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Ecuaciones diferenciales homogéneas y reducibles a ellasUna ecuación diferencial homogénea es aquella en la cual todos sus términos tienen el mismo grado y/o se pueden acomodar a la forma

(1)La sustitución , en donde v es una nueva variable, reduce a la ecuación diferencial homogénea a una de variables separables, como se muestra enseguida;

Si , luego

Separando variables se obtiene

EjemploResolver la ecuación

Notar que todos los términos tienen grado uno, y además la e.d. se puede dividir por x, para obtener

La cual tiene la forma (1), por lo tanto sea

Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene

Simplificando y separando variables se obtiene

Integrando se llega a

Sustituyendo el valor de v se llega a la solución

.Ejemplo

Es visible que el grado de todos los términos es dosPor lo tanto es homogénea y


O

Dividiendo por x2 se tiene

Reacomodando

Separando variables

Si v = -1 , de donde A = 2Si v = 0 1 = 2 + C, de donde C = - 1 Si v = 1 4 = 2 + (B - 1)2 de donde B = 2Luego,

Integrando se obtiene

Multiplicando por 4 y aplicando las leyes de los logaritmos se tienen

De donde

Pero

Luego

.Método (ecuaciones reducibles a homogéneas)En algunas ocasiones de la e.d. con pocos términos se puede transformar en e.d.h. sustituyendo una de las dos variables por , como se muestra en el siguiente KKM 159

Sea , de donde Sustituyendo en la e.d. tiene

Para hacer homogénea la e.d. es necesario que los exponentes de todos los términos sean iguales, luego

Las igualdades se cumplen para , en consecuencia

Multiplicando por se obtiene

La anterior es una ecuación diferencial homogénea, por lo cual se propone que

, de donde Sustituyendo en la e.d.h. se obtiene

Dividiendo por x


Pero v = z/x, luego

Además

.Ecuaciones que contienen términos lineales (reducción a homogéneas)Las ecuaciones con la forma

En donde a,b,c,d,e y f son constantes pueden ser reducidas a homogéneas con un cambio de

coordenadas definiendo dos nuevas variables y , donde y son las raíces de las ecuaciones simultaneas

Ejemplo: De los coeficientes se obtienen

3x + y – 2 = 0x – 1 = 0

De donde xo = 1 yo = - 1Luego x = z + 1 y y = w – 1Diferenciando las anteriores se tiene que dx = dz y dy = dw, sustituyendo se obtiene

La anterior ya es una e.d.h. por lo cual sea w = v z, sustituyendo en la anterior se obtiene

Multiplicando por 2 se obtiene

Pero v = w/x, por lo tanto

Además, z = x – 1 y w = y + 1, por lo tanto

. Ecuación diferencial con coeficientes lineales, cuando el sistema de ecuaciones simultaneas no tiene soluciónEn ese caso se propone y sustituye una nueva variable z = ax + by, con lo cual la ecuación diferencial se convertirá a e.d.v.s.Ejemplo (x – 2y – 1)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0Sea z = x - 2y, de donde x = z + 2y y dx = dz + 2dy, luego sustituyendo en la e.d. se obtiene

(z - 1)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0(z – 1)dz + (2z – 2 + 3z +2)dy = 0(z – 1)dz + 5zdy = 0

Separando variables se tiene

Integrando se tiene

Pero z = x – 2y, sustituyendo se obtiene

.

Ecuaciones Diferenciales Exactas y Reducibles a Ellas

Una ecuación diferencial con la forma

(1)

en donde M(x,y) y N(x,y) son funciones de x y y, pueden ser el resultado de la

diferenciación de

f(x,y) = 0 (2)luego, la ecuación (2) es la solución de la ecuación (1) y se dice que la ecuación (1) es exacta. Para obtener una prueba de exactitud se puede encontrar la diferencial total de (2)

(3)luego, comparando (2) y (3) se concluye que

(4)

Y (5)

Ahora, derivando (4) con respecto a y y (5) con respecto a x se obtiene

(6)

Y (7)

Pero (8)

De acuerdo a la anterior los lados derechos de (6) y (7) son icuales y por lo tanto los lados

izquierdos de las dos ecuaciones deben ser iguales o sea

(9)

La anterior ecuación es la prueba de que la ecuación diferencial con la forma (1) es exacta.

Solución de ecuaciones diferenciales exactas

Método 1 (Método formal)

Ejemplo

A causa de que se cumple la ecuación (9) la ecaución diferencial es exacta (notar que la e.d.

también es homogénea)

De acuerdo a

Donde K(y) es una “constante” de integración, la solución se obtiene una vez que se conoce

K(y). Para conocer K(y) se deriva la anterior con respecto a y

Pero de (5) se sabe que

Por lo tanto igualando los anteriores se obtiene

Integrando la anterior

En consecuencia

Método 2 (Búsqueda diferenciales integrables separando variables)

Ejemplo

Aquí hay que notar que los términos medios que contienen x y y son eneste caso la

derivada de un producto y que la anterior se puede escribir

Integrando la anterior se llega a

.

Método 3. Uso de la formula

Donde x0 y y0 son constantes.

Para la ecuación utilizada en los dos ejemplos anteriores se tiene

O

Donde

.

