Mathmatialgbre7 analvse geometrie

Dictionnaire des

PRFACE

Le monde scientitque est de plus en plus imprgn de mathmatiques, ou de mathmatique ~ le singulier, rare dans le langage courant, semblant nanmoins prfrable. Cest pourquoi cette discipline a pris une place de choix dans lenseignement : tout lve, au cours de ses tudes, y est ncessairement confront. Mais, a la fois Valorise et redoute, elle garde, au-del des rudiments dispenss au collge et au lyce, une aura de mystre : seuls quelques initis ont le privilge de faire des recherches en mathmatiques, ou mme simplement davoir une claire vision de ce quelles sont. Ds sa premire dition (1968-1974) lEncyclopa?diu Univemlis a voulu offrir au public une vue densemble des mathmatiques contemporaines et de leur dveloppement historique. Lambition de ce projet - les exigences propres la prsentation de cette discipline sajoutant celles qui sont inhrentes toute entreprise encyclopdique - en rehausse la russite. Le prsent ouvrage: qui rassemble lessentiel des questions dalgbre. analyse> arithmtique et thorie des nombres, gomtrie, topologie, algbre topologique et gomtrie algbrique, offre un vaste panorama qui permet de saisir la dmarche, les acquis, les avances des inventeurs de cette architecture abstraite quest la mathmatique. Un second volume runira les interrogations sur les fondements, les articles spcifiques historiques, ainsi que tout ce qui touche aux probabilits, aux statistiques et la plupart des applications. N Architecture abstraite )), disions-nous. En effet, partir de quelques notions premires, telles qu(( ensemble P, H lment )), N appartenance )), et de quelques axiomes, les structures mathmatiques - dans le cadre desquelles tous calculs et dmonstrations se font - ne se dploient-elles pas progressivement les unes partir des autres, des plus (( simples H (ensemble ordonn, groupe, espace topologique...) aux plus o subtiles )) (espace disqu, espace localement annel...) ? L, semble-t-il, rside la beaut mathmatique, ou Plutt la partie la plus abstraite de cette beaut car, sil est de belles thories, il est aussi de jolies formules (eix = - 1) et la formule de Stirling, par exemple), de beaux calculs, de splendides dmonstrations et, bien sr, de manire plus visible, des courbes dont lharmonie nchappe personne. Bien entendu, la hension, jusquo dans le domaine trouver vraiment contemplation de cette beaut exige un minimum il convient de hisser son esprit : songeons quen sportif de srieux entranements sont ncessaires du plaisir jouer dun instrument ou pratiquer dc comprmusique OU si lon veut un sport, a 5

PRFACE

fortiori si lon veut accder aux concerts ou aux comptitions. Mais, au moins a partir dun certain niveau, cette activit, srieuse certes, acquiert une dimension ludique : les mathmatiques, pour qui les aime, ouvrent aussi sur tout un espace de jeux. De sorte que la rsolution dun joli problme peut se rvler aussi distrayante que, par exemple, une partie dchecs ou de shogi (un jeu japonais proche des checs). Joie de chercher, joie de trouver, joie de la communion enfin avec une beaut qui, pour abstraite quelle soit, nen suscite pas moins de trs rels plaisirs : qui est capable de faire ainsi des mathmatiques est dans une situation trs voisine de celle de lalpiniste. Au lecteur, la lectrice, quil ou quelle soit ou non mathmaticien ou mathmaticienne, tout lecteur tel que le dfinissait Paul Valry ~ cest--dire G de bonne foi )) autant que (( de mauvaise volont H - de relever le dt... Mais la mathmatique est aussi et dabord un langage et, de ce point de vue, intresse linguistes et lexicographes. Chaque mot ou locution reoit une dtnition prcise et, ct de termes spcitquement mathmatiques (morphisme, simplexe...), dadjectifs honorant un mathmaticien (euclidien, eulrien, nprien...) ou une mathmaticienne (noethrien...), tgurent un assez grand nombre de substantifs (anneau, clan, corps, distribution, fibre, groupe, lacet, spectre, tribu...) ou dadjectifs (complet, conforme, spar, simple...) emprunts la langue courante mais avec un sens mathmatique prcis, o laspect mtaphorique est dailleurs parfois prsent (thre, noyau, treillis...). De sorte que, au-del de son aspect faussement sotrique, il y a parfois une certaine posie, voire une posie certaine - osons aller jusque-l ! -, dans le langage mathmatique. Avec une pointe dhumour, un grand bol denthousiasme et une rserve inpuisable de persvrance, chevauchons donc (sur un parabolode hyperbolique, videmment) travers les univers mathmatiques pour y dcouvrir les corps algbriquement clos, les endomorphismes diagonalisables, les espaces bornologiques, les fonctions holomorphes ou les produits de convolution. Laventure mathmatique, Commence sans doute depuis quAdam et ve ont pens quils taient deux, na certes pas tni de nous passionner. Le prsent volume de la collection (( Encyclopzdia Universahs H nous rappelle ~ alors que le grand thorme de Fermat vient enfin, aprs plus de trois sicles de travaux, dtre dmontr - quil reste bien des questions simples non rsolues, par exemple celleci : existe-t-il une infnit de nombres premiers N jumeaux )), cest--dire de nombres premiers conscutifs dont la diffrence est deux? Lditeur

INTRODUCTION

Prsenter les mathmatiques contemporaines dans le contexte dune encyclopdie destine au grand public cultiv pouvait paratre une gageure. Le sujet, dont la rputation dinaccessibilit nest plus faire, paraissait devoir tre esquiv. Nanmoins 1EncyclopEdiu Univemdis na pas hsit, dans ce domaine comme dans tous les autres, garder le modle quelle stait donn : lencyclopdie que Diderot et dAlembert ont labore pour lpoque des Lumires. Considrant quil tait du devoir des scientifiques de partager leur savoir avec lensemble du monde cultiv, Diderot et dAlembert ont dcoup le savoir mathmatique qui leur tait contemporain en autant de disciplines et de sous-disciplines, et ont alors demand ses scientifiques de premier ordre de rdiger ces prsentations caractre introductif. Cest le mme pari qui a t lorigine de la premire conception du traitement des mathmatiques ds ldition de 1968 de 1Encycfopediu Univetxalis : traiter des mathmatiques dans leur forme contemporaine de manire 1 en rendre accessibles les concepts fondamentaux, les principaux courants, les rsultats dcisifs des lecteurs possdant une formation scientifque minimale. cedt, lon doit ce qui constitue la prsentation la plus complte, la plus approfondie de ltat actuel des mathmatiques dans une entreprise encyclopdique de langue franaise. Une telle tentative naurait pu tre conue sans lintervention dcisive de Jean Dieudonn. Cest lui que nous devons llaboration en quelques mois dun dcoupage initial des mathmatiques qui allait constituer la trame de lentreprise pour la premire dition. Il a par ailleurs particip activement, comme auteur, de nombreux articles cls avec le style exceptionnel qui le caractrisait et qui a donn le ton lensemble de loeuvre. Les mathmatiques sont en effet introduites ici de manire historique, dans la mesure Ola gense des concepts contemporains nous a paru constituer le meilleur accs qui puisse y conduire. La prsentation de la partie historique des mathmatiques se prolonge par lexpos de ces thories sous leur forme moderne. Le XIX~ sicle constitue un moment charnire dans lvolution des mathmatiques, et leur prsentation sarticule autour de ce constat. Ainsi, lalgbre se rduit dabord la thorie des quations, et cest au XIX~ sicle que vont natre toutes les nouvelles structures. Larticle de synthse sur lalgbre renvoie aux diffrentes entres du dictionnaire. Lvolution des conceptions de la gomtrie est voque dans la grande fresque du pre Russe, Elle dbouche, de manire naturelle, dune part, sur la gomtrie diffrentielle, dautre part, sur ltude des courbes algbriques, point de dpart de la gomtrie algbrique, qui son tour rencontre la thorie des nombres. 7

INTRODUCTION

F s i r l t s d d l d s p l p d l d t e d q j c d c d t D 1 m p c m t d c B l p c n v C D l s e l U d q d

i d o m Id n pU a a v np l l c E s o r i ae n e aq r f s lua m l u e n a c b l sa o t o t t s e d le P o m e as e m p c s L b d n a r il 1 a e s i er ee 9 u d f a e t tq u s o p r u um r o e n cem g i a a aa r d b r b l u om s d e c u a bo o q e r r Le ad i u e s d l v s c c e c i t o s i m e v e i de t d m or a e c a m l , m s o t a e a a u t mh i u a u r l s d e d c e e L q r t ed i 1 u tu o r b s s e e t 9 n mo eg e u m m u r t pt p o s p n t do 3 p u c e a t d 1 r e e rt e e s x t e

ec u c e a se e i o n U a q n Ed l i d c D a r e i u t e l d ra X s e ou I l i g s Lol p e nef s o d l a o d ct n e l u p r cn r o d ote t d q r ae u a f o l d r n u e d n d i a u c e n ae f u da ci s rl n od o d a X a do a K u n d od ro n a v q ul l i o l l t e s uc v a d ee i m ci u( i a e c ao n c e i e ec d m

u rp n l nu d o x t u q qd a t e i o l Ct u i n a v e n i a ev c n o ts s f n e y o c n i q p e tr i l u r s it q eu a q g t t u b X e ar j il l ~ uc ua g v a t lc n a u vo y eetmmo r eb m m oi a e ma n tv p q I y sa o tp s u cu e n U sa l v e s t n eu a e h prs h e i o d i t s tu s i p e t o l r u c e b t a n u m r r e ic a p ao a nc u d c u i tt a aa rs I 9 p e tl a m a nl a e d g sc m r

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o e dn c m p m va n e Q g e s na sb u pi V 1 e t a l l er C o m s sa o n u u

i t s r u ls la e x b 3 o em s t r

J

d e mi d d D o c e d t m o t n d r

l s e tt d f r e i e e he d uu n i o f i ns v Ca s l cs e ot c e ho ee v n i e ( H n qtu f e lt n s f ud a n t s L tra o d l en hir e st t o n c v u na omt o e d cdr up n r a r J V e

E

COMMENT UTILISER

LINDEX

Plat en fin de volume, cest I?ndex qui donne sa valeur proprement encyclopdique i ce dictionnaire. Cest par lui que toute recherche ou. plus gnralement, toute consultation devraient commencer. Nous avons adopt pour sa constitution un certain nombre de conventions qui nous sont propres. Le lecteur les trouvera dfnies ci-aprs, exemples A lappui, sous la forme dun tableau.

l

BARYCENTRE

63 ~

ENTREde page

article indiquel

prcde dune puce et suivie dun numro signifie que cette entre est le titre dun du dictionnaire, commenant la page

:

HILBERT

ESPACE DE 596 ALGBRE 22 ERGODIQUE (THiORIE) 332 GROUPES Reprsent&ion linaire des groupes 559 HARMONIQUE (ANALYSE) 5x7, 592 NORMES (ALGBRES) 726

-

ce

mme

type

dentre peut tre suivi de rfrences

1

GAUSS

CARL FRIEI,R,CH (1777.1855) ~ ALGBRE 14. 17 COMPLEXES (NOMBRES) //6 DIopHANnENNEs (+PPR~~I~~ATI~NS) 255 DIOPHANTIENNES (EQUATIONSj 263, 267 DIVISIBILI~ 290

ENTRE 1

simple suivie de rfrences

l1

l

SUITESCALCUL INFliwrSIMAL - c&U~ une -

variable 7/CONVEXIT - Fonctions convexes /46 DISTRIBUTIONS 276 FONCuONS (REPRESENTATION ET APPROxIMATION DES) 364, 373, 385 LIMITE (N~TT~N DE)

RFRENCE

un article long : titre darticle et numro de page lwalisant la partie de texte pertinente au sein de larticle

RFRENCE RENVOIS

un arhck courtterme un

:

titre de larticle

dun

autre

NAPIER

JOHN b

NEPER

.IOHN-

pour des raisons relevant systme de transcription

de lorthographe

ou du

CALCUL SYMBOLIQUE b SYMBOLIQUE CALCUL ALEMBERT THORME DE * ALGEBRE THOR,~FONDAMENTAL DE L D

pour des raisons dc choix alphabtique

pour des rkms

dordre smantique

9

AFFINES

ESPACE a REPRE

AAA

mme forment un groupe, appel groupe affine de A et not GA(A). Une application affine u de A dans A est bijective si et seulement si son application linaire associefest aussi bijective. Ainsi lapplication qui L fait correspondre ,f est un morphisme du groupe affine GA(A) dans le groupe linaire GL(E). 4. Soit A et B deux espaces affines de dimensions finies (dim A = q). Pour dfinir une application affine de A dans B, il suffit de se donner (q + 1) points affinement indpendants dans A et leurs images dans B.

