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投资组合理论与组合管理

第一篇

投资理论是以投资行为与资金配置为研究对象，解释资本市场运行的现象与内在规律，探

求实现投资决策的科学性和资本市场均衡的一门独立学科。1952年，马科维茨（Harry M.

Markowitz）发表了堪称现代微观金融理论史上里程碑式的论文—《投资组合选择》。该论文

阐述了衡量收益和风险水平的定量方法，建立了均值－方差模型的基本框架，奠定了求解投资

决策过程中资金在投资对象中的最优分配比例问题的理论基础；在此基础上，夏普（Sharpe）

等人又发展出资产定价理论。这些理论成为现代投资管理的指导思想。

一个投资组合构建之后，在实际投资管理中我们即面临两个重要的相关问题：一是对投资

管理中投资组合构建和调整的合理性要给出判断的原则和指标，二是对积极组合管理的能力要

给出衡量。本篇我们分3章对投资组合理论和组合管理的相关内容进行研究：第1章回顾投资组

合理论的核心内容及其应用，第2章对资本资产定价模型及其应用进行介绍，第3章对投资组合

构建的合理性和积极组合管理能力给出评价。

投资组合理论是微观金融学的理论支柱之一，在投资学理论体系中处于核心地位，是不断

生发出理论创新的源泉和基础，也是实际投资管理要遵循的重要依据和方法。

1.1 投资组合理论

投资学的一个基本指导理念即是风险与收益的最优匹配。对一个理性的投资者而言，所谓

风险与收益的最优匹配，即是在一定风险下追求更高的收益；或是在一定收益下追求更低的风

险。对风险与收益的量化以及对投资组合效用的分析，是构建投资组合时首先要解决的一个基

础问题。此外，投资者在构建一个投资组合时，其所面临的主要问题是：第一，构建组合的原

则是什么？第二，选择哪些资产或证券构成这一组合？第三，总投资额如何在这些资产或证券

中分配？投资组合理论即要解决或部分解决这些问题。

1.1.1 投资组合的收益和风险衡量

构建一个投资组合的基础性问题，就是要对该组合的收益和风险做到心中有“数”，即对

组合的收益和风险进行测量。

对组合资产的投资决策，不仅要考虑单个资产的收益和风险，而且要考虑投资组合作为一

个整体的收益和风险。

投资组合的预期收益E(rp)是投资组合中所有资产预期收益E(ri)的加权平均，其中的权数x

为各资产投资占总投资的比例。投资组合预期收益的计算公式为：

（1-1）

其中，i=1, 2, ⋯, n；x1+x2+⋯+xn=1。E(ri)的计算公式为：

（1-2）E r h ri i ii

n

( ) ==∑

1

E r x E rp i ii

n

( ) ( )==∑

1

投资组合理论与应用

第 1 章

其中，ri为第i个资产的预期收益；hi为第i个资产的预期收益可能发生的概率。

正如对投资组合收益的计算一样，投资组合的方差也不是组合中各资产方差的简单加权平

均，而是投资组合的收益与其预期收益偏离数的平方，即

σp2=E[rp-E(rp)]

