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Speaker: 吳牧恩
2012.03.19
預測市場 (Prediction Market)
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Outline Today
Kelly Criterion
Prediction Market
Pari-mutuel Market
DPM
Market Scoring Rule
LMSR
Decision Market
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你賭哪一局?
賭局1.
丟一枚硬幣,人頭出現機率為50%,賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1=2元)
賭局2.
丟一枚硬幣,人頭出現機率為60%,賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1元)
聰明賭徒都知道,要玩賭局2!
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這次你賭哪一局 ?
賭局1.
丟一枚硬幣,人頭出現機率為50%,賠率為1.5 (壓1元贏了可拿回1.5+1=2.5元)
期望獲利: 50%(1+1.5) + 50%(0)=1.25
賭局2.
丟一枚硬幣,人頭出現機率為60%,賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1=2元)
期望獲利: 60%(1+1) + 40%(0)=1.2
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但是你要怎麼賭?
丟一枚硬幣,人頭出現機率為60%,賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1=2元)
壓所有錢的20%
獲利期望值: 60%(1+1*20%) + 40%*(1-20%) = 1.04
壓所有錢的30%
獲利期望值: 60%(1+1*30%) + 40%*(1-30%) = 1.06
…
壓所有錢的100%
獲利期望值: 60%(1+1*100%) + 40%*(1-100%) = 1.2
結論:全壓最好嗎?
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賭一次,贏了就走! 可 能 嗎 ? 乾脆賭很多次,假設可以賭100次好了~
賭局1.
丟一枚硬幣,人頭出現機率為50%,賠率為1.5 (壓1元贏了可拿回1.5+1=2.5元)
賭法1:每次都梭哈(全壓),連續壓100次?
賭法2:每次都壓10% ,連續壓100次?
賭局2.
丟一枚硬幣,人頭出現機率為60%,賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1=2元)
連續壓100次的最佳賭法 ,
每次都壓所有錢的20% = 期望淨利(60% 1+1 −1)
賠率 (1)
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聰明賭徒都懂的 -- Kelly Criterion
𝑋𝑡 ∶ 時間𝑡時我所擁有的資金。
b : 壓1元、贏了可拿回b+1元。
f:所壓賭注佔資金的比例。
若第t次贏,則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 1 + bf
若第t次輸,則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 1 − f
問題:假設要玩T次,f 要選多少,會使得XT 期望值最大?
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聰明賭徒都懂的 -- Kelly Criterion
RECALL: 若第t次贏,則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 1 + bf
若第t次輸,則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 1 − f
假設玩了T 次,T 次裡面共贏了𝑤次,輸了𝑙次 也就是T = 𝑤 + 𝑙
則 𝑋𝑇 = 𝑋0 1 + bf 𝑤 1 − f 𝑙
問題:f 該怎麼選,會使得 XT 有最大期望值?
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Kelly Criterion
REVIEW: 若第t次贏,則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡-1 1 + bf
若第t次輸,則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡-1 1 − f
假設玩了T次,T次裡面共贏了w次,輸了l次(T = w + l)
𝑋𝑇 = 𝑋0 1 + bf 𝑤 1 − f 𝑙
log𝑋𝑇
𝑋0
1
𝑇=
𝑊
𝑇log(1 + bf) +
𝑙
𝑇 log(1 − f)
As 𝑇 → ∞, 𝑊
𝑇 → 𝑝 and
𝑙
𝑇 → 1 − 𝑝
f =𝑝 1+b −1
b =
期望淨利賠率
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Kelly Criterion (兩匹馬)
賭馬問題:
2匹馬賽跑,誰會是冠軍?
若你認為第 i匹馬 得到冠軍的機率為 pi
第 i匹馬 得到冠軍 的賠率為 bi
假設你有一筆錢,而且你對你認為的機率p很有信心,你要怎麼賭?
