Ebene projektive Kinematik. I1

Von JURGEN TOLKE aus Stuttgart

(Eingegangen am 24. 1. 1973)

WBhrend wir im Teil (I) den Schmiegkegelschnittl) einer Bahnkurve zum Ausgangspunkt unserer Betrachtungen machten und so zu einer Krummungs- t heorie 1 . Art kamen, gehen wir im fiinften Abschnitt von den in der euklidischen Kinematik mit den Bahnnormalen zusammenfallenden Polstrahlen aus und gelangen so zu einer (weiteren) Kriimmungstheorie 2. Art.

Das Zusammenfallen der beiden Kriimmungstheorien kennzeichnet dabei (wegen der Realitatsverhaltnisse der Polbahnen) die peeudoeuklidische Kine- iiirttik - wie iiberhaupt durch Spezialisierung oft lBngst bekannte klassische Sachverhalte im neuen Licht erscheinen. Neben einer befriedigenden Deutung dcr im dritten Abschnitt eingefiihrten Biischelgrundkurven gelingt es uns hier, ei ne weitere iiberraschende Eigenschaft des FRlrNgschen Kegelschnittnetzes N wfzufinden.

Im anschlieflenden sechsten Abschnitt untemuchen wir die zur Kriimmungs- 1 heorie 2. Art gehorige CREMONA-Transformation und konnen zeigen, daB die i in klassischen Fall nach BOBILLJER, GRUBLER und EULER-SAVARY benannten kinematischen Sachverhalte einen wesentlich allgemeineren Giiltigkeitsbereich hesitzen.

6. Kriimmungstheorie 2. Art

In der euklidischen Kinematik kann der Kriimmungsmittelpunkt der Behn- lturve eines Punktes bekanntlich auf zwei (aquivalente) Arten gewonnen werden. Einmal als Beriihrpunkt der Bahnnormalen (des Polstrahh) mit deren Evolute, zum anderen auch als Mittelpunkt des die Bahnkurve in zweiter Ordnung be- riihrenden Kreises (Schmiegkreises) .

Nachdem die sinngemal3e ffbertragung der Schmiegkreise in die projektive Kinematik mit Erfolg gelungen ist, ist zu hoffen, daB auch die Ubertragung der Bahnnormalen zu Bhnlich schonen Ergebnissen AnlaB gibt.

1 ) Fur Bezeiohnungen und Literaturangaben verweisen wir auf Teil (I).

188 Tallre, Ebene projektive Kinematik I1

Sei also X ein fester Punkt bei der projektiven Bewegung /3 ( t ) . Wir betrachten die drei Polstrahlen Pi X . Diese werden im allgemeinen beim Bewegungsablauf in der Rastebene jeweils eine Einhiillende besitzen: Die (i)-Evolute, deren Punkte wir als (i)-Kriimmungm&*nUe 2. Art Yi( t , z) bezeichnen.

Die (i)-Evolute der Polstrel-2x1 Pi X 8.- Ort der (i)-Kriimmungsmittelpunkte 2. A r t Y , I

Nach dieser Erkliirung ergibt sich fur den (i)-Kriimmungsmittelpunkt Yi (t, x) bei der Bewegung p ( t ) unmittelbar die Darstellung

( 1 ) Y i ( t , z ) = [ i ~ i z l s ~ i - [ P i p i z I . ~ , wobei i, 9, . . . in diesem Abschnitt steta als Abkurzungen der rechten Seite von (3.6') aufzufassen sind. Analog- gilt bei der zugehorigen inversen Bewegung p ( t ) ! Gehen wir gleich zum zugehorigen Gangsystem uber, so folgt fur den (i)- Kriimmungsmittelpunkt Zi (t, y ) bei der Bewegung fi (t)

( 2 ) ~ i ( t , Y ) = [3i Pi Y I . pi + [Pi Pi Y I * Y- Hiermit folgt der

Satz 11. Bei einer projektiven Bewegung ist die Zumdnung X H Yi ( t , x ) eines in der Gangebene befmtigten Punktes X zum (i)-Kriimmungsmittelpunkt 2 . Art Y i ( t , x) an jeder Stelle t fur jedes i E (1, 2, 3 ) eine quadratische birationale Transformation.

