edo+aplicandotransformada+de+laplace problemas+resueltos+y+propuestos (1)
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5/10/2018 EDO+AplicandoTransformada+de+Laplace Problemas+Resueltos+y+Propuestos ...
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Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 1
Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales
con valores iniciales:
1)
( )
52
0 3
t dy y edt
y
− = =
2)( ) ( )
( )
( )
´́ 4 sin 30 0
´ 0 0
y t y t t y
y
+ ==
=
3) ( )
( )
2
22 8 0
0 3
´ 0 6
y y y
t t
y
y
∂ ∂− − =
∂ ∂=
=
4) ( )
( )
22
2sin
0 0
´ 0 0
t d y y e t
dt
y
y
−
+ =
=
=
5) ( )
( )
'' 5 ' 4 0
0 1
' 0 0
y y y
y
y
+ + =
=
=
6) ( )
( )
16 '' 8 ' 17 1
0 0
' 0 1
y y y
y
y
− + =
=
=
7) ( )
( )
( )
3 2
3 24 5 2 10cos
0 0
' 0 0
'' 0 3
d y d y dy y t
dt dt dt
y
y
y
+ + + =
= = =
8)
( )
( )
( )
''' 5 '' 7 ' 3 20sin
0 0
' 0 0
'' 0 2
y y y y t
y
y
y
− + − =
=
= = −
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Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 2
1 )
( )
52
0 3
t dy y e
dt
y
− =
=
Solución: Dicho problema se encuentra resuelto en el texto UNA Matemática V. Tomo
II .Ingeniería. Página 805.
Usare 4 pasos fundamentales para explicar lo que se quiere encontrar, la solución única de
la ecuación diferncial, revísalos, analízalos y apréndelos para que ataques los problemaspropuestos
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( ){ } { }52 t dy L L y t L e
dt
− =
(A)
Donde:
{ } ( ) ( )
( ){ } ( )
{ } { }5
( ) 0 3
1 1ya que:
5
t at
dy
L sL y t y sy sdt
L y t y s
L e L es s a
= − = −
=
= =− −
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( ){ } { }
( )
[ ]
( )( )( )
52
1( ) 3 2 ( )
5
Sacando factor común, luego1 1 3 15( ) 2 3
sumando fracciones algebraica5 5
3 14( ) Despejando a ( )
5 2
t dy L L y t L e
dt
sy s y ss
s y s s
s s
s y s y s
s s
− =
− − =−
+ −− = − =
− −
−=
− −
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Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 3
3°) Debemos ahora calcular ( ){ } ( )1 L y s y t
−=
Primeramente debemos descomponer en fracciones parciales (Caso I) para luego usar la
tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
( ) ( ) ( ) ( )
3 14
5 2 5 2
s
s s s
A B
s
−= +
− − − −
Para hallar el valor de A, multiplicamos por (s-5) ambos miembros, simplificamos y luego
evaluamos para s=5
( )5s −
( )
3 14
5
s
s
−
− ( )( )5
2s
s= −
− ( )5
A
s −( )
( )5
3
3 14 3(5) 14 1
2 5
1
2 3 3
ss
s A
s
B
A
+ −−
− −∴ = = = → =
− −
Para hallar el valor de B, multiplicamos por (s-2) ambos miembros, simplificamos y luego
evaluamos para s=2
( )2s −
( ) ( )
3 14
5 2
s
s s
−
− −( )
( )( )2 2
5s s
s
A= − + −
− ( )2
B
s −
( )
3 14 3(2) 14 8 8
5 2 58
33 3
s B
s B
− − −∴ = = = →
− −==
−
4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa
dicha descomposición
{ }
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1
1 1
5 2
5 2
1
Como: ( ) ( )
3 14
5 2 5 2
Usamos tablas1 1 8 1
3 5 3 2
1 8
3 3
1 8( ) (So
3 3
1/ 3 8 / 3
1 at
t t
t t
L e
L y s y t
s a
s L L L
s s s s
L Ls s
e e
y t e e
−
− − −
− −
−
=
− = +
− − − −
= + − −
=
= +
∴
−
= + lución de la ecuación diferencial)
Podemos ver que también es cierta y(0)=3…. Verifícalo
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(2)
( ) ( )
( )
( )
´́ 4 sin 3
0 0
