ecuaciones diferenciales
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El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicación de las ideas y procedimientos del cálculo a nuestra vida cotidiana. En el presente trabajo nos enfocamos en los procedimientos para estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Mostraremos cómo usar la forma algebraica para dar solución de los sistemas lineales con coeficientes constantes.TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
FACULTADA DE EDUCACIÓN
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE EDUCACIÓN
ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICAS
Asignatura : Ecuaciones Diferenciales
Docente : M.Cs. Ing. Juan Julca Novoa
Tema de investigación : SistemasLinealesde Ecuaciones Diferenciales
Grupo de trabajo : N° 5
Integrantes : Cabanillas Soto, José Orlando
Sandoval Minchán, Luis Manuel
Cajamarca, 26 de Octubre del 2011.
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 2
PRESENTACIÓN
El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicación de las ideas y
procedimientos del cálculo a nuestra vida cotidiana. En el presente trabajo nos
enfocamos en los procedimientos para estudiar los sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales. Mostraremos cómo usar la forma algebraica para dar solución
de los sistemas lineales con coeficientes constantes.
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 3
RESUMEN
En el presente trabajo consideraremos sistema de dos ecuaciones con dos funciones
incógnitas, y más en general sistema de n ecuaciones diferenciales con n funciones
incógnitas. Estudiaremos solamente los sistemas lineales, empezando con la
consideración de varios tipos de tales sistemas. Después nos dedicaremos a estudiar la
teoría fundamental y los métodos básicos de resolución de un tipo canónico de
sistemas lineales en el caso especial de dos ecuaciones con dos funciones incógnita.
Finalmente aplicaremos las propiedades del algebra lineal para el estudio de la teoría y
los métodos básicos de resolución del correspondiente tipo canónico de sistema lineal
en el caso general de n ecuaciones con n incógnitas.
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 4
ÍNDICE
MARCO TEÓRICO 5
I. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES. 5 II. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES
CONSTANTES: DOS ECUACIONES CON DOS FUNCIONES
INCÓGNITAS. 9 A. LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SON
REALES Y DIFERENTES. 11
B. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARATERISTICA SON REALES E IGUALES. 11
C. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SON
COMPLEJAS CONJUGADAS. 13 III. SISTEMAS LINEALES HOGÉNEOS CON COEFICIENTES
CONSTANTES: N ECUACIONES CON N FUNCIONES INCOGNITAS 16
A. CASO DE N AUTOVALORES DISTINTOS 20
B. OBSERVACIONES SOBRE EL CASO DE AUTOVALORES REPETIDOS 24
IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO
HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES 27 EJERCICIOS RESUELTOS 28
RESULTADOS Y/O CONCLUSIONES 38
BIBLIOGRAFÍA 39
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 5
MARCO TEÓRICO
V. TIPOS DE SISTEMAS LINEALES.
Empezamos introduciendo los diferentes tipos de sistemas lineales que
tomaremos en consideración. El sistema lineal general con dos ecuaciones y dos
funciones incógnitas, x e y, tiene la forma:
.
,
24321
14321
tFytbxtbdt
dytb
dt
dxtb
tFytaxtadt
dyta
dt
dxta
nosocuparemos de los sistemas del tipo que tengan los coeficientes constantes. Un
ejemplo de tal sistema es:
.432
,2232
teyxdt
dy
dt
dx
tyxdt
dy
dt
dx
El sistema lineal general con tres ecuaciones y tres funciones incógnitas, x, y y
z, tiene la forma:
.
,
,
3654321
2654321
1654321
tFztcytcxtcdt
dztc
dt
dytc
dt
dxtc
tFztbytbxtbdt
dztb
dt
dytb
dt
dxtb
tFztaytaxtadt
dzta
dt
dyta
dt
dxta
Como en el caso de los sistemas de la forma (1), nos ocuparemos de los
sistemas que tengan los coeficientes constantes. Un ejemplo de tal sistema es:
)cos(232
),sen(5432
,322
tzyxdt
dz
dt
dy
dt
dx
tzyxdt
dz
dt
dy
dt
dx
tzyxdt
dz
dt
dy
dt
dx
…(1)
…(2)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 6
Decimos que una terna ordenada (f, g, h) de funciones reales es una solución
del sistema (2), si poniendo x=f (t), y=g (t), z=h (t), las tres soluciones del sistema
(2) se satisfacen simultáneamente en cierto intervalo de la recta real bta .