FP

P

F

L

JACQUES MEYER

I

I

oit E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K et A et B des espaces affines attachs E et F. On dit quune application u de A dans B est une application linaire affine (ou application affine) si, quelle que soit la famille finie dlments (M;, &), pour 1 < i < k, o k est quelconque, de A X K, possdant un barycentre G, u(G) est le barycentre des lments (u(M,), A,) de B X K. On dmontre les rsultats suivants : 1 Il existe une application linaire,fet . une seule de E dans F telle que, pour tout M et tout N dans A et pour M = u(M) et N = u(N) : fG=zKzL f sappelle lapplication linaire associe ll. 2. La Compose v 0 u de deux applications affines z et v est une application affine et lapplication linaire associe 1 v 0 L est g 0 f (o f et g dsignent les applications linaires associes u et v). 3. Les applications linaires affines bijectives dun espace affine A dans lui-

S

A

E

& R

F

S

E

ans la conception intuitive de lespace usuel, il ny a pas dorigine privilgie ; cest une fois quune origine est choisie que cet espace devient un espace vectoriel. La structure despace affine formalise cette situation partir de la notion de translation associe un vecteur dextrmits donnes, dfini comme bipoint, Plus prcisment, la structure affine se dfinit comme suit. Espuce @ne. Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Un ensemble A est dit espace attach lespace E sil est muni dune application de A X E dans A, note (M, x ) - M + _x,telle que le groupe additif de E opre simplement transitivement sur A, i.e. telle que (M, x) E A X E correspond un point N de A et un seul, tel que N = M + x ; et un couple quelconque de points (M, N) de A X A, que lon dsigne sous le nom de bipoint, correspond dans E un vecteur .x (appel opra11

D

ALGBRE teur de translation de A) et un seul, tel que N = M + .Y. Ce vecteur .Y se note z Deux bipoiz ABz CD sont dits quipollents si AB = CD. Soit 0 un point quelconque de A. Le couple (A, 0) sappelle espace affine muni de lorigine 0. Lapplication de A dans E, .Y = OM, est une dfinie par M bijection qui permet didentifier lespace A muni de lorigine 0 lespace vectoriel E. Rciproquement, par lapplication qui a tout couple de vecteurs (.Y,y) de E associe le vecteur x + y, lensemble E devient un espace affine attach lespace vectoriel E. Le vecteur nul de E sappelle origine canonique de lespace affine E. Si lespace E est de dimension finie, on pose dim (A) = dim (E). vfk tb linuire ujne. Un sousensemble A CA est appel varit linaire affine (ou varit linaire) de lespace affine A si, pour toute famille finie de points de A, tout barycentre de ces points appartient A. Une condition ncessaire et suffisante pour quune partie non vide A de A soit une varit linaire affine est que, en prenant un point 0 quelconque dans A, lensemble des vecteurs G O M 6Z A, soit un sous-espace vectoriel E de lespace vectoriel E auquel est attach A. Le sous-espace E ne dpend dailleurs pas du choix de 0 dans A. Dautre part, on peut montrer que la varit linaire A est un espace affine attach E (qui est appel direction de A). Si E est de dimension finie, on pose : dim (A) = dim (E). tant donn un sous-ensemble B de A, on appelle varit linaire affine engendre par B la plus petite varit linaire contenant B : on montre que cest lintersection de toutes les varits contenant B. Dautre part, la varit linaire affine engendre par (k + 1) points de A nots (ai), pour 1 < i < k + 1, est lensemble des 12 barycentres des u(. Par dfinition, les (k + 1) points ui sont dits affinement indpendant (ou forment une famille affinement libre) si la dimension de la varit linaire quils engendrent est gale k ; si cette dimension est infrieure k, ils sont dits affinement lis. Rep&e afine. On appelle repre affine dun espace affine A attach un espace vectoriel E de dimension /r la donne dun point 0 de A et dune base 3 de E. Le point 0 est lorigine du repre et les coordonnes dun point M sont les composantes de ?%?Sur la base 3. Ainsi, si :

33= @J,pour 1 < i < rz, et si :

les Coordonnes de M sont les .Y,. Gomt~ie ujne. La gomtrie affine est ltude des espaces affines et des varits linaires affines ainsi que des invariants par le groupe affine.JACQUES MEYER

ALGBRE7 algbre au sens moderne, savoir ltude des structures algbriques indpendamment de leurs ralisations concrtes, ne sest dgage que trs progressivement au cours du XIX~ sicle, en liaison avec le mouvement gnral daxiomatisation de lensemble des mathmatiques et la proccupation croissante des mathmaticiens de (( substituer les ides au calcul )) ; jusqualors, le propos essentiel de lalgbre avait t la rsolution, par des

L

A

cg u p l o l p f e o d x ar e q pn lm as u lo a i to l . co r t sa s e ou u e q L t u i e e e p n s en s op f s t u r a a c a l u g l g o t g d r c r l g e q d sd sf u e oe n ti a u en a rn l er a sq s b i s g i i , ; s o u c u g qp li a l l o b g e a m e o a cn b r lo n p d l rt d e n oh a e s l u r l u ph t ui c a o l m l ne a m o ds L t s i a gs r l eo m a i d n m e tt da r ri et h u a o s dp c v a a n n qa p o eu t r e u m ni u u tl r m x s o e t re e e n l o u rda n i i a i g d a e d n l m s a t e s ra n d uc on l s e e p s r t a l u b ed d r e ie b s e s t s r es d g li e o e t e d a t d Ee ci a o ( t l t uo c q p e cu o 5 tt oic u p o r m l v r ue e m s m ee au e o an s snd t n n lr t s i s I f i a a l u tp i m s r ue n f vs j a p u to c i t q l Nn N d u oa am ee b t a e l o r hr o t dd ts e p n N ( ei e aC i H s e a ft s s u o e le t u u n c d o d o g ch o o l e d a l1 o u lr e l aa nm - 9 m a a G Bn t p e o et l p e r a v d e 1 a : L m n 8 i G c a ra 4ta ls 7 v a u l jhc d s e m t l o r c e p ea e o s ni l n r s t u li m s ar u e ne i t m i n d m m d be d a s e la e t t s e t pel s ir , d a ie p u va l e xq t ( ep l u q u a r c r lp b v u e i d o sal r e e s m aa pt t q 1 u ) e s a . l li n T a l do X u so vu u s I a t e X o g ~ gc d c p d e r v o e a c l x e o d i q ea a u s b a u it o l x r ug u t i ?+ a S d 1 c l mi 8 t e a s , u 5 s t e 0 h l , a o d n a u n p g vn n t g a l ee e r a a ct fg i t l n d e l ad oc e t o ee t o i t im o p dr . gpu e a h e r l a c l d s V e a i( a 1 s L t vt p i t m ae d l l lu a i t a o gr e l r g s i i b, r f a 1a1 p t t 9d 0 ol t r L s a u d ud e g a t a o n r ren r u s a v s d a S y l e as t n L s bt e t e g a t se u h d r s r tn n i x d e e s q m l d u da l e m i e r ba o qa t u pu ld s u l er s l t ge i eg l e p d r i o p l p r a d l m mn . e eu c t io e L d g d e r t o ot uou to s m im S uu q i o n pdtd n p a s ct d l p e dr c a s se e b p l : l p o t o o P e a a m rs - i s o q ;i p uC n e s a em t a te u r u r r n ev i l r sj o p tc i c e e d h d d l i mo a e t d l n n s e p G v q ea a m i n a u nn r o l o em n i t P nq m e H P s su p t po . d o n al o ur i e a q l d l t d a i a h e o p e e e n roe d ten r r a c n v j e u or e a o t d n t ns u t d a gi l s s on p t l d r o d em o e u e s ac m l g s s s t s n a qa ac p p h r ui o o e e e u uC i l ae fa e p a n lu s an p l t e p i e e n h m q qt n s y c a s i t L t i d em r q e s as a u s q t i sv d o e p su h e a . f u o a r l s e cm n b g a s l l n ua el o m eb o s a t r x u n rg t s l e d l d r ce o A oo e r s i e iu n t pr u e m de n l d mc u as o e no e d a t ce n e ocs n t m e s u 1

ALGBRE

interne (,Y, y) - X*y associative [cest-dire @*y)+.~ = .X+X)] telle quil existe un lment privilgi e, appel lment neutre, tel que .5t2 = e*X = .Xet telle que tout lment ait un inverse (cest-i-dire pour tout .X il existe un lment y tel que ,~*y = JXX = e). Un tel groupe est dit ablien, ou commutatif, si .~*y = y*x. Les ensembles usuels de nombres (entiers relatifs, nombres rationnels, nombres complexes) sont des groupes abliens pour laddition ; les ensembles des nombres rationnels non nuls, ou rels non nuls, sont des groupes abliens pour la multiplication. Un important exemple de groupe non commutatif est celui des transformations de notre espace usuel i trois dimensions qui conservent la distance de deux points (ce sont les dplacements). Elles constituent un groupe non ablien si on convient que le produit S 17 de deux transformations S et 7 est la transformation obtenue en effectuant successivement la transformation T puis la transformation S.les groupes finis

Le premier exemple de groupe form dlments de nature assez diffrente de celle des nombres est fourni par les travaux de Gauss sur les formes quadratiques u.$ + ~.KY+ c_$, Ou, b, c sont des entiers relatifs premiers entre eux. Deux telles formes tant dites quivalentes si lon passe de lune lautre par un changement de variable ,Y= ~.y + qy et y = IX + ~y, O~, q, r, s sont des entiers relatifs tels que ps - qr = 1, Gauss dfinit sur lensemble des classes de formes, de discriminant D = @ ~ 4 UC donn, une loi de composition qui en fait un groupe ablien fini. Dans ses Disquisitiones urithmeticue de 180 1, Gauss rencontre galement dautres groupes finis tels que le groupe additif des14

entiers modula un entier m ou le groupe multiplicatif des racines w-imes de lunit dans le corps des nombres complexes, mais la notion de groupe napparat pas formule avec nettet avant Cauchy. En 1830, dans ses travaux sur la rsolubilit des quations algbriques, Galois ramne ltude dune telle quation celle du groupe (fini) de permutations de ses racines ; ce propos, lauteur introduit les notions fondamentales de sous-groupe distingu et de suite normale. Les groupes finis, et plus prcisment les groupes de permutations, vont tre lobjet presque exclusif de la thorie des groupes pendant de nombreuses annes ; les rsultats les plus profonds obtenus dans ce domaine au XIX~sicle sont ceux de Jordan (Trait& des substitutions et des iquutions ulgkbriques, Paris, 1870) et de Sylow sur la structure des groupes finis. Beaucoup plus rcemment, en liaison avec des proccupations darithmtique et de gomtrie algbrique, la thorie des groupes finis a connu un nouvel essor; les dcouvertes les plus spectaculaires de ces dernires annes sont surtout relatives aux caractres et aux reprsentations linaires de ces groupes : travaux de Brauer, Chevalley, FeitThomson, Novikov (cf. GROUPES FINISet reprsentation linaire des GROUPES).Groupes et gomtrie

Cest Jordan que remonte la premire tude de groupes contenant une infinit dlments, notion qui allait prendre une importance considrable durant la deuxime moiti du XIX~sicle. En liaison avec le renouveau des tudes gomtriques et les proccupations axiomatiques de cette poque, la notion de groupe de transformation va prendre un essor considrable avec ltude systmatique des invariants dun tel groupe, i.e. ltude des proprits

