ecuaciones y ejercicios
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Aplicados en propedeutico Junio 2015TRANSCRIPT
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INTRODUCCIN
Las ecuaciones fundamentalmente se utilizan para resolver problemas bien sea matemticos
o bien solventar diferentes cuestionamientos de la vida diaria en cualquier mbito, en este
caso, se puede decir que "el problema se ha resuelto por lgebra". Cuando se soluciona un
problema algebraico, es aconsejable seguir ciertos pasos, dentro de los cuales se pueden
mencionar:
a) Designar la incgnita.
b) Plantear la ecuacin.
c) Resolver la ecuacin.
d) Discutir los resultados.
Un ejemplo de cmo podemos utilizar los conocimientos de la resolucin de ecuaciones se
menciona a continuacin.
Ejemplo: Pedro le comenta a Pablo que se compr una calculadora nueva, Pablo le pregunta
Cunto te costo? a lo que Pedro responde: Un cuarto, ms un quinto, ms un sexto, menos
21 bolvares fue la mitad de todo el costo.
Solucin: Lo respondido por Pedro es 214 5 6 2
x x x x por lo cual al resolver la ecuacin
tenemos a x que es el costo de la calculadora 180x Bolvares.
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OBJETIVOS ESPECFICOS:
Al finalizar el objetivo el estudiante estar en capacidad de:
1. Reconocer expresiones algebraicas.
2. Conocer el lenguaje algebraico para resolver ecuaciones e interpretar
las soluciones.
3. Plantear y resolver ecuaciones, uti l izando en cada caso el mtodo que
mejor convenga
4. Simplificar expresiones mediante las reglas de uso de los parntesis y de la jerarqua
de las operaciones
5. Reconocer un valor dado como solucin de una ecuacin.
6. Despejar la variable apl icando operaciones matemticas.
7. Clasificar las ecuaciones segn el nmero de soluciones.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Para abordar este tema el estudiante deber saber:
Agrupacin de trminos semejantes. Las operaciones matemticas (suma, resta, multiplicacin y divisin). Simplificacin de expresiones algebraicas. Procedimientos de ordenacin y representacin de los nmeros en la recta real. Polinomios. Nmeros racionales. Operaciones elementales.
DEFINICIN:
Una ecuacin es una igualdad de dos expresiones matemticas. Una ecuacin de primer
grado en una variable es una ecuacin en la que aparece una variable elevada al
exponente uno, a estas ecuaciones tambin se le conocen como ecuaciones lineales en una
variable. La variable puede aparecer por ms de una ocasin, por ejemplo, la ecuacin
5 3 3 1x x es una ecuacin de primer grado donde la variable aparece en ambos lados
de la igualdad.
ELEMENTOS DE UNA ECUACIN:
Miembros: Los miembros de una ecuacin son cada una de las expresiones que aparecen a
cada lado del signo de igualdad.
Trminos: Los trminos de una ecuacin son los sumandos que forman los miembros de
una ecuacin.
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Variables o Incgnitas: Las incgnitas de una ecuacin son las letras que aparecen en la
ecuacin.
Grado: El grado de una ecuacin es el mayor de los grados de los monomios que forman
sus miembros.
Soluciones: Las soluciones de una ecuacin es el valor o los valores que debe(n) tomar las
letras (variables) para que la igualdad sea cierta, a dicho valor o valores se le(s) conoce
tambin como raz o races de la ecuacin.
Las ecuaciones de primer grado [variable elevada a la uno ( 0ax b )] solo tienen
una solucin o raz.
Las ecuaciones de segundo grado [variable elevada al cuadrado (2
0ax bx )] tienen
mximo dos soluciones o races.
Las ecuaciones de tercer grado [variable elevada al cubo 3 2
0ax bx cx d )]
tienen mximo tres soluciones o races.
Las ecuaciones de n grado (variable elevada a la n exponente) tienen mximo
tantas soluciones o races como el mayor exponente de dicha ecuacin lo diga.
4 2 35 3 7 2 1x x x x
ECUACIONES DE PRIMER GRADO:
1) Ecuaciones lineales en una variable: Como se mencion anteriormente estas
ecuaciones tienen la variable elevada al exponente 1. Puede usarse cualquier letra para
denotar la incgnita y los coeficientes son nmeros reales.
Procedimiento para su solucin:
Ejemplo 1:
5 2 2 1x x
5 2 2 2 2 1 2 2x x x x Se agrupan los trminos semejantes para ello se
suma 2 y se resta 2x en ambos miembros.
