高雄市 106 年度國小學生獨立研究競賽

作品說明書

科 別：數學科

作品名稱：探究多面體的奧秘

關鍵詞：正多面體、非正多面體、尤拉規律 (最多 3 個)

探究多面體的奧秘

摘要

對於正多面體的研究，已知僅存在正四、正六、正八、正十二及正二十面體

等 5 種正多面體，它們分別以正三邊形、正四邊形及正五邊形為基底元素所組

成。數學家尤拉(Euler)並已找出這 5 種正多面體的邊線、頂點與面之間關係存

在的規律，在台灣歷屆的中小學科展及國、高中的專題研究中也對這些正多面體

有許多的描述。參考這些研究，我們從這 5 種正多面體的研究為基礎，嘗試以不

同角度探討上述之外的其他非正多面體，探究它們不能形成正多面體的原因及

這些非正多面體組成的基底元素是什麼?更進一步的我們也嘗試利用N型摺紙當

基底元素去組成星狀正多面體，並探究星狀正多面體是否也有類似尤拉規律的

存在?

壹、研究動機

有一天，參觀奇美博物館「紙上奇蹟」特展的幾何區，我們看到許多美妙的

摺紙圖案，這些摺紙可以組成許多立體的多面體作品，這些美麗的多面體引起了

我們的興趣。回家找尋資料後，發現多面體相關知識內容很多，但有一些內容我

們不十分了解，所以我們決定要深入探究這些立體多面體的奧秘，及如何利用折

紙去摺出不同的多面體或星狀多面體。

貳、研究目的

一、了解正多面體、非正多面體及星狀多面體的特性及組成元素。

二、探究由拉規律由來及多面體點數、邊線數、面數與尤拉規律間的關係。

三、尋找是否存在不符合由拉規律的非正多面體。

參、研究設備及器材

色紙 計算機 智慧片 裁紙機 直尺

肆、研究過程或方法

我們探究的內容包含 3 種不同類別的多面體，分別為「正多面體」、「非正

多面體」及「星狀多面體」。研究方向主要是(1)理解正多面體的構成元素及尤

拉規律等已知的知識，用智慧片操作組成這已知的 5 種正多面體，並計算正多

面體的表面積與體積。(2)其次根據這些知識延伸探討非正多面體構成的元素及

是否也存在類似尤拉規律的情況。(3)最後我們也探究星狀正多面體構成的要素

與與規律，希望從這些研究中找正多面體與星狀正多面體的關聯與差異，藉由這

個研究能帶給我們對幾何圖形與立體圖圖樣的認識，引起我們對幾何圖形產生

學習的興趣。

研究一：探究正多面體

一、正多面體特性與尤拉規律：

(一)正多面體定義：正多面體的每一面都是全等的正多邊形，且每一個頂點都

連接有相同數目的邊線。換句話說，正多面體每個頂點交會著相同數目且全等的

正多邊形，每一個頂點所接的面數都是一樣的全等凸面體，這樣的多面體稱為正

多面體或柏拉圖立體(正多面體的別稱柏拉圖立體是因柏拉圖而命名的)。以下

是已知的正多面體立體圖、展開圖、組成圖形的基底元素與相鄰面的夾角。

(二)對偶多面體：如果兩個多面體的稜數相等，並且其中一個多面體的頂點數

和面數等於另一個多面體的面數和頂點數，則稱此兩個多面體為「對偶多面體」。

1.正四面體的對偶正多面體是以它的四個面的中心為點頂的正四面體。

2.正六面體的對偶正多面體是以它的六個面的中心為頂點的正八面體。

3.正十二面體對偶正多面體是以它的十二個面的中心為頂點的正二十面體

正 4 面體、正 6 面體、正 8 面體、正 12面體與正 20 面體等 5 種正多面體，

也稱為「柏拉圖立體」。數學家尤拉(Euler)發現正多面體的「面」、「稜」和

「頂點」的數目有著規律性的關係存在，這個規律稱為「尤拉規律」，也就是「頂

點數+面數-稜數=2」，這個演算式也稱為「多面體的尤拉公式」。此外，我們也

將每個面邊數以字母 N 表示，每個頂點相交的稜線數以字母 M 表示。

(三)尤拉公式：數學家尤拉，在 1752 年發現各種正多面體間的關係。設 V＝

頂數，E＝邊數，F＝面數，正多面體包含「面、邊線、頂點」，這 3 個數學詞

定義如下

