～第６回～第６回～第６回～第６回 初期値・境界値問題（初期値・境界値問題（初期値・境界値問題（初期値・境界値問題（ⅠⅠⅠⅠ）～）～）～）～

計計計計 算算算算 力力力力 学学学学

1

講義講義講義講義の概要の概要の概要の概要講義講義講義講義の概要の概要の概要の概要

１．計算力学概論，ガイダンス１．計算力学概論，ガイダンス１．計算力学概論，ガイダンス１．計算力学概論，ガイダンス

２．自然現象の数理モデル化２．自然現象の数理モデル化２．自然現象の数理モデル化２．自然現象の数理モデル化

３．行列・場とその演算３．行列・場とその演算３．行列・場とその演算３．行列・場とその演算

８．マトリックス変位法による構造解析８．マトリックス変位法による構造解析８．マトリックス変位法による構造解析８．マトリックス変位法による構造解析

９．トラス構造の有限要素解析９．トラス構造の有限要素解析９．トラス構造の有限要素解析９．トラス構造の有限要素解析

１０．重み付き残差法と古典的近似解法１０．重み付き残差法と古典的近似解法１０．重み付き残差法と古典的近似解法１０．重み付き残差法と古典的近似解法

・全１５講義・全１５講義・全１５講義・全１５講義

４．数値計算法（４．数値計算法（４．数値計算法（４．数値計算法（ⅠⅠⅠⅠ））））

５．数値計算法（５．数値計算法（５．数値計算法（５．数値計算法（ⅡⅡⅡⅡ））））

６．初期値・境界値問題（６．初期値・境界値問題（６．初期値・境界値問題（６．初期値・境界値問題（ⅠⅠⅠⅠ））））

７．初期値・境界値問題（７．初期値・境界値問題（７．初期値・境界値問題（７．初期値・境界値問題（ⅡⅡⅡⅡ））））

１１．ガラーキン法による有限要素解析１１．ガラーキン法による有限要素解析１１．ガラーキン法による有限要素解析１１．ガラーキン法による有限要素解析

１２．弾性問題の有限要素解析（１２．弾性問題の有限要素解析（１２．弾性問題の有限要素解析（１２．弾性問題の有限要素解析（ⅠⅠⅠⅠ））））

１３．弾性問題の有限要素解析（１３．弾性問題の有限要素解析（１３．弾性問題の有限要素解析（１３．弾性問題の有限要素解析（ⅡⅡⅡⅡ））））

2

１４．弾性問題の有限要素解析（１４．弾性問題の有限要素解析（１４．弾性問題の有限要素解析（１４．弾性問題の有限要素解析（ⅢⅢⅢⅢ））））

１５．弾性問題の有限要素解析（１５．弾性問題の有限要素解析（１５．弾性問題の有限要素解析（１５．弾性問題の有限要素解析（ⅣⅣⅣⅣ））））

講義内容講義内容講義内容講義内容

・前回の復習・前回の復習・前回の復習・前回の復習

・・・・初期値境界値問題初期値境界値問題初期値境界値問題初期値境界値問題

支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類 支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類

