edward kasner and fred supnick- the apollonian packing of circles

8/3/2019 Edward Kasner and Fred Supnick- The Apollonian Packing of Circles

1/7

MA THEMA T I C S : KASNER AND SUPNICK P R o c . N . A . S .T h e n e x t f o u r a r e t y p i c a l o f a c l a s s i n w h i c h t h e sum o f t w o t e r m s c a n

b e w r i t t e n x ( y n + w " ) :x ( y 3 + w I ) + z y w , [ 1 , 3 , 4 , 6 ] ;X ( y 3 + w I ) + z y t w 2 , [ 1 , 3 X 4 , 5 ] ;X ( y 5 + w I ) + z y w , [ 1 , 5 , 6 , 1 0 , 1 5 , 2 0 ] ;X ( y 5 + W ' ) + Z y 4 W 4 , [ 1 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 ] . ( 9 )A s e x a m p l e s o f f o r m s w i t h i n d e x d i f f e r e n t f r o m [ 1 ] ,

X y ' -y Z + z x , [ 2 ] ;X 4 y + y 2 X Z 2 + z 5 , [ 3 , 5 , 1 2 , 1 7 ] ;X C +zx2 + y 9 [ 2 , 3 , 5 ] ;x 4 y 2 + y z x + z 2 x ' , [ 5 , 6 , 1 1 , 1 3 ] . ( 1 0 )

5 . A s u f f i c i e n t i n d i c a t i o n o f a m e t h o d f o r o b t a i n i n g i n d i c e s o f f o r m s o fo d d e x t e n t o f a n y d e g r e e i n a n y n u m b e r o f v a r i a b l e s i s g i v e n b y t w o s i m p l er e m a r k s : I - 1 [ l ] i s t h e s e t o f a l l i n t e g e r s ; a s o l u t i o n o f a n y o n e o f a g i v e ns e t o f e q u a t i o n s E l = 0 , . . . , E , = 0 i s a s o l u t i o n o f E . . . E , = 0 . ( A l lo f t he e x a m p l e s i n 4 r e f e r t o t h e c a s e s = 2 . ) When a t l e a s t o n e o f t h ee q u a t i o n s , s a y , E s = 0 , c a n b e w r i t t e n E , ' = E , ' , w h e r e E , ' , E , ' a r e m o n o -m i a l s i n t h e v a r i a b l e s a n d h a v e n o v a r i a b l e i n c o m m o n , t h e c o m p l e t ei n t e g e r s o l u t i o n o f E , = 0 e x p r e s s e s e a c h o f t he v a r i a b l e s a s a m o n o m i a li n i n t e g e r p a r a m e t e r s . A p p l y i n g t h i s a n d t h e k n o w n m e t h o d s f o r f i n d i n gt h e s o l u t i o n s d e s c r i b e d t o t h e s e c o n d r e m a r k a b o v e , we f i n d t h e i n d i c e s .I n a l l o f t h e e x a m p l e s i n 4 t h e c o e f f i c i e n t s i n t h e f o r m s a r e - 1 . Anyn u m e r i c a l c o e f f i c i e n t s m ay b e i n t r o d u c e d a s i n e x t e n d i n g t h e s o l u t i o n o fE s ' = E , ' t o t h a t o f a , E 1 ' = b j E / , w h e r e a j , b , a r e a n y g i v e n i n t e g e r s .I f eachofE = O , . . . , E , = 1 , s > 1 c a n b e w r i t t e n i n t h e same f o r m a sE l , t h e e x t e n t o f t h e f o r m w h o s e i n d e x i s t o b e f o u n d i s 2 5 - 1 .

THE APOLLONIAN PAC KI NG OF C I R C L E SBy EDWARD KASNER AND FRED S U P N I C K

D B P A R T M E N T o F M A T H E M A T I C S , C O L u m B I U N I V E R SC o m m u n i c a t e d O c t o b e r 2 9 , 1 9 4 3

A t h e o r e m o f t h e s e n i o r a u t h o r c o n c e r n i n g t h e c o v e r i n g o f t h e p l a n e b yc i r c l e s i s e s t a b l i s h e d i n S c r i p t a M a t h e m a t i c a f o r M a r c h , 1 9 4 3 . 1 I n t h i sp a p e r w e g i v e a n a n a l y t i c p r o o f o f t h e same t h e o r e m . The s u b j e c t i s a l s oo f i n t e r e s t i n g e o l o g y ( p a c k i n g o f s a n d , p o r o s i t y p r o b l e m s ) a n d o t h e r f i e l d so f s c i e n c e .1 . D e f i n i t i o n s a n d S t a t e m e n t o f t h e T h e o r e m . L e t u s e f f e c t a c o v e r i n g