Los sistemas de los tipos (1) y (2) contienen solamente primeras derivadas;
consideramos ahora los sistemas lineales básicos que contienen derivadas de
orden superior. Se trata del sistema lineal general de segundo orden con dos
ecuaciones y dos funciones incógnitas, x e y, que tienen la forma:
.
,
265432
2
22
2
1
165432
2
22
2
1
tFytbxtbdt
dytb
dt
dxtb
dt
ydtb
dt
xdtb
tFytaxtadt
dyta
dt
dxta
dt
ydta
dt
xdta
También en este caso nos ocuparemos de aquellos sistemas que tengan los
coeficientes constantes; un ejemplo de tal sistema es:
.04223
,1323752
2
2
2
2
2
2
2
2
yxdt
dy
dt
yd
dt
xd
tydt
dy
dt
dx
dt
yd
dt
xd
Dados dos enteros positivos, m y n, podríamos definir de una manera parecida
el sistema general de orden m con n ecuaciones diferenciales y n funciones
incógnitas y podríamos también dar ejemplos de este tipo de sistema. En lugar de
esto vamos introducir la forma canónica del sistema lineal (1) con dos ecuaciones
diferenciales de primer orden y dos funciones incógnitas x e y. Consideremos el
tipo especial de sistema lineal (1) que tiene la forma:
)()()(
),()()(
22221
11211
tFytaxtadt
dy
tFytaxtadt
dx
estaes la llamada forma normal en el caso de dos ecuaciones diferenciales con dos
funciones incógnita. El rasgo distintivo del sistema anterior es manifiesto por la
…(3)
…(4)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 7
manera como aparecen las derivadas en él. Un ejemplo del sistema con
coeficientes variables es:
.
,)1(
3
32
tt eytxtedt
dy
tytxtdt
dx
Mientras que uno con coeficientes constantes es:
.232
,75 2
tyxdt
dy
tyxdt
dx
La forma normal en el caso de un sistema lineal con tres ecuaciones
diferenciales y tres funciones incógnitas, x, y y z, es:
).()()()(
),()()()(
),()()()(
3333231
2232221
1131211
tFztaytaxtadt
dz
tFztaytaxtadt
dy
tFztaytaxtadt
dx
Un ejemplo del sistema con coeficientes constantes es:
.1234
,542
,23
2
tzyxdt
dz
tzyxdt
dy
tzyxdt
dx
La forma normal en el caso general de un sistema lineal con n ecuaciones
diferenciales y n funciones incógnita, nxxx ,,, 21 , es:
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 8
).()()()(
),()()()(
),()()()(
2211
222221212
112121111
tFxtaxtaxtadt
dx
tFxtaxtaxtadt
dx
tFxtaxtaxtadt
dx
nnnnnnn
nn
nn
Una propiedad fundamental importante de un sistema lineal normal (5) es la
relación que tiene con una ecuación diferencial de orden n con una función
incógnita. Precisando, consideremos la llamada ecuación normalizada de orden n
(es decir, que tenga el coeficiente del término de mayor orden igual a uno) lineal
)()()()( 11
1
1 tFxtadt
dxta
dt
xdta
dt
xdnnn
n
n
n
Con la función incógnita x. Sean
.,,,,,1
1
2
2
12
2
321
n
n
nn
n
ndt
xdx
dt
xdx
dt
xdx
dt
dxxxx
De (7) se deduce
.,,,, 11
12
2
21
dt
dx
dt
xd
dt
dx
dt
xd
dt
dx
dt
xd
dt
dx
dt
dx nn
nn
n
n
Utilizando (7) y (8), la ecuación de orden n (6) puede ser convertida en
).()()()(
,
,
,
1211
1
32
21
tFxtaxtaxtadt
dx
xdt
dx
xdt
dx
xdt
dx
nnnn
nn
…(5)
…(6)
…(7)
…(8)
…(9)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 9
Que es un caso especial del sistema lineal normal (5) con n ecuaciones y n
funciones incógnitas. Vemos pues que una ecuación diferencial lineal de orden n
del tipo (6), está íntimamente relacionada con un sistema lineal normal (5) con n
ecuaciones diferenciales de primer orden y n funciones incógnitas.
VI. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS CON COEFICIENTES
CONSTANTES: DOS ECUACIONES CON DOS FUNCIONES
INCÓGNITAS.
El sistema es de la forma:
.
,
22
11
ybxadt
dy
ybxadt
dx
Donde los coeficientes 1a , 2b , 2a y 2b son constantes reales. Para encontrar las
soluciones de este sistema intentamos determinar una solución del tipo:
.
