課文 c 21 · 3 如下圖，兩條直線l 1、l 2 平行，就可以找到直線l 同時與直線l...
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目 錄
單元一 平行線與截角性質 ................................................................... 2
課文 A： 平行線的意義 .................................................................. 2
課文 B： 截線與截角 ...................................................................... 8
課文 C： 利用截角判別平行 ........................................................ 21
單元二 平行四邊形 ............................................................................. 29
課文 A： 平行四邊形的基本性質 ................................................ 29
課文 B： 平行四邊形的判別性質 ................................................ 46
單元三 特殊四邊形 ............................................................................. 59
課文 A： 箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質 ............... 59
課文 B： 利用對角線判斷箏形、菱形、矩形、正方形 ............ 74
課文 C： 梯形的性質 .................................................................... 79
課文 D： 梯形的性質證明 ............................................................ 89
2
單元一 平行線與截角性質
課文A： 平行線的意義
我們在國小的時候就學過平行線了，那時候老師說兩條永不相交的直
線，就稱為平行線。事實上很難用這個說法去驗證兩條線是否為平行線。
下圖鐵路中的兩條鐵軌就是兩條平行線，在鐵路裡面，會有很多根的
木頭，稱為枕木。而枕木的其中一個作用就是確保兩條鐵軌會平行。
如何利用枕木來確保兩條鐵軌會平行呢？從上圖選一根枕木並量量
看與兩條鐵軌分別所夾的角度是多少呢？量完後會發現你所選的那一根
枕木會與兩條鐵軌都夾 90°，也就是枕木與兩條鐵軌處處垂直，兩條鐵軌
為兩條平行線。
事實上，我們即利用這種方式定義平行：「平面上兩條直線 L1、L2，
如果存在另外一條直線 L 與這兩條直線 L1、L2同時垂直的話，我們就稱
L1、L2為平行線」也稱為 L1、L2平行，記作 L1//L2，唸作 L1平行 L2。反過
來說，如果兩條線不平行，就沒辦法找到一條直線 L 同時與 L1、L2垂直。
這個定義有利於我們驗證兩條線是否為平行線。
舉個例子，試著找找看如果有一條直線 L 與直線 L1垂直，再檢驗 L
是否也與直線 L2垂直。並量量看∠1 的度數是多少呢？因為∠1≠90°，所
以 L1和 L2不是平行線。
1
𝐿1
𝐿2 𝐿
C
A B
3
如下圖，兩條直線 L1、L2平行，就可以找到直線 L 同時與直線 L1、
L2垂直，與直線 L1、L2分別交於兩點 A、B， AB的長度就是直線 L1、L2
間的距離。而直線 M 也同時與直線 L1、L2垂直且分別交於兩點 C、D，CD
也會是直線 L1、L2間的距離。因為四邊形 ABDC 是長方形，所以 AB =CD。
因此，兩條平行線之間的距離都會相等。
利用「兩條平行線之間的距離處處相等」的性質可以來作圖形面積相
關的題目。
例題一：如圖，L1//L2，A、B 在 L1上，C、D 在
L2上，證明：△ACD 面積=△BCD 面積。
◎解題思維：三角形面積=1
2×底×高 ，所以要比較底跟高。
仔細看會發現△ACD 和△BCD 這兩個三角形有同樣的底，都是CD。
所以要比較△ACD 和△BCD 這兩個三角形的高。
解：分別畫出通過頂點 A、B 並與 L2垂直的線：
△ACD 面積=1
2× CD × 1AH ，
△BCD 面積=1
2× CD × 2BH
因為 L1//L2，所以 L1、L2之間的距離都會處處相
等，因此 1AH = 2BH 。所以△ACD 面積=△BCD 面積。
𝐿1
𝐿2
𝐿
A
B
𝑀
C
D
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A B
C D
𝐿1
𝐿2
A B
C D H1 H2
4
A
B C
D E
例題二：如圖，L1//L2，A、B 在 L1上，C、D 在
L2上，且 AD、BC 交於 P 點，△BPD 面積=12，
則△ACP 面積=？
解：根據例題一的討論，可得到△ACD 面積=△BCD 面積。
又△ACD 面積=△ACP+△PCD；
△BCD 面積=△BPD+△PCD。
所以
△ACP 面積+△PCD 面積=△BPD 面積+△PCD 面積
因此△ACP 面積=△BPD 面積=12。
★省思：如下圖，如果 L1//L2，A、B 在 L1 上，C、
D 在 L2上，且 AD、BC 交於 P 點。
由例題一討論可知：△ACD 面積=△BCD 面積。