Ejemplo.

De la anterior

Luego la ecuación diferencial es exacta.

Derivando la anterior con respecto a y se obtiene

Igualando la anterior al valor de N se tiene

Integrando la anterior se determina que

, por lo tanto

.Método 2

Observando los términos se obtiene

Integrando se llega a la solución

Método 3

O

Factor de integración para las ecuaciones no exactas

La ecuación diferencial

(10)

Cuando no es excata, es decir cuando

Puede ser transformada a exacta Multiplicando la e.d. (10) por un factor de integración

, que es

Con lo cual se transforme en exacta y por tanto se cumpla que

Desarrollando la anterior se tiene

(11)

existen tres factores de integración

1.- Factor de integración que depende solo de x, y y (11) se reduce a

O

De donde (12)

El factor de integración es solo función de x, si y solo si, el integrando es únicamente

función de x.

Ejemplo(x + y2) dx - 2yx dy = 0

Por lo tanto

,

Utilizando la ecuación (13) se obtiene

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración

.

2.- Factor de integración solo función de y, y , siguiendo el

procedimiento anterior se llega a

(13)

También en este caso el factor de integración resulta ser solo función de y si el integrando

es únicamente función de y.

Ejemplo

y

Sustituyendo en (13) se obtiene

Multiplicandoi la e.d. no exacta por el factor de integración se tiene

o

.

3.- Factor de integración función de x y y, , este factor se puede obtener si se

conoce la combinación de x y y especifica z, z = x/y, z = yx, z = ey2x, etc.

Para determinar el factor de integración se se obtiene

Luego, sustituyendo en (11) se obtiene

De donde

Separando variables e integrando se obtiene

(14)

Ejemplo(3x + 2y + y2)dx + (x + 4xy + 5y2)dy = 0,

con

De donde

, , y Sustituyendo en el integrando de (14) se obtiene

Luego

Multiplicando toda la ecuación diferencial por x + y2 se tiene(x + y2)(3x + 2y + y2)dx + (x + y2)(x + 4xy + 5y2)dy = 0

(3x2 + 2xy + xy2 + 3xy2 + 2y3 + y4)dx + (x2 + 4x2y + 5xy2 + xy2 + 4xy3 + 5y4)dy = 0 3x2 dx + 2xydx + 4xy2dx + 2y3dx + y4dx + x2dy + 4x2ydy + 6xy2dy + 4xy3 dy + 5y4dy = 0Ahora, separando pares de monomios que se creen forman la derivada de un producto se tiene 3x2dx + (2xydx + x2dy) + (4xy2dx + 4x2ydy) + (2y3dx + 6xy2dy) + (y4dx + 4xy3dy) +

+5y4dy = 0o

.

Ecuaciones diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada

Una ecuación diferencial con la forma

(1)

Tiene n soluciones

,

,…………, ,

Cutas integrales

,

,…………, ,

satisfacen la ecuación diferencial (1)

Ejemplo

La anterior cuadrática tiene soluciones

de al anterior se tienen dos ecuaciones diferenciales

y

La solución

y

.

Ecuaciones diferenciales de Lagrange y ClairautLa ecuación de Lagrange tiene la forma:

Haciendo y' = p, diferenciando y sustituyendo dy por p dx, se reduce esta ecuación a una lineal. Resolviendo se obtiene la solución general de la ecuación en forma paramétrica:

x= r(p, C)

Donde p es un parámetro.Ejemplo. Integrar la ecuación

(A)Sea y´= pDe donde dy = pdx, en consecuencia

Diferenciando la anterior se tiene

Multiplicando la e.d.l. se puede escribir

(B)

Sustituyendo en (A) se tiene

De donde

(C)

(B) y (C) son soluciones paramétricas de la ecuación de Lagrange.

La ecuación de Clairaut

La ecuación de Clairaut tiene la forma

Estas se resuelven en forma similar a la ecuación de Lagrange, aunque eliminando p de las

ecuaciones paramétricas se puede obtener una solución singular.

Ejemplo

Sea y´ = p, de donde dy = pdx, sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene

(A)

Diferenciando la anterior se tiene

De la anterior se tiene

dp = 0

integrando se obtiene p = C, y sustituyendo en (A) se obtiene la solución

(B)

De otra forma, del otro factor se tiene

De donde

Susitituyendo en (A) se tiene

Elevando al cuadrado se tiene otra solución (solución singular, ya que es única, no contiene

constantes)

.(C)

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Una ecuación diferencial de orden superior, tiene la forma

(1)Para su estudio se pueden dividir en lineales y no lineales. Si (1) se sujeta a condiciones iniciales

x = x0, y = y0, y´=y´0,….,y(n) = y(n)0, (2)

se tiene un problema de Cauchi.La función solución obtenida de (1)

(3)Es llamada integral general de la ecuación diferencial.