Korollar. Die durch den (i)-Kriimmungsmittelpunkt 2. Art gehende Bahn- kurve der zugehorigen inversen projektiven Bewegung hat den ursprunglichen Punkt als (i)-Kriimmungsmittelpunkt 2. Art.

Bemerkung. Damit (1) und (2) fur alle i E (1, 2, 3) sinnvoll sind, setzen wir im folgenden - wie echon bei der Kriimmungstheorie 1. Art - stets voraus, daJ3 der betrachtete Punkt X nicht auf dem momentanen Fixdreiseit liegt.

Satz 11 zeigt, daB die Verwandtschaft von Punkt zum (i)-Kriimmungsmittel- punkt 2. Art wesentlich einfacher ist als die analoge bei der Kriimmungstheorie 1. Art. Es liegt die Frage nahe: Wann fallen die beiden Kriimmungstheorien (fur ein festes i!) zusammen? Wir formulieren hieriiber gleich den

TGlke, Ebene projektive Kinematik I1 189

Satz 12. Bei einer projektiven Bewegung @ ( t ) habe die durch X gehende Bahn- hrve den (i)-Kriimmungsmittelpunkt 1. Art Mi(t , x) und den (i)-Kriimmungs- mittelpunkt 2 . Art Y i ( t , x). Diese beiden Kriimmungmitt~unkte eind genau dann fur a& X an jeder Stelk t identisch, wenn die Bewegung eine spezielle h a m i s c h e f~,(t)-Beuqung bt, bei der die PoEbahnen pi und pk ( i 4 j 4 k =I= i ) zu je einem Punkt degenerieren.

Beweis. Ohne Beachritnkung der Allgemeinheit sei i = 3. Sollen M3(t , z) und Y3( t , x) zusammenfallen, so mu13 die Polare von Y 3 ( t , z) bezuglich dem (3)-Schmiegkegelschnitt @(t, 2) die momentane Fixgerade P , P2 sein. Fur

Y3 = Y h gilt daher mit den Abkurzungen (4.1)

ai3 yi + a:, yl = 0 und a:2 yi + a b yi + 0 . Setzen wir hierin die Bedeutung der a ; k , yi ein, so ergibt sich

p:= (al - a2) W , - 2(a1 - u3) ( u ~ - u ~ ) z [ ~ , ( u , - 0,) + (&xi- &z2) (x3)23 = 0. Insbesondere gilt damit fur alle x' auch

(al - Uz) w, + 2(az - 03) (u, - a3)2 [ h , ( ~ , - a2) + (&xi- B:z~) ( ~ 3 ) 2 3 = o

( 0 2 - 0 3 ) a + ( 0 1 - 0 3 ) B = (Ul - 0 2 ) (0, + 0 2 - 2 0 3 ) w, = 0 ,

d. h., unsere Bewegung ist notwendig eine spezielle harmonische Ij3 (t)-Bewegung. Beriicksichtigen wir dies, so folgt

a = (al - a2)2 ( u ~ - 0 3 ) {(z1)2(/?: 2 3 - 2 2 ) + (x2)2(/1; z1 - x"}. Somit ergibt sich aua a = 0 fur alle X notwendig

1 0 = p; = = p2 = 0 .

Da umgekehrt aus ( ) und xn = 0 auch Y 3 ( t , z) = M3(t , x) folgt, ist der Satz vollatlindig bewiesen.

Bemerkungen. 1. Dieser Satz - der eine Kennzeichnung der Bewegungen der pseudoeuklidischen Geometrie darstellt - folgt naturlich auch unmittelbar &us Satz 4 und dem oben gezeigten Korollar.

2. Als Nebenergebnis ergibt sich: Die drei Punkte X , Hi ( t , z), Yi(t, x) sind genau dann kollinear, wenn es sich um eine spezielle harmonische 9, (t)-Bewegung handelt. Vergleiche dam auch Satz 5.

Zu jedem Punkt X gehoren drei Krummungsmittelpunkte 2. Art. Fur ihre Determinante berechnet man mit ( 1 )

(3)

Die Punkte X , deren drei Krummungsmittelpunkte 2. Art kollinear sind, liegen somit auf einer dem Basisbiischel (hi, h,) angehorenden Kurve dritter Ordnung T,. Diese beriihrt also die Polbahnen in den Momentanpolen.