「面」：組成多面體的多邊形稱為「面」，以字母 F 表示。

「稜」：任二個多邊形相交面的「邊線」稱為「稜」，以字母 E 表示。

「頂點」：稜和稜的交會點稱為多面體的「頂點」，以字母 V 表示。

尤拉發現 面數＋頂角數＝邊數＋2，因此

V－E＋F＝2…………………（1）

此公式稱為 Euler-Descarets 公式。

(二)正多面體展開圖與組成元素：

正多面體 立體圖形 平面展開圖 基底元素 相鄰面夾角

正四面體

正 3 邊形 約 70 度

正六面體

正 4 邊形 90 度

正八面體

正 3 邊形 約 109 度

正十二

面體

正 5 邊形 約 116 度

正二十

面體

正 3 邊形 約 138 度

(表 1) 各種正多面體立體圖、展開圖、組成基底元素與相鄰面夾角

研究發現(一)：表 1 中我們發現正多面體基底元素與相鄰面的夾角

1.正四面體、正八面體、正二十面體，每個面都是由正 3 角形所構成，正六

面體每個面都是由正 4 邊形所構成，而正十二面體每個面都是由正 5 邊形所構

成，所以正多面體構成是以這 3 個正多邊形當基底元素所構成。

2.正四面體相鄰面的夾角約 70 度、正六面體為 90 度、正八面體約 109 度、

正十二面體約 116 度、正六面體約 138 度，面數越多相鄰面的夾角越大。

尤拉公式：頂點數(V)+面數(F)-稜數(E)=2

正多面體的

種類

每面邊數

(N)

交於一頂

點的邊數

(M)

頂點數

(V)

面數

(F)

稜數

(E)

尤拉公式

V+F-E

正四面體 3 3 4 4 6 2

正六面體 4 3 8 6 12 2

正八面體 3 4 6 8 12 2

正十二面體 5 3 20 12 30 2

正二十面體 3 5 12 20 30 2

(表 2) 各種正多面體的頂點數、面數、稜數與尤拉規律

研究二：探究非正多面體

在我們找到文獻中，僅顯示正多面體符合尤拉公式的規律，非正多面體則無

相關的研究報告，因此我們想深入探究一般的非正多面體的頂點數、面數、稜數

是否也存在類似尤拉公式的規律?構成非正多面體的元素是什麼?及非正多面體

相鄰面的夾角為何?最後也探究非正多面體存在什麼特性?

我們分別以三角形、正方形和五邊形的智慧片為基底去建構非正多面體，並

記錄每個多面體的頂點數、面數與稜數，從這些紀錄的數字中試著去找出關聯性，

看看這些多面體是否符合尤拉規律?

(一)一些非正多面體圖形與組成圖樣的基底元素

多面體 立體圖形 平面展開圖 基底元素 面與面夾角

5 面體(1)

三邊形：2

四邊形：3

五邊形：0

60 度

90 度

5 面體(2)

三邊形：4

四邊形：1

五邊形：0

60 度

115 度

7 面體

三邊形：0

四邊形：5

五邊形：2

108 度

90 度

9 面體(1)

三邊形：6

四邊形：3

五邊形：0

60 度

150 度

155 度

160 度

9 面體(2)

三邊形：8

四邊形：1

五邊形：0

60 度

80 度

90 度

125 度

130 度

10 面體(1)

三邊形：10

四邊形：0

五邊形：0

55 度

125 度

10 面體(2)

三邊形：4

四邊形：4

五邊形：2

60 度

90 度

108 度

160 度

11 面體

三邊形：10

四邊形：1

五邊形：0

60 度

90 度

105 度

115 度

13 面體

三邊形：10

四邊形：0

五邊形：3

45 度

60 度

120 度

14 面體

三邊形：14

四邊形：0

五邊形：0

60 度

110 度

140 度

170 度

15 面體

三邊形：7

四邊形：7

五邊形：1

90 度

108 度

115 度

170 度

16 面體

.