A

t t sf i r q n s p mu e o p a toi l na ns rdd e t r os a i a p n v ao a o ln d a nu o t es d ll sp nr v e s m d g a A u dr tn i i a s g t v e u t s d s r p i l a u m o a m e n e e c e l l f n qs el tn i s a n ts po e t rte au ou nr l e l d n ts e p c i e p s us o a ht n a nn n i e p Ne d ( d l a e l re n p d t e d as g l e s Cp a i l( c da g n g i i e s s o r l r oi ep u n s n s v t r r e au m c a e l le i o tt il l l n i d p a o t o la e u d l r r hi u a d e al e d e a o l n d c a s i o t po u n g n u q a n e n v r r i r u r e s le a o e q d e i t t a g d en m rg i e ss a ou s ( u t n lr r e ida n af f c C o F K d o s. l d a h o e r e n uo g s d n i d t nm r s o t g c ( p d ( r l) d o L ) e Ep g e rb s l r r r s ar u a , m e i va 1 q d 8 u u p g 7 n ir ag 2 n l, i n n v ag d s g re o d m n q n u os nu e f u o No n o csu n N ; souso l s r c S e tn v vo e i al : l t n L g d as t. i pu e d e lC e uet e s o u l d t t ucet e d l d d e o e d gs n d u c rp n n e a un e oa lo g t n h t r o s c ae p u t e n L p rc t s sr d l m e p e fa e u a s q o :l n d e g n tih a d u ( g )n q ( e lf ) e u s c i , iu tmo t p n d L ( sp G e v e - G c t r i R ds La er f e i O d p q e rr i u s eo i t q l al d q g n u nc e u r es e l a o l t p r e dr p s s u a i q cour d i gr ea h n s e g A l gr i m a o( n s u l t ome t p e i a r p f ee Lr f d s s a o i e q pa l j d n s u . d g a t e e t a art n tre e l ih o p i r p l n g oo a e c v r pr e rg a o u me s o h i n l o d e d g ( a or rp f en e c er t f t as p t pj n o . t . t c h l u o c a n q n o o n u s m r g i t m i a e l f ln g a o e eg i u sl o s c o m l b n e n e e t c o u c s o n c e n l t s i t 2 l o . e r s i ( Gp C RO Gf L Oq . A UL OS PK MS E I d l c e o a T ;l t R d l r a hI a e aa e E l t )l o l t a r a i t l s l g uc a a ro t o n t m s e t p d g a L u r q j r o d e u oC u o e a r t n u o i u i ne pr er nn r e d l ts qa l e h s e L un e sd c e as d a o o e n tne n rr t s t L t d K e a r e l s l a s go e lv o l art i aa ne l ir n in d ad l m e el n n vd g ta o i r t d t x l s o r p ui r le i d s ue r o a e i : e 1s K d n 8 q l o m i c d 7K u e ec K e 7ou e D uo e , rm n r e l g d p e r de r e od e a si l c m up m e p H r Au e d sl e i u o i l d c d u ei s e e s uq n g l s t tq bu d r a s h u sa e t i i a g d d et u r p e el l tr oa u n s lh d u r i e n e a a n t f d po r u or a a lm p y p d r u g a e e e t q g ld u re en d tu h h l ; p e t en i ; b q c t i u c e o e e c t s a a F t o c n n d g o i e r at s ii t e j a u o tlo m t u r p o p o l o U p G t m a G a e d it d r a l a l le g m uo na a s e i sr a ss i c p e a na s l sf r t e c o l o au s g u d r pin e o a s m p e s d i ta dor q s f t e t a u o a g q c u f e cnpn E n aL n o t e e s a a b C s e e e c p se o n s m ao q b pu re l qe a l u u l au c 1

ALGBRE

d o p ld a n s e e l maniement d en o s b r e s e n t i e r s n o m b r e s algbriques ; c s eo n t e c s r p s m o ) d f a n r e l a t i f s d te s e polynmes : u a n n e a e u t n Q ( O b t e n u s l e a os u i v a n t e: s ( ei1 s 3 t u s u nn m b r ecomplexe r a c i n d u n e q u a o e ensemble m u nd i d ee ul xo d sc o m p o s i i e t i o (n . = )0 d d ee g r n a ,coefficients f ~ t i o nn e r n e s: i t e n t i e r s irrductible s u l r c e r p Q d e s , o s n o m b r e s rationnels, o a p p e l l eQ ( O ) n e u o d m a p p e l e s a d d i t i o ne multiplication r e s p e c - lensemble, q u is tc n r p s , en os b r e s t tivement, t e l l q s ul e r a m i r e s o ui t l eo complexes u + 0a , + 0 + u , ~ _ , @ o e p e n i d g e o u p e b h e n q t u l es eac o n d e s o i t eu s i n t e n o m b r e s rationnels q u e l r a e l s o d s associative ( L (e x . y = z x ( y z : o i m p o s e c o n q u e s . ) )) n d p el u se s l conditions suivantes d d e s t r i i T o ul s e os r p s n o m b r e s algbriques c d e b u t i v i t e n t r e ed e ul xo :i s l s s o n t esous-corps d c u r p s en os b r e s d s o d m complexes ; reprenant u n i e eC e u c h y d d a q u dfinissait l e n o m b r e s complexes i s p o u ry , quelconques d a n s x 2 , lanneau. 1 1 o m m e l a s s ersiduelles d polynmes c c s e e s t commode d s uep p o s e r lexistence d u n coefficients r e lm o d u l o l polynme s e l m e n t n i p o u rmultiplication. L o r s - J + ? l Kronecker u t l a , donne, e 1n 8 8 2 , e s l q u ec o m m ed a n l s c e a d s e n o m b r e s , s p r e m i e r s exemples d c e r p( sn ot r nv i a u x ) o i rationnels p a e x e m p l e , lensemble d e sd f i n i abstraitement r s e montrant q u e , n l m e n t sd i s t i n c t s llment n e u t rpe o u r a v e c notations ci-dessus, l c o r pQs ( O ) d e L e s e l p r a m i e r e l o n io 0 e ) s t n o u p p o u r e sisomorphe a c uo r pds e c lsa s s e r s i e ( t u gr e t s l s eac o n d el o o i d n q t l a m r e a u e s t n d u e l l eds polynmes coefficients r a t i o n , i u e u e corpI . c i n s o considrera seulement l c e a sn e l s d u l ol polynme Y ( X ) . e rl s a mo e V o l multiplication e scommutative, a t e n m m p o q u e ,Dedekind e Wt e b e f o n t e r renvoyant a l f a i n h a p i t r e3 l c e an so n r e n t r ed a n st ha o r i d ec o r pl s c a l c u l d cu r l e s e commutatif. d econgruences m o d u l o n n m b r ep r e s u o m i e( m e t t a n t a i n e i n i d e n c e l ep s e r s v r L t a o r i e d e c so r p s h m i e r so r p s n ids j t d i p aG a l o i s ) c f i , u s r t e L e p rse m i e r s exemples d c e r pns o t nr i e d o n n e n t u n p r e m i r e e s q u i s s e d u n e o e s v i a uox n ttintroduits p al r ha o r i d e st h o r i axiomatique d ec o r p s . t e l f a id nXu I X i ~ c l e , eexemples d e s l s quations. L e t r s v a u xd Gea u s a v a i e n t a s s v o n t m eu l t i s famiharis l e mathmaticiens s a v e l c ec o r pd s f i n iabstraitement r c t s r l s e maniement d e n o m b r e s complexes s e tp l i e I . f la u i t e u r t o u t e c o r p ds r A b e l , u i G a l o i s , d g a g e n t l i d e n o m b r e sp-adiques, introduits p a H e n s e l p s limportance d a nd s nombreuses e dadjonction : i lconsidrent l e c o r p s e d to n t s s b r a n c h e s d emathmatiques s e s onsidc t engendrs p a r a csi n eo l ue s l e r s coefficients r a b l e , l t e c o r p d s e r i eformelles, e s s s (indtermins) d u n q u a t i o n m a i se , n e r a d f a i s t c i ea ust e u r s , dfinissent a v ep c c i - introduits p aVronse e l i n i s oan v e c e s r d gomtrie algbrique. e s i o n lappartenance d u nq e a n t i t u t n e proccupations u l T o uc s eexemples a l l a i e n c o n d u i r e S t e i s t c o r p s , n considrent p aexplicitement i l se s dvelopper systmatiquelensemble a i n constitu. I f a a t tte n d r e n i t ez , 1 n9 1 0 , s i l u a d o Dedekind ( q iu t i o d u i tl m e oc ot r p s ) o u r m e n l t t h o r i e e c s r p es d t l ee u r s n r p a e u n e u dsystmatique d c e r t a i n sc o r p s extensions s o ul s f o r m qeu e l l p o s s d e t e e actuellement. d u t n y p a es s e gz n r a l , l e c o r p d s s e 1 6

ALGBRE

la thorie des idaux

lt t c l fiz

a t q p p g a s s d l f r 5 F

d l t d F e h d m de e c a e mr g d l t d e a h o o e t n n r n s r n o o i a K n e r ds r o d e s e L u de s e c ve e e nugh i L es : r a o d Y i rs i i i e l n l d n h E 1 1o G e a n 8 s, m a s o v s 3. u bu [ a ap t dm s c r e e e Z o q e a n s ld c d uc d r p e ]od i h m , f o :u o r i d i s l r h u b e e r i s s s s qp s i a d p t d ed r u d e si o d a v p i n i r e s Z d s e d[ G e aD d l e; a s n t e a n ] u ni s ee _ l Y a + ! c oe 1 e J r i rt e n o l m ; e t t _, e _ . is Y ts Y e l e a Y p n a a ;n s o r e i d r p sn q u c e d t e f l t u p = ~ 1; i a C lu v p o d n r d a l pn vc e ra eo s ol c p p s erc i o rg a p u s te n a i n li n K r n e e d l Ze e d e r se n a c a t i d qx n p rd up g lm ee e l a s d u l l m i ee a a o n s m n d l o n x u c ee n t l e n l f q c a d a a u e e s e i n e r s o un t n L t r d K e r i s l e u s a no e d m n v c be u r mo c o mm a i j n t d F h r a e f e dl a n a r o l a r m e du i m r l u d lt la a d ap p e l np l o ds e n a a ue f s e r p rn c aqe a a r e s i t sd o t ; i r tci u f u d l d e m vo a u s f e fA a e i t f n t d a c e n a a y s pn g i c e s #o i0 n dl Z [ u a s ut s eo t o l :p u n tp n e < f o n n e d am b iar (i tm s d me x mt )i rr e u r t p n ap a r d e u c ne i e i c( f n i ip t n m a ( i i nr D o a Z [ n p l u q < m p cn fu ] e ap e e i ai n s i r p st c e n l u a od c n n re o h n m m l e i s n ed c e acm b ae e m n a c e e od p s n dee m u t ie Z [ ie; d fm sn uc e e i d le f a C o l. s o l t n e a m e d h m , pi e dl l rt Ze [ no p e e I a qe l r f : ur a e f em l ip i a u a Xo c m t n t r n n

i H p d L r d d e d d r ci e e i p s . m1 z e o n t Y p n n u o ,u o . t rn ls i ss c p . si o a Y i- e : u i e e s t o n t u ;p u t g e f pr n ai a o ie l ri tr d ( n i e ( ) op,, p2, p3, p4 t ) m d s o v f na o a u s b u i c e e o t iu r o lt n n q : u e c i t e p mp pa t o p rb t u o eh e r s mr > 3 I e p . q l s (r d l u a (( o = t e @ X= m PbP 2 l 3I a o ) P P t Hd F iu ei e ot l mr n i e pm = P l a i 4 @ G l 3l P = f e d a l r c g a i e ra q n t u o s n s , e n , e l d d t e e d x s s u: e c c d l o Z a t m d. o n a l m e u s n e t m n l Z [ s d m Q uuiqw e ( a a n &) = n c= n i P P lr e u i n ld l n pa v r mn a e es n r s n q d s u i p l e i df a c p do r p m E o r m n d e l e u m f a c 1 a h 8 a dp uK 4 n r i u 5 s e t m , f s m f L n d ad o a s t n e i s n n n ( i e t )o ( d s r jm o b a d r g a q r e s d p umo s t d a ( a mq p d d au p e i i e s v no l i tn d ~r u c l l o p u d le m c r cpe au o a ) i aq n bl t ~ l s ni a c i e tl l s a a n i d d t ai ca e nv e yi t m e s a n i 1

