大きさの順に並べ替えてみよう - waseda university2017/10/21 1 大きさの順に...

2017/10/21

1

大きさの順に並べ替えてみよう

５個なら何回の比較でできるかな？

⼤きさの順に並べてみよう 1

M-project

ルール

２つのものの大小比較しかできないどちらが大きいかわかったら入れ替えてもよい

どの２つにも大小関係がある

初はでたらめな大きさの順に並んでいる

作業用の場所を使ってもよい比較の回数だけが問題 → できるだけ少なく

大きさの順に並べてみよう 2

M-project

まず、一番大きいものを見つける方法を考えてみよう

君の方法を考えてみよう

２つのものの比較を何回したかな？


M-project

方法① １つずつ順に比べる


M-project

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2

１つずつ順に比べる


M-project

比較回数は５－１＝４回

方法② トーナメント法


M-project

トーナメント法


M-project

比較回数は５－１＝４回

大きい方を下へ

方法③ 同じやり方を繰り返す


M-project

・・・

・・・・・・

・・・

２つに分けて、２つに分けて・・・

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3

まず、１個になるまで２つに分けて２つに分けて・・・


M-project

３５２１４

３５２１４

３５２１４

２１

１個ずつになれば、隣り合う２つを比較できる

次に、比較した結果を下から上にあげていく


M-project

５

５４

３５２４

２１

隣り合う２つを比較する

ここに

一番大きいものが求まる

max{ 1} = 1max{ 1, 2, … , } = max{ 1, max{ 2, … , }}

比較回数 1 = 0, = 1 1 ⇒ =

max{ 1} = 1max{ 1, 2, … , } = max{ max{ 1, … , /2}, max{ /2 1, … , } }

比較回数 1 = 0, = 2 /2 1 ⇒ =

２つに分ける分け方もいろいろ


M-project

１対－１

/２対 /２

君が考えた方法はあったかな？

君の方法が説明した方法以外のオリジナルだったなら、

それは素晴らしい！

でも、どういう方法でやっても比較回数はｎ－１回は必要

（５個のときは４回の比較が必要）

なぜかな？


M-project

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4

では、大きさの順に並べ替えるには・・・

ソーティング（ソート、整列化）といいます

小さい方から順に・・・昇順

大きい方から順に・・・降順

一番大きいものを求めた方法を応用してみよう

その方法による比較回数は？


M-project

方法① 選択ソート１つずつ順に比べて大値を求める方法の応用


M-project

昇順に並べ替えたいデータ

作業用の場所


選択ソートM-project

最初は⼀番左のデータを仮に⼀番⼩さいものとする

1

⼀番⼩さい候補が⼊っていた場所

1

⼀番⼩さいものを求めたい位置



最初は⼀番左のデータを仮に⼀番⼩さいものとする

1

⼤きさを⽐べて、⼩さかったら⼊れ替える

1

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5



２

⼩さかったので⼊れ替えた

1



2

⼩さくないので⼊れ替えない

241



4

⼩さいので⼊れ替える

191



4


191

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6



4


191



4


191



4 4の位置にある19が最⼩とわかった！191



最⼩値があった所へ移す（の位置のデータをの位置へ移す）

41

求めた最⼩値をの位置へ移す

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7



2

未チェックの⼀番左のデータを次に仮に⼀番⼩さいものとする

⼀番⼩さい候補が⼊っていた場所

2




2 すべてと⽐べて、2の位置の24が最⼩とわかる

2



33


⼀番⼩さい候補のあった場所を⼊れる



7 すべてと⽐べて、7の位置の36が最⼩とわかる

363

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8



最⼩値があった所へ移す

73



すべてと⽐べて、5の位置の43が最⼩とわかった54



最⼩値があった所へ移す

54




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9



66





78 が最⼩と分かった


77



データ末尾になったので終り

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10

選択ソート比較回数は？


M-project

５個のとき・・・

1回目 4回の比較2回目 3回の比較2回目 2回の比較2回目 1回の比較合計 4+3+2+1=10回の比較

選択ソート比較回数は？一般には（高校生以上）


M-project

初 1回の比較 2回目 2回の比較・・・ 1回目 1回の比較

合計回の比較が必ず必要

比較回数もっと少ない方法があるか？

大値を求めたときの「トーナメント法」を使うと・・・


M-project

トーナメント法を使った場合の比較回数

５個の場合

1回目大値(または小値）が4回の比較で求められる

