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Portfólios de Mínima Variância e CAPM: Constituição de Índices Acionários de Empresas do Setor de Energia Elétrica

WENDEL ALEX CASTRO SILVA Faculdade Novos Horizontes wendel.silva@unihorizontes.br EDIMEIRE ALEXANDRA PINTO faculdade Novos Horizontes economatistica@yahoo.com.br GLEUCIR LEITE FACULDADE NOVOS HORIZONTES gleucir@yahoo.com.br ALFREDO ALVES DE OLIVEIRA MELO Faculdade Novos Horizontes diretoria@unihorizontes.br

Resumo O objetivo geral deste artigo é contribuir à Teoria de Portfólio de Mínima Variância utilizando-se ativos de empresas do setor de Energia Elétrica para constituição de índices acionários e aplicações ao modelo CAPM. Buscou-se estabelecer o melhor agrupamento possível desses ativos tais que pudessem ser criados índices em que seus ativos tivessem correlação alta ou moderada-, e entre os índices tivessem correlações baixas, para que fossem obtidos os riscos sistemáticos das carteiras ou coeficientes betas. A métrica utilizada na construção desses índices foi a Análise Fatorial em Séries Temporais que é uma extensão da Análise Fatorial padrão, porém aplicada em séries temporais. Já para obter os retornos das carteiras foi utilizado o Portfólio de Variância Mínima com correção da presença de outliers por meio do método de Determinante de Covariância Mínima. Por fim, calculou-se os coeficientes do modelo CAPM usando o estimador MM que são uma alternativa aos estimadores de Mínimos Quadrados na presença de outliers. Os resultados indicaram que, mesmo utilizando essa metodologia alternativa para a montagem das carteiras, corroborou-se o postulado da Teoria de Portfólio, uma vez que os índices mais diversificados, conforme sugere a teoria, foram os que apresentaram os menores betas, ou seja, o risco foi reduzido por meio de um maior número de ações na carteira. Palavras-chave: Moderna Teoria de Portfólio, Portfólio de Mínima Variância, CAPM.

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Abstract The objective of this paper is to contribute to the Theory of Minimum Variance Portfolio using active companies in the Electric Power for the creation of stock indexes and applications to the CAPM. We aimed to establish the best possible grouping of these assets such that rates could be created that had its assets or moderate-high correlation, and correlations between the indices were low, were obtained for the systematic risk of portfolios or beta coefficients. The metric used in the construction of these indices was in the Factor Analysis Series which is an extension of the standard factor analysis, but applied in time series. Now for the returns of the portfolios we used the minimum variance portfolio with correction of the presence of outliers by the method of Minimum Covariance Determinant. Finally, we calculated the coefficients of the CAPM using the MM estimator that are an alternative to least squares estimators in the presence of outliers. The results indicated that even using this alternative methodology for assembling the portfolio, strengthened the postulate of Portfolio Theory, as the indexes more diverse, as theory suggests, were the ones who had the lowest betas, i.e., the risk was reduced by a greater number of shares in the portfolio. Keywords: Modern Portfolio Theory, Portfolio Minimum Variance CAPM.

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INTRODUÇÃO Desde Markowitz (1952 e 1959) passou-se a ter maior preocupação com o binômio

risco / retorno, em relação aos investimentos. Antes de suas contribuição, poder-se-ia dizer que o tema era pouco discutido, já que não havia bases teóricas consistentes tanto para estudá-lo, quanto para operacionalizá-lo. Markowitz trouxe reconhecidas contribuições para o campo das finanças, já que em seu trabalho seminal, tratou o tema com maior profundidade, lançando um arcabouço teórico que definiu a expectativa de retorno como a média aritmética histórica do retorno do ativo, e risco ou volatilidade como a variância (ou desvio padrão) desse retorno, o que culminaria na otimização de portfólios, um modelo matemático de seleção de carteiras de ativos, apesar de não ter, em sua época, muita atenção devido a sua difícil operacionalização manual. O raciocínio estabelecido por esse autor serviria tanto para ativos individuais como para portfólios. Contudo, proporcionou bases importantes para que os pesquisadores da época desenvolvessem ferramentas mais simples, e que permitiram a aplicação dessa teoria - de maneira gradativa, em situações reais.

Com base no postulado de Markowitz, além das contribuições de Tobin (1958) e Treynor (1961), Sharpe (1963 e 1964) elaborou uma equação que incorporava a idéia do risco / retorno, relativamente simples de estimar, e que poderia ser testada empiricamente. Esta seria o Capital Asset Pricing Model – CAPM, uma equação que seria operacionalizada por meio de uma regressão linear simples, em que a variável dependente era representada pelo retorno esperado pelos acionistas e, a variável independente, seria uma ponderação do risco da empresa em relação a um portfólio de mercado, sendo este aquele representativo da negociação dos ativos de um mercado organizado. Dessa forma, havia a pressuposição de que a relação entre risco e retorno seria linear. Outra contribuição de Sharpe e, que seria um dos elementos dessa equação, foi o beta, uma medida de sensibilidade da empresa, a qual mensura a variação (risco) da negociação dos ativos financeiros de uma empresa, comparado a variação de um índice de mercado.

