香港中學文憑考試數學科課程公開評核（一）公開評核香港中學文憑考試數學科課程必修部分的公開評核的模式如下：

部分 比重 考試時間

公開考試卷一 傳統題卷二 多項選擇題

65%35%

21 4小時11 4小時

單元一（微積分與統計）的公開評核的模式如下：

部分 比重 考試時間公開考試 傳統題 100% 21 2小時

單元二（代數與微積分）的公開評核的模式如下：

部分 比重 考試時間公開考試 傳統題 100% 21 2小時

（二）水平參照成績匯報香港中學文憑會採用水平參照模式匯報評核結果，即按該科目的變量或刻度上的臨界分數來訂定水平標準，然後參照這套水平標準來匯報考生表現的等級。下圖展示水平標準的訂定：

臨界分數

U 1 2 3 4 5

變量�刻度

香港中學文憑會以五個臨界分數來訂定五個表現等級（1至 5），第 5級為最高等級。在考獲第5級的考生中，表現最優異的，其成績將以「＊＊」標示，隨後表現較佳的則以「＊」標示。表現低於第 1級的起始臨界分數會標示為「未能評級」（U）。

IV

應試策略甲 . 一般策略

1. 試場內•確保自己的手錶所顯示的時間與試場的時鐘吻合。•留心監考員發出有關試卷的任何改動及更正之指示。

•仔細閱讀試題答題簿或試卷封面上的指示。•依照監考員的指示，檢查試卷有否缺頁或空白頁。

2.考試期間

•使用適當的文具。–卷一：以原子筆書寫，HB鉛筆繪圖–卷二：以 HB鉛筆作答

•作答時，字體要端正整潔、意思要清晰及表達要有條理。

•切勿浪費時間在不懂作答的題目中，應跳至另一條。

3.作答後

•切勿提早離場。

•檢查有否尚未作答的題目。

•嘗試解答之前跳過的題目。

•檢查有否不小心的錯誤。

•除非有足夠時間重寫，否則切勿劃去任何已作答的內容。

•檢查是否已在答題簿、補充答題紙及多項選擇題答題紙上填上自己的考生編號。

乙 . 特別策略1. 卷一（2 1

4小時）

•適當分配時間：

部分 建議作答時間 平均每題需時甲 (1) 40分鐘 3 − 5 分鐘甲 (2) 40 分鐘 5 – 10 分鐘乙 50分鐘 5 – 15 分鐘

–一般來說，每 4分的答案應需時 5分鐘。–預留 5分鐘覆核全卷。

V

香港中學文憑與香港中學會考課程比較(a) 新增及刪去的課題

學習單位 刪去的課題 新增的課題

數與代數範疇

一元二次方程• 兩根之和及兩根之積• 複數的運算

函數及其圖像 • 函數的定義域及上域

續函數圖像 • 放大與縮小

指數函數與對數函數 • 換底公式

續多項式 • 多項式的 G.C.D.及 L.C.M.• 有理函數的運算

續方程• 利用已知的二次圖像解另一個二次方程

等差數列與等比數列及其求 和法

• 等差數列與等比數列的性質

不等式與線性規劃• 利用代數方法解一元二次不等式

• 解含有「或」的複合不等式

