Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

1 Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şiunicitate

2 Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitate

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Forma generală a unei ecuaţii diferenţiale ordinare deordinul I este

F (t , x , x ′) = 0 (1.1)

unde t este variabila independentă, x = x(t) este funcţia

necunoscută, iar x ′(t) =dxdt

este derivata sa. F este o funcţie

reală dată, definită pe un domeniu din R3.

Definiţia 1.1

Numim soluţie a ecuaţiei (1.1) o funcţie x = x(t) definită pe uninterval (a,b) ⊆ R, diferenţiabilă pe (a,b) şi care verifică (1.1)pe (a,b), adică

F (t , x(t), x ′(t)) = 0, ∀ t ∈ (a,b).

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

În anumite situaţii (date de teorema funcţiilor implicite) ecuaţia(1.1) se poate scrie sub forma

x ′ = f (t , x) (1.2)

unde f : D → R, D ⊂ R2 este o funcţie continuă.

Definiţia 1.2

Numim soluţie a ecuaţiei (1.2) pe un interval (a,b) ⊆ R ofuncţie x = x(t) derivabilă pe (a,b) şi care verifică identic (1.2)pe (a,b), adică

x ′(t) = f (t , x(t)), ∀ t ∈ (a,b).

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Din punct de vedere geometric, o soluţie a ecuaţiei (1.2) este ocurbă ı̂n planul tOx , curbă ce admite ı̂n fiecare punct al său otangentă care variază continuu ı̂n raport cu punctul. O astfel decurbă se numeşte curbă integrală şi poate fi dată

cartezian explicit, adică x = x(t), t ∈ (a,b)cartezian implicit, adică ϕ(t , x) = C, t ∈ (a,b), C ∈ R.

Mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei (1.2) se numeşte soluţiegenerală.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

O anume soluţie se poate individualiza impunând anumitecondiţii, cea mai frecventă fiind condiţia iniţială

x(t0) = x0, (1.3)

unde t0 ∈ (a,b), x0 ∈ R se numesc valori iniţiale.Prin problemă Cauchy asociată ecuaţiei (1.1) sau (1.2) seı̂nţelege determinarea unei soluţii a ecuaţiei (1.1) sau, respectiv(1.2) care satisface o condiţia iniţială (1.3).Geometric, aceasta revine la determinarea unei curbe integralecare să treacă printr-un punct dat (t0, x0).

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Teorema de existenţă şi unicitate

Teorema 1.1

Fie f : ∆→ R o funcţie reală definită pe dreptunghiul

∆ = {(t , x) ∈ R2; |t − t0| ≤ a, |x − x0| ≤ b}.

Admitem căi. f este continuă pe ∆;ii. f este lipschitziană ca funcţie de x pe ∆, adică există oconstantă L > 0 astfel ı̂ncât

|f (t , x)− f (t , x̃)| ≤ L · |x − x̃ | ∀ (t , x), (t , x̃) ∈ ∆. (1.4)

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Atunci problema Cauchy{

x ′ = f (t , x)x(t0) = x0

admite o unică soluţie

x = x(t) definită pe intervalul [ t0 − δ, t0 + δ ], unde

δ = min{a, bM}, M = sup{|f (t , x)|; (t , x) ∈ ∆}.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţia diferenţială de forma x ′(t) = f (t)

Problemă Cauchy {x ′(t) = f (t)x(t0) = x0

(2.1)

unde t ∈ (a,b) şi f este o funcţie continuă pe (a,b), admitesoluţia unică:

x(t) = x0 +∫ t

t0f (t) dt . (2.2)

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţia diferenţială cu variabile separabile

{x ′(t) = f (t)g(x)x(t0) = x0

(2.3)

unde t ∈ (a,b), f : (a,b)→ R este o funcţie continuă iar g esteo funcţie continuă, diferită de zero pe un interval (x1, x2).Dacă separăm variabilele, ecuaţia diferenţială din (2.3) poatefi scrisă sub forma

dxg(x)

= f (t)dt .

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Integrăm de la t0 la t găsim∫ tt0

f (t) dt =∫ x(t)

x0

dsg(s)

, t ∈ (a,b). (2.4)

Să notăm G(x) =∫ x

x0

dsg(s)

,, x ∈ (x1, x2)

Funcţia G este continuă şi monotonă (G′(x) =1

g(x)are semn

constant pe intervalul (x1, x2)) deci este inversabilă şi aceleaşiproprietăţi le are şi funcţia sa inversă. Atunci

x(t) = G−1(∫ x(t)

x0

dsg(s)

)şi din (2.4) rezultă

x(t) = G−1(∫ t

t0f (t) dt

). (2.5)

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Exemplul 2.1

Să determinăm soluţia problemei Cauchy x ′(t) =2tx

1 + t2x(0) = 1

Separăm variabilele şi găsimdxx

=2tdt

1 + t2.