由例題二討論可知：△ACP 面積=△BDP 面積。
例題三：如圖，△ABC 中，D、E 分別在 AB和 AC上，且DE // BC ，
若△ACD 面積為 30，求△ABE 的面積是多少？
𝐿1
𝐿2
A B
C D
P
A B
C D
P
12
𝐿1
𝐿2
A B
C D
P
5
解：
△ACD=△ADE+△CDE，△ABE=△ADE+△BDE
所以必須要比較出△BDE 跟△CDE 的關係。
因為DE // BC ，所以△BDE 跟△CDE 這兩塊三角形的底都是DE，高也
一樣長，也就是△BDE 面積=△CDE 面積。
△ADE 面積+△CDE 面積=△ACD 面積
△ADE 面積+△BDE 面積=△ABE 面積
所以△ABE 面積=△ACD 面積=30
重點提問
1.根據上面的課文，請問什麼是「平行線」？平行線又有什麼特質？如何
去檢查兩條線是否為平行線？
A
B C
D E
A
B C
D E
A
B C
D E
6
2.如右圖，如果 L1//L2，A、B 在 L1上，C、D 在 L2上，且 AD、BC 交於
P 點。請證明：
(1)△ACD 面積=△BCD 面積。
(2)△ACP 面積=△BDP 面積。
․隨堂練習：
1.如右圖，L1//L2，A、B 在 L1上，C、D 在 L2上，△ACB 面積=108，求
△ADB 面積=？
2.如右圖，L1//L2，A、B 在 L1上，C、D 在 L2上，且且 AD、BC 交於 P 點，
△ACP 面積 = 70，△PCD 面積= 40。則△BCD 面積=？△BDP 面積=？
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𝐿2
A B
C D
P
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A B
C D
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A B
C D
P
7
A
B C
D E
3.如圖，△ABC 中，D、E 分別在 AB和 AC上，且DE // BC ，若△ABE 面
積為 25，求△ACD 的面積是多少？
4.如右圖，L1//L2，A、B 在 L1上，C、D 在 L2上，
△ABC 面積=80， AB：CD =2：3。
請問△BCD 面積=？
5. 如右圖，四邊形 ABCD 中，E 為BC 上的一點，
且 AE // DC ，若四邊形 ABED 面積=15，
請問△ABC 面積=？
還是不太懂，請看下面影片
課文
https://youtu.be/SCaLFWOWY3U
例題一+更多例題
https://youtu.be/5rT1-Vk8gPI
例題三+更多例題
https://youtu.be/yHWl-JQ5nXc
𝐿1
𝐿2
A B
C D
E
A
B C
D
8
課文B： 截線與截角
接下來要介紹截線與截角。如下圖，直線 L 與直線 L1、L2相交於不同
的兩點時，稱直線 L 為直線 L1、L2的「截線」。
而截線 L 與直線 L1、L2會形成八個角(如下圖的∠1、∠2、∠3、∠4、
∠5、∠6、∠7、∠8)，這八個角都稱為截角。而這八個截角根據他們的位
置關係又可以分成三類：同位角、同側內角、內錯角。
※同位角：顧名思義就是指相對位置相同的角。看直線 L 這條線，這條線
將平面分成兩側，左側跟右側：
∠1 和∠5 都是在直線 L 的左側，而且∠1 和∠5 分別在 L1上側和 L2
上側。∠1 和∠5 的位置都在左上方，所以我們就稱∠1 和∠5 是一組「同
位角」。相同的道理，∠2 和∠6 的位置都在左下方，所以∠2 和∠6 也是
「同位角」。∠4 和∠8 互為「同位角」；∠3 和∠7 互為「同位角」。
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𝐿2
𝐿 A
B
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5
6 7
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𝐿
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4
5
6 7
8
左 右
9
※同側內角：同側內角指的就是同一側當中在內側的角。
什麼意思呢？前面說過，直線 L 將平面分成兩側，左側跟右側：
而直線 L1、L2這兩條線，這兩條線將平面分成內側跟外側：
直線 L 的左側有四個角∠1、∠2、∠5、∠6，這四個角裡面，在 L1、
L2內側的角是∠2 和∠5，所以它們互為「同側內角」。直線 L 的右側有四
個角中，一樣在 L1、L2內側的角是∠3 和∠8，所以它們互為「同側內角」。
※內錯角：指的是同在內側但互相交錯的角。
例如圖中的∠2、∠3、∠5、∠8 都是在 L1、L2的內側角。而交錯指的
是沒有在同一側，像是∠2 和∠8、∠3 和∠5，這兩組截角都稱為「內錯
角」。
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1
2 3
4
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左 右
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6 7
8 內
外
外
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5
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8 內
外
外
10
