e. ostheimer, v. g. labunets, d. e. komarov, t. s. fedorova and v. v. ganzha - fréchet filters for...
TRANSCRIPT
![Page 1: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/1.jpg)
Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images Filtering
E.Ostheimer1 , V.G. Labunets, D.E.Komarov,
T.S.Fedorova , V.V.Ganzha
Yekaterinburg , AIST-2015
Ural Federal University, pr. Mira, 19, Yekaterinburg,
620002, Russian Federation
Capricat LLC 1340 S. Ocean Blvd., Suite 209 Pompano
Beach 33062 Florida USA
![Page 2: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/2.jpg)
1. Введение
2. Постановка
проблемы
4. Экспериментальные
результаты
3. Предлагаемый подход
5. Выводы
![Page 3: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/3.jpg)
S1 S2
S3
S4
S5
Основные требования, предъявляемые к алгоритмам
фильтрации:
1) Эффективное подавление шума
2) Минимальные искажения полезного сигнала (в частности
сохранение перепадов яркости)
3) Высокое быстродействие.
СХЕМА
Скалярные фильтры
Оптимальный вектор
Фреше
Векторные фильтры
Обобщенная стоимостная функция Метрика
![Page 4: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/4.jpg)
Пакет изображений, полученных оптическими датчиками вразличных частотных диапазонах, называется гиперспектральнымизображением.
Математической моделью гиперспектрального изображенияявляется двумерный векторно-значный сигнал:
( , ) :[0, 1] [0, 1] Kn m N M f R
2
11
2
( , )( , )
( , ) ( , )( , )
... ...
( , ) ( , )KK
f n mf n m
f n m f n mn m
f n m f n m
f
Гиперспектральные изображения
![Page 5: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/5.jpg)
Цветные изображения
![Page 6: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/6.jpg)
S1 S2
S3
S4
S5
Модель обрабатываемого изображения
Рассмотрим изображение следующей формы
( ) ( ) ( )f x s x η x
где - оригинальное К-канальное изображение,
- шум, воздействующий на
- искаженное шумом изображение( )η x
( )f x
( )s x( )s x
![Page 7: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/8.jpg)
Восстановление полезного сигнала
Задача: максимально точно выделить полезное
изображение и с максимальной степенью подавить помеху.
Степень точности оценки (точности фильтрации)
определяется некоторой мерой близости (мерой схожести)
между и :( )s rˆ( )s r
ˆ( ), ( ) s r s r
Наилучшим фильтром будет такой, который минимизирует
функционал .
( ) ( )ˆ( ) FILTER πs r s r r
![Page 9: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/9.jpg)
S1 S2
S3
S4
S5
( ,
( 1, 1) ( 1, ) ( 1, 1)
( , 1) ( , 1)
( 1, 1) ( 1, ) ( 1,
)ˆ( ,
1
)
)
s i
f i j f i j f i j
f i j f i j
f i j f i j f i j
f i jj
Filter
Filter
![Page 10: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/11.jpg)
Упрощающее предположение 1. Для простоты будем считать,
что наблюдаемый сигнал является аддитивной смесью
полезного сигнала и шума
2( ) ( ) ( ), f r s r r rπ Z
![Page 12: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/12.jpg)
1 1 2 2 1 2 1 2( | , ), 0, ( , ) ( , ) ( ) ( )p x i j m i j i j E i i j j
( ) ( , ) t x y
( )t
![Page 13: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/13.jpg)
Упрощающее предположение 2. Будем также предполагать,
что полезный сигнал (изображение) представляет собой
объединение областей, в которых сигнал принимает постоянные
значения (изображение типа “лоскутного одеяла”)
, ) 1 2(
.( , ) , ,..., , ,...,m n Лоскут
N
Nm n s s s
s
![Page 14: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/14.jpg)
Упрощающее предположение 3. Будем предполагать, что
совместная плотность распределения вероятностей наблюдаемых
данных определяется совместной плотностью распределения
шума, т.е.
1 2 1 2, ,..., , ,...,N Np x x x p x x x
Более того, будем предполагать, что шум в во всех пикселях
действует независимо друг от друга, т.е.
