Economia Applicata all’Ingegneria

Dott.ing. Massimo Di Francesco mdifrance@unica.itDott.ssa Michela Lai

mlai@unica.it

http://sorsa.unica.it/

Esercitazione 2

22

La programmazione lineare per problemi decisionali di economia

Articolazione del processo decisionale: Definizione del problema Costruzione di un modello matematico di programmazione

lineare Risoluzione delle istanze del modello con il programma scelto

(ad esempio Lindo) Analisi dei risultati ottenuti

Tipicamente queste fasi non sono strettamente sequenziali

Modello matematico: descrizione con strumenti di tipo logico-matematico della porzione di realtà di interesse.

33

Non esistono metodologie formali per generare automaticamente modelli di programmazione lineare. La loro costruzione è lasciata fondamentalmente alla

fantasia, alla creatività e all’esperienza del singolo

La soluzione di un modello è sempre la soluzione della rappresentazione costruita del problema reale

La programmazione lineare per problemi decisionali di economia

44

Il problema della fonderiaDefinizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

Una fonderia deve produrre 1000 pezzi del peso ciascuno di 1kg. Il ferro con cui tali pezzi sono fatti dovrà contenere manganese e silicio nelle seguenti quantità:

manganese ≥ 0.45 % 3.25% ≤ silicio ≤ 5.5%

Sono disponibili tre tipi di materiale ferroso con le seguenti caratteristiche:

Inoltre si può acquistare il solo manganese a 10€/kg

TIPO A TIPO B TIPO C% di silicio 4.00 1.00 0.60

% di manganese 0.45 0.50 0.40

Costo (€/kg) 0.025 0.03 0.018

55

ESERCIZIO:Determinare il piano di produzione che minimizza il costo d’acquisto delle materie prime mediante un modello di Programmazione Lineare

Il problema della fonderiaDefinizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

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Il problema della fonderiaDefinizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

Variabili: xFA (≥0): numero di kg di materiale ferroso A da acquistare xFB (≥ 0): numero di kg di materiale ferroso B da acquistare xFC (≥ 0): numero di kg di materiale ferroso C da acquistare xM (≥ 0): numero di kg di manganese da acquistare

La definizione di queste variabili ci consente di rispettare i vincoli di non negatività

77

Vincoli

Il numero totale di kg prodotti deve essere 1000:

xFA + xFB + xFC + xM = 1000

La quantità di silicio presente nel prodotto risultante è:

0.04 xFA + 0.01 xFB + 0.006 xFC

e dovrà essere compresa tra il 3.25% e il 5.5% del totale (1000 kg), quindi

0.04 xFA + 0.01 xFB + 0.006 xFC ≥ 32.50.04 xFA + 0.01 xFB + 0.006 xFC ≤ 55

Il problema della fonderiaDefinizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

88

Il problema della fonderiaDefinizione del problema, analisi della realtà e raccolta dati

La quantità di manganese presente nel prodotto risultante non dovrà essere inferiore al 0.45% del totale, quindi:

0.0045 xFA + 0.005 xFB + 0.004 xFC + xM ≥ 4.5

Dobbiamo determinare il piano di produzione che minimizza il costo di acquisto:

min 0.025 xFA + 0.03 xFB + 0.018 xFC + 10 xM

99

Il problema della fonderiaCostruzione del modello di ottimizzazione

Il problema può essere così formalizzato:

min 0.025 xFA + 0.03 xFB + 0.018 xFC + 10 xM

s.t.xFA + xFB + xFC + xM = 1000

0.04 xFA + 0.01 xFB + 0.006 xFC ≥ 32.50.04 xFA + 0.01 xFB + 0.006 xFC ≤ 55

0.0045 xFA + 0.005 xFB + 0.004 xFC + xM ≥ 4.5

xFA , xFB , xFC ,xM ≥ 0

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Il problema della fonderiaDeterminazione delle soluzioni

Istanza su Lindo:

min 0.025 xfa + 0.03 xfb + 0.018 xfc + 10 xms.t.xfa + xfb + xfc + xm = 10000.04 xfa + 0.01 xfb + 0.006 xfc > 32.50.04 xfa + 0.01 xfb + 0.006 xfc < 550.0045 xfa + 0.005 xfb + 0.004 xfc + xm > 4.5end