2 （1-3）

其中，rp为投资组合的收益率。

如果是由n个资产构成的组合，计算该组合方差的一般公式为：

（其中i≠j）（1-4）

其中，cov(xi, xj)为资产 i与资产 j之间的协方差。所谓协方差，即两个随机变量之间的相互

依赖关系。设x1、x2为两个随机变量，其均值分别为和，则两变量之间的协方差被定

义为：

（1-5）

经过简单推导，我们可以得到式（1-5）的一个替代公式：

（1-6）

通常我们以σ12表示两个资产之间的协方差。

协方差所告诉我们的信息是：如果σ12＝0，则两资产为不相关的随机变量；如果σ12>0，则

两随机变量正相关，此时如果一个随机变量高于均值，则另一个随机变量也高于均值；如果

σ12<0，则两个随机变量负相关。

如果由两个资产构成一个投资组合，则该组合的方差可表述为：

（1-7）

其中，ρ12为资产1与2的相关系数。相关系数的通用计算公式为：

（1-8）

进一步而言，投资组合所面对的风险可分为系统性风险和非系统性风险两类。由于系统性

风险是通过宏观经济因素变化而导致的，因此它无法通过投资组合予以消除。对于某证券所面

临的系统性风险，可以用该证券的收益率与市场收益率之间的β系数来进行衡量。某证券i的β

系数βi等于该证券的收益率和市场收益率的协方差σim，除以市场收益率的方差σm2，即

βi=σim/σm2 （1-9）

对一个证券组合的β系数βp，它等于该组合中各证券的β系数的加权平均，权数为各种证券

的市值占该组合总市值的比重Xi，即：

（1-10）

β值的判断标准是：如果某证券或证券组合的β=1，其系统性风险与市场风险一致；如果其

β>1，该证券或投资组合的风险大于市场风险；如果其β<1，则表明其风险小于市场风险；当

β βp i ii

n

X==∑

1

ρσ

σ σijij

i j

=

σ σ σ ρ σ σp x x x x212

12

22

22

1 2 12 1 22= + +

cov( , ) ( )x x E x x x x1 2 1 2 1 2= −

cov( , ) [( )( )]x x E x x x x1 2 1 1 2 2= − −

x2x1

σ σp i ii

n

i j i jj

n

i

n

x x x x x2 2 2

1 11

= += ==∑ ∑∑ cov( , )

第1章　投资组合理论与应用 3

β=0时，无系统性风险。

1.1.2 最优投资组合的构建

假设某投资组合由两种风险资产构成，其中一个是专门投资于长期债券的债券基金D，一

个是专门投资于股权证券的股票基金E。它们的基

本数据如表1-1所示。

现在我们即研究通过在该组合中加入无风险资

产，来构造一个完全的投资组合。

1. 风险投资组合的构建

假设我们改变债券的投资比例，这种改变对收

益的影响在表1-2中列出。当债券的投资比例从0增加到1（即股权投资从1减少到0）时，投资

组合的期望收益率从13%（股票的期望收益率）下降到8%（债券的期望收益率）。

表1-2 不同资产权重对组合收益与风险的影响

wD wE E(rp) 给定相关性下的投资组合的标准差

ρ=-1 ρ=0 ρ=0.3 ρ=1

0.00 1.00 13.00 20.00 20.00 20.00 20.00

0.10 0.90 12.50 16.80 18.04 18.40 19.20

0.20 0.80 12.00 13.60 16.18 16.88 18.40

0.30 0.70 11.50 10.40 14.46 15.47 17.60

0.40 0.60 11.00 7.20 12.92 14.20 16.80

0.50 0.50 10.50 4.00 11.66 13.11 16.00

0.60 0.40 10.00 0.80 10.76 12.26 15.20

0.70 0.30 9.50 2.40 10.32 11.70 14.40

0.80 0.20 9.00 5.60 10.40 11.45 13.60

0.90 0.10 8.50 8.80 10.98 11.56 12.80

1.0 0.00 8.00 12.00 12.00 12.00 12.00

最小方差的组合

wD 0.625 0 0.735 3 0.820 0

wE 0.375 0 0.264 7 0.180 0

E(rp) 9.875 0 9.323 5 8.900

σp 0.000 0 10.289 9 11.447 3

当wD>1，wE<0时，表明投资组合的策略是做股权基金的空头，并把得到的资金投入债券

基金，这将降低投资组合的期望收益率。例如，当wD=2，wE=-1时，投资组合的期望收益率下

降为[2×8+(-1)×13]%=3%，此时投资组合中债券的价值是账面价值的2倍。这个极端的头寸

是通过做全部股票的空头来实现的。

当wD<0，wE>1时，情况相反，投资策略应是做一债券基金的空头，把所得投入股票基金。

4 第一篇　投资组合理论与组合管理

这里我们需要注意的是，β值等于、大于还是小于1，即投资组合所面临的风险是等于、大于还是小于市场

风险，本身无好坏之分，要依据投资策略而看。因为，一方面承担的风险越高可能获得的收益越高；另一

方面不同投资者对风险的偏好不一样。若投资策略是追求风险价值，则其组合的β值应大于1，换言之，这

种情况下，β<1或β＝1即可能是无效组合。

表1-1 债券基金与股票基金的数据

D E

期望收益E(r) 8% 13%

标准差σ 12% 20%

协方差cov(rD, rE) 72

相关系数ρDE 0.3

当然，改变投资比例还会影响投资组合的标准差。根据式（1-7），表1-2给出了投资组合的

相关系数分别假定为-1，0，0.3和1时计算出的不同权重下的标准差。

根据表1-2给出的参数值，通过解以下最小值问题可以得出投资组合的权重：

wmin(D)=0.82

wmin(E)=1-0.82=0.18

根据表1-2中ρ=0.3列的数据，这个最小化方差的投资组合的标准差为：

σmin=[(0.822×122)+(0.122×202)+(2×0.82×0.18×72)]1/2=11.45%

2. 无风险资产的加入

现在我们在风险投资组合中加入无风险资产，即投资于年收益率为5%的无风险的国库券，

那么整个情况的调整如图1-1所示。该图显示了股票基金与债券基金的联合概率分布的机会集

合。图中两条可能的资本配置线 [CAL(A)和CAL(B)]从无风险利率（rf =5%）连到两种可行的

投资组合。第一条可能的资本配置线CAL(A)通过最小方差的投资组合A，即由82%的债券与

18%的股票组成的投资组合。投资组合A的期望收益为8.9%，标准差为11.45%[见表1-2中的

E(rp)和σp]。由于国库券利率为5%，该资本配置线的斜率为：

图1-1 债务与股权基金的机会集合和两条可行的资本配置线

SE r r

AA f

A

=−

= − =( ) .