´ 0 0
y t y t t
y
y
+ =
=
=
Solución:
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( ){ } { }2
24 sin 3
d y L L y t L t
dt
+ =
(A)
Donde:
{ } ( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( )
{ } { }
22 2 2
2
2 2 2
( ) . 0 ' 0 0 0
4 4
3sin 3 ya que: sin
9
d y L s L y t s y y s y s s y s
dt L y t y s
b L t L bt
s s b
= − − = − − =
=
= =+ +
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )( )
( )( ) ( ){ } ( )
2
2
2
2
2 2
1
34
93
4 Factor común9
3Despejando a
9 4
s y s y ss
y s ss
y s y ss s
L y s y t −
+ =
+
+ = +
→+
==+
3°) Debemos ahora calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −
=
Podemos descomponer en fracciones parciales o bien usar la tabla de transformada inversa
de Laplace (o transformada inversa)
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( ){ }( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3
9 4
1 1 sin sin3
9 4
3
L y s Ls s
a bt b at L L
s s s a s b ab a b
− −
− −
=
+ +
− = → =
+ + + + −
=3sin 2 2sin 3
3
t t −
( )
3sin 2 2sin 3
10.2 9 4
t t −=
−
( ){ } ( )1 3sin 2 2sin 3
10
t t L y s y t
− −= =
La solución de la ecuación diferencial viene hacer: ( )3sin 2 2sin 3
10
t t y t
−=
Verificamos las condiciones iniciales
( ) ( )3sin 2 2sin 3 3sin 2 sin 3
Si 0 0 010 10 5
t t t t y t t y
−= = − ⇒ = → =
( ) ( ) ( )6cos 2 6cos3 3
' cos 2 cos3 Si 0 ' 0 010 5
t t y t t t t y
−= = − ⇒ = → =
Tal que:
( ) ( )´´ 4 sin 3
6 9sin 2 sin 3 4
5 5
y t y t t
t t
+ =
− + +
3sin 2 2sin 3
10
t t −
6sin2
5t
=
−9 6
sin 3 sin 25 5
t t + +4
sin35
9 4sin 3 sin 3
5 5
t
t t
− =
− =
3) ( )
( )
2
22 8 0
0 3
´ 0 6
y y y
t t
y
y
∂ ∂− − =
∂ ∂=
=
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Solución:
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( ){ }2
22 8 0
y y L L L y t
t t
∂ ∂ − + =
∂ ∂
(A)
Donde:
{ } ( ) ( ) ( )
{ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( )
22 2
2( ) . 0 ' 0 3 6
2 2 ( ) 0 2 3 2 6
8 8
y L s L y t s y y s y s s
t
y L sL y t y sy s sy s
t
L y t y s
∂= − − = − −
∂
∂ = − = − = −
∂
=
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
3 6 2 6 8 0
2 8 3 6
s y s s sy s y s
s y s sy s y s s
− − − − − =
− − − − 6+ ( )
( ) ( )
( )( )( )
2
2
0 Eliminando paréntesis, simplifando
. 2 8 3 Sacamos Factor común
Despejando y factorizando3 3
el denominador4 22 8
y s s s s
s s y s
s ss s
=
− − =
= =
− + − −
3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −=
Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada
inversa de Laplace (o transformada inversa)
Ahora bien, descomponemos en fracciones parciales, para hallar los Coeficientes
Indeterminados A y B –Método de sustitución
( )( ) ( ) ( )
3
4 2 4 2
As
s
B
s s s= +
− + − +
• Usaremos el método corto, Para hallar el valor de A, Multiplicamos por ( )4s −
ambos miembros simplificamos y luego evaluamos para 4s =
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( )4s −( )
3
4
s
s − ( )( )4
2s
s= −
+ ( )4
A
s −( )
( )( )
( )
( ) ( )
Multiplicamos y
4 simplificamos por2
4
3 4 12
2 Evaluamos para 44 2 6 2
B
A
ss
s
A s
+ − + −
== = = → =+
• Del mismo modo, para encontrar el valor de B, multiplicamos por ( s +2) ambos
miembros , simplificamos y evaluamos para 2s = −
( )2s +( ) ( )
3
4 2
s
s s− +( )
( )( )2 2
4s s
s
A= + + +
− ( )2
B
s +( )
( )
( )( )
Multiplicamos y
