Universidade Federal do Reconcavo da Bahia UFRB

Curso de Licenciatura em Fsica

Robenil dos Santos Almeida

Resumo: Curso de Fsica Basica Eletromagnetismo

Amargosa, BA

08-01-2015

Sumario

1 A LEI DE COULOMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 O princpio de superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 A carga elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 O CAMPO ELETRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Campo eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Calculo do campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Fluxo e lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Fluxo devido a uma carga puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.2 Digressao sobre angulo solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.3 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Aplicacoes da lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Plano uniformemente carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2 Fio cilndrico, carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.3 Camada esferica, carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

21 A lei de Coulomb

1.1 Definicao

A forca de interacao eletrica entre duas cargas q1 e q2 e dada por

F2(1) = kq1q2

(r12)2r1(2) = F1(2) (1)

Figura 1 Forca coulombiana entre duas cargas

No SI, a constante de proporcionalidade k e escrita da seguinte forma:

k =1

4pi0= 107c2N.m2/C2 = 8, 99 109N.m2/C2 (2)

onde c e a velocidade da luz no vacuo e 0 e a permissividade do espaco livre.

1.2 O princpio de superposicao

A forca sobre a i-esima carga devido as outras cargas e dada por

Fi =j 6=i

Fi(j) =qi

4pi0

j 6=i

qj(rji)2

rji (3)

Empregando o princpio de superposicao, podemos passar da descricao em termos

de cargas puntiformes a` descricao macroscopica em termos de cargas distribudas sobre

volumes. Se subdividimos um volume v em porcoes vj suficientemente pequenas para

que a carga qj em cada uma delas possa ser tratada como puntiforme, teremos

qj = jvj

onde j e a densidade volumetrica de carga na porcao vj.

Passando ao limite em que se faz vj tender para zero, uma soma como da

Equacao 3 tende a uma integral de volume:j

qj( ) =j

vjj( )v

dv( ) =v

dv (4)

Tambem podemos considerar, como casos limites, uma distribuicao de carga sobre

uma superfcie S, com densidade superficial de carga ,

dq = dS (5)

3onde dS e o elemento de superfcie (a soma se transforma numa integral de superfcie) e

uma distribuicao de carga sobre um fio, descrito como uma linha l, com densidade linear

de carga ,

dq = dl (6)

onde dl e o elemento de linha (a soma se transforma numa integral de linha).

Exemplo 1. Uma carga Q esta distribuda uniformemente sobre um anel circular vertical

de raio e de espessura desprezvel. Qual e a forca exercida sobre uma carga puntiforme

q situada sobre o eixo horizontal que passa pelo centro do anel, a uma distancia D do seu

plano?

Figura 2 Forca coulombiana de um anel sobre uma carga q

Solucao: A densidade linear de carga sobre o anel e

=Q

2pi

Um elemento de linha dl do anel que subtende um angulo d no seu centro, onde e o

angulo azimutal no plano do anel, tem uma carga dQ = dl = d e exerce uma forca

dF sobre a carga q, cujo modulo e dado por (supondo que q e Q tenham o mesmo sinal)

|dF| = qdQ4pi0r2

=qd

4pi0r2=

Qqd

8pi20r2

Decompondo dF numa componente dF perpendicular ao plano do anel e uma compo-

nente paralela a este plano, vemos que, ao integrar sobre , as componentes paralelas se

cancelam devido a` simetria (para cada elemento dl existe outro, simetrico em relacao ao

centro, cujo contribuicao a` componente paralela e oposta); a componente perpendicular

e dada por ( e a colatitude)

|dF| = |dF| cos = |dF|(D

r

)

Como todos os demais fatores sao constantes, sobra somente a integral sobre d, que e

igual a 2pi. Logo, a forca total e perpendicular ao plano do anel e de magnitude

|F| = QqD4pi0r3

=QqD

4pi0(2 +D2)3/2

41.3 A carga elementar

O valor da carga elementar e e aproximadamente:

e 1, 60 1019C (7)

52 O campo eletrico

2.1 Campo eletrico

Pelo princpio da superposicao, a forca sobre uma carga puntiforme qi, devido a sua

interacao eletrostatica com outras cargas puntiforme fixas em posicoes predeterminadas,

e proporcional a qi, e pode ser escrita com

Fi = qiEi (8)

onde

Ei =1

4pi0

i 6=j

qj(rji)2

rji (9)

2.2 Calculo do campo

Segundo a Equacao 9, o campo eletrico E produzido por uma distribuicao de cargas

puntiformes q1, q2, qN num ponto P e dado pela soma vetorial

E =1

4pi0

Ni=1

qi(ri)2

ri (10)

onde ri e a distancia da carga qi ao ponto P e ri e o vetor unitario da direcao que liga a

carga a este ponto.