Prin integrare obţinem∫ x1

dss

=

∫ t0

2τ dτ1 + τ2

,

sauln x = ln(1 + t2)

decix = 1 + t2.Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţia diferenţială omogenă

Este ecuaţia diferenţială de forma:

x ′(t) = h(xt

) (2.6)

unde h este o funcţie continuă pe un interval (a,b),h(r) 6= r , ∀r ∈ (a,b).Substituţia de funcţie

xt

= u(t)

conduce la o ecuaţie cu variabile separabile.Într-adevăr, avem

x(t) = t · u(t), x ′(t) = u(t) + t · u′(t)

şi ı̂nlocuind ı̂n (2.6) obţinem

tu′(t) = h(u)− u

care este o ecuaţie cu variabile separabile.Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Exemplul 2.2

Să determinăm soluţia generală a ecuaţiei

tx ′ − x = (t + x)(ln(t + x)− ln t).

Scriem ecuaţia sub forma

x ′ =xt

+(

1 +xt

)ln(

1 +xt

).

Cu substituţia x = tu, aceasta revine la ecuaţia cu variabileseparabile

u′ =1t

(1 + u) ln(1 + u)

care are soluţia ln(1 + u) = Ct , C ∈ R. Revenind la funcţia xgăsim soluţia

x = t(

eCt − 1), C ∈ R.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţii diferenţiale reductibile la ecuaţii omogene

x ′ = f(

a1t + b1x + c1a2t + b2x + c2

)(2.7)

ai ,bi , ci ∈ R, i = 1,2, f este o funcţie continuă pe un interval I.1. Dacă c21 + c

22 = 0 atunci ecuaţia se poate scrie

x ′ = f(

a1 + b1 xta2 + b2 xt

)şi este omogenă.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

2. Presupunem că c21 + c22 6= 0 şi

∣∣∣∣ a1 b1a2 b2∣∣∣∣ 6= 0.

Atunci sistemul algebric liniar{a1t + b1x + c1 = 0a2t + b2x + c2 = 0

admite soluţie unică (t0, x0). Efectuăm schimbarea de variabilăs = t − t0 şi schimbarea de funcţie y = x − x0. Atunci

y ′(s) =dydx· dx

dt· dt

ds= x ′(t)

şi ecuaţia devine

y ′ = f(

a1t + b1ua2t + b2u

)deci de tipul 1.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

3. Presupunem că c21 + c22 6= 0 şi

∣∣∣∣ a1 b1a2 b2∣∣∣∣ = 0.

Atuncia1a2

=b1b2

= λ

şi ecuaţia se scrie

x ′ = f(λ(a2t + b2x) + c1

a2t + b2x + c2

).

Substituţia de funcţie z(t) = a2t + b2x(t) conduce la ecuaţia cuvariabile separabile

z ′ = a2 + b2f(λz + c1z + c2

).

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţia diferenţială liniară de ordinul ı̂ntâi

Considerăm problema Cauchy{x ′(t) = a(t)x + b(t)x(t0) = x0

(2.8)

unde a,b sunt funcţii continue pe un interval I ⊆ R.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Înmulţim ecuaţia x ′(t) = a(t)x + b(t) cu factorul integrant

e−∫ t

t0a(τ) dτ şi obţinem

ddt

(x(t) · e−

∫ tt0

a(τ) dτ)

= b(t) · e−∫ t

t0a(τ) dτ

.

Integrăm şi găsim

x(t) · e−∫ t

t0a(τ) dτ

= x0 +∫ t

t0b(s)e−

∫ st0

a(τ) dτ ds.

Prin urmare, soluţia x a problemei (2.8) este dată de

x(t) = e∫ t

t0a(τ) dτ ·

[x0 +

∫ tt0

b(s)e−∫ s

t0a(τ) dτ ds

]. (2.9)

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Exemplul 2.3

Să găsim soluţia generală a ecuaţiei

x ′ =2t

x + t2 cos t , t > 0.

Factorul integrant este

e−∫ 2

t dt =1t2.