度量、圖形與空間範疇

軌跡 • 以代數方程描述點的軌跡

直線與圓的方程 • 兩直線相交的各種可能情況• 直線與圓相交的各種可能情況

數據處理範疇

排列與組合 • 排列與組合的概念與記法

續概率 • 集合的記法• 使用排列與組合解與概率有關的應用題

離差的度量 • 標準差在涉及標準分和正態分佈的現實生活問題時的應用

II

33

對數函數的圖像對於 a > 1：

圖 3.2

有理數指數定律對於非零實數 a 及 b，及有理數m 及 n：

1. a a am n m n× = + 2. a aa

aam n

m

nm n÷ = = −

3. ( )a am n mn= 4. ( )ab a bn n n=

5. ab

a

b

n n

n

= 6. a 0 1=

7. aa

nn

− = 1 8. a an n

1

=

9. a a amn n m m

n= =( ) ，其中 n 為一正整數

指數函數對於 a > 0及 a ≠ 1，函數 y = ax 稱為指數函數，其中 a 為底而 x 為指數。

指數函數的圖像對於 a > 1：

圖 3.1

指數方程對於非零常數 a 及 b，且 a ≠ 1，ax = b 稱為指數方程。

指數及                對數函數

對數函數若 y (> 0) 被表達為 y = ax 的形式，其中 a > 0

及 a ≠ 1，則 x 稱為以 a 為底的 y 的對數，可以x = loga y 表示。

對數方程對數方程是指變數涉及對數函數的方程。

對數函數的性質對於 a > 0、a ≠ 1、M > 0及N > 0：1. loga a = 1

2. loga 1 = 0

3.a Ma Mlog =4. loga (MN) = loga M + loga N

5. log log loga a aMN

M N

= −

6. loga (Mn) = n loga M

7. logloglogb

a

aM

Mb

= ，其中 b > 0及 b ≠ 1。（換底

公式）

指數函數的圖像與對數函數的圖像的關係y = loga x 及 y = ax 的圖像互為對方沿直線 y = x反射而得的影像。

對數的應用1. 聲音的響度2. 地震的震級3. 對數變換

指數及對數函數

指數及對數函數

一元多項式一個一元多項式是多個項的和。每一項都是一個變數的非負整數冪次方，以及一個稱為係數的常數之乘積。多項式的次數就是多項式中次數最高的項的次數。

例如，

13x4 + 12x3 - 17x2 + 18x + 19

多項式的次數 = 4 變數 = x

常數係數

項的數目 = 5

多項式的除法我們可依以下方法進行多項式除法：

1. 消去公因式

例如，

( )

( )