Los trminos son: 45x , 37x , 23x , 2x , 1
La variable es x
El grado es 4
1er miembro 2do miembro
-
5 2 1 2x x Se operan los trminos semejantes
3 3x
3 3
3 3
x Se divide entre 3 ambos miembros
3x Solucin
Para comprobar el resultado basta con sustituir el valor de x en la ecuacin original y se
debe cumplir la igualdad, esto es: 5 1 2 2 1 1 5 2 2 1 3 3
Ejemplo 2:
2 5 3 3 12 4
3 2 4 5 2
x x
2 5 9 12 3
3 2 20 2
x x
Se elimina el parntesis (propiedad distributiva)
2 5 9 72
3 2 20 2
x x
Se restan (suma de negativos) en el corchete
2 5 97
3 2 10
x x Se elimina el corchete (propiedad distributiva)
2 5 9 5 9 9 57
3 2 10 2 10 10 2
x x x x Se agrupan los trminos semejantes para ello se
suma 9
10
x y se resta
5
2 en ambos miembros
2 9 57
3 10 2
x x Se operan los trminos semejantes
47 19
30 2
x Se multiplica por 2 y por 30 ambos miembros
47 19
2 30 2 3030 2
x Se simplifican los trminos iguales
94 570x Se divide entre 94 en ambos miembros
94 570
94 94
x Se simplifica
285
47x Solucin:
285:
47x x
-
EJERCICIOS:
1) 5 4 13 2x x
2) 3 2 5 2 4 4 7x x
3) 2 2 3 5ax b ax b x a b
4) 3 4 1 12x m mx
5) 2 4a x a a x
6) 23 4 5 9 2a x a b b b x ax
7) 2 23 9 9ax b a bx
8) 1 6 6 1x x m m
9) 3 2 4 1 1 5 2
5 10 4 8
x x x x
10) 3 9 2
4 26 3
x x
11) 2 3 3 5 2 1 24 7 6x x x x
12) 2 2
3 1 1 3 2 5 3y y y y
13) 2 2 24 2 4 3 4 8y b y b b
14) 4 6 2 3 2 3 7 2y y y y y y
15) 2
2 5 1 2 6 75
xx x x x
16) 3 3
6 5 1 1y y y y
17) 1
1n m
xx
18) 2vy v c cy v
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2) Ecuaciones de primer grado con valor absoluto: El valor absoluto de un nmero
real x se denota por x y se define como sigue:
x a
Dicho de otra forma, cualquier nmero x se puede representar en la recta real y la
distancia desde ese nmero al origen es su valor.
Ejemplo: Sea 6x entonces 6x 6x
Propiedades del valor absoluto de un nmero real:
1.- a a a 4.- 0cona b a b a
2.- a b a b
a b a b
5.- a b
b a b a
3.- 0conaa
bb b
Procedimiento para su solucin:
Ejemplo 1:
5 12x
El significado del ejercicio es que 5x se encuentra a 12 unidades del origen en la recta
real.
-12 0 12
x a si 0x
x a si 0x
5x
5x
-
5 12x Se plantean las dos posibilidades
5 12x Se suma 5 en ambos miembros
5 5 12 5x Se operan la resta y suma
17x
5 12x Se suma 5 en ambos miembros
5 5 12 5x Se operan las restas
7x
Ambos valores son solucin y se pueden comprobar sustituyendo cada uno en la ecuacin original.
