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Introducción Conceptos introductorios Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas Análisis estático comparativo de modelos con funciones generales

Economía Matemática

Martín Brun - Diego Fernández - Mijail Yapor

Facultad de Ciencias Económicas y de Administración - UdelaR

Agosto - Diciembre, 2016

Mijail Yapor Economía Matemática


Índice

1 Introducción

2 Conceptos introductoriosTasa de cambio y derivadaDiferenciabilidad de una funciónDiferenciación parcialDeterminantes Jacobianos

3 Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso defunciones explícitas

4 Análisis estático comparativo de modelos con funciones generalesComentarios inicialesDiferencialesDerivadas totalesFunciones ImplícitasRegla de CramerEjercicios



Naturaleza del análisis estático comparativo

La estática comparativa realiza una comparación de distintosestados de equilibrio relacionados con diferentes conjuntos deparámetros y variables exógenas.

Este tipo de análisis aún no toma en cuenta el proceso deajuste de las variables:

solamente se compara el equilibrio inicial (pre-cambio) con elestado de equilibrio �nal (post-cambio).también se excluye la posibilidad de que el nuevo equilibrio seainestable.

Naturaleza de análisis: cualitativo o cuantitativo

Análisis cualitativo: explicita dirección del cambio.Análisis cuantitativo: analiza magnitud del cambio.



Objetivos del análisis

El problema consiste en hallar una tasa de cambio:

la tasa de cambio del valor de equilibrio de una variableendógena respecto al cambio en una parámetro particular ovariable exógena.

El concepto matemático de derivada adquiere una importanciafundamental pues, a través del cálculo diferencial, se relacionadirectamente con el concepto tasa de cambio.



Tasa de cambio y derivada

Caso general:Consideramos la tasa de cambio de una variable y comorespuesta a un cambio en otra variable x , donde las dosvariables se relacionan mediante la siguiente función:

y = f (x) (1)

Cociente de diferencias: Cuando x varía de un valor inicial x0 aun nuevo valor x0 + ∆x , el valor de la función cambia de f (x0)a f (x0 + ∆x):

∆y

∆x=

f (x0 + ∆x)

∆x(2)

Este cociente de diferencias mide el cambio en y por unidad decambio en x .



Tasa de cambio y derivada (cont.)

Puede interesarnos la tasa de cambio de y cuando ∆x es muypequeña. En tal caso, es posible obtener una aproximación de∆y/∆x eliminando los términos del cociente de diferencias en losque interviene la expresión ∆x

l��m∆x→0

∆y

∆x= l��m

∆x→0

f (x0 + ∆x)

∆x=

dy

dx= f ′(x) (3)



Diferenciabilidad de una función

Tomando el límite de la función y = f (x) se puede examinar sila función es continua en x = x0.

Las condiciones para la continuidad de una función son:1 x = x0 debe estar en el dominio de la función f .2 y debe tener un límite cuando x → x0.3 dicho límite debe ser igual a f (x0).

Cuando estas tres condiciones se satisfacen se puede escribir:

l��mx→x0

f (x) = f (x0) (4)

Por lo tanto, si se aplica el concepto de límite al cociente dediferencias ∆y

∆x cuando ∆x → 0, tratamos con la pregunda desi y = f (x) es diferenciable en x = x0, es decir, si la derivadadydx existe en x = x0.



Diferenciación parcial: derivadas parciales

Consideremos una función:

f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) (5)

Las variables xi , con i = 1, . . . , n, son todas independientesentre sí, de modo que cada una puede variar por sí misma sinafectar a las otras:

∆y

∆x1=

f (x1 + ∆x1, x2, . . . , xn)

∆x1(6)

De�nimos la derivada parcial de y con respecto a x1 como:

fi =∂y

∂xi= l��m

∆xi→0

∆y

∆xi(7)

Se de�ne al vector gradiente como:

grad .f (x1, x2, . . . , xn) = ∇f (x1, x2, . . . , xn) = (f1, f2, . . . , fn)(8)



Determinantes Jacobianos

Las derivadas parciales también proporcionan un medio paraprobar si existe dependencia funcional (lineal o no lineal) entreun conjunto de n funciones en n variables. Si se tienen nfunciones diferenciables en n variables, no necesariamentelineales:

y1 = f 1(x1, x2, . . . , xn)

y2 = f 2(x1, x2, . . . , xn)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·yn = f n(x1, x2, . . . , xn)

(9)



Determinantes Jacobianos (cont.)