Ecuaciones Diferenciales de Orden n, no lineales, Casos de Reducción de OrdenPara la solución de algunas e.d. no lineales, se pueden utilizar métodos de reducción de orden1.- Ecuaciones diferenciales de orden n de la forma

(4)Par su solución se define

(5)Sustituyendo en la ecuación (3) se obtiene una ecuación diferencial de primer orden de variables separables

Separando variables e integrando se tiene

Pero de acuerdo a (4) la anterior es

(6)Repitiendo el procedimiento n veces se obtiene la solución

. (7)Caso 2. La ecuación diferencial no contiene la función incógnita y sus derivadas hasta la orden k – 1, es decir la ecuación diferencial es

(8)Para la anterior se define y sustituye una nueva variable

(9)con lo cual la e.d. (8) es reducida a una de orden n – k

.

(10)

Ejemplo.

Sea

.de donde


De donde


De donde

Es necesario despejar para y´´ , o sea p, para poder integrar de nuevo, por lo cual se

reacomoda la ecuación algebraica y y se eleva al cuadrado ambos lado de la ecuación

O sea

La ultima ecuación diferencial cae dentro del caso 1, por lo cual se propone y´= p y la

anterior queda


De donde

Separando variables e integrando de nuevo se tiene

O de acuerdo a las identidades hiperbólicas

.Caso 3. La ecuación diferencial no contiene la variable independiente, que es

(11)

Se define

(12)

En donde p es una función de y, Luego aplicando la regla de la cadena se puede encontrar

las derivadas de mayor orden, que es, para las de segundo orden

(13)

De tercer orden

(14)

Y de esa forma, para obtener una ecuación diferencial en y y p de orden n-1, a sea (11) es

. (15)

Ejemplo

Sea

y


O sea una ecuación de Bernoulli

Para esta última sea

de donde

Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli se obtiene

Multiplicando por se obtiene

La anterior es una ecuación diferencial lineal con factor de integración e2y, por el cual la ecuación diferencial se puede escribir

Separando variables e integrando se obtiene

Pero z = p2 de donde

Separando variables


.Caso 4. Ecuación diferencial homogénea en y y sus derivadasSi al considerar que y y sus derivadas son de grado uno y todos los términos tienen el mismo grado (sin considerar el grado de las x) se dice que la e.d. es homogénea en y, la disminución de orden se logra con la definición

(16)De donde se obtiene

(17)y

(18)Y de esa forma para derivadas de mayor ordenEjemplo.

La anterior es homogénea en y ya que todos sus términos son de segundo grado en y.Utilizando las ecuaciones (16), (17) y (18) se obtiene

Multiplicandola por el factor de integración , x2, se puede escribir


Pero

Por lo tanto De donde

.Caso 5. Ecuación diferencial homogénea generalizadaSi el grado de x y dx se considera uno y m para dy, y todos los términos alcanzan el mismo grado para un valor único de m, entonces la ecuación diferencial es homogénea generalizada y se reduce de con las sustitución de

Ejemplo

Tomando el grado de cada uno de los términos se tiene

3 + m – 2 = 2m = 2mDe donde m = 1, por lo tanto

Con base en las anteriores hay que encontrar y´ y y´´ en función de las nuevas variables t y u, para lo cual

y


La ecuación anterior puede ser reducida de orden de acuerdo al caso 3, para lo cual

p = u´ y sustituyendo en la anterior se obtiene

Por lo cual p = 0 y , integrando la anterior se tiene

O


De donde

Pero y = uet y x = et, en consecuencia

.

Ecuaciones Diferenciales Lineales.

Una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma

(1)

En donde son funciones de x, Si son

constantes la ecuación diferencial se dice de coeficientes constantes y si f(x) = 0 la

ecuación además es llamada homogénea.

La solución de la ecuación diferencial lineal es la suma de dos soluciones, la solución

homogénea proveniente de

(2)

Y una solución particular proveniente de la ecuación (19), o sea

(3)

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Coeficientes constates

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Coeficientes Constates Homogéneas

La solución homogénea de una ecuación diferencial lineal se deduce con mayor facilidad a

partir de la solución para una ecuación diferencial de segundo orden, que es

(4)

Se define el operador diferencial

(5)

Con el cual la ecuación (4) se puede representar como

o (6)

De acuerdo a la anterior ecuación, para obtener la solución no trivial es necesario que

(7)

a la anterior se le llama ecuación característica, la cual tiene, en este caso, dos soluciones

D = r1 y D = r2, por lo cual la ecuación diferencial (6) puede ser escrita como

(8)

Para la anterior se puede definir (método de reducción de orden)

p = (D – r2)y(x) (9)

con el cual (8) se puede escribir como

(D – r1)p = 0

o sea una ecuación diferencial de primer orden,


e integrando

De donde

Sustituyendo la anterior en (9) se obtiene

La anterior es una ecuación diferencial lineal con factor de integración

con el cual la ecuación diferencial lineal se puede escribir como

(10)

De acuerdo a los valores de las raíces de la cuadrática (7) se tienen cuatro posibles

soluciones de la ecuación diferencial lineal de segundo orden, que es

Caso 1. Raíces diferentes

Integrando se tiene

O

. (11)

Caso 2. Raíces iguales

Integrando la anterior se tiene

. (12)

Caso 3. Raices complejas conjugadas

Donde α y β son la partes real e imaginaria del número complejo e i es el numero

imaginario puro.