..

σ8 9 5

11 450 34


解题中运用了微积分求最小值的技巧。先根据式（1-7）写出投资组合的方差：用(1-wD)来替代wE，求出公式

对于wD的导数，令其等于0，得。另一种方法是使用计算机电子表格，求得

准确解。

关于资本配置线将在第4章详细介绍。

该斜率也称为酬报与波动性比率（reward-to-variability ratio）。

w Dr r

r rE D E

D E D Emin ( )

cov( , )

cov( , )= −

+ −σ

σ σ

2

2 2 2

13

12

E

B

A

D

CAL(A)

CAL(B)

11

10

9

8

7

6

50 5 10 15 20 25

标准差（%）

期望收益率（%）

现在考虑用投资组合B替代投资组合A，投资组合B中70%为债券，30%为股票，它的期望

收益率为9.5%（风险溢价为4.5%），标准差为11.7%。因此，该投资组合的资本配置线的酬报

与波动性比率为：

这个值比我们用最小方差的投资组合与国库券所得到的资本配置线的酬报与波动性比率要

大。因此，投资组合B的效用超过了投资组合A。

现在，我们让资本配置线变动，最终使它的斜率与投资机会集合的斜率一样，这将获得有

最高的、可行的报酬与波动性比率的资本配置线。因此，相切的投资组合P（见图1-2）就是加

入国库券的最优风险投资组合。从图1-2中，我们可以发现投资组合P的期望收益与标准差为：

图1-2 最优资本配置线的债务与股权基金的机会集合与最优风险投资组合

3. 最优风险投资组合的建立

我们的目的是找出权重wD和wE，以使资本配置线的斜率最大（即，这个权重使风险投资组

合的酬报与波动性比率最高）。因此，目标就是使资本配置线的斜率最大，目标函数就是斜率，

即Sp，有：

（1-11）

对于包含两种风险资产的投资组合P，它的期望收益和标准差为：

E(rp)=wDE(rD)+wEE(rE)=8wD+13wE

σp=[wD2σD

2+wE2σE

2+2wDwEcov(rD, rE)]1/2

SE r r

pp f

p

=−( )

σ

SB = − =9 5 5

11 70 38

.

..


18


标准差（%）

16

14

12

10

8

6

4

2

05 10 15

D

P

E

CAL(P)

20 25 30

rf =5%

两种风险资产的求解过程如下：从式（1-1）取代E(rp)，从式（1-7）取代σp，用1-wD代替wE，用wD对Sp求

导，令导数为0，解wD。

=(144wD2+400wE

2+2×72wDwE]1/2

当我们要得知目标函数Sp的最大值时，必须满足一个限制条件，即权重和等于1（wD+wE=1），

这样我们要解以下的数学题：

（1-12）

因为Σwi=1，这是一个标准微积分问题。

在共有两种风险资产的条件下，最优风险投资组合（optimal risky portfolio）P的权重解可

表示如：

（1-13）

把我们的数据代进去，得到的解为：

wD=[(8-5)×400-(13-5)×72]/[(8-5)×400+(13-5)×144-(8-5+13-5)×72]=0.40

wE=1-0.40=0.60

这一最优风险投资组合的期望收益与标准差分别为：

E(rp)=0.4×8+0.6×13=11%

σp=(0.42×144+0.62×400+2×0.4×0.6×72)1/2=14.2%

这个最优投资组合的资本配置线的斜率为：

Sp=(11-5)/14.2=0.42

这也是投资组合P的报酬与波动性比率，这个斜率大于任一可能的其他投资组合的斜率，

因此这是可得到的最优资本配置线的斜率。

4. 最优完全投资组合的建立

我们已经构造了一个最优风险投资组合P，现在我们用个人的投资风险厌恶程度A来计算投

资于完全投资组合的风险部分的最优比例。

一个风险厌恶相关系数为A＝4的投资者，他在投资组合P中的投资头寸为：

（1-14）

即这个投资者将74.39%的财产投资于投资组合P，25.61%的资产投资于国库券，投资组合

P中包括40%的债券，因此债券所占的比例为ywD=0.4×0.743 9=0.297 6，即29.76%。同样，投

资于股票的权重为ywE=0.6×0.743 9=0.446 3，即44.63%。这个资产配置的图解在图1-3和图1-4

中给出。

一旦我们做到这一点，一般化为多种风险资产也是可行的。现在我们简要小结一下完成一

个完整的投资组合的步骤：

yE r r

Ap f

p

=−

×= −

× ×=

( )

. . ..