Si f ij = ∂yi/xj , se puede escribir el determinante jacobianocomo:

|J| =∂(y1, y2, . . . , yn)

∂(x1, x2, . . . , xn)

=

∣∣∣∣∣∣∣∂y1/∂x1 · · · ∂y1/∂xn

.... . .

...∂yn/∂x1 · · · ∂yn/∂xn

∣∣∣∣∣∣∣ =

(10)

=

∣∣∣∣∣∣∣f 11 · · · f 1n...

. . ....

f n1 · · · f nn

∣∣∣∣∣∣∣Entonces, el determinante jacobiano |J| será igual a cero paratodos los valores de (x1, x2, . . . , xn), si y solo si las n funciones(f 1, f 2, . . . , f n) son dependientes desde el punto de vistafuncional.



Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso defunciones explícitas

Ejemplo 1.- Modelo simple de mercado de un solo bien:{Q(P) = a− bP (a, b > 0)

Q(P) = −c + dP (c , d > 0)(11)

- Soluciones de forma reducida: las dos variables endógenas hansido reducidas a expresiones explícitas de los cuatrosparámetros:

Q∗ = ad−bcb+d P∗ = a+c

b+d (12)

- Derivadas estático-comparativas:

∂P∗

∂a=∂P∗

∂c=

1

b + d> 0

∂P∗

∂b=∂P∗

∂d=

0(b + d)− 1(a + c)

(b + d)2= − (a + c)

(b + d)2< 0



Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso defunciones explícitas (cont.)

Ejemplo 2.- Modelo de ingreso nacional:Y (C ) = C + I0 + G0

C (Y ,T ) = α + β(Y − T ) (α > 0, 0 < β < 1)

T (Y ) = γ + δY (γ > 0, 0 < δ < 1)

(13)

- Sustituyendo y despejando para Y, el ingreso de equilibrio es:

Y ∗ =α− βγ + I0 + G0

1− β + βδ(14)

- Derivadas estático-comparativas:

∂Y ∗

∂G0

=1

1− β + βδ> 0

∂Y ∗

∂δ=−β(α− βγ + I0 + G0)

(1− β + βδ)2=

−βY ∗

1− β + βδ< 0



Análisis estático comparativo de modelos con funciones generales

En los casos en que a partir del estudio de las derivadasparciales, la solución de equilibrio de los modelos podemosexpresarlas en forma reducida, la diferenciación parcial de lasolución producirá de modo directo la información estáticacomparativa deseada.

Dado que la de�nición de derivada parcial requiere la ausenciade cualquier relación funcional entre las variablesindependientes, los parámetros y/o variables exógenas quesurgen de la solución de la forma reducida deben sermutuamente independientes.

Por otro lado, a partir de la inclusión de funciones generales enun modelo no es posible obtener una solución explicita enforma reducida. En estos casos, se deben hallar las derivadasestáticas comparativas directamente de las ecuacionesgenerales del modelo.



Ejemplo de función general

Modelo de ingreso nacional con dos variables endógenas (Y,C):{Y = C + I0 + G0

C = C (Y ,T0)(15)

El cual se puede reducir a una única ecuación (condición de

equilibrio):Y = C (Y ,T0) + I0 + G0 (16)

Dada la forma general de la función Y, no es posible obtenerninguna solución explícita. Por lo tanto, se deben hallar lasderivadas estáticas comparativas directamente de estaecuación.