如果兩條線直線 L1、L2平行，一條截線 L 一樣會截出八個角(∠1、∠
2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8)，同樣可以分成三種截角，接下來就
來討論這三種截角(同位角、同側內角、內錯角)的性質。
先想一下哪些是同位角?同位角就是相對位置相同的角，而圖中有四組
同位角：∠1 和∠5、∠2 和∠6、∠3 和∠7、∠4 和∠8，兩個同位角之間
有什麼關係呢？我們找一組來說明！我們先看∠1 和∠5 這組同位角。
因為直線 L1、L2平行，所以可以找一條直線 M 同時垂直直線 L1跟 L2，
並且跟截線 L 有交點 A。令截線 L 分別與直線 L1、L2交於 B、C 兩點，直
線 M 分別與直線 L1、L2交於 D、E 兩點，如下圖：
直線 M 垂直直線 L1於 D 點，所以△ABD 是一個直角三角形；
假設∠BAD=40°，則在△ABD 中，∠1=180°−40°−90°=50°
直線 M 垂直直線 L2於 E 點，所以△ACE 也是一個直角三角形；
在△ACE 中，∠5=180°−40°−90°=50°
得到∠1=∠5。
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𝐿
1
2 3
4
5
6 7
8
1 𝐿1
𝐿2
𝐿
A
B
D
5
E
C
M
11
由上面討論可以知道，∠1 和∠5 這組同位角相等，那其他組呢？
在∠1=∠5=50°的前提下，先看∠2 和∠6 這組同位角，從圖中可以知
道∠2=180°−∠1=130°、∠6 =180°−∠5=130°得到∠2=∠6，即∠2 和∠6
這組同位角也會相等。同樣地，∠4=∠8=130°，即∠4 和∠8 這組同位角
也會相等。∠3=∠7=50°，即∠3 和∠7 這組同位角也會相等。
上面的討論是在∠1=∠5=50°的前提下說明，但即使我們將∠1=∠5
換成別的度數，其結果也是一樣的，也就是說，「當兩條平行線被一條直
線所截時，所截出的每一組同位角都會分別相等」。
例題一：下圖中，兩條直線 L1、L2平行，直線 L 為其截線，∠1、∠2、
∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 為截角，其中∠1=40°，求
(1)∠2=？∠3=？∠5=？
(2)∠2 的角度與∠5 的角度有什麼關係？
(3)∠3 的角度與∠5 的角度有什麼關係？
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𝐿
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2 3
4
5
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8
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7
8
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解：(1)
∠2是∠1的補角，所以∠2=180°−40°=140°。
∠3是∠1的對頂角，所以∠3=∠2=40°。
∠5是∠1的同位角，所以∠5=∠1=40°。
(2) ∠2+∠5=140°+40°=180°。(∠2 和∠5 互補)
(3) ∠3=∠5=40°。(∠3 和∠5 相等)
在例題一中，∠2 與∠5 是一組同側內角，而且發現它們的角度相加
為 180°，也就是∠2 和∠5 互補。而兩條平行線被一條直線所截，其同側
內角一定互補嗎？來討論看看這件事情！
下圖中，兩條線直線 L1、L2平行，直線 L 為其截線：
設∠1=a°，則∠2=(180−a)°，∠5=∠1=a°
得到∠2+∠5=180°，也就是∠2 和∠5 這組同側內角互補。
同樣地，∠3+∠8=180°，也就是∠3 和∠8 這組同側內角互補。
由上面的討論可以知道：「兩條平行線被一條直線所截，它們的同側
內角互補」。
𝐿1
𝐿2
𝐿
1
2 3
5
4
6
7
8
13
在例題一中，∠3 與∠5 是一組內錯角，而且發現它們的角度相等。
而兩條平行線被一條直線所截，其內錯角一定相等嗎？來討論看看這件事
情！下圖中，兩條線直線 L1、L2平行，直線 L 為其截線：
設∠1=a°，則∠3=∠1=a°(對頂角相等)，∠5=∠1=a°
得到∠3=∠1=∠5，也就是∠3 和∠5 這組內錯角相等。
同樣地，∠2=∠8，也就是∠2 和 ∠8 這組內錯角也相等。
由上面的討論可以知道：「兩條平行線被一條直線所截，它們的內錯
角相等」。
例題二：下圖中，兩條直線 L1、L2平行，直線 L 為其截線，∠1、∠2、
為其截角，其中∠1=2x°、∠2=(3x−20)°，求 x=？
◎解題思維：
∠1、∠2 這兩個截角沒有什麼關係，所以要找出同時與∠1、∠2 有
關係的截角，例如下圖中的∠3，我們把它標到圖上去。
𝐿1
𝐿2
𝐿
1
2 3
5
4
6
7
8
𝐿1
𝐿2
𝐿 1
2
3
𝐿1
𝐿2
𝐿 1
2
3
14
解：
因為∠3 是∠1 的對頂角，所以∠1=∠3=2x°；
因為∠3 是∠2 的同位角，又 L1// L2，所以∠3=∠2。
由∠3=∠2，可列出下列等式
2x°=(3x−20)°，x=20。
例題三：下圖中，一組平行線 L1、L2被直線 L 所截，
∠1=3x°、∠2=(x+20)°、∠3=2y°，求 x=？y=？
解：
因為∠1 跟∠3 是對頂角，所以∠1=∠3；
因為∠2 跟∠3 是同側內角，又 L1平行 L2，所以
∠2+∠3=180°。再根據上述關係列式！
∠1=∠3：3x=2y‥‥(1)
∠2+∠3=180°：x+20+2y=180‥‥(2)
將(2)式中的 2y 以(1)式中的 3x 取代，得到：