simplificamos por
2
3 2 61 Evaluamos para 2
2 4 61 s B B
s
+
− −= = = → = −
− −=
−
4°) Una vez encontrado los valores de A y B, expresamos como transformada inversa
dicha descomposición:
( ) ( ) ( ) ( )( ){ } ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1
1 11
4 2
4 2
3Como:
4 2 4 2
Por tablas de Transformada
1 12 1inversa4 2
2
2 1
2
at
t t
t t
s L L L L y s y t
s s s s
L L L es s
s a
e e
y t e e
− − − −
− −−
−
−
= + =
− + − +
= + =− +
−
= +
∴ = +
Verifiquemos la solución particular encontrada, bajo las condiciones iniciales dadas:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 2 0 0
4 2 4 2
2 Por tanto Si 0 0 2 2 1 3
' 2 (4) ( 2) 8 2 Por tanto Si 0 ' 0
0 3
66 '8 02
t t
t t t t
y t e e t y e e
y t e e y
y
ye e t
−
− −
== + = → = + = + =
= + − = − = → = − ==
Dejaremos al estudiante verificar que al encontrar la 2° derivada podemos ver si es cierta la
ecuación diferencial '' 2 ' 8 0 y y y− − =
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4) ( )
( )
22
2sin
0 0
´ 0 0
t d y y e t
dt
y
y
−
+ =
=
=
Solución:
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( ){ } { }2
2
2sint d y
L L y t L e t dt
−
+ =
(A)
Donde:
{ } ( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( )
{ }( )
{ }( )
22 2 2
2
2
2 22 2
( ) . 0 ' 0 0 0
1 1sin ya que: sin
4 52 1
t at
d y L s L y t s y y s y s s y s
dt
L y t y s
b L e t L e bt
s ss s a b
−
= − − = − − =
=
= = =+ ++ + − +
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )( )
( )( )
2
2
2
2
2 2
1
4 5
11 Sacamos factor común
4 5
1Despejando
4 5 1
s y s y s s s
y s ss s
y s y ss s s
+ = + +
+ = + +
=+ + +
3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −
=
Lo primero es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar la tabla de transformada
inversa de Laplace (o transformada inversa)
Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los
Coeficientes Indeterminados A, B, C y D
( )( ) ( ) ( )2 2 2 2
1
4 5 1 4 5 1
A Bs s
s s
C
s s s s
D+ += +
+ + + + + +
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( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
2 2
3 2 3
1 4 5 Sumando fracciones1
algebraicamente4 5 1 4 5 1
Como los numeradores son iguales,1 1 4 5
aplicamos la propiedad distributiva
1
A B C D
A B C D
s s s s s
s s s s
A A B
s s
s s s s s
s s s s B C C
+ + + + + + =
+ + + + + +
= + + + + + +
= + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 21 Sumando términos
5 4 5
5 se4 mejantes5
C D D D
A C B C D A C D
s s s s
Ds Bs s+ + + + +
+ + + +
+ + + +=
( )
Se forma el sistema siguiente:
0
0
5 4 0
5 1
Supongamos que: 0 0
1En la ecuación II 0 Al sustituirlo en IV 5 1
4
A C A C
B C D
A C D
B D
A C
B D B D D D D
+ = → = −
+ + =
+ + = + =
= → =
→ + = → = − − + = → =
4°) Sustituimos los coeficientes A=C=0, D=1/4 y B= -1/4 y tenemos que la expresión
buscada es:
( ){ } ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2
Como:
1 1/ 4 1/ 4
4 5 1 4 5 1
1 1 1 1
4 44 5 1
1 1 1 1
4 4 12 1
1 1sin sin
4 4
t
L y s y t
L L Ls s s s s s
L Ls s s
L Lss
e t t
−
− − −
− −
− −
−
=
− = + + + + + + +
= − +
+ + +
= − +
++ +
= − +
Hemos aplicado las propiedades de transformadas inversas siguientes
( )
1 1
2 2 22sin sin
at b b L e bt L bt
s bs a b
− −
= = + − +
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La solución a la ecuación diferencial buscada es ( ) 21 1sin sin