Ejemplo de función general (cont.)

Supongamos que existe una solución de equilibrio Y ∗, entoncesbajo condiciones generales, se puede tomar a Y ∗ como unafunción diferenciable de las variables exógenas T0, I0,G0.

Y ∗ = Y ∗(I0,G0,T0) (17)

En alguna vecindad del equilibrio Y ∗, se cumplirá la siguienteidentidad (identidad de equilibrio):

Y ∗ = C (Y ∗,T0) + I0 + G0 (18)

Los dos argumentos de la función de consumo C no sonindependientes. La diferenciación parcial no resulta adecuadapara realizar ejercicios de estática comparativa. Se deberecurrir al concepto de diferencial total.



Diferenciales: diferenciales y derivadas

Por de�nición, la derivada dy/dx = f ′(x) es l��m∆x→0∆y∆x . Por

lo tanto se puede escribir:

∆y

∆x− dy

dx= δ donde δ → 0 cuando ∆x → 0 (19)

Despejando ∆y :

∆y =dy

dx∆x + δ∆x ó ∆y = f ′(x)∆x + δ∆x (20)

Esta última ecuación describe el cambio en y (i.e. ∆y) comoresultado de un cambio especí�co -no necesariamentepequeño- en x (i.e. ∆x), a partir de algún valor inicial de x enel dominio de la función y = f (x).



Diferenciales: diferenciales y derivadas (cont.)

La ecuación anterior también indica que, ignorando el términoδ∆x , se puede usar el término f ′(x)∆x como unaaproximación al verdadero valor ∆y , donde la aproximación escada vez mejor a medida que ∆y se hace cada vez máspeque«o. Entonces:

dy = f ′(x)dx (21)

La derivada f ′(x) puede interpretarse como el factor deproporcionalidad entre cambios �nitos dy y dx :

dado un cambio especí�co dx , se multiplica por el factor f ′(x)para obtener dy como una aproximación a ∆ycuando más peque«o sea ∆x , mejor es la aproximación.a las cantidades dy y dx se las denomina diferenciales.

Observar que:dy es función de x y dx .si dx = 0, entonces dy = 0 .el diferencial dy sólo se puede expresar en términos de algúnotro diferencial (por ejemplo dx)



Diferenciales totales

Consideremos el caso más general de una función de nvariables independientes, mediante una función de utilidad enla forma general:

U = U(x1, x2, . . . , xn) (22)

El diferencial total se de�ne como:

dU =∂U

∂x1dx1 +

∂U

∂x2dx2 + . . .+

∂U

∂xndxn = (23)

U1dx1 + U2dx2 + . . .+ Undxn =n∑

i=1

Uidxi

Cada término de la derecha indica el cambio aproximado en U,que resulta de un cambio en una de las variablesindependientes.



Diferenciales totales: Ejemplo

Desde el punto de vista económico, cada término Uidxi es lautilidad marginal del bien i multiplicada por el incremento enel consumo del mismo. La suma de todos los términos, dU,representa el cambio aproximado total de la utilidadproveniente de todas las fuentes posibles de cambio.

Medidas de elasticidad parcial para una función de utilidad:

U = U(x1, x2, . . . , xn) (24)

En este caso cada medida de elasticidad se debe de�nir sólo entérminos del cambio en una de las variables independientes,por lo tanto existirán n medidas de elasticidad para la funciónde utilidad.Estas se denominan elasticidades parciales:

εUxi=∂U

∂xi

xiU

i = 1, 2, . . . , n (25)



Diferenciales totales: Reglas de diferenciales

- Regla I: dk = 0 con k ∈ R- Regla II: d(cun) = cnun−1du

- Regla III: d(u ± v) = du ± dv

- Regla IV: d(uv) = vdu + udv

- Regla V: d(u

v) =

1

v2(vdu − udv)

- Regla VI: d(u ± v ± w) = du ± dv ± dw

- Regla VII: d(uvw) = vwdu + uwdv + +uvdw



Derivadas totales

Retomando el ejemplo para una función general en el caso delmodelo de ingreso nacional, donde teníamos que:

Y ∗ = C (Y ∗,T0) + I0 + G0 (26)

Nos preguntamos: ¾cómo podemos hallar la tasa de

cambio de la función C (Y ∗,T0) respecto a T0 cuando Y ∗

y T0 están relacionadas?