ALGBRE

les travaux de Kummer, par Dedekind dans le cas des anneaux dentiers algbriques (cf. i@u). Dedekind montra que les N nombres idaux N peuvent tre reprsents par les idaux de lanneau, donnant ainsi un exemple de loi de composition entre ensembles dlments. En gnral, un idal nest pas inversible pour la loi de composition ainsi dfinie ; par symtrisation de cette loi, on introduit les idaux fractionnaires qui sont importants en thorie des nombres et en gomtrie algbrique. Les anneaux auxquels on peut gnraliser la thorie de Kummer ont t tudis systmatiquement lpoque contemporaine, conduisant la notion gnrale danneau de Dedekind. Un outil essentiel est ici la notion de valuation dun corps introduite sous forme gnrale par Krull en 193 1 mais dj Utilise antrieurement dans des cas particuliers, par Ostrowski notamment ; les idaux premiers dun anneau de Dedekind sont en correspondance biunivoque avec les classes de vahtations quivalentes du corps des fractions de cet anneau.lments entiers

algbriques dun corps K de nombres algbriques forment un anneau, que Dedekind appelle un ordre (le mot anneau est de Hilbert). Dans un thorme clbre et profond, Dirichlet dcrit compltement le groupe multiplicatif des lments inversibles de lanneau des entiers dun corps de nombres algbriques et ce rsuhat a dimportantes applications arithmtiques, notamment dans ltude des reprsentations des nombres entiers par des formes quadratiques. Plus gnralement, si A est un anneau contenu dans un corps K, on peut dfinir les lments du corps qui sont entiers sur A ; un tel anneau A est dit (( intgralement clos )) sil est gal lensemble des lments de son corps des fractions qui sont entiers sur lui. Ces anneaux ont pris une grande en gomtrie algbrique importance contemporaine depuis que Zariski et ses lves ont mis en vidence lintrt des varits algbriques dites normales, qui possdent la proprit quen chacun de leurs points lanneau des fonctions rationnelles dfinies en ce point est intgralement clos.Gomtrie et algbre algbrique commutative

Ltude arithmtique systmatique des corps de nombres algbriques ntait possible quen introduisant une notion diment entier jouant, pour un tel corps, le mme rle que les entiers usuels pour le corps des nombres rationnels. Les progrs dans ce domaine furent raliss peu prs simuhanment et indpendamment par Kronecker et Dedekind pendant la seconde moiti du xtxe sicle. La notion dentier ulgkbrique est due Dedekind : un nombre complexe est un entier algbrique sil est racine dun polynme coefficients entiers rationnels dont le coefficient du terme dominant est gal 1 ; les entiers18

Il nest pas question mme desquisser ici lhistoire de la geometrie algbrique, qui tait au dpart ltude des courbes algbriques, et qui, sous sa forme actuelle, la thorie des schmas, due au mathmaticien franais A. Grothendieck, est devenue une des branches les plus abstraites et les plus vivantes des mathmatiques contemporaines ; nous essayerons seulement de montrer, de manire dailleurs bien incomplte, comment les premiers besoins de cette science ont conduit lintroduction et ltude axiomatique de nouveaux types danneaux.

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o o dpe ( ih d n m eo ( g s l l p d l ge r o e da od rt ta N e i i i e ie s d e ot td n ns n a e l t l sg d s d b r q t u l ue c d l po p a ce l u r e n n o a r n o t s o m n d oj b p e cs dn co 1a a d l t d Ga h f ae o 1 l g ( d e c er , r ( p t ti t m r i )i e c ; A a e )e l C f i m ~r o . d p W e a R ev t tc i d lr u u a p d t d a ee J r ur st a S tt p A v ii q o l ne og b a e d i qa id l h g s u re p u r d m n et e d i sr s qi t um n r d ti aog a c A R e e D v in l t t e a ed e a cc l m a e n o t u s c d s ep s l e n o d iu m tp r e dnr a a rc t s et n n t eoe d fm t s t a n e i ia t o u f r o p a dn a gt c e e r i t o c u at e fc n n s on ( l ;l s m ea a d i d s n a h f i v a q l r p l g e er u o s n e o r o tp s m r d l c s r e a od ce a e eua Anneaux locaux ett localisation b s e n f t rn l n e e q l d c u a ee ee l n s t r, u e o d e t a, d s a L t Zn d n a g v d p o oe a m i l dn n t p r e d p n ua ti . H d s t i s al a r l e unn e n p b s a r o v p os s l n r e d , gm e ea r e u d p p e o v l d l a d f u y h r e o s g d oi u v n i a a la n l f i qe a t m l i u d i oc pe n d e a t de elt u os a p e c ss r g p l d u oo a s e n p ou n n n f a nn o g u i p r t mc n n r : i d e no e i o e e a b u s d C c de j o i u es n l nd c a n d q de e e d n i d t mi s t i u a p lu g r i ln r e l m a e aq nc p i t t nu l da a o e o di e o a l t v l e mr d e a s aa i e c t dd l v al d i ( h e p s d a E N l q v. o l u 1 em e ce tc i 9 lr i t2 am u , ns e h0 s a -e d e d s i y a c ( e se n r a t p e e d tu p ms ds nl an o e n a a c n n t L o p p s u qa el a n a d e a e u tl s e n l e r e h g a s lp o g o b d r l m c a l e e t d a gn g s ct a e m d ep l p ne b d a f r t n ca e o e q d s o s nm u a n r r m d x s o d t u xh i i es o cy t D um p c g i e t o oo l u r a a e n l l c d b ee l o n e da s t a r a aes i l p t t nse n op s u o a n c g co r u n t o p d d n 1 e e i e q 9 pn s u r p u o4 r e , v e t cu e n0 to ,is a t ei n a l b n e t r r o a a e n u s n f l o x u n; o a u t e d c e r t l ts e t r au i i n( g n e ~ e t q n ( e oe u s i1 se p n t m la tr n c a (n e o r d c c D a e ao c d n a e dr d gt rn d fis e e n s d er d n e d o ap s p e i u ra x g i n r m n s e m ia u l q u fln p o l r te o n d m l et o o h t :b q l ta id K u a h n s ee u e n i d a vm a n r t e a gy p v p la a d o p s l e au o a a d s l rl n o bi n u l fn E l n u n i d av a o da ee b a n v s u ca K oup n c r o , n r el eia r p v t s e d n na d p e d a t a i s d c ao n d us e u nu t a no e t t a c S e es p t l i c a in e e m en i u d xr b m e b dn d i s p e t e ru e p am l o s c m e c d ci i t e p e e q e d u dr s u r l x e c s o ia u a u r ot d v n x :r u e a n A s m c o i a o cn n i m s m e np o l a c t Ke q e o e f d , nd u u s e ri s i e s i a d lr n d e r d d K su u ae s p n v n n d p K sa e n d K p l a d a p n dl e r a a o s ld yn u l P a o p a i i ie n e p l c t dn . # 0u qo l n o c X r i tpuu e A ao19

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son inverse x appartient A ; ces anneaux correspondent lensemble des lments de K O une valuation de K prend des valeurs suprieures 1. Reprenons lexemple de lanneau ZwJ ci-dessus pour expliquer dans un cas particulier la mthode gnrzdle de localisation. Considrons une quation diophantienne : P(x,, . . . . X) = 0,

coefficients entiers rationnels. Pour trouver les solutions entires de cette quation, on peut dabord chercher les solutions qui appartiennent au corps des quotients Q de lanneau Z, puis, dans une seconde tape, les solutions rationnelles dont le dnominateur nest pas divisible par un nombre premier p, i. e. les solutions qui appartiennent lanneau Ztil, appel lanneau local de Z qui correspond au nombre premier p Bien entendu, si . lquation considre une solution dans Z, cette solution appartiendra tous les anneaux locaux Zwj. Dans le cas dun anneau gnral A, on peut de mme rsoudre le problme pos dans les anneaux locaux correspondant aux idaux premiers de lanneau. La rsolubilit de lquation dans chacun des anneaux locaux (locahsation) est une condition ncessaire dexistence dune solution dans lanneau A. l,tude de la suffisance de ces conditions (en nombre infini dans le cas gnral) sappelle la globalisation ; signalons tout de suite quen gnral la globalisation nest pas possible sous la forme indique ci-dessus.

O P est un polynme

dbut du XIX~ sicle dans lenseignement lmentaire et nglige des mathmatitiens, lorsquune axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en vidence. Sous sa forme actuelle, lalgbre linaire est une remarquable synthse conduisant un vocabulaire et des rsultats qui sappliquent presque universellement dans tous les domaines des mathmatiques et de la physique contemporaine, tandis que le processus de (( linarisation N apparat comme essentiel dans de nombreuses branches des mathmatiques pures et appliques. La notion fondamentale est ici celle despace vectoriel ; elle gnralise les proprits de lensemble des vecteurs de notre espace trois dimensions. Un espuce vectorie/ E sur un corps K est un ensemble appels (( vecteurs F), muni dlments, dune loi de groupe ablien note additivement et dune loi externe qui tout couple (a, x) dun lment a du corps K et dun vecteur ,Y de E fait correspondre un vecteur u.,~ de E de telle sorte que lon ait :u.(b.x) = (ub).x, pour u, b dans K et x dans E; lx = x, pou tout x de E (1 est llment neutre de K pour la multiplication) ; (u + b .x = u.x + b)

~IJW a,

b dans .

K et x

x

dans E; a.(.~ + y) = IZX + b.y, pour L dans K et x, y dans E.

Les applications dun tel espace vectoriel E dans un autre qui respectent la structure despace vectoriel, i.e. telles que :

pour a dans K et x, _Vdans E, sont dites3. Lalgbre linaire non et les origines linaires. de lalgbre Structures commutative

linaires

Ltude des quations et systmes dquations du premier degr tait relgue au 20

Une aZgbre E sur un corps K est un K-espace vectoriel E muni dun N produit N qui est une loi E X E -+ E hnaire par rapport chaque facteur (on dit bilinaire). Si cette loi est associative,

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et admet un lment unit, on a une structure danneau. Par exemple, les nombres complexes forment une algbre sur le corps des nombres rels. Espaces de dimension finieLa reprsentahon gomtrique des nombres complexes introduite par Argand lavait amen implicitement dfinir laddition des vecteurs du plan ; plus gnraIement, la ncessit dun calcul de nature (( gomtrique )), ou (( intrinsque )) (i.6~ indpendant du choix du systme daxes de Coordonnes), allait conduire Grassmann, M6bius et Hamilton dgager durant la premire moitit du XIX~sicle, les rgles du calcul vectoriel et, presque simultanment, gnraliser les proprits de lespace 0, il existe un couple et un seul dentiers rationnels q et I tels que :a = bq + r, O 2 (en effet, dans lanneau K[X,Y] des polynmes a deux variables, lidal (X,Y), form des polynmes de la forme XP(X,Y) + YQ(X.Y), nestpasprincipal). Lanneau K[[X]] des sries formelles coefficients dans un corps K est factoriel ; mais, par contre, lanneau A[[X]] peut ne pas tre factoriel mme si A est un anneau factoriel (contre-exemple d a Samuel). Pour terminer, signalons, en liaison avec la dfinition donne plus haut, que tout anrwau,jtictotiel est iritigraletnent clos. En effet, soit .y~~, .y, y lments de A, un lment du corps des fractions de A ; on peut supposer que s et y nont pas de facteurs premiers communs. Si ,~_J~ est entier sur A, il est racine dun polynme coefficients dans A dont le coefficient dominant est gal 1, soit :