0 01

11 5

0 01 4 14 20 743 92 2σ

wE r r E r r r r

E r r E r r E r r E r r r r

w w

DD f E E f D E

D f E E f D D f E f D E

E D

=− − −

− + − − − + −

= −

[ ( ) ] [ ( ) ]cov( , )

[ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]cov( , )

σσ σ

2

2 2

1

max( )

wp

p f

pi

SE r r

=−

σ


正如前面提及的，分母上的0.01是一个测度尺度因素，我们测度收益用的是百分比，而不是小数。如果我们

要小数而不是百分比（例如0.07而不是7%），我们在分母中就不用0.01。注意，转为用小数将可以使分子和

分母简化。

（1）确定所有各类证券的回报特征（例如期望收益、标准差、协方差等）。

（2）建造风险投资组合：

1）计算最优风险投资组合P[式（1-7）]；

2）运用步骤1）中确定的权重计算投资组合P的资产。

（3）把基金配置在风险投资组合和无风险资产上：

1）计算投资组合P（风险投资组合）和国库券（无风险资产）的权重[式（1-9）]；

2）计算出完整的投资组合中投资于每一种资产和国库券上的投资份额。

图1-3 最优全部投资组合的决定

图1-4 最优全部投资组合的比例

阅读资料1-1 投资组合理论的新进展—贝叶斯方法在投资组合选择的应用

经典的均值-方差模型要求了解每一种资产的预期收益、方差以及不同资产间的协方差。在

实践中，每种资产的预期收益、方差以及不同资产间的协方差都是未知的，必须由各种历史数据



无差异曲线

风险资产的机会集合

最优风险投资组合

最优完全投资组合

标准差（%）

18

16

14

12

10

8

6

4rf=5%

2

00 5 10 15 20 25

E

P

D

C

CAL(P)