Die Formel (3) liefert noch mehr! Sie enth&lt eine Kennzeichnung der (all- gemeinen) harmonischen Bewegungen, ntlmlich den

[yl y2 y3] = - T, mit Tfl:' ( t , x, - n - U k ) h 2 ( x ) * i< k

190 Tolke, Ebene projektive Kinemetik I1

Satz 13. Die harmimischen Bewegungen sind unter den projektiven Bewegungen dadurch gekennzeichnet, daJ die Wendepunktskurve der Ort derjenigen Punkte ist, deren jeweils zugeh6rigen drei Kriimmungsmittelpunkte 2. Art st& kollinear sind.

Nach Konstruktion bilden die sechs Punkte Pi, Yi(x) fur jedes f a t e t und jeden feat gewiihlten Punkt X zwei DESARGUEssche Dreiecke mit dem Zentrum X. Wir wollen uns nun die durch die zugehorige DESARQuEssche Konfiguration eindeutig bestimmte v. STAUDTSC~~ Polarita ps ( t , x) berechnen ! ( w . BLASCHKE? Projektive Geometrie, Baael 1954, S. 00f.)

Eine einfache, aber etwas langwierige Zwischenrechnung liefert fur die zu- gehorigen Koeffizienten s ik ( t , x) = ski( t , x):

s i k = ~ ~ ~ i ~ i x ~ ~ ~ P ~ ~ ~ x ~ ~ ~ ~ ~ j x ~

si, = ( C J ~ - C J ~ ) ( ~ i - uk) (4) [Pipi X ] * h z ( ~ )

+ sgn ( i j k , ('i - O(k-)) [pi pi [ p k p k ' ( x k ) 2 ,

wobei j =I= i =I= Ic =t= j und i, j, k E ( 1 , 2 , 3) gilt.

v. STAUDTBChe Kegelschnitt An jeder Stelle t E J ist somit jedem Punkt X in eindeutiger Weise der

P,(t, 2): S i k ( t , x) zi Z k = 0

zugeordnet . Es lie@ nahe, nach denjenigen Punkten X zu fragen, die auf ihrem zugeord-

neten V. STAuDTschen Kegelschnitt liegen. Wir gewinnen 80 den bemerkens- werten

Satz 14. Die Punkte X der Basiskurve hi ( t , x) = 0 sind dadurch charakterisiert, dap der v. STAuDTaChe Kegelschnitt P,(t, x) mit dem Punkt x inzident k t .

Bemerkung. Nach der bei der Kriimmungstheorie 1. Art fur die speziell harmonischen Bewegungen gefundenen Deutung - Satz 6 - der Basiskurve

( 5 ) hi ( t , X ) = 0

liefert uns somit die Kriimmungstheorie 2. Art eine bereits im dritten Abschnitt angekiindigte befriedigende geometrische Deutung der Basiskurve (6).

Mit der Baaiskurve ( 5 ) laseen sich nun weitere Halbinverianten geometrisch deuten ! Dazu beatimmen wir uns die zugehorige HEsssche Kurve dritter Ordnung (d. h. den 01% der Punkte, deren Polarkegelschnitte in zwei Geraden zerfauen). Man h d e t dafiir

mit gewissen Koeffizienten ai j E und

Tolke, Ebene projektive Kinematik I1 191

Die ~EssEsche Kurve geht somit genau dann durch den Momentanpol Pi, wenn die Halbinvariante (vom Gewicht vier)

( 6 ) B;BfB& ( ~ ( k ) - uj) - Bi B t i i , ( ~ j - a(i))

vcrschwindet (i + j + k =I= i). Genau in diesem Falle zerfitllt also die zweite I'olare von P j beziiglich der Baaiskurve ( 6 ) . Beachtet man die Halbinvarianten (2 .3) , so folgt hieraus insbesondere der

Satz 16. Fur reguMre spezidl harrnonische lji(t)-Bewegungen geht die HESSE- niAe Kurve der Basiskurve hi ( t , x) = 0 genau dann durch den Momentanpol P i , wcnn die Halbinvariante hik verschwindet .