3. Les anneaux de Dedekind et la thorie multiplicative des idaux Lextension de larithmtique classique aux anneaux dentiers algbriques sest longtemps heurte au fait que ces anneaux ne sont pas factoriels. Par exemple, dans lanneau Z[m] des nombres complexes de la forme a + ih VT, a, h entiers relatifs, le nombre 4 admet les deux dcompositions :4=2x2=(l+iVT)(l-iV3)

xny- + a,x-y-+

+

+ a = 0,

en facteurs premiers non associs deux deux et par suite cet anneau nest pas factoriel. Dedekind, partir des travaux de Kummer, mit en vidence que, pour un tel anneau A, la notion importante tait celle didal premier et non pas dlment premier, comme pouvait le faire croire ltude lmentaire des entiers relatifs. En somme, tout revient ici remplacer ltude du monode A* des lments non nuls de A par celle du monode M(A) des idaux non nuls de A ; on trouve lunicit de la dcomposition en facteurs premiers (( idaux H. Chaque lment a non inversible de A* tant identifi Pidal principal (a) quil engendre peut ainsi scrire, de manire unique, comme un produit didaux premiers. La dfinition abstraite des anneaux de Dedekind que nous formulons ici a t donne pour la premire fois, en 1927, par la mathmaticienne allemande Emmy Noether. Anneaux de Dedekind

a, E A ; on en dduit que : Par dfinition, on appelle anneau de Dedekind tout anneau intgralement clos et noethrien (cest-a-dire dans lequel tout idal est engendr par un nombre fini dlments, cf. infia) dans lequel tout idal premier non nul est maximal. Cela signifie

cest--dire que .? est un multiple de J>. Mais si y nest pas un lment inversible de A, on obtient une contradiction puisque, daprs (F& tout diviseur premier de L doit alors diviser .y. 32

ANNEAUX

COMMUTATIFS

que le quotient de A par un idal premier non nul quelconque est non seulement un anneau dintgrit mais mme un corps. Lexemple le plus simple dun tel anneau est lanneau Z [W] des nombres de la forme a + b XT, u, I entiers relatifs, d entier tel que d E 2 ou 3 (mod. 4). Plus gnralement, Dedekind a dmontr que, si K est une extension finie du corps Q des nombres rationnels (K est appel un corps de nombres algbriques), alors la fermeture intgrale A de lanneau Z dans K est un anneau de Dedekind (A est appel lanneau des entiers du corps K ; cf. thorie des N - Nombres O algbriques). En fait, B M lexemple prcdent, qui est trs important en thorie des nombres, est lui-mme un cas particulier du rsultat algbrique suivant : soit A un anneau de Dedekind. de corps des quotients K, et soit Lune extension finie de K (cf. C ; alors O fermeture intgrale la R de A dans L est un anneau de Dedekind. Lintrt essentiel des anneaux de Dedekind rside dans la structure particulirement simple, pour un tel anneau, du monode M(A) des idaux non nuls. On a le rsultat suivant : un anneau dintgrit A est un anneau de Dedekind si, et seulement si, tout idal non nul de A scrit de manire unique ( lordre prs des facteurs) comme produit didaux premiers non nuls. Soit a un tel idal non nul ; crivant p si lidal premier p figure a fois dans la dcomposition de a, on peut donc crire a de manire unique sous la forme :

en convenant que ~~(a) = 0 quand lidal premier p ne figure pas dans la dcomposition de a ; par dfinition le produit ci-dessus est alors gal au produit fini correspondant aux idaux tels que v&a) > 0. Lintrt de cette convention rside dans des formules du type suivant : si a et b sont deux idaux, alors on a :

cest--dire,

avec les notations

ci-dessus,

r&ah) = r,,(a) + t+(h). Remarquons que lexistence et lunicit de la dcomposition de tout idal de M(A) R E S comme produit didaux premiers permet dappliquer M(A) tous les rsultats lmentaires relatifs la divisibiht des entiers ; par exemple si a et b sont deux idaux non nuls, leurs diviseurs communs, ou P leurs multiples communs, ) sont Les S diviseurs, ou les multiples, dlments appels respectivement Le P.G.C.D. et le P.P.C.M. de a et b et qui scrivent :

respectivement.idaux fractionnaires

les p! tant des idaux premiers distincts. Dsignant par P Lensemble des idaux premiers non nuls de A, on crit souvent cette dcomposition sous la forme :

Soit A un anneau dintgrit ; la structure du monode M(A) des idaux non nuls donne des indications sur la structure du monode multiplicatif A*. De la mme manire, pour tudier La structure du groupe multiplicatif K* du corps des quotients K de A, on est amen a tendre la notion didal. Un sous-ensemble a, non rduit [OI, de K est appel un idia f~uctionnuiw si cest un sous-anneau de K stable par multiplication par les lments de A et pour Lequel il existe un lment d # 0 de A tel que & appartienne A pour tout .Y 33

A

C

N

O

N

M

E

M

A

U

U

T

X

e r e d 5 q e t i e uf i d u v t ni dr t ( e : p en u cy u e 1 d e lr d s p a s i p d e a t r ec V a = Vl o nte r ~ f & - s t t( d n u n P fy l oi u _ i , c o f nt l V a x c r oK d f u o s dn e r , s e t u i a( s n d d ra A e1 u sA p cu . n1: u a o o s e l e e n su c q i s n l nu e du t i a o u s n d in lu t a r n l a ;d r l t d a ai a h en c d s s t o ia r o ra s n ai p o cp d u t e v i ul n eu l i n u e d p tt s s O v v i o q u p a i z = e X u dr o u K r l r tJ e a u o u t l v af d a e i iu l s l ns d n f o n d u .i xc ; l ~n c h a r e e y I e f d gl s a a e i t c dn l V s sa c d n , u ai t r qr l , e u i a u n f f l ro u e ap s u l e t an a l i :e p e d s an a s s e b d i d t pr d o ae d u ( d l i nt s x2 c e ( f l)i i f d or v q n f a a u ( c r r ud e z t a i E xe A a r l d s f e d oe i ps u n mp n o Omo s i a u) u n e b l e ei v a K s co iu , d t . , d u a e I Xd Y a e put y b Ja n s (en , Jn n s t d s , l u d n i f o d a r lu p p a ev r f a p cv d ne o o s l K e el - n u e t v t ( t d ee Z U a C a sn q + l: C ) n s u { e d d a e b n ua ; e l t o I i b d A t p K a p ) u s* ( i a r i f d n rn e a o a u ( s p i a z n c l at o n u V t s u x lu et e ne d e m p c o m o e n Uu t o n Z dr l tr e ie + ; C Ow i f d a er d i s a i V = a C c t (x m t l i t l i e u i f x n d b tri q ea u s a lc e t l t e P ~ = I~ ( @ ~ a = A A c b t . v e o e p e t n r e c t m u e t i V +Z >m ( @ ~ J I@ C c lh ~ m d au n o d in o n ne u n f t v e i e e A n in t e i i p r d a d De n : e U as n e e d n o p nad n n o a k u o u e e u f tc ai o u v d D e u ae e d s n nd t ne ek d ine r l n a ai i ; u st d i n q t i f u o d n r ne eu t o a p a n u a t t v le c l t r e f a d v A r ps o e a n e os s o s lu u i ) L m n I ) e oi d v ( p e n d e r ) a o e r u i u . o f n rn e a o au u g s lt n cr l t d o A R l tos s pe eu r t m q e t v u ap m e t u d t co g l l t ooi m u ( o s nu e e a A p s d m e u e i lu a n c n p c i i s t oi e o r o q - u r s s i b u p du t i r a s p s; i d e m rr a u lu x e d f p es a l f r : so c a o e , u c n bo e e ilr n v ( a n d p l o i o s A e l i u p t e n d n r d r s o el i d) ax p t s e o . n O l l s d ee , w o e nn & l nl s s A t U e t u u a s l r e nd e s p u n a of dn o u p u i m f Z d r e i r n b e ei l a r - s t t p d h m D c i d a e e l n Z d t n ec r s , e t o ( so t a] se .mc m s N -a N O p r u a Mo e - Bx c t m r i e s d c n p l a f o t a ae r n i t i d i d p e f f e c d q nV

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e l u mi e u a e r t v a l a k iop d e r)d o nne l e n s r

ANNEAUX

COMMUTATIFS

anneaux de poiynmes plusieurs variables. propos de recherches sur la thorie des invariants, Hilbert mit en vidence le fait que tout idal dun tel anneau est engendr par un nombre fini dlments et montra tout le parti que lon pouvait tirer de cette proprit ; par l mme, il dgageait limportance des anneaux avec conditions de finitude qui allaient tre tudis systmatiquement sous forme gnrale par E. Noether. Signalons que les conditions de finitude en un sens plus large jouent un rle absolument essentiel dans toutes les recherches (( gomtriques )) contemporaines en gomtrie algbrique ou analytique (au sens moderne, savoir ltude des espaces analytiques) et dans de nombreuses questions dalgbre homologique.Dfinitions quivalentes

Un anneau noethrien est un anneau commutatif unitaire A qui vrifie une des trois conditions de finitude quivalentes suivantes : Condition (u), dite de chane ascendante : G Toute suite strictement croissante didaux est finie )), ou encore : a Si :a,C a2C

Ca C ...

est une suite infinie didaux de A encastrs, il existe un entier n tel que a = an _, = >). Condition (b) : a Toute famille non vide didaux a un lment maximal )), ce qui signifie que si (a)), E ,, 1 non vide fini ou non, est une famille didaux de A, il existe un indice i0 pour lequel lidal a+ nest contenu strictement dans aucun autre idal de la famille. Condition (c) : N Tout idal est engendr par un nombre fini dlments )F, cest--dire que si a est un idal de A, il existe des lments ,Y,, .... ,Y,,, en nombre

fini, tels que a soit lensemble des lments de la forme U,X, + + u,,x~ lorsque a,, .... an parcourent A indpendamment lun de lautre. Esquissons la dmonstration de lquivalence de ces trois conditions car elle est instructive. Pour montrer que (u) entrane (b), on raisonne par labsurde. Si la famille (a,), fz l nadmettait pas dlment maximal, alors pour tout i E 1 on pourrait trouver j E 1 tel que lidal aj contienne strictement lidal a[ et on pourrait construire ainsi, par rcurrence partir dun idai ai, une suite infinie strictement croissante didaux. Montrons que (b) entrane (c). Soit a un idal et considrons la famille des idaux de type fini (cest--dire engendr par un nombre fini dlments) contenus dans a ; cette famille est non vide car elle contient {OI et par suite elle admet un lment maximal b engendr par des lments ,Y,, .....Y~.Pour tout .Xde b, lidal engendr par les lments ,Y,, .... ,Y,,, x contient b, appartient la famille didaux considre et par suite est gal b puisque b est maximal. Ainsi a = (x,, .... .Y~). Pour terminer, montrons que (c) entrane (a). Soit an une suite croissante didaux encastrs. On vrifie que, dans ce cas, la runion des idaux an est encore un idal ; daprs (c). cet idal est engendr par un nombre fini dlments x,, .... -Y~ et, par dfinition dune runion, il existe des entiers p,, ,,., pm tels que ,Y,E aP, , , ,Y E ap,,Il est maintenant clair que, si JJ est le plus grand des entiers p,. . p,,, on a ak = a pour k 2 p.Exemples danneaux noethriens

Par dfinition, les anneaux de Dedekind, et en particulier, bien entendu, les anneaux principaux, sont des anneaux noethriens. Une source importante dexemples ne rentrant pas dans les prcdents est la 35

ANNEAUX

COMMUTATIFS

remarquable proprit de stabilit suivante, dcouverte par Hilbert : si A est un anneau noethrien, lanneau A[X] des polynmes 1 coefficients dans A est lui aussi noethrien ; par rcurrence, ce rsultat stend i lanneau A[X,, . . . . X,,] des polynmes I variables sur un anneau noethrien A. On obtient ainsi que lanneau des polynmes I variables coefficients dans un corps K est noethrien, alors que cet anneau nest ni principal, ni mme de Dedekind, pour TI > 2. Signalons que le thorme de Hilbert stend lanneau A[X,, .... X,J des sries formelles coefficients dans un anneau noethrien A ; dans le mme ordre dides, si K est le corps des nombres rels ou nombres complexes, lanneau des K {X,, . . . . X,!] des sries convergentes est noethrien (cc ANNEAUX ET ALGBRES),Dcomposition primaire

Le thorme de dcomposition de Lasker-Noether affirme que tout idal dun anneau nthrien scrit sous la forme :

