Effekter af faseforskellen mellem bærebølgen ogindhyldningsfunktionen i stærkfeltsionisation af H og

H− med korte pulser

Christian Per Juul Martiny

28. august 2005

Bachelorprojekt i fysik

Institut for Fysik og Astronomi

Arhus universitet

INDHOLD 1

Indhold

1 Indledning 2

2 Volkov bølgefunktionen og vekselvirkningsoperatorerne 42.1 Volkov bølgefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Diskusion af vekselvirkningsoperatorerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Adiabatisk teori 6

4 Stærkfeltsionisation af H med en kort puls 94.1 Overgangsamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Volkov approksimationen til Ψ−f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3 Coulomb-Volkov approksimationen til Ψ−f . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Stærkfeltsionisation af H− med en kort puls 155.1 Indledende kommentarer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Grundtilstanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Overgangsamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Resultater 176.1 Indledende kommentarer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2 Hydrogen i et lineært polariseret laserfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.2.1 E-feltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2.2 ATI-spektre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2.3 CEPD-effekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.3 Hydrogen i et cirkulært polariseret laserfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3.1 E-feltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3.2 Resultater med ~E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3.3 Resultater med ~A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.4 H− i et cirkulært polariseret laserfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Konklusion 28

2 1. Indledning

1 Indledning

I 1980’erne blev laserteknologien revolutioneret, da det blev muligt at bygge lasere meden pulslængde af størrelsesordenen femtosekunder(10−15s). Siden er der blevet forsketintensivt i at skabe endnu kortere pulser. Rent videnskabeligt er en sadan laser megetinteressant, da den bade giver nye fysik effekter, samt muliggør studier af tidsudviklingeri størrelsesordenen femtosekunder.Som et eksempel ser vi pa en kemisk reaktion. En typisk undersøgelse af denne reaktionvil kun fortælle hvilke stoffer der dannes og ikke hvordan de dannes, i hvert fald ikke paatomart niveau. En undersøgelse af en sadan reaktion pa atomart niveau kan foretagesmed en laser. Tidsskalaen for en kemisk reaktion er dog i størrelsesordenen fs, og derforer det nødvendigt at bruge en fs-laser.Hvis man ønsker at undersøge elektronbevægelser i f.eks et atom, slar selv fs-lasereikke til. Et meget groft mal for tidsskalaen for elektron bevægelser i et atom er nemligsvingningstiden for elektronen(i grundtilstanden) i N. Bohrs model for hydrogen fra1913. Denne er givet ved,

T =2πa0

αc≈ 150 · 10−18sekunder (1)

hvor a0 er Bohr radius, α er finstrukturkonstanten og c er lysets hastighed i vakuum. Iden seneste tid er det dog blevet muligt at lave laserlys med en pulslængde i størrelsesor-denen attosekunder(10−18s) [1]. Disse pulser er sa korte, at det sandsynligvis er muligtat undersøge elektron bevægelserne i et atom ved hjælp af dem.En lang monokromatisk laserpuls er fuldstændigt karakteriseret ved dens frekvens, am-plitude og polarisationsvektor. En kort laserpuls kræver derimod flere parametre. Betragtfor eksempel pulsen beskrevet ved følgende vektorpotential,

~A(t) = −ε0ω

sin(ω(t− τ

2

)+ φ)e t ∈ [0; τ ] (2)

Her er ω vinkelfrekvensen, τ er pulslængden, e er polarisationsvektoren, og ε0 er ind-hyldningsfunktionen. Denne er givet ved,

ε0(t) = E0 sin2

(πt

τ

)(3)

hvor E0 er den maksimale feltstyrke. Størrelsen φ er faseforskellen mellem bærebølgenog indhyldningsfunktionen for det elektriske felt. Tallet φ angiver altsa faseforskellenmellem maksimum for det elektriske felt, og indhyldningsfunktionens maksimum. Detteer illustreret i figur 11. I dette projekt benytter vi den engelske forkortelse CEPD2

som betegnelse for φ. Den engelske forkortelse bruges, fordi størstedelen af litteraturenbenytter denne betegnelse. For en kort puls vil en ændring af CEPD dramatisk ændrepulsens rumlige form, som illustreret i figur 1. Dette betyder, at alle fysiske processerinduceret af pulsen ogsa afhænger af CEPD. Derfor er det vigtigt at kunne bestemmeCEPD for en given puls.

1Fra nu af benytter vi atomare enheder, med mindre andet er nævnt.2Carrier-envelope phase difference.

1. Indledning 3

Figur 1: Ez(den fuldt optrukne kurve) og ε0(den stiblede kurve) som funktion af tiden.I venstre graf er φ = 0, mens højre graf har φ = π

Betragt nu stærkfeltsionisation af brint via laserpulsen beskrevet ved (2). I det klassiskebillede vil feltet pavirke elektronen med kraften,

~F = − ~E (4)

For φ = 0 vil,

~F (tmax) = −Emaxe (5)

mens vi for φ = π har,

~F (tmax) = Emaxe (6)

Her er tmax det tidspunkt, hvor indhyldningskurven har maksimum, og e er polarisa-tionsvektoren. For φ = 0 vil spidsbelastningen pa elektronen altsa være antiparallel mede, mens spidsbelastningen pa elektronen vil være parallel med e for φ = π. Dette indik-erer, at fotoelektronens angulære fordeling afhænger af CEPD. En lang puls indeholderdog sa mange cykler, at vi ma forvente at denne effekt forsvinder. En analyse af brintvekselvirkende med en intens laserpuls med fa cykler, baseret pa Schrødinger ligningen,viser netop sadanne CEPD effekter[2]. I dette bachelorprojekt ser vi pa stærkfeltsionisa-tion af brint og H− med korte laserpulser, og undersøger hvordan den angulære fordelingaf fotoelektroner afhænger af CEPD. Vores fremgangsmade bygger ikke pa Schrødingerligningen, men istedet pa numerisk beregning af ionisationssandsynligheden pr vinkelpr energi i Volkov hhv. Coulomb-Volkov approksimationen(Se kap. 4 og kap. 5). Bereg-ningerne er gennemført for bade lineært og cirkulært polariseret pulser.I kapitlerne 2 til 5 udvikler vi den nødvendige teori, mens de numeriske beregninger ergennemgaet i kapitel 6.

4 2. Volkov bølgefunktionen og vekselvirkningsoperatorerne

2 Volkov bølgefunktionen og vekselvirkningsopera-

torerne

I dette kapitel beregner vi bølgefunktionen for en elektron i et elektromagnetisk felt.Derudover diskutere vi flere forskellige made, at repræsentere vekselvirkningen med feltetpa.

2.1 Volkov bølgefunktionen

Betragt en elektron som vekselvirker med et elektromagnetisk felt. Vi far gentagne gangesenere brug for bølgefunktionen for dette system, og ønsker derfor at beregne denne.Vi ved fra analytisk mekanik, at Hamiltonfunktionen for systemet er[3],

H =(~p+ ~A(~r, t))2

2− V (7)

hvor V er skalarpotentialet, og ~A er vektorpotentialet beskrivende feltet. Vi vælger atarbejde i Coulomb gauge,∇· ~A = 0. Poissons ligning fortæller straks, at skalarpotentialeter nul. Dvs:

H =(~p+ ~A(~r, t))2

2(8)

Hamiltonoperatoren far da følgende form, idet vi antager dipol-approksimationen.3

Hv =(p+ ~A(t))2

2=p2

2+ ~A(t) · p+

~A(t)2

2(9)

Operatoren Hv kan, via den unitære transformation Tl = exp(i~r · ~A(t)

), bringes pa

formen[4]4.

Hl = TlHv =p2

2+ ~r · ~E (10)

Repræsenterer vi vekselvirkningen ved Hv, taler vi om hastigheds gauge, mens beskriv-elsen ved Hl kaldes for længde gauge. Det kan vises, at kvantemekanik er gauge-invariant[4]. Vi kan altsa frit vælge hvilken gauge, som vi ønsker at benytte. Som vi skal se senere,er dette ikke korrekt, hvis vi benytter approksimationer.Lad os først se pa problemet i hastigheds gauge. Ifølge den tidsafhængige Schrødingerligning er,

i∂

∂tψ(~r, t) =

p2

2ψ(~r, t) + ~A(t) · pψ(~r, t) +

~A(t)2

2ψ(~r, t) (11)

3Da vekselvirkningen mellem elektronen og feltet kun finder sted indenfor et omrade af sammestørrelsesorden som et atom, er dette som regel en god approksimation. Dipol-approksimationen vilstilsigende blive brugt i resten af teksten.

