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파(波)와 해안수리
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파(wave) 또는 파동
매질의 진동으로 인한 어느 특정한 형상이 매체 중을 전파하는 현상.
수파(water wave)는 물을 매질로 하여 수변 변동이 전파되는 현상.
파에 대한 이해가 중요한 이유
1. 해안에서의 수리현상을 지배하는 가장 큰 영향인자
2. 해안구조물의 계획•설계 및 시공을 위해 반드시 파악해야 할 필수자료
3. 연안방재 및 연안보전에 필요한 기초 자료
여기서는 파에 대한 일반적인 정의와 미소진폭파 이론을 통하여 파의 기본량을 살펴본다.
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파의 정의
파장(wave length) : 파봉(wave crest)으로부터 인접하는 파봉까지의 수평거리(L)
파속(celerity) : 파의 전파속도 (C)
주기(wave period) : 어떤 한 점에서 한 파봉이 오고 다음 파봉이 올 때까지의
시간간격
파고(wave height) : 파봉과 파곡(wave trough)사이의 연직거리
CTL = (1)
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임의의 위치에서의 수위변동 는 다음과 같이 쓸 수 있다. η
)sin(),( δση +−= tkxatx
여기서, a는 파의 진폭(wave amplitude), K는 파수(wave number), σ는 각주파수(wave angular frequency)로 다음과 같이 나타낸다.
Lk /2π=
(2)
T/2πσ =
파의 특성을 나타내는 양
1. 파형경사(wave steepness) : 파장에 대한 파고비, 즉 H/L
2. 상대수심(relative depth) : 파장에 대한 수심비, 즉 h/L
파형경사와 상대수심은 파를 분류하는데 큰 역할을 하는 매개변수 이다.
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예제-파형의 산정
파고가 H=1.6m, 주기가 T=10sec인 정현파가 파속 C=4m로 진행하고 있다. 파형( η) 을 구하라. 위상각 δ=0으로 둔다.
mmCTL 40sec10sec/4 =×==
1
4022 −== m
Lk ππ
1sec1022 −==ππσ
T
mmHa 8.026.1
2===
)1040
(2sin8.0
)102
402sin(8.0
)sin(
tx
tx
tkxa
−=
−=
−=
π
ππση
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파의 분류
주기에 따른 분류
중력파는 주기가 1초에서 30초 사이의 파로서 원인력(발생력)은 바람에 의한 에너지이며, 이 중에서도 해안공학상 주대상이 되는 파는 주기가 대략 5초에서 약 15초 사이의 파임.
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파의 형상에 의한 분류
1. 규칙파(regular wave) : 주기와 파고가 일정한 파가 한 방향으로 무한히
계속 진행하는 파
2. 불규칙파(irregular wave) : 주기와 파고가 일정하지 않고 다양한 방향으로
진행되는 파
상대수심에 의한 분류
심해파(deep water wave) : 21
>Lh
중간수심파 또는 천해파 : 21
251~
201
<<Lh
극천해파 또는 장파 : 251~
201
<Lh
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이론적 취급에 의한 분류
1. 선형파이론 : 수면변동량 및 수면의 경사가 매우 작아서 입자속도의 제곱항이나 속도와 수면경사의 곱을 나타내는 항을 무시할 수 있다고 가정하여 기초방정식을 선형화하여 유도한 파의 이론(미소진폭파)
2. 유한진폭파 : 파고가 크고 파장이 짧게될 때 미소진폭파에서 무시한 양들을 고려하여 유도한 파의 이론(트로코이드 파, 스톡스 파, 크노이드 파, 고립파)
현상(現象)상의 분류
1. 진행파 : 파동이 일정한 방향으로 진행하는 파
2. 반사파 : 진행파가 연직 장애물 등에 의해서 반사되어 진행방향의 반대방향으로 되어 진행하는 파
3. 중복파 : 반사파가 뒤이어 진행해 온 진행파와 중첩되어 생기는 파, 이때 파는 수면이 상하로 진동할 뿐 파형은 진행하지 않는다.