,
t
t
Bey
Aex
En donde yBA, son constantes. Si sustituimos (11) en (10) obtenemos
ttt
ttt
BebAeaeB
BebAeaeA
22
11 ,
Estas ecuaciones nos llevan de una manera inmediata al sistema
.0)(
,0)(
22
11
BbAa
BbAa
…(10)
…(11)
…(12)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 10
En donde las incógnitas son ByA . El sistema tiene, obviamente, la solución
trivial 0 BA , la cual nos daría la solución trivial 0 yx del sistema (10).
Busquemos, pues, soluciones no triviales de (12). Una condición necesaria y
suficiente para que este sistema tenga una solución no trivial es que el
determinante verifique
02
1
2
1
b
b
a
a
Desarrollando este determinante nos encontramos con la ecuación de segundo
grado
0)()( 1221212 bababa
En donde es una incógnita. Esta ecuación se llama ecuación característica
asociada al sistema (10). Sus raíces 1 y 2 se llaman las raíces características.Si
el par (11) es una solución del sistema (10), entonces la de (11) debe ser una de
estas raíces. Supongamos que 1 . Sustituyendo por 1 en el sistema
algebraico (12), podemos obtener una solución no trivial 1A , 1B de este sistema
algebraico. Con estos valores obtenemos la solución no trivial
.
,
1
1
1
1
t
t
eBy
eAx
Del sistema dado.Tres casos deben tomarse en consideración:
Las dos raíces 1 y 2 son reales y diferentes.
Las dos raíces 1 y 2 son reales e iguales.
Las dos raíces 1 y 2 son complejas conjugadas.
…(13)
…(14)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 11
D. LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (14) SON
REALES Y DIFERENTES.
Si las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) son reales y
diferentes, parece que debemos esperar que dos soluciones distintas del tipo
(11), cada una correspondiente a una de las soluciones distintas, sean válidas.
Esta suposición es en realidad cierta; además estas dos soluciones son
linealmente independientes. Resumimos este caso en el siguiente teorema.
TEOREMA 1:
Hipótesis. Las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) asociada al
sistema (10) son reales y diferentes.
Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes no
triviales del tipo.
.
,
1
1
1
1
t
t
eBy
eAx
.
,
2
2
2
2
t
t
eBy
eAx
dondeA1, B1, A2 y B2 son constantes apropiadas. La solución general del
sistema (10) puede escribirse entonces
,
,
21
21
2211
2211
tt
tt
eBceBcy
eAceAcx
en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.
E. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARATERÍSTICA (14) SON
REALES E IGUALES.
Si las dos raíces de la ecuación característica (14) son reales e iguales,
solamente podemos encontrar una solución de la forma (11) excepto en el
subcaso especial a1 =b2 ≠0, a2 = b1 =0. En general ¿qué haremos para hallar
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 12
otra solución linealmente independiente? Recordemos la situación análoga que
se produce al tener la ecuación auxiliar correspondiente a una ecuación
diferencial lineal de orden n una raíz doble. La analogía nos hace pensar que
podemos esperar una segunda solución del tipo
.
,
1
1
1
1
t
t
eBy
eAx
sinembargo, en nuestro caso la situación no es tan sencilla. Debemos buscar
una segunda solución
.)(
,)(
21
21
t
t
eBBy
eAtAx
TEOREMA 2.
Hipótesis. Las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) asociada al
sistema (10) son reales e iguales. Sea su valor común, Supongamos además
que el sistema (10) no es tal que a1 =b2 ≠0, a2 = b1 = 0 .
Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes
del tipo
,)( y ,
,)( ,
211
211
tt
tt
eBByeBy
eAtAxeAx
en donde A, B, A1, A2,B1 y B2 son constantes apropiadas, A1 y B1 no se anulan
simultáneamente y B1/A1= B/A. La solución general puede escribirse, pues, en
la forma
,)(
,)(
2121
2121
tt
tt
eBBcBecy
eAtAcAecx
en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.
…(15)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
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F. LAS RAICES DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (14) SON
COMPLEJAS CONJUGADAS.
Si las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) son los números
complejos conjugados a+bi y a-bi, obtenemos las dos soluciones distintas
, ,
y
, ,
2)(
1
2)(
1
ttbia
ttbia
eByeBy
eAxeAx
de la forma (11), correspondiente a cada una de las raíces complejas. Sin
embargo las soluciones (16) son soluciones complejas. Para obtener soluciones
reales consideramos la primera de las soluciones y hacemos lo siguiente:
primeramente expresamos las constantes complejas 1A y 1B de la forma
211211 y B iBBiAAA , en donde 2121 ,, ByBAA son reales.