Înmulţind ecuaţia cu acest factor obţinem

ddt

(x(t) · 1

t2

)= cos t

de unde prin integrare găsim

x = t2(sin t + C), C ∈ R.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţia diferenţială Bernoulli

Este ecuaţia de forma

x ′(t) = a(t)x + b(t)xα (2.10)

unde a,b sunt funcţii continue pe un interval I ⊆ R iarα ∈ R \ {0,1}. (Dacă α = 0 ecuaţia (2.10) este liniară iar pentruα = 1 ecuaţia este cu variabile separabile)Cu substituţia x1−α = z, (2.10) se reduce la o ecuaţie liniară.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Exemplul 2.4

Să se determine soluţia generală a ecuaţiei

tx ′ + x + t3x3et = 0.

α = 3 şi notăm z = x−2. Obţinem ecuaţia liniară

z ′ =2t

z + 2t3et

cu soluţia z = t2[2(t − 1)et + C

], C ∈ R. Soluţia cerută este

definită implicit de

t2x2[2(t − 1)et + C

]= 1, C ∈ R.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Ecuaţia cu diferenţială totală exactă

Fie ecuaţiaP(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 (2.11)

unde P,Q : D → R, D ⊂ R2 sunt funcţii continue Q 6= 0 ı̂n D.Admitem că expresia Pdx + Qdy este o diferenţială totalăexactă pe mulţimea D, adică există o funcţie F ∈ C1(D) astfelı̂ncât

∂F∂x

(x , y) = P(x , y),∂F∂y

(x , y) = Q(x , y), (x , y) ∈ D. (2.12)

Ecuaţia (2.11) devine dF (x , y) = 0 şi soluţia generală esteF (x , y(x)) = C, C ∈ R.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Dacă D este simplu conex şi P,Q ∈ C1(D) atunci Pdx + Qdyeste o diferenţială totală exactă pe mulţimea D dacă şi numaidacă

∂P∂y

(x , y) =∂Q∂x

(x , y), (x , y) ∈ D (2.13)

şi, ı̂n acest caz, funcţia F poate fi determinată prin formula

F (x , y) =∫ x

x0P(t , y0) dt +

∫ yy0

Q(x , t) dt (2.14)

cu (x0, y0) ∈ D arbitrar.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Exemplul 2.5Să se determine soluţia generală a ecuaţiei

(8xy − 5y2)dx + (4x2 − 10xy)dy = 0.

Avem∂P∂y

(x , y) =∂Q∂x

(x , y) = 8x − 10y .

F (x , y) =∫ x

0P(t ,0) dt +

∫ y0

Q(x , t) dt

F (x , y) =∫ y

0(4x2 − 10xt) dt = 4x2y − 5xy2.

Soluţia generală a ecuaţiei este definită implicit de4x2y − 5xy2 = C, C ∈ R.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Factor integrant

Dacă∂P∂y

(x , y) 6= ∂Q∂x

(x , y) ı̂n toate punctele (x , y) ∈ D, ecuaţia

P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0

se poate transforma ı̂ntr-o ecuaţie cu diferenţială totală prinı̂nmulţirea cu un factor integrant µ = µ(x , y). Funcţia µ sedetermină astfel ı̂ncât expresia

µ(x , y) · P(x , y)dx + µ(x , y) ·Q(x , y)dy

să fie o diferenţială totală exactă.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Dacă µ ∈ C1(D) impunem condiţia

∂

∂y(µ(x , y) · P(x , y)) = ∂

∂x(µ(x , y) ·Q(x , y)), (x , y) ∈ D

(este (2.13) scrisă pentru ecuaţia amplificată cu factorul µ.)Obţinem

Q∂µ

∂x− P ∂µ

∂y= µ

(∂P∂y− ∂Q∂x

). (2.15)

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Sunt două situaţii ı̂n care factorul integrant se determină cuuşurinţă. Aceste situaţii apar natural din condiţia (2.15) alegândµ funcţie numai de x sau numai de y :

1) Dacă1Q

(∂P∂y− ∂Q∂x

)= h(x) atunci

µ = µ(x) se determină ca soluţie a ecuaţieidµµ

= h(x)dx .

2) Dacă1P

(∂P∂y− ∂Q∂x

)= h(y)

atunci

µ = µ(y) se determină ca soluţie a ecuaţieidµµ

= −h(y)dy .

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuaţiei diferentiale. Teorema de existenţă şi unicitateEcuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi integrabile prin cuadraturi

Exemplul 2.6

Să se integrezea) (x sin y + y cos y) dx + (x cos y − y sin y) dy = 0;b) (1 + 3x2 sin y) dx − xctg y dy = 0.

Ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntâi

Forma ecuatiei diferentiale. Teorema de existenta si unicitateEcuatii diferentiale de ordinul întâi integrabile prin cuadraturi