Figura 3 Campo de uma distribuicao de cargas puntiformes num ponto P

Se tomarmos a origem das coordenadas num ponto O, sendo x o vetor de posicao

de P e xi o da carga qi, temos, com |x xi| = ri,ri =

x xi|x xi| (11)

Se tivermos uma distribuicao contnua de cargas, a somatoria da Equacao 10 e

substituda por uma integral:

E =1

4pi0

r

r2dq =

1

4pi0

r

r3dq (12)

6onde r = x x, r = |r|.

Figura 4 Campo de uma distribuicao contnua de cargas num ponto P

Se a distribuicao de carga e tridimensional, temos dq = dv, onde e a densidade

volumetrica de carga e dv o elemento de volume.

Exemplo 2. Um disco circular horizontal de raio a esta uniformemente carregado com

densidade superficial de carga . Qual e o campo num ponto do eixo vertical que atravessa

o disco em seu centro, a uma distancia D do centro?

Figura 5 Campo de um disco circular

Solucao: Podemos pensar no disco como subdividido em aneis de largura infinitesiamal

d e raio variando de 0 a a. A carga de um anel e 2pid e o campo dE e vertical e de

magnitude

|dE| = 2pidD4pi0(2 +D2)23/2

=Dd

20(2 +D2)3/2

7Como todas as contribuicoes tem a mesma direcao, basta integrar essa expressao em

relacao a desde 0 ate a para obter o resultado final:

|E| = D20

a0

d

(2 +D2)3/2= |E| = D

20

(2 +D2

)1/2 a

0

=

20

[1 D

(a2 +D2)1/2

]

O campo e vertical e aponta em direcao ao disco se e negativo, em sentido oposto se

e positivo.

No exemplo 2, se fizermos a tender a, obtemos o campo eletrico produzido por um planoinfinito uniformemente carregado com densidade superficial de carga :

|E| = ||20

O campo e perpendicular ao plano e aponta em direcao a ele se < 0, e em sentido oposto

para > 0. Temos portanto

E = 20

z + para z > 0, - para z < 0

2.3 Fluxo e lei de Gauss

Chama-se fluxo do campo eletrico atraves de um elemento de superfcie S (cujo

versor da normal e n) a grandeza definida por

= E nS = |E| cos S (13)

Figura 6 Fluxo atraves de S

Deve-se notar que:

o elemento de superfcie e orientado, ou seja, sua normal n tem um sentido prefe-rencial.

e > 0 ou < 0 conforme seja agudo ou obtuso.

82.3.1 Fluxo devido a uma carga puntiforme

Para uma carga q puntiforme situada num ponto O, o campo E num ponto P de

um elemento de superfcie S e dado por

E(P ) =q

4pi0

r

r2

onde r = r/r e o versor de OP.

Figura 7 Fluxo devido a q

O fluxo atraves de S e entao dado por

=q

4pi0

S cos

r2(14)

onde cos = r n.

2.3.2 Digressao sobre angulo solido

A expressao que aparece na Equacao 14

=S cos

r2(15)

e o que se chama um elemento de angulo solido.

Num plano, o angulo (em radianos) subtendido por um elemento de arco

orientado l em relacao a um ponto O, situado a` distancia r de l, e o mesmo que

aquele associado ao arco de crculo s com centro em O, de raio r, compreendido entre

as mesmas direcoes, ou seja,

= s/r = l cos /r (16)

9Figura 8 Comparacao entre os angulos

O angulo solido subtendido por um elemento de superfcie orientado S, com

normal n, em relacao a um ponto O, situado a` distancia r de S, e o mesmo que para ,

area correspondente da esfera de raio r compreendida dentro do mesmo cone de direcoes.

Temos:

= S cos = S(n r) (17)onde n e r sao as normais a S e , respectivamente, que crescem como r2. Definimos

assim

= /r2 = S cos /r2 (18)

que se mede em esterradianos, e pode ser positivo ou negativo conforme seja agudo ou

obtuso (o sinal muda com a orientacao de n). Note-se que || e tambem a area de umaesfera unitaria compreendida dento do mesmo cone.