x+20+3x=180
x=40 代回(1)式：3×40=2y
y=60
𝐿1
𝐿2
𝐿 1
2
3
15
例題四：如圖， AB // DE， AC // DF ，∠A=(2x+23)°、∠D=(8x+7)°，
求 x=？
◎解題思維：
觀察題目當中的∠A 跟∠D，想辦法找出它們之間的關係。
如下圖，找出∠A 是∠1 的內錯角，因為 AB // DE，所以∠A=∠1。
解：∠1 是∠D 的同側內角，因為 AC // DF ，所以∠1+∠D=180°。
因此∠A 跟∠D 之間的關係：∠A+∠D=180°，再列式！
(2x+23)°+(8x+7)°=180°
10x+30=180
x=15
E
F
B
C
D
A 1
E
F
B
C
D
A 1
E
F
B
C
D
A
16
接下來看一種常見的題目，需要畫出平行線來輔助解題！
例題五：下圖中，兩條線直線 L1、L2平行，∠1=48°、∠2=45°，求∠3=？
◎解題思維：圖中的∠1、∠2、∠3 三個角好像沒有關係，需要畫輔助線
來幫助思考！
解：畫出過 B 點且平行直線 L1、L2的直線 L3：
直線 L3將∠3 切分成兩個角∠4、∠5。
∠4 與∠1 為內錯角，因為 L3// L1，所以∠4=∠1=48°；
∠5 與∠2 為內錯角，因為 L3// L2，所以∠5=∠2=45°。
∠3=∠ABC=∠4+∠5=48°+45°=93°。
𝐿1
𝐿2
𝐴
1
2
𝐵
𝐶
3
𝐿1
𝐿2
𝐴
1
2
𝐵
𝐶
𝐿3 4
5
17
重點提問
1.根據上面的課文，請問什麼是「截線」？什麼是「截角」？
請舉一個例子並說明。
2.根據上面的課文，截角依據相關位置可以分成那些類？
請解釋各類的意思並利用提問一的例子作說明。
3.根據上面的課文，兩條平行線被一條直線所截時，所產生的截角會有那
些性質？請舉一個例子並說明。
18
․隨堂練習：
1. 下圖中，兩條線直線 L1、L2 平行，直線 L 為其截線，∠1、∠2、∠3、
∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 為截角，其中∠8=35°，求其它七個截角分別
為多少？
2.下圖中，兩條線直線 L1、L2平行，直線 L 為其截線，∠1、∠2、為其截
角，其中∠1=x°、∠2=(3x−20)°，求 x=？
3.下圖中，一組平行線 L1、L2被截線 L 所截，∠1=3x°、∠2=(x+100)°、
∠3=3y°，求 x=？y=？
𝐿1
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𝐿
1
2 3
4
5 6 7
8
𝐿1
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𝐿
1
2
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𝐿 1
2
3
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4.如圖，CD // FG，BF // DE，∠BFG=(x+33)°、∠CDE=(6x+3)°，求 x=？
5.下圖中，兩條線直線 L1、L2平行，∠1=32°、∠2=28°，求∠ABC=？
6.下圖中，兩條線直線 L1、L2平行，∠1=145°、∠2=140°，求∠3=？
𝐿1
𝐿2
𝐴
1
2
𝐵
𝐶
𝐿1
𝐿2
1
2
3
E
F B
C
D
A
G
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還是不太懂，請看下面影片
截線與截角
https://youtu.be/TXZRB7pdYyY
平行線截角性質
https://youtu.be/iMZ0P-3dA4M
例題二~四
https://youtu.be/o_oY6vtcnD0
例題五+更多例題
https://youtu.be/aM3QKB-b-9I
更多例題
https://youtu.be/EUZHoHoqzy4
21
課文C： 利用截角判別平行
前面我們知道兩條平行線的三種截角性質：同位角會相等、同側內角
會互補、內錯角會相等。
如下圖，L 為直線 L1、L2的截線，截角∠1、∠2 是同位角。
反過來說，當一組同位角相等時，例如∠1=∠2，直線 L1、L2這兩條
線會平行嗎？要說明這件事情，就是要檢查在一組同位角相等的前提下，
是否能找到一條直線同時與直線 L1、L2垂直。
首先，先找出一條與直線 L1垂直的直線 M，並且令直線 M 分別與直
線 L1、L2交於 B、C 兩點，截線 L 分別與直線 L1、L2交於 D、E 兩點，而
直線 M 與直線 L 交於 A 點。如下圖：
設∠1=∠2=50°
在直角△ABD 中，∠ABD=90°，∠1=50°，得∠A=40°
在△ACE 中，因為∠2=50°，∠A=40°，所以∠ACE=90°
因此，直線 M 也會與直線 L2垂直。也就是說，當有一組同位角相等
時，可以找到一條直線同時與直線 L1、L2垂直，所以直線 L1、L2會平行。
𝐿1
𝐿2 𝐿
1
2
𝐿1
𝐿2 𝐿
1
2
A
B
C
D
E
M
22
接著，我們來看內錯角相等與同側內角互補的情況。
例題一：依據下列各圖中所給的資訊，判斷圖形中 L1與 L2是否平行？
(1) (2)
解：(1)如右圖，從位置來看，∠1、∠2
這兩個角的關係是內錯角，而且相等，
其中∠1 的對頂角是∠3。
因為∠2=∠3(同位角相等)，所以 L1與
L2會平行。
(2)從位置來看，91°、89°這兩個角的關係是一
組同側內角，而且互補。從圖中可以得知 91°
的鄰角∠1=(180−91)°=89°。
因為圖中∠1、89°這組同位角相等，所以 L1與
L2平行