4 4
t y t e t t −= − +
Verifiquemos las condiciones iniciales en cada ecuación:
( ) ( )21 1sin sin 0 04 4
t y t e t t y−= − + → =
( ) ( )2 21 1 1 1 1' sin cos cos ' 0 0
2 4 4 4 4
t t y t e t e t t y
− −= + − → = − =
5) ( )
( )
'' 5 ' 4 0
0 1
' 0 0
y y y
y
y
+ + =
=
=
Solución:
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( ){ }2
25 4 0
y y L L L y t
t t
∂ ∂ + + =
∂ ∂ (A)
Donde:
{ } ( ) ( ) ( )
{ } ( ) ( )
( ){ } ( )
22 2
2. ( ) . 0 ' 0
. ( ) 0 1
y L s L y t s y y s y s s
t y
L s L y t y sy st
L y t y s
∂= − − = −
∂ ∂
= − = − ∂
=
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( ){ } ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
2
2
2
2
2
Como: 5 4 0 Propiedad de linelidad
. 5 . 1 4 ( ) 0 Laplaciano de una derivada
. 5 4 5 0 Sacando factor común
Despejando ( ) y factoriza5 5
5 4 4 1
y y L L L y t
t t
s y s s s y s y s
y s s s s
y ss s y s
s s s s
∂ ∂ + + =
∂ ∂
− + − + =
+ + − − =
+ += =
+ + + +
ndo
el denominador
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Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace
Elaborado por
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3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t
−=
Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para
luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso I)
( )( ) ( ) ( )
5
4 1 4 1
s
s s s
A B
s
+= +
+ + + +
Usamos el método corto o de sustitución descrito anteriormente,
( )
( )
5 4 5 1
1 4 1 3
5 1 5 4
4 1 4 3
s A
s
s
B s
+ − += = = −
+ − +
+ − +
= = =+ − +
4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A,B , tenemos
( )( ) ( ) ( )( ){ } ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1
4
4
1/ 3 4 / 3
1 4
5ya que:
4 1 4 1
1 1 1como:
4 1
1 4
3 3
La sol1 4Asi que: ( )
3 3
3
3
at
t t
t t
s L L L L y s y t
s s s s
L L L es s s a
e e
y t e e
− − − −
− − −
− −
− −
− + = + =
+ + + +
= + =
+ + −
= −
−
+
= − +ución de la ecuación
diferencial buscada
6) ( )
( )
16 '' 8 ' 17 1
0 0
' 0 1
y y y
y
y
− + =
=
=
Solución:
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
( ){ } { }2
216. 8 17 1
d y dy L L L y t L
dt dt
− + =
(A)
Donde:
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Resolver E.D.O. aplicando la Transformada de Laplace
Elaborado por
Lcdo. Eliezer A. Montoya Z. http://elimath.jimdo.com/ Página 12
{ } ( ) ( ) ( ) ( )
{ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( )
{ }
22 2 2
2( ) . 0 ' 0 0 1 1
( ) 0 0 .
11
d y L s L y t s y y s y s s y s
dt
dy L sL y t y sy s s y s
dt
L y t y s
Ls
= − − = − − = −
= − = − =
=
=
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
( ){ } { }
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )
2
2
2
2
2
Como: 16. 8 17 1
1Entonces 16. 1 8 ( ) 17
Sacamos factor común116 8 17 16
y sumando fracciones
1 16Despejando ( )
16 8 17
d y dy L L L y t L
dt dt
s y s sy s y s
s
y s s ss
s y s y s
s s s
− + =
− − + =
− + = +
+=
− +
Si intentamos factorizar 216 8 17s s− + , podemos ver que tiene raíces imaginarias por lo
tanto, completamos cuadrados para expresarla como: 2 2( )s a b− +
2 22 2
2
2
2
1 1/ 2 1 116 8 17 16 17 Como:
2 2 4 16
1Sumamos y restamos1
16 17 42
para completar
1
cuadrados
Al factorizar el trinomio116 17
c
16
uadrado
6
p4
1
1
1
s s s s
s s
s