1
1 2, ,...,
N
ii
Nx x xp p x
![Page 15: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/15.jpg)
1 1 1 2 2 2
1 2
1
1
1
1 2
log log
log log
, ,...,
, , ...,
, ,...,
max max
экс экс экс
N N N
экс экс экс
N
opt
N
ii
Nэксi
i
Nэксi
i
N
Эксперимент
f f f
p x
L x
L x
L x
p x x x
x x x
L L x x x
L
L
1
Nэксi
i
![Page 16: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/16.jpg)
2
2
( )
2X
2
1( | , )
2
x m
x m e
N
2
1 22
2
2
2
2
( )
2
1 1
( )
2
1
2 2
1 1
1 2
1
2
1
2
log ( ) log ( )
, ,...,
, ,...,
max min
i
экс экс экс
N N
opt
эксi
xN N
ii i
xN
i
N Nэкс эксi i
i i
N
const
p x e
e
x x
p x x x
L L x x x
L L
1
10log opt
Nэксi
iNxL
![Page 17: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/17.jpg)
2 2
1 11 1
ˆ = ( )arg min arg minэкс
opt i
N N
ii i
x
R R
(1)эксx
(9)эксx
(5)эксx
(4)эксx
(3)эксx
(2)эксx (6)
эксx(8)эксx
(7)эксx
(1)эксx
(9)эксx
(5)эксx
(4)эксx(3)
эксx(2)эксx (6)
эксx(8)эксx
(7)эксx
29 ( )
28 ( )
24 ( )
27 ( )
26 ( )
21 ( )
22 ( )
23 ( )
29 ( )
28 ( )
27 ( )
26 ( )
25 ( )
23 ( )
22 ( )
21 ( )
1R
1R
1
1opt
Nэксi
iNx
+
+
+
+
![Page 18: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/18.jpg)
1 2
2| |
1 1
2| |
1
1 1
1 2
2
2
log log
, ,...,
, ,...,
max min
N
N
экс экс экс
N
экс экс
i opt i
i
эксi
N N x
ii i
N x
i
N N
i i
N
const x x
p x e
e
p x x x
L L x x x
L L
?? ???log optL
2| |2
( | )x
p x e
![Page 19: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/19.jpg)
1 11 1
ˆ = ( )arg min arg minэкс
opt i
N N
ii i
x
R R
(1)эксx
(9)эксx
(5)эксx
(4)эксx
(3)эксx
(2)эксx (6)
эксx(8)эксx
(7)эксx
(1)эксx
(9)эксx
(5)эксx
(4)эксx
(3)эксx
(2)эксx (6)
эксx(8)эксx
(7)эксx
9 ( )
8 ( )
4 ( )
7 ( )
6 ( )
1 ( )
2 ( )
3 ( )
9 ( )
8 ( )
7 ( )
6 ( )
5 ( )
3 ( )
2 ( )
1 ( )
1R
1R+
+
+
+
![Page 20: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/20.jpg)
11 2 2, ,...,
ˆ arg min экс
quasiopt i
N
iэкс экс эксx x x
x
(1)эксx
(9)эксx
(5)эксx
(4)эксx
(3)эксx
(2)эксx
(8)эксx
(7)эксx
(1)эксx
(9)эксx
(5)эксx
(4)эксx(3)
эксx (2)эксx (6)
эксx(8)эксx
(7)эксx
9 ( )
8 ( )
4 ( )
7 ( )
6 ( )
1 ( )
2 ( )
3 ( )
9 ( )
8 ( )
7 ( )
6 ( )
5 ( )
2 ( )
1 ( )
1 2 2, ,...,quasiopt
экс экс эксx x x
= Med
1 2 2, ,...,экс экс эксx x x
1 2 2, ,...,экс экс эксx x x
![Page 21: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/22.jpg)
Пусть - метрическое гиперспектральное пространство с
метрикой . Пусть N нормированных весов и
пусть - N экспериментальных данных
,KR
1 2, ,..., Nw w w1 2, ,..., N K x x x D R
Определение 1. Оптимальным взвешенным вектором (медианой)
Фреше, ассоциированным с метрикой , называется вектор
который минимизирует функцию стоимости Фреше
и формально определяется как
( )K K
opt med c R c R
1
,N
i
i
i
w
c x
1 2
1
, ,..., ,K
NN i
opt i
i
w
Rcc FrechVec x x x arg min c x =
1 2
1 2
, ,..., 1
ˆ , ,..., ,N
NN i
opt i
i
w
x x xc
c FrechMed x x x argmin c x=
![Page 23: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/23.jpg)