Si 17x 17 5 12 12 12
Si 7x 7 5 12 12 12
Ejemplo 2:
3 7 5x Se plantean las dos posibilidades
3 7 5x Se resta 7 en ambos miembros
3 7 7 5 7x Se operan las restas
3 2x
3 2
3 3
x Se divide entre 3 ambos miembros
3 7 5x Sumamos 5 ambos en miembros
3 7 7 5 7x Se operan las restas
3 12x
3 12
3 3
x Se divide entre 3 ambos miembros
2
3x 4x
Solucin: 2
; 43
x x
Ejemplo 3:
2 32
4
x
Se plantean las dos posibilidades
2 32
4
x
Se multiplica por 4
2 32
4
x
Se multiplica por 4
-
2 3 8x 2 3 8x
2 3 3 8 3x Se suma 3 en ambos miembros
2 3 3 8 3x Se suma 3 en ambos miembros
2 11x Se operan la resta y suma 2 5x Se operan las restas
2 11
2 2
x Se divide entre 2 ambos miembros
2 5
2 2
x Se divide entre 2 ambos miembros
11
2x
5
2x
EJERCICIOS:
1) 2 3 5x 2) 3 2 2 7x x
3) 3 1 5 1 2 1 6x x x 4) 2 6 3 5x x
5) 5 2 3x 6) 7 4 2 0x
7) 3 2 32x 8) 2 25 5x x x
9) 3 4
9 52
xx
10)
34
2 10
x
x
11) 3 5 4 9x 12) 6 6
13
x
13) 3 5 2x
14) 4
32 6
x
x
15) 22 7 3 10x x x x
16) 2 5 6 7x x
17) 1 3 1
3 5 2
x x
18)
2 31
7 5
x x
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3) Ecuaciones de primer grado con radicales: Son ecuaciones que poseen al menos
una raz, donde la variable se encuentra bajo el signo radical, y tambin puede estar fuera
de l.
Procedimiento para su solucin:
1. Se asla el radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los
trminos. Si la ecuacin tiene dos radicales se deja cada radical en cada miembro de la
igualdad.
2. Se eleva al ndice de la raz cada uno de los miembros de la igualdad.
3. Se reducen los trminos semejantes.
4. Si en algn miembro queda un radical, este se asla, si es el caso, en el lado izquierdo de
la igualdad. Se eleva al ndice de la raz cada uno de los miembros de la ecuacin y se
reducen los trminos semejantes.
Ejemplo 1:
2 3 1 4x
2 3 1 1 4 1x Se deja sola la raz en el primer miembro
para ello se suma 1 en cada miembro
2 3 5x Se operan la resta y la suma
2 2
2 3 5x Se eleva al cuadrado ambos miembros
2 3 25x Se resuelven los cuadrados
2 3 3 25 3x Se suma 3 en ambos miembros
2 3 3 25 3x Se operan la resta y la suma
2 28x
2 28
2 2
x Se divide entre dos ambos miembro
14x Solucin
Ejemplo 2:
4 2x x
4 2x x x x Se resta en ambos miembros
4 2x x Se operan las restas
-
2 2
4 2x x Se eleva al cuadrado ambos miembros
4 4 4x x x Se resuelven los cuadrados
4 4 4 x Se simplifican los trminos semejantes
4 8x Se acomoda la ecuacin
4 8
4 4
x Se divide entre 4
2
22x Se eleva al cuadrado
4x Solucin
EJERCICIOS:
1) 5 2 4x 2) 22 1x x
3) 24 15 2 1x x 4) 38 12x
5) 4 11 7 2 29x x 6) 7 7x x
7) 3 5 3 14 9x x 8) 4 1 5x x
9) 9 14 3 10 4x x 10) 9 7 16 7 0x x x
11) 3
14 1111
x xx
12) 29 5 3 1x x
13) 23 6 13 1x x x 14) 7 1 2 2 0x x x
15) 315 7 1 12x 16) 6 5 3 4 5 17x x
17) 13 13 4 2x x 18) 37 5 2 9x
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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuacin de segundo grado con una incgnita es una igualdad algebraica que se puede
expresar en la forma: 2 0ax bx c , siendo a , b y c nmeros reales y 0a .
Los coeficientes de la ecuacin son a y b . El trmino independiente es c .
Si 0b y 0c , se dice que la ecuacin es completa.
Si 0b 0c , la ecuacin es incompleta.
Nota: el coeficiente a nunca puede ser cero pues si lo fuera, la ecuacin no sera de
segundo grado.
Existen diferentes procedimientos para resolver una ecuacin de segundo grado, la tcnica
usada para resolver depende de cmo se presenta la ecuacin. Dentro de los procedimientos
tenemos:
1. Formula de la Resolvente.
2. Por factorizacin.
3. Por completacin de cuadrados.
1) Ecuaciones de segundo grado por la Resolvente: La resolvente es una
frmula que se obtiene de un polinomio de grado 2. A continuacin se muestra como se
defini la frmula:
Forma general de la ecuacin de 2do
grado.