Remarquons que, pour un anneau commutatif avec unit, les oprations dintersection et de produit de deux idaux jouent des rles assez semblables. Dans le cas des anneaux principaux par exemple, si p et q sont deux lments premiers, alors @) (q) = @) n (q) et par suite la dcomposition dun idal en idaux premiers peut scrire indiffremment :

O q! sont des idaux primaires auxquels les on peut imposer les deux conditions suivantes ; aucun des idaux q, ne contient lintersection des autres et les radicaux pI des idaux q, sont des idaux premiers distincts (cf. supru, chap. 1). Il ny a pas unicit pour une telle dcomposition, mais les idaux premiers p, dfinis ci-dessus sont dtermins de manire unique et appels les idhtx ptwniers 0% lidul a. Parmi ces idaux premiers, ceux qui sont minimaux, cest--dire qui ne contiennent aucun des autres sont dits ~~~~1~~s ont une grande et importance en gomtrie algbrique. Cette terminologie est justifie par le fait que, dans le cas O a est un idal de lanneau K[X,, .... X,J des polynmes n variables sur un corps K. ces idaux isols correspondent aux composantes irrductibles de lensemble des points Kl O sannulent simultanment tous les polynmes de lidal.JEAN-LUC VERLEY

cette situation est dailleurs la mme pour un anneau de Dedekind quelconque. Dans le cas dun anneau noethricn, le monode multiplicatif M(A) nest gure utilisable, mais on peut donner un thorme de dcomposition de tout idal comme intersection didaux dun type plus gknral que les idaux premiers, les idaux primaires (cf. sz.tpru). 36

ANNEAUX

& ALGBRES

ANNEAUX & ALGBRES

(d) existence. pour tout .Y de A, dun lment, not ~ .Y, tel que : (-xx+(-x)=0 est appel.4 loppos de X)

;

finis par des axiomes qui dgagent les proprik usuelles des D oprations daddition et de muhiplicatien dans les ensembles de nombres ou les polynmes, les anneaux cons&uent le cadre gnral dans lequel on peut appliquer les rgles du calcul algbrique lmentaire. Nous donnerons dans cet arkle les dfnitions gnrales et des exemples. Pour une tude plus dtaille des anneaux qui interviennent en thorie des nombres ou en gomkie algbrique, nous renvoyons i lintrieur de ce texte i dautres articles.

(4 OI

x (MI = @Y& (associaGviGde la m&iplication) ; X(Y +z) =J? +.= (y +zjx =_VX+zx (double distributivit de la multiplication par rapport laddition) ;

(g) bien que cela ne soit pas toujours ainsi dans la littrature, nous supposerons lexistente dun lment unit pour la mukiplication, souvent not 1, tel que :l x =

*

1

Dfinihons

.

Anneaux Un u~~rwu~ A est un ensemble muni

de deux lois de composition internes @, J) - .Y+ y et (.I-,J,) - A-J, appeles addition et multiplication respectivement, qui possdent les propriks suivantes :

(

~ x(commu~ahh

4

+

Les proprits (a) (d) expriment que A est un groupe commutatif pour laddition. Dans de nombreux exemples. la multiplication est de plus commutative, cesti-dire XY= !,Y : un tel anneau est alors dit commtdf~ Cependant on ne peut pas se limiter ce cas. car des anneaux importanb dans la pratique, les anneaux de matrices par exemple, ne possdent pas cette proprik ; comme on le verra au dbut du chapitre, le calcul algbrique dans de tels anneaux rclame quelques prcautions. Pour terminer, indiquons quun cas particulier Vs important est constitu par les anneaux dans lesquels tout lment non nul est inversible, cestil-dire a un inverse pour la mukiplication ; un kl anneau sappelle un corps (cf.

CassociaGviG de laddition)

: + ;

(

.

Y

C

O

R

P

@l

de laddition)

(c) existence dun lment, not @,tel que, pour tout lment Y de A on ait : x+o=x(lment neutre pour laddition)

Un sous-ensemble B non vide dun y = anneau A est appel un XXMVIMW~~,sil contient lunit multiplicative et .Y~ 1 et .\-y pour tout couple dlments Y et 1 de B : B est alors un anneau pour les res&ictions i B de laddition et de lamukiplicaCon,

y

;

37

ANNEAUX

& ALGBRES

Algbres Nous

a n q u v c

m n i ua t q u s rt u t e de d r q o u m S K u c c o n o O di o e E e un K u s o ns u ~ nK sl c u e , ig V s l c e K m u d o ca e u n i ma o c ut: t sE x

i

B U c p o l ni r f c t ; li r a en u h e b i r n it m e ao e u t u de p n, d s v d e d r n a rp t p l n a i i li E -

. nt a i a e r s mr eb u i a en o s t b n o p r t d ii ne e a c a n u s s l o v a t ;o o d r q f e n ui e u mt s sq p A er m ts ou d B ta u o s an s b a n i u em ln D s / l o t W e p u ba s a i h d e i a e r nt d u pao p i e e ey n d s s r l e n i i n s n to in oE

q r

e

b i c

uc a f

s

i l p hs

i pt l i 2. a p :r a

e a i Exemples c p i

n s t danneaux r et n algbres qp to s ua er

;;;

(~+~~).z=~(x.~)+~~.z), x. (Ay+ w) =A@ .y) + P@.z),

q q s e l Gs O p a l K n l u a S l m p d t a i l d a a p a

O r d n ae e d e an n t e b d d n r aa e od p e nr m u o ;n n u c o od v o i u u l u u o , y ez dl Ee e i Y c , s l eq e ,eh s m d m xo n e e d e u e Pt Aee p a c ) st K p u p a l a a ir a . p n d e rd d a u te o d n eu u t s un sv e tf d mt e sa l ri e p a m l r i ul s o t o n p o u c m lr s n o re a u d e c rs i s s i s e u e pt c t q s u - s s r e c n n mo n L em ed e n n m e n s ae s o ts u d o i a u e a o s le s t n t s ts x d r i io e l p mp m a ;c s r c u eo o l eul pp d c e r s g e d m i e - ut o a u l pu i d e te et r b n s c : t e i l Z d eu p r i l e enr n d l d c a a t a e lu a n s i c sf un n su s f o ti e e n no m p l q a u i rn g e d l u e i n l Qe a ns C c y b n, s n, s , i e r R a s s s r r o e c a c tt o r e i edonneoux et aigbres

Homomorphismes

S a C d l , b

( a h A l 3

m s d c e S oA e e u o a n in ss nr c l o A [ .... X d m X e p H A e B do a t ( ei d n o ue e i n v o u hnc u e a l d x to x a r c s nnl n ; s A o K e s n i = t e l a t d A dp g B f Ae e u ap a . u b n r i u c x f af l n o n d li p r & e o o a ao d gu n o r n c es K s n l ni m eo d o q f e n u ir s u s drp Ko e u t a aah n e U ae fu a n n x d o n n e n d l ( d o s o i ? l ~ c r o e a e ocu u s a p s l mc o a t l s f d a t ( rd n pl n Y d e ( e n d eE s d : r e ) v E;s E e d d e i s e Hi fc a c a l e ie l o ls s t g b d m rC e d a e a i s n t P i ( nt a ost L g c El Il u e sv A e B s t i e d tl o e n cen t L It = lA p t sg i o M o c u u ab r lr d xn a eo p d ) o e ye q k . Ydt s u mC u re e eo l nm c i d es Lv l ( t e se a ; on i d p q ml e pl u p t au e loi i a rs m f i u d A s l n eu o d iG n - iGe t R d L t r l Oe tm o l i 8

A A

& A N

L

d B n e o n otion par un nombre rel h sont ules fonce l a e tions dont les valeurs en chaque point sont Lexemple suivant montre le caractre un respectivement la somme et le produit des peu insolite que peuvent prsenter certains anneaux. Lensemble , (E) des parties 2 valeurs en ce point ou le produit par P, de la valeur de la fonction en ce point. Si on dun ensemble donn E est un anneau pour analyse les proprits qui ont permis de les oprations d(( addition H et de (( mulmunir lensemble prcdent dune structiplication H qui a deux sous-ensembles X ture dalgbre, on constate que, de manire et Y de E font correspondre les sousgnrale, on peut munir dune structure ensembles : danneau ou dalgbre lensemble des ( exx t nn yy y applications dun ensemble quelconque E dans un anneau ou une algbre respectirespectivement, en dsignant par X et vement, les valeurs en un point _vde E des Y les complmentaires de X et Y dans fonctions somme, produit et ventuelleE ; llment nul est ici lensemble vide ment produit par un scalaire tant donnes et llment unit est lensemble E tout par : entier. Remarquons que le (( produit )) de

x

Le procd prcdent permet, bien entendu, de dfinir des structures danneaux ou dalgbres sur de nombreux ensemblesw dc fonctions u contenus dans & , u lensemble, considr ci-dessus, de t les fonctions dfinies xdans un ensemble et . , valeurs dans un anneau ou une algbre. Ainsi, les fonctions continues ou diffrentiables valeurs relles dfinies dans un ouvert du plan constituent des algbres sur le corps des nombres rels. Il est clair quil est possible de multiplier volont les = x x + x exemples de ce type. do la conclusion. Ces anneaux sont Lorsquon sintresse a ltude locale importants en logique symbolique (algbre des fonctions au voisinage dun point, on des propositions) et dans la thorie des est conduit a introduire des anneaux et circuits lectroniques (algbre des ciralgbres dun type diffrent du prcdent. cuits). N prendrons pour exemplelalgbre u des o g di~jbnctionsmul~Qtues ?Ilt?gitw 0 e m A e a n d t l n f e o g du plan complexe. a Considronsb les couples t e n c u (U,f) dun voisinage ouvert de 0 dans le Les fonctions relles dune variable relle plan complexe et dune fonction,fdfinie et dfinies dans un intervalle [a, b] de la droite relle constituent une algbre en analytique dans U. Nous dirons que deux convenant que la somme et le produit de tels couples (U, f) et (V, g) dfinissent lc deux fonctions ou le produit dune foncmme germe a lorigine sifet g concident 39

X par lui-mme est gal a X car on a xnx=x. Revenons aux notations usuelles en dsignant les lments dun anneau par des lettres minuscules. Gnralisant la situation prcdente, on considre des anneaux, appels u d B n qui possdent t la e O proprit que le carr de tout lment est gal cet lment : x = x = x Il en 2 rsulte que, pour tout lment _x, on a .v + .x = 0 ; en effet, crivant que le produit de x + ,y par lui-mme est gal .y + .y, on obtient :

r

x

ANNEAUX

& ALGBRES

sur un voisinage ouvert W de 0 contenu dans U f7 V ; il est clair que cette relation est une relation dquivalence ; par dfinitien, le germe dune fonction analytique dfinie dans un voisinage de 0 est sa classe dquivalence pour cette relation. Montrons que cet ensemble des germes peut tre muni dune structure dalgbre sur le corps des nombres rels ou des nombres complexes. Soient A et B deux germes et h un nombre rel ou complexe. Si (U,f) et (V,g) dfinissent les germes A et B respectivement, nous appellerons germe somme, germe produit et germe produit par le scalaire A, not A + B, AB et AA respectivement, les germes lorigine des couples et (U n VJ; g,), (U n V,.fr + .g,), (U f V, Af,), O,~, et g, dsignent les restrictions au voisinage U n V des fonctions f et g ; on vrifie alors facilement que les germes A + B, AB et AA sont indpendants des reprsentants (U,f) et (V,g) choisis et que lensemble des germes est ainsi muni dune structure dalgbre. De manire gnrale, les anneaux de germes de fonctions diffrentiables ou analytiques jouent un rle absolument essentiel dans la thorie des varits diffrentiables ou analytiques.Anneaux A de sries

A : (q, u,, . . . . an ,...) ; une telle srie formelle est souvent note :

notation quil faut considrer pour linstant comme un pur symbole. Dfinissons la somme et le produit de deux telles sries formelles ; on pose, par dfinition,

o Ci est la somme finie :aobp -k a,bp-, -k + akbp-k + k apbw

Il est facile maintenant de vrifier, en utilisant les rgles du calcul algbrique dans les anneaux (cf. chap. 3) que lensemble A [[Xl] de ces sries formelles est muni dune structure danneau ; si A = K est un corps, cet anneau est une algbre quand on dfinit la multiplication scalaire par la formule :

tant un anneau commutatif, on peut dfinir de manire purement formelle et algbrique des sries coefficients dans A ; dans le cas O A est le corps des nombres complexes ou des nombres rels, nous ferons jouer un rle particulier celles de ces sries, dites convergentes, qui possdent un rayon de convergence non nul. On appelle srie _f~rmelle ( une variable) a coefficients dans un anneau commutatif A une suite infinie dlments de