1x2x
3x
4x
5x6x
R
G
B
1x2x
3x
4x
5x6x
R
G
B
1
ˆ arg min , k
N
opt iR
i
x
+
+
![Page 24: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/24.jpg)
1x2x
3x
4x
5x6x
R
G
B
1x2x
3x
4x
5x6x
R
G
B
1 2
1
ˆ arg min , , ,...,ˆi
N
opt i Nx
i
quasioptx Med x x xμ
![Page 25: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/25.jpg)
Сити метрика:
Евклидова (квадратичная) метрика:
Lp - метрика:
Расстояние по Колмогорову:
Max метрика:
Min метрика:
1
1
1( , ) ( , )
K
i i
i
x yN
x y x y x y
2
2 21
1( , ) ( , ) ( )
K
i i
i
x yN
x y x y x y
1
1( , ) ( , ) ( )
Kpp
p i ipi
x yN
x y x y x y
1 1
1
1( , ) ( , ) Kol (Kol( )) Kol ( Kol( ))
K
Kol i i
i
x yN
x y x y x y
1 1max( ) max( ,..., )k kx y x y x y
1 1min( ) min( ,..., )k kx y x y x y
![Page 26: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/26.jpg)
Медианная псевдо-метрика (агрегация координат):
Ранговая псевдо-метрика (агрегация координат):
Все известные метрики имеют агрегированный тип, поэтому мы предлагаем использовать агрегационное расстояние вместо классического расстояния .
1 1med( ) med( ,..., )med k kx y x y x y
1 1( ) ( ,..., )rank k krank rank x y x y x y
Agg
![Page 27: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/27.jpg)
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1
... 1 2 ... 1 2
( , ,..., )
1( , ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,...,N k
N
N
N N i
i
w w w N w w w
x x x
x x x x x x xN
x x x x x x
Aggreg
M
1. Арифметическое среднее
ean
2. Взвешенное ср
Arithm
Aggreg Mean
еднее
1 2 ... 1 2
1 1
1
)
1 ( , ,..., )
k
N
N N
iw w w N i i iNi i
i
i
x x x w x w x
w
Arithm
![Page 28: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/28.jpg)
1 2 1 2
1
1 ( , ,..., ) ( , ,..., )
Npp
p N p N i
i
x x x x x x xN
Aggreg M
3. Степенные p - сре
e n
д
a
ние
1 2 1 2
1
1 2 1 2
1
( , ,..., ) ( , ,..., )
1 ( , ,..., ) ( , ,..., )
1
(
N
NGeo N Geo N i
i
Har k Har N N
i i
x x x x x x x
x x x x x x
x
x
4. Геометрическое среднее
5. Гармоническое среднее
6. Min-, Max - средние
Aggreg Mean
Aggreg Mean
Aggreg 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
, ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,..., )
( , ,..., ) ( , ,..., )
N N
N N
Med N N
N N
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
Min
Aggreg Max
Aggreg Med
Aggr
7. Mедиа
x
на
eg Ma
![Page 29: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/29.jpg)
11 2 1 2
1
1
( , ,..., ) ( , ,..., )N
iN NKol Koli
x x x x x x K K xN
9. Среднее по Колмогорову
Aggreg Mean
maxx
Физическая шкалаФизическая шкала
maxK x
Шкала Комогорова
maxx
minx
minK xminx
K
1K
![Page 30: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/30.jpg)
Agg
Frechet Cost Function Metric
Aggregation functionAggregation function
costAgg
![Page 31: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/31.jpg)
...
... ... ... ...
...
...