− + ≡ − + = =
≡ − + +
≡ − +
−
−
( )
2 2
erfecto
1 1
16 16 16 1 Sacamos factor común4 4s s
≡ − + ≡ − +
3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −=
Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s), para
luego usar la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
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Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II) para hallar los
Coeficientes Indeterminados A, B y C
( )
( )
( ) ( )
( )
22
2
2 2
2 2
Sumamos fracciones1 16
algebraicamente16 8 1716 8 17
16 8 17 Como el Numerador y1 16
el denominador son igu
16
ales
8 17
16 8 17 16 8 17
1 16 Ap
s s
s s ss s s
s s s ss
s s s s s
A B C
A
s
s s s s
B C
A A A B C s
+ += +
− +− +
− + + + +=
− + − +
+ = − + + + ( )licando propiedad distributiva
( ) ( ) ( )21 16 Agrupando términos semejante
Igualamos los coeficientes, obtenemos el sistema siguiente
16 0
8 16
16 8 1
117 117
7
:
s s s
A B
C
A B C
A
A
A A
A
+ = + +
+ =
− =
= →
−
=
+
( )
Sustituimos el valor de A, en la ecuación II
8 280 2808 1/17 16 16
17 17 17C C C − = → = + = → =
Sustituimos el valor de A 1 17, en la ecuación I
1616 017
A B B
=
−+ = → =
( ) 22
1 16 280
1 117 11 16 1 16
16 8 1716
7 17
11 7 17 78
ss
s s s ss s s
−+
= + = +− +− +
280s −
16 ( )
( )
2
Completando cuadrados
2
1 1
17
1/ 4 1
351 2
1/ 417 1
s
s
s s
− +
−= +
− +
4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B y C, tenemos :
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( ) ( )( ){ } ( )1 1 1 1
22
1 1
1 16 1 1 1 35 / 2ya que:
17 1716 8 17 1/ 4 1
1 1 1 1Donde: ; 1
17 17
s s L L L L y s y t
ss s s s
L L
s s
− − − −
− −
+ − = − =
− + − +
= =
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
1 1
2 2
1 691 35 / 2 1 4 4
17 171/ 4 1 1/ 4 1
11 69 14
17 681/ 4 1 1/ 4 1
ss
L Ls s
s
L Ls s
− −
− −
− − − − = −
− + − +
− = − +
− + − +
( ) ( )
1 / 4 1
2 2 2
11 14 cos cos
17 171/ 4 1
t at
ss a
L e t L e bt s s a b
− −
− − − = − =
− + − +
( ) ( )
1 / 4 1
2 2 2
69 1 69sin sin
68 681/ 4 1
t at b L e t L e bt
s s a b
− −
= = − + − +
( ){ } ( ) ( )1 / 4 / 41 1 69cos sin
17 17 68
t t L y s y t y t e t e t −
= → = − +
Verificamos las condiciones iniciales para t = 0,
( ) ( ) ( ) / 4 / 41 1 69 1 1cos sin 0 0 0
17 17 68 17 170 0t t
y t e t e t y y= − + → = − = =+
( ) / 4 / 4
/ 4 / 4 / 4 / 4
1 1 69' cos sin
17 17 68
1 cos 69 sin0 sin cos
17 4 68 4
1 69 68'(0) 1
17 68 68'(0) 1
t t
t
t t t t
y t D e t e t
e t e t e t e t
y y
= − +
= − − + +
= − + = = → =
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7) ( )
( )
( )
3 2
3 24 5 2 10cos
0 0
' 0 0
'' 0 3
d y d y dy y t
dt dt dt
y
y
y
+ + + =
= = =
Solución:
1°) Apliquemos el Laplaciano a ambos miembros de la ecuación diferencial dada:
{ } { }3 2
3 24 5 2 ( ) 10 cos
d y d y dy L L L y t L t
dt dt dt
+ + + =
Donde:
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ){ } ( ) ( )
{ } ( )
{ } { }
33 2 3
3
22 2
2
2 2 2
0 ' 0 ' 0 3
0 ' 0
0
( )
cos ya que; cos1
d y L s L y t s y s y y s y s
dt
d y L s L y t sy y s y s
dt
dy L sL y t y s y s
dt
L y t y ss s
L t L bt s s b
= − − − = −
= − − =
= − =
=
= =+ +
2°) La ecuación diferencial (A) transformada quedaría así:
{ } { }
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )( )
3 2
3 2
3 2
2
3 2
2
2
2 3 2
Como: 4 5 2 ( ) 10 cos
10entonces: 3 4 5 2
1