Para este casoi se tienen dos raíces diferentes una para cada signo, por lo cual s posible

aplicar la ecuación

Pero la identidad de Euler establece que

En consecuencia

O

(13)en donde c1 = C1 + C2 y c2 = i(C1 - C2). Caso 4. Raíces reales iguales en magnitud pero de diferente signo

Con (11) se tiene

Sean

y

Con lo cual la solución para este caso se puede escribir como

Los coeficientes de c1 y c2 son las definiciones de las funciones hiperbólicas de coseno y

seno respectivamente, por lo que la solución se puerde escribir como

. (14)

Ejemplo. Catálisis Heterogénea. Modelo de poro simpleSuponer un largo poro cilíndrico de longitud L y diámetro d, al cual entra por difusión Fickeana el reactante A en fase gaseosa. Sobre la superficie del poro se lleva a cabo una

reacción catalítica irreversible , A(g) → B(g), con cinética de primer orden . Considerar que en el fondo del poro x = 0 no hay reacción y que en x = L existe una concentración de A conocida o sea CA(0) = CAs

Balance de la especie A en un elemento de volumen Lπ(D4/4)Δx Entrada por difusión - salida por difusión = reacción

(15) Considerando que el coeficiente de difusión es constante y rearreglando la anterior se obtiene

En el limite cuando Δx tiende a cero, se obtiene

(16)

Donde (17)Este problema tiene condiciones frontera

(18)

Y CA(L) = CAs

(19)La solución de la ecuación (16) es

(20)

Aplicando la condición frontera (18) se tiene

De donde C2 = 0 y en consecuencia

(21)

Aplicando la condición frontera (19) en (21) se tiene

Por lo tanto

(22)

La anterior describe la concentración del reactante A a lo largo del poro.

Es de interés la eficiencia del poro, la cual se puede considerar como cociente entre la

reacción neta a lo largo del poro cuando la difusión es un proceso importante (difusión vista

como una resistencia) a la velocidad de reacción considerando que no hay resistencia (CA =

CAs) o sea

O

En donde H es llamado módulo de Thiele y es dado como

El control de los parámetros λ y D y en consecuencia de H permiten mejorar la eficiencia

del poro.

Ejemplo. KKM496

Sea

Luego, la ecuación diferencial se puede escribir como

Y es la solución buscada y no puede ser igual a cero, por lo tanto

La cual tiene tres soluciones iguales D = 1, por lo cual se puede utilizar una ampliación

lógica de la ecuación (11)

Para aplicar las condiciones iniciales son necesarias las dos primeras derivadas

Aplicando las condiciones se tiene

De las anteriores, C3 = 1, C2 = 1, y C3 = 0, por lo tanto

.

Ejemplo. KKM 508

Con ecuación característica

Para encontrar las raíces de la anterior se puede utilizar división sintética

1 + 4 + 5 + 0 – 6 – 4 | - 2

0 - 2 – 4 - 2 + 4 + 4

1 + 2 + 1 – 2 - 2 + 0

1 + 2 + 1 – 2 - 2 | -1

0 - 1 - 1 + 0 +2

1 + 1 + 0 – 2 0

1 + 1 + 0 – 2 |+ 1

0 + 1 + 2 + 2

1 + 2 + 2 + 0

La ultima fila se corresponde a los coeficientes de una cuadrática

D2 +2D + 2 = 0

y besta tiene solución

En este caso hay que combinar las formulas (13) para las raíces complejas conjugadas y la

(32) para las raicers diferentes

.Solución Particular de Ecuaciones Diferenciales Lineales no HomogéneasExisten varios métodos para obtener la solución particular de e.d. lineales no homogéneas, cada uno con sus ventajas y desventajas frente a los otros métodos, algunos de estos son:1.- Coeficientes indeterminados2.- Variación de parámetros 3.- Método operacional

Coeficientes indeterminadosEl método de coeficientes indeterminados se basa en función f(x), combinando adecuadamente las familias que emanan de esta función y formando la solución particular como una combinación lineal de los miembros de las familias resultantes, teniendo cuidado en no repetir las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial. Este método implica la sustitución de la solución propuesta en la ecuación diferencial, para determinar las constantes de combinación lineal o sea los coeficientes indeterminados que satiface n la ecuación.Ejemplo

La solución homogénea se obtiene a partir de la ecuación característica

1 – 1 + 1 – 1| 1

0 1 + 0 + 1 1 + 0 + 1 + 0

Luego se tiene una raíz D = 1 y la última fila proporciona los coeficientes de una ecuación cuadrática D2 + 1 = 0, de donde se obtienen dos raíces D = i, y D = - i. luego la solución homogénea es