Inicialmente, os estudos produzidos por Sharpe (1963) estabeleceram que o CAPM, utilizado para o cálculo do retorno do capital próprio, seria formado somente pelo beta e pelo retorno da carteira de mercado. No entanto, em 1964 Sharpe acrescentaria um novo componente ao modelo, após fundamentar-se na pesquisa de Tobin (1958), que foi o ativo livre de risco. Assim, o retorno exigido pelos acionistas seria constituído pela combinação entre o retorno de um ativo de baixo risco (variância ou desvio padrão) negociado em uma determinada economia, somado a ponderação do beta pelo prêmio de risco, sendo este a diferença entre o retorno do portfólio de mercado e desse ativo livre de risco. Essa versão final de Sharpe (1964) permitiria a aplicação tanto para ativos individuais como para portfólios de ativos.

Porém, sua aplicação para portfólios só aconteceria algumas décadas depois, com o desenvolvimento de ferramentas computacionais sofisticadas, dada a complexidade dos cálculos dos algoritmos. Isso, permitiu que fossem iniciados testes empíricos sobre a otimização de ativos em porfólios de baixo risco e elevado retorno, i.e., os ativos seriam combinados em portfólios a partir da covariância entre os mesmos, buscando-se a alocação de ativos com covariâncias que se anulassem, considerando-se seus retornos históricos. A idéia básica seria a redução do risco para uma dada taxa de retorno ou, aumento do retorno para um certo nível de risco. Seriam esses os portfólios otimizados segundo Markowitz, cuja utilização poderia ser para investidores individuais, para fundos de investimento, entre outros.

Nesse sentido, os recursos computacionais existentes permitem que, de forma simplificada, sejam constituídos Portfólios de Mínima Variância, e carteiras eficientes, a fim de minimizar o risco de carteiras de investimento e, até de índices acionários, ou seja, compor

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índices com ações que possam refletir menor risco para uma taxa de retorno requerida. Em vista disso, não foi encontrada no mercado brasileiro, nenhuma pesquisa científica que tivesse a aplicado a metodologia de Markowitz a ativos de empresas do setor de Energia Elétrica, com o propósito de comparar, empiricamente, a validade da mesma.

Logo, objetivo desta pesquisa é testar a Teoria de Portfólio de Mínima Variância utilizando-se ativos de empresas do setor de Energia Elétrica para constituição de índices acionários. Procurou-se estabelecer o melhor agrupamento possível de ativos para a criação de índices com correlação alta ou moderada entre esses ativos e, ainda, com correlações baixas, para obterem-se os riscos específicos das carteiras ou coeficientes betas. Com o propósito de se criar tais índices, foi utilizada a Análise Fatorial de Séries Temporais, que é uma extensão da Análise Fatorial padrão, porém, aplicada em séries temporais. Já para a obtenção dos retornos das carteiras foi utilizado o Portfólio de Mínima Variância, com correção da presença de outliers por meio do método estimação robusta MM. Por fim, calcularam-se os coeficientes betas das carteiras utilizando-se o modelo CAPM.

Os resultados sugeriram que, mesmo empreendendo essa metodologia alternativa para constituição dos índices acionários, corroborou-se a efetividade da Teoria de Portfólio, cuja essência seria a obtenção de um menor nível de risco para uma dada taxa de retorno.

Após esta introdução ao tema, a justificativa e o objetivo, é apresentado o referencial teórico e a revisão de literatura; depois, a metodologia; na seção seguinte são apresentados e discutidos os resultados. Finalmente, são tecidas as considerações finais e a conclusão. 2 - REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 – Moderna Teoria da Seleção de Carteiras

A Teoria de Seleção de Carteiras elaborada por Markowitz (1952), também conhecida como Portfólio de Média Variância, Portfólio de Mínima Variância ou Variância Mínima, tem como pilar a compensação risco / retorno considerando-se uma função linear, bem como a correlação e covariância entre os ativos. Este autor considerou o risco como a variância dos retornos, e o retorno como a média aritmética da série histórica destes. Para a otimização das carteiras, preconizou que deveriam ser alocados ativos com covariâncias que se anulassem, já que dessa forma, o risco de ambos os ativos seria totalmente dissipado na carteira, constituindo-se uma carteira de mínima variância (ou risco) para um dado retorno esperado pelo investidor. Assim, essa combinação de ativos para anular o risco da carteira seria definida pela participação % de cada ativo na carteira, ou seja, deveria ser buscado um % de participação para cada ativo na carteira, de forma que o risco fosse reduzido ou extinto (SHARPE, 2000; HAUGEN, 2001; BODIE, KANE e MARCUS, 2007; ELTON et al., 2007).

