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기계진동학

강의계획서 설명

강의 및 평가방법에 대한 설명을 중심으로

서론

기계적 진동이란 물체가 공간에서 시간에 따른 위치변화를 일으키며 떨림 운동을 하는 것을

의미한다. 주변에서 관찰하거나 경험할 수 있는 기계적 진동의 예제들은 다음과 같다.

- 괘종시계 추의 운동 17C 갈릴레오에 의한 최초의 진동연구

- 현악기 줄의 떨림 현상

- 소음 혹은 음향과 같은 공기의 운동

- 비포장 도로를 달리는 차량의 상하 진동

- 탈수 시의 세탁기 진동

- 지진에 의한 건물의 흔들림

이 외에도 진동현상은 많은 공학적 제품의 설계에서 제품의 성능을 결정하는 중요한 요소로

고려되고 있다. 즉 좋은 제품의 설계를 위해서는 진동현상에 대한 분석, 측정, 제어 능력이

수반되어야 하는 것이다. 진동현상은 그 자체로 바람직하지 않은 경우와 그 반대의 경우가

있는데 일반적으로는 바람직하지 않은 경우가 더 많다. 다음은 그 예제들이다.

좋은 진동의 예:

- 종, 실로폰, 가야금 등과 같은 악기의 진동

- 유스타키오관의 진동 (동물의 청각 기능을 가능하게 함)

- 열 교환기 기포제거 장치 (열전달 효율을 높임)

- 시계추 운동 (일정한 주기를 보장)

- 골프채 샤프트 진동 (스윙주기와 조율되면 타격 시 공에 에너지 전달 증가)

나쁜 진동의 예:

- Tacoma Narrow Bridge 의 바람에 의한 진동 (구조 파괴)

- 인공위성 안테나의 진동 (위성 통신범위 제한 및 수명 단축)

- 공작기계 공구 진동에 의한 채터 현상 (가공 정밀도 저하)

- 수도관 진동 (누수 및 지지구조 피로파괴)

- 항공기 소음 (환경 공해)

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앞에서 언급된 진동에 의해 야기되는 바람직하지 않은 현상들을 좀 더 체계적으로 분류하면

다음과 같다.

1. 피로: 반복하중에 의해 재료의 강성이 저하되는 현상

2. 파괴: 구조물에 하중이 허용범위를 초과하거나 피로 누적으로 부서짐

3. 마모: 접촉에 의해 마찰력을 받는 기계요소가 닳아 없어짐

4. 소음: 불쾌하게 느껴지는 공기의 떨림

5. 이완: 볼트나 너트 등 체결요소의 풀림

6. 불량 가공: 공구의 가공 오차가 허용범위를 초과함

기계적 진동현상은 어떤 시스템의 역학적 에너지 흐름이 운동에너지와 보존에너지 사이에서

주기적으로 발생하는 현상을 근간으로 한다. 이에 대한 학습을 위해 가장 기초적이며 흔히

사용되는 모델은 아래 그림과 같이 질량과 스프링으로 이루어진 1 자유도 시스템이다.

위치에너지 강성

운동에너지 질량

모델링이란 물리현상을 해석하기 위해 수학적으로 이상화 시키는 작업을 말하는데 요구되는

정확도를 충족시키는 결과를 얻을 수만 있다면 단순할수록 바람직하다. 이러한 이유로 인해

실제로 많은 공학 예제가 1 내지 2 자유도 시스템으로 단순화되어 모델링 되고 해석된다.

(예) 도로면을 주행하는 자동차의 1 자유도 모델링

)( lyxkxm ※ Fam

여기서 l 은 하중이 없을 때의 스프링의 길이, 즉 자유길이이다.

3

자유진동과 강제진동

자유진동 – 시스템에 작용하는 가진력 없이 주어진 초기조건에 의해 진동이 발생하는 경우

강제진동 – 시스템에 가진력이 작용하여 그로 인해 진동이 발생하는 경우

여기서 0)( tF 이면 자유진동이고, 아니면 강제진동이라 할 수 있다.