30

股票44.63%

债券29.76%

国库券25.61%

投资组合74.39%

本阅读资料由南开大学金融发展研究院王兆宇整理。

估计得到。当以估计值代替真值代入模型时便会产生估计风险（estimation risk），估计风险会导

致投资决策处于非最优状态。如何在投资组合选择的决策模型中考虑估计风险，并分析其对最

优投资组合产生的影响已成为近年学界的焦点。

贝叶斯分析框架（Bayesian approach）在投资决策中将估计风险纳入考察因素。在贝叶斯方

法下，收益率的均值和方差等参数不再被看做固定的常数，而是作为随机变量处理。投资者首先

设定这些参数的先验分布，然后运用贝叶斯法则结合历史样本数据得到参数的后验分布。投资者

在进行投资决策时关于收益率所使用的概率分布不再是选用某个参数固定取值的概率分布，而是

采用在参数后验分布基础上构建出的预测分布。在贝叶斯方法下，收益率的预测分布只依赖于收

益率的历史样本数据，这将使模型具有较强的稳健性。

我们首先回顾一下传统的均值-方差模型。设市场中存在N种可供选择的资产，Rt为t时刻这N

种资产的收益率向量，并假设Rt服从多元正态分布：

Rt~N(µ, Σ) （C1-1）

其中，µ和Σ分别表示该正态分布的均值向量和协方差矩阵。设W=(w1, w2, ⋯ , wN)'表示N种资产在

组合中的比重，则投资组合P的收益率均值和方差可以分别写成µp=µ'W和σp2=W'ΣW。一般的均

值-方差投资组合模型表示为：

（C1-2）

其中，I表示所有分量均为1的N维列向量。使用拉格朗日乘子法得到模型（C1-2）的解W*，

如下所示：

（C1-3）

其中，，，并且

。传统的均值-方差模型的应用要求事先给定参数µ和Σ的取值，通常情况下认为以µ

和Σ的样本估计来代替其真值。计算公式为：

（C1-4）

将式（C1-4）代入式（C1-2）即得到一般模型的解。

但是以上传统的方差-均值模型存在一些问题，比如将估计值和代替真值会忽略可能存

在的估计误差，从而使得投资决策处于次优状态。比较之下，贝叶斯决策方法既考虑了求解过程

中的估计风险，又能自动地选择估计误差较小的资产。在贝叶斯分析框架下，参数的取值并不是

固定常数，而被看做是随机变量。假设投资者关于参数µ和Σ具有先验分布π(µ, Σ)，投资者在得到

历史数据样本R=(R1, ⋯, RT)之后，通过贝叶斯公式得到参数的后验分布π(µ, Σ|R)，然后通过式

（C1-5）计算出t+1时刻资产收益率Rt+1的预测分布：

f(RT+1|R)=∫f(RT+1|µ, Σ)π(µ, Σ)dµdΣ （C1-5）

式（C1-5）表明预测分布是在参数的参数空间上积分得到的，因此可以有效地考虑估计风险

Σ̂µ̂

ˆ , ˆ ( ˆ )( ˆ )µ µ µ= =−

− −= =∑ ∑1 1

11 1TR

TR Rt

t

T

t tt

T

Σ '

D BC A= − 2

A I B C I I= = =− − −' ' 'Σ Σ Σ1 1 1µ µ µ, , ,Λ Σ Σ21 11= −− −

DC u A I[ ]Λ Σ Σ1

1 11= −− −

DB I A[ ]µ

W * = +Λ Λ1 2 µ

min

. . ,

wp W W

s t W I W

σ

µ µ

2

1

=

= =

'

' '