從例題一，我們可以得到以下結論：
當有一組內錯角相等時，就可以得到有一組同位角相等，所以 L1與
L2會平行；
當有一組同側內角互補時，就可以得到有一組同位角相等，所以 L1
與 L2會平行。
1
23
我們延續前面的討論，接著說明當有一組同位角不相等時，被截的兩
條直線是否會平行。如下圖，已知∠ABD=90°
因為∠ACE=180°−∠A−∠2，且∠ABD=180°−∠A−∠1，所以∠ACE
會不會等於∠ABD(=90°)，可由∠1 與∠2 是否會相等來決定。當有一組同
位角不相等時，例如∠1與∠2不相等，∠ACE與∠ABD(=90°)也不會相等，
即找不到一條直線可以同時與直線 L1、L2垂直，那麼直線 L1、L2也不會平
行。接著我們來看內錯角不相等與內側內角不互補的情況。
例題二：依據下列各圖中所給的資訊，判斷圖形中 L1與 L2是否平行？
(1) (2)
𝐿1
𝐿2 𝐿
1
2
A
B
C
D
E
M
24
解：(1)這兩個角是內錯角，分別是 91°跟 89°。
從圖中可以得知 91°的對頂角∠1=91°。
因為圖中∠1、89°這組同位角不相等，
所以 L1與 L2不平行。
(2)從位置來看，∠1、∠2 這兩個角的關
係是一組同側內角，而且不互補。從圖中
可以得知∠1的鄰角∠3=(180−91)°=89°。
因為圖中∠3、∠2 這組同位角不相等，
所以 L1與 L2不平行
從以上討論，我們可以得到以下結論:
當有一組內錯角不相等時，就會得到有一組同位角不相等的事實，所
以 L1與 L2也不會平行。
當有一組同側內角不互補時，就會得到有一組同位角不相等的事實，
所以 L1與 L2也不會平行。
例題三：如右圖， EF 截 AB與CD於 E、F 兩
點，且 EG 跟 FG 分別為∠AEF、∠CFE 之角
平分線，若EG⊥FG，證明 AB //CD。
◎解題思維：
要驗證 AB與CD是否平行，可以檢查∠AEF、∠CFE 這組同側內角是
否互補。
1
1 3
2
A B
C D
E
F
G 1
3
2
4
25
解：
EG 為∠AEF 之角平分線，所以∠1=∠2(設均為 a°)；
FG 為∠CFE 之角平分線，所以∠3=∠4(設均為 b°)。
則∠AEF=∠1+∠2=2a°、∠CFE=∠3+∠4=2b°。
又EG⊥FG，所以∠FGE=90°，因此 ∠1+∠3=90°，
也就是 a+b=90
∠AEF+∠CFE=2a°+2b°=180°
得∠AEF 和∠CFE 這組同側內角互補，所以 AB //CD。
例題四：右圖為撞球桌上的白球由 A 點
連續碰撞桌邊 B、C 兩點後停在 D 點的
路線，已知OP //QR，∠1=∠3，∠4=∠
6，請問
(1)∠1 與∠6 是否相等？
(2)∠2 與∠5 是否相等？
(3) AB與CD是否平行？
◎解題思維：
圖看起來有點複雜，簡化一下圖形
A
B
C D
1 2
3 4
5 6
O
P Q
R
O
P Q
R
4 3
B
C
A
D
1 2
5 6
26
解：
(1)看OP、QR這兩條線：
BC 是OP、QR的截線，
其中∠3 和∠4 為內錯角。
因為OP //QR，所以內錯角相等，∠3=∠4。
又∠1=∠3，∠4=∠6，
所以∠1=∠3=∠4=∠6。
(2) ∠1+∠2+∠3=180°，
而且∠4+∠5+∠6=180°。
所以∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠6
1 2 3 4 5 6
得到 ∠2=∠5
(3)看CD、 AB這兩條線：
BC 是 AB、CD的截線，其中∠2 和∠5 兩
個截角為內錯角。
因為∠2=∠5，內錯角相等，所以 AB //CD。
O
P Q
R
4 3
B
C
A
O
P Q
R
4 3
B
C
A
D
1 2
5 6
B
C
A
D
2
5
27
重點提問
1.根據上面的課文，兩條線被一條直線所截，當截角滿足什麼條件時，可
以判定這兩直線平行？
․隨堂練習：
1. 依據圖面所給的資訊，判斷圖形中 L1與 L2是否平行？
(1) (2) (3)
28
2.如右圖， EF 截 AB與CD於 E、F 兩點，
且∠2+∠4=∠EGF，證明證明 AB //CD。
3.右圖為撞球桌上的白球由 A 點連續碰撞桌邊 B、C 兩
點後停在 D 點的路線，
已知OP //QR，∠1=∠3=50°，∠4=∠6=40°，請問
(1)∠2+∠5= ？
(2) AB與CD是否平行？
A B
C D
E
F
G 1
3
2
4
A
B
C
D
1 2
3
4
5
6
O
P Q
R
29
單元二 平行四邊形
課文A： 平行四邊形的基本性質
如上圖，如果我們將這個平行四邊形沿著對角線 AC剪下來，會發生
什麼事呢？請各位同學拿剪刀將附件一的平行四邊形 ABCD 剪下來！
剪下後，平行四邊形 ABCD 會形成兩個三角形△ABC 跟△CDA，這兩
個三角形有什麼關係呢？
試著疊疊看，看看會發生什麼事呢？
得到∠2=∠3 且∠1=∠4。
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃 1
2
3
4
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃 𝑨
𝐂
1
2
3
4
𝑨
𝐁 𝐂 𝐃 𝑨
𝐂 𝐃 𝑨
𝐂
旋轉180°
1
2
3
4
4
3
30
我們也可以利用平行線的截角性質來證明「∠2=∠3 且∠1=∠4」。
如下圖，因為 AD // BC ，所以∠2=∠3。
同理，因為 AB //CD，所以∠1 =∠4。
前面已經證明了 ∠1=∠4、∠2=∠3 ；又 AC = AC，根據 ASA 全等
性質，得到△ABC ≅△CDA。
如果沿著另外一條對角線 BD切割也會有同樣的結果。
由前面的操作與證明可以說明平行四邊形的一個性質：任何一條對角