자유진동 시 운동방정식과 초기 조건은 다음과 같은 형태로 주어진다.

0 00 , (0) , (0)mx kx x x x v

위 방정식의 일반 해는 다음과 같다.

tBtAtx nn sincos)(

여기서

고유진동수:/ n mk

또한 A와 B 는 두 초기조건에 의해 결정된다.

강제진동 시 가진력 )(tF 를 조화함수로 하고 그 주파수를 고유진동수와 일치시키면 다음

같이 발산하는 결과를 초래하며, 이를 공진 현상이라 부른다.

ttXtxtFtF npn cos)(cos)( 0

생각해 볼 점

위에 그려진 1 자유도 모델에 나타난 질량과 스프링은 실제 부품을 의미하는 것이 아니다.

질량은 운동에너지를 갖는 모든 대상을 대표하며 스프링은 보존에너지를 갖는 모든 대상을

대표할 뿐이다. 예를 들어 단진자 운동 시 중력에 의한 복원력이나 배가 수중에서 받는 부

력에 의한 복원력 등은 모두 1 자유도로 모델링 할 때 스프링으로 나타내는 것이다.

4

감쇠기와 그 특성

진동을 완화시키는 장치를 감쇠기라 하며 이 역시 스프링과 마찬가지로 이상화되어

사용되는 장치이다. 모델링 상 가장 편리하게 쓰이는 모델은 속도에 비례하여 힘을

발생시키는 감쇠기이다. 이를 선형점성감쇠기(영어로는 Linear Viscous Damper)라고

부르며, 자동차에 사용되는 Shock Absorber나 문이 너무 세게 닫히지 않게 부착해서

사용하는 Dash-pot 등이 이와 가장 유사한 특성을 갖는다. 실제의 경우 운동에너지를

흡수하는 물리적 감쇠현상으로 마찰과 관련된 Coulomb Damping이 더 흔하게 발생하나 이는

수학적으로 비선형 모델이라 진동 해석을 위한 모델로는 꼭 필요한 경우를 제외하고는

(나중에 이를 따로 다루게 될 것임) 잘 쓰이지 않는다. 선형점성감쇠기는 교재 그림

1.8 처럼 작은 구멍(Orifice)을 통해 유체가 흐르면서 그 점성과 속도에 비례하여 운동의

반대방향으로 저항하는 힘을 발생시킨다. 선형점성 감쇠기는 보통 아래 그림과 같이

표시한다.

감쇠현상이 포함된 자유진동 방정식은 강성만 있을 때에 비해서 감쇠에 의한 힘이 추가된

형태로 아래와 같이 주어진다.

0 kxxcxm

감쇠상수 c 값이 작은 경우를 경 감쇠(light damping)라 하며, 이 값은 고유진동수 n 의

값에는 크게 영향을 주지 않으나 공진 시 최대 진폭의 크기에는 큰 영향을 미치므로

진동계의 특성에 매우 중요한 의미를 갖는다.

강성 및 감쇠 상수의 단위

위 식에서 x 가 변위라면 강성계수 k 의 단위는 힘을 변위로 나눈 값 N/m 이고, 감쇠상수

c 의 단위는 힘을 속도로 나눈 값인 Ns/m 이다.

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조화 운동 (Harmonic Motion)

주기 운동은 (Periodic motion) 다음과 같은 함수 특성을 갖는다.

)()( txtx

여기서 는 주기, 즉 동일한 운동이 반복되는 최소 시간을 나타낸다. 아래 그림은 주기

함수의 한 예를 보여준다.

조화운동은 가장 기본적인 주기운동으로서 통상 Sine 혹은 Cosine 함수로 나타낼 수 있다.

앞에서 보여준 1 자유도 km 시스템의 변위, 속도, 가속도는 아래와 같이 모두 조화함수로

표시된다.

2 2

( ) sin( )

( ) cos( ) sin( )2

( ) sin( ) sin( )

x t A t

x t A t A t

x t A t A t

위 식들에서 유추할 수 있듯이 변위, 속도 그리고 가속도는 서로 90 도의 위상차를 갖는다.