...
cos
1
tAgg
...
cos
2
tAgg
cost
nAgg
1Agg
2Agg
mAgg
cos ,
11
tAgg
cos ,
21
tAgg
cos ,
1
t
nAgg
cos ,
12
tAgg
cos ,
22
tAgg
cos ,
2
t
nAgg
cos ,
1
t
mAgg
cos ,
2
t
mAgg
cos ,t
nmAgg
cos tAgg
Agg
![Page 32: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/32.jpg)
costAgg
Mean
Med
Min
Geo
Agg
2
2,meanGenVectAgg
2,medGenVectAgg
2,minGenVectAgg
2geo,GenVectAgg
![Page 33: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/33.jpg)
0 1 2( , )p x x 1 9( , )p x x
0
0
1x 2x 9x
2x
9x
...
... ... ... ... ...
2 1( , )p x x 2 9( , )p x x
9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ...
...
...
1x 9
1
1
, q
p i
i
x x
9
2
1
, q
p i
i
x x
9
2
1
, q
p i
i
x x
1
min ,N
q
p i j
i
x x
Векторные медианные фильтры,
ассоциированные с метрикой Lp и
усредняющей стоимостной функцией
![Page 34: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/34.jpg)
0 1 2( , )p x x 1 9( , )p x x
0
0
1x 2x 9x
2x
9x
...
... ... ... ... ...
2 1( , )p x x 2 9( , )p x x
9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ...
...
...
1x 1, q
p iMed x x
min ,q
p i jMed x x
Векторные медианные фильтры,
ассоциированные с метрикой Lp и
медианной стоимостной функцией
2 , q
p iMed x x
9 , q
p iMed x x
![Page 35: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/35.jpg)
0 1 2( , )p x x 1 9( , )p x x
0
0
1x 2x 9x
2x
9x
...
... ... ... ... ...
2 1( , )p x x 2 9( , )p x x
9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ...
...
...
1x 1, q
p iMin x x
Векторные медианные фильтры,
ассоциированные с метрикой Lp и
Min-стоимостной функцией
2 , q
p iMin x x
9 , q
p iMin x x
min ,q
p i jMin x x
![Page 36: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/36.jpg)
Векторные медианные фильтры
а) Original image b) Noised images, PSNR = 21.83cos
2, tAgg Agg Mean
PSNR = 32.524
cos
2, tAgg Agg Med
PSNR = 31.788
cos
2, tAgg Agg Min
PSNR = 28.293
cos
2, tAgg Agg Geo
PSNR = 30.517
Fig. 1. Noise: “Salt-Peper”. Denoised images (c)-(f)
c)
d) e) f)
![Page 37: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/37.jpg)
Векторные медианные фильтры
а) Original image b) Noised images, PSNR = 28.24cos
2, tAgg Agg Mean
PSNR = 30.68
cos
2, tAgg Agg Med
PSNR = 29.61
cos
2, tAgg Agg Min
PSNR = 27.77
cos
2, tAgg Agg Geo
PSNR = 30.14
Fig. 3. Noise: “Laplacian PDF”. Denoised images (c)-(f)
c)
d) e) f)
![Page 38: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/38.jpg)
Векторные медианные фильтры
а) Original image b) Noised images, PSNR = 17.18cos
2, tAgg Agg Mean
PSNR = 21.83
cos
2, tAgg Agg Med
PSNR = 20.84
cos
2, tAgg Agg Min
PSNR = 19.04
cos
2, tAgg Agg Geo
PSNR = 20.50
Fig. 3. Noise: “Gaussian PDF”. Denoised images (c)-(f)
c)
d) e) f)
![Page 39: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/39.jpg)
Векторные медианные фильтры
b) Noised images, PSNR = 17.18
“Gaussian PDF”
cos
2, tAgg Agg Mean
PSNR = 21.83
Noised images, PSNR = 28.24
cos
2, tAgg Agg Mean
PSNR = 30.68
“Laplacian PDF”
Noised images, PSNR = 21.83c)
cos
2, tAgg Agg Mean
PSNR = 32.524
“Salt-Peper”
![Page 40: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/40.jpg)
![Page 41: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/41.jpg)
ВОПРОСЫ
![Page 42: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/42.jpg)
1 2
1
ˆ arg min , , ,.. ,ˆ .N
opt i N
i
quasioptx Med x xμ x
0 1 2( , )p x x 1 9( , )p x x
0
0
1x 2x 9x
2x
9x
...