3 7 8


2/7

MATIIEMA T I C S : KASNER AND S U P N I C Ko f t h e p l a n e w i t h m u t u a l l y e x t e r n a l , e q u a l c i r c l e s e a c h t a n g e n t t o s i x o t h e r s .W e c a l l t h i s c o n f i g u r a t i o n t h e c i r c l e x . T h a t p a r t o f t h e p l a n e w h i c h i se x t e r n a l t o t h e c i r c l e s o f o u r c o v e r i n g c o n s i s t s o f c u r v i l i n e a r t r i a n g l e s .I n e a c h o f t h e s e we i n s c r i b e a c i r c l e , a n d c o n t i n u a l l y k e e p i n s c r i b i n g c i r c l e si n e a c h c u r v i l i n e a r t r i a n g l e o b t a i n e d t h e r e a f t e r a d i n f i n i t u m . We c a l lt h e l a t t e r c o n f i g u r a t i o n a n A p o l l o n i a n p a c k i n g o f c i r c l e s i n t h e p l a n e ( o rh y p e r c i r c l e x ) .

FIGURE 1

L e t T ( a , b , c ) d e n o t e t h e c u r v i l i n e a r t r i a n g l e f o r m e d b y t h e t h r e e mu-t u a l l y a n d e x t e r n a l l y t a n g e n t c i r c l e s C a , C b , C , w i t h r a d i i a , b , c , r e s p e c -t i v e l y . The t e r m A p o l l o n i a n p a c k i n g o f c i r c l e s i n T ( a , b , c ) i s d e f i n e ds i m i l a r l y , i . e . , w e i n s c r i b e a c i r c l e i n T ( a , b , c ) a n d c o n t i n u a l l y k e e p i n s c r i b -i n g c i r c l e s i n e a c h r e s u l t i n g c u r v i l i n e a r t r i a n g l e ( s e e F i g . 1 ) .L e t a s e t G o f m u t u a l l y e x t e r n a l c i r c l e s e a c h l y i n g i n T ( a , b , c ) b e g i v e n .T h e n t h e t e r m v a c a n c y o f T ( a , b , c ) r e l a t i v e t o G s i g n i f i e s t h e s e t o f p o i n t si n o r o n T ( a , b , c ) w h i c h a r e n o t i n t e r i o r t o a n e l e m e n t o f G .W e no w s t a t e t h eT H E O R E M : T h e a r e a o f t h e v a c a n c y o f an A p o l l o n i a n p a c k i n g o f c i r c l e s i n

a n y c u r v i l i n e a r t r i a n g l e i s z e r o . I n o t h e r w o r d s , t h e s u m o f t h e a r e a s o f t h ei n f i n i t y o f c i r c l e s o f an A p o l l o n i a n p a c k i n g i n T ( a , b , c ) i s e q u a l t o t h e a r e a o fT ( a , b , c ) .We n o t e t h a t s i n c e o u r t h e o r e m i s t r u e , t h e n b e c a u s e o f t h e s y m m e t r i c a lp r o p e r t i e s o f o u r i n i t i a l c o v e r i n g o f t h e p l a n e , i t i s an i m m e d i a t e c o n s e -

V O L . 2 9 , 1 0 4 3 3 7 9


3/7

MA THEMA T I C S : KASNER AND SUPNICK h o c . N . A . S .q u e n c e t ha t t he a r e a o f t h e v a c a n c y o f a n A p o l l o n i a n p a c k i n g o f c i r c l e s i nt he p l a n e i s z e r o .O u r m e t h o d o f p r o o f i s d i f f e r e n t f r o m t h a t o f t he p r ev i o u s p a p e r i nt h e s e n s e t h a t we c h o o s e a d i f f e r e n t s e q u e n c e o f d i m i n i s h i n g v a c a n c i e s , i tb e i n g e a s i e r t o d e t e r m i n e a b o u n d f o r t h e r a t i o o f d i m i n u t i o n a t e a c h s t a g e .

L e t H d e n o t e t h e s e t o f c i r c l e s a s s o c i a t e d w i t h a n A p o l l o n i a n p a c k i n g i nT ( a , b , c ) .L e t C ( x , y , z ) d e n o t e t h e c i r c l e i n s c r i b e d i n T ( x , y , z ) .The m o s t n a t u r a l m e t h o d o f e x h a u s t i n g t h e c i r c l e s o f H w o u l d b e t o

g r o u p t h e m i n t o s u b d i v i s i o n s a s f o l l o w s : W e i n s c r i b e a c i r c l e i n T ( a , b , c ) ;t h e n we i n s c r i b e a c i r c l e i n e a c h o ft h e t h r e e c u r v i l i n e a r t r i a n g l e s f o r m e d ;t h e n i n t h e 3 2 t r i a n g l e s f o r m e d , e t c .T h u s , f o r n = 1 , 2 , 3 , . . . , i , . . .