4Bemærk, at dette er kun er rigtigt, hvis vi benytter dipol-approksimationen.

2.1 Volkov bølgefunktionen 5

idet vi benytter ovenstaende. Definer nu ψvV ved,

ψvV (~r, t) =

1

(2π)32

exp

[i~q · ~r − i

q2

2t− i

∫ t

0

~A(t) · ~q dt− i

∫ t

0

~A(t)2

2dt

](12)

hvor ~q er elektronens impuls. Da

i∂

∂tψv

V (~r, t) =i

(2π)32

∂

∂texp

[i~q · ~r − i

q2

2t− i

∫ t

0

~A(t) · ~q dt− i

∫ t

0

~A(t)2

2dt

]

=i

(2π)32

exp

[i~q · ~r − i

q2

2t− i

∫ t

0

~A(t) · ~q dt− i

∫ t

0

~A(t)2

2dt

]

×

(−iq

2

2− i ~A(t) · ~q − i

~A(t)2

2

)

=

(q2

2+ ~A(t) · ~q +

~A(t)2

2

)ψV (~r, t)

= HvψvV (~r, t) (13)

ser vi, at ψvV er en løsning til den tidsafhængige Schrødinger ligning. Bølgefunktionen for

en fri partikel i et elektromagnetisk felt kaldes for en Volkov bølge, efter D. M. Volkov[5].Ovenstaende differentiation viser, at ψv

V er Volkov bølgen i hastigheds gauge.Lad os nu se pa det samme problem i længde gauge. Da vi kender Volkov-bølgen ihastigheds gauge, kender vi naturligvis ogsa Volkov-bølgen i længde gauge. Vi skal jobare benytte Tl. Funktionen,

ψlV (~r, t) = Tlψ

vV (~r, t)

=1

(2π)32

exp

(i(~q + ~A(t)) · ~r − i

2

∫ t

0

(~q + ~A(t′))2dt

′)

(14)

er altsa Volkov bølgen i længde gauge.Lad os kort diskutere en tredie made at repræsentere Volkov-bølgen pa. Betragt følgendeHamiltonoperator,

H =

(p+ ~A(t)

)2

2+ V (~r) (15)

som beskriver en elektron, som vekselvirker dels med potentialet V dels med et elektro-magnetisk felt. Via en unitær transformation kan H binges pa formen[4],

H′=p2

2+ V (~r − ~α(t)) (16)

hvor

~α(t) =

∫ t

~A(t) dt (17)

6 2.2 Diskusion af vekselvirkningsoperatorerne

Denne beskrivelse kaldes for Kramer-Hennerberger frame, og er ligesom tidligere fuld-stændigt ækvivalent med den oprindelige [4]. Schrødinger ligningen for en fri elektron iet laserfelt har da formen,

HKH =p2

2(18)

i Kramer-Hennerberger frame. Volkov-bølgen i Kramer-Hennerberger frame er altsa enalmindelig plan bølge.

ψKH(~r, t) =1

(2π)32

exp

[i~q · ~r − i

q2t

2

](19)

2.2 Diskusion af vekselvirkningsoperatorerne

Vi har nu tre mulige mader at repræsentere Volkov-bølgen pa. Hvis vi regnede eksaktville de alle tre være ækvivalente og vi ville typisk vælge den, rent matematisk set,mest simple. Volkov-bølgen i Kramer-Hennerberger frame er matematisk noget sim-plere end de to andre. Kramer-Hennerberger frame har dog en stor ulempe. Lys-atomvekselvirkningen repræsenteres i Kramer-Hennerberger frame af den ikke særligt pæneoperator,

HLA = V (~r − ~α(t)) (20)

som blander det atomare potential med feltet og hvor der er muligheder for singulariteter.Da dette kan give problemer senere, er Volkov bølgen i Kramer-Hennerberger frame ikkeden rette beskrivelse for os.Vi sammenligner nu de to gauge beskrivelser. Operatoren ~E·~r har naturligvis størst effektfor r stor, mens operatoren ~A · p har størst effekt for r lille. Det sidste kan forklares pafølgende made. Operatoren p er en differentialoperator, og bølgefunktionen har størstvariation for r lille. Dette betyder, at ~A · p har størst effekt for r lille, da ~A ikke afhængeraf stedet. Længde gauge fremhæver altsa store r, mens hastigheds gauge fremhæver smar. Man siger, at længde gauge prober store r, mens hastigheds gauge prober sma r.Hvis man benytter en approksimation som er bedst for store r, bør man derfor benyttelængde gauge. Senere i dette projekt bruger vi netop approksimationer, som er bedstfor store r, og vi skal derfor benytte længde gauge.

3 Adiabatisk teori

I dette kapitel undersøger vi om CEPD-effekter kan beskrives ved hjælp af en sakaldtadiabatisk teori. Her approksimeres E-feltet med et monokromatisk felt.Betragt et atom eller en negativ ion som vekselvirker med en intens laserpuls. Vi erinteresseret i processen, hvor en valenselektron frigøres fra atomet. Ideen er nu, at forsøgeat beskrive E-feltet ved udtrykket,

~E(t) = ~E0 cos(ωt+ φ) (21)

3. Adiabatisk teori 7

hvor ω er vinkelfrekvensen, φ er CEPD og ~E0 er passende konstant fundet pa følgendemade:Lad pulslængden være τ . Vi udvælger nu en række tider 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn = τ , ogfor hvert tj bestemmes ~E(tj). Konstanten ~E0 sættes nu til middelværdien af disse.Vi erstatte altsa E-feltet hørende til vores puls, med et periodisk E-felt som er tilstedetil alle tider. Fordelen ved dette er, at vekselvirkningsoperatoren ~r · ~E nu er periodisk.Metoden har vist sig effektiv til at beskrive rimelig korte pulser [6].Det kan vises, at den differentielle ionisationssandsynlighed pr tid er givet ved [7]5,

dw = 2π∑

n

|A~pn|2 δ(E~p − Eb − nω)d3p

(2π)3(22)

hvor ~p er fotoelektronens impuls, E~p er fotoelektronens energi, Eb er elektronens bind-ingsenergi, og A~pn er,

A~pn =1

T

∫ T

0

〈 Ψ~p |V |Ψ0〉 dt (23)

Her er Ψ0(~r, t) = exp(−iEbt)Φ0(~r) elektronens initielle bølgefunktion. Altsa den bundnetilstand i atomet. Operatoren V er vekselvirkningsoperatoren,

V = V (t) = ~r · ~E(t) (24)

i længde gauge. Funktionen Ψ~p er den frigjorde elektrons bølgefunktion, og T er E-feltetssvigningstid. Delta funktionen i (22) udtrykker energibevarelse.Hvis feltet er stærkt, kan vi til en vis grad se bort fra vekselvirkningen mellem detioniserede atom og fotoelektronen. Sa er Ψ~p givet ved en Volkov bølgefunktion i længdegauge.

Ψ~p(~r, t) =1

(2π)32

exp(i(~p+ ~A(t)) · ~r − i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t′))2dt

′) (25)

Bemærk at denne approksimation er bedst for store r, hvilket motivere brugen af længdegauge.Spørgsmalet er nu om normkvadratet, af A~pn er følsom over for CEPD. Hvis ikke, vildw heller ikke være det, ogsa kan teorien ikke benyttes til at beskrive CEPD effekter.Følgende argument viser netop, at normkvadratet af A~pn ikke afhænger af CEPD.Sæt τ = ωt+ φ. Vi har sa, at

Ψ0(~r, t) = exp(−iEbt)Φ0(~r)

= exp

(−iEb

ω(τ − φ)

)Φ0(~r)

= exp

(−iEb

ωτ

)Φ0(~r) exp

(iEb

ωφ

)(26)

5Her er det essentielt, at vekselvirkningsoperatoren er periodisk.