... ... ... ... ...
2 1( , )p x x 2 9( , )p x x
9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ...
...
...
1x 9
1
1
, p i
i
x x
9
2
1
, p i
i
x x
9
2
1
, p i
i
x x
1
min ,N
p i j
i
x x
Векторные медианные фильтры,
ассоциированные с метрикой Lp и
усредняющей стоимостной функцией
![Page 43: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/43.jpg)
Что есть агрегационный оператор?
1 2
1 2
1
11.
= ( , ,..., )
( , ,..., )
N
N
N
ii
xN
x x x
x x x
x
Arithm
Mean
1 22. ( , ,..., )Nx x x xMed
minx
maxx
Mean
Med
min maxx x x
1 2( , ,..., )Nx x x x
1 2( , ,..., )Nx x x y x Aggreg
![Page 44: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/44.jpg)
Основные свойства АО
1) ( )
2) (0,...,0) 0 and (1,...,1) 1,
3) ( ,..., ) ( ,..., ),
если ( ,..., ) ( ,..., ).
l n l n
l n l n
y x x
y
y x x y y
x x y y
Aggreg
Aggreg Aggreg
Aggreg Aggreg
Основные ограничения:
1 2 1 2 2
1 2 1 2
11) min( , ,..., ) ( , ,.
( , ,..., ) ( , ,..
.., ) max( , ,..., )
2) ., )
n n n
n nx m x m x m A
x x x x x x x x
m x x
x
x
Aggreg A
Aggreg
ggreg
Дополнительные ограничения:
![Page 45: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/45.jpg)
0 1 2( , )p x x 1 9( , )p x x
0
0
1x 2x 9x
2x
9x
...
... ... ... ... ...
2 1( , )p x x 2 9( , )p x x
9 1( , )p x x 9 2( , )p x x ...
...
...
1x 9
91
1
, p i
i
x x
Векторные медианные фильтры,
ассоциированные с метрикой Lp и
Geo-стоимостной функцией
9
9
1
min , p i j
i
x x
9
92
1
, p i
i
x x
9
99
1
, p i
i
x x
![Page 46: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/46.jpg)
Экспериментальная часть
𝑓𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 = 𝑆𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 + 𝜂𝑀𝑐𝑜𝑙(𝑥), где
𝑆𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 = 𝑠1 𝑥 , 𝑠2 𝑥 , … , 𝑠𝑘 𝑥 - оригинал k-канального изображения, 𝜂𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 =(𝜂1 𝑥 , 𝜂2 𝑥 , … , 𝜂𝑘(𝑥)) - k-канальный шум, 𝑓𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 =(𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑘 𝑥 ) – искаженное изображение, полученное воздействием шума 𝜂𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 на изображение 𝑆𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑥 .
𝑥 = (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑍2 – это двухмерное пространство, которое принадлежит к области изображения и представляет собой местоположение пикселей.
![Page 47: E. Ostheimer, V. G. Labunets, D. E. Komarov, T. S. Fedorova and V. V. Ganzha - Fréchet Filters for Color and Hyperspectral Images](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022032420/55a59c1f1a28aba0578b465b/html5/thumbnails/47.jpg)
Общая схема фильтрации
𝑀 𝑖,𝑗 (𝑚, 𝑛)𝑚=−𝑟,𝑛=−𝑟
𝑚=+𝑟,𝑛=+𝑟- квадратное окно размером
N= 2 ∙ 𝑟 + 1 ∙ 2 ∙ 𝑟 + 1 .
𝑆𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑖, 𝑗 = 𝑀𝑒𝑎𝑛(𝑚,𝑛)∈𝑀(𝑖,𝑗)
{ 𝑓𝑀𝑐𝑜𝑙(𝑚, 𝑛)},
где 𝑆𝑀𝑐𝑜𝑙 𝑖, 𝑗 – это отфильтрованное изображение
{ 𝑓𝑀𝑐𝑜𝑙(𝑚, 𝑛)}(𝑚,𝑛)∈𝑀(𝑖,𝑗)– это блок изображения
фиксированного размера N, извлеченного из 𝑓𝑀𝑐𝑜𝑙, перемещая окно M(i,j) в позицию (i,j)