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함수의 표상 함수 연습문제

집합론과 수학의 기반, 제2부Set Theory and the Foundation of Mathematics, Part 2

정 주 희

Kyungpook National University

March 17, 2011


목차

1 함수의 표상

수학, 집합론, 논리학함수와 수식

함수의 집합론적 정의

2 함수

함수는 관계임

함수 관련 용어와 개념

3 연습문제

카티지언곱에 관한 문제

함수에 관한 문제


수학, 집합론, 논리학

닭과 달걀

집합론은 수학을 명확하게 사유하기 위한 도구로 쓰인다.강의노트의 1부에서 보았듯이 집합을 단순히 “사물을모아 놓은 것”으로 본다면 모순이 발생한다. (칸토르의역설, 러셀의 역설)

이 모순을 극복하기 위하여 공리적 집합론을 공부해야

한다고 하였는데, 공리적 집합론을 공부하기 위하여는함수(function), 관계(relation) 등의 수학적 개념의 이해가선행조건으로 요구된다.



닭과 달걀 continued

우리는 공리적 집합론의 언어로 수리논리학을 사용한다.그런데 수리논리학은 수학적 방법으로 접근해야 하므로

집합론에 기반을 두어야 한다.

그러므로 수학과 집합론과 논리학은 서로가 서로에게

의존하며동시에지탱해주는역할을한다고말할수있다.

따라서 이 셋 중의 어느 하나를 먼저 확실하게 익히고 그

후에 다른 것을 공부하는 방식은 통하지 않는다.



공부 방법

수학과 집합론과 논리학을 입문하여 공부하려면

직관적으로 쉽게 이해할 수 있는 수준에서, 다소의부정확을 감수하면서, 어느 정도 공부를 한 후에 조금더 엄격하고 정확한 단계로 옮겨가는 수순을 밟아야

한다.

이 강의노트는 학생들이 자신의 수학적 아이디어를

집합론이라는 언어를 사용하여 명확하게 표현할 수 있는

수준에 이르도록 하는 교재(敎材)로 준비되었다.


함수와 수식

함수의 뜻, 관련 용어

함수

f : X → Y

는 정의역(domain) X의 각 원소 x ∈ X에 대해서공역(codomain) Y의 원소 y = f (x) ∈ Y를 대응시키는규̇칙̇이다.

여기서 x를 독립변수(independent variable), y를종속변수(dependent variable)라고 한다. 예를 들어X = Y = R이고 f (x) = x2 + 1이면 x = 2일 때y = 22 + 1 = 5가 된다.


함수와 수식

함수의 뜻, 관련 용어 continued

이 경우 독립변수 x에 입력값(input value) 2가 배정(assign)되었을 때 종속변수 y의 출력값(output value)이 5가 된다고말한다.

흔히 “함수 x2 + 1를 미분하면 ...”라는 말을 하는데 엄격히말하자면 x2 + 1은 함수 자체가 아니라 함수의 출력값을계산하는 규칙을 기술하는 수식(expression)이다. 따라서“함수 x 7→ x2 + 1를 미분하면 ...”이라고 말하는 것이정확한 표현이다.


함수와 수식

함수의 뜻, 관련 용어 continued 2

기호 7→는 “maps to”라고 읽는다. 이 기호의 중요성을이해하기 위한 예로 사영함수 (x , y) 7→ x를 생각해 보자.

이 함수에서 사용한 수식은 x인데, 만일 “함수 x는 ...”이라고 말한다면 이 함수가 x 7→ x인지, (x , y) 7→ x인지,혹은 (y, z , x) 7→ x인지를 알 수 없을 것이다. 수̇식̇ x는(정의역과 공역이 정해졌다 해도) 무한히 많은 함수를나타내는 데 쓰일 수 있다. 물론 이 수식이 문맥상 어떤함수를 의미하는지를 명확히 알 수 있을 때도 있다.



수식의 한계

함수를 나타내는 방법으로 x 7→ t(x)가 있다. 여기서 x는독립변수이고 t(x)는 수식으로서 통상 기호 x를 포함한다.