Wir wenden uns nun wieder den allgemeinen Betrachtungen zu ! Dabei stellt Hirh die Frage nach denjenigen Punkten X , fur welche die sechs Punkte Pi, Yi(x) i~iif einem Kegelschnitt liegen. Wir werden dabei naturlich neben h 2 ( z ) 4 0 tioch voraussetzen miissen, daI3 X auf keiner Polbahntangente liegt, denn dann I'iillt ein Kriimmungsmittelpunkt 2. Art mit dem betreffenden Pol zusammen. Ihirch fiinf Punkte eeht aber stets genau ein Kegelschnitt. Es gilt hieriiber der

Satz 16. Fur nicht auf den momentanen Fixgeraden und nbht auf den Polbahn- /irn.gcnten gelegene Punkte X liegen die sechs Punkte Pi, Y i ( x ) (i = 1 , 2 , 3 ) genau rliinn auf einem Kegelschnitt, wenn X auf der dem Basisbiischel angehiirenden Kurve hitter Ordnung

'icgt . Wegen (3) und (7) gilt dabei

B V ( h , @o; h2 TB) = - 1. Wir wollen jetzt eine weitere bemerkenswerte Kennzeichnung der har-

iionischen Bewegungen herleiten ! Zunitchst fragen wir nach denjenigen Punkten Y , deren (i)-Kriimmungsmittelpunkte 2. Art (i ist fest!) a d der momentanen pixgeraden

xt = 0

iogen. Wegen ( 1 ) liegen die gesuchten Punkte X auf einem durch die Momentan- iole gehenden Kegelschnitt x), der die Polbahnen pi beriihrt. Man findet lie Darstellung

H) 2Bmi(t, z) : = [i pi x] - [ p , p i x] = 0.

Da in der pseudoeuklidischen Ahnlichkeitskinematik mit

x' = 0

IH Ferngerade und somit

p! ' + l = / ? ! + 2 = / ? ! '+4 '+2 = / ? ! + L o '+2

192 T(Uke, Ebene projektive Kinematik II

die Wendepunkfakurve W, ( t , z) in

W& 2) = (a, - Ui+J (ai - ad+& di) 2Bxa,(t, z) zerfL.Ut und ' B i ( t , x) ah die (i)-Wendehyperbel bezeichnet w id , nennen wir all- gemein Bi(t, x) den (i)- Wendekegekchnitt der B q n g ,9(t). Gemiil3 ( 8 ) ist dieeer Kegelschnitt gegenuber Umnormungen und Parametertransformationen in- variant. Es gilt insgesamt der

Satz 17. Bei einer projektiven Bewegung @ ( t ) gehen die Bahntangenten der Punkte X des (i)-Wendekegelschnittes durch einen auf ihrn gelegenen Punk1

Wir nennen dieaen Punkt W,( t ) den (i)-Wendepol. Fiir seine Daratellung Wi ( t ) .

w i := w:pt findet man mit dem KRoNECKERsymbol 8:

(9) w! = (ai - acr,) + S t (ac - ai) (ai - at), ( j =I= i =I= E += j ) .

Bemerkung. Die drei Kegrlschnitte B i ( t , z) gehoren dem von H. FRANK ([7], S. 20f.) unterauchten Kegelschnittnetz N (10) N : [ z z 2 ] = 0

an, durch daa jedem Punkt Z eindeutig ein Kegelachnitt pz zugeordnet wird, so d& aUe Bahntangenten der Bewegung B(t) in den Punkten von q, durch deli Punkt 2 gehen. H. FRANK spricht vom Zieiipunkt 2 des Kegelachnittes 9,.

Den Formeln (9) entnimmt man unmittelbar den

Satz 18. Bei einer projektiven Bewegung sind die drei Polstrahlen Pi Wi genair

Auf jedem der drei (i)-Wendekegelachnitte liegen vier ausgezeichnete Punktc., dann kopunktal, wenn die Halbinvariante f2 verschwindet.

niimlich

pi, p2, PB, wi. f i r ihr Doppelverhiiltnis

(11) Di:= DV(P1 P3; P2 Wi ) a d dem jeweiligen (i)-Wendekegelschnitt berechnet man

(12) a1 - 0 2 Di = D2 = 0 3 = -. a3 - 02

Tolke, Ebene projektive Kinematik I1 193

Somit gilt der

Satz 19. Die drei Punklequadrupel ( P i , P3 , P2 , Wi) besitzen auf den jeweiligen (iJ- WencEekegehchnitten (i = 1, 2 , 3 ) stets dasselbe Doppelverhciltnis. Dieses ge- ,meinsame Doppelverhaltnis ist genau f i i r die hamnonischen Bewegungen konstant .

