editionfifthmechanics of materials beer • johnston...

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

11- 1

energystrainworktotaldxPUx

1

0

ENERJİ

METOTLARI:

Eksenel Yüklemede Şekil değiştirme Enerjisi

•

dx

uzaması

için yapılan iş: workelementarydxPdU

11212

121

0

1

xPkxdxkxUx

•

Lineer elastic deformasyon

durumunda,

•

x1

uzaması

için yapılan toplam iş:

•

Boyut etkisini ortadan kaldırmak için birim hacme karşılık gelen şekil değiştirme enerjisi

1x

0 Ldx

AP

VU

1

0xx du



FifthEdition


11- 2

R

ise şekil değiştirme enerjisi (eğrinin altındaki alan) Tokluk Modülü

olarak adlandırılır.

resilience of modulusE

u YY

2

2

EEdEu xx 22

21

21

0

1

•

Eğer gerilme orantı

limitinin içinde (lastik bölgede) kalıyorsa herhangi bir

değeri için birim şekil değiştirme enerjisi:



FifthEdition


11- 3

Normal Gerilmeler

için Elastik şekil değiştirme enerjisi

•

Değişken kesitli çubuklar (gerilme dağılımı

düzgün değil) için toplam şekil değiştirme enerjisi,

dVuUdVdU

VUlimu

0V

•

Elastik Bölgede; energy strainelasticdVE

U x 2

2

•

Eksenel yüklemede:

dxAdVAPx

AELPU

2

2

•

Ör:

Düzgün kesitli bir çubuk için;

L

dxAEPU

0

2

2

•

Eksenel yükleme:



FifthEdition


11- 4

IyM

x

•

Eğilmeye maruz bir kiriş

için,

dVEI

yMdVE

U x2

222

22

•

dV

= dA

dx,

•

Ör:

Serbest Uçtan P düşey yüküne maruz ankastre kiriş:

EILPdx

EIxPU

PxML

62

32

0

22

•

Eğilme:

U dxEI

M

dxdAyEIMdxdA

EIyMU

L

L

A

L

A

0

2

0

22

2

02

22

2

22



FifthEdition


11- 5

xy

xyxy du

0

xy

Elastik bölgede ise;

GGu xy

xyxyxy 2

2

212

21

•

Toplam şekil değiştirme enerjisi;

Kayma Gerilmeleri

için Elastik şekil değiştirme enerjisi

JT

xy

;dVGJ2

TdVG2

U 2

222xy

dVG2

dVuU2xy

dV

= dA

dx,

•

Ör:

Düzgün kesitli bir çubuk için;GJ

LTU2

2

L

0

2

L

0 A

22

2L

0 A2

22

dxGJ2TU

dxdAGJ2TdxdA

GJ2TU



FifthEdition


11- 6

Sadece eğilmedeki normal gerilmeleri göz önüne alarak, şekildeki yükleme durumu için kirişteki şekil değiştirme enerjisini bulunuz

Örnek

vL

PaMxL

PbM 21

baEIL

baPbaabLP

EI

dxxL

PaEI

dxxL

PbEI

dvEI

MdxEI

MU

ba

ba

2

2223232

2

2

0

2

0

2

0

22

0

21

63321

21

21

22

EILbaPU

6

222



FifthEdition


11- 7

Genel Yükleme (Gerilme) durumu için şekil değiştirme enerjisi

•

Genel yükleme durumu için birim şekil değiştirme enerjisi;

zxzxyzyzxyxyzzyyxx21u

•

Elastik, izotropik bir malzemede asal gerilmeler cinsinden birim

şekil değiştirme enerjisi;

Hooke Bağıntıları

2yz

2xz

2xyxzzyyx

2z

2y

2x G2

12E21u

a

c

b

a

c

b

Hacim değişikliği

+ çarpılmaSadece hacim değişikliği var ( çarpılma yok)

Sadece çarpılma var (hacim değişikliği yok )0v

accbba2c

2b

2a 2

E21u

0v 0cbav

3cba



FifthEdition


11- 8

distortion to due G12

1u

change volume to due E6

v21u

uu2E21u

2ac

2cb

2bad

2cbav

dvaccbba2c

2b

2a

olmalıuu Ydd

•

İki boyutlu durum (düzlem gerilme) için çarpılma şekil değiştirme enerjisi (σc

=0):