2 0ax bx c
Se pasa el trmino independiente al
segundo miembro:
2ax bx c
Se multiplica toda la igualdad por el
nmero 4a convenientemente elegido: 2 4 4ax bx a c a
Se suma el nmero 2b a ambos miembros
de la igualdad:
2 2 2 24 4 4a x abx b ac b Trinomio cuadrado perfecto
Se factoriza el primer miembro de esa
igualdad:
2 22 4ax b b ac
Se despeja la incgnita x : 2
1,2
4
2
b b acx
a
-
La expresin 2 4b ac se llama discriminante y se tiene que:
Si 2 4 0b ac Se obtendrn dos races reales distintas.
Si 2 4 0b ac Se dice que se obtienen dos races reales iguales.
Si 2 4 0b ac Se obtendrn dos races complejas conjugadas.
Ejemplo:
22 3 1 0x x Los coeficientes son:
2
3
1
a
b
c
2
1,2
3 3 4 2 1
2 2x
1,23 9 8 3 1
4 4x
Se aplica la frmula
13 1 4
14 4
x
1 1x
23 1 2 1
4 4 2x
2
1
2x
Se obtienen las dos soluciones o races
2) Ecuaciones de segundo grado por factorizacin: Cuando una ecuacin de
segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirla en un producto de dos binomios,
para esto se deben buscar dos nmeros que al multiplicarse entre s resulte el trmino
independiente y estos mismos nmeros sumados o restados entre s resulte el coeficiente de
la variable con exponente uno.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo
igualamos a cero cada factor y se despeja la variable.
Nota: Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus
multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplo:
2 3 2 0x x
-
2
3
e d
e d
2
1
e
d
Buscamos los dos nmeros
2 1 0x x Se aplica el producto de los dos binomios
2 0x 1 2x
1 0x 2 1x
Se despeja la variable
3) Ecuaciones de segundo grado por completacin de cuadrados: El propsito
del mtodo de completar los cuadrados es reescribir un expresin cuadrtica de tal forma
que esta contenga un trinomio cuadrado perfecto que pueda ser factorizado como el
cuadrado de un binomio. El procedimientp a seguir es:
1. Reescribe la expresin cuadrtica 2 0ax bx c en la forma
2ax bx c
moviendo el trmino independiente c a la derecha de la ecuacin.
2. Si 1a se divide toda la ecuacin entre dicho valor a
3. Se toma el coeficiente de la variable que tiene exponente 1 y se divide entre dos (2)
e inmediatamente se eleva al cuadrado, este ser un nuevo sumando.
4. El sumando del paso (3) se ubica en cada miembro de la ecuacin con signo positivo
en ambos lados.
5. En el primer miembro quedar un trinomio cuadrado perfecto el cual se factoriza para
obtener un binomio al cuadrado.
6. Se despeja la variable obtenindose los dos valores buscados.
Ejemplo:
22 20 18 0x x
2 10 9 0x x Se divide toda la ecuacin entre 2
2 10 9 9 9x x Se resta 9 en ambos miembros
2 10 9x x
2
210 52
Se divide el coeficiente de la variable xentre dos y se eleva al cuadrado para obtener el nuevo sumando
-
2 2 210 5 9 5x x
Se ubica el nuevo sumando en ambos
miembros de la ecuacin
2 210 5 16x x Se opera la resta del segundo miembro
2 210 5 16x x
trinomio cuadrado perfecto
2
5 16x Se factoriza el trinomio
2
5 16x Se extrae la raz cuadrada en ambos
miembros
5 4x
15 4 1x x
25 4 9x x Se obtienen las dos soluciones
4) Caso especial ecuaciones de segundo grado incompletas: Existen dos tipos
de ecuaciones de segundo grado incompletas estas son:
a. Del tipo 2 0ax bx en este caso se resuelve sacando factor comn a la x
e igualando los dos factores a cero. 0x ax b se obtienen dos
soluciones.
b. Del tipo 2 0ax c se despeja la variable
cx
a
en este caso la
ecuacin puede no tener solucin o tener dos soluciones distintas.
EJERCICIOS:
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la formula de la resolvente.
1) 24 6 1 0x x 2) 23 5 1 0x x
3) 29 8x x 4) 22 6 4x x
5) 24 6 1 0x x 6) 2
2 1 3x x x
-
7)
21 2
6 2 3
x x 8) 2 5 2 5 119 0x x
9) 2 25 3 3 3 2 6x x x x x 10) 2 2
3 2 5 16x x
11)
2
2 04 2
x x 12)
22 10
4 3 8
x x
13) 4 1 2 3 3 1x x x x 14) 22 8 10x x
15) 22 4 6 0x x 16) 22 2 1 0x x
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando factorizacin.
