω) =18jω + 1080
−ω2 − 980
• Passo 1: Calcular ωcp tal que |H(jωcp) = 1|.
Resultado: ωcp = 10,8 rad/s
• Passo 2: Calcular ∠H(jωcp) (em graus).
Resultado: ∠H(jωcp) = −169,8◦
• Passo 3: Calcular PM = ∠H(jωcp)− (−180◦).
Resultado: PM = 10,2◦
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Resumo
−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Nyquist Diagram
Real Axis
Ima
gin
ary
Axis
−40
−20
0
Ma
gn
itu
de
(d
B)
100
101
102
103
104
−180
−135
−90
Ph
ase
(d
eg
)
Bode DiagramGm = −0.844 dB (at 0 rad/s) , Pm = 10.2 deg (at 10.8 rad/s)
Frequency (rad/s)
• Margem de ganho inferior de 0,844 dB.
• Margem de ganho superior infinita.
• Margem de fase de 10,2◦
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Alternativa: Projeto LQR
>> A = [0 1;980 0];
>> B = [0;-22.1];
>> Q = diag([1 1]); rho = 1;
>> K = lqr(A,B,Q,rho);
K =
-88.6991 -3.0045
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Alternativa: Projeto LQR
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2
0
2
4
6
8
10
12x 10
−3
t (s)
y (
m)
alfa = 1.0
alfa = 0.95
alfa = 0.90
23 / 40
Alternativa: Projeto LQR
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2
0
2
4
6
8
10
12x 10
−3
t (s)
y (
m)
alfa = 1.0
alfa = 0.70
alfa = 0.60
24 / 40
Alternativa: Projeto LQR
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Ima
gin
ary
Axis
−20
−10
0
10
Ma
gn
itu
de
(d
B)
100
101
102
103
−180
−135
−90
Ph
ase
(d
eg
)
Bode DiagramGm = −6.02 dB (at 0 rad/s) , Pm = 62.9 deg (at 57.6 rad/s)
Frequency (rad/s)
• Margem de ganho inferior de 6,02 dB
(isto e, αcrit = 10−6,02/20 = 0,50).
• Margem de ganho superior infinita.
• Margem de fase de 62,9◦
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Alterando os pesos
>> A = [0 1;980 0];
>> B = [0;-22.1];
>> Q = diag([1 10]); rho = 1;
>> K = lqr(A,B,Q,rho);
K =
-88.6991 -4.2458
26 / 40
Alterando os pesos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2
0
2
4
6
8
10
12x 10
−3
t (s)
y (
m)
alfa = 1.0
alfa = 0.70
alfa = 0.60
27 / 40
Alternativa: Projeto LQR
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Nyquist Diagram
Real Axis
Ima
gin
ary
Axis
−20
−10
0
10
Magnitude (
dB
)
100
101
102
103
−180
−135
−90
Phase (
deg)
Bode DiagramGm = −6.02 dB (at 0 rad/s) , Pm = 76.2 deg (at 85.1 rad/s)
Frequency (rad/s)
• Margem de ganho inferior de 6,02 dB
(isto e, αcrit = 10−6,02/20 = 0,50).
• Margem de ganho superior infinita.
• Margem de fase de 76,2◦
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LQR: Margens de estabilidade garantidas
R s U sF H s
s
H(s) = K (sI − A)−1B
Se o ganho K for obtido por meio de um projeto LQR, pode-se mostrar(vide material suplementar ao final dos slides) que
|1 + H(jω)| ≥ 1, ∀ω ∈ R
ou seja,|H(jω)− (−1)| ≥ 1, ∀ω ∈ R
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LQR: Margem de ganho
|H(jω)− (−1)| ≥ 1, ∀ω ∈ R
H j
H j cg
Margem de ganho superior infinita
Malha garantidamente estavel, mesmo que o ganho na entrada da plantaseja reduzido a metade: Margem de ganho inferior de pelo menos20log10(2) = 6 dB.
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LQR: Margens de fase
H jH j cp
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LQR: Margens de fase
H jH j cp
PM
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LQR: Margens de fase
H jH j cp
33 / 40
LQR: Margens de fase
H jH j cp
o
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LQR: Margens de fase
H jH j cp
PM
o
Margem de fase de pelo menos 60◦
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Material suplementar
O desenvolvimento adotado nos proximos slides segue a linha apresentadaem Faleiros e Yoneyama (2002, p. 174 e 175)1.
1Faleiros, A. C. e Yoneyama, T. Teoria Matematica de Sistemas. Sao Paulo:Arte e Ciencia, 2002.
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Material suplementar
Seja P ∈ Rn×n uma solucao simetrica e positivo-definida da seguinteequacao algebrica de Riccati:
ATP + PA− PBρ−1BTP + Q = 0
com A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×1, Q ∈ Rn×n simetrica e positivo-definida e ρ umescalar positivo. Pode-se entao escrever
(sP − Ps)− ATP − PA + PBρ−1BTP − Q = 0
ou ainda
(sI − AT )P + P(−sI − A) + PBρ−1BTP − Q = 0
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Material suplementar
(sI − AT )P + P(−sI − A) + PBρ−1BTP − Q = 0 (1)
Multiplicando ambos os lados de (1) por BT (sI − AT )−1 a esquerda e(−sI − A)−1B a direita, chega-se a
BTP(−sI − A)−1B + BT (sI − AT )−1PB
+ BT (sI − AT )−1PBρ−1BTP(−sI − A)−1B
− BT (sI − AT )−1Q(−sI − A)−1B = 0 (2)
Multiplicando (2) pelo escalar ρ−1, tem-se entao
(ρ−1BTP)(−sI − A)−1B + BT (sI − AT )−1(PBρ−1)
+ BT (sI − AT )−1(PBρ−1)(ρ−1BTP)(−sI − A)−1B
− ρ−1BT (sI − AT )−1Q(−sI − A)−1B = 0 (3)
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Material suplementar
(ρ−1BTP)(−sI − A)−1B + BT (sI − AT )−1(PBρ−1)
+ BT (sI − AT )−1(PBρ−1)(ρ−1BTP)(−sI − A)−1B
− ρ−1BT (sI − AT )−1Q(−sI − A)−1B = 0 (4)
Definindo
K = ρ−1BTP, H(s) = K (sI − A)−1B, V (s) = Q1/2(sI − A)−1B
pode-se reescrever (4) como
H(−s) + H(s) + H(s)H(−s)− ρ−1V T (s)V (−s) = 0
ou entao [1 + H(s)
][1 + H(−s)
]= 1 + ρ−1V T (s)V (−s)
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Material suplementar
[1 + H(s)
][1 + H(−s)
]= 1 + ρ−1V T (s)V (−s)
Finalmente, fazendo s = jω, conclui-se que
|1 + H(jω)|2 = 1 + ρ−1V T (jω)V (−jω)︸ ︷︷ ︸≥0
ou seja, |1 + H(jω)| ≥ 1.
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