代表的な初期値・境界値問題代表的な初期値・境界値問題代表的な初期値・境界値問題代表的な初期値・境界値問題

3

初期値・境界値問題初期値・境界値問題初期値・境界値問題初期値・境界値問題

・・・・支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類

微分方程式の型微分方程式の型微分方程式の型微分方程式の型

自然現象自然現象自然現象自然現象

数理モデル化数理モデル化数理モデル化数理モデル化 定常と非定常・準定常定常と非定常・準定常定常と非定常・準定常定常と非定常・準定常

・代表的な初期値，境界値問題・代表的な初期値，境界値問題・代表的な初期値，境界値問題・代表的な初期値，境界値問題

楕円型問題楕円型問題楕円型問題楕円型問題

離散化離散化離散化離散化

各種解析法による解析各種解析法による解析各種解析法による解析各種解析法による解析

解析結果の評価解析結果の評価解析結果の評価解析結果の評価

代数方程式代数方程式代数方程式代数方程式（連立一次方程式）（連立一次方程式）（連立一次方程式）（連立一次方程式）

・代表的な初期値，境界値問題・代表的な初期値，境界値問題・代表的な初期値，境界値問題・代表的な初期値，境界値問題

放物型問題放物型問題放物型問題放物型問題

双曲型問題双曲型問題双曲型問題双曲型問題

振動問題振動問題振動問題振動問題

• ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題

• 弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

4

・・・・支配方程式の誘導支配方程式の誘導支配方程式の誘導支配方程式の誘導

様々な物理現象様々な物理現象様々な物理現象様々な物理現象

• 支配的な要因支配的な要因支配的な要因支配的な要因• 注目する現象を抽出注目する現象を抽出注目する現象を抽出注目する現象を抽出

自然現象自然現象自然現象自然現象

数理モデル化数理モデル化数理モデル化数理モデル化

初期値・境界値問題初期値・境界値問題初期値・境界値問題初期値・境界値問題

離散化離散化離散化離散化

各種解析法による解析各種解析法による解析各種解析法による解析各種解析法による解析

解析結果の評価解析結果の評価解析結果の評価解析結果の評価

代数方程式代数方程式代数方程式代数方程式（連立一次方程式）（連立一次方程式）（連立一次方程式）（連立一次方程式）

支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）

楕円型問題楕円型問題楕円型問題楕円型問題

放物型問題放物型問題放物型問題放物型問題

双曲型問題双曲型問題双曲型問題双曲型問題

振動問題振動問題振動問題振動問題

• 離散化手法の選択に大きく影響離散化手法の選択に大きく影響離散化手法の選択に大きく影響離散化手法の選択に大きく影響

• それぞれの数理モデルをよく理解することが重要それぞれの数理モデルをよく理解することが重要それぞれの数理モデルをよく理解することが重要それぞれの数理モデルをよく理解することが重要

5

・微分方程式の型・微分方程式の型・微分方程式の型・微分方程式の型

支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類

物理問題の支配方程式物理問題の支配方程式物理問題の支配方程式物理問題の支配方程式

• 二階の偏微分方程式二階の偏微分方程式二階の偏微分方程式二階の偏微分方程式

02

22

2

2

=++∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

GFt

Ex

Dt

Ctx

Bx

A φφφφφφ

• 解の性質が大きく異なる解の性質が大きく異なる解の性質が大きく異なる解の性質が大きく異なる

• 離散化の選択も異なる離散化の選択も異なる離散化の選択も異なる離散化の選択も異なる

解の性質を知ることが重要解の性質を知ることが重要解の性質を知ることが重要解の性質を知ることが重要

支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）

楕円型問題楕円型問題楕円型問題楕円型問題

放物型問題放物型問題放物型問題放物型問題

双曲型問題双曲型問題双曲型問題双曲型問題

振動問題振動問題振動問題振動問題

042 <− ACB ：楕円型：楕円型：楕円型：楕円型

042 =− ACB ：放物型：放物型：放物型：放物型

042 >− ACB ：双曲型：双曲型：双曲型：双曲型

係数の関係で型が分類係数の関係で型が分類係数の関係で型が分類係数の関係で型が分類

6

・微分方程式の型・微分方程式の型・微分方程式の型・微分方程式の型

支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類

楕円型問題楕円型問題楕円型問題楕円型問題

• 平衡問題のような閉じた境界条件が関係する問題平衡問題のような閉じた境界条件が関係する問題平衡問題のような閉じた境界条件が関係する問題平衡問題のような閉じた境界条件が関係する問題

• ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題

放物型問題或いは双曲型問題放物型問題或いは双曲型問題放物型問題或いは双曲型問題放物型問題或いは双曲型問題

• 伝搬問題のような開いた境界条件が関係する問題伝搬問題のような開いた境界条件が関係する問題伝搬問題のような開いた境界条件が関係する問題伝搬問題のような開いた境界条件が関係する問題

• ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題ポテンシャル流れの問題

• 弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

• 熱伝導問題熱伝導問題熱伝導問題熱伝導問題

• 拡散問題拡散問題拡散問題拡散問題

• 波動問題波動問題波動問題波動問題

7

・定常と非定常，準定常・定常と非定常，準定常・定常と非定常，準定常・定常と非定常，準定常

支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類支配方程式の種類

定常問題定常問題定常問題定常問題

• 構造物の挙動を扱う場合，静的な問題を定常問題構造物の挙動を扱う場合，静的な問題を定常問題構造物の挙動を扱う場合，静的な問題を定常問題構造物の挙動を扱う場合，静的な問題を定常問題