11

Il problema della fonderiaAnalisi dei risultati

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 24.56130

VARIABLE VALUE REDUCED COST XFA 779.431274 0.000000 XFB 0.000000 0.001744 XFC 220.457962 0.000000 XM 0.110727 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.022441 3) 0.000000 -0.058494 4) 22.500000 0.000000 5) 0.000000 -10.022441

Soluzione con Lindo:

1212

Dal problema della fonderia a una notazione più generale

La struttura modellistica del problema della fonderia può essere applicata a numerosi problemi decisionali:Si deve definire quante unità acquistare tra un dato insieme di prodotti (ad esempio tre tipologie di materiali ferrosi)Spesso non si può acquistare una quantità di un dato prodotto che sia superiore a un limite predefinitoQuesti prodotti presentano delle proprietà (ad esempio la quantità di silicio e manganese)Il mix di beni acquistati deve garantire dei requisiti rispetto a tali proprietà (ad esempio la quantità minima di silicio e manganese)Occorre minimizzare il costo di acquisto dei prodotti

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Dal problema della fonderia a una notazione più generale

Notazione

j l’indice dei prodotti tra cui poter scegliere

i l’indice delle proprietà

xj la quantità (non negativa) da acquistare del prodotto j

cj il costo unitario di acquisto del prodotto j

uj la quantità massima acquistabile del prodotto j

bi la quantità minima della proprietà i richiesta nel mix di prodotti da acquistare

aij la quantità di proprietà i presente in una unità del prodotto j

1414

Dal problema della fonderia a una notazione più generale

• Il precedente problema può essere così formalizzato:

s.t.

Possibile applicazione: il problema della dieta

1515

Il problema della dieta

Una mensa scolastica deve pianificare gli acquisti degli alimenti per la sua attività

La dieta deve rispettare alcuni requisiti nutrizionali minimi e le porzioni massime di ogni alimento

Noti i costi unitari dei vari alimenti, determinare la composizione di alimenti in modo da minimizzare il costo complessivo d’acquisto degli alimenti

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Il problema della dietaDati del problema:

Alimento Quantità massima (in hg)

Prezzo di vendita (in €/hg)

Pane 4 0.1

Latte 3 0.5

Uova 1 0.12

Carne 2 0.9

Dolce 2 1.3

Valori nutrizionali per hg Pane Latte Uova Carne Dolce

Calorie 30 50 150 180 400

Proteine 5 g 15 g 30 g 90 g 70 g

Calcio 0.02 g 0.15 g 0.05 g 0.08 g 0.01 g

Valori nutrizionali minimi

Calorie 600 cal.

Proteine 50 g

Calcio 0.7 g

ESERCIZIODefinire variabili e vincoli.

1717

Il problema della dieta

min 0.1 x_pane + 0.5 x_latte + 0.12 x_uova + 0.9 x_carne + 1.3 x_dolce30 x_pane + 50 x_latte + 150 x_uova + 180 x_carne + 400 x_dolce ≥ 6005 x_pane + 15 x_latte + 30 x_uova + 90 x_carne + 70 x_dolce ≥ 500.02 x_pane + 0.15 x_latte + 0.05 x_uova + 0.08 x_carne + 0.01 x_dolce ≥ 0.7x_pane ≤ 4x_latte ≤ 3x_uova ≤ 1x_carne ≤ 2x_dolce ≤ 2

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Il problema della dieta

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3.370000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X_PANE 4.000000 0.000000 X_LATTE 3.000000 0.000000 X_UOVA 1.000000 0.000000 X_CARNE 1.500000 0.000000 X_DOLCE 0.000000 1.187500

Soluzione con Lindo:

1919

Un’impresa produce 3 tipi di pasta: Tipo A, Tipo B e Tipo C. Per produrre la pasta utilizza 4 diverse macchine (M1, M2, M3, M4) le cui produzioni orarie sono: M1: 15 pacchi di pasta tipo B e 10 tipo C M2: 20 pacchi di pasta tipo A, 15 tipo B e 25 tipo C M3: 25 pacchi di pasta tipo A e 20 tipo C M4: 20 pacchi di pasta tipo A 10 tipo B

Il mercato giornalmente richiede almeno: 650 pacchi di pasta di tipo A, 500 di tipo B e 500 di tipo C.