이 방법은 훌륭하기에 널리 쓰이지만 항상 쓸 수 있는

것은 아니다. 정의역이나 공역의 원소들이 수(number)가아닐 때는 이 방법을 쓸 수 없는 것이 당연하고, 또한정의역과 공역이 수의 집합이라 하더라도 정의역을

구분하여 piecewise define해야 한다거나, 혹은 계산알고리듬을 기술해야 하는 경우에도 수식은 함수를

나타내기에 적합하지 않다.



순서쌍과 카테시안곱

순서쌍(ordered pair)은 평면 상의 점의 좌표로 쓰이기때문에 모든 학생에게 친숙한 개념이다. 순서쌍의 가장중요한 성질을 아래에 보였다.

(x1, y1) = (x2, y2) ⇔ (x1 = x2) ∧ (y1 = y2). (1)

집합 X와 Y의 원소들로 구성된 모든 순서쌍들의 집합을카티지언곱(Cartesian product) X × Y라고 한다. 즉,

X × Y def= {(x , y)∣∣∣ x ∈ X , y ∈ Y } (2)



순서쌍의 집합론적 표상

순서쌍은 집합론적으로는 다음과 같이 표상(represent)1

한다.(x , y) def= {{x}, {x , y}} (3)

여기서 중요한 것은 (3)의 우변은 순서쌍이라는 대상자체가 아니라 이 대상을 집합론적으로 나타내는 표상(중하나)이라는 것이다. (3)을 이용하여 (1)을 증명할 수 있다.

집합론에서는 모든 것을 집합으로 표상한다.

1표상하다(동사): 추상적이거나 드러나지 아니한 것을 구체적인형상으로 드러내어 나타내다.



그래프

통상 함수의 그래프(graph)는 함수를 시각적으로 나타낸것을 의미하는데, 집합론에서는 이를 다음과 같이정의한다. 함수 f : X → Y의 그래프는 집합

{(x , f (x)) ∈ X × Y∣∣∣ x ∈ X}

이다.

흔히 f : X → Y의 그래프를 다시 f로 나타낸다. (조금혼동스럽다.)



순서3항

순서3항(ordered triple)은 3차원 공간의 점을 나타내는좌표 비슷한 것이다. 순서3항의 가장 중요한 성질을아래에 보였다.

(x1, y1, z1) = (x2, y2, z2) ⇔ (x1 = x2)∧(y1 = y2)∧(z1 = z2). (4)

순서3항의집합론적정의는 (x , y, z) def= ((x , y), z)로두기도하고 (x , y, z) def= {(0, x), (1, y), (2, z)}로 두기도 한다.

집합론에서는 모든 것을 집합으로 나타낸다고 하였다.자연수는 0 def= ∅, 1 def= {0}, 2 def= {0, 1}, 3 def= {0, 1, 2} ...등으로 정의한다.



함수

함수 f : X → Y의 집합론적 정의는 다음의 순서3항이다.

(f , X , Y ) (5)

흔히 함수를 그것의 그래프와 동일시하여 “함수 f는 ...”이라고 한다.

다음의 사실에 주목할 것.

f ⊆ X × Y ,

(x , y) ∈ f ⇔ y = f (x).


함수는 관계임

2항관계

카티지언곱 X × Y의 임의의 부분집합을 2항관계(binaryrelation), 혹은 간단하게 관계라고 한다. 앞서 f ⊆ X × Y라하였으므로 함̇수̇는̇ 일̇종̇의̇ 관̇계̇이다.

관계 R ⊆ X × Y가 함수일 필요충분조건은 아래와 같다.

(∀x ∈ X)(∃y ∈ Y )[(

(x , y) ∈ R)

∧

(∀y ′ ∈ Y )((x , y ′) ∈ R → y ′ = y

)] (6)

(6)은 정의역의 임의의 원소 x에 대해서 (x , y) ∈ R인y ∈ Y가 유̇일̇하̇게̇ 존̇재̇한다는 뜻이다.


함수는 관계임

정의역과 공역의 비대칭성

유일하게 존재한다는 표현은 수학에서 흔히 쓰이므로

이를 기호로 ∃1로 나타낸다. 이제 (6)은 다음과 같이 쓸 수있다.