• 独立変数は空間変数独立変数は空間変数独立変数は空間変数独立変数は空間変数

非定常問題非定常問題非定常問題非定常問題

• 構造物の挙動を扱う場合，動的な問題を非定常問題構造物の挙動を扱う場合，動的な問題を非定常問題構造物の挙動を扱う場合，動的な問題を非定常問題構造物の挙動を扱う場合，動的な問題を非定常問題

時間的に調和で周期性がある場合時間的に調和で周期性がある場合時間的に調和で周期性がある場合時間的に調和で周期性がある場合

準定常問題準定常問題準定常問題準定常問題

• 独立変数は空間変数と時間変数独立変数は空間変数と時間変数独立変数は空間変数と時間変数独立変数は空間変数と時間変数

慣性力の有無慣性力の有無慣性力の有無慣性力の有無• 境界値問題境界値問題境界値問題境界値問題

• 初期値境界値問題初期値境界値問題初期値境界値問題初期値境界値問題

8

初期値境界値問題初期値境界値問題初期値境界値問題初期値境界値問題

様々な物理現象様々な物理現象様々な物理現象様々な物理現象

支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）支配方程式（微分方程式）

楕円型問題楕円型問題楕円型問題楕円型問題

放物型問題放物型問題放物型問題放物型問題

双曲型問題双曲型問題双曲型問題双曲型問題

振動問題振動問題振動問題振動問題

初期値・境界値初期値・境界値初期値・境界値初期値・境界値

9

・楕円型問題・楕円型問題・楕円型問題・楕円型問題

代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題

楕円型の微分方程式の典型楕円型の微分方程式の典型楕円型の微分方程式の典型楕円型の微分方程式の典型

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yx

φφ

ラプラス方程式ラプラス方程式ラプラス方程式ラプラス方程式

2

22

2

2

∂∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

tC

txB

xA

φφ

φφφ

22 ∂∂ yx0=++

∂∂

+∂∂

+ GFt

Ex

D φφφ

対応する物理現象対応する物理現象対応する物理現象対応する物理現象

:, yx 空間座標とした時空間座標とした時空間座標とした時空間座標とした時

１）１）１）１） ：速度ポテンシャル：速度ポテンシャル：速度ポテンシャル：速度ポテンシャルφ 完全流体の渦なし流れ問題完全流体の渦なし流れ問題完全流体の渦なし流れ問題完全流体の渦なし流れ問題

２）２）２）２） ：温度：温度：温度：温度φ 定常熱問題定常熱問題定常熱問題定常熱問題

３）３）３）３） ：物質の濃度：物質の濃度：物質の濃度：物質の濃度φ 定常拡散問題定常拡散問題定常拡散問題定常拡散問題

10

・楕円型問題・楕円型問題・楕円型問題・楕円型問題

代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題

楕円型の微分方程式の典型楕円型の微分方程式の典型楕円型の微分方程式の典型楕円型の微分方程式の典型

( )yxfyx

,2

2

2

2

=∂∂

+∂∂ φφ

ポアソン方程式ポアソン方程式ポアソン方程式ポアソン方程式

2

22

2

2

∂∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

tC

txB

xA

φφ

φφφ

yx 22 ∂∂0=++

∂∂

+∂∂

+ GFt

Ex

D φφφ

• 完全流体の渦なし流れの湧き出しや吸い込み完全流体の渦なし流れの湧き出しや吸い込み完全流体の渦なし流れの湧き出しや吸い込み完全流体の渦なし流れの湧き出しや吸い込み