三邊形：16

四邊形：0

五邊形：0

60 度

70 度

120 度

130 度

18 面體(1)

三邊形：12

四邊形：0

五邊形：6

60 度

108 度

130 度

170 度

18 面體(2)

三邊形：18

四邊形：0

五邊形：0

90 度

108 度

110 度

115 度

120 度

19 面體

三邊形：8

四邊形：9

五邊形：2

60 度

90 度

110 度

120 度

22 面體

三邊形：20

四邊形：0

五邊形：2

60 度

108 度

120 度

150 度

27 面體

三邊形：25

四邊形：1

五邊形：1

60 度

90 度

120 度

130 度

170 度

30 面體

三邊形：14

四邊形：15

五邊形：1

60 度

108 度

115 度

170 度

32 面體(1)

三邊形：20

四邊形：0

五邊形：12

140 度

150 度

32 面體(2)

三邊形：16

四邊形：16

五邊形：2

90 度

108 度

120 度

36 面體

三邊形：24

四邊形：0

五邊形：12

60 度

108 度

120 度

138 度

150 度

(表 3) 非正正多面體立體圖、展開圖、組成基底元素與相鄰面夾角

(研究發現二)：由表 3 中我們發現一些非正多面體特性

1.利用智慧片可以排列出不同面數的非正多面體，有些多面體不只僅有一

種立體圖樣。

2.非正多面體的組成僅需以三角形、四邊形或五邊形當基底就可組成，無

須其他圖形。

3.研究中的非正多面體有些只用單一多邊形組成，有些則由 2 種或 3 種多

邊形組成。

(二)非正多面體頂點、面與稜

正多面體

種類

每面邊數

(N)

交於一頂

點的邊數

(M)

頂點數

(V)

面數

(F)

稜數

(E) V+F-E

五面體 (1) 3、4 3 6 5 9 2

五面體 (2) 3、4 3、4 5 5 8 2

七面體 4、5 3 10 7 15 2

九面體(1) 3、4 3、4 8 9 15 2

九面體(2) 3、4 3、4、5 7 9 14 2

十面體(1) 3 4、5 7 10 15 2

十面體(2) 3、4、5 3、4 11 10 19 2

十一面體 3、4 4、5 8 11 17 2

十三面體 3、4 3,4,5,8 9 13 20 2

十四面體 3 4,5 9 14 21 2

十五面體 3、4、5 3、4、5 14 15 27 2

十六面體 3 3、4、5 10 16 24 2

十七面體 3、4、5 3 16 17 31 2

十八面體 3、4、5 3、4、5 11 18 27 2

十九面體 3、4 3、4 13 19 30 2

二十二面體 3、5 4、5 15 22 35 2

二十七面體 3、5 3、4、5 24 27 29 2

三十面體 3、4、5 3、4、5 28 30 56 2

三十二面體(1) 3、5 4 30 32 60 2

三十二面體(2) 3、4、5 3、4、5 32 32 62 2

三十六面體 3、5 3、4、5 32 36 66 2

(表 4) 各種非正正多面體的頂點數、面數、稜數及規律

(研究發現三)：由表 4 中我們也找到一些非正多面體規律

1.以正方形為底面發展的多面體，若要接五邊形，ㄧ定要接 3 角形在其中一

邊，否則只能拼出圖ㄧ的七面體或者以其發展的多面體(擴展、增高…)。

2.在以五邊形為基底作發展的多面體中，沒有正方形的形體都是偶數面體，

但有正方形的形體未必是奇數面體。

3.在以五邊形為基底作發展的多面體中，該面體非正多面

體時，該面體的三角形個數+正方形＞五邊形個數。

我們為了與正多面體做比較，基底元素都是用三邊形、

四邊形及五邊形，而目前我們找到的都符合尤拉規律，我們推測尤拉規律和基

底元素存在某種關係，於是我們嘗試拼出其他基底元素，例如：一個正四邊形

和一個正三邊形可以拼組出一個五邊形，我們運用這些圖形做了以下的形體：

(一)正八面體與非正八面體圖樣、基底元素與相鄰面之比較

多面體 立體圖形 平面展開圖 基底元素

個數 面與面夾角

(二)正八面體與非正八面體頂點數、面數、稜數之比較

非正多面體

種類

每面邊數

(N)