Para formar la solución particular propuesta se tierne la familia

Como ninguno de los miembros de la familia es idéntico a alguna de las soluciones

homogéneas ya es posible formar la solución particular

Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene

De donde se obtiene tres ecuaciones con tres incógnitas

–A = 1

2A – B = 1

–2A + B – C = 0

El sistema tiene solución A = -1, B = - 3, C = - 1, en consecuencia

Y la solución general que es la suma de las dos soluciones es

.Ejemplo

La anterior tiene ecuación característica

D3 - D2 = 0La anterior tiene soluciones D = 0, D = 0 y D = 1, luego

La familia para formar la solución particular es

Pero, como es necesario no tener miembros de la familia iguales a alguna de las soluciones

homogéneas se multiplica toda la familia por x2, con lo cual se tiene

-12A = 12

24A – 6B = 6

6B – 2C = 0

De donde A = -1, B = -5, C = -12, por lo tanto

Ejemplo

. La anterior tiene ecuación característica

(D – 3)2 = 0De donde D = 3 y D = 3Luego, la solución homogénea es

En este problema la función de x sugiere dos familias {ex} y {sen x, cos x} en un producto,

o sea {exsen x, ex cos x}, de la anterior se construye la solución

De donde


De donde

Igualando coieficientes se obtienen dos ecuaciones simultaneas

3A + 4B = 25

-4A + 3B = 0

De donde B = 4, A = 3, en consecuencia

Ejemplo

La solución homogénea de la anterior es

Las familias son {x,1} y {cos x, sen x}, combinando las dos anteriores se tiene {x cos x,

cos x, x sen x, sen x}, pero como sen x y cos x ya están en la solución homogénea, hay que

multiplicar la ultima famia por x, o sea {x2cos x, xcos x, x2 sen x, x sen x}, luego la

solución particular propuesta es

Como es posible ver la sustitución de la anterior en la ecuación diferencial para la

determinación de los coeficientes es bastante laborioso, por lo cual en este caso se puede

resolver el problema por el siguiente camino alternativo;

Hay que notar que de acuerdo a la identidad de Euler

Por lo cual la ecuación diferencial se puede escribir como

La solución homogénea es

y las familias provenientes de f(x) son {x,1}, {eix} y combinándolas se tiene { xeix, eix},

pero, por la raíz repetida se tendrá {x2eix, xeix }, luego

De donde

Sustituyendo en la ecuacióndiferencial se tiene

De la anterior se obtienen

4iA = 1

2iB + 2A = 0

De las anteriores A = 1/4i, B= - ¼, por lo tanto

Y

.Ecuaciones de EulerLas ecuaciones diferenciales de Euler son un caso especial de las ecuaciones diferenciales de coeficientes variables y tienen la forma

(1)La sustitución

x = ez , (2)transforma la ecuación de Euler a una ecuación diferencial de coeficientes constantes, para tal hay que cambiar las derivadas, luego

De donde

(3)

Para la segunda derivada se tiene

Luego,

(4)

y de ese modo se obtiene las demás derivadas, se tiene

(5)

Una vez resuelta la ecuación de coeficientes variables (5) se transforma la solución por

medio de la definición (2).

Ejemplo

Utilizando (2), (3) y (4) se obtiene

La ecuación característica de la anterior esD2 - 2D +2 = 0

De donde D = 1 ± iPor lo tanto la solución homogénea es

La solución particular tiene la forma


De donde

Luego, A = 1, B = 0 y

Por consiguientePero z = ln x, por lo tanto

.Variación de parámetrosEl método de variación de parámetros, ofrece la ventaja de que es útil para encontrar la solución particular de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, tanto de coeficientes variables y como de coeficientes constantes.

Para una mayor facilidad de su deducción se puede utilizar una ecuación diferencial lineal de segundo orden

(34)

de la cual se conoce la solución homogénea

(35)Se propone como solución total a

(36)Para satisfacer la ecuación diferencial es necesario obtener la primera y segunda derivadas,

Y se establece una condición

(37)Luego, la primera derivada es

(38)Derivando la anterior se tiene

(39)Sustituyendo (35), (38) y (39) en la ecuación diferencial (34)

la cual se puede rearreglar como

En la anterior ecuación hay que notar que lo que se encuentra dentro de la llave se corresponde a la ecuación diferencial homogénea y como tal es igual a cero, por lo cual de la anterior queda la ecuación

(40)

De las ecuaciones (37) y (40), de las cuales pueden ser obtenidas para luego ser integradas y dar

En donde a se le llama WronskianoLa sustitución de las anteriores en la ecuación (36) da la solución total de la ecuación diferencial

La solución se puede escribir como

(41)

En donde es una variable muda.

Ejemplo

y´´ + 4y = 1/cos 2x

La ecuación característica es

D2 + 4 = 0

De donde D = - 2i y D = 2i, de donde la solución homogénea es

yH = C1cos 2x + C2 sen 2x

El Wronskiano correspondiente es

Y

Integrando se tiene

Y

Luego la solución total es dada por

O

Ejemplo

La ecuación homogénea es

la cual es una ecuación que permite la reducción de orden, luego, sea y´= p, con lo cual la e.d. homogénea se reduce a