Markowitz (1952) assinalou que existe uma fronteira eficiente que correspondente aos trade-offs entre risco e retorno, na qual todo investidor racional deveria se situar ao alocar seus recursos em investimentos. Essa fronteira abarca todas as possíveis combinações de ativos com e sem risco em diferentes portfólios, os mais eficientes. Ele diz ainda que, com a seleção e diversificação de ativos negativamente correlacionados pode-se montar portfólios com baixo risco (mínima variância) para uma dada taxa de retorno. Ou, para um mesmo nível de risco, constituir portfólios com o maior retorno possível. Esse tipo de otimização busca estabelecer uma relação ótima ou eficiente entre risco e retorno, segundo as preferências dos investidores. Haugen (2001, p. 81) completa que dado uma determinada expectativa de taxa de retorno, o portfólio de variância mínima possui o menor desvio padrão acerca de uma população de ações disponível.

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Conforme Carvalho et al. (2007) a metodologia para montagem de uma carteira ótima com um par de ativos é dada pelas equações abaixo. A expectativa de retorno de n ativos em um portfólio é a soma ponderada dos retornos esperados de cada um deles, dada por:

)(....)(.)(.)......( 22112211 nnnn REwREwREwRwRwRwE ++=++ (1) E o desvio padrão ou risco da carteira, Pσ , é distinto da média ponderada dos desvios

de cada ativo, é dado por: )cov(.... 2,121

22

22

21

21 RRwwwwP ++= σσσ (2)

Quanto menor a covariância entre os retornos dos pares de ativos que constituem a carteira, dado por cov (R1, R2...Rn), menor será o risco total dessa carteira.

A diversificação se mostra mais efetiva quando os retornos desses ativos apresentam correlação negativa e, quanto maior esta, mais baixo será o risco da carteira diversificada. Para mensurar o benefício da diversificação dessa carteira, utiliza-se o coeficiente de correlação entre os pares de retornos:

21

21

.),cov(

σσρ

RR= (3)

Caso esses retornos sejam perfeitamente correlacionados ( 1−=ρ ) - flutuação inversa -, tem-se pela seguinte equação:

22112122

22

21

21 ........ σσσσσ wwwwwww nP −=−+=

O que significa que, adicionando-se outros ativos acarreta-se a redução do risco da

carteira no valor do risco do ativo (s) adicionado ponderado por sua participação no total da carteira, i.e., seu risco é dissipado. Isso implica dizer que, caso ativos sejam perfeita e negativamente correlacionados, pode-se constituir uma carteira com risco nulo ( 0=pσ ):

1

2

2

1

σσ

=ww (5)

No caso da correlação entre os retornos ser máxima ( 1=ρ ) - flutuação direta -, o risco será a média ponderada entre os riscos de cada ativo, indicando que a diversificação não é vantajosa ou não ocorre redução desse risco:

22112122

22

21

21 ....2.. σσσσσ wwwwwwP +=++= (6)

Tais resultados se ampliam conforme são adicionados outros ativos a carteira, i.e., quanto menor o nível de correlação entre os ativos, menor o desvio padrão do retorno combinada da carteira. Então, para qualquer mescla de ativos com retornos não perfeitamente correlacionados, quanto maior a diversificação, menor o risco total da carteira. A medida que se acrescenta um novo ativo à carteira, são adicionadas nessas equações operações entre pares de ativos, com todas as possíveis combinações de correlação e covariância entre eles.

O fato dos ativos possuírem características intrínsecas, as quais provocam diferentes reações aos fatores macroeconômicos é que torna a diversificação interessante. Porém, pode ser difícil encontrar ativos com correlação negativa perfeita, pois, ambos são sujeitos a flutuações (retrações ou booms) provocadas por esses fatores. Logo, existe um limite para a simetria dos riscos dos ativos em um mercado, sendo o risco de mercado ou sistemático, o qual influencia simultaneamente o comportamento de todos os ativos em uma economia. O risco de um ativo é composto por (CARVALHO et al., 2007):

Risco total = risco específico + risco sistemático (7) Logo, na composição de uma carteira ótima diversificada, deve-se procurar alocar

ativos com riscos específicos negativamente correlacionados.

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Em suma, a Teoria de Markowitz sugere que para um portfólio diversificado, o retorno corresponde a média ponderada dos retornos de cada ativo. Diferentemente, o risco será abaixo da média ponderada da variância de cada ativo.

A maior contribuição de Sharpe (1964) a Teoria de Portfólio foi a criação do modelo CAPM, cuja definição do retorno de um ativo se dá em relação a um portfólio teórico de mercado. Nesse modelo, torna-se importante a correlação de ativos individuais com esse portfólio, ao invés de uma matriz de correlação entre os ativos. Com isso, o componente de sensibilidade de risco do ativo é o beta, o qual mensura a volatilidade dos retornos e, substitui a matriz de covariância entre os ativos pela covariância entre o ativo e esse portfólio, sendo mais eficiente que o desvio padrão para capturar a variabilidade dos ativos.