交於一頂

點的邊數

(M)

頂點數

(V) 面數

(F) 稜數

(E) V+F-E

八面體(1) 3、4 3 12 8 18 2

八面體(2) 3、4 3 12 8 18 2

經過計算後，我們發現用非正多邊形組合出的多面體，也符合尤拉規律。

研究三：探究星狀正多面體

組合折紙是一種包含對多張紙作兩個程序的折紙技巧。第 1 個步驟是將每

張都折成相同的模組單元，第 2 個步驟是將各單元組合成平面或立體結構。

(活動一)：N 字形摺紙

N 字形紙片：(表 5)呈現出 N 字形紙片的折疊過程，這個紙片有一些特色

和規範，這些特色包含每個 N 字形紙片均有 2 個尖角，每個 N 字形紙片均有 2

個有效口袋及 2 個無效口袋。(所謂有效口袋是指等腰三角形的口袋，無效口

袋是指不等邊三角形的口袋)

正八面體

三邊形：8 約 109 度

八面體(1)

三邊形：12

四邊形：6

五邊形：0

90 度

120 度

八面體(2)

三邊形：12

四邊形：8

五邊形：0

90 度

120 度

1.準備方形色紙 2.將色紙摺成

4 等份

3.依對稱將方形色

紙折成上述形狀

4.在折 2 次形成

N 字形摺紙

(表 5) N 字型基底圖樣的摺法

(活動二)：探討立體直角

1.運用 3 個 N 字型元件拼組而成。

2.立體直角底面為正三角形，側面為等腰直角三角形。

立體直角，也是星狀正

多面體的一角 中空立體直角

(活動三)：摺出星狀正四面體

1.把一張 N 字型的尖角插入另一張 N 字型的有效口袋，總共利用 6 個元件，

成功拼組出正四面體。

2.運用 6 個 N 字型元件拼組正四面體。

N 字型紙片所摺出的星狀正四面體 智慧片拼出的正四面體

(表 6) N 字形基底元件摺出的星狀正四面體

(活動四)：摺出星狀正八面體

1.用 1 張 N 字形的尖角插入另一張 N 字型的有效口袋，共用 12 個元件，拼

出星狀正八面體

2.運用 12 個 N 字型元件拼組。

智慧板組成的正八面體 正八面體展開圖 用 12 個 N 字型的元件做

的星狀正八面體

(表 7) N 字形基底元件摺出的星狀正八面體

(活動五)：摺出星狀正二十面體

1.我們把一張 N 字型的尖角插入另一張 N 字型的有效口袋，總共利用 30 個

元件，成功拼組出正二十面體

2.運用 30 個 N 字型元件拼組。

(表 8) N 字形基底元件摺出的星狀正二十面體

(研究發現三)：由活動二、活動三、活動四與活動五的研究中，我們可以利用

N 字形摺紙為基底，摺出星狀正四、正八及正二十面體，星狀正六及星狀正十

二面體則無法由 N 字形基底摺出。

(活動六)：探討如何拼出其他星狀正多面體

因為星狀正多面體的面是三角形，只能做出正四面體、正八面體、正二十

面體，於是我們用平行紙片方法拼出正六面體、正十二面體。

運用 12 張元件拼出正六面

體

運用 30 張元件拼出正十二面

體

(表 9) 用平行紙片摺出的正六與正十二面體

研究四：探討正多面體與星狀正多面體的體積、表面積以及相似圖形

智慧板組成的正 20 面體 正 20 面體展開圖 摺紙元件組成星狀正 20 面體

(活動一)：探究正多面體的表面積與體積

面積與體積計算公式：

多面體類型 每個面的面積 體積

正四面體 a √3= 112

a √2

正六面體 a a

正八面體 14a √3

13a √2

正十二面體 14a 25 + 10√5

14a 15 + 7√5

正二十面體 14a √3

512

a 3 + √5

(表 9) 正多面體各面面積與體積計算公式

我們使用的智慧片每邊長為 7 公分，利用上表的公式計算出正四面體、正

六面體、正八面體、正十二面體跟正二十面體的表面積和體積，計算結果用四

捨五入法取概數到個位數，這些結果如下表。

單位:公分

多面體類型 每個面的面積

(平方公分)