4. 쇄파 : 심해에서 천해로 진행해 온 파가 수심이 감소함에 따라 파고는 증대하고 파장이 감소하여 파형경사가 증가하여 공기를 혼입하면서 파의 앞부분이 부서지는 파
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미소진폭 표면파
Airy(1845)에 의해 발표되어 Airy 파 이론으로도 불림
기본식 및 경계조건을 선형화하여 다룬 파 이론-수학적으로 가장 간단
파에 관련된 제반문제에 적용할 수 있고, 완전한 해답을 얻지 못하더라도 문제해결의 단서를 얻을 수 있음
수학적으로는 1차 근사식 정도이지만, 공학적 실용도 면에서는 매우 유용함.
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미소진폭파의 가정
- 수심이 h로 일정한 해역에 주기가 T이고 파고가 H인 파가 수면을 한 방향으로 가는 연직 2차원 파동의 해를 구하는 것을 목적으로 함.
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1. 해수는 균질(homogeneous), 비압축성(incompressible), 표면장력은 무시함.
0=∂∂
+∂∂
zw
xu (3)
여기서, u, w는 각각 x, z 방향의 수립자 속도이며, 주기 1초 이상, 파장 3cm 이상인 파를 대상으로 함.
2. 흐름은 비회전류(irrotational flow)로 가정.-속도포텐셜 함수 Φ 가 존재
Euler 방정식 적용가능.
yw
xu
∂∂
−=∂∂
−=φφ , (4)
3. 해저바닥은 불투수층으로 구성되어 있어, 바닥을 통한 물의 유출입은 없음. 즉, 해저바닥에 수직한 방향으로의 속도성분이 존재하지 않는다.
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4. 수표면에서 압력은 대기압으로서 일정하다. 따라서 바람에 의해서 유발되는 풍압이나 수면변동으로 인한 압력차는 무시함.
5. 파의 진폭은 파장과 수심에 비해서 작다.
haLa <<<< , (5)
수립자 속도가 파의 전파속도 C보다 아주 미소하다는 것을 의미함.
Cwu << , (6)
가정5는 수면변동량 η가 작아서 근사적으로 η≒0으로 놓을 수 있고 운동이 완만하하여 수립자 속도 u, w의 제곱항은 무시할 수 있으며, 수면경사 ∂η/∂x 또한 작아서 이것과 속도와의 곱도 무시할 수 있다는 것을 의미함.
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기본식과 경계조건
기본식
ηφφ≤≤−=
∂∂
+∂∂ zh
yx ,02
2
2
2
경계조건
1)바닥경계조건
0=∂∂
−=−= hzz
w φ
2)자유표면경계조건
운동학적 자유표면경계조건
ηηη
ηφηηφ
=== ∂∂
∂∂
−∂∂
==∂∂
−=zzz xxtdt
dz
w
동역학적 자유표면경계조건
0)(21 22 =+++
∂∂
−==
ηφ
ηη
gwut zz
3)수평경계조건
),(),(),(),(
TtxtxtLxtx
+=+=
φφφφ
이 방정식은 미지수와 비선형항을 포함하고 있어 해를 구하는 것은 어렵다.
따라서 이러한 식들을 선형화하여 Φ의 해석해를 구할 수 있다.
(7)
(8)
(9)
(10)
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기본식 및 경계조건의 선형화
1.기본식(연속방정식)
0 ,02
2
2
2
≤≤−=∂∂
+∂∂ zh
yxφφ
2. 바닥경계조건
0=∂∂
−−= hzz
φ
3. 자유표면경계조건
1) 운동학적 경계조건
tz z ∂∂
=∂∂
−=
ηφ
0
2) 동역학적 경계조건
0
1
=∂∂
=ztg
φη
4. 수평경계조건
),(),(),(),(
TtxtxtLxtx
+=+=
φφφφ
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
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미소진폭 표면파의 해
기본방정식을 풀면 다음과 같은 속도 포텐셜 함수 Φ를 구할 수 있다.