104 5 2 3
1
3 10 3
1 4 5 2
d y d y dy L L L y t L t
dt dt dt
ss y s s y s s y s y s
s
s y s s s s
s
s s y s
s s s s
+ + + =
− + + + =+
+ + + = + +
+ +=
+ + + +
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Factorizamos la expresión ( )3 24 5 2s s s+ + + en el denominador usando la regla de Ruffini
los divisores de 2 son 1, 2± ±
( ) ( )23 24 5 2 1 . 2s s s s s+ + + = + +
De esta manera: ( )( )( ) ( )( ) ( )
2 2
22 3 2 2
3 10 3 3 10 3
1 4 5 2 1 1 2
s s s s y s
s s s s s s s
+ + + += =
+ + + + + + +
3°) Nuestro propósito es calcular ( ){ } ( )1 L y s y t −
=
Por tanto, en primer lugar debemos es descomponer en fracciones parciales y(s) , para luego usar
la tabla de transformada inversa de Laplace (o transformada inversa)
Descomponemos en fracciones parciales, (Estamos en presencia del Caso II y I)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
2
2 222
3 10 3
1 211 1 2 1
s s s
s sss s s
A B
s
C C D+ + += + + +
+ +++ + + +
Calculemos C2 y D por el método corto o de sustitución:
Para hallar C2 , multiplicamos ambos miembros de la ecuación por ( )2
1s + , simplificamos
y luego evaluamos para 1s = −
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
3 10 3 3( 1) 10( 1) 3 3 10 3 42
2 1 21 2 ( 1) 1 ( 1) 22C
s sC
s s
+ + − + − + − + −= = = = = − →
+ + + − += −
−
Para hallar D, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por ( )2s + , simplificamos y
luego evaluamos para 2s = −
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 22 2
3 10 3 3( 2) 10( 2) 3 12 20 3 51
5 1 51 1 ( 1 ) 11
2) ( 2
s D
s D
s s
+ + − + − + − + −= = = = = − →
+ + − + −= −
+
Hemos hallado dos coeficientes, ahora usemos el método tradicional, sumamos las
fracciones, igualamos los numeradores y los coeficientes para resolver el sistema luego,
como veremos a continuación:
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( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 22 2
1
2
123 10 3 2 1
1 2 1 21 11 1 2 1 1
1C C As s s s
s s s ss ss s
B A B
s s s
+ + + += + + +
−= + − −
+ + + ++ ++ + + + +
−
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )(
( )( ) ( )
2
2 222
2 2 2 22
2
1
22 2
1
3 10 3 2 1
1 211 1 2 1
Sumando fracciones algebraicamente
1 2 1 1 2 2 1 2 1 13 10 3
1 1 2 1 1 2
Los numeradores y los coeficientes son iguales
s s s
s sss s s s
s
C A B
A B s s s s s s s s ss s
s s s s
C
s s
+ + +
= + − −+ +++ + + +
+ + + + + + + − + + − + ++ +=
+ + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2
3 2 4 3 2 3 2 4 3 2
1
1
, ya que los denominadores tambien lo son.
3 10 3 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1
Desarrollemos el miembro derecho:
4 5 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1
Aplicando l
s s s s s s s s s s s s
s s s s s s s s s s s s s
A B C
A B sC s
+ + = + + + + + + + − + + − + +
⇒ + + + + + + + + + − + + + − + + + +
( )
( ) ( )
1 1
4 3 2
3 2
4 3 2
3 2
4 3 2
1 1 1
1 1
4
4 5 2
a propiedad distributiva y ordenando de forma decreciente:
2 Sumamos luego términos semejantes
2 4 2 4
2 2 2
4 5 2
3 3 3
4 3
1
1 4
s s s s
s s s
s s s s
s s s
A A A A
B B B B
C C C C C
A
s s s s
s AsC B C
⇒ + + +
+ + + +
+ + + +
− − − −
− − − − −
− + + −+ + ( ) ( ) ( )1 1 1
1
1
1
3 2
1
2
6 4 5
Igualamos los coeficientes anteriores con la expresión 3 10 3 y tenem
5 4 3 2 5