9 12 3

9 123

3 3 43

3 4

2

2

x x x

x xx

x xx

x

− ÷

= −

= −

= −

2. 長除法

例如，

3x − 2 6x 3 + 2x 2 − x + 5

6x 3 − 4x 2

2x 2 + 2x + 1

6x 2 −

6x 2 − 4x + 5

3x + 5

3x − 2

7

x + 5

除式

商式

被除式

餘式（數）

A

B

3x為公因式。

餘式的次數必定比除式的為小。

92

數學：結構式試題 必修部分 第一冊

兩條直線的相交已知兩直線 L 1: y = m 1x + c 1 及 L 2: y = m2x + c 2 ， 在以下三個情況下，其中一個可能發生。

1. 兩直線相交於一點。

兩直線的斜率不同，即 m 1 ≠ m 2 。

2. 兩直線永不相交。

這情況表示兩直線沒有交點。兩直線的斜率相同，但 y 軸截距不同，即 m 1 = m 2 及 c 1 ≠ c 2 。

3. 兩直線有無限個交點。

兩直線互相重疊。兩直線有相同的斜率及 y 軸截距，即 m 1 = m 2

及 c 1 = c 2 。

D

圖 4.14

圖 4.15

圖 4.16

4

判斷下列各句子是正確還是不正確。

1. 一通過 (-8,0) 的鉛垂線的方程是 y=0 。

2. 斜率為 3 且通過 (0,7) 的直線方程是 3x+y+7=0 。

3. 直線 9x-8y=0 的斜率是 0 。

4. 直線 2x-5y+6=0 的 x 軸截距是-3 。

5. 一通過 (-2,5) 的水平線的方程是 y=5 。

6. 直線 y=4x+6 及 y=4x-6 沒有交點。 （答案見本頁底）

建議答案 （進度檢測 4）

1. 不正確（方程為 x=-8） 2. 不正確（直線方程為 y=3x+7，即 3x-y-7=0。）3. 不正確（斜率為98

。）

4. 正確（x 軸截距= - 6

2= -3 。）5. 正確 6. 不正確（直線的斜率相同但

y 軸截距不同。）74

數學：結構式試題 必修部分 第一冊

這表示 P(a) = a2。利用這項資料求 a。

• 除特別指明外，數值答案須用真確值，或準確至三位有效數字的近似值表示。

• 附圖不一定依比例繪成。

甲部 (1)1. 求當 x4+3x3-8x2+x+4除以 x+1時的餘數。 （3分）

建議題解 餘數=(-1)4+3(-1)3-8(-1)2+(-1)+4 2M=1-3-8-1+4=-7 1A

2. 已知 f(x)=(x-2)(2x+5)(3x-4)。求當 f(x)除以 2x+3時的餘數。 （3分）

建議題解 餘數

= − −

−

+

−

−

32

2 232

5 332

4 2M

= −

−

72

2172

( )

=119

2 1A

3. 當 (x+1)(x-2)+3除以 x-a時，餘數為 a2。求 a的值。 （3分）

建議題解設 P(x)=(x+1)(x-2)+3。

P(a)=a2

(a+1)(a-2)+3=a2 2A

a2-a-2+3=a2

-a+1=0 a=1 1A

不須展開 f (x)。

97

續多項式

10

數學：結構式試題 必修部分 第一冊

10.若 9x2+kx+16=0有一個二重正實根，求k 的值。 （4分）

建議題解

D=(k)2-4(9)(16) 1M

=k2-576由於方程有一個二重實根， D=0 。

k2-576=0 1M k=±24 1A

緊記就所求的 k 值檢視已知的條件。對於每個 k 值，都應求出對的方程的根，從而得知哪個 k 值可給出正根。

D=(k)2-4(9)(16) 1M

=k2-576由於方程有一個二重實根， D=0 。

k2-576=0 1M k=±24 1A

當k=24 時，9x2+24x+16=0

(3x+4)2=0

x=-43（重根）

當k=-24 時，9x2-24x+16=0

(3x-4)2=0

x=43（重根） 1M

\ k= -24 1A

注意以下兩個條件：1.重根2.正根

該考生能求得未知數的值，但未能就已知的條件驗證所得的答案。

該考生能求得未知數的值，並以數學語言驗證答案。

42

數學：結構式試題 必修部分 第一冊

41.志華將一球放於剛好頭頂的高度，然後把球向上拋。 t 秒後，該球位於地面之上的 hm ，且

h=-8t2+8t+32

。

(a) 求志華的身高。 奪分攻略 13

(b) 球會於何時位於地面之上的 2.5m？

(c) 球會於何時低於志華頭頂之下的 0.5m？

(d) 球會於何時到達地面？

(e) 球可達到的最大高度是多少？

42. 將一件物體 A 垂直向上拋出。物體 A 在 t 秒後的高度 hA（以 m 為單位） 為hA=40t-5t2 。

(a) 求物體 A 可到達的最大高度。

(b) 物體 A 會於多少秒後位於 40m 的高度？（答案須準確至一位小數）

(c) 另一物體 B 與物體 A 的水平距離為 30m ，亦被垂直向上拋出。物體 B 在 t 秒後的高度 hB（以 m為單位）為 hB=30t-5t2 。

(i) 物體 B 會於何時回到地面？

(ii) 若兩物體同時被拋出，以 t 表示兩者的垂直距離。 奪分攻略 14

(iii)小明聲稱兩物體會在 4 秒後相距 50m 。你同意嗎？請解釋。

甲部 (2)奪分攻略 1 因式分解 x2-4。

奪分攻略 2 考慮 (x3)2+7(x3)-8=0，可設 y=x3。

奪分攻略 3 x x43

23 2= ( )