1) 2 4 285 0x x 2) 2 12 35 0x x
3) 2 3 2x x 4) 25 24x x
5) 21 2 0x x 6) 2 15 56x x
7) 2 5 84 0x x 8) 2 28 147x x
9) 2 55 750 0x x 10) 242 135x x
11) 2 2 288 0x x 12) 2 6x x
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando el mtodo de completacin de cuadrados.
1) 2 9 16 0x x 2) 2 2 5 0x x
3) 22 3 8x x 4) 22 12 10 0x x
5) 22 7 15 0x x 6) 2 10 24 0x x
-
7) 23 18 24 0x x 8) 24 32 36 0x x
9) 210 8 6 0x x 10) 26 10 10 0x x
11) 22 16 32 0x x 12) 210 8 6 0x x
13) 218 108 38 0x x 14) 23 21 24 0x x
15) 23 6 0x x 16) 2 6 40 0x x
Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.
1) 2 81x 2) 214 28 0x
3) 2 7x x 4) 22 6 0x
5)
2 2
6 2 3
x x x 6) 2 5x x
7) 2 22 x x x x 8) 2 24 6 2x x x
9) 22 8 0x 10) 5 4 0x x
11) 22 18 0x 12) 2 28 0x b
ECUACIONES RACIONALES:
Las ecuaciones racionales son aquellas en las que aparecen fracciones polinmicas, es decir,
aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios.
Al resolver estas ecuaciones se debe tomar en consideracin el valor excluido de la variable,
este valor es el que hace que el denominador sea cero, es decir, el valor que hace que la
raz o solucin no sea real.
-
Ejemplo 1:
5 2
3x
x
5 2
3x
x xx
Se multiplica por x ambos miembros
5 2 3x x Se opera en ambos miembros de este modo se simplifica la x en el primer miembro
5 2 2 3 3 2 3x x x x Se suma 2 y se resta 3x en ambos miembros
5 3 2x x Se opera en ambos miembros
2 2x Se despeja la variable
2
12
x x Se obtiene la solucin
Ejemplo 2:
2 2
5 40
4 4 4
x x
x x x
2
5 40
2 2 2
x x
x x x
Se factorizan los trminos
2
5 2 4 20
2 2
x x x x
x x
Se efecta la resta hallando el mnimo comn
mltiplo de los denominadores
5 2 4 2 0x x x x Se multiplica en ambos miembros por
2
2 2x x
2 22 5 10 2 4 8 0x x x x x x
Se realiza el producto de los binomios aplicando
propiedad distributiva
13 2 0x Se operan las sumas y restas correspondientes
13 2 2 0 2x Se resta 2 en ambos miembros
13 2
13 13
x Se divide entre 13 ambos miembros
2
13x Solucin
-
EJERCICIOS:
1) 3
11 1
x
x x
2)
5 2
7x x
3) 3 5
5 3
x x
x x
4) 1
1 2
x x
x x
5) 2 2
12 2
x x
x
6)
3 2
8 4
x x
x x
7)
3
2
16 126 8
2 4
xx
x
8)
2
2
2 4 2 1
4 1
x x
x x
9) 1 1 2 1
2 2 1
x x x
x x x
10)
5 5 10
5 5 3
x x
x x
11) 1 2 9
1 2 2x x
12)
2
2 3 2 2
1 1 1
x x x
x x x
13) 2
2 3 3 2 7
1 1 1 1
x
x x x x
14)
2
15 12 6 18
2 4 2
x
x x x
15) 2 2
1 1 1
x a x a x a
16)
2
3 1 1 7
7 12 2 6 6 24
x
x x x x
17)
25 27 16
5 3
x xx
x x
18)
1 32
1 1
x x
x x
19)
215 27 18
5 9
x xx
x x
20)
2
2
1 x x a
x a a ax a
21) 3 13
16
x
x
22)
2
1 10
1x x x
23) 2
1 1 1
2 2 4x x x
24)
4 3 3 81
2 5 3 7
x x
x x
-
ECUACIONES DE UNA VARIABLE DE ORDEN SUPERIOR:
Las ecuaciones que tienen grado mayor a 2 se les conoce como ecuaciones de orden
superior y para resolverlas se pueden descomponer en factores de primer y segundo grado,
luego basta con igualar a cero cada uno de los factores y resolverlos por separado.