2回目 2番目のものを3回の比較で



合計 4+3+2+1=10回の比較をする

選択ソートと変わらない！


M-project

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方法③ 泡立ち法

１．並び替えたいものを水中に入れ、

２．下の方から、隣り合うものを比較し、

（小さい数字は比較する順）

３．泡が浮かび上がるのと同じように、

小さいものが上に行くように入れ替える

3 のとき、１９と７８が入れ替わり、

4 のとき、７８の所に来た１９と２４が入れ替わり、

5 のとき、２４の所に来た１９と５３が入れ替わる

４．その結果、一番小さいものが一番上に来る


M-project

53

24

78

19

43

611

2

3

4

5

泡立ち法の実行１回目


M-project

53

24

78

19

43

611

2

3

4

553

24

19

78

43

61

53

19

24

78

43

61

19

53

24

78

43

61

⇒ ⇒ ⇒

泡立ち法の実行２回目


M-project

19

53

24

78

43

611

2

3

4

519

53

24

43

78

61

19

53

24

43

78

61

19

24

53

43

78

61

⇒ ⇒ ⇒

泡立ち法の実行３回目


M-project

19

24

53

43

78

611

2

3

4

519

24

53

43

61

78

19

24

53

43

61

78

19

24

43

53

61

78

⇒ ⇒ ⇒

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12

泡立ち法の実行４回目と5回目を考えてみよう


M-project

19

24

43

53

61

781

2

3

4

519

24

43

53

61

78

⇒

4回目も5回目も同じことを2回することになる

こういう無駄をなくすにはどうしたよいだろう

泡立ち法の比較回数


M-project

1

2

3

4

5毎回、５回（＝データの個数－１）の比較をする

これを５回繰り返すので、比較回数の総計は２５回

データの個数が個の場合は 1 回

比較回数は方法①②とほとんど変わらない！

泡立ち法の比較回数


M-project

1

2

3

4

5 4回目も5回目も同じことを2回することになる

こういう無駄をなくすにはどうしたよいだろう

毎回、５回の比較をしないで、繰り返しを１回するごとに比較回数を１回ずつ減らしてもよい

なぜかわかるかな？

比較回数は何回に減るかな？ ⇒ 回に減るよ！

後に、次の方法④は？


M-project

比較はしない

混ぜて並べ替える（比較をする）

②下から来る並び替わった２つを

３５２１４(i) (ii)

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(i) まず、１個になるまで２つに分けて２つに分けて・・・


M-project

３５２１４

３５２１４

３５２１４

２１

１個ずつになれば、隣り合う２つを比較できる

（i）

比較はしない

(ii)次に、を混ぜて並べ直して下から上に送る


M-project

１２３４５

３５１２４

３５１２４

２１

隣り合う２つを比較する

後にここにすべてが並べ替わっている

混ぜて並べ替えて上に送る

下から来る並べ替わったものを

(ii)

比較をする

混ぜ合わせるときの比較回数は？


M-project

２５６９１０１３４７８１１

ここへ左から順に入れてゆく（結果的にソートされる）

ソートされているソートされている

比べて小さい方を移す

比較回数は悪でも、「合わせたデータの個数ー１」回なぜ？

この方法④の比較回数は？


M-project

ここで比較を1回する

ここで比較を1回するここで比較を2回する

ここで比較を4回する

比較回数の合計は1+1+2+4=8回⇒ 方法①②③だと10回だからそれより速い！

比較はしない

１２３４５

３５１２４

３５１２４

２１

(i)(ii)

混ぜて並べ替えて上に送る

下から来る並べ替わったものを

比較をする

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方法④の比較回数例

比較回数がも少ない場合

とを混ぜて

とするとき、比較は３回ですむ

比較回数がも多い場合

とを混ぜて

とするとき、比較は１０回


２５９１１１３２５３８３９４９５５

２５９１１１３２５３８３９４９５５

２９１３２５３８５５５１１３９４９６０

２５９１１１３２５３８３９４９５５６０

3個 7個

6個 5個

方法④の比較回数一般の場合

比較回数がも少ない場合

のどれもより小さく、

≦ のときには比較は回ですむ

比較回数がも多い場合

のように、いつも残ったものの左端の一方が小のとき、比較は回


２５９１１１３２５３８３９４９５５

２９１３２５３８５５５１１３９４９６０

個個

個個

これ

これとこれ


M-project

3個の場合 2回4個の場合 5回

→ 5回で並べる方法を考えよう5個の場合 7回

→ 7回で並べる方法を考えるのはむずかしいかも

個の場合「2 ≧ !を満たす」回

結局、比較は何回必要なんだろう？


M-project

これから先の内容は高校生以上です

高校生以上の人は「つづき」を見てね

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