Integrando se tiene

o

Separando variables e Integrando de nuevo se tiene

El Wronskiano correspondiente es

Ahora

Y

De donde la solución total es dada como

o

o

Notar que el anterior problema puede ser resuelto en su totalidad por reducción de orden,

para lo cual expresamos la ecuación diferencial como

La anterior es una ecuación diferencial lineal con

Luego, la e.d. con el factor de integración se puede escribir como

Separando variables e integrando se tiene

De donde


Para la primera integral de la derecha sean

y

Integrando se tiene

O

Ejemplo

El Wronskiano del problema es

Luego,

De donde C1 = 0 y en consecuencia

Por lo tanto

,

Ejemplo

Notar que en este caso solo se conoce una de las dos soluciones homogéneas, por lo cual se

recurre a una modificación del método de variación de parámetros y en la que se define la

solución total como

De dondey´ = y1 (x)v´(x) + y1´(x)v(x)

y y´´ = y1 (x)v´´(x) + y1´(x)v´(x) + y1´(x)v´(x) + y1´´(x)v(x) = y1 (x)v´´(x) + 2y1´(x)v´(x) + y´´(x)v(x)


Reagrupando términos se obtiene

Pero, por ser y1(x) una solución homogénea

y

La anterior es una ecuación diferencial de reducción de orden, ya que en ella no existe v(x)

como tal, luego, sea p = v´(x), luego

o

La anterior e.d.l. tiene factor de integración

Con lo anterior la e.d.l. toma la forma

Sustituyendo y1(x) por su valor y separando variables

Para la integral de la derecha

Por lo tanto, integrando

Para la primera integral de la derecha se tiene

Luego integrando se tiene

.

Método operacional para la solución de ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes

Sea el operador diferencial, luego, la ecuación diferencial de orden n

toma la forma

Soluciones en Serie y Funciones Especiales

La solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, EDO, por medio de series puede generar funciones especiales como lo son: Bessel, Legendre, Laguerre, Hermite, y la hipergeométrica.

4.1 Algunas definiciones

Una serie de potencias es una serie infinita de la forma

∑j=0

∞

cn ( x−a ) j= co + c1 (x - a) + c2 (x - a)2 +…….. (4.1.1)

en donde a es el centro y cj son los coeficientes de la serie.

La suma parcial de la serie es

sn = ∑j=0

n

c j ( x−a ) j

(4.1.2)

La anterior substraída de la serie da el residuo

Rn =∑

j=n+1

∞

c j ( x−a ) j

= cn+1 (x - a)n+1 + cn+2 (x - a)n+2 + …….. (4.1.3)

Si en el punto x = x0, el lím sn(x0) existe y es finito, se dice que la serie de potencias converge en x =

x0 y |Rn| puede hacerse tan pequeña como se desee para una n suficientemente grande.

La serie converge para x = a. Si existen otros valores de x alrededor de a para los cuales la serie converge, estos forman el intervalo de convergencia y tiene como punto medio a a. El intervalo puede ser finito o infinito, en el ultimo caso la serie converge para toda x. El tamaño del intervalo de convergencia se denota por el radio de convergencia, R, por lo tanto la convergencia ocurre si

|x−a|<R .

El radio de convergencia puede ser calculado con el método de la raíz

R-1 =limn→∞

[|cn|]1

n

(4.1.4a)

y el método de la razón

1R

= limn→∞

|cn+1

cn|

(4.1.4b)

Ejemplo 1. Considerar la serie geométrica

∑j=0

∞

x j

= 1 + x + x2 +……..

en la cual a = 0. Con (4.1.4)

R-1 =limn→∞

[ 1 ]1

n

= 1,

1R

= limn→∞

|11| = 1 (4.1.5a,b)

Por lo tanto la serie geométrica converge si y solo si |x| < 1, lo anterior se explica por que

∑j=0

∞x j= 1

1−x .

Ejemplo 2. Considerar la serie exponencial

e x=∑j=0

∞ x j

j !=1+ x+ x2

2 !+ x3

3 !+. .. .. . ..

la cual también tiene centro igual a 0. Usando el método de la razón se tiene

R−1= limn→∞

|

1(n+1 ) !1

n !

|= limn →∞

| 1n+1

|=0

y R = ∞, por lo tanto la serie converge para toda x.

Si se usa el método de la raíz

R-1 =limn→∞ [| 1

n !|]

1n

(4.1.6)

De la aproximación de Stirling se tiene que para n muy grande

N! ¿√2πn( n

e )n

para n >> 1

R-1 =

limn→∞ [| 1

√2π n ( en )

n|]

1n=lim

n→∞| 1

(2 π n )1

2 n( e

n )|

A causa de que

limn→∞

(2 π n )1

2 n=1

se tiene que

R-1 =limn→∞

|en| = 0

Por lo tanto Rh = ∞.

4.2 Operaciones Elementales

Sean

f ( x )=∑j=0

∞

a j (x−x0 ) j

yg ( x )=∑

j=0

∞

b j (x−x0) j

dos series con intervalo de convergencia común |x−x0|<ρ , luego

1. f ( x )±g ( x )=∑

j=0

∞

(a j±b j )( x−x0) j

2f ( x )⋅g ( x )=∑

j=0

∞

c j ( x−x0) j

(4.2.2)

donde cm = a0bm + a1bm-1 + ...........+ amb0 .

3. La función f(x) es continua de forma que la primera derivada es

f ´ ( x )=∑

j=1

∞

a j j (x−x0 ) j−1

(4.2.3)

y en donde se aplicó la formula de la derivada de una cantidad con exponente, las derivadas de orden superior se obtienen de igual manera.