Para poder realizar lo anteriormente sealado es conveniente aplicar la regla de Ruffini para
obtener los factores de la ecuacin de orden superior.
Procedimiento para obtener los factores por la regla de Ruffini
1. Se ordena la ecuacin en forma decreciente luego se colocan los coeficientes de cada
trmino, incluyendo el trmino independiente, en una fila completando con cero el
trmino que haga falta.
2. Se ubican los divisores del trmino independiente, estos valores positivos y negativos se
ubicarn en una segunda fila del lado izquierdo probando uno a uno.
3. Se baja el primer coeficiente de la ecuacin ste ser el primer trmino de la tercera fila
a la derecha y se multiplica por el valor del divisible del trmino independiente, el
resultado de la multiplicacin se coloca a la derecha de la segunda fila debajo del
segundo coeficiente de la ecuacin.
4. Se efecta la suma o resta (dependiendo de los signos) entre el coeficiente de la
ecuacin y el resultado de la multiplicacin, este resultado se colocara en la tercera fila.
5. Se repite el procedimiento con el nuevo valor de la tercera fila y el valor del divisible del
trmino independiente hasta llegar al ltimo coeficiente de la primera fila.
6. Al realizar la suma o resta de los ltimos valores entre la primera y segunda fila, ste
resultado debe dar cero.
6.1. Si el resultado es cero, el valor del divisible formar parte del primer factor de la
ecuacin. Se comienza todo el procedimiento tomando la tercera fila como la fila
principal y se ubican los valores divisibles del ltimo trmino de esta fila para probar
con ellos colocndolos en la cuarta fila del lado derecho.
6.2. Si el resultado no es cero, se realiza el procedimiento nuevamente con otro valor de
los divisibles del trmino independiente de la ecuacin.
7. Se continuar efectuando todo el procedimiento hasta encontrar todos los factores de la
ecuacin de orden superior.
8. Una vez encontrados estos factores se igualan a cero.
9. Al igualar cada factor a cero se conseguirn las races o soluciones de la ecuacin de
orden superior.
10. Para comprobar, se prueban los resultados en la ecuacin original.
-
Ejemplo:
4 2
10 9 0x x
Se ordena el polinomio completando con cero los trminos que falten y se comienza con el
algoritmo.
1 0 -10 0 9 Divisibles de 9 = (1),(3),(9)
1 1 1 -9 -9
1 1 -9 -9 0 Divisibles de -9 = (1),(3),(9)
-1 -1 0 9
1 0 -9 0 Divisibles de -9 = (1),(3),(9)
3 3 9
1 3 0 Divisibles de 3 = (1),(3),(9)
-3 -3
1 0
4 210 9 0x x 1 1 3 3 0x x x x
Soluciones o races: 1 0 1x x
1 0 1x x
3 0 3x x
3 0 3x x
Divisin sinttica de Ruffini: Cuando tenemos dos polinomios que se estn dividiendo y el
polinomio divisor es de la forma ax b podemos aplicar la regla de ruffini para hallar el
cociente y el resto de manera directa aplicando el siguiente procedimiento.
Ejemplo:
Dividir x xP Q siendo 3 22 3 5
xP x x x y 1xQ x
2 1 -3 5
1
2
Se ordena el polinomio xP de mayor a menor grado y
se colocan los coeficientes de cada trmino. Si no
apareciese algn trmino entre el de mayor grado y el de
menor se completa con 0. A la izquierda se pone el
nmero que se resta a x en xQ , en este caso 1 y se
baja el coeficiente del trmino de mayor grado.
-
2 1 -3 5
1 2
2 3
Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el
que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del
producto se coloca debajo del coeficiente del trmino
siguiente y se suman.
2 1 -3 5
1 2 3 0
2 3 0 5
El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el
nmero situado a la izquierda y se repite el proceso. El
ltimo nmero (el 5 que esta subrayado) se corresponde
con el resto de la divisin mientras que el resto de
nmeros de la fila inferior son los coeficientes del
cociente.