- la respuesta se basa en el concepto de derivada total

- a diferencia de una derivada parcial, una derivada total norequiere que el argumento Y ∗ permanezca constante cuandoT0 varía.



Derivadas totales: Efectos directos e indirectos

Consideremos la siguiente situación:

y = f (x ,w) x = g(w) (27)Entonces:

y = f (g(w),w) (28)

Las tres variables y , x , w se relacionan:

- indirectamente: vía las funciones g y f- directamente: vía f

El efecto directo se puede representar simplemente por laderivada parcial fw

El efecto indirecto es: fxdxdw = ∂y

∂xdxdw

La derivada total es la suma de ambos efectos:

dy

dw= fx

dx

dw+ fw =

∂y

∂x

dx

dw+∂y

∂w(29)



Derivadas totales: Efectos directos e indirectos (cont.)

Alternativamente, la derivada total se puede obtenerdiferenciando totalmente la función y = f (x ,w) y luego dividirpor dw :

dy = fxdx + fwdw ⇒dy

dw= fx

dx

dw+ fw (30)

Consideremos ahora la siguiente función:

y = f (x1, x2,w) donde

{x1 = g(w)

x2 = h(w)(31)

La variable w puede afecatar a y por tres canales:1 Indirectamente vía la función g y luego f .2 Indirectamente vía la función h y luego f .3 Directamente vía la función f .

dy

dw=

∂y

∂x1

dx1dw

+∂y

∂x2

dx2dw

+∂y

∂w= f1

dx1dw

+ f2dx2dw

+ fw (32)



Derivadas totales: Efectos directos e indirectos (cont.)

Consideremos ahora una función del tipo:

y = f (x1, x2, u, v) donde

{x1 = g(u, v)

x2 = h(u, v)(33)

La derivada total respecto de u es:

dy

du=

∂y

∂x1

dx1du

+∂y

∂x2

dx2du

+∂y

∂u

du

du+∂y

∂v

dv

du(34)

Y como u y v son independientes: dvdu = 0. Por lo que:

dy

du=

∂y

∂x1

dx1du

+∂y

∂x2

dx2du

+∂y

∂u= f1

dx1du

+ f2dx2du

+∂y

∂u(35)



Funciones Implícitas

Una función dada de la forma y = f (x) se denomina funciónexplícita, porque la variable y se expresa explícitamente comouna función de x .

Sin embargo, cuando tenemos una función F (y , x) = 0, estafunción está de�nida en forma implícita:

- Cuando sólo tenemos una ecuación en la cual la funcióny = f (x) está implicada, y cuya forma especi�ca no siempre es

posible conocer, se denomina función implícita.

- Mientras que una función explícita siempre se puedetransformar en una función implícita, la transformación inversano siempre es posible.



Teorema de la Función Implícita

Teorema

Dada F (y , x1, x2, . . . , xm) = 0, si:

a) la función F tiene derivadas parciales Fy ,Fx1 , . . . ,Fxmcontinuas

b) en un punto (y0, x10, x20, . . . , xm0) que satisface

F (y0, x10, x20, . . . , xm0) = 0, la derivada Fy 6= 0

Entonces, existe una vecindad N, m-dimensional alrededor de

(x10, x20, . . . , xm0), en la cual y es una función de�nida

implícitamente de las variables x1, x2, . . . , xm en la forma

y = f (x1, x2, . . . , xm)

Además, la función implícita f es continua y tiene derivadas

parciales continuas.