8 3. Adiabatisk teori

og

(2π)32 Ψ∗~p = exp

(−i(~p+ ~A(t)) · ~r +

i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t′))2dt

′)

= exp

(−i(~p− 1

ω~E0 sin(τ)

)· ~r +

i

2ω

∫ τ

φ

(~p− 1

ω~E0 sin(τ

′)

)2

dτ′

)

= exp

(−i

(~p−

~E0

ωsin(τ)

)· ~r +

i

2ωp2τ − i

2ωp2φ

)

× exp

(− i

ω2~p · ~E0

[− cos(τ

′)]τ

φ+iE2

0

4ω3

[τ′ − sin(τ

′) cos(τ

′)]τ

φ

)= exp (−ig(φ))F (~r, τ) (27)

Her er,

g(φ) =p2

2ωφ+

~p · ~E0

ω2cos(φ) +

E20

4ω3(φ− sin(φ) cos(φ)) (28)

F (~r, τ) = exp

(−i(~p− 1

ω~E0 sin(τ)

)· ~r +

i

2ωp2τ +

i

ω2~p · ~E0 cos(τ)

)× exp

(iE2

0

4ω3(τ − sin(τ) cos(τ))

)(29)

Alt dette indsættes nu i udtrykket for A~pn, og vi far derved følgende.

A~pn =1

T

∫ T

0

∫Ψ∗~pVΨ0d

3rdt

=1

Tω(2π)32

exp(−ig(φ)) exp(iEb

ωφ)

×∫ 2π+φ

φ

∫F (~r, τ)V (τ) exp

(−iEb

ωτ

)Φ0(~r)d~rdτ (30)

Lad os nu se lidt nærmere pa integranden. Hvis vi kan vise, at denne er 2π periodisk ervi færdige. Integranden betegnes i det følgende med I. Det ses let, at

I = exp

(i

2ωp2τ +

iE20

4ω3τ

)f(~r, τ) exp

(−iEb

ωτ

)(31)

hvor f er en 2π periodisk funktion i τ . Ifølge energibevarelse skal E~p = Eb + nω, hvor n

er et naturligt tal. Det kan vises, at E~p = p2

2+Up = p2

2+

E20

4ω2 . Størrelsen Up kaldes for detponderomotoriske potential, og beskriver elektronens vekselvirkning med det oscilerendefelt. Heraf følger:

exp

(i

2ωp2τ + i

E20

4ω3τ − i

Eb

ωτ

)= exp

(i

(E~p

ω− Eb

ω

)τ

)= exp (inτ) (32)

4. Stærkfeltsionisation af H med en kort puls 9

Dette viser, at I er periodisk med periode 2π. Heraf følger,

A~pn =1

Tω(2π)32

exp(−ig(φ)) exp(−iEb

ωφ)

∫ 2π

0

∫exp(inτ)f(~r, τ)d~rdτ (33)

Nu ses det nemt, at normkvadratet af A~pn ikke afhænger af CEPD, da g er en reellefunktion. Dette resultat fortæller os, at vi ikke kan beskrive CEPD effekter v.h.a oven-staende. De midler simplethen ud. Det er egentligt ikke sa mærkelig, fordi CEPD-effekternetop skyldes, at indhyldningskurven variere meget indenfor en enkelt cykel. Derfor kanvi ikke approksimere E-feltet med (21), som jo er tilstede til alle tider.Vi er altsa nødt til, at beskrive pulsen mere eksplicit. I de næste to kapitler vil vi netopgøre dette. Først for brint og derefter for den negative hydrogenionen. Bade lineært ogcirkulært polariseret laserpulser vil blive behandlet.

4 Stærkfeltsionisation af H med en kort puls

I sidste kapitel viste vi, at en adiabatisk teori ikke kan beskrive CEPD effekter. Det eraltsa nødvendigt at bekrive pulsen mere præcist. I dette kapitel ser vi netop pa en meretidseksplicit teori for brint.

4.1 Overgangsamplituden

Vi ser pa et brint atom som vekselvirker med en intens laserpuls med fa cykler, somantages beskrevet ved E-feltet ~E. Lad os antage at tidsaksen er valgt sa, ~E(t) = ~0 fort ≤ 0 og t ≥ τ , hvor τ er pulslængden. Vi skal senere komme ind pa den eksplicitte formaf E-feltet, men indtil videre gør vi det generelt. Den tidsafhængige Schrødinger ligningfor dette system har følgende form.

i∂

∂tΨ(~r, t) = (H0 + Vl) Ψ(~r, t) (34)

Her er ~r elektronens stedvektor m.h.t protonen, og

H0 = −∇2

2− 1

r(35)

er den atomare hamiltonoperator, Vl repræsentere vekselvirkningen med feltet. Dvs.

Vl(t) = ~r · ~E (36)

i længde gauge. Til start(før atomet mærker pulsen) antages atomet, at være i grundtil-standen. Denne er som bekendt givet ved,

ψi(~r, t) = ϕi(~r) exp (−iεit) =e−r

√π

exp (−iεit) (37)

hvor εi = −0.5 a.u er grundtilstandsenergien. Vi ønsker nu, at beregne ionisation-ssandsynligheden, eller rettere ionisationssandsynligheden pr vinkel pr energi.

10 4.1 Overgangsamplituden

Systemets tilstand efter pulsen er saledes en indgaende kontinuums bølgefunktion forbrint. Denne er givet ved[8],

ψf (~r, t) = ϕf (~r) exp (−iεf t) (38)

hvor

ϕf (~r) = (2π)−32 exp

(πν2

)Γ(1 + iν) exp (i~p · ~r)F (−iν; 1;−ipr − i~p · ~r) (39)

Her er ~p fotoelektronens impuls, εf = p2

2er fotoelektronens slutenergi, og ν = 1

p. Funk-

tionen F er en konfluent hypergeometrisk funktion[9].

F (a; b; z) =∞∑

k=0

(a)k

(b)k

zk

k!(40)

Overgangsamplitude fra tilstand i ved t = −∞ til tilstanden f ved t = ∞ kan beregnessom [8],

Tfi =

∫(Ψ−f (~r, t))∗Ψ+

i (~r, t)d~r (41)

hvor Ψ−f (~r, t) og Ψ+i (~r, t) er løsninger til (34) som opfylder at,

limt→∞

Ψ−f (~r, t) = ψf (~r, t) (42)

limt→−∞

Ψ+i (~r, t) = ψi(~r, t) (43)

Det kan vises at[8],

Tfi = limt→−∞

∫(Ψ−f (~r, t))∗Ψ+

i (~r, t)d~r

= limt→−∞

∫(Ψ−f (~r, t))∗ψi(~r, t)d~r (44)

idet vi benytter betingelse (43). Vi bruger nu, at bølgefunktionerne ψf og ψi er ortogonalesamt (42). Herved fas,

Tfi = limt→−∞

∫(Ψ−f (~r, t))∗ψi(~r, t)d~r − lim

t→∞

∫(Ψ−f (~r, t))∗ψi(~r, t)d~r

= −∫ ∞

−∞

∂

∂t

∫(Ψ−f (~r, t))∗ψi(~r, t)d~rdt (45)

Dette kan bringes pa endnu pænere form. Ifølge den tidsafhængige Schrødinger ligningvil,

−i ∂∂t

(Ψ−f (~r, t))∗ = (H0 + Vl)(Ψ−f (~r, t))∗

i∂

∂tψi = H0ψi (46)

4.2 Volkov approksimationen til Ψ−f 11

Idet vi nu benytter dette, samt at H0 er hermitisk, far vi følgende resultat.

Tfi = −∫ ∞

−∞

∂

∂t

∫(Ψ−f (~r, t))∗ψi(~r, t)d~rdt

= −∫ ∞

−∞

∫ (∂Ψ−∗f

∂tψi + Ψ−∗f

∂ψi

∂t

)d~rdt

= −∫ ∞

−∞

∫ (i(H0 + Vl)Ψ

−∗f ψi − iΨ−∗f H0ψ0

)d~rdt

= −i∫ ∞

−∞

∫(Ψ−f )∗~r · ~E(t)ψid~rdt

= −i∫ τ

0

∫(Ψ−f )∗~r · ~E(t)ψid~rdt (47)

Kender man først Tfi, kender man ogsa ionisationssandsynligheden, fotoelektronens an-gulære fordeling, samt energifordelingen. Der gælder nemlig følgende sammenhæng.