Par rcurrence, on peut dfinir lanneau des sries formelles I vdriables coefficients dans A ; par dfinition, cet anneau, not A [[X,, .., XJ, est gal lanneau des sries formelles ( une variable) coefficients dans lanneau A [[XI, .... X+,]] des sries formelles (n - 1) variables. Toute srie formelle n variables est dfinie par la donne, pour tout systme de n entiers p,, ....pf7 positifs ou nuls, dun lment a ,~, ,,,~ de lanneau A et scrit symboliqucment sous la forme :

40

ANNEAUX

& ALGBRES

Limitons-nous maintenant au cas o A est le corps des nombres rels ou des nombres complexes. La srie (*) est dite convergente si elle a un rayon de convergence non nul, cest-a-dire sil existe un nombre rel strictement positif R tel que la famille de nombres positifs :

e,, .... efl de cet espace. On appelle tubk de multiplicutionde A la donne des produits :

n

soit sommable (cela signifie quil existe un nombre M qui majore toute somme finie de tels nombres). On montre que si deux sries sont convergentes, alors les sries formelles somme et produit sont aussi des sries convergentes ; ainsi les sries convergentes coefficients dans le corps des rels ou des nombres complexes forment des anneaux, qui sont dailleurs aussi des algbres sur R nots ou c, R IX,, .... X,J et C {X,, . . . . X,?} respectivement. Ltude de ces anneaux constitue la partie locale de la thorie des fonctions analytiques de plusieurs variables ; ainsi, montrons, pour ?z= 1 par exemple, que lanneau C {X} des sries convergentes coefficients complexes est isomorphe a lanneau des germes de fonctions analytiques lorigine introduit ci-dessus. En effet, toute fonction analytique dans un voisinage de lorigine est dveloppable en srie entire convergente et deux telles fonctions dfinissem le mme germe si, et seulement si, elles sont somme dune mme srie entire dans un voisinage de lorigine ; par ailleurs, la valeur, pour z complexe assez voisin de 0, de la somme des sries (( somme D et (( produit D est gale respectivement la somme et au produit des sommes des sries considres (cf.FONCTIONS ANALYTIQUES).

(les & lments u,,~ de K ainsi dfinis sont appels les constantes de structure de lalgbre A) ; connaissant la table, on peut cakuler le produit de deux lments quelconques par bilinarit. On reprsente souvent la table par un schma double entre. Par exemple, la table de multiplication du corps des nombres complexes considr comme une algbre de dimension 2 sur le corps des nombres rels est la suivante :1 1 ti i 1 i i -1

Rciproquement, soit E un espace vectoriel muni dune base e,, . . . . e,,. Si on se donne, pour tout couple i, j dentiers compris entre 1 et FZ, des lments de lespace E, nots e,, e,, on peut prolonger cette loi par bilinarit lespace E tout entier. Lespace E est alors une algbre associative admettant cette loi pour mulsi, on a tiplication si, et seulement remarquons que (ci e,) eA = e, (c, ek) i lalgbre ainsi construite est commutative si, et seulement si, e, e, = ei e,. Ce qui prcde montre lutilit des tables pour dfinir des algbres. Nous allons donner un exemple clbre de cette situation. Soit K un corps commutatif; dsignons par e, i, j, k la base canonique de lespace vectoriel K4 et choisissons deux lements p et q de K. On appelle ulgsbre de quuterniom sur K lalgbre obtenue en considrant sur K4 la table de multiplication note H :$ = e, ei = ie = i, ej = je = j, ek = ke = k, i2 = pe, ~2 = qe, kz = -pqe, u c ji c k, jk = kj x qi, ki z -ik z -pj.

Algbres

de dimension finie

Soit A une algbre sur un corps K dont lespace vectoriel sous-jacent soit de dimension finie n et choisissons une base

41

ANNEAUX

& ALGBRES

Un cas particulier trs important sobtient en prenant pour K le corps des nombres rek et en choisissant p = CJ= ~ 1 : on obtient ainsi les quuternions proprement dits, introduits par Hamilton. Pour ces quaternions, on peut dvelopper une thorie analogue 5 complexes : si celle des nombres Y = UC> bi + cj + dk est un tel quater+ nion, on appelle conjugu de .Yle quaternion .? = UC~ bi - c:j ~ dk : les rgles de calcul montrent alors que :

situation prcdente constitue historiquement le premier exemple dune telle reprsentation.

3. des Calcul Les

Proprits anneaux algbrique et algbres dans les anneaux

et par suite tout quaternion inverse :

non nul ,Ya un

rgles du calcul algbrique usuel sappliquent dans les anneaux moyennant quelques prcautions dans le cas exemple. si non commutatif: par .Y,, .... .Y,~~, .... y,,sont des iments dun J',, anneau A. le produit est gal 1 la somme des WI produits .y,~,. Mentionnons une importante notation qui montre quon peut faire (( oprer )) lanneau Z des entiers relatifs sur un anneau A quelconque. Si Y est un entier relatif et x un lment de A, on dsigne par n.~ la somme dune suite de I tcrmcs gaux s si I > 0, llment 0 si 12= 0 et loppos de la somme de ~7= ~ n termes gaux i ~ s si I < 0 ; il est clair que cette notation possdc les propriktks habituelles :I (m) = (mn) x, (n + m) .x = ?Cc + mx, = t2.x + ny, (n.x) (my) = (WI) @Y), n (x +Y)

x-l = (a*+

bz + c* + d*)-Z,

tel que _Y.\~~ .Y-.Y e. On traduit cette = = proprit en disant que les quaternions forment un corps mn ~mmututff; cet exemple des quaternions constitue une situation trs privilgie, car on peut montrer que cest le seul corps non commutatif de dimension finie sur le corps des nombres rels. Pour terminer, remarquons que les matrices de la forme :

L+ C -c+id

ib

c + ida-ib 1

rels O u, h, c, d sont des nombres quelconques forment une algbre et que lapplication qui, au quaternion flc + & + d + dk. fait correspondre la matrice ci-dessus est un isomorphisme car les oprations usuelles sur les matrices correspondent ici aux oprations correspondantes sur les quaternions ; ainsi lalgbre des quaternions est isomorphe i une algbre de matrices. La recherche dalgbres de matrices isomorphes i une algbre donne est le problme fondamental de la reprsentation hnaire des algbres ; la 42

pour m, 17 dans Z et s, _Idans A. Lexemple des amieaux de Boole montre quil peut exister dans certains anneaux des entiers I > 0 tek que f?l = 0 ; on appelle uwmtkristique dun tel anneau lc plus petit entier n > 0 pour lequel tzl = 0 et on dit quun anneau est de caractristique nulle si ~21f 0 pour tout II > 0. Ainsi tout amieau de Boole est de caractristique 2, alors que l.anneau des entiers relatifs est de caractristique nulle : de manire gnrale, tout anneau de caractkristique nulle contient une infinit dl-

ANNEAUX

& ALGBRES

(x +y)n

une galit du type u_x= u_r. Ainsi, dans un anneau de Boole unitaire, on a toujours .~-~y = s (.y- 1) = 0 et, par suite, le produit de deux lments non nuls peut tre nul; de mme, dans lanneau (de caractristique nulle) des fonctions a valeurs relles dfinies sur lensemble runion de deux ensembles X et Y sans point commun, le produit de deux fonctions lune nulle sur X et non nulle sur Y et lautre nulle sur Y et non nulle sur X est nul (cf. chap. 2). De manire gnrale, on dit quun lment .x # 0 dun anneau A est Remarquons que, si .x et y sont deux un diviseur de &a ( gauche) sil existe un lments quelconques dun anneau A, on lment ,r # 0 tel que xy = 0. Un cas a: particulier de cette situation est constitu par les lments non nuls dont une puis(ainsi, , dans lanneau des si .y et _)cwnniutent : . = y alors on x sance est nulle y x entiers modulo 4, cf. icfra, le carr de la retrouve la formule classique : classe du nombre 2 est la classe nulle) ; un tel lment non nul dont une puissance est nulle est appel un lment nilpatent. Les Cette situation se gnralise aux idmtitb anneaux commutatifs sans diviseurs de rwnurquubles, qui sont valables si les lzro sont dits int>gres (on dit aussi quun ments qui y figurent commutent. Par tel anneau est un anneau dintgrit) ; on exemple, on a : peut alors (( simplifier 1) par un lment a xn-y = (x-y) (x+ + xn-zy + non nul puisque ux = uy est quivalent + xy+* +y+l), u (_x-y) = 0, qui entrane s ~ y = 0. ments (si n et fn sont deux entiers relatifs distincts les lments nl et ~1 sont distincts car (n - ~7) 1 # 0) et par suite tout anneau ne contenant quun nombre fini dlments est de caractristique non nulle. Pour terminer avec les notations, indiquons quon dsigne par ,xJ,n entier > 0, le produit dune suite de n termes gaux a _x; il est clair que deux telles puissances de .x vrifient := xa + +-y + + cfp-pyp + + y

Idaux

(formule du binme) si .x et J commutent. Puisque pour I premier tous les coefficients CA, Ci, C:i- sont des entiers divisibles par n, il rsuhe de la formule du binme que si .y et J) sont deux lments qui commutent dans un anneau de caractristique n premier, on a (_y+ y)!?= ,? + y ; dautre part, sous les mmes hypothses, on a (.y~)= ,V_r. Ainsi dans un anneau commutatif de caractristique I premier lapplication .y- _y! est un homomorphisme danneau. Dans un anneau quelconque, il nest pas toujours possible de Hsimplifier par a ~1

Soient A et B deux anneaux (ou deux algbres) et f un homomorphisme danneau (ou dalgbre) de A dans B. Lensemble N des fments de A dont limage par f est llment nul de B est appel le ~UJW def; cest un sous-groupe additif (ou une sous-algbre) de A qui possde la proprit supplmentaire suivante : a Pour tout lment x de A et tout lment 2 de N, les lments ,vy et ~.y appartiennent encore a N. 1) De manire plus gnrafe, on appelle id&& guuchc dun anneau (ou dune algbre) A tout sous-groupe additif (ou sous-algbre) u tel 43