Aplicamos después la fórmula de Euler isenei cos y expresamos la
primera solución (16) en la forma
)(cos)(
)(cos)(
21
21
isenbtbteiBBy
isenbtbteiAAx
at
at
que operando da
)],cos()cos[(
)],cos()cos[(
1221
1221
senbtBbtBisenbtBbtBey
senbtAbtAisenbtAbtAex
at
at
Se puede demostrar que un par )()(),()( 2121 tigtgtiftf de funciones
complejas es una solución del sistema (10) si y solamente si los pares
)(),( 11 tgtf constituidos por las partes reales y el par )(),( 22 tgtf formado
…(16)
…(17)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 14
por las partes imaginarias son ambos soluciones de (10). Por lo que tanto la
parte real
),cos[(
)],cos[(
21
21
senbtBbtBey
senbtAbtAex
at
at
comola parte imaginaria
),cos(
),cos(
12
12
senbtBbtBey
senbtAbtAex
at
at
de la solución (17) del sistema (10) son soluciones de (10). Además, las
soluciones (18) y (19) son linealmente independientes. Hallamos
).()cos( )cos(
)cos( )cos()( 1221
2
1221
1221BABAe
senbtBbtBesenbtBbtBe
senbtAbtAesenbtAbtAet at
atat
atat
Ahora bien, la constante 1B es un múltiplo no real de la constante 1A .
Si suponemos que 0BA 1221 BA , se deduce 1B que es un múltiplo real de
1A (es decir es el resultado de multiplicar 1A por cierto número real), lo
cual está en contradicción con lo que decíamos al principio. Así, pues,
0BA 1221 BA y por lo tanto el determinante )(t de (20) es diferente de
cero. Por lo tanto en virtud del teorema 7.4.
…(19)
…(18)
…(20)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 15
TEOREMA 7.4
“Sean
)( )(
y
)( )(
21
21
tgytgy
xtfxtfx
dossoluciones de un sistema lineal homogéneo Una condición necesaria y
suficiente para que estas dos soluciones sean linealmente independientes en
bta es que el determinante
)( )(
)( )()(
21
21
tgtg
xtftft
sea diferente de cero para todo t tal que bta ”1
las soluciones (18) y (19) son efectivamente linealmente independientes.
En consecuencia una combinación lineal de estas dos soluciones reales da, en
este caso, la solución general de este sistema (10). No hay ninguna necesidad
de tomar en consideración la segunda solución de (16). Resumimos los
resultados anteriores en el siguiente teorema:
TEOREMA 3
Hipótesis. Las raíces 1 y 2 de la ecuación característica (14) asociada al
sistema (10) son los números complejos conjugados bia .
1 Shepley L. Ross, 1979, p.333
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 16
Conclusión. El sistema (10) tiene dos soluciones linealmente independientes
de la forma.
),cos(y ,)cos(
),cos( x y ),cos(
1221
1221
senbtBbtBesenbtBbtBey
senbtAbtAesenbtAbtAex
atat
atat
donde A1, A2, B1 y B2 son ciertas constantes reales. La solución general del
sistema (10) puede pues escribirse
)],cos()cos([
)],cos()cos([
122211
122211
senbtBbtBcsenbtBbtBcey
senbtAbtAcsenbtAbtAcex
at
at
en donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.
VII. SISTEMAS LINEALES HOGÉNEOS CON COEFICIENTES
CONSTANTES: N ECUACIONES CON N FUNCIONES INCOGNITAS
Consideraremos ahora la forma normal de un sistema lineal homogéneo de n
ecuaciones diferenciales de primer orden con n funciones incógnitas x1,x2,…, xn,
donde todos los coeficientes son constantes. Para ser más específicos,
estudiaremos el caso en que cada coeficiente es un número real. Por tanto, el
sistema que consideraremos será de la forma
.
,
,
2211
22221212
12121111
nnnnnn
nn
nn
xaxaxadt
dx
xaxaxadt
dx
xaxaxadt
dx
Donde todos los aij, i=1, 2, 3, …, n; j=1, 2, 3,…,n son números reales.
Introducimos la matriz constante nn de números reales
…(21)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 17
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
y el vector
,
2
1
nx
x
x
x
el sistema (21) puede expresarse como ecuación diferencial vectorial lineal y
homogénea:
Axdt
dx
La matriz constante A que aparece en (24) y se define en (22), se denomina
matriz de coeficientes de (24).