)1(2EG

2bba

2ad G6

1u

•

Tek eksenli gerilme durumunda (σ

a

=σy

, σb

= σc

=0):G6

u2y

d

•

Çarpılma Şekil Değiştirme Enerjisi Kriteri (Von

Mises

Kriteri):

G6G6

1 2y2

bba2a

2y

2bba

2a



FifthEdition


11- 9

Darbeli Yükleme•

Maksimum gerilmeyi (m

) bulmak için, kinetik enerjinin tamamının yapıya aktarıldığı

kabul edilirse:202

1m mvTU

Dinamik çarpma için Elastik bölgedeki gerilme-şekil değiştirme diyagramının statik yükleme ile aynı

olduğu kabul edilirse;

dVE2

U2m

m

•

Maksimum şekil değiştirme enerjisi;

•

Ör:

Düzgün kesitli bir çubuk için,V

Emv20

m VE2

dVE2

mvU2m

2m2

021

m

•

Örnek: Darbe ile aynı

şekil değiştirme enerjisini meydana getiren statik kuvvet (Pm

);

AE

LP165

E)A4(22LP

AE22LPU

2m

2m

2m

m LAEU

516P m

m

enerjikinetikT

;mvU 202

1m AL

Emv58

ALEU

516

AP 2

0mmm

Maksimum gerilme daha küçük kesitte (CD arasında) meydana gelir



FifthEdition


11- 10

WhUm

•

Örnek: Bir ağırlığındaki bir blok h yüksekliğinden ankastre bir kirişin serbest ucuna düşürülmektedir. Buna göre kirişteki maksimum gerilmeyi bulunuz.



FifthEdition


11- 11

Tekil yük altında iş

ve enerji

Not:

Aynı

sonuç

daha önce birim şekil değiştirme enerjisinin hacimsel integrasyonu ile de bulunmuştu.

11212

121

00

11

xPxkdxkxdxPUxx

AELPx 1

1 AE2LP

AELPPU

211

121

•

Transverse load

EILP

EILPP

yPdyPUy

63

321

31

121

1121

0

1

•

Bending couple

EILM

EILMM

MdMU

2

211

121

1121

0

1

JGLT

JGLTT

TdTU

2

211

121

1121

0

1

•

Torsional couple

•

Eksenel Yükleme



FifthEdition


11- 12

Örnek: Şekildeki darbeli yükleme durumu için;a) Eşdeğer statik Pm

değerini bulunuz.b) Maksimum gerilmeyi hesaplayınız.c) C noktasındaki maksimum deplasmanı

bulunuz.



FifthEdition


11- 13

Örnek: Şekildeki darbeli yükleme durumu için;a)C noktasındaki maksimum deplasmanı,b)Kirişte meydana gelen maksimum gerilmeyi bulunuz (E=70 GPa)c)

A ve B noktalarında iki yay olsaydı

deplasman ve maksimum gerilme ne olurdu?



FifthEdition


11- 14

Örnek:

tds

GATL

24L boyunda içi boş

ince cidarlı

bir tüp için dönme

açısını

veren ifadeyi çıkarınız.



FifthEdition


11- 15

“CastiglianoTeoremi”

ile çözümler

•

Castigliano teoremi:

n

tane kuvvete ve/veya momente maruz elastik bir cisimde bir Pj

kuvvetinin uygulandığı

noktadaki xj

deplasmanı

(Pj

ile aynı

yönde) şu şekilde bulunur:

TU

MU and

PUx

jj

jj

jj

•

U: tüm kuvvetlerin şekil değiştirme enerjisi

•

Eğilmeye maruz kirişlerde; L

0

2

dxEI2

MU

L

0 jjj dx

PM

EIM

PUx

L

0 jjj dx

MM

EIM

PU

j

in

i i

ii

jj

n

i i

iiPF

EALF

PUx

EALFU

11

2

2

•

Kafes sistemlerinde:



FifthEdition


11- 16

Örnek:

yA

=?Örnek:

yA

=? , θA

=?



FifthEdition


11- 17

Örnek: B noktasının yatay deplasmanını

(xB

) ve eğilme açısını

(θB

) bulunuz.

R

A

B

P



FifthEdition


11- 18

Örnek: B noktasının yatay deplasmanını

(yB

) ve eğilme açısını

(θB

) bulunuz.

R

A

B

P



FifthEdition


11- 19

Örnek:Verilen yükleme durumu için

A noktasının reaksiyon kuvvetini bulunuz.

R

A

B

P

C

2R

editionfifthmechanics of materials beer • johnston...

Documents