A

8 A N

s

L N

G E

A

B U

R

X

gn pa t l n m c au l g e o q s s e y s du i t o q ee l u se e n a Je i l l du t d A e 7 r e t l X s e u ,u J s o n s pe es L m d e l f l . x m e ie sa Y p u o nn l o r a d ? Ol d e d mn l . e f e d e ct x e eu e i a d c d r p l af q o A ce r a a u l i r, a i u e G m t a Ha d m e e l st _ a a X Jp p , d W e x dp r a g _ t Yu d a C ; n a o rgnr I s ua p y u, n m m M d aAn g e b a p a u a A U e q , cn n l n u do s g o i e m e e u n e ii i u o l s d n d a no t e h oe l f u im s a o f no dn t o m s ss p i f u n . o + p +i .c xo m l ee e n xh , ( d e u i r g t n e d a o a u t a t ui e a t f a d i M ;b d e a s l i n At qn an / e d r ue nm n e s e c ts o c t dot m e y M e l u . d m p t eiqs x e u l e d A u ! s t s d in c T ao c o a nm o u U u n o % n # A d dcai t n e t A e d i n a n i n d ut a o t x i a xi e d i b e dp i u a m l x s ar a ca d s l ni c s um o i a e il p n p d u d u A l D t r t e l . e e o a to i d k a t l i n i d m m& et s d de e a l 0 e l m ct p i r e A a a te e e n s d lt l t e ; u io d a n d d u l it n Z d t si r n n e e c d i ee d e p d O ssv i u r ici (Cf. ANNEAUX a COMMUTATIFS) p qUC tOUt i n t t xo r u r i e n d i o Z ne d t lel r es g ( d e p at a f q s a a u u u cc n e i n s m n Ip u o vl n q ; i n p d l p a D ra s i o d o ed d u l r xu n o (m a c F p(n o s ep s il Z lw n i t e s x d p i e d : m rl i o l p d s s e i iu m u n e n t ;n ti d s l d e r e l n ma e sm t u n m l e s e ln a e u a lr o n n@b e m m i n d n n f ou i on u ( mn d t s ) e) rss a a i e i t eet d nn r#l a d i p e e Fc s i e e a l pt p e r pp n ns n i a ep i g ts l ; ) ( i n p c nd s # 0a e e i e t qst t ( sa # A ec u n t l I # ,t k 1 e n e u e l a d l i Z al i n m , ne d a diffrent de Z si n # k 1) et on peut m u ad t m a fo d ue n en l . r ue e m q t io e ud c t dn ( s ee e ys t cf t o po r L m r n r d l e e e se a n ANNEAUX COMMUTATIFS); d m d eb p a d t u u a d f n n l e o d n d n m ee e r c s a sa ni t ux u s d in Kutt a e m nn l rii d t f q s o e u p u ne u n nr o i a scs n d u l l dt c m :. ui i d a uo a n u n g c not iq d- n I m n u p a s d n HrD i i o a tn u d e d t n d l l i sr ts e i e f e a ot s n a v u p ec t d o i no i; u c o ul a i i u a go n n nd f i s id i i c in g i a dd na m af mo a H ar u e g d oa b rs pu i u r c lN i h a o l xt f ce t u p u bl e g i o n e x s c i o v O f o m o a a n NORMES i l c v n p t o q l ud f q e i a d l u u d l m ne ed n e a i o u l e e al n t m g d f , e e eo e o s q d f u o n e i e e u uo i s Ln n d n d t ic n a ds d n a a ae d e s en l r n em n. t o s i i O e d d q sn Mn e u pu i t u l d a s n p e i n u to o s q d A u l e d, i e e il d c a m tn q d i e aa i i m u n s l x e d Aq c e Mu ( o e a m i i nu x u io l i s t m v cs n u u q o ct u e u t i s n eA t d e a e lu o n a t tl t im li o , o d i Y q e l p Lp u i s cc l d , e ii d t ao u l t d d le s d i l a i n t a et l D u c r s d la e a s t e n i d n M ; o d a a q M ne i u l s n u s t n oy t e tl d sf c e d g d e o e U qe , ne n g u W u ea e rt o o r l n an r g i d i e n e r m n o ds d r e p u n e p M nP e a .l g a x r l e r g e4 4

ANNEAUX

8c ALGBRES

(U,,fl sannule pour 2 = 0 (if en est alors de mme de tous les reprsentants dun tel germe) forment manifestement un idal. Cet idal contient tout idal propre : en effet si g est une fonction analytique dans un voisinage de lorigine qui ne sannule pas pour z = 0, il existe un voisinage U de 0 dans lequel g(z) # 0 et, par suite, dans lequel Il (2) = l/g(z) est analytique ; ainsi le germe A, dfini par g, a un inverse B dans lanneau (cest le germe dfini par 11); tout germe C est alors un multiple de A car C = (CB)A et le seul idal contenant A est donc lanneau des germes tout entier. On dmontre galement que tout anneau de sries possde un unique idaf maximal. Les anneaux de ce type, qui peuvent aussi tre caractriss par le fait que lensemble des lments non inversibles est un idal. sont appels des anneaux locaux.Anneau quotient

pendantes des reprsentants s et J choisis et que lensemble quotient est un anneau (ou une algbre) not A/u pour les oprations ainsi dfinies. A sappelle lanneau quotient de A pur lldeal TL. Il est clair que si A est commutatif, alors lanneau quotient par un idal est encore commutatif, Avec ces notions, un idal % dun anneau commutatif est maximal si et seulement si lanneau quotient A/% est un corps.Anneau modula Nous des entiers n relatifs

dun anneau (ou dune algbre) A jouent un rle fondamental dans ltude des relations dquivalence sur A compatibles avec sa structure danneau (ou dalgbre). De manire prcise, toute relation dquivalence telle quon puisse munir lensemble quotient dune structure danneau (ou dalgbre) pour laquelle lapplication canonique (qui a un lment fait correspondre sa classe) soit un homomorphisme sobtient de la faon suivante : il existe un idal bilatre W tel que deux lments .y et _r soient quivalents si et seulement si leur diffrence .v -_)I appartient a lidal TL. Si X et Y sont deux classes, on dfinit leur somme, leur produit, et ventuellement leur produit par un scalaire A, en choisissant des reprsentants ,y et y de X et Y ; on vrifie alors (ct ici intervient le fait que % est un idal) que les classes X + Y, XY et AX des lments .v + y, .y~, et, ventuekment k sont ind-

Les idaux bilatres

allons maintenant indiquer un exemple fondamental danneau quotient qui montrera que le calcul des congruences dans lanneau Z des entiers relatifs rentre dans la thorie des anneaux. Soit TIun entier positif et considrons la relation dquivalence dfinie par lidal (n) = TZZdes multiples de n ; deux entiers ,v et Jj sont quivalents pour cette relation dquivalence si, et seulement si, leur diffrence est un multiple de n, cest-adire avec la terminologie classique en arithmtique, si .y et y sont congrus ~~~o~iulo TI (cette relation est note .v e y, mod. n) ; la classe dun entier x sappelle la classe rsiduelle de Y modula n. Daprs les proprits du quotient dun anneau commutatif unitaire par un idal, lensemble Z/?rZ des classes rsiduelles modula IZ est un anneau commutatif unitaire ; il en rsuke en particulier quon peut appliquer aux congruences les rgles usuelles du calcul algbrique. Dans lanneau Z/nZ, les classes des nombres 0, 1, .... H - 1 sont distinctes car la diffrence de deux tels nombres est infrieurc a /z cn valeur absolue et par suite ne peut tre un multiple de n ; rciproquement, tout nombre entier est gal a un de ces nombres un multiple de n prs. Cela 45

ANNEAUX & ALGBRESmontre que Z/nZ est un anneau fini contenant exactement I lments qui sont les classes 0, 1, .... n ~ 1 des nombres 0, 1, .... I ~ 1. Le tableau ci-joint donne premier avec p et par suite il existe des entiers relatifs u et v tels que up + vq = 1 (thorme de Bezout) ; passant aux classes dquivalence, on a ti@+ $4 = kj = j et par suite 4 est inversible, dinverse G; ainsi tout lment non nul de Z/(p) est inversible et cet anneau est un corps souvent not F,, (Cf. C O R PJ V E E A

S

I

l

=

3 Bibliographie

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w

B O D

A

~

les tables daddition et de multiplication dans les anneaux Z/2Z, Z/3Z et Z/4Z. On y remarque que Z/2Z est un anneau de Boole, car (b)z = t!l et (i)2 = 1 ; rciproquement, on peut montrer que tout anneau de Boole sans diviseur de zro est isomorphe lanneau Z/2Z. Dans lanneau Z/4Z, llment 2 est nilpotent car son carr est nul. Lanneau Z/3Z est un corps, car tout lment non nul a un inverse dans lanneau. Montrons plus gnralement que lanneau Z/pZ est un corps si, et seulement si, p est un nombre premier. En effet, si p est un nombre entier positif non premier, p est le produit de deux nombres entiers q, et q2 positifs et strictement infrieurs p ; on a donc d = p = q,q? et Z/pZ nest pas un corps car il contient des diviseurs de zro. Rciproquement, si p est premier, tout nombre q > 0 plus petit que p est 46

A - A

A N E APPLICATION

P F

F

A - P

P

PAPPLICATIONS R

A F

-

D P F O

REPRSENTATION8 APPROXIMATION DES

A

S

Y

M

P

T cAtcutsI O T

Q

U

A D - DAPPROXIMATIONS

P I I

P O Odes fonctions

?+

R P P

1. Comparaison de la croissance

Ltude de la manire dont des quantits tendent vers linfini ou tendent vers zro a constitu, i la naissance du calcul infinitsimal, au X sicle, la I thorie I V des ((infiniment grands H et de leurs inverses, les (( infiniment petits )), et a 1 est difficile de dfinir avec prcision ce fait lobjet de polmiques Passionnes, que lon appelle mthodes U.YJWZJI~~~~souvent paramathmatiques. En effet, qua en analyse mathmatique. Ainsi, lors labsence dune conception prcise de la de ltude dune suite ou dune fonction notion de limite (problme qui ne fut dont la nature est Complique, certaines pas abord sous forme rigoureuse) renquestions ne ncessitent que des renseidait mystrieuse la nature de ces quangnements dordre qualitatif tek que tits qui, tout en tant comparables entre Y(X) + 0 ou .f(_~) -.+ + w pour ,Y+ + c0. elles, ntaient pas comparables aux nomDautres exigent un contrle quantitatif bres ou aux fonctions. De plus, cela trs prcis, dfini par des ingalits explireprsentait lintrusion de linfini dans cites. Les comportements asymptotiques les calculs et, bien que cet infini ft relvent dune proccupation intermpotentiel et non actuel (en ce sens que diaire : dans de nombreux problmes, on linfini ntait pas considr en lui-mme remplace la quantit tudie par une autre comme un tre mathmatique soumis k plus simple sans que, (( c la limite )), le des rgles opratoires prcises), cela susrsultat soit modifi. Par exemple, la relacitait des problmes philosophiques aux tion mathmaticiens, Chauds par les nombreux ((paradoxes de linfini H qui ntaient pas encore clairement analyss. La recherche des H vraies valeurs H des suffit i tablir la convergence SIlinfini de formes indtermines, rencontres dans le lintgrale de J Les exemples qui suivent calcul des drives par exemple, allait montreront la nature de ces proccupatiens. cependant montrer limportance de ces Du point de vue strictement technique, notions et les justifier, tout au moins les mthodes asymptotiques sont extrmeempiriquement, aux yeux des mathmatiment Varies et, en dehors de quelques tiens. Ces questions ont t systmatiquersultats relativement gnraux, chaque ment lucides par Paul Du Boiscas particulier exerce lingniosit de celui Reymond, qui, dans une srie darticles de qui ltudie. Nous nous limiterons, dans les 1870-1871, a pos les fondements du chapitres 2 et 3, h lexpos de quelquescalcul des infiniment grands (Znjnittirunes de ces mthodes. culcul) en mettant en vidence limpor-

A

CS

AY

KM

~

1

A

S a

Y

t

M

c

P

u

T

t

O

t s l d t d

l n a d e a do a o l t e l d dt c eT o c r l f rr e oe l t d He r a

d

; i

c n e nd g ar i o o e m d oi u e as a n

det lo c l e il m e c o t v i a oav p h r e l u n d i i a tl ae e S en e g s t t a v f r ds i l f i o de o n u r ao p . a u np g s ose Y s s t a rn v ut n as o rt d ug f er g n m i f a vo q s u t o e t i s u e s rp vx t 6 q vd o l a u e e ey u o n : n o t

R D o g v d n v m d i d e

d

n c ) e

f , l u p v

S f c a < s < a d d d d a q f e d P e

e o l m a p b t a i r f ) a q e o d n u m s e b a s r n t a v d ul o s l er i i e n s & o l o tt d n r ue d ( d d u ( r i f ( t v x1 p e t e )v o . Ye r n d r f ) , a do fu n n (n du c ne en t l R q e c n i u m e pa pn n g or o ot r si u ui a ia r nt b r m p q l d a u - i ms s _ g ( a e y d o v ( uc n a _ no u c r ~ en n t i ) t e i c lo i m o d m . e u g Y o o v Y s edr r u b o t a s un l q e r s o nd u fr r ae om s n u F a l . po l d e e o u b r yq . + . ui ,a a mx e u v Y ds lu i ? t Y o L r e? s ea n l r nn o a c i c t e n c a p f ou l r or i nn d fi u e x e e o rc d e q t s a i b f oe p s so on t p l . i n d e d m n e il u a c p s e e nn t l r t us f o u v or io r a tu e e (f P c i i a c lr 2 e q f n p r h e ) t n d op a ~ h