Buscamos soluciones del sistema (21), es decir, de la ecuación diferencial
vectorial correspondiente (24).En efecto, buscamos soluciones no triviales del
sistema (21) de la forma
, e
, e
, e
tn
t22
t11
nx
x
x
donde 1 , 2 ,…, n y son números. Haciendo
…(22)
…(23)
…(24)
…(25)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 18
n
2
1
yutilizando (23), vemos que la forma vectorial de la solución deseada (25) es
e tx .
Buscamos, pues, soluciones de la ecuación diferencial vectorial (24) que sean
de la forma
e tx
donde es un vector constante y un número.
Aplicando ahora (27) en (24), obtenemos
e e tt A
que se reduce inmediatamente a
A
yde aquí se obtiene
0, )( IA
Donde I es la matriz unidad nn . Escrito en forma de componentes, este sistema
es un sistema lineal homogéneo
,0)( ...
,0 ... )-(
,0 ... )-(
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
con las n incógnitas 1 , 2 ,…, n . Según el teorema A de la sección7,5B,
…(26)
…(27)
…(28)
…(29)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 19
TEOREMA A
“Un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas algebraicas con n incógnitas
tiene un solución no trivial si, y solo si, el determinante de los coeficientes del
sistema es igual a cero”2
Este sistema posee una solución no trivial si, y solos si,
0
,0)( ...
,0 ... )-(
,0 ... )-(
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
es decir, en notación matricial, 0 IA
Del resultado C de la sección 7.5
RESULTADO C
“Supongamos que los n autovalores n ,...,, 21 de la matriz Ann , son
distintos (es decir no hay ningún repetido); sea nxxx ,...,, 21 un conjunto de n
autovectores correspondientes en A . Entonces este conjunto de n autovectores es
linealmente independiente”(Shepley L. Ross, 1979, p.370).
Reconocemos que la ecuación (30) es la ecuación característica de la matriz de
coeficientes, )( ijaA , de la ecuación diferencial vectorial (24). Sabemos que esta
ecuación característica es una de ecuación polinómica de n-ésimo grado en ,
recordemos que sus raíces, 1 , 2 ,…, n , son los autovalores o valores propios de
A. Sustituyendo cada autovalor ),...,3,2,1( nii en el sistema (29), obtenemos las
soluciones no triviales correspondientes
n)1,2,3,..,(i ..., , , ni2i21i1 n del sitema (29). Puesto que tal
2 Shepley L. Ross, 1979, p.362
…(30)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 20
sistema es meramente el (28) escrito en forma de componentes, el vector definido
por
n)1,2,...,(i
2
1
)(
ni
i
i
i
es un vector propio correspondiente al autovalor ),...,3,2,1( nii . Vemos
entonces que si la ecuación diferencial vectorial
Axdt
dx
tiene una solución de la forma
e tx
el número debe ser un autovalor i de la matriz de coeficientes A y el vector
ha de ser un vector propio )(i correspondiente a este autovalor i .
C. CASO DE N AUTOVALORES DISTINTOS
Supongamos ahora que los autovalores, 1 , 2 ,…, n , de la matriz de
coeficientes A de la ecuación diferencial vectorial son los distintos (es decir,
no se repiten) y sea )()2()1( ,...,, n un conjunto de n vectores propios
respectivos de A. Entonces las n funciones vectoriales distintas nxxx ,...,, 21
definidas respectivamente por
e )( ,...,e )( ,e )( nt)(t)2(2
t)1(1
21 nn txtxtx
son soluciones de la ecuación diferencial vectorial (24) en todo intervalo real
[a,b].
…(31)
…(24)
…(27)
…(32)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 21
Esto se ve fácilmente de la manera siguiente: De (28), para cada
ni ,...,3,2,1 , tenemos
; )()( iii A
y utilizando además la definición (32) de )(txi obtenemos
),()( )()( tAxeAe
dt
tdxi
titii
i ii
que evidentemente muestra que xi(t) satisface la ecuación diferencial vectorial
,Axdt
dx
en [a,b]
Consideremos ahora el Wronskiano de las n soluciones, nxxx ,..,, 21 ,
definimos por (32). Hallamos
e ... e e
e ... e e
e ... e e
))(,..,,(
tt2
t1
t2
t22
t21
t1
t12
t11
21
21
21
21
n
n
n
nnnn
n
n
n txxxW
.. .
...
...
e
21
22221
11211
)t...( 21
nnnn
n
n
n
Según el resultado C de la sección 7.5 (ya mencionado en las pág19 y 20),
los n vectores propios )()2()1( ,...,, n son linealmente independiente. Por
tanto resulta.