Σ


均值-方差模型对于参数的输入极为敏感，收益率均值的微小变动会造成投资组合的显著变化。

和参数不确定性。而且预测分布不再依赖于某一固定的参数取值，而是依赖于收益率的历史样本

数据，从而使最优投资组合的稳健性得到显著提高。

若记RT+1的预测分布的均值为，方差为。那么贝叶斯均值-方差模型可以表示成：

（C1-6）

如果能够求解出和，代入式（C1-3）便得到贝叶斯最优投资组合。在一般的情形下，通

过数值模拟的方法可以求出µ和Σ的具体数值。而在正态分布的假设下，我们可以得到和的显

示表达式。这里我们考虑投资者关于参数的先验分布为无信息先验分布的特殊情形：

（C1-7）

从经济意义上解释无信息先验分布的设定是指在进行投资决策之前投资者对收益率分布的相

关信息了解甚少，这种情形的计算结果较适合用于与不考虑参数不确定性的情形进行比较。可以

证明此时下一期资产收益率RT+1的预测分布服从自由度为T-N的多元t分布

（C1-8）

其中，和由式（C1-4）给出。体现了估计风险的影响。对于资产种类N 固

定的情形，估计风险随数据的增多（T增大）而减小。而对于样本期T固定的情形，资产种类N 的

增多将导致可以使用的历史数据相对减少，从而估计风险增大。将式（C1-8）代入式（C1-3）便

可以得到贝叶斯均值-方差模型下的最优投资组合的表达式。

近年来，关于贝叶斯投资组合选择方法的改进和拓展的研究越来越丰富。如弗洛斯特和萨维

利诺（1986）提出使用有信息先验分布的方法。该方法通过把后验预测分布的期望、方差、两两

间协方差引向平均收益率、平均方差、平均协方差从而减少了估计误差。保尔森和图（2000）提

出了一种适用于大型的最优组合选择的方法。该方法选用期望和协方差矩阵的有信息先验分布函

数，采用日频率数据，并使用了基于对事先给定的时间窗口的资产比重进行重估计和重平衡的动

态资产配置方法。索耶和坦耶里（2006）研究了对于给定的效用函数，当证券收益由离散时间随

机过程描述时投资决策者的多时期资产选择问题，并采用了基于随机模拟的方法进行了求解。我

国学者蔡风景、李元、王慧敏（2009）提出了基于贝叶斯思想的图模型结构检测方法。该方法首

先给出精度矩阵新的参数化方法，且通过MCMC方法给出算法设计。

1.2 投资组合理论的应用

在1.1节中我们研究了投资组合的理论，在本节我们将经典的投资组合理论应用于具体的投

资决策问题，以加深对该理论的认识。我们分别从资产数量的确定、组合模型分析、具体问题

求解三个部分来展示投资组合理论的应用。

+

−

− −

( )11

1

2T

T

T NΣ̃µ̃

µ µ= =+

−

− −ˆ , ˜

( )ˆΣ Σ

11

1

2T

T

T N

π µ( , ) ( ) /Σ Σ∞ +N 1 2

Σ̃µ̃Σ̃µ̃

s t W I W. . ˜ ' , µ µ= =' 1

min ˜W

p W Wσ 2 = ' ΣΣ̃µ̃


1.2.1 投资组合中资产数量的确定

构建一个投资组合，首先应做出的决定是购买多少种股票。从减少风险的角度出发，总的

来说，证券组合中证券的数量越多，投资者所冒的风险也就越小。也就是说，一般情况下，证

券组合中证券的数量越多，组合的方差就越小。

然而，随着证券组合中证券数量的增加，组合方差的边际递减率却相应的减小。这意味着，

分散化投资相对较少的证券就可获得较大的收益。表1-3说明随着证券组合中股票数量的增加，

组合方差递减的情况。

表1-3 股票数量增加时，证券组合方差的变化（所有股票相互独立）

组合中股票的数量组合的方差σ 2p（σ 2

p=100）组合方差的边际递减

1 100 —

2 100/2=50 50

3 100/3=331/3 162/3

4 100/4=25 81/3

5 100/5=20 5

10 100/10=10 1.1

20 100/20=5 0.263

50 100/50=2 0.041

100 100/100=1 0.010

在表1-3中，我们假设各种股票零相关，并假定所有股票的方差σ02=100。由表1-3可见，当

n=1时，σp2=100；当n=2时，方差为σ0

2/2=50，递减了50。股票数量从2增加到3时，方差从

100/2变到100/3，仅递减了16%。股票数量从3增加到4时，方差减少了8 1/3。股票数量从4增加

到5时，方差减少5。股票数量从1增加到2方差的递减量是股票数量从4增加到5方差递减量的10

倍。证券组合中股票数量增加，而组合方差的递减率减小。从而我们可以得出结论，分散化投

资减少的股票就可获得较大的收益。

进一步的研究已经证明，当股票相关且相关系数并不等于1或-1时（在现实的股票市场上，

大多数股票的相关系数都在0.3~0.7之间），投资者分散化投资12~18只股票，就可分散风险，获

得约为全部可得收益的90%。这一发现对股票投资者相当重要，特别是对小投资者尤为重要。该

发现对机构投资者的启示则在于，关注和处理好其重仓持有的股票，可以起到事半功倍的效果。

当然，对于机构投资者而言，其天然的优势即在于规模，包括信息规模和资金规模。为了

充分发挥其规模优势，在机构投资者的投资组合中，就需要持有更多数量的资产。对此，斯塔

尔曼（1987）的研究发现，一个充分分散化的股票投资组合必须包括30～40只股票。此外还需

要我们考虑的一个因素是，坎贝尔等（2001）发现股票市场非系统风险增加时，充分分散投资

组合所需股票数目也大大增加。

1.2.2 投资组合问题的计算模型分析

在现实生活中，投资者在投资时，面临的一个最主要问题是如何将多种不同的证券进行合

M M M


证明过程很复杂，已超出本书范围。

理的组合，即资金要如何分配到各个证券上。假定一个投资者选择将资金投资到无风险资产

（国库券）和风险资产，1.2.1节以债券和股票为例，本节我们以市场上的开放式基金作为风险

资产，探讨如何寻找最优风险投资组合中各只基金的投资比例。

我们将历史收益率的平均值当做单只基金的期望收益率，计算公式为：

（1-15）

（1-16）

其中，P1t表示第1只基金在t周末的净值；r1t表示在t-1周末买入该基金，在t周末卖出此基金的

收益率。

（1-17）

式（1-17）表示第1只基金方差的历史估计，在Excel中可以很容易地计算出来。

假设投资于n只基金，那么基金组合的预期收益为：

（1-18）

基金组合的方差为：

（1-19）

将资金投资于国库券和多只基金组成的风险投资组合，可以得到一条资本配置线。我们让

资本配置线变动，最终使它的斜率与投资机会集合的斜率一样，这将获得有最高的、可行的报

酬与波动性比率的资本配置线。求解的模型如下：

（1-20）

其中，Sp表示报酬与波动性比率，我们将求得值最大的一点，最优风险投资组合就是这个点；xi

表示投资于每只基金的资金比例，由于在我国不允许卖空，因此限制各个比例大于等于0；c表

示每只基金的投资比例上限，这个没有确定的值，根据投资者的风险偏好、投资的管理费用等

具体设定。在具体求解时，我们采用Excel的规划求解方法，下面我们将举一个实例。

1.2.3 具体问题的求解

假定现有10只基金可供我们投资，其中有股票型基金7只，债券型基金3只。股票型基金分

别是华夏大盘精选（简称华夏大盘）、富国天益价值（富国天益）、华安A股、荷银精选、华宝

兴业宝康消费品（宝康消费）、华安创新、博时精选。债券型基金分别是华宝兴业宝康债券

（宝康债券）、大成债券AB（大成债券）、国泰金龙债券（国泰债券）。我们应该如何将一笔资

s t x

x i n

x c

ii

n

i

i

.