즉 변위와 가속도의 값이 최대가 될 때 속도 값은 0 이 된다. 또한 의 값이 1 보다 크면

아래 그림이 보여주듯이 속도의 최대 크기는 변위보다 크고 가속도의 최대 크기는 속도보다

커진다.

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복소함수를 이용한 변수의 표기

진동 해석 시, 가끔 복소 함수를 이용하여 변수를 표기하기도 하며, 이 때 변위를 실수나

허수 중 하나를 선택하면 속도와 가속도도 일관성 있게 같이 선택된 값을 사용하면 된다.

tAitAAez

tAtAiAeiz

tiAtAAez

ti

iwt

ti

sincos

sincos

sincos

222

통계 및 소음/진동 용어 설명

평균값 (Average value)

T

0)(

1lim dttx

TX

Tav

평균자승값 (Mean square value)

T

0

2 )(1

lim dttxT

XT

ms

평균제곱근 (Root mean square value)

msrms XX

데시벨(Decibel)

2

2

110

2

110 )(log10)(log10

X

X

P

PdB

여기서 iP 는 Power, iX 는 음압의 진폭이며 Power 가 2 배면 3dB 증가한다. 데시벨은 원래

위에서 정의된 대로 상대적인 의미를 갖는 것이나, 편의상 보통 사람의 귀로 감지가

어려워지는 20 Pa 의 음압을 0dB 로 정하였다. 예로서 적막한 산사의 소음지수는 10dB

정도이고 시끄러운 자동차 소음은 70 dB 정도이며, 쾌적한 환경이라면 30-40 dB 정도이다.

노모그라프 (Nomograph)

조화운동의 변위, 속도, 그리고 가속도의 허용 범위를 규정하는데 널리 사용되는 그래프로서

(교재그림 5.1 참조) 가로축은 주파수 세로축은 속도를 나타낸다. 노모그라프가 왜 이러한

식으로 그려지는 지는, 아래 식들의 양변을 각각 로그 취한 후, 그 결과들을 가지고 각자가

생각해 보자.

vav

x

여기서 avx ,, 는 각각 변위, 속도, 그리고 가속도의 최대 값들을 나타낸다.

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Sample1

다음 미분방정식을 풀이하라.

04 xx 1)0( x and 0)0( x

stex 대입하면 042 s 따라서 is 2

그러므로 일반 해는

tBtAtx 2cos2sin)(

초기 조건들을 대입하면 0A , 1B

따라서

ttx 2cos)(

Sample 2

다음 두 방정식의 형태는 서로 동등함을 보이라.

)sin( tA ---(1)

tDtC cossin ---(2)

(1)식을 삼각함수 공식을 이용하여 분해하면,

sincoscossin)sin( tAtAtA

이 때, cosAC 그리고 sinAD 로 하면 두 식은 동등하다.

Sample 3

노모그라프에서 주파수 4Hz 에서 최대 속도가 200mm/s 라면, 최대 가속도와 최대 변위의

값은 얼마인가?

)/(8 srad )/(200max smmAv

따라서

)(96.7maxmax mm

vAd

)/(5027 2max

2max smmvAa

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감쇠 진동계

(자유물체도)

)(

)(

E.O.M

tFkxxcxm

xckxtFxm

)(tF 가 0 이면 자유진동

일반 해를 구하는 방법

stex 라 가정하고 방정식에 대입하면,

m

k

m

c

m

cs

m

k

m

c

m

cs

kcsms

2

2

2

1

2

22,

22

특성방정식 0

<1> 0 2

2

m

k

m

c일 때 (즉, 2 mkc 일 때) 2 개의 음의 값을 갖는 실근

21 tsts BeAex

Overdamped system

9

<2> 0 2

2

m

k

m

c일 때 (즉, 2 mkc 일 때) 실중근

BtAext

m

c

2

Critically damped system

<3> 0 2

2

m

k

m

c일 때 (즉, 2 mkc 일 때) 복소근

t

m

c

m

kBt

m

c

m

kAex

tm

c 222

2sin

2cos

Underdamped system 이 때만 떨림 운동이 발생한다.