)cos(cosh
)(cosh2
tkxkh
zhkHg σσ
φ −+
= (16)
)cos(sinh
)(cosh2
tkxkh
zhkk
H σσφ −+
= (17)
식(16)과 식(17)은 모두 미소진폭파 이론에 이한 속도 포텐셜 함수를 나타내며 이 두식은 다음과 같은 분산방정식에 의해서 변환할 수 있다.
khgk tanh2 =σ (18)
※ 분산방정식은 파수와 각주파수의 관계를 부여하는 식이다.
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기본해의 적용
1. 파장과 파속 : 설계에 필요한 가장 기본적인 양으로 매우 중요함.
분산방정식에 파수 k와 각주파수 σ를 대입하면 다음과 같다.
khgk tanh2 =σL
hL
gT
πππ 2tanh22 2
=
TLk /2 , /2 πσπ ==
(19)
식(19)를 파장 L에 대해서 정리하면,
LhgTL π
π2tanh
2
2
= (20)
이 식은 양변에 미지수인 파장 L이 들어 있는 음함수이다. 이 식을 풀기 위해서는 수치적인 방법이 필요하지만, 수심이 아주 큰 경우와 아주 작은 경우에는 간단한 형태를 갖는다.
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LhgTL π
π2tanh
2
2
=
먼저 쌍곡선 함수의 형태를 살펴보자.
2sinh
khkh eekh−−
=
2cosh
khkh eekh−+
=
khkh
khkh
eeee
khkhkh −
−
+−
==coshsinhtanh
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심해파의 파장( h ≫ 1)
12tanh 2
2
22
22
==+
−=
−
−
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
Lh
e
e
ee
eeL
hπ
π
ππ
ππ
π
LhgTL π
π2tanh
2
2
= 22
0 56.12
TgTL ==π
(m-sec 단위) (21)
심해파의 파장
L0는 심해파의 파장을 의미하는데, 지형 등의 영향으로 파가 변형하는 경우에도 주기가 일정하므로, 기준길이로 사용하기에 적합하다.
심해파의 파속
TgTT
gT
TLC 56.1
22
2
0 ====π
π (m-sec 단위) (22)
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극천해파의 파장 (h ≪ 1)
수심이 매우 적은 극천해파인 경우에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
)/2(sinhtanh Lhkhkhkh π=≅≅
LhgTL π
π2tanh
2
2
=L
hgTL ππ
22
2
= 22 ghTL =
TghL = (극천해파의 파장) (23)
극천해파의 파속
ghT
TghTLC ===
(24)
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중간수심파의 파장 및 파속
21
251~
201
<<Lh
극천해파 심해파
중간수심파
LhgTL π
π2tanh
2
2
=
중간수심파의 파장
LhgT
TLC π
π2tanh
2==
중간수심파의 파속
※두 식 모두 음함수의 형태를 나타내고 있으므로 수치적인 방법 또는 반복계산에 의해서 파장 및 파속을 구할 수 있다.
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2.수립자 운동
(1)속도장
)sin(sinh
)(cosh2
tkxkh
zhkHx
u σσφ−
+=
∂∂
−= (25)
)cos(sinh
)(sinh2
tkxkh
zhkHz
w σσφ−
+−=
∂∂
−= (26)
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)sin(sinh
)(cosh2
tkxkh
zhkHx
u σσφ−
+=
∂∂
−=
)cos(sinh
)(sinh2
tkxkh
zhkHz
w σσφ−
+−=
∂∂
−=
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(2)가속도장
)cos(sinh
)(cosh2
2
tkxkh
zhkHtuu σσ
−+
−=∂∂
≅ (27)
)sin(sinh
)(sinh2
2
tkxkh
zhkHtww σσ
−+
−=∂∂
≅ (28)
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(3)수립자의 궤적
∫ −+
== )cos(sinh
)(cosh2
txkkh
zhkHudt σξ
∫ −+
== )sin(sinh
)(sinh2
txkkh
zhkHwdt σζ
(29)
(30)
수립자의 궤적을 구하기 위해서 위식을 고쳐쓰면
12
2
2
2
=+BAζξ
(31)
khzhkHB
khzhkHA
sinh)(sinh
2
sinh)(cosh
2+
=
+=
(32)
수립자가 타원형의 궤도를 따라서 운동하고 있다.