Dieam vielleicht auf den ersten Blick etwas eigenartige Ergebnis erweist sich nur ah ein Spezialfall dea folgenden Lemmas, daa eine weitere Eigenschaft des Iiegelschnittnetzes (10) aufdeckt !

Lemma. Fur alle Kegelschnitte qz des Netzes N besitzt das Punktequadrupel (Pi, P 3 , P2, 2) - wobei 2 der Zielpunkt des Kegelschnittes q, ist - dasselbe I)oppelverhkltnis, und zwar

ag - c2 *3 - 0 2

( 12') DV(PgP,; P , Z ) = -,

Bemerkungen. 1. Die bereits mehrmals erkannte enge Beziehung der speziell liiirmonischen Bewegungen zu den Bewegungsvorgkngen der pseudoeuklidischen Kinematik wollen wir noch durch den unmittelbar aus (2.6) und (9) folgenden Snchverhalt weiter untermauern : Genau f i i r die reguhiren speziell harrnonischen lkwegungen Qi ( t ) fallt die Gerude P, Wi mit der Polbahnnomnalen ni zusammen.

Man kann dies auch anders formulieren! Dazu betrachten wir das Kegel- twhnittbiischel ali(t, x, A ) , bei dem jeder Kegelschnitt durch die drei Momentan- 1)ole geht und die Gerade Pi W , beruhrt. Nach Konstruktion gehort ai(t, x, A) tlcm Netz N an. Es gilt nun: Der Zielpunkt Z i ( t , I ) gehort genau dann der Pol- IuLhntangente von p i an, wenn die Bewegung eine speziell harmonische lji ( t ) - Iluwegung ist. 2)

2. Die oben durchgefuhrten Untersuchungen lamen sich naturlich auch auf (l ie zugehorige inverse Bewegung fl ( t ) ausdehnen. Man gelangt so zum (i)-Riick- kclwkegelschnitt 9Ii( t , x), der aus dem (i)-Wendekegelschnitt %$(t, x) durch die fwte Homologie

Q * 53 = yl (i * j ) e * 5' = - y',

Iicrvorgeht, fur den also

(1.3)

gilt. Die Bahntangenten seiner Punkte gehen durch den auf ihm gelegenen (,i,)- Riickkehrpol ri : = rf p k mi t

!J$ ( 4 y) := [k Pi Y1 + [F; pi y1 = 0

\'crmerken wir noch den sofort ersichtlichen Sachverhalt : Die sechs Punkte IY,, Rli liegen genau dann auf einem Kegelschnitt, wenn die Halbinvariante fi vcrwhwindet oder die sechs Punkte Pi, Wi auf einem Kegelschnitt liegen.

~ .- -

2) Die Gerade der Zielpunkte Zi( t , A) fiillt dann mit der Polbahntangente von p i zusammen. 1.1 Math. Nachr. Bd. 03

194 Tblke, Ebene projektive Kinematik I1

Beachtet man die Gleichungen (2) und (€9, so folgt noch der Satz 20. Der (i)-Wendekegelschnitt '?ZBi(t, 2) kt der geometrische Ort der ( i ) -

Kriimmungsmitte punkte 2. Art scimtlicher auf der momentanen Fixgeraden xi = 0 gelegener Punkte fur die zzqehiirige inverse Bewegung B ( t ) .

6. Die quadratische Verwandtmhaft X H Y,

Wir wollen in dieaem Abschnitt die durch (5.1) erkliLrte geometrische Ver- wandtschaft zum Parameterwert t untersuchen. Dabei haben wir uns den Index i feat zu denken! Man sieht sofort, do8 dieae Verwandtachaft im allgemeinen bestimmt ist, sobald die drei Momentanpole Pi und auf zwei verachiedenen Pol- strahlen jeweils entsprechende Punktepaare (X, Yi), (8, p,) gegeben sind.