定数項定数項定数項定数項

• 熱伝導問題の熱源熱伝導問題の熱源熱伝導問題の熱源熱伝導問題の熱源

11

・楕円型問題・楕円型問題・楕円型問題・楕円型問題

代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題

楕円型の微分方程式の解の性質楕円型の微分方程式の解の性質楕円型の微分方程式の解の性質楕円型の微分方程式の解の性質

例題：定常熱伝導問題例題：定常熱伝導問題例題：定常熱伝導問題例題：定常熱伝導問題

2∂ T

支配方程式支配方程式支配方程式支配方程式

l

T0 T1

x

02

2

=∂∂x

T

熱伝導係数：１熱伝導係数：１熱伝導係数：１熱伝導係数：１

温度：温度：温度：温度：TTTT

境界条件境界条件境界条件境界条件

( ) ( ) lTlTTT == ,00

( )21CxCxT +=

２回積分２回積分２回積分２回積分

12

・楕円型問題・楕円型問題・楕円型問題・楕円型問題

代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題代表的な初期値境界値問題

楕円型の微分方程式の解の性質楕円型の微分方程式の解の性質楕円型の微分方程式の解の性質楕円型の微分方程式の解の性質

T0

支配方程式の解支配方程式の解支配方程式の解支配方程式の解

( ) ( )00T

l

xTTxT l +−= T0

T1

x=0 x=l x

( ) ( )00T

lTTxT l +−=

温度勾配は一定温度勾配は一定温度勾配は一定温度勾配は一定

解の特徴解の特徴解の特徴解の特徴

1.1.1.1. 任意の点の解は，その周りの点の解の平均値任意の点の解は，その周りの点の解の平均値任意の点の解は，その周りの点の解の平均値任意の点の解は，その周りの点の解の平均値

13

・・・・弾性弾性弾性弾性問題問題問題問題

楕円型問題の例楕円型問題の例楕円型問題の例楕円型問題の例

支配方程式支配方程式支配方程式支配方程式

• 応力の釣り合い方程式応力の釣り合い方程式応力の釣り合い方程式応力の釣り合い方程式

• ひずみと変位の関係ひずみと変位の関係ひずみと変位の関係ひずみと変位の関係

• 応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係

平面応力問題平面応力問題平面応力問題平面応力問題

自然現象自然現象自然現象自然現象のモデル化のモデル化のモデル化のモデル化

境界条件境界条件境界条件境界条件

n

σΓ

Ω

uΓ

dx

dy

• 応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係平面ひずみ問題平面ひずみ問題平面ひずみ問題平面ひずみ問題

• 力学的境界条件力学的境界条件力学的境界条件力学的境界条件

• 幾何学的境界条件幾何学的境界条件幾何学的境界条件幾何学的境界条件

14

・・・・弾性弾性弾性弾性問題問題問題問題

楕円型問題の例楕円型問題の例楕円型問題の例楕円型問題の例

記号の説明記号の説明記号の説明記号の説明

σΓ

Ω：完全弾性体：完全弾性体：完全弾性体：完全弾性体

Γ：境界全体：境界全体：境界全体：境界全体

σΓ：境界条件が外力で与えられる境界：境界条件が外力で与えられる境界：境界条件が外力で与えられる境界：境界条件が外力で与えられる境界

n

σΓ

Ω

uΓ

dx

dy

σΓ：境界条件が外力で与えられる境界：境界条件が外力で与えられる境界：境界条件が外力で与えられる境界：境界条件が外力で与えられる境界

uΓ：境界条件が変位で与えられる境界：境界条件が変位で与えられる境界：境界条件が変位で与えられる境界：境界条件が変位で与えられる境界

0, =Γ∩ΓΓ∪Γ=Γ σσ uu

15

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

微小部分の力の釣り合い状態微小部分の力の釣り合い状態微小部分の力の釣り合い状態微小部分の力の釣り合い状態

・応力の釣り合い方程式・応力の釣り合い方程式・応力の釣り合い方程式・応力の釣り合い方程式

σΓ

dxx∂+

σσ

dyy

y

y ∂

∂+

σσ

dyy

xy

xy ∂

∂+

ττ

σ

0=+−

∂

∂++−

∂∂

+ dxdybdxdxdyy

dydydxx

xxy

xy

xyxx

x ττ

τσσ

σ

n

Ω

uΓ

dx

dy

dxx

xx ∂

∂+

σσ

dxx

xy

xy ∂

∂+

ττ

yσxyτ

xyτdy

dx

力の釣り合い状態力の釣り合い状態力の釣り合い状態力の釣り合い状態

応力が作用応力が作用応力が作用応力が作用

xσ

xxxx方向の力の釣り合い方向の力の釣り合い方向の力の釣り合い方向の力の釣り合い

16

yyyy方向成分の力の釣り合い方向成分の力の釣り合い方向成分の力の釣り合い方向成分の力の釣り合い

0=+−

∂

∂++−

∂

∂+ dxdybdydydx

xdxdxdy

yyxy

xy

xyy

y

y ττ

τσσ

σ

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・応力の釣り合い方程式・応力の釣り合い方程式・応力の釣り合い方程式・応力の釣り合い方程式