참조: sincos iee i 오일러 공식

Critical Damping cc

시스템을 Critically damped system 으로 만드는 감쇠계수를 말한다.

kmmm

kmc

m

k

m

c

nc 222

02

즉2

Damping Ratio

감쇠계수 값을 Critical damping 값으로 나눈 값을 의미하며 감쇠비라 한다. 즉

cc

c

따라서 질량, 강성, 감쇠의 함수로 표기되는 값들은 이제 고유진동수와 감쇠비로 표기할 수

있다. 예를 들어

nc

c m

km

m

c

c

c

m

c 22

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또한 특성방정식의 두 해의 값들도 감쇠비와 고유진동수로 표시할 수 있다.

SystemdUnderdampe

SystemDamped Critically

SystemOverdamped

s

s

n

n

1

1

1

1

1

22

21

감쇠비 를 이용해 경우를 분류하면,

(1) Underdamped system ( <1)

)1sin1cos( 22 tBtAex nntn

여기서 nd 21 : Damped natural frequency

대표적인 반응을 그래프로 보면 아래와 같다.

11

(2) Overdamped system ( 1 )

tt nn BeAex )1()1( 22

(3) Critically damped system ( 1 )

)( BtAex tn

위 그래프들 (1), (2), (3)에서 A, B 의 값들은 초기 조건들에 의하여 결정되는데, (2)와

(3)에 나타나는 3 가지 곡선은, 초기변위가 양의 값을 가질 때, 초기 속도가 (+), 0, 그리

고 (-) 값을 갖는 조건들에 대한 반응들을 각각 나타낸다.

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Sample 4

다음 미분방정식을 풀이하라.

04 xxx 1)0( x and 0)0( x

stex 대입하면 0142 ss 따라서 32 s

그러므로 일반해는

tt BeAetx )32()32()(

초기조건들을 대입하면 1 BA , 0)32()32( BA

따라서

tt eetx )32()32(

32

32

32

32)(

Sample 5

감쇠 진동방정식을 감쇠 비와 고유진동수를 이용하여 표시하라.

)(tfkxxcxm

양변을 질량으로 나누면

)(1

tfm

xm

kx

m

cx --- (1)

고유진동수와 감쇠 비는 다음과 같다.

2n

k

m

nm

c

km

c

22 --- (2)

따라서 식(1)은 식(2)를 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

)(1

2 2 tfm

xxx nn

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Sample 6

중력이 진동계의 고유진동수나 감쇠 비에 영향을 주는가?

kx xc )( xk xc

x mg mg

(자유물체도 1) (자유물체도 2)

만일 좌표 x 의 원점을 스프링의 변형이 없는 위치로 한다면 자유물체도는 1 번째와 같이

그려진다. 따라서 운동방정식은 아래와 같이 주어진다.

mgxckxxm

정리하면

mgxckxxm ---(*)

이 방정식은 우변에 중력 항이 나타나나 이는 고유진동수나 감쇠비와는 무관하다.

만일 x 의 원점을 정적 평형점으로 잡는다면 자유물체도는 2 번째와 같이 그려지게 된다

(이 자유물체도에서 는 자중에 의해 늘어난 스프링의 길이). 따라서 운동방정식은 아래와

같이 주어진다.

mgxcxkxm )(

그런데 mgk 이므로 위 방정식은 다음과 같이 정리된다.

0 xckxxm

이 형태는 앞에서 구한 (*)식에 비해 간단하다. 그러므로 이 형태가 진동해석 시 널리 사용

된다. 물론 이 방정식에서도 고유진동수와 감쇠비는 중력 항과 무관하다.

m m

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Homework Problems (1.1-1.3)

2, 3, 6, 9, 12, 14, 18,, 23, 25, 27, 28, 32,34, 38, 41, 43, 51, 52, 54, 58 (총 20 문제)