Key: Kelly Criterion
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Kelly Criterion (兩匹馬競賽)
𝑋𝑇 = 𝑋0 1 + b1f1 − f2𝑤1 1 + b2f2− f1
𝑤2
若比賽T次,第一匹馬贏了W1次,第二匹馬贏了W2次。
log𝑋𝑇
𝑋0
1
𝑇=
𝑊1
𝑇log(1 + b1f1− f2) +
𝑤2
𝑇 log(1 + b2f2− f1)
As 𝑇 → ∞,𝑊
1
𝑇 → 𝑝1 and
𝑤2
𝑇 → 𝑝2
Optimization: f1 = 𝑝1 and f2 = 𝑝2
Note: 怎麼賭? 竟然跟賠率 (bi) 無關~
Kelly Criterion: Bidding Your Belief!
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Kelly Criterion (n匹馬 競賽) n 匹馬賽跑,賭誰是冠軍嗎?
假設第i匹馬得到冠軍的機率為pi
第i匹馬得到冠軍的賠率為bi
假設你有一筆錢,要賭T次 (T = w1+ w2+…+wn),你要怎麼賭?
𝑋𝑇 = 𝑋0 1 + bifi − f𝑗𝑛𝑗=1;𝑗≠𝑖
𝑤𝑖𝑛𝑖=1
Optimization: fi = 𝑝𝑖 for 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Bidding Your Belief!
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有利的賭注叫投資,不利的賭注叫賭博!
作為一個賭徒,當你下海時,您,真的知道自己在賭什麼嗎?
風險中立者: Risk-Neutral
風險愛好者: Risk-Lover
風險規避者: Risk-Averse
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四種賭法,哪種最好? (Ref:天才數學家的秘密賭局)
全部下注法
賭性堅強!
加倍下注法
輸: 1,2,4,8,…
贏: 1,1,1,…
定額下注法
ex: 我有一萬塊,每次都壓100塊
凱利下注法
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Kelly Criterion的應用 John Larry Kelly, Jr. (1923 – 1965),
A New Interpretation of Information Rate
@ Bell system Technical Journal, 1958
APP:
21點的必勝策略
資金管理、股市、衍生性金融商品、運動賭博
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Prediction Market
Call Market Auction
Continuous Double Auction (CDA)
Pari-mutuel Market (PM)
Dynamic Pari-mutuel Market (DPM)
Market Scoring Rule (MSR)
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未來事件交易所 (X Future)
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明天凌晨 暴龍 v.s.尼克 ?
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Call Market Auction
Stock market before 1800.
在某一段時間內(ex: 10 mins)
營業員收集所有要買股票(多少價位買多少)、賣股票(多少價位賣多少)的資訊
時間結束後
營業員人工搓合使得買賣成交
重複
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Continuous Double Auction (CDA) 股票市場、期貨、選擇權
The term “continuous”: there is no waiting period anymore
Bid-Ask spread: the gap between best ask and best bid
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Continuous Double Auction with Market Maker
(CDAwMM)
The same with CDA,
except there exist a market maker.
M.M. is always willing to buy at some price pb and sell at
some price ps
M.M. is useful especially in thin market (淺碟市場)
because they provide liquidity.
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Pari-mutuel Market
兩匹馬競賽,誰會得到冠軍?
兩種可能情形: A B
下注:
比賽結束: A得到冠軍
+
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Pari-mutuel Market
兩匹馬競賽,誰會得到冠軍?
兩種可能情形: A B
下注: $ 200 $800
比賽結束: A得到冠軍
𝟐𝟎𝟎+𝟖𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎= 𝟓 (賭1 塊錢,可拿回5元;
賠率為4)
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Pari-mutuel Market
n 匹馬競賽,看誰可以得到冠軍?