∂2Pfi

∂Ep∂Ωp

= p |Tfi|2 (48)

Her er Pfi ionisationssandsynligheden, Ep er slutenergien, og Ωp er retningen hørendetil impulsen ~p for fotoelektronen. Vi skal bruge relationen (48) gentagne gange, sa lados derfor give et kort argument for (48).Sandsynligheden for at fotoelektronen kommer ud i kontinuumet med impulsen ~p er|Tfi|2, idet ψf netop er karakteriseret ved impulsen ~p. Dvs.

dPfi

p2dpdΩp

= |Tfi|2 (49)

Da Ep = p2

2og dermed dE = pdp, giver ovenstaende netop den ønskede relation (48).

4.2 Volkov approksimationen til Ψ−f

I princippet er vi nu klar til at beregne Tfi og dermed ∂2P∂Ep∂Ωp

. Vi har dog et stort

problem, vi kender ikke Ψ−f . Faktisk er det ikke muligt at løse (34) analytisk. En mulig

made at løse dette problem pa er at approksimere Ψ−f med en kendt funktion. Hvis felteter meget stærkt, kan vi se bort fra vekselvirkningen mellem protonen og fotoelektronen.I sa fald kan vi erstatte Ψ−f med en Volkov-bølgefunktion,

Ψ−f (~r, t) =1

(2π)32

exp(i(~p+ ~A(t)) · ~r − i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t′))2dt

′) (50)

som netop er bølgefunktionen for en elektron i et elektromagnetisk felt. Overgangsam-plitude Tfi i denne aproksimation kalder vi for T V

fi . Vi ønsker nu at finde et udtryk for

12 4.2 Volkov approksimationen til Ψ−f

T Vfi . Med ovenstaende approximation har vi, at

T Vfi = − i

(2π)32

∫ τ

0

exp

(i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t)

)2

dt− iεit

)× ~E(t) ·

∫ϕi(~r)~r exp

(−i(~p+ ~A(t)

)· ~r)d~rdt (51)

Definer nu operatoren ∇p ved,

∇p =

(∂

∂px

,∂

∂py

,∂

∂py

)(52)

Det ses nu meget nemt, at vi har følgende identitet,

~r exp(−i(~p+ ~A(t)

)· ~r)

= i∇p exp(−i(~p+ ~A(t)

)· ~r)

(53)

som indsættes i udtrykket for T Vfi . Dette giver,

T Vfi =

1

(2π)32

∫ τ

0

exp

(i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t)

)2

dt− iεit

)× ~E ·

∫ϕi(~r)∇p exp

(−i(~p+ ~A(t)

)· ~r)d~rdt

=1

(2π)32

∫ τ

0

exp

(i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t)

)2

dt− iεit

)× ~E · ∇p

∫ϕi(~r) exp

(−i(~p+ ~A(t)

)· ~r)d~rdt

=

∫ τ

0

~E · ∇p

(Φi(~p+ ~A(t))

)exp

(i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t)

)2

dt− iεit

)dt (54)

hvor

Φi(~p) =1

(2π)32

∫ϕi(~r) exp (−~p · ~r) d~r (55)

er Fouriertransformationen af den initielle bølgefunktion. Altsa grundtilstanden for brinti implusrummet. Det kan vises, at[3]

Φi(~p) =2

32

π

1

(p2 + 1)2(56)

Heraf følger umiddelbart,

T Vfi = −2

52

π

∫ τ

0

~E ·(~p+ ~A(t)

) 1

((~p+ ~A(t))2 + 1)3

× exp

(i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t)

)2

dt− iεit

)dt (57)

Dette er vores færdige resultat, som udtrykker T Vfi ved kendte størrelser, nemlig E-feltet

og A-feltet.

4.3 Coulomb-Volkov approksimationen til Ψ−f 13

4.3 Coulomb-Volkov approksimationen til Ψ−f

I dette kapitel vil vi forsøge, at forbedre Volkov-approksimationen til Ψ−f . Problemetved Volkov-approksimationen er, at den fuldstændigt ser bort fra Coulomb potentialet.Vi kunne godt tænke os en approksimation til Ψ−f , som til en vis grad tager højde for

Coulomb potentialet. Funktionen Ψ−f er som nævnt tidligere en løsning til,

i∂

∂tΨ(~r, t) =

(−∇

2

2− Z

r+ ~r · ~E

)Ψ(~r, t) (58)

med Z = 1. Vores strategi er nu, at konstruere en funktion som i grænserne Z = 0, og~E ≡ ~0 giver Ψ−f . For Z = 0, svarende til at vi ser helt bort fra Coulomb-potentialet, skal

Ψ−f ga over i bølgefunktionen for en elektron i et elektromagnetisk felt. Altsa skal Ψ−fvære en Volkov bølge nar Z = 0. For ~E ≡ ~0 skal Ψ−f ga over i en indgaende kontinuums

bølgefunktion for et brint lignende system. Det betyder, rent matematisk, at Ψ−f skal gaover i en løsning til,

i∂

∂tΨ(~r, t) =

(−∇

2

2− Z

r

)Ψ(~r, t) (59)

med positiv energi. Denne ligning har løsningen[3],

ψZf (~r, t) = ϕZ

f (~r) exp (−iεf t) (60)

hvor

ϕZf (~r) = (2π)−

32 exp

(πνZ

2

)Γ(1 + iνZ) exp (i~p · ~r)F (−iνZ ; 1;−ipr − i~p · ~r) (61)

Her er ~p fotoelektronens impuls, εf = p2

2er fotoelektronens slutenergi, og νZ = Z

p.

Betragt nu funktionen [8],

ΨCVf (~r, t;Z) = ψZ

f (~r, t)L(~r, t) (62)

hvor

L(~r, t) = exp

(i ~A · ~r − i~p ·

∫ t

0

~A(t′)dt

′ − i

2

∫ t

0

A2(t′)dt

′)

(63)

er den tidsafhængige del af Volkov bølgefunktionen. Funktionen ΨCVf kaldes for en

Coulomb-Volkov bølgefunktion. Det ses meget nemt, at den opfører sig ligesom Ψ−f i

grænsen Z = 0, og grænsen ~E ≡ ~0. Som nævnt tidligere foretager vi nu approksimatio-nen,

Ψ−f (~r, t) = ΨCVf (~r, t;Z = 1) (64)

Overgangsamplituden Tfi i denne approksimation kalder vi for TCV 2−

fi . I resten af kapitlet

vil vi udlede et udtryk for TCV 2−

fi . Vi har, at

TCV 2−

fi = −i∫ τ

0

exp

(i

(p2

2− εi

)t+ i~p ·

∫ t

0

~A(t′)dt

′+i

2

∫ t

0

A2(t′)dt

′)

×∫ϕ∗f (~r) exp

(−i ~A(t) · ~r

)~r · ~E(t)ϕi(~r)d~rdt (65)

14 4.3 Coulomb-Volkov approksimationen til Ψ−f

Vi definere nu, ligesom i [8], funktionerne h, f og g ved,

h(t) = i

(p2

2− εi

)+ i~p · ~A(t) +

i

2A2(t) (66)

f(t) = exp

(∫ t

0

h(t′)dt

′)

(67)

g(t) =

∫ϕ∗f (~r) exp

(−i ~A(t) · ~r

)ϕi(~r)d~r (68)

Funktionen h beskriver fotoelektronens energi, mens f er lig den tidsafhængige del afVolkov bølgen gange den tidsafhængige del af ψZ=1

f . Funktionen f beregnes analytiskved hjælp af Maple. Det ses, at

TCV 2−

fi = −∫ τ

0

f(t)∂

∂tg(t)dt (69)

idet vi benytter at ∂∂t~A(t) = − ~E(t). Partiel integration fortæller straks, at ovenstaende

kan omskrives til følgende resultat.

TCV 2−

fi = [f(t)g(t)]τ0 +

∫ τ

0

h(t)f(t)g(t)dt (70)

En fysisk realistisk puls er nødt til at opfylde, betingelsen ~A(τ) − ~A(0) =∫ τ

0~Edt = ~0.