表面積

(平方公分)

體積

(立方公分)

正四面體 21 84 40

正六面體 49 294 343

正八面體 21 168 161

正十二面體 86 1032 2628

正二十面體 21 420 749

(表 10) 各種正多面體的表面積與體積

(活動二)：探討星狀正多面體的相似圖形的表面積與體積:

我們利用色紙摺出Ｎ字形為基底元件，分別用了不同數量的元件，摺出星

狀正四面體、星狀正八面體與星狀正二十面體，並算出組成星狀正多面體的基

底元件數目，及算出各種星狀多面體表面積和體積。下表是算出來的星狀正多

面體表面積、體積與基底元件使用數量表。

基底元件

數量

每個面面積

(平方公分)

總表面積

(平方公分)

體積

(立方公分)

大 小 大 小 大 小

正四面體 6 18 8 216 96 452 109

正八面體 12 18 8 432 192 969 235

正二十面體 30 18 8 1080 288 599 162

(表 11) 各種星狀正多面體的表面積、體積與基底元件數量表

註：1.大的色紙邊長為 15 公分，我們將其裁成 10 公分，再製作成 N 字型紙片

並拼組後計算。

2.大的邊長為 6.5 公分，小的邊長為 4.2 公分

3.結果均用四捨五入法取概數到個位

(活動三)：探討星狀正多面體與其相似圖形的比例關係

色紙邊長

(公分)

每個面的面積

(平方公分)

總表面積

(平方公分)

體積

(立方公分)

大 小 比值 大 小 比

值 大 小

比

值 大 小 比值

正四面體 15 10 18 8 94 216 96

94 452 109

452109

正八面體 15 10 32 18 8

94 432 192

94 969 235

969235

正二十面

體 15 10

32 18 8

94 1080 288

94 2699 662

2699662

(表 12) 各種星狀正多面體的表面積、體積與基底元件數量表

註：1.因為星狀正多面體的體積還要在再加ㄧ個星狀(三角錐)的部分，所以除

了本來的體積之外，還要在加ㄧ個三角錐。

2.表內數字用四捨五入取概數到個位。

3.因為取概數所以在體積得出的比值不一樣，但相除結果其實非常相近。

伍、研究結果

經過這次的探究，我們有了以下一些認識與發現:

一、正多面體

(一)研究發現正四面體、正八面體、正二十面體每個面都是由三邊形組成，正

六面體是由 4 邊形組成，而正十二面體由 5 邊形組成。(表 1)

(二)5 種正多面體的頂點、邊線與面數有存在「頂點數(V)+邊數(E)-面數(F)=2」

的規律(表 2)

(三)5 種正多面體任兩相鄰面的夾角分別 70 度、90 度、109 度、116 度、138

度，也就是說這些夾角介於 70 度~138 度之間。(表 1)

(四)我們也利用公式計算出不同正多面體的表面積和體積。(表 10)

二、非正多面體

(五)研究也發現其他非正多面體，也可以由 3 角形、4 邊形或 5 邊形為基底的

圖樣所組成，只是有些立體圖是由單一基底元素組成，有些則需 2 種或 3

種基底元素材組成。(表 3)

(六)研究意外發現正多面體的頂點、邊線與面數也存在「頂點數(V)+邊數(E)-

面數(F)=2」的情況，符合尤拉規律。(表 4)

