Universidad Autónoma del Estado de México

Facultad de Química

UA: REACTORES BIOLÓGICOS

Presentado por:

Nolasco Terrón Eder Yair

Grupo 85 IQ

“Cinética de crecimiento celular: Ecuación de Monod”

Crecimiento Microbiano

Es el incremento en el número de células o aumento en la masa microbiana(biomasa). El crecimiento es un componente esencial de la función microbiana, ya que una célula tiene un periodo de vida determinado y la especie se mantiene como resultado del crecimiento continuo de la población celular

Modelamiento matemático

Dicho crecimiento celular se puede modelar matemáticamentea tal modo de predecir el aumento de población en un cultivomicrobiano; adquiere relevancia ya que este modelamientoinfluye en el diseño de un biorreactor, en consecuencia va arepercutir en el aumento de biomasa y en los productos que sepueden llegar a obtener del crecimiento microbiano.

Los microrganismos presentan un crecimiento catalítico y se puede describir mediante el siguiente modelo matemático:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝜇𝑥

Donde:𝑥: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎𝑟

𝜇: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑡: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

La representación gráfica de dicha ecuación diferencial se visualiza de la siguiente manera:

Fases de crecimiento celular

• Fase I(Lag phase): O llamada fase de adaptación,no hay crecimiento microbiano aunque haymetabolismo microbiano activo. Asimilan elmedio de cultivo y lo procesan según susnecesidades nutricionales.

• Fase II(Log phase): recibe el nombre de fase exponencial,aquí hay duplicación celular de manera acelerada. Altiempo en que una célula se duplica se le conoce comotiempo de duplicación o regeneración. En el caso de lasbacterias el tiempo de duplicación es de 20 min a 20 hrsdonde cada intervalo de tiempo es menor a 1 h.

Duplicación celularmodelado matemático

Se tiene que una célula crece progresivamente y se divide en dos células iguales.

Contando que se tiene un número inicial de células llamado 𝑁0 y queremos averiguar el número final de células 𝑁 la duplicación celular es la siguiente:

𝑁 = 2𝑁0

Si la célula que se duplicó se vuelve a duplicar tenemos que:

𝑁 = 2 ∗ 2𝑁0𝑁 = 22𝑁0

Si la duplicación celular ocurre en potencias de dos larecurrencia se da de la siguiente manera:

𝑁 = 23𝑁0𝑁 = 24𝑁0

⋮𝑁 = 2𝑛𝑁0

Se tiene que la última ecuación es el número de células quefinales que se obtienen después de un cierto número dedivisiones celulares.

Tiempo de duplicación celularmodelado matemático

Es el tiempo que en que una célula se duplica. En el caso de lasbacterias el tiempo de regeneración es de 20 min a 20 hrs endonde cada intervalo es menor a 1 hr

Para obtener el tiempo de duplicación como modelomatemático usamos la ecuación diferencial de crecimientocelular:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝜇𝑥

Resolviendo la ecuación diferencial por el método de variables separables tenemos lo siguiente:

𝑑𝑥

𝑥= 𝜇 𝑑𝑡

Queda como:ln 𝑥 = 𝜇𝑡 + 𝑐

Rearreglando y usando antilogaritmos:

𝑥 = 𝑐𝑒𝜇𝑡

Evaluando la condición inicial:

A 𝑡 = 0; 𝑥 = 𝑥0

Se tiene:𝑥 = 𝑥0𝑒

𝜇𝑡

Si evaluamos la siguiente condición 𝑥 𝑡 = 2𝑥0

Obtenemos el tiempo de duplicación celular:

𝑡 =ln 2

𝜇

• Fase III(Fase estacionaria): la velocidad de división celularha decrecido a tal grado de que la nuevas células sonproducidas al mismo ritmo que cuando mueran lascélulas viejas, por lo tanto el número de células esconstante.

La cantidad de nutrientes es limitada y pueden aparecerdesechos tóxicos.

• Fase IV(muerte celular): también llamada fase dedeclive, en esta etapa ya no es posible la divisióncelular, por lo tanto, las células mueren y supoblación decrece exponencialmente.

Ahora surge una interrogante:

El parámetro μ es la velocidad específica de crecimiento celulary es la relación de crecimiento de la célula en función de losnutrientes del medio.

Esta variable la podemos obtener por medio de la ecuación deMonod:

𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

𝑘𝑆 + 𝑆

Donde:

𝑆: 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝜇𝑚𝑎𝑥: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑘𝑆: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

Dicha ecuación es usada como parámetro de diseñoen los biorreactores ya que es la ecuación que mástiene similitud con el comportamiento poblacional demicroorganismos y que depende también de lacantidad de sustrato contenido en el biorreactor.

La ecuación de Monod se utiliza para encontrar la tasade crecimiento a velocidad de crecimiento constante.