…(24)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 22
0
.. .
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
Además, es evidente que 0e )t...( 21 n para todo t. Entonces
0))(,..,,( 21 txxxW n para todo t en el intervalo [a,b]. Por tanto, según el
teorema 7.15.
Teorema 7.15
“Sean las funciones vectoriales n ,...,, 21 , definidas por
)(
)(
)(
,...,
)(
)(
)(
,
)(
)(
)(
2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
nn
n
n
n
nn
, n soluciones de la ecuación diferencial vectorial línea y homogénea
,)( xtAdt
dx en el intervaloreal [a,b]. Estas n soluciones n ,...,, 21 son
linealmente independiente en [a,b] si, y solo si, 0),...,,( 21 nW para todo
],[ bat ”3
Las soluciones nxxx ,...,, 21 de la ecuación diferencial (24), definidas por
(32), son linealmente independientes a [a,b], formando entonces un conjunto
fundamental de soluciones de (24) en [a,b].En consecuencia, una solución
general (24) viene dada por
,...2211 nnxcxcxc
3 Shepley L. Ross, 1979, p.389
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 23
donde nccc ,...,, 21 son números arbitrarios. Resumimos los resultados
obtenidos en el siguiente teorema
TEOREMA 4.
Consideremos la ecuación diferencial vectorial
,Axdt
dx
dondeA es una matriz real constante nn . Supongamos distintos cada uno de
los autovalores de A y sea )()2()1( ,...,, n un conjunto de los n vectores
propios de A correspondientes. Se verifica entonces que, en todo intervalo real
[a,b], las n funciones definidas por e ,...,e ,e nt)(t)2(t)1( 21 nforman un
conjunto linealmente independiente (conjunto fundamental) de soluciones (24)
y
e ...e e nt)(t)2(2
t)1(1
21 nncccx ,
donde nccc ,...,, 21 son números arbitrarios, es una solución general de (24) en
el intervalo [a,b].
…(24)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 24
D. OBSERVACIONES SOBRE EL CASO DE AUTOVALORES
REPETIDOS
Consideremos de nuevo la ecuación diferencial vectorial
,Axdt
dx
donde A es una matriz real constante nn , pero ahora daremos una breve
introducción al caso en que A posea un autovalor repetido. Para concretar,
supongamos que A posee un autovalor real i de multiplicidad m, donde
1<m≤n, y que el resto de los autovalores, nmm ,...,, 21 (si los hay) son
distintos. Según el resultadoD de la sección 7.5.c.
RESULTADO D
“Supongamos que la matriz cuadrada Ann , tiene un autovalor de
multiplicidad m, con .1 nm Entonces este autovalor tiene p
autovectoreslinealemente independientes que le corresponden, con .1 mp
” 4
Sabemos que el autovalor repetido i de multiplicidad m, tiene p vectores
propios linealmente independientes, 1≤p≤m. Consideremos ahora 2 casos(a)
p=m y (b) p<m.
En el caso (a), p=m, existe m vectores propios linealmente independientes
,..., , )()2()1( m correspondientes a i .Entonces, las n funciones definidas
por
t)(t)1(t)(t)2(t)1( n11m1111 e ,...,e ,e ,...,e ,e nmm
4 Shepley L. Ross, 1979, p.370
…(24)
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 25
formanun conjunto de n soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial (24) y una solución general de esta ecuación es una combinación
de estas n soluciones con n números arbitrarios como constantes de la
combinación.
Un tipo de ecuación diferencial (24) que siempre lleva al caso (a), p =m, en
el caso de un autovalor repetido i , es aquella en la que la matriz de
coeficientes nn de (24) es una matriz real y simétrica. Entonces, según el
resultado G de la sección 7.5C.
RESULTADO G
“Si A es una matriz cuadrada nn , real y símetrica, existen entonces n
vectores propios linealmente independientes de A, bien sean todos los
autovectores de A distintos o bien se repitan o más de ellos”5
Existen siempre n vectores propios linealmente independientes A, sean
distintos o nolos n autovalores de A.
Vamos hacer una consideración muy breve del caso (b), p>m. En este caso
hay menos de m vectores propios, )1( , linealmente independientes que
corresponderá al autovalor i de multiplicidad m. Por tanto, existe menos de
m soluciones linealmente independientes, para la ecuación (24), de la forma
5 Shepley L. Ross, 1979, p.372
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 26
e 1)1( t correspondiendo a i , por lo que no hay un conjunto fundamental de
soluciones de la forma tk kl1e)( , donde k es un autovalor de A y )(k es un
vector propio que corresponde a k . Es evidente que hemos de buscar de otro
modo soluciones linealmente independientes.