Nennen wir allgemein den Schnittpunkt eines Polstrahles X P j mit dem (j)-Wendekegelschnitt !Bj ( t , z) einen (j)- Wendepunkt Wi (z), ao uberzeugt man sich, da8 sich dieser wie folgt konatruieren l88t3):

Sei (X, Yi) ein sich bei (5.1) entsprechendea Punktepaar. Wir ziehen durch X eine beliebige Gerade g und verbinden einen Punkt Qi deraelben mit Pi und Yi. Die Schnittpunkte dieser Verbindungsgeraden mit Pi Pk seien P' bzw. Y'. Der Schnittpunkt von Pi Yi mit der Ceraden g sei Q2. Dann schneidet die Ge- rade Pi Q2 den Polstrahl X P , im geauchten (i)-Wendepunkt Gi(z).

Die Konstruktion des (i)-Wendepunktea I?, auf dem Polstrahl Pt X

1st umgekehrt auf einem Polstrshl X P , der entaprechende (i)-Wendepunkt @'(z) gegeben, so kann man zu jedem ihrer Punkte X den entaprechenden (i)-Kriimmungsmittelpunkt Yi (2) linear konstruieren. Hierbei ist der Pol Pi als bekannt angenommen.

Nun aeien die drei Momentanpole und auf zwei verschiedenen Polstrahlen jeweils entsprechende Punktepaare (X, Yi) gegeben. Auf jedem dieser Polatrahlen kann nach dem obigen der zugehorige (i)-Wendepunkt konstruiert werden, so dab der entsprechende (i)-Wendekegelschnitt bestimmt ist. Hiermit ist dann d e Aufgabe gelost, zu einem allgemeinen Punkt X den entsprechenden (i)-Kriim- mungsmittelpunkt Yi zu ermitteln. Denn man braucht dazu nur X mit Pi zu verbinden und erhhlt den zu dieser Geraden gehorigen (i)-Wendepunkt Gi (z), womit sich nach dem vorigen Yi konstruieren 1L8t.

3) Dabei miissen netiirlich g und Ui allgemein gewiihlt werden.

TBlke, Ebene projektive Kinemetik I1 196

Im vorangehenden ist eine Methode angegeben worden, mittels derer zu vinem Bahnkurvenpunkt der entsprechende (i)-Kriimmungsmittelpunkt be- t ~ t iinmt werden kann, sofern zwei entsprechende Punktepaare oder auch der ( i)-Wendekegelschnitt und der Pol Pi gegeben sind. Diese Konstruktionen riihren it1 der eukldschen Kinematik von M. GRUBLER her.

Wir wollen nun eine zweite konstruktive Methode entwickeln, die auf Be- t rnchtungen beruht, welche im Euklidischen auf E. E. BOBILLIER zuriickgehen. I)azu seien X, Y , und X * , Y' zwei sich jeweils gemllj (6.1) entsprechende Punkte- Imare. Fur sie gilt demnach

( 1 ) [ z Y* Y~I = [Pi P; XI [pi Pi z*I [ z z*I - [i Pi XI [zii Pi '*I [z Pi %*I + [P i Pi 21 [i* Pi z*I [ z pi XI

iind damit der verallgemeinerte

Satz von E. BOBILLIER. Es seien zwei voneinander verschiedene Qeraden durch (Ian Homentanpol Pi gegeben und X , Y i ; X * , YT irgend ein Paar sich gemi@ (ti. 1 ) entsprechender Punkte auf ihnen. Dann schneiden sich d ie .YX* und Yi Y' auf einer festen durch Pi gehenden Qeraden

V erbindungsgeraden aza..