奪分攻略 4 x x x=32

奪分攻略 5 9 3x x=

奪分攻略 6 4 2x x=

奪分攻略 7 16x=42x

奪分攻略 8 考慮 (5x)2-7(5x)+10=0。可設 y=5x。

奪分攻略 9 9x=32x

奪分攻略 10 注意 log1=0。

奪分攻略 11 合併兩已知方程為新方程 (*)。新方程 (*)的判別式 <0。

奪分攻略 12 合併兩已知方程為新方程 (*)。新方程 (*)的判別式 >0。

乙部奪分攻略 13 首先合併兩已知方程為新方程 (*)。新方程 (*)的判別式 =0。

奪分攻略 14 設斜率為 m。以點斜式寫出直線的方程。然後把直線方程與已知拋物線的方程合併，得出一新的方程 (*)。新方程 (*)的判別式 =0。

奪分攻略 15 四個三角形為全等三角形。斜邊 =x。

奪分攻略 16 考慮每天生產的計算機數目，可得6000

56000

40x x−

− = 。

奪分攻略 17 隧道的長度 +火車的長度 =火車的速率 ×火車完全通過隧道所需的時間

奪分攻略 18 陰影部分由四個全等的直角三角形組成。每個三角形的斜邊 =10。

奪分攻略 19 金屬球行走的距離 =2×金屬球所到達的最大高度。

奪分攻略 20 直線的 y軸截距 =30及直線的斜率 =-12。

161

續方程 ~ .‘

.. e

亡二二立亡二二2

JJ

亡二二=

E二EEE • 亡二二=亡二二=

亡二二立

C二二3

亡二二3亡二二立亡二二立仁二二3

87

圓的基本性質

(c) FE2=CE×DE 32=(CD+DE)×DE 9=(8+DE)×DE 9=8DE+DE2 DE2+8DE-9=0 (DE+9)(DE-1)=0 DE=-9（捨去）或1 CE=CD+DE =8+1 =9

\ 半徑 = =92

4 5� .

DE的長度不能為負數。

29. (a) ∠BAE=∠DAC （公共角） ∠AEB=∠ACD （圓內接四邊形外角） ∠ABE=∠ADC （圓內接四邊形外角） \ ∆AEB∼∆ACD （AAA） (b) 由於 ∆AEB∼∆ACD，

AEAC

EBCD

AE

=

=6

25�cm

（相似 ∆的對應邊）

\ AE=2.4cm ∠BEA=∠DCA=50°（在 (a)已證） ∆AEB的面積

= ∠

=

=

12122 4 2 50

1

2

( )( )sin

( . )( )sin �

AE EB AEB

° cm

.. �84 2cm

30. (a) 反角BOD=180°+y 反角BOD=2∠BCD 180°+y=2∠BCD

∠ = +BCD y1802°

（準確至三位有效數字）

（圓心角兩倍於圓周角）

∠BCD+∠BED=180°

∠ = − −

∠ = −

BED y

BED y

180 1802

1802

° °

°

由於 AOD是直線，∠AOD = 180°。

(b)在 ∆ACD中，∠ + ∠ + ∠ =

+ + + ∠ =

∠ =

CAD ACD CDA

x y CDA

CDA

180180

2180

180

°° °

° −− −22x y

31. 在 ∆OAB中，

tan�

.

..

∠ =

=

∠ =

BOA ABOA

BOA

6 84 357 7°

由於∠BOC=∠BOA， ∠BOC=57.7°

由於 ∠OAB =90° （切線 ⊥半徑），∆OAB是一直角三角形。

32. 由於 BD為圓的切線， ∠CBD=∠BAC=35°（交錯弓形的圓周角）

由於 BC=DC， ∠CDB=∠CBD=35°（等腰 ∆底角）在 ∆BCD中， ∠BCD+∠CBD+∠CDB=180°（∆內角和） ∠BCD+35°+35°=180° ∠BCD=110°

（圓內接四邊形對角）

（∆內角和）

（準確至三位有效數字）（切線性質）（準確至三位有效數字）

龜，

a d函E

d區面

a

6區面

a