Derivadas de Funciones Implícitas

Si de la ecuación F (y , x1, x2, . . . , xm) = 0 es posible despejary , podemos escribir la función y = f (x1, x2, . . . , xm) en formaexplícita y hallar sus derivadas.

Pero ¾qué pasa si la ecuación F (y , x1, x2, . . . , xm) = 0 no sepuede resolver para y en forma explícita?:

- Si sabemos que existe una función en los términos de lafunción implícita, aún es posible obtener las derivadas deseadassin tener que resolver primero para y .

- Para lograrlo se utiliza la regla de la función implícita, quepermite obtener las derivadas de toda función implícitade�nida por la ecuación dada para F .



Regla de la función implícita

Para el desarrollo de esta regla se requiere de las siguientescondiciones:

1 Si dos expresiones son idénticamente iguales, sus diferencialestotales deben ser iguales.

2 La diferenciación de una expresión que tiene que ver con lasvariables y , x1, x2, . . . , xm, producirá una expresión en la queintervienen los diferenciales dy , dx1, dx2, . . . , dxm

3 El diferencial dy se puede sustituir por cierta expresiónconocida, por lo cual no importa el hecho de que no se puedaexpresar la variable y de forma explícita.



Regla de la función implícita (cont.)

Al aplicar los anteriores hechos a la ecuaciónF (y , x1, x2, . . . , xm) = 0, podemos escribir:

dF = d0 = 0⇒ Fydy+F1dx1+F2dx2+. . .+Fmdxm = 0 (36)

Puesto que la función implícita tiene diferencial totaldy = f1dx1 + f2dx2 + . . .+ fmdxm, sustituyendo en la ecuaciónanterior:

Fy (f1dx1+f2dx2+. . .+fmdxm)+F1dx1+F2dx2+. . .+Fmdxm = 0(37)

Factorizando para cada diferencial se tiene que:

(Fy f1 + F1)dx1 + (Fy f2 + F2)dx2 + . . .+ (Fy fm + Fm)dxm = 0(38)



Regla de la función implícita (cont.)

Para que se cumpla la anterior expresión, cada expresión entreparéntesis se debe anular:

Fy fi + Fi = 0 ∀i = 1, . . . ,m (39)

Despejando para fi obtenemos la regla de la función implícitapara hallar la derivada parcial fi de la función implícitay = f (x1, x2, . . . , xm):

fi =∂y

∂xi= − Fi

Fy∀i = 1, . . . ,m (40)



Funciones Implícitas: extensión al caso de ecuacionessimultáneas

Tratamos una versión más general del teorema de la funciónimplícita, en donde un conjunto de ecuaciones simultáneas:

F 1(y1, . . . , yn; x1, . . . , xm) = 0

F 2(y1, . . . , yn; x1, . . . , xm) = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

F n(y1, . . . , yn; x1, . . . , xm) = 0

(41)

De�ne el conjunto de funciones implícitas:y1 = f 1(x1, . . . , xm)

y2 = f 2(x1, . . . , xm)

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn = f n(x1, . . . , xm)

(42)



Teorema de la Función Implícita: el caso de ecuacionessimultáneas

Teorema

Dado el sistema de ecuaciones de�nido en (41), si:

1 Todas las funciones F 1,F 2, . . . ,F n tienen derivadas parciales

continuas respecto a todas las variables,

2 en un punto (y10, . . . , yn0; x10, . . . , xm0) que satisface el

sistema de ecuaciones, se cumple:

|J| =

∣∣∣∣∣∂(F 1,F 2, . . . ,F n)

∂(y1, . . . , yn)

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∂F 1

∂y1· · · ∂F 1

∂yn...

. . ....

∂F n

∂y1· · · ∂F n

∂yn

∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0 (43)



Teorema (cont.)