Vi Die projektiv verallgemeinerte Konatruktion von Bobillier

Y\ .*'

\

Mit Hilfe der Geraden a,, liil3t sich eine weitere - besondere fur konstruktive Zwecke - wichtige Eigenschaft beweisen. Es gilt nlmlich der

Satz 21. Bei einer projektiven Bewqung mit nicht stationcirer Polbahn pi xeien szi : = Pi x und sui : = Pi Y zwei von d e n momentanen Fixgeraden mi+ i , mi+ (durch Pi) und von der Polbahntangente ti (von pi) verschiedene Pohtrahlen mit der zugehiirigen , ,BoBILLIEmchen @eraden'' aZu. Dann gilt

( 2 ) DV(mi+i mi+2; sziti) = DV(mi+i mi+2; a z y ~ u i ) .

Hieraus folgt insbesondere, da13, wenn zwei Polstrahlen und die dazu gehorende , ,BOBILLIERB~~~ Gerade" gegeben sind, die Polbahntangente in einfacher Weise ltonstruiert werden kann, wenn das momentane Fixdreiseit bekannt ist.

Wir haben bisher die Zuordnung der in der quadratischen Verwandtschaft (fur festes i!)

(3) ~ i = [ P ~ i x l ~ i - [ P i ~ i x l x I :I*

196 Tolke, Ebene projektive Kinematik I1

sich entsprechenden Punkte untersucht. Es soll nun noch auf die Bilder von Geraden 4 ) und Kegelachnitten eingeg angen werden.

(4) a,&= o gegeben, wobei wir zuniichst ai =k 0 annehmen. Nach (3) entspricht der Geraden (4) der Kegelachnitt

wobei gi als Abkiirzung von (3.6') aufzufaasen ist. Dieser Kegelachnitt geht durch den Momentanpol Pi und beriihrt dort die Polbahn p i . Die Schnittpunkte der momentanen Fixgeraden

mit dem Kegelschnitt (6) sind dabei reell verschieden, fallen zusammen oder sind konjugiert komplex, je nachdem

Sei dam die Gerade

(6) ai[$iiipiyiI + [ @ i ~ i ~ i I * a , y S = 0,

x'= 0

> < A := {ai(ai - uk) + #I! a1}2 - 4 a,(oi - a,,,) # ~ : a ( ~ , = o

gilt, wobei j < k und j =l= i =l= k. Dies ist sinnvoll, da sich die linke Seite gegenuber Parametertransformationen wie eine Halbinvariante vom Gewicht zwei ver- hklt. Vermoge (6.8) entnimmt man daraus den

Satz 22. Die momentane Fixgerade xi = 0 schneidet den Bildkegelschnitt ( 5 ) in zwei reellen Punkten, beriihrt ihn oder schneidet ihn in zwei konjugiert komplexen Punkten, je nachdem die gegebene Uerade (4) den (i)- Wendekegelschnitt reell schneidet, beriihrt oder konjugiert komplex schneidet .

Weiter folgt sofort : Der (i)-Ruckkehrkegelschnitt hat die Eigenschaft, in P' jeden Bildkegelschnitt (6) zu oskulieren.

Geht die Gerade (4) durch den Momentanpol P i , so zerfiillt der Kegelachnitt (5) in zwei Geraden, von denen eine die Polbahntangente von pi und die andere die gegebene Gerade (4) ist.

Einem Kegelachnitt entspricht eine Kurve vierter Ordnung. Einem Kegel- schnitt, der durch den Momentanpol Pi geht, entspricht - abgesehen von der Polbahntangente von pi - eine Kurve dritter Ordnung. Einem Kegelschnitt,, der durch den Momentanpol Pi geht und dort die Polbahn beriihrt, entapricht - abgesehen von der doppelt ziihlenden Polbahntangente - wieder ein ebensolcher Kegelschnitt. Falls der Kegelachnitt auch noch durch die anderen beiden Mo- mentanpole geht, so geht auch der Bildkegelschnitt durch diese, wenn wir wiedei von der doppelt ziihlenden Polbahntangente von p , absehen.

Bemerkung. Wir verzichten hier, die mi t den Grundpunkten dieser CREMONA- Transformation zusammenhkngenden Fregen zu untersuchen, und verweisei diesbezuglich auf: K. DOEHLEMANN, Geometrische Transformationen, SammlunC Schubert .

4 ) Die Geraden sollen naturlich von den momentanen Fixgeraden verschieden sein, denn wi wiesen bereits, daI3 die momentanen Fixgeraden den Ruckkehrkegelschnitten entsprechen ( N

Set2 20).