Para Sharpe (1964) o beta corresponde a parte do risco que é inerente ao comportamento específico do investimento. Essa parcela do risco pode ser eliminada por meio da diversificação, logo, para o investidor é esse risco que importa. Conforme Elton et al. (2007) o beta de um portfólio é uma ponderação da participação dos betas de cada ativo, i.e., a soma da contribuição do risco individual (marginal ou incremental) para o portfólio.

Outro ponto importante é que, enquanto a fronteira eficiente de Markowitz considerava a participação apenas de ativos com risco nos possíveis portfólios, o CAPM passou a incorporar, também, uma parcela de ativos livre de risco, destacando-se a aversão a risco dos investidores. Finalmente, pode ser observado durante a fase de levantamento bibliográfico produzidas acerca do modelo CAPM e variantes no mercado nacional, que não havia nenhuma pesquisa que tenha aplicado a metodologia de Portfólios de Mínima Variância a ativos de empresas do setor de Energia Elétrica para constituição de índices acionários, a fim de testar a Teoria de Markowitz. 3 – METODOLOGIA 3.1 Classificação, dados e amostra da pesquisa

Trata-se de uma pesquisa descritiva que, para Mattar (2006), tem a finalidade de proporcionar ao pesquisador dados referentes as características de grupos, estimar proporções de certas características, bem como verificar a existência de relações entre variáveis, que no caso deste trabalho é testar a Teoria de Portfólio de Mínima Variância utilizando-se ativos de empresas do setor de Energia Elétrica para constituição de índices acionários. Logo, é uma pesquisa empírico-descritiva, pois visa somente constatar e descrever o que existe e, não estudar suas causas. Sua ênfase é quantitativa, seja na coleta ou na análise dos dados. As unidades de análise são empresas do setor de Energia Elétrica que negociam suas ações na BM&FBovespa, e as unidades de observação são suas ações.

Foram utilizados dados secundários (cotações de ações) obtidos junto ao banco de dados do sistema Economática®. Os dados diários coletados referem-se a séries do setor de Energia Elétrica composto pelas empresas: Eletrobrás, CEMIG, CPFL, COSAN, CESP, COPEL, Eletropaulo, Transmissão Paulista e Light Sesa, do período de 09/01/2009 a 21/12/2009. Após a retirada de alguns missings, totalizaram-se 235 observações. A escolha por tal período deve-se ao fato de que nos anteriores havia a presença de quebra estrutural nas séries. O software utilizado para a preparação dos dados foi o Microsoft Excel® 2007, já para a análise estatística foi o R. 3.2 Descrição dos modelos

Considere K processos não observados ou fatores em uma amostra de tamanho T são indicados por ,jtξ t=1,...,T; j=1,...,k. Os M processos observados ou indicadores são denotados

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por ,ity i=1,...,M e t=1,...,T. Os fatores e indicadores são armazenados em um vetor coluna ξ e y , respectivamente. Pressupõe-se que exista a seguinte relação entre indicadores e fatores:

ttt By εξ += (10) onde: B é uma matriz M x k de loadings e ε é um vetor de erros aleatórios de tamanho M x 1. A técnica de Análise Fatorial de Séries Temporais estende a Análise Fatorial para aplicação em séries temporais. Segundo Gilbert e Meijer (2005) e Wansbeek e Meijer (2000), a Análise Fatorial com dados oriundos de séries temporais, como por exemplo, as séries macroeconômicas e financeiras, deve ser utilizada porque as características dos dados, em geral, entram em contradição com as hipóteses da Análise Fatorial padrão. Essa Análise Fatorial foi desenvolvida para dados cross-sectional e sob suposição de dados i.i.d, enquanto que as séries temporais são serialmente dependentes. Em geral, em séries econômicas e financeiras, y `s são integradas e, portanto, é necessário tomar a diferença de tais séries.

Fazendo-se a primeira diferença da equação (10), o modelo de Análise Fatorial é obtido com a mesma matriz de loadings. Assim, o modelo de Análise Fatorial padrão pode ser obtido de tais séries e os parâmetros podem ser estimados, assim como os escores podem ser obtidos dos dados originais, ou seja, não diferenciados. Para estimar a relação entre o mercado, simbolizado pelo Ibovespa e o ativos formados com os respectivos índices obtidos, por meio da Análise Fatorial em Séries Temporais, utilizou-se o modelo CAPM, dado pela equação 8.

Segundo Marazzi (1993) o método de Mínimos Quadrados não é tão eficiente na presença de outliers para estimar parâmetros de modelos de regressão. Uma abordagem muito utilizada para correção dos efeitos de observações atípicas é simples eliminação dos outliers do conjunto de dados e, em seguida, prosseguir com MQ. Esta abordagem é satisfatória quando estamos convencidos de que os outliers não representam verdadeiramente observações da população, mas, mesmo assim, detectar tais casos nem é sempre é fácil quando temos múltiplos outliers que podem mascararem-se mutuamente. No entanto, em outros casos, outliers são observações reais. Às vezes, a remoção destes casos simplesmente cria outros outliers. Geralmente, o melhor procedimento é usar uma alternativa robusta para o MQ que dá pesos menores para os efeitos de grandes erros.