Entonces existe una vecindad m-dimensional de x10, . . . , xm0, en la

cual las variables y1, . . . , yn son funciones de las variables

x1, . . . , xm. Estas funciones implícitas satisfacen:y10 = f 1(x10, . . . , xm0)

y20 = f 2(x10, . . . , xm0)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn0 = f n(x10, . . . , xm0)

(44)

Además, las funciones implícitas f 1, . . . , f n son continuas y tienen

derivadas parciales continuas.



Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas

Se pueden hallar las derivadas parciales de las funcionesimplícitas directamente de las n ecuaciones F i = 0, sin tenerque despejar la y variables. Diferenciando totalmente ypasando a la derecha los términos dx :

F 1y1dy1 + . . .+ F 1

yndyn = −(F 1x1dx1 + . . .+ F 1

xmdxm)

F 2y1dy1 + . . .+ F 2

yndyn = −(F 2x1dx1 + . . .+ F 2

xmdxm)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F ny1dy1 + . . .+ F n

yndyn = −(F nx1dx1 + . . .+ F n

xmdxm)

(45)Además, se pueden escribir los diferenciales de las yi como:

dy1 = ∂y1∂x1

dx1 + . . .+ ∂y1∂xm

xm)

dy2 = ∂y2∂x1

dx1 + . . .+ ∂y2∂xm

xm)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

dyn = ∂yn∂x1

dx1 + . . .+ ∂yn∂xm

xm)

(46)



Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas (cont.)

Sustituyendo los últimos diferenciales en los primeros, peroanalizando el caso en que sólo cambia x1, manteniendoconstantes las demás variables x2, . . . , xm. Es decir,considerando que dx1 6= 0 y dx2 = . . . = dxm = 0, tenemos elsiguiente sistema de ecuaciones:

F 1y1

∂y1∂x1

+ . . .+ F 1yn

∂yn∂x1

= −F 1x1

F 2y1

∂y1∂x1

+ . . .+ F 2yn

∂yn∂x1

= −F 2x1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F ny1

∂y1∂x1

+ . . .+ F nyn

∂yn∂x1

= −F nx1

(47)

Las derivadas parciales ∂yi/∂x1 son las variables a determinar.Mientras que las derivadas parciales F j

yi tomarán un valorespecí�co cuando se las evalúa en el punto(y10, . . . , yn0; x10, . . . , xm0). Por tanto, son valores dederivadas y se pueden tratar como constantes.



Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas (cont.)

El sistema puede considerarse como uno lineal, el cual hasurgido en el proceso de análisis de un problema nonecesariamente lineal (no existen restricciones de linealidad enel sistema original). En términos matriciales:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F 1y1 F 1

y2 . . . F 1yn

F 2y1 F 2

y2 . . . F 2yn

......

. . ....

F ny1 F n

y2 . . . F nyn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂y1∂x1∂y2∂x1...

∂yn∂x1

=

−F 1

x1−F 2

x1...−F n

x1

(48)

El determinante de la matriz de coe�cientes es el determinantejacobiano, |J|, el cual es 6= 0 en las condiciones del teorema dela función implícita. Y dado que el sistema no debe serhomogéneo, es posible a�rmar que existe una solución trivialno única.



Regla de Cramer

Es un teorema en álgebra lineal que brinda una solución a unsistema lineal de ecuaciones en términos de sus determinantes.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

Ax = b (49)

Donde:

- A es la matriz de coe�cientes del sistema,- (x1, . . . , xn) es un vector columna de incógnitas,- b es un vector columna de términos independientes.

La solución al sistema es:

xj =det (Aj)

det (A)(50)

En donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésimacolumna de A por el vector columna b de términosindependientes.



Ejercicio 7 - Práctica 2: Modelo de Ingreso Nacional IS-LM

Mercado de Bienes:

Y = C + I + GC = C (Y − T )G = G0

I = I (r)T = T (Y )

(51)

Donde 0 < C ′(Y d) < 1, I ′(r) < 0, 0 < T ′(Y ) < 1 y G = G0

exógena.



Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.)

Curva IS:

Y = C (Y − T (Y )) + I (r) + G0 (52)

Esta ecuación de�ne implícitamente la curva IS.