1 s t s u b d i v i s i o n : C ( a , b , c )2 n d s u b d i v i s i o n : C ( C ( a , b , c ) , b , c ) ,ct c C ( C ( a , b , c ) , a , c ) , C ( C ( a , b , c ) , a , b ) .I f t h e c i r c l e s o f t h e ( n - l ) s t s u b d i -v i s i o n a r e :

C ( a i , b k , c i ) , C ( a 2 , b 2 , c 2 ) ,

w h e r e k = 3 n - 2 , t h e n t h e c i r c l e sF I G U R E : 2 o f t h e n t h s u b d i v i s i o n a r e :C ( C ( a , , b j , c j ) , b , , c j ) , C ( C ( a j , b j , c j ) , a j , c j ) , C ( C ( a j , b j , c , ) , a j , b j )

w h e r e j = 1 , 2 , . . . , 3 n - 2 . B u t , t h e most n a t u r a l p r o c e d u r e i s n o t t h e m o s tc o n v e n i e n t i n t h i s c a s e .We d e f i n e w h a t we s h a l l c a l l a n e c k l a c e p a c k i n g ( s e e F i g . 2 ) o f a c u r v i -l i n e a r t r i a n g l e T ( a , b , c ) . I t i s t h e s e t o f c i r c l e s w h i c h - c o m p r i s e s C ( a , b , c ) ,

t he t hr ee c i r c l e s i n s c r i b e d i n t h e c u r v i l i n e a r v e r t e x t r i a n g l e s , t h e t h r e ec i r c l e s i n s c r i b e d i n t h e new v e r t e x t r i a n g l e s , a n d s o o n . Thus f o r n =1 , 2 , . . . , i , . . . i t c o n t a i n s t h e c i r c l e s b e l o n g i n g t o a l l o f t h e f o l l o w i n gs u b d i v i s i o n s :1 s t s u b d i v i s i o n : C ( a , b , c )

2 n d s u b d i v i s i o n : C ( C ( a , b , c ) , b , c ) , C ( C ( a , b , c ) , a , c ) , C ( C ( a , b , c ) , a , b ) .I f t h e c i r c l e s o f t h e ( n - 1 ) s t s u b d i v i s i o n a r e :

C ( a l , b , c ) , C ( a 2 , a , c ) , C ( a 3 , a , b )

3 8 0


4/7

MA THEMA T I C S : KASNER AND S U P N I C Kt h e n t h e c i r c l e s o f t h e n t h s u b d i v i s i o n a r e

C ( C ( a l , b , c ) , b , c ) , C ( C ( a 2 , a , c ) , a , c ) , C ( C ( a 3 , a , b ) , a , b ) .2 . T h e F u n d a m e n t a l L e m m a . We now e s t a b l i s h t h e f o l l o w i n gL E L m m A : A n e c k l a c e p a c k i n g o f a c u r v i l i n e a r t r i a n g k l T ( x , y , z ) c o v e r s

m o r e t h a n o n e - h a l f t h e a r e a o f T ( x , y , Z ) . 2L e t u s e f f e c t a n e c k l a c e p a c k i n g o f T ( x , y , z ) . L e t U a n d V d e n o t ea n y t w o t a n g e n t c i r c l e s o f t h e n ec k l a c e s e t , w i t h r a d i i u , v a n d c e n t e r ss u , s , , r e s p e c t i v e l y . We c o n n e c t s . t o s , w i t h a l i n e s e g m e n t . W e a l s od r a w l i n e s e g m e n t s f r o mt h e p o i n t s s u , s , t o t h ep o i n t s x u , x , a t w h i c h U /a n d V t o u c h o n e o f t h e Cs i d e s o f T ( x , y , z ) , s a y C . /( s e e F i g . 3 ) . We n o t et h a t / /< x u s u s , + - X I ' 0

v X . S S u i . ( 1 )


5/7

MATHEMA T I C S : KASNER AND S U P N I C K P R O C . N . A . S .t h e a r e a 5 o f A PQW i s l e s s t h a n o r e q u a l t o t h e sum , o f t h e a r e a s o f A R P Qa n d A PWS.3 N o w

5 = 2 a j 3 s i n ( R / 2 ) s i n ( S / 2 ) s i n ( ( R + S ) 1 2 )a n d

A = ( a 2 / 2 ) s i n R + ( ( 3 2 / 2 ) s i n S .W e m u s t s h o w t h a t 5 < , u f o r