(七)正六面體是由 6 個正 4 邊形組成，正八面體是由 8 個正 3 邊形組成。但如

果由 5 個正 3 邊形及 1 個正 5 邊形則可以組成非正六面體，7 個正 3 邊形

及 1 個正 5 邊形則可以組成非正八面體。

(八)正多面體任一頂點的邊數均相同，但非正多面體任一頂點的邊數則會包含

有 2、3、4、5 條等情況。

(九)表 3 所呈現的非正多面體任兩相鄰面會有 2 種至 5 種等不同夾角。這些夾

角介於 45 度 170 度之間。(表 3)

三、星狀多面體

(十)星狀正四面體、正八面體、正二十面體的側面為三角形，所以用 N 字形紙

片為基底元數，摺出這 3 種星狀多面體。(表 6、7、8)

(十一)正六面體和正十二面體的側面分別為 4 邊形和 5 邊形，所以用「邊」的

摺法可以摺出，無法用 N 字形紙片摺出星狀正多面體。(表 9)

(十二)經過計算星狀正多面體的表面積與體積，以及計算其得比值後發現邊長

的比值大約是 1，面積的比值大約為 2，而體積的比值大約為 4，發現其中

的倍數關係。(表 11)

陸、討論

一、我們利用智慧片當模組，去發展正多面體與非正多面體，讓我們深入探究

幾何圖形的奧秘

二、研究過程常有一些新發現，例如星狀正多面體的組成元素、非正多面特性

與規律，讓我們覺得一個主題的研究常常越探究發現越多。

三、我們了解相似是指兩個圖形的形狀完全相同。嚴格來說，若存在兩個點的

集，其中一個能透過放大縮小、平移或旋轉等方式變成另一個，其實它們

是相似圖形。

四、研究中最大的發現是正多面體與非正多面體的頂點、邊與面的個數，存在

著「頂點數(V)+邊數(E)-面數(F)=2」的規律。

五、非正多面體也可以由 6 邊形、7 邊形、8 邊形等不同多邊形去組成，但為

了與正多面體比較，所以研究中只用 3 角形、4 邊形與 5 邊形當基底元素

來探討。

柒、結論

一、我們利用智慧片當模組，去發展正多面體與非正多面體，這個方法除了讓

我們實務操作了解多面體的組成，也讓我們探究多面體深層的特性與規律

二、正多面體兩相鄰面的夾角只有一個，且介於 70 度~138 度之間。而非正多面

體兩相鄰面的夾角不只有一個，有些低於 60 度，有些則會大於 145 度。這

個發現讓我們很好奇，未來我們將持續探究這些夾角的規律。

三、研究結果顯示，正多面體頂點數、邊線數與面數之間的關係符合尤拉規律，

而非正多面體頂點數、邊線數與面數之間的關係，部分也符合尤拉規律，對

於這些發現，我們也將持續探究找出相關原因。

四、由於時間短數我們無法做更多的探討，我們覺得這個主題的研究還有延伸探

討的空間，所以我們也將持續發掘新事實來探究。

捌、參考資料及其他

一、中華民國第56屆中小學科學展覽 國小組數學科-如鑽石般的璀璨世界~

探討多面體

二、中華民國第54屆中小學科學展覽 國小組數學科-給我360~其餘免談

三、中華民國第51屆中小學科學展覽 高職組機械科-原木之舞

四、中華民國第50屆中小學科學展覽 國小組數學科-正六面體與六連正方形

五、中華民國第50屆中小學科學展覽 國小組數學科-拼”給你看~一面二體

三尤拉

六、中華民國第46屆中小學科學展覽 國小組數學科--柏拉圖天空­正多面體展

開圖研究

七、非凡出版社 78.7.4出版 立體造型摺紙

八、國立台灣科學教育館【超越無限・數學印象】特展

柏拉圖送禮 http://zh.wikipedia.org/wiki/正多面體

九、內湖高中學生研究報告 唐鈺翔、高碩亨、陳彥霖 尤拉公式之研析

十、摺紙組合 http://pli.freehostia.com/origami/orimodular/orimodular.html

十一、高雄應用科技大學機械工程學系 陳家欣、陳冠良、邱錦華

多面體的等分割與翻轉