Pulser som ikke opfylder denne relation, giver anledning til dc komponenter i det tommerum. Dette er højst ufysisk. I [4] er dette vigtige faktum diskuteret nærmere. I det føl-

gende antages det at pulsens vektorpotential opfylder ~A(τ) = ~A(0) = 0, hvilket altid kanopnaes, hvis vektorpotentialet opfylder ovenstaende betingelse. Da bølgefunktionerne ϕf

og ϕi er ortogonale, betyder det at,

[f(t)g(t)]τ0 = 0 (71)

Hermed har vi vist følgende vigtige relation.

TCV 2−

fi =

∫ τ

0

h(t)f(t)g(t)dt (72)

I princippet kan ovenstaende fint benyttes til numeriske beregninger, idet g sa skulleberegnes numerisk. Det er dog ønskværdigt, at kende et analytisk udtryk for g, da detsimplicifere det numeriske arbejde. Det er muligt at beregne et udtryk for g ved hjælpaf de sakaldte Nordsieck integraler. Vi har følgende,

g(t) =

∫ϕ∗f (~r) exp

(−i ~A(t) · ~r

)ϕi(~r)d~r

= 2−32π−2 exp

(πν2

)Γ∗(1 + iν)

×∫

exp(−r − i

(~p+ ~A(t)

)· ~r)F (iν; 1; ipr + i~p · ~r)d~r (73)

5. Stærkfeltsionisation af H− med en kort puls 15

Rumintegraler af typen,

`±(ν, β, ~K, ~P ) =

∫1

rexp

(−βr + i ~P · ~r

)F (iν; 1; iKr ± i ~K · ~r)d~r (74)

hvor ν, β, er reelle tal, og β > 0, kaldes for Nordsieck integraler. Ved brug af kompleksfunktionsteori kan det vises, at [10]6

`+(ν, β, ~K, ~P ) =4π

β2 + P 2

((~P + ~K)2 − (K + iβ)2

β2 + P 2

)−iν

(75)

Vi far brug for dette resultat om lidt. I termer af Nordsieck integraler har funktionen gfølgende form:

g(t) = −2−32π−2 exp

(πν2

)Γ∗(1 + iν)

∂

∂β`+(iν, β, ~p,−(~p+ ~A(t)))|β=1 (76)

Efter en smule algebraiske omskrivninger fas ved brug af (75) følgende resultat, somgiver et analytisk udtryk for g:

g(t) = −√

2π−1 exp(πν

2

)Γ∗(1 + iν)

(L

T

)−iν (2

T 2− iν

L

(2(p+ i)iT + 2L

T 2

))(77)

Her er funktionerne L og T defineret ved,

T = 1 + (~p+ ~A(t))2 (78)

L = A2(t)− (p+ i)2 (79)

Hermed er vi færdige. Vi har nu et udtryk, som relatere TCV 2−

fi til E og A-feltet.

5 Stærkfeltsionisation af H− med en kort puls

5.1 Indledende kommentarer

Betragt en H− ion som vekselvirker med en intens laserpuls med fa cykle, hvor tidsaksenigen er valgt sa ~E(t) = ~0 for t ≤ 0 og t ≥ τ . Dette system er mere kompliceret end brint iet intens laserfelt med fa cykler, fordi der jo nu er to elektroner, som kan vekselvirke medpulsen. Vi antager dog, at en single aktiv elektron model kan benyttes. Man kan vise, atH− kun har en bunden tilstand [11] med bindingsenergien 0.75 eV. Bindingsenergien forbrint i grundtilstanden er 13.6 eV. Dette betyder, at ovenstaende antagelse er i orden,forudsat at feltstyrken ikke er alt for stor. Vi vil ikke ga nærmere ind pa dette problem.Som før er vi interesseret i ionisationssandsynligheden pr vinkel pr energi. Vi antager,at H− er i grundtilstanden til start, og er altsa interesseret i sandsynligheden for at,pulsen løsriver den ydre elektron. Lad i betegne grundtilstanden, og lad f betegne

6Alle komplekse potenser indgar med deres principale værdi.

16 5.2 Grundtilstanden

sluttilstanden. Et argument, helt tilsvarende det i sektion 4.1, giver følgende identitetfor overgangsamplituden Tfi.

Tfi = −i∫ τ

0

∫(Ψf )

∗~r · ~E(t)Ψid~rdt (80)

Overgangsamplituden er, som argumeteret for tidligere, relateret til ionisationssandsyn-ligheden.

∂Pfi

∂Ep∂Ωp

= p |Tfi|2 (81)

5.2 Grundtilstanden

For at være i stand til at beregne overgangsamplituden skal vi kende grundtilstandenfor H− samt sluttilstanden Ψf .Lad os først se pa sluttilstanden. Den inderste elektron skærmer for protonen, sa fo-toelektronen føler effektivt ingen Coulomb pavirkning. Men dette betyder jo netop, atΨf effektivt er bølgefunktionen for en elektron i et elektromagnetisk felt og dermed enVolkov-bølgefunktion.

Ψf (~r, t) =1

(2π)32

exp(i(~p+ ~A(t)) · ~r − i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t′))2dt

′) (82)

Lad os nu se pa grundtilstanden. Da der er tale om et stationært problem, ved vi allerede,

Ψi(~r, t) = ϕi(~r) exp (−iεit) (83)

hvor εi er grundtilstandsenergien, og ϕi er en løsning til den tidsuafhængige Schrødingerligning. (

−∇2

2+ U(~r)

)ϕi(~r) = εiϕi(~r) (84)

Her beskriver leddet U vekselvirkningen mellem brint atomet og elektronen. Pa grundaf skærmning ma der gælde U ≈ 0 for store værdier af r. Dvs, at for store r skal ϕi

opfylde differentialligningen.

−∇2

2ϕi(~r) = εiϕi(~r) (85)

Det eftervises let at en løsning er,

ψ =

√2 |εi|f√2π

1

rexp

(−√

2 |εi|r)

(86)

hvor f 2 = 2.65 er en konstant, hvis betydning er diskuteret i [12]. Dvs,

ϕi(~r) ≈√

2 |εi|f√2π

1

rexp

(−√

2 |εi|r)

(87)

5.3 Overgangsamplituden 17

for store værdier af r. Vi foretager nu approksimationen,

ϕi(~r) =

√2 |εi|f√2π

1

rexp

(−√

2 |εi|r)

(88)

og erstatter altsa ϕi med dens asymptotiske form. Vi skal benytte ϕi til at beregne Tfi.Ved at foretage ovenstaende approksimation gør vi en fejl for sma r. Men denne fejlnedperiotertes i beregningen af Tfi, da udtrykket for Tfi indeholder faktoren ~r · ~E. Herer det altsa ogsa vigtig, at vi benytter længde gauge. Ovenstaende argument holder ikkefor hastigheds gauge, da denne prober sma r. Vi er nu klar til at beregne et brugervenligtudtryk for Tfi.

5.3 Overgangsamplituden

Malet med dette afsnit er at finde et udtryk som relatere Tfi til E og A-feltet beskrivendepulsen. Et argument, helt tilsvarende det i section 4.2, giver følgende resultat,

Tfi =

∫ τ

0

exp

(i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t

′))2

dt′ − iεit

)~E(t) · ∇pΦi(~p+ ~A(t))dt (89)

hvor Φi er Fouriertransformen af ϕi. Det kan relativt nemt vises, at[3]

Φi(~q) =f√

2 |εi|π

1

2 |εi|+ q2(90)

Heraf følger nu, ved differentiation, følgende resultat.

Tfi = −2f√

2 |εi|π

∫ τ

0

1

(2 |εi|+ (~p+ ~A(t))2)2exp

(i

2

∫ t

0

(~p+ ~A(t

′))2

dt′ − iεit

)× ~E(t) ·

(~p+ ~A(t)

)dt (91)

Dette er netop det ønskede resultat, som relaterer Tfi til størrelser, som beskriver pulsen.Vi har nu alt den grundlæggende teori pa plads, og i næste kapitel vil vi se pa denumeriske resultater.