線可以將平行四邊形平分成兩個全等的三角形。
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
1
2
3
4
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
2
3
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
4
1
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃 𝑨
𝐂
X
○ X
○ 𝑨
𝐁 𝐂
𝐃 𝑨
𝐂
S A
A
A A
S
31
從上面的操作及證明可以知道△ABC≅△CDA，所以 AB =CD、
BC = DA。而在平行四邊形 ABCD 中， AB與CD、BC 與DA分別是對邊
關係，這也說明平行四邊形的另一個性質：兩組對邊分別等長。
從上面的操作及證明可以知道△ABC ≅△CDA，其中∠B 和∠D 是對
應角、∠1 和∠4 是對應角、∠2 和∠3 是對應角，兩全等的三角形對應角
會相等，所以∠B=∠D、∠1=∠4、∠2=∠3。
而在平行四邊形 ABCD 中，∠B 與∠D、∠A 與∠C 分別是對角關係：
∠B=∠D 已經確定了，那∠A 與∠C 呢？因為∠1=∠4、∠2=∠3，所
以∠A=∠1+∠3=∠2+∠4=∠C。這也說明平行四邊形的第三個性質：兩組
對角分別相等。
接下來我們來練習使用這三個平行四邊形的性質！
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
1
2
3
4
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃 △
△ ○
○
32
例題一：如下圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，在BC 上有一點 E，而且
AE //CD、DE // AB。若△ABE 面積為 12，求梯形 ABCD 面積為何？
◎解題思維：
先看四邊形 ABED， AD // BC ，DE // AB，所以四邊形 ABED 是平行
四邊形，而 AE是對角線。
根據「對角線可以將平行四邊形平分成兩個全等的三角形」性質，所
以△ABE 面積=△ADE 面積。
同樣地，四邊形 AECD 也是如此。
根據「對角線可以將平行四邊形平分成兩個全等的三角形」性質，所
以△ADE 面積=△DEC 面積。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩 C
𝑫
𝑬
𝑨
B 𝑪
𝑫
𝑬
33
解：
因此△ABE 面積=△ADE 面積=△DEC 面積=12，
梯形 ABCD 面積=△ABE 面積+△ADE 面積+△DEC 面積=12+12+12=36
例題二：如下圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，在BC 上有一點 E，而且
AE //CD、DE // AB。若 AD =5，求BC =？
◎解題思維：給的資訊是 AD =5，要求BC 。
BC = BE + EC ，也就是求出BE 和EC ，就可以算出BC 。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝟓
34
解：如同例題一所討論的， AD // BC 而且DE // AB，所以可以知道四邊
形 ABED 就是一個平行四邊形，先只看平行四邊形 ABED：
根據「平行四邊形的兩組對邊分別等長」性質，所以 BE = AD =5。
此外，如同例題一所討論的， AD // BC 而且 AE //CD，所以也可以知道
四邊形 AECD 也是一個平行四邊形，只看平行四邊形 AECD：
根據「平行四邊形的兩組對邊分別等長」性質，所以 EC = AD =5。
因此BC = BE + EC =5+5=10。
𝑨
𝐵 C
𝑫
𝑬
𝟓
𝑨
𝑩 C
𝑫
𝑬
𝟓
35
例題三：如下圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，在BC 上有一點 E，而且
AE //CD、DE // AB。若∠B=73°，∠C=51°，求∠AED 的度數為何？
解：題目給的條件是∠B=73°，∠C=51°，要求∠AED 的度數。
同樣的，四邊形 ABED 就是一個平行四邊形，先只看平行四邊形 ABED：
根據「平行四邊形的兩組對角分別相等」性質，所以∠ADE=∠B=73°。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩
𝑫
𝑬
73°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
73° 51°
36
四邊形 AECD 也是一個平行四邊形，只看平行四邊形 AECD：
根據「平行四邊形的兩組對角分別相等」性質，所以∠EAD=∠C=51°。
要求∠AED 的角度，可以再看一下△AED。
當中知道了∠ADE=73°、∠EAD=51°，所以∠AED=180°−73°−51°=56°。
例題四：如圖，平行四邊形 ABCD 中，∠A=x°、∠B=(4x+2y)°、
∠C=2y°，求 x、y 的值。
𝑨 𝑫
𝑬
51° 73°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
73° 51°
51° 73°
𝑨
𝑪
𝑫
𝑬
51°
𝑨
𝑪
𝑫
𝑩
37
◎解題思維：
在平行四邊形中，∠A 與∠C 是一組對角，而「平行四邊形的兩組對
角分別相等」。另外，∠A 與∠B 是一組同側內角，它們有何關係呢?
