UNIVERSIDAD DE SUCRE Programa Ingeniería Civil Guía de Clases: Métodos Numéricos

Métodos Numéricos para la solución de Ecuaciones diferenciales Ordinarias, EDO

Preliminares: conceptos básicos de EDO.

Definición 1. Ecuación diferencial: Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables

respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ED. Ejemplos:

Y’’ + Y’ – 2X = eX Ecuación diferencial Ordinaria de orden 2

Dxf(x,y) + Dyf(x,y) = 1 Ecuación diferencial parcial de orden 1

A las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas ordinarias, de x, las denominaremos,

ecuaciones diferenciales ordinarias, EDO.

Simbólicamente podemos expresar una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden con una

variable independiente por la fórmula general:

F( x, y, y’, y’’,…….,yn) = 0

Definición 2. Solución de una EDO: cualquier función Ф, definida en un intervalo I y que tiene al

menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial

ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la

ecuación en el intervalo.

Simbólicamente F(x, Ф(x),Ф’(x), ……….,Фn(x)) = 0

Definición 3. Intervalo de solución: El intervalo I de definición de una EDO, es aquel en donde la

solución Ф y sus n-derivadas son continuas.

Definición 4. La grafica de una solución Ф de una EDO se llama curva solución.

Definición 5. Familia de Soluciones: cuando resolvemos una EDO de orden n, F(x, y, y’,y’’, …yn) =0,

buscamos una familia de soluciones n-paramétrica G(x, y ,C1, C2, ….., Cn) = 0 Esto significa que una

EDO puede tener un número infinito de soluciones.

Definición 6. Problema de Valor inicial, PVI, de una EDO de primer Orden

Consiste en resolver una EDO de la forma Y’=f(x,y); tal que Y(Xo)=Yo.

El problema de valor inicial Y’=f(x,y); Y(Xo)=Yo, se dice que está bien planteado en un dominio D

del plano XY si y solamente si para cada (Xo,Yo)ϵD, hay una y solamente una función Y(X) que pasa

por (Xo,Yo) y satisface Y’=f(X,Y), en D.

Teorema de Existencia y Unicidad de soluciones de un PVI

Los aspectos relacionados con existencia, unicidad y estabilidad no son considerados en

esta guía, lo cual debe consultarse en libros de EDO1 y Análisis Numérico2. Aquí

analizaremos problemas EDO, que satisfacen: continuidad, diferenciabilidad y condición

de Lipschitz, que se requieren para la existencia y unicidad de soluciones; además las

EDO, no serán del tipo Stiff.

ACTIVIDAD 1. Resuelva la EDO Y’ = Y, en I=[-1,1]

a. Analíticamente, b. Graficar las soluciones particulares C2= -1, 0 ,1

a. Analítica: ln(Y) =X + C1 , y = eX+C1 = eX eC1 ; función solución Y = C2 eX , I = [-1,1]

b. Grafica de soluciones: y1= -ex; y2=0ex; y3= 1ex

x=-1:0.01:1; y1=-1*exp(x); plot(x,y1);y2=0*exp(x);plot(x,y2,"r");y3=1*exp(x); plot(x,y3)

ACTIVIDAD 1. Resuelva el PVI: Y’ = Y; Y(0)=1; sobre I=[-1,1]

a. Analíticamente: y =ex

b. Utilizando comando ode en Scilab:

En el Editor

function Dy=func158(x, y); Dy = y; endfunction x0 =-1 ;y0 = exp(-1); x = -1:0.1:1; yt = ode(y0, x0, x, func158); plot(x,yt,".")

Graficas de la solución analítica y numérica, aproximada con ode:

METODOS NUMERICOS PARA LAS EDO

No todos los problemas de valor inicial pueden resolverse explícitamente; con frecuencia es

imposible hallar una fórmula que represente la solución y(t). En consecuencia, es necesario

disponer de métodos que aproximen la solución de problemas que surgen de la ciencia y la

ingeniería.

1. METODO DE EULER

Método de Euler: Resuelve de modo aproximado el PVI: y’ =f(x,y); y(x0) = y0 , mediante la

formula de iteración:

Yn+1 = Yn + h*f(Xn ,Yn), Xn = X0 +n*h; n: 0,1,2……..,n; nϵZ+

SCRIPT METODO DE EULER

// METODO DE EULER para la ecuación diferencial; y’ = f(x,y);y(x0) = y0 // en intervalo [x0, xf]

// n = número de subintervalos // Y, X serán vectores fila de n+1 elementos // Y contendrá las aproximaciones de y(x0) y(x0+h) y(x0+2h) ... y(xf) // con h = (xf-x0)/n

// X contendrá los valores x0,x0+h, x0+2h, ...,xf function [Y, X]=EulerH(x0, y0, xf, n)

h = (xf-x0)/n X = zeros(1,n+1) Y = X

X(1) = x0; Y(1) = y0 xi = x0; yi = y0 for i=1:n

yi = yi + h*(yi) // Iteración de Euler xi = xi+h Y(i+1) = yi

X(i+1) = xi end plot(X,Y,"o") // grafica de la Solución numérica

x=x0:h:xf; y=exp(x);plot(x,y) // Grafica de la solución Exácta. endfunction

X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Y 1.00 1.10 1.21 1.33 1.46 1.61 1.77 1.95 2.14 2.36 2.59

ACTIVIDADES:

2. METODO DE EULER MEJORADO

Yn+1 = Yn + (h/2)(f(Xn , Yn) + f(Xn+1 , Y*n+1) ;

Y*n+1 = Yn +hf(Xn , Yn) n:0 , 1, 2,…….N; NϵZ+

BIBLIOGRAFIA

Métodos Numéricos con Matlab. John H. Mathews , Kurtis D. Fink. Edición 3ra. 2000.

Editorial Printece Hall.

Métodos Numéricos para Ingenieros. Steven Shapra, Raymond Canale. Edición 5ta.

2002, Editorial Mc. Graw Hill.

http://personal.us.es/echevarria/documentos/ApuntesScilab.pdf