Combinando la ecuación de Monod y la ecuación decrecimiento microbiano se tiene la siguiente ecuación:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝜇𝑚𝑎𝑥

𝑆

𝑘𝑆 + 𝑆𝑥

cuando se desea obtener 𝜇𝑚𝑎𝑥 y 𝑘𝑆 se linealiza laecuación diferencial de la siguiente manera:

si 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥

𝑟𝑥 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆𝑥

𝑘𝑆 + 𝑆

1

𝑟𝑥=𝑘𝑆 + 𝑆

𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆𝑥

1

𝑟𝑥=

𝑘𝑆𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆𝑥

+1

𝜇𝑚𝑎𝑥𝑥

Multiplicando por 𝑆𝑥:

𝑆𝑥

𝑟𝑥=

𝑘𝑆𝜇𝑚𝑎𝑥

+1

𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆

La linealización anterior se hace cuando se deseaaveriguar el crecimiento celular para el caso que lavelocidad específica de crecimiento sea constante.

Para el caso de que la velocidad de crecimiento se halle enun sistema(reactor) Batch y dependa a su vez de laconcentración del sustrato se tiene que introducir elconcepto de rendimiento de la reacción, que se definecomo:

𝑌 = −∆𝑥

∆𝑆

En términos de diferencial:

𝑌 = −𝑑𝑥

𝑑𝑆

Integrando la ecuación diferencial de 𝑥0 a 𝑥 y de 𝑆0 a 𝑆

𝑥0

𝑥

𝑑𝑥 = −𝑌 𝑆0

𝑆

𝑑𝑆

Tenemos la siguiente ecuación

𝑥 − 𝑥0 = 𝑌 𝑆0 − 𝑆

Despejando a S:

𝑆 = 𝑆0 +𝑥0 − 𝑥

𝑌Y sustituyendo en la ecuación diferencial

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝜇𝑚𝑎𝑥

𝑆

𝑘𝑆 + 𝑆𝑥

Queda de la siguiente manera:

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝜇𝑚á𝑥𝑥

𝑆0 +𝑥0 − 𝑥𝑌

+ 𝑘𝑆𝑆0 +

𝑥0 − 𝑥

𝑌

Arreglando términos

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝜇𝑚á𝑥𝑥 𝑌𝑆0 + 𝑥0 − 𝑥

𝑌𝑆0 + 𝑌𝑘𝑆 + 𝑥0 − 𝑥

Resolviendo la ecuación diferencial por el método de variables separables

𝜇𝑚á𝑥 0

𝑡

𝑑𝑡 = 𝑥0

𝑥1 𝑑𝑥

𝑥

𝑌𝑆0 + 𝑌𝑘𝑆 + 𝑥0 − 𝑥

𝑌𝑆0 + 𝑥0 − 𝑥

Resolviendo por fracciones parciales la integral se ve como:

𝜇𝑚á𝑥 0

𝑡

𝑑𝑡 = 𝑥0

𝑥1 𝑌𝑆0 + 𝑌𝑘𝑆 + 𝑥0𝑌𝑆0 + 𝑥0

∗1

𝑥+

𝑌𝑘𝑆𝑌𝑆0 + 𝑥0 𝑌𝑆0 + 𝑥0 − 𝑥

𝑑𝑥

Integrando queda como:

𝑌𝑆0 + 𝑌𝑘𝑆 + 𝑥0𝑌𝑆0 + 𝑥0

ln𝑥1𝑥0

+𝑌𝑘𝑆

𝑌𝑆0 + 𝑥0ln

𝑌𝑆0𝑌𝑆0 + 𝑥0 − 𝑥1

= 𝜇𝑚á𝑥𝑡

La ecuación antes deducida es la variante de la ecuación deMonod para sistemas que dependen directamente de laconcentración del sustrato ya que de el depende si elcrecimiento celular es eficiente o provocará la muertecelular, asimismo, es una consideración en el diseño dereactores biológicos .

Cinética de Monod para fermentaciones

La ecuación de Monod describe de antemano el crecimiento celular, aunque si hacemos que esta ecuación se vea de modo cinético adopta la forma siguiente:

𝑟𝑔 = 𝜇𝐶𝑐

Que toma la forma de la ecuación diferencial en crecimiento microbiano. Bajo esta forma se diseñan las curvas de crecimiento óptimas en Biorreactores ya sea en forma Batch o en un Quimiostato.

Curva cinética de crecimiento

Crecimiento microbiano en un biorreactor

Referencias bibliográficasFogler H. Scott, Elementos de ingeniería de las reacciones químicas, Cuarta edición, Edit. Pearson Prentice Hall, Naucalpan de Juárez México, 2008.

Quintero R. Rodolfo, Ingeniería bioquímica: teoría y aplicaciones, Primera Edición, Edit. Alhambra Mexicana, México DF. México, 1981.

http://www.diversidadmicrobiana.com/index.php?option=com_content&view=article&id=182&Itemid=225, consultado el día 15 de marzo de 2015 a las 20:00 hrs.

http://www2.cbm.uam.es/jl sanz/docencia/archivos/08.pdf, consutado el día 15 de marzo de 2015 a las 21:30.