A média e o desvio padrão, no caso univariado, assim como a distância de Mahalanobis, no caso multivariado, são muito sensíveis à presença de outliers. A solução para reduzir este grau de sensibilidade é, entre outras, usando estatísticas robustas, no sentido de serem resistentes à influência de observações atípicas. Muitos estimadores robustos para localização e covariância têm sido propostos na literatura estatística e econométrica. O estimador Determinante de Covariância Mínima (DCM) (ROUSSEEUW, 1985) é, provavelmente, o mais utilizado na prática, sobretudo, porque seu algoritmo é computacionalmente mais rápido. Para calcular os parâmetros do modelo CAPM, utilizou-se os estimadores MM, descritos por Yohai, Stahel and Zamar (1991). Eles são uma mistura dos estimadores robustos e resistentes e possuem como uma das principais características o fato de que o ajuste é menos influenciado por outliers e os estimadores são menos viciados. Os passos a seguir são um resumo do procedimento para se obter o estimador MM. Um melhor detalhe analítico deste estimador pode ser obtido em Yohai, Stahel and Zamar (1991) e Marazzi (1993) e demais artigos derivados de suas obras. 1) Considere a regressão t

Tit xy εβ += ; t=1,...,n. A variável y é a explicada e x a

explicativa e ε são os erros estocásticos. Pode-se computar o estimador MM por meio de dois procedimentos que são misturas de estimativas S e M, conforme mostrado nos itens 2 e 3 a seguir:

2) Suponha que existam k observações, a estimativa S inicial é o valor 0β̂ tal que:

8

))(),...,(),((minˆ21

0 βεβεβεβ β ks= com o estimador de escala final igual a

))ˆ(),...,ˆ(),ˆ((ˆ 002

01 βεβεβεσ ks= . Desta forma, a dispersão é definida como solução de

5,0)(11

=∑=

k

t

t

sr

kρ , sendo ρ a função perda. Calcule a estimativa M, resolvendo-se a

seguinte equação: 0)ˆ

(min1

=∑=

i

n

t

t xσε

ψ , onde ψ é derivado de ρ e σ̂ é a estimativa robusta

de escala para os resíduos. O procedimento do estimador MM primeiro computa a estimativa S, 0β̂ , e no final a estimativa M para achar um mínimo local que seja próximo de 0β̂ . A seguir são mostrados os gráficos dos ativos (empresas) em estudo.

Fonte: Saída do R.

Figura 1- Gráfico de linha das empresas do setor de energia elétrica

Observam-se nestas séries, conforme a Figura 1, que CESPE, COPEL, Eletropaulo e Transmissão Paulista exibem uma tendência crescente bastante forte. A Eletrobrás e a CEMIG já revelam um comportamento mais estável, porém com uma tendência mais marcante após a observação 200.

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4 – ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

4.1 Estimação do Modelo de Análise Fatorial em Séries Temporais

O Quadro 2 mostra as estatísticas de ajuste para vários modelos compostos de fatores, segundo o procedimento descrito em Gilbert e Meijer (2005). As estatísticas apresentadas são todas baseadas na probabilidade multivariada normal, a qual exige que as observações sejam independentes e identicamente distribuídas. Porém, por se tratar de séries temporais, este pressuposto é violado e, portanto, as estatísticas não devem ser consideradas como testes estatísticos formais, mas, como uma indicação de avaliação do grau ajuste de modelos.

Número de fatores 0 1 2 3 Saturado Qui-quadrado 473.6269 30.9630 15.2326 3.7098 0 Graus de liberdade 21.0000 14.0000 8.0000 3.0000 0 P-valor 0 0.0056 0.0548 0.2946 NA RMSEA 0.3035 0.0720 0.0622 0.0318 NA CFI 0.0000 0.9625 0.9840 0.9984 1

Teste sequencial Qui-quadrado 442.6639 15.7304 11.5228 3.7098 GL 7.0000 6.0000 5.0000 3.0000 P-valor 0 0.0153 0.0419 0.2946

Fonte: Saída do R. Quadro 2- Estatísticas de ajustes para diferentes números de fatores

No painel superior do Quadro 2, os modelos são comparados com o modelo saturado e

o modelo nulo. O modelo saturado é o modelo que, por definição, oferece uma combinação perfeita: o número de parâmetros é igual ao número de covariâncias.