在停止下注前,假設市場壓在第 i 匹馬上的賭金為 𝑀𝑖
比賽結果: 第 i* 匹馬得到冠軍
則壓在第 i* 匹馬上的賭注,每一塊錢可贏回
𝑀1+𝑀2+⋯+𝑀𝑛
𝑀i∗
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Pari-mutuel Market 的優缺點
優點:
Infinite liquidity for buying
只要有錢,想買多少就買多少。
莊家沒有風險
缺點:
每匹馬贏冠軍的 ”每股價格” 永遠是$1元。
無法顯示大家認為的平均 (No Information Aggregation)
在比賽結束前,無法判斷每股的期望報酬。
直到最後一次下注,才可計算每匹馬的賠率為多少
沒有動機引誘下注,除非等到最後一刻停止下注前。
或是百分之百確定哪匹馬會贏得冠軍
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Dynamic Pari-mutuel Market
Pari-mutuel Market
每匹馬贏冠軍的每股價格永遠是$1元。
Dynamic Pari-mutuel Market
每股價格隨著市場下注所佔比例而變動。
越多人買價格越高;相對少人買的股票價格越低。
每股即時價格 (Instantaneous Price)反映市場上大家認為的機率
(Information Aggregation)。
每股即時價格代表 買 “無限小” (infinitesimal) 的股票所要花的錢。
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Dynamic Pari-mutuel Market
兩匹馬競賽,誰會得到冠軍?
價格(Pri) 隨著賭注而變化
報酬(Pay)直到最後一刻才會知道
兩種可能情形 A B
每股價格 Pri A Pri B
每股報酬: Pay A Pay B
總注金額: Mon A Mon B
已購買股數: Num A Num B
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Dynamic Pari-mutuel Market ---
--- 每股價格如何決定?
Pri (n) 表示
若已經買了n股,再多買 “一點點(infinitesimal)股數” 所要花的錢
購買n股所需花的錢為 Pri 𝑛 𝑑𝑛𝑛
0
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Dynamic Pari-mutuel Market ---
輸家的錢重新分配
贏家的報酬:
原來下注的錢 + 輸家的錢按照股數平均分配
A贏的賠率: Pay A = Mon B / Num A
買𝜀股的 每股期望報酬:
𝐸 𝜀股的期望報酬
𝜀
= Pr 𝐴 𝐸 Pay 𝐴 𝐴] − 1 − Pr 𝐴 Pri 𝐴
“風險中立者” 會一直買~ 一直買~ 直到 𝐸 𝜀股的期望報酬
𝜀=0
“風險規避者” 在𝐸 𝜀股的期望報酬
𝜀=0之前就會停止購買
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Information Aggregation
If 𝐸 𝜀股的期望報酬
𝜀 > 0
“風險中立者” 會買多少股?
計算 n 使得 Pr 𝐴 𝐸 Pay 𝐴 𝐴] − 1 − Pr 𝐴 Pri 𝐴 𝑛 = 0
市場大家認為的機率MPr(A)
MPr 𝐴 𝐸 Pay 𝐴 𝐴] − 1 − MPr 𝐴 Pri 𝐴 = 0
MPr 𝐴 =Pri 𝐴
Pri 𝐴+Pay 𝐴 (假設 𝐸 Pay 𝐴 𝐴] = Pay 𝐴)
考慮定價方式 Pri A=Pay B; Pri B=Pay A
MPr 𝐴 =Mon 𝐴 × Num𝐴
Mon 𝐴 × Num𝐴 + Mon 𝐵 × Num𝐵
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推得 Price Function Pri(n)
若購買 n股 需要花m元,𝑚 = Pri 𝐴 𝑛 𝑑𝑛𝑛
0
𝑑𝑚
𝑑𝑛= Pri 𝐴 𝑛 ∶= Pay 𝐵 =
Mon𝐴+𝑚
Num 𝐵
m(n) = Mon A×[𝑒𝑛
Num 𝐵 − 1]
Pri A(n)= 𝑑𝑚
𝑑𝑛=
Mon 𝐴
Num 𝐵𝑒
𝑛
Num 𝐵
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Dynamic Pari-mutuel Market