, , , ,

=∑ =

=1

1

0 1 2 L

max SE r

pR f

p

=−

σ

σ σp i j ijj

n

i

n

D R x x2

11

= ===∑∑( )

E r x E rp i ii

n

( ) ( )==∑

1

σ12

1 12

1

1

1=

−−

=∑n

r E rtt

n

[ ( )]

rP

Ptt

t1

1

1 1

=

−

ln,

E rn

ri tt

n

( ) ==∑1

11


≥≤

金分配到不同的各只基金上去呢？

我们首先从现有的数据库中（如Wind数据库）查询到各只基金的周历史净值，然后根据式

（1-15）在Excel中用ln函数计算出各只基金的周收益率。再根据式（1-15）利用average函数计

算出各只基金的期望收益率。在Excel中利用covar函数求出这10只基金的方差-协方差矩阵。

现在我们面临一个资产配置的问题，即将多少资金分配于股票型基金，将多少资金分配于

债券型基金。考虑到现实情况，因此我们将分3种情况来说明：①75%的股票型基金和25%的债

券型基金组合，名为激进组合；②50%的股票型基金与50%的债券型基金组合，名为平衡组

合；③25%的股票型基金和75%的债券型基金组合，名为防御组合。

我们以激进组合为例，最后得到的求解模型为：

最后两个限制条件是对单只基金投资比例上限的规定，具体上限的设定要依据可选择基金

的数量（因为数量的多少会显著的影响管理费）、投资者的偏好等具体设定。平衡组合和防御

组合的限制条件只需要根据投资要求做调整即可，在此不具体列出。

通过Excel的规划求解，我们可以求得激进组合、平衡组合和防御组合中各只基金的投资

比例，如表1-4～表1-6所示。

表1-4 激进组合中各只基金的投资比例

华夏大盘富国天益华安A股荷银精选宝康消费

0.11 0.11 0.11 0.09 0.11

华安创新博时精选宝康债券大成债券国泰债券

0.11 0.11 0.10 0.10 0.05

表1-5 平衡组合中各只基金的投资比例


0.1 0.1 0.1 0 0.11


0.008 3 0.091 7 0.17 0.17 0.16

表1-6 防御组合中各只基金的投资比例


0.1 0.088 3 0.061 7 0 0


0 0 0.3 0.3 0.15

max

, , , ,

. , .