O modelo nulo é um modelo de base muito restritiva. Na análise fatorial, o modelo nulo usual é o modelo de independência, ou seja, o modelo que especifica que todas as variáveis observadas são independentemente distribuídas. Este é o mesmo que o modelo de fator zero. A estatística qui-quadrado na face superior, é a estatística da razão de verossimilhança de um modelo em relação ao modelo saturado. Observando-se os p-valores, conclui-se que, o coerente seria utilizar um, dois ou três. Além disto, as medidas, raiz quadrada do erro quadrático médio (RMSEA) também compara um determinado modelo com o modelo saturado. É um número não negativo que mede a falta de ajuste por grau de liberdade. Normalmente, como regra geral, RMSEA < 0,05 é considerado um modelo bem ajustado. De acordo com este critério, o modelo 3 fatores seria o escolhido. O índice de ajuste comparativo (CFI) é um pseudo-R2 que compara um modelo com o modelo nulo. Seu valor é sempre entre 0 e 1. É 0 se o modelo se ajusta mal e é um se ele se “encaixa” muito bem. A regra geral para o CFI é que deve ser superior a 0,9 ou 0,95, dependendo do autor. Em ambos os casos, um modelo de pelo menos um fator é indicado.

No painel inferior do Quadro 2, os modelos consecutivos são comparados seqüencialmente, usando teste de razão de verossimilhança. Observam-se que melhorias muito grandes são feitas por adição de elementos até quando a solução de três fatores é atingida. Desta forma, foi escolhido o modelo de 3 fatores porque com isso obtém-se uma interpretação mais clara do que com os outros fatores. Além disto, de maneira similar ao adotado por Gilbert e Meijer (2005), neste estudo foi realizado a rotação quartimin (a normalização Kaiser foi utilizado para identificar uma solução única).

Fator1 Fator2 Fator3

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Eletrobrás 0.92439690 0.07012416 0.0860283 CEMIG 0.13353441 0.87643792 -0.1922455 CPFL 0.03438356 0.49672772 0.1970665 CESP 0.04374418 0.25471766 0.3527116

COPEL 0.20347669 0.46575140 0.1612151 Eletropaulo 0.12925792 -0.01735408 0.589511

Trasmissão Paulista -0.10276511 0.42780297 0.2934009 Qui-quadrado 3.71860932 Graus de liberdade 3.00000000 P-valor 0.29349623 RMSEA 0.03199469 CFI 0.99841236

Fonte: Saída do R. Quadro 3 - Resultados da Análise Fatorial

A partir dos resultados apresentados, conclui-se que o modelo de três fatores

apresentado aqui, usando o método de rotação quartimin com normalização Kaiser, é um modelo de ajuste satisfatório para os dados em análise.

Os resultados obtidos para este conjunto de dados sugerem o seguinte agrupamento: Índice 1: Eletrobrás Índice 2: CEMIG, CPFL, COPEL e Transmissão Paulista Índice 3: CESP e Eletropaulo

Um dos aspectos teóricos relacionados com esta abordagem é a forma como os erros

de medição restante nos escores fatoriais devem ser tratados. De acordo com Gilbert e Meijer (2005), os escores fatoriais calculados por TSFA são os melhor possíveis, mas, eles não são perfeitos. Há duas fontes de erro: a primeira é a estimativa dos parâmetros, especialmente, as cargas. Isto ocorre com o erro de estimativa, o que implica que os pesos com que os escores fatoriais são calculados não são iguais aos pesos teoricamente ideais (mas desconhecidos). Esta fonte de erro diminui conforme dados dos pontos mais tempo se torna disponível. A segunda fonte de erro é uma impossibilidade intrínseca de se estimar sempre os escores fatoriais verdadeiros, mesmo se as cargas fatoriais verdadeiras sejam conhecidas. Esta fonte de erro é devido ao fato de que as observações adicionais não fornecem informações complementares sobre fatores em outros pontos no tempo. Quanto ao uso dos escores fatoriais em modelos econométricos, é possível a existência de inconsistência na estimação dos parâmetros. Segundo Gilbert e Meijer (2005) embora os escores fatoriais obtidos em seu estudo parecessem produzir resultados interessantes, a questão real é se eles resultariam em modelos econômicos que gerassem interpretações de qualidade e, fornecessem boas previsões e resultados úteis nas análises políticas e econômicas. Diante de tais ressalvas, neste trabalho optou-se por não utilizar modelos econométricos com o uso dos escores fatorias e sim obter, por meio do agrupamento de ativos obtidos nos indices da Análise Fatorial, calcular os retornos das carteiras e por fim, estimar os coeficiente betas das regressões obtidas do CAPM.

Desta forma, o próximo passo consistiu em calcular o retorno da carteira para cada um dos índices obtidos com a Análise fatorial em Séries temporais. Para isto, foi utilizado o Portfólio de Variância Mínima (PVM) com o uso do Determinante de Covariância Mínima (MCD) (ROUSSEEUW, 1985). Os pesos obtidos para os ativos dos índices 2 e 3 são apresentados abaixo, pois o índice 1 é composto apenas pela empresa Eletrobrás.