Las variables endógenas son Y y r , mientras que G0 esvariable exógena.

Pendiente de la curva IS:

Y = C (Y−T (Y ))+I (r)+G0 ⇒ Y−C (Y−T (Y ))−I (r)−G0 = 0⇒

⇒ dY − C ′(Y − T (Y ))∂(Y − T (Y ))

∂YdY − I ′(r)dr = 0

dY − C ′(Y − T (Y ))[1− T ′(Y )

]dY − I ′(r)dr = 0

dr

dY=

1− C ′(Y − T (Y )) [1− T ′(Y )]

I ′(r)< 0 (53)




Mercado de Dinero:

Md = L(Y , r)Ms = Ms

0

Ms = Md(54)

Donde LY > 0 y Lr < 0, Ms está dada.

Identidad de equilibrio en el mercado de dinero - Curva

LM:

Md = L(Y , r) = Ms0 = Ms (55)

Pendiente de la curva LM:

dL(Y , r) = LY dY + Lrdr = dMs0 = 0⇒ dr

dY= −LY

Lr> 0

(56)




El equilibrio simultáneo en ambos mercados se puede describirmediante el siguiente sistema de ecuaciones:{

Y = C (Y − T (Y )) + I (r) + G0

L(Y , r) = Ms0

⇒{F 1(Y , r ,G0,M0) = Y − C (Y − T (Y ))− I (r)− G0 = 0

F 2(Y , r ,G0,M0) = L(Y , r)−Ms0 = 0

(57)

Donde Y y r son las variables endógenas y G0, Ms0 las

variables exógenas.

Diferenciando totalmente el sistema (respecto tanto de lasvariables endógenas como exógenas):{dY − C ′(Y − T (Y )) [1− T ′(Y )] dY − I ′(r)dr = dG0

LY dY + Lrdr = dMs0

(58)




Matricialmente:

[1− C ′(Y − T (Y )) [1− T ′(Y )] −I ′(r)

LY Lr

] [dYdr

]=

[dG0

dMs0

](59)

cuyo determinante jacobiano es:

|J| =

∣∣∣∣1− C ′(Y − T (Y )) [1− T ′(Y )] −I ′(r)LY Lr

∣∣∣∣ = . . .

. . . =

[1−C ′(Y−T (Y ))

[1− T ′(Y )

] ]Lr +LY I

′(r) < 0 (60)




Dado que |J| 6= 0, este sistema satisface las condiciones delteorema de la función implícita y es posible escribir lasfunciones implícitas:{

Y ∗ = Y ∗(G0,Ms0)

r∗ = r∗(G0,Ms0)

(61)

Aunque el sistema no se puede resolver de forma explícita paraY ∗, r∗, se pueden llevar a cabo ejercicios de estáticacomparativa para determinar los efectos de un cambio de unade las variables exógenas G0,M

s0 en los valores de equilibrio.




Consideremos ahora las derivadas parciales ∂Y ∗/∂G0,∂r∗/∂G0

que se deducen al aplicar el teorema de la función implícita alsistema de ecuaciones diferenciales de�nido en (59). Si primeroestablecemos, por ejemplo, que dMs

0 = 0 y dividimos amboslados por dG0:

[1− C ′(Y − T (Y )) [1− T ′(Y )] −I ′(r)

LY Lr

] [dY ∗

dG0

dr∗

dG0

]=

[10

](62)




Por la regla de Cramer se llega a:

dY ∗

dG0=

∣∣∣∣1 −I ′(r)0 Lr

∣∣∣∣|J|

=Lr|J|

> 0 (63)

dr∗

dG0=

∣∣∣∣1− C ′(·) [1− T ′(Y )] −I ′(r)LY 0

∣∣∣∣|J|

=−LY|J|

> 0 (64)



Ejercicio 8 - Práctica 2: Modelo IS-LM con economía abierta

A las dos identidades de equilibrio anteriores para el mercadode bienes y de dinero, se incorpora una ecuación que re�eja elvínculo de la economía doméstica con el resto del mundo.