0=+∂

∂+

∂∂

x

xyx byx

τσ

平衡方程式（釣り合い方程式）平衡方程式（釣り合い方程式）平衡方程式（釣り合い方程式）平衡方程式（釣り合い方程式）

0=+∂

∂+

∂

∂y

yxyb

yx

στ

モーメントの釣り合いモーメントの釣り合いモーメントの釣り合いモーメントの釣り合い

yxxy ττ =

n

σΓ

Ω

uΓ

dx

dy

17

微小部分の変形微小部分の変形微小部分の変形微小部分の変形

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・ひずみと変位の関係・ひずみと変位の関係・ひずみと変位の関係・ひずみと変位の関係

dy

u

v

dxu

u∂

+

dxx

vv

∂∂

+

dyy

uu

∂∂

+

dyy

vv

∂∂

+

( )u

dxudxx

uudx

BAx ∂

∂=

+−

∂∂

++=′′

=εdx

u dxx

u∂

+xdxAB

x ∂===ε

( )

y

v

dy

dyvdyy

vvdy

AD

DAy ∂

∂=

+−

∂∂

++

=′′

=ε

y

u

x

v

dy

udyy

uu

dx

vdxx

vv

AD

DAxy ∂

∂+

∂∂

=−

∂∂

++

−∂∂

+=′′

=γ

∂

∂+

∂∂

=i

j

j

iij

y

u

x

u

2

1ε

テンソル表記テンソル表記テンソル表記テンソル表記

18

等方弾性体の場合等方弾性体の場合等方弾性体の場合等方弾性体の場合

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・・・・応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係応力とひずみの関係

( )[ ]zyxxE

σσνσε +−=1

( )[ ]σσνσε +−=1

E：弾性係数：弾性係数：弾性係数：弾性係数

ν ：ポアソン比：ポアソン比：ポアソン比：ポアソン比

G：せん断弾性係数：せん断弾性係数：せん断弾性係数：せん断弾性係数( )[ ]xzyyE

σσνσε +−=

( )[ ]yxzzE

σσνσε +−=1

xyxyGτγ1

=

yzyzGτγ1

=

zxzxGτγ1

=

G：せん断弾性係数：せん断弾性係数：せん断弾性係数：せん断弾性係数

( )ν+=

12

EG

平面応力状態或いは平面ひずみ状態平面応力状態或いは平面ひずみ状態平面応力状態或いは平面ひずみ状態平面応力状態或いは平面ひずみ状態

二次元的問題として扱える二次元的問題として扱える二次元的問題として扱える二次元的問題として扱える

19

対象モデル対象モデル対象モデル対象モデル

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・平面応力状態・平面応力状態・平面応力状態・平面応力状態

• 薄い平板が面内の荷重を受ける状態薄い平板が面内の荷重を受ける状態薄い平板が面内の荷重を受ける状態薄い平板が面内の荷重を受ける状態

t

0=== zyzxz ττσ

• 平面に垂直な方向の応力成分平面に垂直な方向の応力成分平面に垂直な方向の応力成分平面に垂直な方向の応力成分は近似的に零は近似的に零は近似的に零は近似的に零

具体例具体例具体例具体例

• 平板の応力解析平板の応力解析平板の応力解析平板の応力解析

• 薄膜の応力解析薄膜の応力解析薄膜の応力解析薄膜の応力解析

x

y

x

z

20

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・平面応力状態・平面応力状態・平面応力状態・平面応力状態

応力ひずみ関係応力ひずみ関係応力ひずみ関係応力ひずみ関係

[ ]yxxE

νσσε −=1

[ ]νσσε −=1

( )[ ]zyxxE

σσνσε +−=1

( )[ ]xzyyE

σσνσε +−=1

( )[ ]σσνσε +−=1

0=== zyzxz ττσ

[ ]xyyE

νσσε −=1

( )xyzE

σσν

ε +−

=

( )xyxyxy

EGτ

ντγ

+==

121

zzzz方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意

( )[ ]yxzzE

σσνσε +−=1

xyxyGτγ1

=

yzyzGτγ1

=

zxzxGτγ1

=

21

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・平面応力状態・平面応力状態・平面応力状態・平面応力状態