6 Resultater

6.1 Indledende kommentarer

I dette afsnit præsenteres vores resultater. Disse er baseret pa numeriske beregningerudført ved hjælp af programmet Matlab. Lad os kort diskutere de numeriske metoder,vi har brugt.Tidsintegralet i Tfi er beregnet ved hjælp af Gauss-Legendre kvadratur, mens alleandre integraler er beregnet via simple højresummer/venstresummer. Gauss-Legendrekvadratur er en yderst effektiv integrationsalgoritme, og lad os derfor se lidt nærmere

18 6.2 Hydrogen i et lineært polariseret laserfelt

pa den.Lad f : [a; b] → R være en integrabel funktion. Det er sa velkendt, at∫ b

a

f(t)dt ≈n∑

i=1

f(ti)∆t (92)

for store værdier af n. Her er a ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tn = b en ækvidistant inddelingaf integrationsaksen. Ideen i Gauss-Legendre kvadratur er, at bruge en inddeling som ihøjere grad tager hensyn til funktionen f . Der hvor f varierer mest skal vi bruge en fininddeling, mens vi kan benytte en grovere inddeling, de omrader hvor f ikke varierer retmeget. Gauss-Legendre algoritmen giver en inddeling a ≤ t1 ≤ ... ≤ tn = b, samt et sætaf vægte w1, w2, ..., wn saledes at,∫ b

a

f(t)dt =n∑

i=1

f(ti)wi (93)

hvis f er et polynomium af grad 2n + 1. Da enhver kontinuert funktion pa et lukketbegrænset interval kan approksimeres vilkarligt godt med et polynomium, har vi altsafølgende resultat. ∫ b

a

f(t)dt ≈n∑

i=1

f(ti)wi (94)

Gauss-Legendre algoritmen er beskrevet i langt større detajle i [13]. Det skal bemærkes,at beregning af Tfi typisk kræver ganske store værdier af n, og er derfor typisk tid-skrævende.

6.2 Hydrogen i et lineært polariseret laserfelt

6.2.1 E-feltet

Vi ser pa et hydrogen atom, som vekselvirker med en intens laserpuls med fa cykler.Laserpulsen er, lige som i [2], beskrevet ved vektorpotentialet,

~A(t) =

− ε0(t)

ωsin(ω(t− τ

2

)+ φ)z for t ∈ [0; τ ]

~0 ellers

hvor ω er vinkelfrekvensen, τ er pulslængden, φ er CEPD, og ε0 er indhyldningskurven.Indhyldningskurven er givet ved,

ε0(t) = E0 sin2

(πt

τ

)(95)

hvor E0 er den maksimale feltstyrke.Vi minder lige om at τ = 2πN

ω, hvor N er antallet af cykler. Bemærk sa at ovenstaende

vektorpotential opfylder betingelsen ~A(τ) = ~A(0) = ~0, som jo netop skal være opfyldt

6.2 Hydrogen i et lineært polariseret laserfelt 19

for en fysisk puls.Nar man kender vektorpotentialet, er det let at beregne det elektriske felt. Man benytterbare relationen − ∂

∂t~A(t) = ~E(t). Vores vektorpotential giver følgende E-felt.

~E(t) =

ε0(t) cos(ω(t− τ

2) + φ)z

+2πE0

ωτsin(ω(t− τ

2) + φ) sin(πt

τ) cos(πt

τ)z for t ∈ [0; τ ]

~0 ellers

Den sidste del af E-feltet,2πE0

ωτsin(ω(t− τ

2)+φ) sin(πt

τ) cos(πt

τ)z, skyldes netop størrelsen

∂∂tε0. For en lang puls vil ∂

∂tε0 ≈ 0, men for en kort puls er denne faktor vigtig.

6.2.2 ATI-spektre

Ved et ATI-spektrum7 forstas en (Ep,∂P∂Ep

) graf, hvor Ep er fotoelektronens slutenergi.

Et ATI-spektre viser altsa, med andre ord, foteoelektronens energifordeling som funk-tion af fotoelektronens energi. ATI-spektrene har tre forskellige formal i dette projekt.Dels benytter vi dem til at sammenligne Volkov approksimationen med Coulomb-Volkovapproksimationen. Derudover bruges de til at checke vores Matlab-kode. Sidst, men ikkemindst, giver de oplysninger om, hvornar

∂Pfi

∂Eper lille.

ATI-spektrne beregnes v.h.a. følgende resultater, som vi tidligere har udledt,

∂P Vfi

∂Ep

= 2π

∫ π

0

p∣∣T V

fi

∣∣2 sin(θ)dθ (96)

∂PCV 2−

fi

∂Ep

= 2π

∫ π

0

p∣∣∣TCV 2−

fi

∣∣∣2 sin(θ)dθ (97)

hvor vi her udnytter, at hverken TCV 2−

fi eller T Vfi afhænger, af azimuthalvinklen ϕ med

vores valg af E-felt. Figur 2 viser netop et eksempel pa et ATI-spektre.Vi ser, at de to approksimationer giver et ATI-spektre med helt samme struktur. Deneneste forskel er, at

∂Pfi

∂Eper cirka en størrelsesorden større i Volkov-approksimationen.

I Volkov-approksimationen ser vi bort fra vekselvirkningen mellem den positive kerneog den negative fotoelektron, og derfor ma vi netop forvente, at

∂Pfi

∂Eper størst i Volkov-

approksimationen.Toppene skyldes, at ionisationssandsynligheden er størst, nar photoelektronens energiopfylder energibevarelse. Altsa nar8,

Ep = εi + pω (98)

hvor p er antallet af absorberede fotoner. Da en 1-foton absorption er meget meresandsynlig end for eksempel en 3-foton absorption, vil vi forvente, at toppene aftageri højde. Figur 2 viser, at det netop er tilfældet. Toppenes bredde skyldes Heisenbergs

7ATI star for Above treshold ionization8Med vores valg af parametre er Up forsvindende

20 6.2 Hydrogen i et lineært polariseret laserfelt

Figur 2: ATI-spektre for en puls med E0 = 0, 01, ω = 0, 7, φ = 0 og τ = 179, 52. Denrøde kurve viser CV 2− beregningen, mens den sorte kurve viser Volkov-beregningen.

energi-tid usikkerhedsrelation, ∆E∆t ≥ 12, som jo netop viser, at energibevarelsen kan

brydes nar bare ∆t, processens tidslige længde, er lille nok. Bemærk, at formuleringeni kapitel 3 eksplicit indeholder energibevarelsen. Figur 2 er i fin overenstemmelse medreferencen [14].Et andet af vores beregnede ATI-spektrede er vist i figur 3. Ligesom som tidligere ser vi,

Figur 3: ATI-spektre for en puls med E0 = 0, 047, ω = 0, 055, φ = 0 og τ = 456, 96(λ = 800nm, I = 8.0 · 1013W/cm2). Den røde kurve viser CV 2− beregningen, mens densorte kurve viser Volkov-beregningen.

at∂Pfi

∂Eper større i Volkov-approksimationen. De to approksimationer giver ikke helt den

samme struktur denne gang. Dette indikere, at vi ikke helt kan se bort fra Coulomb-

6.2 Hydrogen i et lineært polariseret laserfelt 21

potentialet.

6.2.3 CEPD-effekter

Lad P+ betegne sandsynligheden for at fotoelektronen rammer en cirkulær detektorbeskrevet ved 0 < θ < θ0, hvor θ0 er en konstant beskrivende detektorens radius. LadP− være sandsynligheden for at fotoelektronen rammer en cirkulær detektor beskrevetved π − θ0 < θ < π. Vi forventer at P+ = P− for en lang puls. For en puls med facykler vil vi forvente, at P+ og P− afhænger kraftigt af CEPD. I dette afsnit vil vi netopundersøge P+ og P− afhængighed af CEPD.Vi benytter Coulomb-Volkov approksimationen. Fra tidligere har vi følgende formler tilberegning af P+ og P−:

P+ =

∫ ∫0<θ<θ0

∂2Pfi

∂Ep∂Ωp

dΩpdEp = 2π

∫ ∞

0

∫ θ0

0

p2∣∣∣TCV 2−

fi

∣∣∣2 sin(θ)dθdp (99)

P− =

∫ ∫π−θ0<θ<π

∂2Pfi

∂Ep∂Ωp

dΩpdEp = 2π

∫ ∞

0

∫ π

π−θ0

p2∣∣∣TCV 2−

fi

∣∣∣2 sin(θ)dθdp (100)

Her er det vigtigt, at vide hvor store impulse man behøver tage med i den numeriskeintegration. Med andre ord hvornar

∂Pfi

∂Eper ’lille’. I [2] beregnede de P+ og P− pa basis

af Schrodinger ligningen. Deres resultater er vist i figur 4.