os e
3 2 2
l siguiente sistema
1 0
4 0
6 3
4 10
5
4 3
5 4 3
2 5
3
3
2 2
:
s s
s s
A B C A B C B C
A C
A B C
A B C
A B C
B C
+ − + − + −
+ +
− =
− =− =
− =
+ + + + +
+
+ +
+ +
+ +
− = +
( )
( ) ( )1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1 1 1
1 1
4
9
14
8 4
Sustituimos 1 y 4 en la ecuación II 4
4 1 4 3 4
4 4 4 3 4 1
2 4 8
4 / 2
4 3
5 4 3
2 5 3
2 2
4 3
2
C C
A C A C
A B C
A B C
A B C
B C B C
A C B C A B C
C
C C C A C
C
C
C
= → = −
=
⇒ =
= = →
= − =
− + − + =
− + − + = = −
− = − ⇒
+
+ +
+ +
+ +
+ = −
= − −
=
= − + +
14
1 2 1 4 2 2
1 2
B C
A B
A B
= −
= − = − ⇒ = − =
= − =
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La expresión buscada quedaría así:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 222
3 10 3 2 2 2 1
1 211 1 2 1
s s s
s sss s s s
+ + − += + − −
+ +++ + + +
4°) Hemos hallado los coeficientes Indeterminados, así que sustituyendo A, B , C1, C2 y Dtenemos:
( ){ } ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
21 1 1 1 1
2 222
1 1 1 1
22 2
3 10 3 2 2 2 1
1 211 1 2 1
1 1 12 2 2
11 1 1
L y s y t
s s s L L L L L
s sss s s s
s L L L L L
ss s s
−
− − − − −
− − − − −
=
+ + − + = + − −
+ +++ + + +
= − + + − −
++ + + ( )
( )
( )
( )
1
2 2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
Donde usando la transformada inversa
cos ya que:1
1sin ya que:
1
1ya que:
1
cos
sin
1
:
t at
s
s L t
s
L t s
L
s L bt
s b
b L bt
s b
L eeas s
−
−
− −
−
−
−
=
+
=
+
=
+
+
=
+
=
− =
+
( ) ( )
( )
1
1
1
2
1 2
2
1
1 ya que:1
1ya que:
2
Tenemos entonces que :
cos 2sin 2
!
1
2
t
t
t t t
n at
n
at
L tes
L es
y t t
n L t es a
L es a
t e te e
− − −
+
−− −
− − −
=
−
=
+
=
=
+
= − + + −
−
−
La solución de la ecuación diferencial es ( ) 2cos 2sin 2 2
t t t y t t t e te e
− − −= − + + − −
Verifica las condiciones iniciales dadas calcula la primera y la segunda derivada de y(t) y
evalúalas para t = 0 , comprueba que si es cierto.
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8)
( )
( )
( )
''' 5 '' 7 ' 3 20sin
0 0
' 0 0
'' 0 2
y y y y t
y
y
y
− + − =
=
= = −
Solución:
En estos momentos ya estás en capacidad de resolver las cuentas tu mismo:
Al aplicar la transformada en ambos miembros de la ecuación, luego al despejar y(s)
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
22
22 3 2 2
2 10 12 20 2( )
1 5 7 3 1 1 3
s ss s y s
s s s s s s s
+ ++ += =
+ − + − + − −
Descomponiendo en fracciones parciales y hallando los coeficientes indeterminados
obtenemos
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 222
2 10 1 3 3 6 2
1 311 1 3 1
s s s
s sss s s s
+ + += − − +
− −++ − − −
Al aplicar la transformada inversa de y(s), encontramos y(t) , es decir, ( ){ } ( )1 L y s y t −=
La solución de la E.D.O es: ( ) 3cos 3sin 3 6 2t t t y t t t e te e= + − − +
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Problemas Propuestos:
Aplicar la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales
con valores iniciales:
( ) ( ) ( )3
.1 '' 4 ' 6 3 ; 0 1, ' 0 1
t t
A y y e e y y
−+ = − = = −
( ) ( ) ( ).2 '' 2 sin 2 ; 0 10, ' 0 0 A y y t y y+ = = =
( ) ( ) ( ).3 '' 9 ; 0 0, ' 0 0t A y y e y y+ = = =
( ) ( ) ( ) ( ).4 2 ''' 3 '' 3 ' 2 ; 0 0, ' 0 0, '' 0 1t A y y y y e y y y−
+ − − = = = =
( ) ( ) ( ) ( ).5 ''' 2 '' ' 2 sin 3 ; 0 0, ' 0 0, '' 0 1 A y y y y t y y y+ − − = = = =