Cociente
22 3x
C x x y el resto 5xR
Por tanto 3 2 22 3 5 1 2 3 5x x x x x x
EJERCICIOS:
Simplificar las siguientes expresiones:
1)
3 2
3 2
6 11 6
2 2
x x x
x x x
2)
3 2
3 2
6 11 6
4 6
x x x
x x x
3)
4 3 2
4 2
4 3 4 4
11 18 8
x x x x
x x x
4)
3
4
1
1
x
x
5)
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
x x
6)
2
3
5 3
5 45
x x
x x
7)
2
3
7 7
7 7
x
x
8)
3 2
3 2
2 5 6
4 6
x x x
x x x
9)
32 8h
h
10)
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
3 3
x ax a x a
x ax a x a
-
11)
4 2
4
2 4
8 10
x x
x x
12)
2
3 2
25
25 25
x
x x x
13)
3 2 2 33 3x ax a x a
x ax a
x a
14)
4 2 2
2 2
3 2 6 9
2 1 2
x x x x x
x x x x
15)
4 3 2
4 3 2
2 3
2 2 10 15
x x x
x x x x
16)
3 2
4 3 2
3 4 12
6 39 4 60
x x x
x x x x
17)
4 3
4 3 2
3
6 9
x x
x x x
18)
4 3 2
3 2
2 11 12
7 14 8
x x x x
x x x
19)
3 2
2
3 4 7
4 1
a a a
a a
20)
2
2
4
3 4
a a
a a
Hallar el verdadero valor de la fraccin para el valor de x indicado
1)
3
4
1
1
x
x
1para x 2)
2
2
3 2
2 8
x x
x x
2para x
3)
2 2 3
1
x x
x
1para x 4)
3 2
3 2
12 10 3
9 6 4
x x x
x x x
1para x
5)
2 3 4
3 2
x x
x
1para x 6)
2
3
2 3
27
x x
x
3para x
7) 2
2
16 4x
x
0para x 8) 3 2x x x
x
0para x
9)
4
3
16
8
x
x
2para x 10)
2
2
2
1
x x
x
1para x
11) 13 10 2
19 2 5
x x
x
3para x 12)
9 3x
x
0para x
13)
2
3
2 4
8
x x
x
2para x 14)
2
2
14 51
4 21
x x
x x
3para x
-
SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de ecuaciones es la reunin de dos o ms ecuaciones con dos o ms incgnitas.
Si se tiene un sistema de ecuaciones, su solucin es un grupo de valores de las incgnitas
que favorecen o satisfacen todas las ecuaciones del sistema simultneamente.
Si el sistema de ecuaciones es de dos ecuaciones con dos incgnitas o variables y ambas
ecuaciones son lineales, encontrar la solucin representa encontrar un punto de interseccin
de dos rectas ,P x y . Adems se pueden presentar opciones.
1) Si el sistema de ecuaciones tiene una nica
solucin representa el punto de interseccin de
dos rectas.
2) Si el sistema de ecuaciones no tiene un punto de
interseccin significa que las rectas son paralelas
y por lo tanto el sistema de ecuaciones NO tiene
solucin y se dice que las ecuaciones son
incompatibles.
3) Si el sistema de ecuaciones tiene ecuaciones
equivalentes significa que las rectas son
coincidentes y por lo tanto el sistema de
ecuaciones tiene mltiples soluciones.
-
1) Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas: Existen varios mtodos para
resolver estos sistemas. Entre ellos tenemos:
1.1 Mtodo de Igualacin:
1. Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una
incgnita.
3. Se resuelve la ecuacin.
4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que
apareca despejada la otra incgnita.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.
Ejemplo:
3 4 6
2 4 16
x y
x y
6 43 4 6 3 6 4
3
yx y x y x
16 4
2 4 16 2 16 4 8 22
yx y x y x x y
6 4
8 2 6 4 3 8 2 6 4 24 63
yy y y y y
6 4 24 6 10 30 3y y y y
8 2 8 2 3 2x y x x
2x ; 3y Son las dos soluciones del sistema
1.2 Mtodo de Sustitucin:
1. Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo una
ecuacin con una sola incgnita.
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
-
3. Se resuelve la ecuacin.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita
despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.
Ejemplo:
2 3
3 5 2
x y
x y
3
2 3 2 32
yx y x y x
3 9 3
3 5 2 3 5 2 5 22 2
y yx y y y
13
9 3 10 4 13 13 113
y y y y y
2 3 2 1 3 2 1 3 2 3 1x y x x x
2
2 2 12
x x x
1x ; 1y Son las dos soluciones del sistema
1.3 Mtodo de Reduccin:
1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que
convenga.
2. La restamos, y desaparece una de las incgnitas.
3. Se resuelve la ecuacin resultante.
4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.