Pesos do PVM - índice 2: 0.1150898; 0.3528741; 0.1979501; 0.3340859 Pesos do PVM - índice 3: 0.3312818; 0.6687182

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Desta forma, tem-se três carteiras formadas com os índices 1, 2 e 3 que apresentaram

os seguintes indicadores de rentabilidade: Índice 1 Índice 2 Índice 3 Rentabilidade média

0.00296 0.00302 0.00388

Risco 0.02237 0.01345 0.01655 Índice de Sharpe 0.13228 0.22447 0.23436

O último passo foi calcular o coeficiente beta para as carteiras geradas com os ativos

participantes dos índices. Para retirar a influência dos outliers, utilizou-se o Determinante de Covariância Mínima (MCD) (ROUSSEEUW, 1985). As figuras abaixo mostram o efeito dos outleirs sobre a correlação bivariada nos casos clássico e robusto.

Figura 2: Gráfico de correlação com e sem correção de efeito dos outliers para retorno da carteira das variáveis do índice 1, sendo o eixo y igual rentabilidade de Eletrobras e x igual ao mercado.

Figura 3: Gráfico de correlação com e sem correção de efeito dos outliers para retorno da carteira das variáveis do índice 2, sendo o eixo y igual rentabilidade da carteira e x

igual ao mercado.

Figura 4: Gráfico de correlação com e sem correção de efeito dos outliers para retorno da carteira das

variáveis do índice 3, sendo o eixo y igual rentabilidade da carteira e x igual ao mercado.

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Observa-se por meio das Figuras 2, 3 e 4, que o coeficiente de correlação clássico ou

padrão tende a ficar mais influenciado pela presença de observações atípicas do que o robusto. O formato da elipse usando o coeficiente de correlação robusto tende a ter eixos menores. Isto sugere que a relação entre as variáveis é maior no caso clássico, desta forma, a inclinação da reta de regressão ou coeficiente beta seria maior neste caso, ou seja, tais pontos tendem alterar o pressuposto valor real do coeficiente.

Desta forma, calcularam-se os coeficientes usando estimadores robustos MM. Visualisa-se na Tabela 1. que os coeficientes beta são:

Índice 1 Índice 2 Índice 3

Coefficients Value Std. Error t value Value Std. Error t value Value Std. Error t value (Intercept) -0.0004 0.0010 -0.4217 0.0008 0.0007 1.0810 0.0012 0.0010 1.2611Ibovespa 0.5877 0.0433 13.5702 0.4391 0.0326 13.4857 0.4534 0.0425 10.6817

Fonte: Saídas do R. Tabela 1: Estimação dos coeficientes beta

Por meio dos resultados apresentados, conclui-se que o risco sistemático, medido pelo

coeficiente beta, foi menor para o índice 2 cuja carteira é composta pelas empresas: CEMIG, CPFL, COPEL, Transmissão Paulista; depois, para o índice 3 (carteira composta pelas empresas: Eletropaulo e CESP) e, finalmente, para o índice 1, composto apenas pela empresa Eletrobrás. Portanto, para o mesmo nível de retorno requerido para os portfólios, o índice 2 apresentou o menor risco ou variação, seguido do índice 3 e, por último, do índice 1.

Tais resultados corroboram os enunciados da Teoria de Mínima Variância, pois, a medida que foram acrescentados ativos com correlações opostas, conseguiu-se dissipar o risco por meio da diversificação de ativos. Assim, o índice 2 em que estão alocados os ativos com as maiores correlações opostas, apresentou o risco mais baixo, para o retorno exigido. Verificou-se que, mesmo aplicando essa metodologia alternativa na alocação dos ativos nos portfófios, a mesma revelou evidências de sua efetividade na formação de portfófios de mínima variância, sugerindo ser uma opção viável para aplicação da Teoria aos ativos financeiros no mercado de capitais brasileiro. Dessa maneira, mostra-se como um instrumental que pode ser utilizado pelos gestores de fundos de investimentos para otimização de suas carteiras, a fim de maximizar o retorno dos investidores. 5 – CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÃO

O objetivo geral foi testar a Teoria de Portfólio de Mínima Variância utilizando-se

ativos de empresas do setor de Energia Elétrica para constituição de índices acionários, utilizando Análise Fatorial de Séries Temporais para agrupamento das empresas. Procurou-se aplicar uma metodologia alternativa para o melhor agrupamento de ativos, em fatores que buscassem preservar o conteúdo informacional acerca dos mesmos e, depois, com vistas a reduzir a variância do conjunto de ativos alocados naquele fator, identificando, por meio do Determinante de Covariância Mínima de Rouseeuw (1985), os pesos dos ativos individuais. Cabe mencionar que até então não foi encontrada sua utilização para esse fim nos trabalhos levantados no país. Utilizou-se, ainda, estimadores robustos a fim de evitar possíveis efeitos de outliers, tal como causar distorções no retorno esperado, já que a aplicação de estimadores padrão poderia enviesar os resultados dos parâmetros,

Os resultados evidenciaram que essa metodologia se mostrou efetiva para testar a Teoria de Markowitz, em busca de maximizar a relação risco e retorno acerca dos índices

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acionários com ativos do setor de Energia Elétrica. Conforme o agrupamento sugerido pela Análise Fatorial de Séries Temporais, bem como os pesos indicados pelo Determinante de Covariância Mínima, os porftólios pouco ou nada diversificados apresentaram desempenho abaixo daqueles que continham uma maior quantidade de ativos, considerando-se suas correlações e covariâncias, como sugerido pela Teoria. Pôde-se, assim, pulverizar o risco nos portfólios, considerando-se ativos, de preferência, com correlações contrárias.