. , , , ,

. , , ,

SE r

x

x i

x x

x i

x j

pR f

p

ii

n

i

ii

ii

i

j

=−

=

=

= =

==

=

= =

∑

∑ ∑

σ

s.t1

1

7

8

10

1

0 1 2 10

0 75 0 25

0 11 1 2 7

0 1 8 9 10

L

L


≤

≥

≤

要考察新的投资组合在期望收益和标准差上的表现，首先要确定一个考察时期，我们选择

2007年4月到2008年3月为总的考察期，这个时期经历了牛市和熊市两个时期，能够较好地反映

出不同时期投资组合的表现。以月为考察子时期，计算出不同投资组合在每月的周期望收益率

和标准差，并进行排列，收益率较高的排名靠前，标准差较小的排名靠前，这3种投资组合在

收益率和标准差上的排名变化如图1-5、图1-6所示。

图1-5 不同权重资产的组合在各个时期期望收益的表现

图1-6 不同权重资产的组合在不同时期标准差的表现

以2007年10月作为牛市和熊市的分界线，从图1-5、图1-6我们可以得出以下结论：


15.000

10.000

5.000

0.000

-5.000

-10.000

-15.000

-20.000

-25.000

激进

2007年

4月

2007年

5月

2007年

6月

2007年

7月

2007年

8月

2007年

9月

2007年

10月

2007年

11月

2007年

12月

2008年

1月

2008年

2月

2008年

3月

平衡防御

4.500

4.000

3.500

3.000

2.500

2.000

1.500

1.000

0.500

0.000

2007年

4月

2007年

5月

2007年

6月

2007年

7月

2007年

8月

2007年

9月

2007年

10月

2007年

11月

2007年

12月

2008年

1月

2008年

2月

2008年

3月

激进平衡防御

（1）股票型基金的收益在牛市期要优于债券型基金。因此，以股票基金为主的激进型组合，

在2007年10月以前的收益排名表现较好。股票型基金和债券型基金权重相同的平衡型组合次之，

以债券型基金为主的防御型组合在收益上表现较差。

在熊市期，股票型基金在收益率上的表现要劣于债券型基金，防御型组合收益率上表现最

优，平衡型次之，激进型最差。

（2）在标准差上，基金经过组合后，收益率的波动性都得到了有效的降低。股票的波动性

大于债券，因此以投资股票为主的股票型基金收益率的标准差大于债券型基金。从图1-6可以

看出，以债券型基金为主的防御型组合，标准差排名最好，且一直比较稳定，平衡型次之，激

进型最差。

（3）投资者在投资的时候，要根据自己的风险偏好和市场的状况，灵活地调整自己组合中

不同种类资产的权重，才能得到收益和风险的最佳匹配。

案例1-1 Excel求解过程演示

在刚刚进行的具体问题求解中，我们通过投资组合最优化理论对基金组合的具体问题进行了

求解，下面我们就说明如何通过Excel来具体实现这个过程。

样本还是选择上面的10只基金，股票型基金7只，债券型基金3只。

1. 基金周收益率及期望收益率

基金的周收益率计算公式为正文中的式（1-16），过程如图C1-1所示。对每只基金采用类似

的算法，就计算出了历史期各只基金的周对数收益率。

图C1-1 基金周对数收益率的Excel实现

期望收益率根据式（1-5），采用Excel中的AVERAGE函数计算，过程如图C1-2所示。

图C1-2 基金期望收益率的Excel实现

2. 协方差矩阵的实现

根据式（1-19），如果将各个投资组合的行向量看为矢量W，用D表


示这些资产收益率的协方差矩阵，那么。

协方差矩阵D的求解，我们需要通过Excel的分析工具库来实现，在Excel 2003中，加载宏的

过程是点击“工具—加载宏—分析工具库”，加载实现。在Excel 2007中，则通过点击左上角

的“Office—Excel—加载宏—分析工具库”，加载实现。

加载后，通过数据分析中的协方差来进行计算，如图C1-3所示。

图C1-3 数据分析工具中的协方差

点击确定，我们得到图C1-4所示的过程。

图C1-4 Excel中协方差的界面

输入区域，我们选择所有基金的周收益率所在的范围，逐列和逐行则是结果显示的方式，标志

位于第一行的含义是，是否包含标题（如基金的名称），输出选项，我们选择以新工作表组输出。

3. 规划求解

规划求解的实现，首先要加载规划求解，这个过程也是在加载宏中实现。

目标函数是，这里的rf 我们选择从研究期开始的定期存款的月利率，取均值

并周化得到周无风险利率。ER的实现，我们需要有各只基金的权重，这正是我们要求得的最优组

合。具体过程如下：

（1）设定约束条件，假设约束条件如下：

s.t

, , , ,

. , .

. , , , ,

. , , ,

x

x i

x x

x i

x j

ii

n

i

ii

ii

i

j

=

=

= =

==

=

= =

∑

∑ ∑

1

0 1 2 10

0 75 0 25

0 11 1 2 7

0 1 8 9 10

1

1

7

8

10

L

L

max SE r

pR f

p

=−

σ

σ pTWDW2 =


≤≤

≥

（2）在Excel中实现目标函数的表达，具体过程如下：

如图C1-5所示，权重一列，我们可以随意设定几个数，最简单的，设定一只基金为1，其余

为0；期望收益率则是各只基金的权重与其对应的期望收益率的加权和；标准差内的公式是

=MMULT（MMULT（A203：J203，C140：L149），B187：B196）。MMULT函数在Excel中的作

用是两个矩阵的乘积，A203：J203是权重的那一列所在区域，C140：L149则是一个10*10的协方

差矩阵，B187：B196是权重所在列的逆向量。权重和的计算公式都是SUM（对应的区域）。目标

函数如图C1-6所示。

图C1-5 基金组合规划求解的初始设定

图C1-6 目标函数

（3）进行规划求解。

进行了上述的设定后，我们进行最后一步的规划求解，我们进行设定后的原始图像如图C1-7

所示。

图C1-7 原始数据的设定

点击“规划求解”，出现如图C1-8所示的界面。


图C1-8 规划求解设定参数

根据我们的目标函数及约束条件进行设定，结果如图C1-9所示。

图C1-9 本案例设定条件

点击“求解”，即可得到如图C1-10所示的结果。

图C1-10 本案例规划求解结果

思考与练习

1. 根据本章对投资组合理论的研究和介绍，请你提炼出在实际投资管理中构建一个最优组合需

要遵循哪些原则？为什么？

2. 请在我国证券市场中任意挑选8只股票和7只债券，并模仿投资组合计算模型分析的内容，求

解不同组合的风险与收益。

3. 如果你是一只专门投资于证券投资基金的基金（即所谓FOF）经理，你根据本章的内容能否

制定一个基金组合需要遵循的原则？在实际投资管理中你如何实施这些原则？


投资组合理论与组合管理 - baiduimages.china-pub.com/ebook190001-195000/193365/ch01.pdf ·...

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