Cuando los coeficientes aj se calculan como por medio de

a j=f ( j ) (x0 )

j ! (4.2.4)

la serie es llamada serie de Taylor para la función f(x) cerca de x = x0. Un función f(x) tiene expansión en serie de Taylor cerca de x = x0,

f ( x )=∑j=0

∞ f j (x0 )j ! (x−x0 ) j

(4.2.5)

con radio de convergencia ρ > 0, siendo analítica en x = x0. Si x0 =0 la srerie es llamada serie de Maclaurin.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Analíticos

Considerar la EDO

a0 ( x ) d2 ydx2 +a1 ( x ) dy

dx+a2 ( x ) y=0

(4.3.1)

en donde a(x) ≠ 0 en algún intervalo de interés x∈ [ a , b ] , y la cual puede ser escrita como

d2 ydx2 + p ( x ) dy

dx+q ( x ) y=0

(4.3.2)

Si los coeficientes son analíticos en x = x0, entonces el punto x0 es llamado punto ordinario de la EDO.

Teorema. La serie de potencias

y ( x )=∑

j=0

∞

c j (x−x0 ) j

(4.3.4)

es convergente en |x−x0|<R y puede ser propuesta como solución de la EDO si las series

p ( x )=∑j=0

∞

a j ( x−x0) j

y q ( x )=∑

j=0

∞

b j (x−x0 ) j

son convergentes en el mismo dominio..

Ejemplo. La EDO

d2 ydx2 + y=0

x∈ (−∞ ,∞ ) (4.3.4)

En la anterior p(x) = 0 y q(x) = 1 son funciones analíticas en x = 0 y este es un punto ordinario, por lo tanto la serie propuesta como solución debe ser

y ( x )=∑j=0

∞

c j x j

(4.3.5)

de manera que

y ´ ( x )=∑j=0

∞

c j jx j−1

yy left (x right )= Sum cSub { size 8{j=0} } cSup { size 8{ infinity } } {c rSub { size 8{j} } j left (j - 1 right )x rSup { size 8{j - 2} } } } { ¿

Substituyendo en la EDO se obtiene

∑j=0

∞

c j j ( j−1 ) x j−2+∑j=0

∞

c j x j=0

Cambiando el índice j del sumatorio derecho por j-2 (para igualar el exponente de la variable)

∑j=0

∞

c j j ( j−1 ) x j−2+∑j=2

∞

c j−2 x j−2=0

desarrollando parcialmente el primer sumatorio y sumándolos sumatorios que tienen igual índice

c0 (0 ) (−1 ) x−2+c1 (1 ) (0 ) x−2+∑ [c j j ( j−1 )+c j−2 ] x j−2=0

Igualando los coeficientes de cada potencia de x

c0(0) = 0, de donde c0 = indeterminada,

c1(0) = 0, de donde c1 = indeterminada

cj-2 j (j – 1) + cj = 0, j = 2,3,4....., de donde obtiene una ecuación para determinar los coeficientes

c j=−c j−2

j ( j−1 ) , j=2,3,4....

de la anterior

c2=−c0

2!, c3=−

c1

3 !, c4=−

c2

3⋅4=

c0

4 !, c5=−

c3

4⋅5=

c1

5 !, .. . .. .. .. . .

y en general

c2 k=(−1 )k

(2k )!c0 , c2 k+1=

(−1 )k

(2 k+1 )!c1 , k=0,1,2,3 ,. .. . ..

Con los anteriores valores la serie toma la forma

y=c0[1−12 ! x+

14 ! x2+−. .. .. . ..+

(−1 )n

2 n ! x2 n+−. . .. .. . ..] c1 [ x−1

3 !x3+1

5 !x5+−. .. . .. ..+ (−1 )n

(2n+1 ) !x2 n+1+−.. .. . .]

Se puede mostrar que las anteriores series representan las funciones cos x y sen x, luego la solución es

y = c0 sen x + c1 cos x

En este caso se generaron las dos soluciones linealmente independientes multiplicadas por las constantes de combinación lineal c0 y c1.

4.4 Desarrollo de la Solución en una Serie de Potencias Generalizada (Método de Frobenius)

Definición. Una serie de la forma

xs ∑k=0

∞

ck xk=∑k=0

∞

ck xk+s

(4.4.1)

en donde s es un número dado, es llamada serie generalizada de potencias. Esta es convergente

en cierto recinto |x|<R . Si s es un numero entero positivo la serie (4.4.1) se convierte en una serie de potencias ordinaria.