Para o retorno exigido obtido, o índice formado na carteira 2 constituída pelas empresas CEMIG, CPFL, COPEL, Transmissão Paulista, apresentou o menor coeficiente beta (β = 0.4391). Já a carteira 3 cujas empresas são Eletropaulo e CESP, o coeficiente de risco foi β = 0.4534. Na carteira menos diversificada e, portanto, a mais arriscada, a qual abarca apenas a Eletrobrás, o risco foi β = 0.5877. Portanto, quanto maior foi a diversificação na alocação de ativos com correlações opostas, menor foi o risco encontrado, por meio do beta da carteira.

Logo, como contribuição desta pesquisa para a academia, apresentou-se uma metodologia alternativa para formação de carteiras eficientes. Como contribuição para o mercado, sugeriu-se aos analistas do mercado financeiro e de capitais que, possivelmente, pode ser utilizada essa metodologia para alocação de ativos com a finalidade de geração de carteiras otimizadas. Contudo, cabe ressalvar que essa metodologia ainda deverá ter seu desempenho verificado frente as metodologias tradicionais, para conferir sua acurácia.

Como limitações desta pesquisa, apontam-se a utilização de uma baixa quantidade empresas, e a abordagem de somente um setor econômico. Recomenda-se para trabalhos futuros que, os índices sejam compostos por um maior número de empresas, e que sejam procedidas comparações com outros setores. REFERÊNCIAS BODIE, Z.; KANE, A.; MARCUS, A. J. Essentials of investments. 6. ed. Boston: Mcgraw-Hill, 2007. CARVALHO, F. J. C.; SOUZA, F. E. P.; SICSÚ, J.; PAULA, L. F. R.; STUDART, R. Economia monetária e financeira: teoria e política. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. 385p. ______________, W. A.; MELO, A. O.; PINTO, E. A. Capital Asset Pricing Model (CAPM) e variantes em apreçamento de índices acionários da bolsa de valores de São Paulo. In: ENEGEP, 30., 2009, Salvador (BA). Anais... Rio de Janeiro: ABEPRO, 2009. ELTON, E.; GRUBER, M. J.; BROWN, S. J.; GOETZMANN, W. N. Modern portfolio theory and investment analysis. 8th ed. Hoboken: J. Wiley & Sons, 2010. ESTRADA, J. The cost of equity in emerging markets: a downside risk approach. Emerging Marketing Quarterly, New York, v. 3, n. 1, p. 19-30, 2000. GARRÁN, F. T.; MARTELANC, R. Metodologias em uso no Brasil para determinação do custo de capital próprio. In: ENANPAD, 31., 2007, Rio de Janeiro (RJ). Anais... Rio de Janeiro: ANPAD, 2007. GALDI; F. C.; SECURATO, J. R. O risco idiossincrático é relevante no mercado brasileiro? Revista Brasileira de Finanças, v. 5, n. 1, p. 41–58, 2007. GILBERT, P. D.; MEIJER, E. Time series factor analysis with an application to measuring money, 2005. Disponível em: <ideas.repec.org/s/dgr/rugsom.html>. Acesso em: 15 out. 2009 HAUGEN, R. A. Modern investment theory. 5th.ed. New Jersey: Prentice Hall, 2001. LEWENLLEN, J.; NEGEL, S. The conditional CAPM does not explain asset-pricing anomalies. (Working Paper, 9974). Disponível em: http://www.nber.org/paper/w9974, 2003. LINTNER, J. The valuation of risk asset an the selection of risk investments in stock portfolio and capital budgets. Review of Economics and Statistics, v. 47, n. 1, p. 13-37, 1965. MARAZZI, A. Algorithms, routines and S functions for robust statistics. Pacific Grove, CA: Wadsworth and Brooks/Cole, 1993. MARKOWITZ, H. M. Portfolio selection. Journal of Finance, New York, v. 7, n. 1, p. 77-91, mar, 1952. MARKOWITZ, H. M. Portfolio selection: efficient diversification of investment, 1959. Journal of Finance, New York: Wiley. MATTAR, Pesquisa de marketing: metodologia, planejamento, execução e análise. 3. ed. São Paulo: Altas, 2006. MOSSIN, J. Equilibrium in a asset market. Econometria, v. 34 , n . 4, p. 768-783, 1966.

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