Ejemplo:
5 2 1
3 5
x y
x y
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
-
5 2 1
3 5
x y
x y
5 2 1
5 15 25
x y
x y
5 2 1
5 15 25
13 26
x y
x y
y
26
13 26 213
y y y
5
5 2 1 5 2 2 1 5 1 4 15
x y x x x x
1x ; 2y Son las dos soluciones del sistema
1.4 Mtodo de Cramer:
El mtodo de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica
a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:
a. El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.
b. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Sea:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
xx
;
yy
1 1
1 2 1 2
2 2
a b b aa b
a b
1 1
1 2 1 2
2 2
c b b cc b
xc b
1 1
1 2 1 2
2 2
a c c aa c
ya c
Se multiplica por 5
la segunda ecuacin Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
-
Ejemplo:
9 11 14
5 346
x y
x y
9 11
9 5 11 6 45 66 1116 5
14 11
14 5 11 34 70 374 44434 5
x x
9 14
9 34 14 6 306 84 2226 34
y y
444
4111
xx x
;
2222
111
yy y
EJERCICIOS:
1) 3 7
5 2 16
x y
x y
2)
2 5
4 13
x y
x y
3) 2 5 12
7 2 11
x y
x y
4)
4 3
6 5 11
x y
x y
5)
2 10 52
82
x y
yx
6)
5 5 10
32 2
x y
x y
-
7) 4
2 3
10
x y
x y
8)
2
3 5 7
23 4
x y
x y
9)
1 2 2
3 2 5
3 22
4
x y
xy
10)
6 20
3 1 5
2 2 2
x y
x y
11)
1 33
2 3
4 41
3 2
x y
x y
12)
2 35
3 4
53
3 2
x y
x y
13)
56
1818 5
2
x y
xy
14)
2
2
3a b x a b y b ab
a b x a b y ab b
15)
2 5 4 8 3 7
2 13 7 3 5
x y x y x y
x y x y y x
16)
2 10 3 4 7 0
3 5 3 112 0
x y x y
x y x y
17)
3 1 2
2 5 3
7 5 7
3 4 2
x y
x y
18)
9 3 1
5
2 47
x y
x y
19)
1 3 3
2 4
1 5 4
2 3
x y
x y
20) 2 5 3
3 10 5
x y
x y
21)
2 0
6 4 2
x y
x y
22)
2 2
2
ax by a b
bx ay ab
23)
2 2
2 3
25 4
ax bya b
bx aya b
24)
2
3
1
2
yx
yx
-
2) Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas: Para estos sistemas de
ecuaciones tambin existen varios mtodos de solucin. Aqu se expone el mtodo de
Cramer para este tipo de sistemas.
Sea:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
xx
;
yy
;
zz
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 3 3
a b c
a b c a b c bc a c a b cb a ba c a c b
a b c
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 3 3
d b c
x d b c d b c bc d c d b cb d bd c d c b
d b c
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 3 3
a d c
y a d c a d c d c a c a d c d a d a c a c d
a d c
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 3 3
a b d
z a b d a b d bd a d a b d b a ba d a d b
a b d
Ejemplo:
2 3
2 1
1
x y z
y z
x y
-
2 1 1
0 2 1 0 1 0 2 0 2 3
1 1 0
3 1 1
1 2 1 0 1 1 2 0 3 3
1 1 0
x x
2 3 1
0 1 1 0 3 0 1 0 2 6
1 1 0
y y
2 1 3
0 2 1 4 1 0 6 0 2 9
1 1 1
z z
31
3
xx x
;
62
3
yy y
;
93
3
zz z
EJERCICIOS:
1)
2 11
3 20
4 2 5 8
x y z
x y
x y z
2)
2 6
3 5
4 2 2 1
x y z
x y z
x y z
3)
8
7 6 7
7 1
x y z
x y z
x y z
4)
2 8
2 3 1
3 2 5
x y z
x y z
x y z
5)
3 4
2
2 6
x y z
x y z
x y z
6)
2 3 16
3 2 10
2 3 4
x y z
x y z
x y z
-
7)
2 3 0
3 7
4 2 4
x z
x y z
x y
8)
2
3 2 4
2 2 2
x y z
x y z
x y z
9)
2
1
x y az a
x ay z a
ax y z
10)
3 2 1
1 2
1
x y z a
a x y z a
ax y z a
11)
1 4 26
3 2 43
6 5 631
x y z
x y z
x y z
12)
2 3 7 6
5
4 5 1 2
3
1 3 9 1
3
x y z
x y z
x y z