Figur 4: Figur 3 i [2]

Figur 5 viser vores resultater for parametre svarende til figur 3(a) i referencen [2].Figur 5 er i god kvalitativ overenstemmelse med figur 3(a) i [2], og er dette bache-

lorprojektets hovedresultat. Figur 3(a) i [2] er beregnet pa basis af en numerisk løsning

22 6.2 Hydrogen i et lineært polariseret laserfelt

Figur 5: Sandsynlighederne P+(den fuldt optrukne kurve) og P−(den stiblede kurve) somfunktion af CEPD for en puls med E0 = 0, 047, ω = 0, 055, θ0 = 15 og τ = 456, 96(λ =800nm, I = 8.0 · 1013W/cm2)

af Schrodinger ligningen, og ma derfor betragtes som rigtig. Figur 5 viser derfor, atCoulomb-Volkov approksimationen kvalitativt kan gøre rede for CEPD-effekter.Vi ser, at P+ har maksimum for φ ≈ 0, 3π, mens P− har minimum for denne værdiaf CEPD. Endvidere ses det at P+ er større end P− indtil φ ≈ 0, 8π, derefter er detomvendt. Alt dette er i udemærket overenstemmelse med figur 3(a) i [2].Forholdet P+

P−er et mal for asymmetrien i den angulære fordeling af fotoelektroner, og

dermed et mal for CEPD effekterne. Vi ser, at det er muligt at opna P+

P−≈ 2. Det er

altsa muligt, at opna en betydelig asymmetri vha. CEPD.For φ = π

2kan asymmetrien forklares ved hjælp af følgende semiklassiske model[15].

Til tiden t = t0 undslipper fotoelektronen Coulomb-barrieren, og derefter bevæger fo-toelektronen sig som en klassisk partikel pavirket af kraften ~F = − ~E −∇V , med starthastigheden 0. Vi er naturligvis kun intereseret i fotoelektronens z-komposant, og farifølge Newtons 2. lov,

d2z

dt2= − ∂

∂tAz(t)−

∂

∂zV (101)

Vi ser nu bort fra Coulomb potentialet V , og far derved følgende differentialligning forfotoelektroens z-komposant.

d2z

dt2= − ∂

∂tAz(t) (102)

Denne differentialligning løses let ved integration. Vi far,

vz(t) = Az(t) + vd (103)

z(t) = z(t0) +

∫ t

t0

Az(t′)dt

′+ vd(t− t0) (104)

6.3 Hydrogen i et cirkulært polariseret laserfelt 23

hvor vd = −Az(t0) idet vi husker at v(t0) = 0. Ovenstaende løsning fortæller os, atforholdet P+

P−er bestemt af fortegnet pa vd. Hvis vd > 0 vil vz(t) > 0 for t > τ . Vi vil sa

forvente at P+ > P−. Hvis vd < 0 er det naturligvis omvendt.Ionisationssandsynligheden har globalt maksimum, nar størrelsen af E-feltet har globaltmaksimum. Et oplagt bud pa t0 er et af de tidspunkter, hvor | ~E| er maksimal. Som t0vælger vi altsa et af de tidspunkter, hvor | ~E| har globalt maksimum.

For φ = π2

har | ~E| = |Ez| globalt maksimum til 2 tider. Figur 6 viser Ez

E0og Az

A0som

funktion af tiden i nærheden af de to tider. Det ses at vd > 0 i begge tilfælde. Derforma P+ > P− for φ = π

2ifølge modellen. For φ = 0 har størrelsen af E-feltet maksimum

Figur 6: Ez

E0og Az

A0som funktion af tiden i nærheden af de to kandidater til t0

globalt maksimum for t = τ2. Det ses direkte, vd = −Az(t0) = 0, samt at vd skifter

fortegn i t0. Heraf følger nu P+ = P− for φ = 0 ifølge modellen. Dette er tydeligvisikke i overenstemmelse med vores kvantemekaniske beregning. Problemet er, at vi iovenstaende model ser helt bort fra Coulomb-vekselvirkningen.

6.3 Hydrogen i et cirkulært polariseret laserfelt

6.3.1 E-feltet

Vi ser pa et hydrogen atom, som vekselvirker med en intens cirkulært polariseret laser-puls. I [16] beskrives pulsen ved følgende E-felt:

~E1(t) =

E0√

2sin2

(ωt2N

)(cos(ωt+ φ)ex + sin(ωt+ φ)ey) for t ∈ [0; τ ]

~0 ellers

Bemærk at dette felt ikke opfylder betingelsen∫ τ

0~E(t)dt = 0, og er derfor ufysisk. I

artiklen [16] skriver de dog, at de benytter et E-felt, som opfylder ovenstaende betingelse.Muligvis har de valgt et rigtigt A-felt, og derefter beregnet E-feltet uden at differentiereindhyldningskurven. Betragt nu følgende vektorpotential,

~A2(t) =

A0√

2sin2

(ωt2N

) (cos(ωt+ φ

′)ex + sin(ωt+ φ

′)ey

)for t ∈ [0; τ ]

~0 ellers

24 6.3 Hydrogen i et cirkulært polariseret laserfelt

hvor φ′

= φ + π2. Dette vektorpotential fører til et E-felt i stil med E-feltet i [16].

Endvidere ses det umiddelbart, at E-feltet hørende til dette vektorpotential opfylderbetingelsen ~A(τ) = ~A(0) =

∫ τ

0~E(t)dt = 0. Vi bør altsa benytte dette E-felt frem for

E-feltet i [16]. Vi gennemfører dog beregningerne med begge E-felter, og sammenlignerresultaterne.

6.3.2 Resultater med ~E1

Lad os forestille os at vi har to kvadratiske detektorer placeret i den positive hhv.negative x-retning. Detektoren i den positive x-retning er beskrevet ved vinklerne ϕ ∈[−0, 01; 0.01] og θ ∈ [1, 561; 1, 581], mens den anden detektor er beskrevet ved ϕ ∈[π − 0, 01; π + 0.01] og θ ∈ [1, 561; 1, 581]. Ligesom i [16] er vi interesseret i sandsyn-lighederne P± og sandsynlighederne pr energi ∂P±

∂Epfor, at fotoelektroner detekteres af

detektoren i den positive(+) x-retning hhv. negative(-) x-retning. Lad os først se pa∂P±∂Ep

. Vi har, at

∂P+

∂Ep

=

∫ 0,01

−0,01

∫ 1,581

1,561

p |Tfi|2 sin(θ)dθdϕ (105)

og tilsvarende for ∂P−∂Ep

. Vi benytter, ligesom i [16], Volkov-approksimationen til beregning

af ovenstaende. Figur 7 viser deres resultater, mens figur 8 viser vores.

Figur 7: Figur 1 i [16]

6.3 Hydrogen i et cirkulært polariseret laserfelt 25

Figur 8: ∂P∂Ep

som funktion af Ep for forskellige værdier af CEPD. Venstre kolonne af grafer

viser ∂P−∂Ep

, mens højre kolonne angiver ∂P+

∂Ep. Parametrene er E0 = 0, 04, ω = 0, 055, og

τ = 456, 96(λ = 800nm, I = 5.0 · 1013W/cm2).

26 6.3 Hydrogen i et cirkulært polariseret laserfelt

Vores resultater er i perfekt overensstemmelse med [16] panær et fortegn, idet deresresultater for ∂P+

∂Epsvarer fuldstændigt til vores resultater for ∂P−

∂Epog omvendt. Muligvis

regner de med en elektron ladning pa 1, mens vi regner med en elektron ladning pa -1.Det ville ihvertfald forklare uoverenstemmelsen. For φ = 0 er de to grafer helt identiske,hvilket betyder at P+ = P−. Nar φ = 0 har vi altsa symmetrisk elektron emission i denpositive hhv. negative x-retning. For φ = π

4er dette billede ændre. Vi har nu klart en

asymmetri, idet det tydeligt ses at P+ > P−. I tilfældet φ = π2

er dette fænomen blevetyderligere forstærket. Figur 9 bekræfte vores observationer.