Teorema. Si x = 0 es un punto singular de la ecuación diferencial (4.3.1), cuyos coeficientes p(x) y q(x) admiten desarrollos

p ( x )=∑k=0

∞

ak xk

x, q ( x )=

∑k=0

∞

bk xk

x2

donde las series que figuran en los numeradores son convergentes en cierto recinto|x|<R , y los coeficientes a0, b0 y b1 no son simultáneamente cero, entonces la ecuación (4.3.1) posee al menos una solución en forma de serie de potencias generalizada

y=∑k=0

∞

ck xk+s

(c0 ≠ 0). (4.4.2)

Ejemplo. Se desea resolver la EDO lineal de coeficientes variables

2 x2 d2 ydx 2 +(3 x−2x2 ) dy

dx−( x+1 ) y=0

por lo tanto

p ( x )= (3 /2−x )x

y q ( x )=−( x+1 )/2x2

donde se puede ver que a0, b0 y b1 son diferentes de cero. Por lo tanto se propone como solución la ecuación (4.4.2), luego, al sustituir en la EDO se obtiene

∑k=0

∞

2 ck ( k+s ) (k+s−1 ) xk+s+∑k=0

∞

3ck (k+s ) xk+s−∑k=0

∞

2ck (k+s ) xk+s+1+

−∑k=0

∞

ck xk+s+1−∑k=0

∞

ck xk+s=0

Dividiendo por xs y agrupando sumatorios se llega a

∑k=0

∞

ck [2 (k+s )2+k+s−1 ] xk−∑k=0

∞

ck [2 (k+s )+1 ] xk+1=0

cambiando el índice k del sumatorio derecho por k-1 y desarrollando parcialmente el sumatorio izquierdo se obtiene

c0 (2 s2+s+1 )+∑

k=0

∞

{ck [2 (k+s )2+k+s−1 ]−ck−1 [2 ( k+s )−1 ]}x k=0

Igualando coeficientes se obtiene

c0 (2s2 + s +1) = 0, de donde, si c0 se fija indeterminada se obtiene la ecuación determinativa 2s2 + s +1 = 0

cuya solución en este caso da dos raices diferentes s = ½, s = -1, y de los coeficientes de xk dan la ecuación

ck=2 (k+s )−1

2 ( k+s )2+k+s−1ck−1

, , k = 1,2,....

Se esperan dos soluciones linealmente independientes y cada valor de s diferente generara una solución.

Para s = ½ ck=

22 k+3

ck−1k = 1,2,....

Luego, a partir de la anterior

c1 = 2c0/5, c2 = 2c1/7 = 22c0/(5·7), c3 = 2c2/9 = 23c0/(5·7·9), cn = 2nc0/(5·7·9....... (2n+3))

de esta forma, se obtiene la primera solución

y1 ( x )=c0 [1+∑k=0

∞ (2 x )k

5⋅7⋅9. . .. .. . . (2 k+3 ) ] .

Para s = -1ck=

ck−1

k , k = 1,2,....

c1 = c0/1!, c2 = c1/2 = c0/2!, c3 = c2/3 = c0/3!, cn = c0/n!,

y la segunda solución esy2 ( x )=x−1∑

k=0

∞ xk

k !=x−1 e x

.

Si los exponentes s1 y s2, no difieren por cero o un entero negativo se obtendrán dos soluciones linealmente independientes. Si la diferencia es un entero o cero se obtendrá solo una solución con el valor de mayor.

Tratamiento de Casos Excepcionales

Si s1 = s2, es posible encontrar la segunda solución por el método de variación de parámetros.

Sea, y= y1 (x ) u ( x )

En donde y1(x) es la solución conocida y u(x) una función por determinar. Si se sustituye en la ecuación diferencial (4.3.2)

y1 left (x right )u left (x right )+2y rSub { size 8{1} } ´ left (x right )u´ left (x right )+y rSub { size 8{1} } left (x right )u ( x )+p ( x ) y1´ ( x )u ( x )+ p ( x ) y1 ( x ) u´ ( x )+q ( x ) y1 ( x )u ( x )=0

pero

¿¿por lo tanto se obtiene que

u left (x right )+ left [ { {x rSup { size 8{s - 1} } Sum cSub { size 8{k=0} } cSup { size 8{ infinity } } {c rSub { size 8{k} } left (k+s right )x rSup { size 8{k} } } } over {x rSup { size 8{s} } Sum cSub { size 8{k=0} } cSup { size 8{ infinity } } {c rSub { size 8{k} } x rSup { size 8{s} } } } } + { { Sum cSub { size 8{k=0} } cSup { size 8{ infinity } } {a rSub { size 8{k} } x rSup { size 8{k} } } } over {x} } right ]u´ left (x right )=0} { ¿o

u left (x right )+ left [ { {c rSub { size 8{0} } s+c rSub { size 8{1} } left (s+1 right )+c rSub { size 8{2} } left (s+2 right )+ . . . . } over {x left [c rSub { size 8{0} } +c rSub { size 8{1} } x+c lSub { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } + . . . . . right ]} } +{} right ]} { ¿o bien

. (1)La expresión

se llama polinomio operacional. Este polinomio se puede designar como F(D), la ecuación (1) puede ser expresada como

Es fácil mostrar las identidades siguientes:

1)

2)

3)

4)Es necesario notar que F(D) es un operador lineal, tal que,

.Y que para el producto de dos operadores se cumple la ley conmutativa

.y se cumple la ley distributiva

.Por lo tanto, las operaciones de suma y producto de polinomios operacionales no se diferencian de las mismas operaciones con polinomios ordinarios.

Sea 1/F(D) el operador inverso al operador F(D).Luego, para la ecuación diferencial

F(D) y = f(x), (2)se tiene solución

,con lo cual se verifica la igualdad

. (3)Además

ya que f(x) es, por definición el operador , solución de la ecuación .

ecuaciones diferenciales teoria.docx

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