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상대수심에 따라 수립자의 궤적을 살펴보자.
khzhkHB
khzhkHA
sinh)(sinh
2
sinh)(cosh
2+
=
+=
심해
)(
21
)(sinh)(cosh
zhke
zhkzhk
+=
+≅+
khekh21sinh ≅
zk
zk
eHB
eHA
2
2
=
=BA =
심해에서는 원의 궤적을 그린다.
극천해
,1)(cosh ≅+ zhk )()(sinh zhkzhk +≅+khkh ≅sinh
)1(2
41
2
hzHB
hHL
khHA
+=
==π
타원형 궤적을 나타내며 장축은 z에 관계없이 일정하고 파장에 비례
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3. 파동장의 압력분포
[ ] )(21 22 tFgzpwu
t=++++
∂∂
−ρ
φ
다음과 같은 베르누이 방정식의 일반형으로부터 파동장에서 임의의 깊이에서의 p를 구할 수 있다.
(33)
0 으로 둔다.
gzt
p ρφρ −∂∂
= (34) )cos(cosh
)(cosh2
tkxkh
zhkHg σσ
φ −+
=
동압력
정수압
gztkxkh
zhkHgp ρσρ −−+
= )sin(cosh
)(cosh2
(35)
gzKgp p ρηρ −= (36)
khzhkK p cosh)(cosh +
= (37) 압력응답계수
(pressure response factor)
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상대수심(h/L)을 매개변수로 하여 수심비 –z/h에 따른 Kp의 값을 계산하여 도시한 것임.
정수면(z=0)에서 Kp값은 1이고 수심이 클수록 또 상대수심(h/L)이증가할 수록 Kp의 값은 감소한다.
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동압력(pd)만을 분리해서 쓰면,
p
d
gKp
ρη = (38)
동압력이 주어지면 파형η를 구할 수 있고, 이것으로부터 파고의 산정도 가능함.
수압식 파고계를 해저 (z = -h)에 설치한 경우
)( hgKp
p
d
−=ρ
η (39) khhK p cosh
1)( =− 수심이 너무 깊으면
압력전달이 떨어져 파고를 정확히 측정할 수 없음.
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중복파와 반사
완전중복파
1. 파형과 속도장
진행파와 진행파가 연직벽에 부딪쳐 반사하는 경우를 생각해 보자.
)sin(2
tkxH II ση −= (40)
)sin(2
tkxH RR ση +−=
입사파
반사파 (41)
완전반사인 경우에 입사파고 HI와 반사파고 HR이 같다.
입사파와 반사파를 중첩시키면 다음과 같이 된다.
tkxHHtkxHH RIRIRI σσηηη sincos
22cossin
22
+−
−=+= (42)
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HHH RI == 완전중복파인 경우 :
tkxH ση sincos−= (43)
이 되는 지점 즉 x=L/4, 3L/4,5L/4,…(2n+1)L/4에서는 시간 t에 관계없이 진폭이 0이 됨.
0cos =kx
인곳, 즉 x=0, L/2, L, 3L/2, nL/2에서는 진폭이 H로서 최대이며 진행파의 2배가 된다.
1cos ±=kx
진폭이 0인 곳을 진동의 절(node)이라 하고, 진폭이 최대인 곳을 진동의 배(antinode)라 부르며, 배와 절은 L/4마다 교대로 출현한다.
이와 같이 전진하지도 후진하지도 않으며 제자리에서 연직방향으로 상하운동을 하는 파를 중복파(clapotis) 또는 정상파(standing wave)라 한다.