Para descubrir que otras formas de solución hemos de buscar, consideremos
las situación análogaal caso B de II. Los resultados que sugiere son los
siguientes:
Si 1 es un autovalor de multiplicidad m=2, y p=1<m, buscamos entonces
soluciones linealmente independientes de la forma
;,ee y e ttt 111 t
donde es un vector propio que corresponde a 1 , es decir, satisface
0; )( IA
y es un vector que satisface la ecuación
.)( IA
Si 1 es un autovalor de multiplicidad m > 2, y p < m, la forma de las m
soluciones linealmente independiente que corresponde a 1 depende de si p =
1,2,…, o m – 1. Sin embargo, no consideramos estas situaciones.
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 27
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO
HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES6
El sistema vectorial de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con
coeficientes constantes es de la forma:
)()()(' tftAxtx - - - - - (1)
Cuando tenemos una E.D lineal vectorial no homogénea )()()(' tftAxtx , su
solución general es de la forma CPG XXX donde CX es la solución a la
homogénea asociada )()(' tAxtx esta expresada por:
nnxCxCxCxCx ...332211
El objetivo es hallar la solución particular PX de la ecuación no homogénea, para ello
utilizamos el método de variación de parámetros.
Una solución particular del sistema (1) tendrá la forma:
XvX p donde:
nv
v
v
v 2
1
Para hallar el vector columna, se tendrá en cuenta
dttfXv )(1
donde:
)(
)(
)(f
)( 2
1
tf
tf
t
tf
n
, 1X es matriz inversa X = Matriz fundamental
Por lo tanto la solución general de un sistema de E.D lineales no homogéneas es de la forma:
PCG XXX
dttfXtXctXtx )()()()( 1
6 Nagle E. R. Kent, 2005, p. 551-554
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 28
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Resolver:
yxy
yxx
yxdt
dy
yxdt
dx
4
_(1) _ _ _ 25
:asíexpresar puede Tambien
4
25
-(2)-----
: tipodelsolución una Buscamos
t
t
Bey
Aex
Hallamos sus derivadas:
t
t
eBy
eAx
(3) _ _ _ _ '
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 29
)(
(2) en (7)
)7(3 y 1
044
022
:(4) en (5) ,3 Si
)6(1
(5)----- 3 :Donde
ica)carateríst (ecuación 034
tenemosedeterinant el ndodesarrolla
01
2
4
5
:cumplirse debe trivialesno solucioneshallar Para
1 en 0yx trivialsoluciónla originaría que 0,BA es 4 de trivialSolución
)4(014
025
:Obtenemos
014 4
025 25
(1) en y(3)(2) sRemplazamo
3
3
1
2
1
2
Iey
ex
BA
BB
BA
BA
BA
BABeAeeB
BABeAeeA
t
t
ttt
ttt
tt
tt
t
t
eCeCy
eCeCx
IIey
ex
BA
BB
BA
23
1
23
1
2
2
:es general soluciónla (II), y (I) sexpresione las deLuego,
)(2
(2) en (8)
)8(3 y 2 ,1
024
024
:(4) en (6) ,1 Si
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 30
2 Resolver:
yxdt
dy
yxdt
dx
4
3
Resolución
Buscamos una solución del tipo:
Remplazamos (2) y (3) en (1), obtenemos:
Simplificando términos comunues y factorizando:
Una solución no trivial de (4) se obtiene si se cumple:
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
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Remplazamos (5) en (4):
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
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3. Resolver:
txxdt
dx
txdt
dx
212
21
3
32
Resolución
PRIMERO:
Hallamos la solución complementaria” CX ” . A partir del sistema homogéneo asociada a (1)
Buscamos una solución del tipo:
Remplazamos (3) y (4) en (1):
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
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Remplazando (5) en (4) y escogiendo apropiadamente los valores:
Obtenemos A=1, B=1
De modo que una solución de (2) es:
t
t
ex
ex
22
21
Remplazando (6) en (4) y escogiendo apropiadamente los valores:
Obtenemos A=2, B=1
De modo que una solución de (2) es:
t
t
ex
ex
22
1 2
Por lo tanto la SOLUCIÓN GENERAL DE (2) es:
tt
tt
eCeCx
eCeCx
22
12
22
11 2
Forma matricial:
2
1
2
2
2
C
C
ee
eeX
tt
tt
C
Donde:
tt
tt
ee
eeX
2
2
2
MATRIZ FUNDAMENTAL DE (2), además
2
1
C
CC
Por lo tanto : XCXC
SEGUNDO.