解：
平行四邊形 ABCD 中，∠A 是∠C 的對角，根據「平行四邊形的對
角相等」，所以∠A=∠C。
平行四邊形 ABCD 中，∠A 與∠B 是一組同側內角，因為對邊平行，
所以∠A+∠B=180°。
{∠𝐴 + ∠𝐵 = 180°：
∠𝐴 = ∠𝐶：
𝑥° + (4𝑥 + 2𝑦)° = 180°𝑥° = 2𝑦°
⇒{𝑥 + (4𝑥 + 2𝑦) = 180
𝑥 = 2𝑦 ⇒{
5𝑥 + 2𝑦 = 180‥(1)
𝑥 = 2𝑦 ‥‥‥(2)
將(2)式代入(1)式：5×2y+2y=180⇒12y=180⇒y=15
代回(2)式：x=2×15=30
下一個要介紹的平行四邊形特性會跟兩條對角線有關。
右下圖為平行四邊形 ABCD，兩條對角線為 AC、BD，這兩條對角線
有什麼關係呢？各位同學拿剪刀將附件二的平行四邊形 ABCD 剪下來，再
沿著對角線剪開。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶 1 2 3
4
38
剪開後會有四個三角形
平行四邊形 ABCD 中，兩條對角線為 AC、BD。
在之前證明過，對角線 AC會將平行四邊形 ABCD 形成兩個全等的三
角形△ABC 跟△CDA：
所以 AB =CD、∠1=∠4。
再畫另一對角線BD會與 AC交 O 點，主要看△AOB 和△COD 兩個三
角形：
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶 1
2 3
4
𝑩
𝑶 𝑶
𝑨 𝑫
𝑶
𝑪
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑶 1
2 3 4
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
1
4
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶 1 2 3
4
39
∠2 和∠3 為對頂角，所以 ∠2=∠3。
AB =CD、∠1=∠4、∠2=∠3，在△AOB 中， AB是∠1 的鄰邊；在
△COD 中，CD是∠4 的鄰邊。所以根據 AAS 全等性質，△AOB≅△COD。
兩個全等的三角形其對應邊會相等， AO和OC、BO和OD為兩組對
應邊，所以 AO =OC、BO =OD。
這就是平行四邊形第四個性質：兩條對角線會互相平分。
由前面的實驗及證明可以知道△AOB≅△COD、△AOD≅△COB，也
就是△AOB 面積=△COD 面積、△AOD 面積=△COB 面積。
我們再來看△AOB 與△AOD ，過 A 點作與BD垂直的線 AH ：
𝑨
𝑩
𝑫 X
○ 𝑶
𝑪
○
X
𝑨
𝑩
𝑶
𝑪
𝑫
A S S A A
A
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶 □
□ ○
○
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
40
△AOB 面積= BO × AH ×1
2；△AOD 面積= DO × AH ×
1
2
因為平行四邊形的兩條對角線會互相平分，所以 BO = DO，
得到△AOB 面積=△AOD 面積。
因此△AOB 面積=△COD 面積=△AOD 面積=△COB 面積，
也就是平行四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD所分成的四個三角
形△AOB、△COD、△AOD、△COB 面積會一樣。
平行四邊形的第五個性質為：兩條對角線會將平行四邊形分成四個面
積一樣的三角形。
例題五：如下圖，平行四邊形 ABCD 兩對角線交於 O 點，
若 AB =9、BC =20、 AC =18、BD =24，求△BOC 的周長。
𝑨
𝑩
𝑫
𝑶 𝐇
𝐂
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
41
◎解題思維：
我們將題目當中給的資訊 AB =9、BC =20、AC =18、BD =24，標到圖
上：
想求的是△BOC 的周長。
△BOC 的周長=OB +OC + BC ，這當中的BC 已經知道了。
解：
因為平行四邊形的兩條對角線會互相平分，所以OB是對角線BD的
一半、OC是對角線 AC的一半。
因此OB =1
2BD =
1
2×24=12、OC =
1
2AC =
1
2×18=9，
△BOC 的周長=OB +OC + BC =12+9+20=41。
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶 9
20
24 18
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
42
例題六：如下圖，平行四邊形 ABCD 兩對角線 AC與BD交於 O 點，
若△BOC 面積=39，求平行四邊形 ABCD 的面積。
解：因為△AOB 面積=△BOC 面積=△COD 面積=△DOA 面積=39，所以
平行四邊形 ABCD=4×39=156。
重點提問