Figura 9 Angulo solido subtendido por uma superficial fechada S vista de um ponto O: in-terno (esquerda); externo (direita)

Seja S uma superfcie fechada, orientada em cada ponto (segundo a normal externa

n).

Temos entao, se O e um ponto interno a S, eS

representa a integral sobre a

superfcie S fechada,

=

S

d = 4pi (o interno) (19)

pois esta e a area de uma superfcie esferica de raio r = 1. Por outro lado, se O e um

ponto externo a S, S

d = 0 (o externo) (20)

pois neste caso ha duas interseccoes e elementos correspondentes delas dao contribuicoes

de mesmo modulo e sinais contrarios (n = n).

10

O elemento de area dS sobre uma esfera de raio r, em coordenadas esfericas, e o

produto do arcos

PP1(= rd) P1P2(= r send)

Figura 10 Elemento de area em coordenadas esfericas

O que da

dS = r2 sendd

e

d = dS/r2 = sendd (21)

Para calcular o angulo solido subtendido pelo crculo equatorial da esfera da Figura

10 com o centro em O1, de raio , a` distancia OO1 = z do centro O. Para isso, basta

integrar a expressao sobre o domnio de variacao das coordenadas esfericas ao longo desse

crculo:

=

2pi0

d

0

send = 2pi[ cos

]0

o que da

= 2pi(1 cos )ou seja, usando o triangulo OO1P da figura,

= 2pi[1 z

(2 + z2)1/2

](22)

Podemos escrever

|E| = 20

2pi=

4pi0

Na contribuicao para o campo de um anel de largura infinitesima, basta considerar,

por simetria, a componente perpendicular,

|dE| = |dE| cos = dS cos 4pi0r2

=

4pi0d

11

2.3.3 Lei de Gauss

Pela Equacao 14, para o fluxo do campo de uma carga q puntiforme atraves de

um elemento de superfcie dS orientado com normal n. Vemos pela Equacao 14 que esse

fluxo e

d =q

4pi0d (23)

onde d e o angulo solido subtendido por dS, visto da posicao da carga. O fluxo S

atraves de uma superfcie S fechada de normal externa n e entao

S =q

4pi0

S

d =

[q/0 se q esta dentro de S

0 se q esta fora de S

](24)

Como qualquer distribuicao de cargas pode ser decomposta em elementos de carga

assimilaveis a cargas puntiformes, e o campo resultante, pelo princpio de superposicao,

e a soma dos campos de todos esses elementos, resulta na lei de Gauss:

S =

S

E dS = Q0

(25)

onde

dS = ndS

2.4 Aplicacoes da lei de Gauss

2.4.1 Plano uniformemente carregado

Figura 11 Plano uniformemente carregado

E+ = E+z = E

Tomando para superfcie gaussiana o paraleleppedo da figura, com bases de area

A, so ha fluxo atraves das bases, e vem

S = 2E+A =Q

0=A

0

12

onde e a densidade superficial de carga, o que da

E = 20

z (26)

2.4.2 Fio cilndrico, carga uniforme

Figura 12 Fio cilndrico, carga uniforme

Em coordenadas cilndricas (, , z), o campo eletrico deve ter a direcao e, pela

simetria axial, deve ser independente de e de z, o que da

E = E() (27)

O campo mais geral teria tres componentes, cada uma delas dependente de (, , z),

de modo que a simetria leva a uma grande simplificacao.

A superfcie gaussiana adaptada a` simetria e aqui um cilindro coaxial de raio e

altura z, que contem em seu interior a carga da superfcie lateral, de forma que a lei de

Gauss da:

S = 2pizE() =z

0

ou seja

E =

2pi0 (28)

2.4.3 Camada esferica, carga uniforme

Consideremos uma camada esferica de raio a e espessura infinitesimal r, com

densidade de carga e carga total

Q = 4pia2r (29)

13

Figura 13 Camada esferica, carga uniforme

SumrioA lei de CoulombDefinioO princpio de superposioA carga elementar

O campo eltricoCampo eltricoClculo do campoFluxo e lei de GaussFluxo devido a uma carga puntiformeDigresso sobre ngulo slidoLei de Gauss

Aplicaes da lei de GaussPlano uniformemente carregadoFio cilndrico, carga uniformeCamada esfrica, carga uniforme