(∀x ∈ X)(∃1y ∈ Y )((x , y) ∈ R

)주의할 점 하나는 (∀y ∈ Y )(∃x ∈ X)

((x , y) ∈ R

)는 R이

함수일 필요조건이 아니라는 것이다.

(x , y) ∈ R을 x R y로 쓰기도 하는데 이를 가운데 쓰기(infixnotation)라고 한다. R이 <, ≤, ≡ 등의 특수기호일 때는대부분의 경우 가운데 쓰기를 사용한다.



단사, 전사, 전단사

함수 f : X → Y가

(∀x1, x2 ∈ X)(

x1 ̸= x2 → f (x1) ̸= f (x2))

를 만족할 때 f를 단사함수(one-to-one function)라고 하고,

(∀y ∈ Y )(∃x ∈ X)(f (x) = y)

를 만족할 때 f를 전사함수(onto function)라고 한다.

단사함수인 동시에 전사함수인 함수를 전단사함수(one-to-one correspondence, bijective fctn)라고 한다.



연습문제

Exercise 1. f : R → R가 1차함수, 즉 어떤 상수 a ̸= 0, b에 대하여 f (x) = ax + b라 하자.

1 f는 단사함수임을 보이시오.2 f는 전사함수임을 보이시오.

Exercise 2. f : R → R가 2차함수라면 f는 단사함수일수도 없고 전사함수일 수도 없음을 증명하시오.



값, 상, 변역

f : X → Y가 함수이고 a ∈ X일 때 f (a)를 f의 a에서의값(value)이라 한다. A ⊆ X일 때

f (A) def= {f (x)∣∣∣ x ∈ A}

를 A의 f에 의한 상(image)이라고 한다.

X의 상을 f의 변역(range)이라고 한다.2 f의 변역이 공역과일치할 때 f는 전사함수가 된다.

2변역을 흔히 ‘치역’이라고 하는데 이는 일본식 표현이다.



역상

B ⊆ Y일 때

f −1(B) def= {a ∈ X∣∣∣ f (a) ∈ B}

를 B의 역상(inverse image)이라고 한다.

주의: Y의 역상은 항상 X이다. 그러나 일반적으로 X의상은 Y의 부분집합이다.



연습문제

Exercise 3. f (x) = x2, A = [−1, 2] (폐구간), B1 = [0, 4],B2 = [−2, 4], B3 = [1, 4]라 할 때 다음을 구하시오.

1 f (A).2 f −1(B1)3 f −1(B2)4 f −1(B3)



합성

함수 f : X → Y와 g : Y → Z가 주어졌을 때 X에서 Z로가는 함수

x 7→ g(f (x))

를 f와 g의 합성(composition)이라고 부르며 기호로는

g ◦ f : X → Z

로 나타낸다. 기호 ◦는 “circle”이라고 읽는다.



합성 continued

합성함수 g ◦ f가 존재하기 위하여는 g의 정의역과 f의공역이 일치하면 된다. 조건을 조금 완화시키자면 g의정의역이 f의 변역의 초집합이면 된다.

3개의 함수 f : X → Y , g : Y → Z와 h : Z → W가주어졌을 때

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )

가 성립함을 쉽게 증명할 수 있다. 이를 두고 함수의합성에는 결합법칙(associative law)이 성립한다고 말한다.



역함수

함수 f : X → Y와 g : Y → X가

(∀x ∈ X)((g ◦ f )(x) = x) ∧ (∀y ∈ Y )((f ◦ g)(y) = y) (7)

를 만족할 때 f와 g는 서로의 역함수(inverse function)라고하고 g = f −1, f = g−1로 쓴다.

X = Y일 때는 조건 (7)을

(∀x ∈ X)((f ◦ g)(x) = x = (g ◦ f )(x))

로 쓸 수 있다.