Exportaciones netas: sean X las exportaciones, M lasimportaciones y E el tipo de cambio nominal.

X = X (E ) X ′(E ) > 0M = M(Y ,E ) MY > 0,ME < 0

(65)

Flujos de capital: Sea K el �ujo neto de capitales hacia laeconomía doméstica, función de la tasa de interés nacional, r ,y la tasa de interés internacional, rw .

K = K (r , rw ) Kw > 0,Krw < 0 (66)



Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.)

Balanza de Pagos: suma de la cuenta corriente y la cuentacapital:

BP = [X (E )−M(Y ,E )] + K (r , rw ) (67)

Si suponemos un régimen de tipo de cambio �exible, el mismose ajusta para mantener la BP en equilibrio (BP = 0). En estemarco, la oferta de moneda extranjera es igual a su demandaen la economía doméstica.Equilibrio en economía abierta: tres condiciones

1) demanda agregada igual a oferta agregada:

Y = C (Y − T (Y )) + I (r) + G0 + X (E )−M(Y ,E )

2) demanda de dinero igual a oferta de dinero: L(Y , r) = Ms0

3) balanza de pagos igual a 0:BP = X (E )−M(Y ,E ) + K (r , rw ) = 0

las variables endógenas son Y , r ,E y las variables exógenasG0,M

s0 , rw




Expresando las tres ecuaciones anteriores como identidades deequilibrio: F 1 = 0, F 2 = 0, F 3 = 0:

Y − C (Y − T (Y ))− I (r) + G0 − X (E ) + M(Y ,E ) = 0

L(Y , r)−Ms0 = 0

X (E )−M(Y ,E ) + K (r , rw ) = 0

Diferenciando totalmente y escribiendo el resultado en formamatricial:

1− CY .(1− TY ) + MY −Ir ME − XE

LY Lr 0−MY Kr XE −ME

dYdrdE

=

dG0

dMs0

−Krwdrw




Analizando el jacobiano:

|J| =

∣∣∣∣∣∣1− CY .(1− TY ) + MY −Ir ME − XE


∣∣∣∣∣∣|J| = (1− CY .(1− TY ) + MY )Lr (XE −ME ) + (ME − XE )LYKr + . . .. . .+ MY Lr (ME − XE ) + (XE −ME )LY Ir

|J| = (ME − XE )

[LY (Kr − Ir ) + Lr (CY .(1− TY )− 1)

]< 0

Y por tanto, por el teorema de la función implícita, se puedeescribir:

Y ∗ = Y ∗(G0,Ms0 , rw )

r∗ = r∗(G0,Ms0 , rw )

E ∗ = E ∗(G0,Ms0 , rw )




Consideremos el impacto de un cambio en la tasa de interésinternacional (rw ) sobre los valores de equilibrio para Y , r ,E .Se toman por tanto dG0 = Ms

0 = 0 y se dividen ambos ladosdel sistema de ecuaciones por drw

1− CY .(1− TY ) + MY −Ir ME − XE


dY ∗

drwdr∗

drwdE∗

drw

=

00−Krw




Aplicando la regla de Cramer se tiene que:

dY ∗

drw=

∣∣∣∣∣∣0 −Ir ME − XE

0 Lr 0−Krw Kr XE −ME

∣∣∣∣∣∣|J|

=−(−KrLr (ME − XE ))

|J|> 0

dr∗

drw=

∣∣∣∣∣∣1− CY .(1− TY ) + MY 0 ME − XE

LY 0 0−MY −Krw XE −ME

∣∣∣∣∣∣|J|

=−KrwLY (ME − XE )

|J|> 0

dE∗

drw=|J3||J|

=−Krw

{[1− CY .(1− TY ) + MY ]Lr + LY Ir

}|J|

> 0


economía matemática -...

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