1

講義07 極と安定性

ポイント

・システムの定常特性と最終値の定理を用いた定常値の求め方を理解しよう．

・極と過渡特性の関係を調べ，システムの安定性を理解しよう．

・ラウスの安定判別法を使えるようになろう．

ブロック線図

u（ｔ） y（ｔ）

入力 出力 時間関数で書いたもの

（時間領域という）

U（s） Y（s）

入力 出力 ラプラス変換で書いたもの

（周波数領域という） )(sG

Text: 佐藤，平元，平田：はじめての制御工学，講談社

応答(response)：入力を入れたときの出力の時間関数としての動き

)()()()(

)()()(

11 sUsGLsYLty

sUsGsY

2 2

7.1 定常特性(1)

1)(

::

)()()(

)()()(1

)()()(

Ts

KsG

KT

tKutydt

tdyT

tua

bty

dt

tdy

a

tbutaydt

tdy

伝達関数

直流ゲイン時定数，

現１次遅れ系の標準的表

復習：１次遅れ系の標準形とステップ応答

tTeK

Tss

KL

TssT

KL

sTs

KLty

sTs

KsY

ssU

sUTs

KsUsGsY

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1)(

1)(

1)(

)(1

)()()(

ので，この逆ラプラス変換な

ステップ応答は，

であるので，出力は，

数のとき，入力が単位ステップ関

出力のラプラス変換

3 3

7.1 定常特性(2)

定常値

)(lim tyt

K

)1(lim /Tt

teK

0lim /

Tt

te

初期速度

dt

dy

0t

TteT

K /

0tT

K

0 1 2 3 4 5Tt /

2.0

4.0

6.0

8.0

1

) ( t

y

K

0

図 ステップ応答（1 次系）

4

7.1 定常特性(3)

0 1 2 3 4 5Tt /

2.0

4.0

6.0

8.0

1

) ( t

y

K

0

図3.3 ステップ応答（1 次系）

1Tt

632.0

･ 時刻 t=T において定常値の

63.2 % になる． )1()( /TteKty )1( 1 eK

)368.01( K K 632.0

･ 定常値は入力の大きさの K 倍

になる．

10

T

KK)(lim ty

t

T ：時定数 K ：ゲイン

･ 初期速度のまま進めば，T 秒後

に定常値に到達する．

最終値定理 )(lim)(lim

0ssFtf

st

ssGs

1)(

0lim

s

定常値 )(lim tyt

)(lim0

ssys

)(lim tyt

)0(G)(lim0

sGs

直流ゲイン（DC gain）

5

7.1 定常特性(4) 最終値定理

初期値定理

)(ssF

6

7.1 定常特性(5)

最終値の定理例題

7

7.1 定常特性(6)

s

k

s

k

s

kK

sssK

sss

K

sss

K

ssGsUsGty

ssU

K

ss

KsG

n

nn

n

nn

n

n

nn

n

321

2

22

2

22

2111

22

2

2

2

1)()()()(

1)(,

):,0,0(

2)(

2

部分分数展開

数入力が単位ステップ関単位ステップ応答

定数

標準形次遅れ系の伝達関数の

LLL K

ss

K

sssGy

nn

n

ss

22

2

00 2lim

1)(lim)(

ステップ応答の最終値

1

0(*)

(*)2

1

1

321

2

22

2

k

ss

k

s

k

s

k

s

k

ssssss

n

nn

n

とする．をかけて，式の両辺に

を求める．●

式

)0)Re(,0(Re

lim)(lim 1321

KKkekekkKty tt

tt

2次遅れ系の場合

8

7.1 定常特性

実部がすべて負

の根

伝達関数の極

0.7449j - 0.1226-

0.7449j + 0.1226-

1.7549-

012 23 sss

7.1 定常特性(7)

9

7.1 定常特性

出力が発散する．

．実部が正のものがある

の根

伝達関数の極

1.1713i - 0.0873

1.1713i + 0.0873

2.1746-

032 23 sss

7.1 定常特性(8)

10

7.2 過渡特性と安定性

7.2.1 安定性(stability)とは

正確には，

有界入力有界出力安定(BIBO安定） (Bounded Input/Bounded Output

Stability)という．

．であることを意味する

が有限値すべての時間で，

．が存在することを言う

の正数が成り立つような有限

すべての

が有界であるとは，信号

)(

0)(

)(

tf

M

tMtf

tf

11

7.2.2 システムの安定性の判定： 単位ステップ応答の計算から

システムが安定である条件を誘導する．

線形時不変システム(Time Invariant System)

伝達関数

物理システムでは，

伝達関数はプロパー

(proper)という

mn

12

7.2.2 システムの安定性の判定(2)

222

1

2

1101

1

1

111 ,,,,,

rrq

n

n

n

rrq

ssssbsasas

jj

は，次式となる．分母多項式の因数分解このとき，伝達関数の

つぎの値とする．の極は互いに異なり，簡単のため，伝達関数

13

7.2.2 システムの安定性の判定(3)

14

7.2.2 システムの安定性の判定(4)

15

7.2.3 過渡特性と極の関係

代表極(dominant pole)：極のうち，実部がもっとも原点に近いもの

16

7.2.4 安定判別法(1)

伝達関数の分母多項式の根を求めずに，安定かどうかを判定する．分母多項式=0を特性方程式という． 特性方程式 0)( 01

1

1

ssssD n

n

n

ラウスの安定判別法

係数から作られる定数を次式のようにおく．ここで，1は ns

の係数を意味する．ただし，存在しない係数は0とおく．

,,

,1

,1

,1

1

31512

1

21311

1

7613

1

5412

1

3211

b

bbc

b

bbc

bbb

nnnn

n

nnn

n

nnn

n

nnn

17

7.2.4 安定判別法(2)

この定数を用いて，つぎのラウス表と呼ばれる表を作る．

1

0

21

4

321

3

321

2

97531

1

86421

es

dds

cccs

bbbs

s

s

n

n

n

nnnnn

n

nnnn

n

0121 ,,,, nn

11111 ,,,,,,1 edcbn

[ラウスの安定定理]

システムが安定である必要十分条件は，つぎの2つが 共に成立することである．

（１）特性多項式の全ての係数

（２）ラウス表の第1列 が全て正である．

が全て正である．

18

7.2.4 安定判別法(3)

例題1: 0)( 01

2 sssD

0

0

1

1

0

2

0

1

s

s

s

安定条件は， 0,0 10

ただし，2次の場合には，簡単に根を計算できて， この根から，係数がすべて正のとき安定になることはすぐにわかる

19

7.2.4 安定判別法(3)

例題２:

安定条件は，

0)( 01

2

2

3 ssssD

0

02

0

1

1

02

2

1

3

0

1

s

s

s

s

021210 ,0,0,0

20

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