역함수 continued

함수의 역함수는 항상 존재하는 것이 아니다. 예를 들어f : R → R, f (x) = x2은 역함수가 존재하지 않는다. 만일역함수 f −1이 존재한다면

f −1(4) = f −1(f (2)) = (f −1 ◦ f )(2) = 2 인 동시에

f −1(4) = f −1(f (−2)) = (f −1 ◦ f )(−2) = −2

이 성립해야 한다는 모순이 발생할 것이다.

Fact. 함수는 전단사함수일 때, 그리고 이때만 그것의역함수가 존재한다.



용어 정리

상을 direct image라고 하기도 한다.

역상을 preimage라고 하기도 한다.

함수의 값 f (a)를 a의 상이라 하기도 한다.

f (a) = b인 경우 a를 b의 역상이라고 하기도 한다.

f −1(b)는 때로는 f의 역함수의 b에서의 값을의미하고, 때로는 f −1({b}), 즉 f (a) = b인 모든 a들의집합을 의미한다.


카티지언곱에 관한 문제

연습문제

Exercise. 다음을 증명하시오.1 (A ∪ B) × X = (A × X) ∪ (B × X)2 (A ∩ B) × (X ∩ Y ) = (A × X) ∩ (B × Y )3 (A ∪ B) × (X ∪ Y ) ⊆ (A × X) ∪ (B × Y )4 (A − B) × X = (A × X) − (B × X)5 (A = ∅) ∨ (B = ∅) ⇔ A × B = ∅6 (A ⊆ X) ∧ (B ⊆ Y ) ⇒ (A × B) ⊆ (X × Y )7 (A ⊆ X) ∧ (B ⊆ Y ) ⇐ (A × B) ⊆ (X × Y ),

provided that A × B ̸= ∅



연습문제 continued

Exercise. f : X → Y , A ⊆ X , B ⊆ Y가 주어졌을 때

f (A) ⊆ B ⇔ A ⊆ f −1(B)

가 성립함을 보이시오. 또한

A1 ⊆ A2 ⊆ X ⇒ f (A1) ⊆ f (A2),

B1 ⊆ B2 ⊆ Y ⇒ f −1(B1) ⊆ f −1(B2)

임을 보이시오.




Exercise. f : X → Y와 A, B ⊆ X가 주어졌을 때 다음을증명하시오.

(1) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)

(2) f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B)

(3) f (X − A) ⊇ f (X) − f (A)

단, (2)와 (3)에서 f가 단사이면 등호가 성립한다. 모든 A,B에 대하여 (2)가 성립하면 f가 단사이다. 또한 모든 A, B에 대하여 (3)이 성립하면 f가 단사이다.




Exercise. f : X → Y와 A, B ⊆ Y가 주어졌을 때 다음을증명하시오.

(1) f −1(A ∪ B) = f −1(A) ∪ f −1(B)

(2) f −1(A ∩ B) = f −1(A) ∩ f −1(B)

(3) f −1(X − A) = X − f −1(A)




Exercise 1. 함수 f : X → Y와 A ⊆ X , B ⊆ Y에 대해서f −1(f (A))와 A의 포함관계를 논하시오. 또한 f (f −1(B))와B의 포함관계를 논하시오.

Exercise 2. 함수의 합성에는 일반적으로 교환법칙이성립하지 않음을 보이시오.

Exercise 3. 두 단사함수(전사함수, 전단사함수)들의합성은 단사함수(전사함수, 전단사함수)임을 보이시오.




Exercise. X가 집합일 때 함수 x 7→ x를 항등함수(identityfunction)라고 부르며 기호로는 idX로 나타내기로 한다.

(1) 함수 f : X → Y는 g ◦ f = idX인 함수 g : Y → X가존재할 때, 그리고 이때만 단사임을 보이시오. (이런 g를 f의 left inverse라고 부른다.)

(2) 함수 f : X → Y는 f ◦ g = idY인 함수 g : Y → X가존재할 때, 그리고 이때만 전사임을 보이시오. (이런 g를 f의 right inverse라고 부른다.)

(3) Left(right) inverse가 2개 이상 존재할 수 있는가?

- 제2부, 끝 -

집합론과 수학의 기반, 제2부 - set theory and the …함수의 표상 함수 연습문제...

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