I costi di produzione orari sono: M1: 90 euro M2: 150 euro M3: 140 euro M4: 105 euro

Ogni macchina non può superare 15ore di produzione giornaliere. Inoltre, le ore di produzione sono complete (una macchina lavora per 0,1, 2,…,15 ore, non si tiene conto dei minuti).

Determinare la produzione giornaliera di costo minimo.

Pasta

2020

Variabili: M1: numero di ore giornaliere di impiego della macchina 1 M2: numero di ore giornaliere di impiego della macchina 2 M3: numero di ore giornaliere di impiego della macchina 3 M4: numero di ore giornaliere di impiego della macchina 4

Vincoli: Il numero massimo delle ore nelle quali può lavorare ogni macchina è 15

M1 ≤ 15M2 ≤ 15M3 ≤ 15M4 ≤ 15

La quantità minima giornaliera richiesta per tipologia di pasta:20 M2 + 25 M3 + 20 M4 ≥ 65015 M1 + 15 M2 + 10 M4 ≥ 50010 M1 + 25 M2 + 20 M3 ≥ 500

Pasta

21

Su Lindo :min 90 M1 + 150 M2 + 140 M3 + 105 M4s.t.M1) M1 < 15M2) M2 < 15M3) M3 < 15M4) M4 < 15PACCHIA)20 M2 + 25 M3 + 20M4 > 650PACCHIB)15 M1+ 15 M2 + 10M4 > 500PACCHIC)10 M1+ 25 M2 + 20M3 > 500endgin 4

Pasta

Nome seguito da “)”

consente di assegnare un nome al vincolo facilitando la lettura della soluzione

22

Soluzione su Lindo: OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 4915.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST

M1 9.000000 90.000000 M2 15.000000 150.000000 M3 2.000000 140.000000 M4 15.000000 105.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES M1) 6.000000 0.000000 M2) 0.000000 0.000000 M3) 13.000000 0.000000 M4) 0.000000 0.000000

PACCHIA) 0.000000 0.000000 PACCHIB) 10.000000 0.000000 PACCHIC) 5.000000 0.000000

Pasta

2323

Il direttore amministrativo dell’ospedale Santa Cara deve stabilire i turni ospedalieri delle ostetriche, in modo da garantire un minimo numero di ostetriche presenti in ogni turno (indicato nella tabella). Il direttore vuole utilizzare il minor numero totale di ostetriche, tenendo conto che le ostetriche che si recano in reparto per uno dei primi cinque turni sono obbligate a lavorare per 8 ore consecutive (due turni consecutivi), mentre quelle impiegate nell’ultimo turno (turno 6) lavorano solo 4 ore.

TURNI 1 2 3 4 5 6

ORARIO 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2 2-6

N.OSTETRICHE 70 80 50 60 40 30

Turni Ospedalieri

2424

Variabili x1: numero di ostetriche nel turno 1 x2: numero di ostetriche nel turno 2 x3: numero di ostetriche nel turno 3 x4: numero di ostetriche nel turno 4 x5: numero di ostetriche nel turno 5 x6: numero di ostetriche nel turno 6

Vincoli: x1 ≥ 70 x1 + x2 ≥ 80 x2 + x3 ≥ 50 x3 + x4 ≥ 60 x4 + x5 ≥ 40 x5 + x6 ≥ 30

Turni Ospedalieri

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Su Lindo:min 8 x1 + 8 x2 + 8 x3 + 8 x4 + 8 x5 + 4 x6s.t.1T) x1 > 702T) x1+x2 > 803T) x2+x3 > 504T) x3+x4 > 605T) x4+x5 > 406T) x5+x6 > 30end

Turni Ospedalieri

26

Soluzione: OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1320.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 70.000000 0.000000 X2 10.000000 0.000000 X3 40.000000 0.000000 X4 20.000000 0.000000 X5 20.000000 0.000000 X6 10.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1T) 0.000000 -4.000000 2T) 0.000000 -4.000000 3T) 0.000000 -4.000000 4T) 0.000000 -4.000000 5T) 0.000000 -4.000000 6T) 0.000000 -4.000000

Turni Ospedalieri