6/7

MATHEMA T I C S : KASNER AND S U P N I C Ks e t , t h e n we j o i n i t s c e n t e r t o t h e p o i n t s w h e r e Wc o n t a c t s C , C , o r C ,w i t h l i n e a r s e g m e n t s . T h u s , T ( x , y , z ) i s t h e sum o f a d e n u m e r a b l e s e t o fn o n - o v e r l a p p i n g r e g i o n s { A t } , e a c h b o u n d e d by t h r e e l i n e a r s e g m e n t s a n da s u b a r c o f C , , C , , o r C , ( s e e s o l i d l i n e i n F i g . 3 ) . L e t S i , a n d S 0 b e t h e t w oc i r c u l a r s e c t o r s i n c l u d e d i n A t , a n d t 4 t h e r e m a i n i n g c u r v i l i n e a r t r i a n g l e .To e a c h A i we m ay now a p p l y ( 1 1 ) . Then

K [ T ( x , y , z ) ] = K[ A j ]i- 1- E 3 ( K [ S i 1 ] + K [ S t J + K [ t j )

i =2- E ( K [ S t i ] + K [ S 0 ] ) + F K [ t 4 ]> 2 K [ t ] . ( 1 2 )i j 1

T h e r e f o r e ,( E K [ t 1 ] ) / K [ T ( x , y , z ) ] < 1 / 2 . ( 1 3 )i_1

T h i s p r o v e s o u r f u n d a m e n t a l l e m m a .3 . P r o o f o f t h e T h e o r e m . L e t u s e f f e c t a n e c k l a c e p a c k i n g o f o u r c u r v i -l i n e a r t r i a n g l e T ( a , b , - 4 . L e t w = K [ T ( a , b , c ) ] . D e n o t e t h e sum o f t h ea r e a s o f t h e c i r c l e s o f t h i s n e c k l a c e s e t b y 0 1 . Then t h e a r e a o f t h e v a c a n c yV I i s

a - , j < w / 2 . ( 1 4 )B u t v , c o n s i s t s o f a d e n u m e r a b l e s e t o f c u r v i l i n e a r t r i a n g l e s . I n e a c h o ft h e s e e f f e c t a n e c k l a c e p a c k i n g a n d l e t a 2 d e n o t e t h e s u m o f t h e a r e a s o f a l lt h e s e n e c k l a c e s e t s . T h e n t h e a r e a o f o u r s e c o n d v a c a n c y v 2 i s

w - ( l + T 2 ) < w / 2 2 . ( 1 5 )P r o c e e d i n g s i m i l a r l y , t h e a r e a o f t h e n t h v a c a n c y v . i s

n( - EZt< w / 2 ' ( 1 6 )i- i

a n dnl i m co -E t= . ( 1 7 )

n_ao i- iB u t a i i s t h e s u m o f t h e a r e a s o f t h e A p o l l o n i a n p a c k i n g o f T ( a , b , c ) .

i , - 1T h u s t h e a r e a o f t h e v a c a n c y o f t h e A p o l l o n i a n p a c k i n g o f T ( a , b , c ) i sz e r o ; o r , t h e s u m o f t h e a r e a s o f t h e c i r c l e s o f an A p o l l o n i a n p a c k i n g i nT ( a , b , c ) i s e q u a l t o t h e a r e a o f T ( a , b , c ) . O r , i f w e b o r r o w t h e g e o l o g i c a l

V o L . 2, 1M 3 8 3


7/7

MA THEMA T I C S : R . L . MOOREt e r m p o r o s i t y , a n d l e t i t d e s i g n a t e t h e r a t i o o f t h e a r e a o f t h e v a c a n c y( r e l a t i v e t o a s e t o f m u t u a l l y e x t e r n a l c i r c l e s i n T ( a , b , c ) ) t o t h e a r e a o fT ( a , b , c ) , t h e n we m ay a s s e r t t ha t t he p o r o s i t y o f a n A p o l l o n i a n p a c k i n g o f .c i r c l e s i n T ( a , b , c ) i s z e r o .The p a c k i n g o f s p h e r e s r e q u i r e s m e t h o d s w h i c h a r e e s s e n t i a l l y d i f f e r e n tf r o m t h a t o f t h e p r es en t t w o - d i m e n s i o n a l d i s c u s s i o n . T h i s q u e s t i o n w i l lb e t h e s u b j e c t o f a n o t h e r p a p e r .