応力ひずみ関係応力ひずみ関係応力ひずみ関係応力ひずみ関係

[ ]yxxE

νσσε −=1

[ ]νσσε −=1

[ ]yxx

Eνεε

νσ +

−=

21

[ ]xyyE

νσσε −=1

( )xyzE

σσν

ε +−

=

( )xyxyxy

EGτ

ντγ

+==

121

[ ]xyy

Eνεε

νσ +

−=

21

( ) xyxyxy

EG γ

νγτ

+==

12

zzzz方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意

22

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・平面・平面・平面・平面ひずみひずみひずみひずみ状態状態状態状態

対象モデル対象モデル対象モデル対象モデル

• 奥行き方向に非常に長い柱体がその側面奥行き方向に非常に長い柱体がその側面奥行き方向に非常に長い柱体がその側面奥行き方向に非常に長い柱体がその側面に一様な荷重を受ける状態に一様な荷重を受ける状態に一様な荷重を受ける状態に一様な荷重を受ける状態

0=== zyzxz γγε

• 奥行き方向の応力成分は近似的に零奥行き方向の応力成分は近似的に零奥行き方向の応力成分は近似的に零奥行き方向の応力成分は近似的に零

具体例具体例具体例具体例

• 地盤の応答解析地盤の応答解析地盤の応答解析地盤の応答解析

x

yz

23

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・平面ひずみ状態・平面ひずみ状態・平面ひずみ状態・平面ひずみ状態

応力ひずみ関係応力ひずみ関係応力ひずみ関係応力ひずみ関係

( )( )( )[ ]yxx

Eνεεν

ννσ +−

−+= 1

211

( )[ ]zyxxE

σσνσε +−=1

( )[ ]xzyyE

σσνσε +−=1

( )[ ]σσνσε +−=1

0=== zyzxz γγε

( ) xyxyxy

EG γ

νγτ

+==

12

( )( )( )[ ]yxy

Eεννε

ννσ −+

−+= 1

211

( )[ ]yxzzE

σσνσε +−=1

xyxyGτγ1

=

yzyzGτγ1

=

zxzxGτγ1

=

( )( )[ ]yxz

Eεε

ννν

σ +−+

=211

zzzz方向の応力は発生することに注意方向の応力は発生することに注意方向の応力は発生することに注意方向の応力は発生することに注意

24

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・応力ひずみ関係の比較・応力ひずみ関係の比較・応力ひずみ関係の比較・応力ひずみ関係の比較

( )( )( )[ ]yxx

Eνεεν

ννσ +−

−+= 1

211

( )[ ]E

[ ]yxx

Eνεε

νσ +

−=

21

[ ]E

平面ひずみ状態平面ひずみ状態平面ひずみ状態平面ひずみ状態平面応力状態平面応力状態平面応力状態平面応力状態

( ) xyxyxy

EG γ

νγτ

+==

12

( )( )( )[ ]yxy

Eεννε

ννσ −+

−+= 1

211

( )( )[ ]yxz

Eεε

ννν

σ +−+

=211

zzzz方向の応力は発生することに注意方向の応力は発生することに注意方向の応力は発生することに注意方向の応力は発生することに注意

[ ]xyy

Eνεε

νσ +

−=

21

( ) xyxyxy

EG γ

νγτ

+==

12

zzzz方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意方向のひずみは発生することに注意

25

( )xyz

Eσσ

νε +

−=

弾性問題弾性問題弾性問題弾性問題

・境界条件・境界条件・境界条件・境界条件

力学的境界条件力学的境界条件力学的境界条件力学的境界条件

• 外力が与えられる境界外力が与えられる境界外力が与えられる境界外力が与えられる境界

σΓ

=

=on

tt

tt xx

n

σΓ

Ωdx

dy

幾何学的境界条件幾何学的境界条件幾何学的境界条件幾何学的境界条件

σ= tt yy

uΓ

解析モデルの例解析モデルの例解析モデルの例解析モデルの例

F

F

+=

+=

yyxxyy

yxyxxx

nnt

nnt

στ

τσ

yx tt , ：表面力：表面力：表面力：表面力

n ：法線ベクトル：法線ベクトル：法線ベクトル：法線ベクトル

uonvv

uuΓ

=

=• 変位が与えられる境界変位が与えられる境界変位が与えられる境界変位が与えられる境界

26