市場上流通的股數 (Outstanding Shares) 𝑞 = 𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑛
Cost Function: 𝐶 𝑞 = 𝑞12 + 𝑞2
2 +⋯+ 𝑞𝑛2
若目前市場上流通股數為𝑞,trader想要購買股數 𝑟 = 𝑟1, 𝑟2, . . . , 𝑟𝑛
,則需花$ 𝐶 𝑞 + 𝑟 − 𝐶 𝑞 元。
股票i 的價格: 𝜕𝐶(𝑞)
𝜕𝑞𝑖
=𝑞𝑖
𝑞12+𝑞
22+⋯+𝑞
𝑛2
大家認為股票i 贏的機率 𝑞𝑖2
𝑞12+𝑞
22+⋯+𝑞
𝑛2
贏家i 的每股報酬 𝐶 𝑞𝑓
𝑞𝑖
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Hanson’s Market Scoring Rule (MSR)
Sequential Game
一個時間點一位玩家下注
M.M. 首先 bid 他自己認為的機率 p0
Player 依序 bid 他們自己認為的機率。
假設第i次 bid的機率為pi
比賽結果揭曉後,根據MSR,前一位player給付上一位player報酬。
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兩匹馬的競賽:S(p)=(S1(p), S2(p)) Time: 0,1,2,…,T
Time 0: M.M. bid 𝑝0 =1
2,1
2 𝑆2(𝑝0) - 𝑆2(𝑃𝑇)
Time 1: the 1st player bid 𝑝1 = (1
3,2
3) 𝑆2(
1
3,2
3) - 𝑆2(
1
4,3
4)
Time 2: the 2nd player bid 𝑝2 =1
4,3
4 𝑆2(
1
4,3
4) - 𝑆2(𝑝3)
… Time t 𝑆2(𝑃𝑡) - 𝑆2(𝑃𝑡−1)
Time T: the Tth player bid 𝑝𝑇 =2
5,3
5 𝑆2(𝑃𝑇) - 𝑆2(𝑃𝑇−1)
比賽結果揭曉,若第二匹馬獲得冠軍。
根據 MSR計算每位玩家的報酬。
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Market Scoring Rule 假設 r 是真實的機率,沒有人知道
賭徒要想辦法賭 𝒑 使得 𝒓𝒊𝒏𝒊=𝟏 𝑺𝒊(𝒑) 最大
但沒人知道 r 長什麼樣子
事實上,當 p 跟 r 越接近, 𝒓𝒊𝒏𝒊=𝟏 𝑺𝒊(𝒑) 越大
但什麼叫做p 跟 r 越接近? (KL divergence)
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Logarithm Market Scoring Rule (LMSR) 𝑆 𝑝 = 𝑆1 𝑝 , 𝑆2 𝑝 ,… , 𝑆𝑛(𝑝)
𝑆𝑖 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 log(𝑝), 其中 𝑎 跟 𝑏 為常數
LMSR具有 incentive compatible 的特性,也就是 “賭真的賺最多” (Truthful Bidding (TB))
假設賭徒認為的機率是𝑝,想要藉由”賭假的機率r”賺取更多利潤。
𝑝𝑖𝑛𝑖=1 𝑆𝑖(𝑝) ≥ 𝑝𝑖
𝑛𝑖=1 𝑆𝑖(𝑟) for 𝑟 ≠ 𝑝
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Cost Function based Logarithm Market
Scoring Rule
市場上流通的股數 (Outstanding Shares) 𝑞 = 𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑛
Cost Function: 𝐶 𝑞 = 𝑏 log 𝑒𝑞1 𝑏 + 𝑒𝑞2 𝑏 +⋯+ 𝑒𝑞𝑛 𝑏
若目前市場上流通股數為𝑞,trader想要購買股數r,則需花$ 𝐶 𝑞 + 𝑟 − 𝐶 𝑞 元。
贏的股票每股可贏回1元。
股票i 的價格: 𝜕𝐶(𝑞)
𝜕𝑞𝑖
=𝑒𝑞𝑖 𝑏
𝑒𝑞1 𝑏 +𝑒𝑞2 𝑏 +⋯+𝑒𝑞𝑛 𝑏
大家認為股票i 贏的機率 = 股票i的價格
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Comparison
No Risk (M.M.) Liquidity Information Aggregation
Call Market Auction ○
CDA ○ ○
CDAwMM ○ ○
PM ○ ○
DPM ○ ○ ○
MSR Bounded ○ ○