I n t h e c a s e o f t h e b e s t c o v e r i n g o f t he p l a n e w i t h e q u a l c i r c l e s ( n o m a t t e rhow s m a l l ) , t h e c o v e r i n g r a t i o i s 0 . 9 0 6 9 , a n d t hu s t he p o r o s i t y i s 0 . 0 9 3 1 .The c o v e r i n g r a t i o o f s p a c e w i t h e q u a l s p h e r e s ( n o m a t t e r ho w s m a l l ) i s0 . 7 4 0 4 a n d t h u s t h e p o r o s i t y i s 0 . 2 5 9 6 ( n o r m a l p a c k i n g ) . T h i s i s w e l lknown i n g e o l o g i c a l l i t e r a t u r e i n c o n n e c t i o n w i t h t h e p a c k i n g o f s a n d a n dt h e a m o u n t o f o i l c o n t a i n e d i n t h e o i l s a n d s . O u r w o r k d e a l s w i t h t h ep a c k i n g o f u n e q u a l s p h e r e s , a n d we f i n d t ha t t he p o r o s i t y m ay b e made a ss m a l l a s we p l e a s e . 4

1 K a s n e r , E . , C o m e n e t z , G . , a n d W i l k e s , J . , "The C o v e r i n g o f t h e P l a n e b y C i r c l e s , "S c r i p t a M a t h e m a t i c a , 9 , 1 9 - 2 5 ( 1 9 4 3 ) .* W e h a v e g o o d r e a s o n t o b e l i e v e t h a t t h e r a t i o o f t h e s u m o f t h e a r e a s o f t he c i r c l e so f a n ec k l a c e p a c k i n g i n a n y T ( x , y , z ) , t o t h e a r e a o f T ( x , y , z ) , i s g r e a t e r t h a n r / 40 . 7 8 5 4 a n d l e s s t h a n 0 . 8 2 2 3 . T h i s p r o b l e m w i l l b e t r e a t e d i n a n o t h e r p a p e r . W et h a n k A i d a K a l i s h a n d H u s e y i n D e m i r f o r a s s i s t a n c e i n t h e c a l c u l a t i o n o f t h e u p p e rl i m i t 0 . 8 2 2 3 .

' W e n o t e t h a t t h i s p a r t o f t h e p r o o f i s s o m e w h a t mo re g e n e r a l t h a n t h a t a c t u a l l yr e q u i r e d b y t h e l e m m a .4 K a s n e r , E . , " N o t e o n N o n - A p o l l o n i a n P a c k i n g i n S p a c e , " S c r i p t a M a t h e m a t i c a . , 9 ,2 6 ( 1 9 4 3 ) . S e e a l s o S c i e n c e , O c t . 1 6 , 1 9 4 2 . I n c i d e n t a l l y w e n o t e t h e f o l l o w i n g newt h e o r e m : I n a n y c i r c u l a r t r i a n g l e ( b o u n d e d b y m u t u a l l y t a n g e n t c i r c l e s ) t h e c o n f o r -m a l b i s e c t o r s o f t h e t hr ee h o r n a n g l e s ( t h e s e a r e n e c e s s a r i l y c i r c l e s ) a r e c o n c u r r e n t . T h er e s u l t i n g p o i n t w e c a l l t h e i n v e r s i v e c e n t e r o f t h e t r i a n g l e . F o r t h e b i s e c t i o n o f a n a l y t i ch o r n a n g l e s s e e t h e s e n i o r a u t h o r ' s p a p e r s an c o n f o r m a l g e o m e t r y .

CONCERNING C O N T I N U A WHICHHA VE DENDRATOMICSUBSETSBY R . L . MooRE

D E P A R T M E N T O F P U R E M A T H E M A T I C S , U N I V E R S I T Y O F TExAsC o m m u n i c a t e d O c t o b e r 1 6 , 1 9 4 3

The s u b s e t K o f t h e c o m p a c t continuum Mi s s a i d t o be a d e n d r a t o m i cs u b s e t o f M f t h e r e e x i s t s a n u p p e r s e m i c o n t i n u o u s c o l l e c t i o n G o f m u t u a l l ye x c l u s i v e c o n t i n u a f i l l i n g u p Ms u c h t h a t ( 1 ) K i s an e l e m e n t o f G , ( 2 ) Gi s a d e n d r o n w i t h r e s p e c t t o i t s e l e m e n t s a n d ( 3 ) i f H i s a n u p p e r s e m i -c o n t i n u o u s c o l l e c t i o n o f m u t u a l l y e x c l u s i v e c o n t i n u a f i l l i n g u p Ms u c h

3 8 4 P R . O C . N . A . S .

edward kasner and fred supnick- the apollonian packing of circles

Documents