Buscamos una solución particular de (1) “ PX ”. Buscamos una solución del tipo:
XvX p donde:
2
1
v
vv
Se cumple:
FdtXv 1 donde:
2
1
F
FF , 1X es matriz inversa de X
Hallamos 1X :
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 34
1X =
tt
tt
ee
ee
-
2 22
y
t
tF
3
Entonces:
FX 1
tt
tt
ee
ee
-
2 22
t
t3
FX 1
tt
tt
ette
tete
3
2 3 22
FX 1
t
t
te
te
4
5 2
Como :
dt
te
teFdtXv
t
t
4
5 21
Hallamos
ttt etedtte 222
4
5
2
55
ttt etedtte 444
Por lo tanto:
tt
tt
ete
etev
44
4
5
2
5 22
Hallamos:
XvX p
pX
tt
tt
ee
ee
2
2
2
tt
tt
ete
ete
44
4
5
2
5 22
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 35
4
11
2
13
4
27
2
11
t
t
X p
SOLUCIÓN PARTICULAR DE (1):
4
11
2
13
4
27
2
11
2
1
tx
tx
SOLUCION GENERAL DE (1):
CPG XXX
4
11
2
13
4
27
2
112
22
12
22
11
teCeCx
teCeCx
tt
tt
4. Resolver:
3213
3212
11
23
22
xxxdt
dx
xxxdt
dx
xdt
dx
Resolución
3213
3212
11
23
22
xxxdt
dx
xxxdt
dx
xdt
dx
Buscamos una solución de la forma:
33
22
11
t
t
t
ex
ex
ex
33
22
11
t
t
t
edt
dx
edt
dx
edt
dx
1
2 3
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 36
y en
tttt
tttt
tt
eeee
eeee
ee
3213
3212
11
23
22
tt
tt
tt
ee
ee
ee
3213
3212
11
23
22
3213
3212
11
23
22
01 2 3
0 2 12
0 0 0 1
321
321
1
Formamos el determinante
0
1 2 3
2 1 2
0 0 1
Desarrollamos el determinante
013404 12 04 1 1 2
04 1 1 2
i211 21
Tenemos una raíz real y dos diferentes
en
023
022
31
31
31
31
23
Tenemos que: 232 321
Reemplazamos los valores de 321 ,, y en
2
3
2
3
2
1
t
t
t
ex
ex
ex
4
0 0
3 2 1
5 6
5 4
5 2
7
4
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 37
en
012123
021212
0121
321
321
1
i
i
i
0223
0222
02
321
321
1
i
i
i
022
022
32
32
i
i
Tenemos que: i 321 10
Reemplazamos los valores de 321 ,, y en
ti
ti
ti
iex
ex
ex
21
3
21
2
21
1
1
0
Luego la solución de es:
tit
tit
tit
eiCeCx
eCeCx
eCeCx
21
213
21
212
21
211
2
13
02
tit
tit
t
eiCeCx
eCeCx
eCx
21
213
21
212
11
2
3
2
Aplicamos la formula de Euler
tSenCetCosCeeCx
tSenCetCosCeeCx
eCx
ttt
ttt
t
222
223
2
222113
222112
11
6 4
8
6 2
1
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 38
RESULTADOS Y/O CONCLUSIONES
El algebra lineal (matrices y vectores) es muy importante para la resolución de
sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Dependiendo de las raíces de la ecuación característica de los sistemas lineales
homogéneos con coeficientes constantes, de dos ecuaciones con dos funciones
incógnitas se puede estimar las soluciones de esta, en la cual se puede tener
tres casos.
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
E.A. Profesional De Matemática E Informática Pág. 39
BIBLIOGRAFÍA
Shepley L. Ross. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Editorial Revereté, S.A
Paul Blanchard, Robert L. Devaney y Glen R. Hall. (1999). Ecuaciones
diferenciales. México, International Thomson Editores, S.A.
P. Puig Adam. (1965). Curso Teórico Practico de Ecuaciones Diferenciales
Aplicado a la Física y Técnica – Tomo II – Octava Edición. Madrid.
Harry W. Redick. (1961). Ecuaciones Diferenciales – Tercera Edición. Mexico
D. F. Editorial Continental, S. A.
Nagle E. R. Kent. (2005). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores
en la Frontera – Cuarta Edición. México. Editorial Pearson Educación.