Figur 9: Sandsynlighederne P+(den røde kurve) og P−(den sorte kurve) som funktionaf CEPD for en puls med E0 = 0, 04, ω = 0, 055, og τ = 456, 96(λ = 800nm, I =5.0 · 1013W/cm2)

Igen ser vi, at det er muligt at opna en betydelig asymmetri i den angulære fordeling vha.CEPD. Det skal bemærkes, at en Coulomb-Volkov beregning giver de samme effekter.Tallene er forskellige, men figur 9 far samme udseende.

6.3.3 Resultater med ~A2

Lad os nu se pa vores resultater, nar vi benytter E-feltet hørende til vektorpotentialet,

~A(t) =

A0√

2sin2

(ωt2N

) (cos(ωt+ φ

′)ex + sin(ωt+ φ

′)ey

)for t ∈ [0; τ ]

~0 ellers

Som tidligere er vi interesseret i P± afhængighed af CEPD. Figur 10 viser vores resul-tater, nar vi benytter Coulomb-Volkov approksimationen. Figur 10 viser helt de sammeeffekter som figur 8 og figur 9. For φ = π

2har vi størst asymmetri med P+

P−≈ 4, mens

asymmetrien er, stort set, forsvundet for φ = 0.Sætter vi t = t0 til at være de tidspunkter, hvor størrelsen af E-feltets x-komposant ermaksimal, kan ovenstaende forklares via 2 trins modellen.

6.4 H− i et cirkulært polariseret laserfelt 27

Figur 10: Sandsynlighederne P+(den fuldt optrukne kurve) og P−(den stiblede kurve)som funktion af CEPD for en puls med A0 = 0, 73, ω = 0, 055, og τ = 456, 96(λ =800nm, I = 5.0 · 1013W/cm2)

6.4 H− i et cirkulært polariseret laserfelt

Vi betragter en H− ion som vekselvirker med en intens lineært polariseret laserpuls medfa cykle. Laserpulsen beskrives, ligesom tidligere, ved vektorpotentialet,

~A(t) =

− ε0(t)

ωsin(ω(t− τ

2

)+ φ)z for t ∈ [0; τ ]

~0 ellers

hvor ω er vinkelfrekvensen, τ er pulslængden, φ er CEPD, og ε0 er indhyldningskurven.Indhyldningskurven er givet ved,

ε0(t) = E0 sin2

(πt

τ

)(106)

hvor E0 er den maksimale feltstyrke. Figur 11 viser vores resultater. SandsynlighderneP+ og P− er defineret i sektion 6.2.3. Igen ser vi, at asymmetrien er størst for φ = π

2,

mens den forsvinder for φ = 0. Bemærk at P+

P−≈ 1, 7 nar den er maksimal. Der er altsa

igen muligt at opna en betydelig asymmetri i fotoelektronens angulære fordeling.Resultaterne er i perfekt overensstemmelse med 2 trins modellen. I første trin løsriveselektronen til tiden t = t0. Herefter bevæger fotoelektronen sig som en klassisk partikel,med starthastighed 0, pavirket af kraften ~F = − ~E.Resultaterne fra sektion 6.2.3 kan nu direkte overføres. For φ = π

2giver modellen P+ >

P−, mens modellen giver P+ = P− for φ = 0. Dette er i perfekt overensstemmelsemed vores kvantemekaniske beregning. Her har vi naturligvis heller ikke problemet medCoulomb potentialet, som vi sa i sektion 6.2.3

28 7. Konklusion

Figur 11: Sandsynlighederne P+(den fuldt optrukne kurve) og P−(den stiblede kurve)som funktion af CEPD for en puls med E0 = 0, 00053, ω = 0, 0043, og N = 4(λ =10, 6µm, I = 1.0 · 1010W/cm2)

7 Konklusion

Den rumlige form af en laserpuls med fa cykler afhænger drastisk af pulsens CEPD.Vi ma derfor forvente, at alle fysiske processer induceret af pulsen afhænger af CEPD.Derfor er det vigtigt, at kunne kontrollere samt bestemme CEPD for en given puls. Idette projekt har vi set pa stærkfeltsionisation af H og H− via laserpulse med fa cykler.Vi har undersøgt CEPD’s indflydelse pa fotoelektroens angulærefordeling. Vore bereg-ninger bygger pa beregning af ionisationssandsynligheden pr vinkel pr energi i Volkovhhv. Coulomb-Volkov approksimationen. De opnaede resultater for H i et lineært po-lariseret laserfelt er i overensstemmelse med [2]. Analysen i [2] er baseret pa en numeriskløsning af Schrødinger ligningen.Alle vore resultater viser, at man kan opna en betydelig asymmetri ved hjælp af CEPD.Resultaterne for H i et cirkulært polariseret laserfelt og H− i et lineært polariseret felter i god overenstemmelse med en semiklassisk beskrivelse af systemerne.Vi konkludere, at det er muligt at beskrive CEPD’s effekt pa den angulære fordelingved hjælp af vore approksimationer. Vores resultater indikerer, at det er muligt at maleCEPD for en given puls ved brug af fotoemission og Volkov/Coulomb-Volkov approksi-mationen.

LITTERATUR 29

Litteratur

[1] M. Peplow. Electron movements pinned down to the split second Nature 427, 767(2004).

[2] Szczepan Chelkowski and Andre D.Bandrauk. Sensitivity of spatial photoelectrondistributions to the absolute phase of an ultrashort intense laser pulse Phys. Rev.A 65, 061802(R) (2002).

[3] B.H. Bransden and C.J. Joachain. Physics of Atoms and Molecules 2nd ed. (PrenticeHall, 2003).

[4] L. B. Madsen. Gauge invariance in the interaction between atoms and few-cyclelaser pulses. Phys. Rev. A 65, 053417 (2002).

[5] L. B. Madsen. Strong-field approximation in laser-assisted dynamics Am. J. Phys.73, 57 (2005).

[6] H. C. Day, B. Piraux and R. M. Potvliege. Multistate non-Hermitian Floquet dy-namics in short laser pulses Phys. Rev. A 61, 031402(R) (2000).

[7] G. F. Gribakin and M. Yu. Kuchiev. Multiphoton detachment of electrons fromnegative ions Phys. Rev. A 55, 5 (1996).

[8] G. Duchateau, E. Cormier, and R. Gayet. Coulomb-Volkov approach of ionizationby extreme-ultraviolet laser pulses in the subfemtosecond regime Phys. Rev. A 66,023412 (2002).

[9] L. J. Slater. Confluent Hypergeometric Functions (Cambridge University Press,1960).

[10] M. R. C. McDowell and J. P. Coleman. Introduction to the Theory of Ion-AtomCollisions (North-Holland, Amsterdam, 1970).

[11] R. N. Hill. Proof That The H− Ion Has Only One Bound State Phys. Rev. Lett.38, 643 (1977).

[12] B. H. Armstrong. Empirical Analysis of the H- Photodetachment Cross SectionPhys. Rev. 131. 3 (1963).

[13] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery. NumericalRecipes in Fortran 2nd ed. (Cambridge University Press, 1992).

[14] V. D. Rodriguez, E. Cormier, and R. Gayet. Ionization by short uv laser pulses: Sec-ondary above-treshold-ionization peaks of the electron spectrum investigated througha modified Coulomb-Volkov approach Phys. Rev. A 69, 053402 (2004).

[15] S. Chelkowski, M. Zamojski, and A. D. Bandrauk. Laser-phase directional cantrolof photofragments in dissociative ionization of H+

2 using two color intense laserpulses Phys. Rev. A 63, 023409 (2001)

30 LITTERATUR

[16] D. B. Milosevic, G. G. Paulus, and W. Becker. Phase-Dependent Effects of a Few-Cycle Laser Pulse Phys. Rev. Lett. 89, 15 (2002).