1.根據上面的課文，請問平行四邊形有哪些性質？
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
43
․隨堂練習：
1.如下圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，在BC 上有一點 E，而且 AE //CD、
DE // AB。若平行四邊形 ABED 面積為 48，求梯形 ABCD 面積為何？
2. 如下圖，梯形 ABCD 中，AD // BC，在BC 上有一點 E，而且 AE //CD、
DE // AB。若BC =18，求 AD =？
3. 如下圖，梯形 ABCD 中，AD // BC，在BC 上有一點 E，而且 AE //CD、
DE // AB。若∠B=60°，∠C=30°，求∠AED 角度為何？
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑬
44
4.如圖，平行四邊形 ABCD 中，∠A=x°、∠B=(4x+30)°，求 x 的值。
5.如下圖，平行四邊形 ABCD 兩對角線交於 O 點，
若 AB =3、BC =6、 AC =6、BD =8，分別求△BOC 和△AOB 的周長。
6.如下圖，平行四邊形 ABCD 兩對角線 AC與BD交於 O 點，
若平行四邊形 ABCD 面積=48，求△AOB 的面積。
𝑨
𝑪
𝑫
𝑩
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
45
還是不太懂，請看下面影片
課文(一)
https://youtu.be/vOmtjhYY75M
例題四+更多例題
https://youtu.be/L9zbuPZI7N4
例題五、六
https://youtu.be/fofz0uvE6mg
更多例題
https://youtu.be/xtoLHJSfmS0
附件一 附件二
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
1
2
3
4
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶 1
2 3
4
46
課文B： 平行四邊形的判別性質
什麼是平行四邊形的判別性質呢？就是當一個四邊形我們不知道它
是不是平行四邊形的時候，我們可以利用這些性質來判別它是不是平行四
邊形。
當我們拿出兩雙筷子，這兩雙筷子不一定要一樣長，也可以一雙較長
的、一雙較短的。再用這兩雙筷子來圍出一個四邊形，而且同一雙筷子要
互為對邊。圍出四邊形後，可以觀察看看這種四邊形有什麼特別的地方。
因為這個四邊形的對邊是同一雙筷子，所以這兩雙筷子所圍出來的四
邊形就是兩組對邊等長的四邊形，而這種四邊形會是平行四邊形嗎?我們證
明看看！下圖中， AB =CD、BC = DA：
我們想證明這個四邊形 ABCD 是否為平行四邊形，就要證明是否
AB //CD且BC // DA。
𝑨
𝑩 𝑪
𝐃
47
先連接 AC， AC將 ∠A 分成∠1 和∠3、將∠C 分成∠2 和∠4：
因為 AB =CD、BC = DA，而且共用邊 AC = AC，根據 SSS 全等性質，
所以△ABC≅△CDA，可得∠1=∠4 且∠2=∠3。
如下圖，因為∠1=∠4，所以 AB //CD；因為∠2=∠3，所以BC // DA。
因此四邊形 ABCD 為一個平行四邊形。
這就是平行四邊形的判別性質之一：如果四邊形有兩組對邊等長，那
麼這四邊形必為平行四邊形。
例題一：判斷下列四邊形是否為平行四邊形。
(1)
(2)
(3)
(4)
𝑨
𝑩 𝑪
𝐃
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝑨
𝑩 𝑪
𝐃
𝟏
𝟒
𝑨
𝑩 𝑪
𝐃
𝟐
𝟑
48
◎解題思維：
這題給的四個選項都是給四邊形的四個邊，所以可以依據「四邊形有
兩組對邊等長，則此四邊形必為平行四邊形」的性質來判別。
解：(1)這個四邊形的四邊都是 6，當然兩組對邊是等長的，所以這個四
邊形是平行四邊形。
(2)這個四邊形的兩組對邊 6 與 7 都不等長，所以這個四邊形不是平行四
邊形。
(3)這個四邊形的兩組對邊等長，一對都是 6，一對都是 7，所以這個四邊
形是平行四邊形。
(4)這個四邊形的只有一組對邊 6 與 7 都不等長，所以這個四邊形不是平
行四邊形。
同樣我們先來想一個情境，下圖中有 2 根紅色的扣條，這 2 根紅色的
扣條長度一樣而且平行：
以直線連接扣條的兩端而形成一個四邊形：
這一個四邊形會是一個平行四邊形嗎？
49
當扣條左右平移時仍然會是同樣的四邊形嗎？
四邊形命名為四邊形 ABCD：
DA // BC 而且DA= BC ，因此這個四邊形 ABCD 就是一個有一組對邊
等長且平行的四邊形。既然已經知道一組對邊平行了，如果另外一組對邊
也平行，那麼這個四邊形就是一個平行四邊形。
先連接 AC， AC將∠A 分成∠1 和∠3、將∠C 分成∠2 和∠4：
因為BC = DA，且 AC = AC，又DA // BC ， AC為其截線，所以
∠2=∠3，根據 SAS 全等性質，可得△ABC≅△CDA，故∠1=∠4。
A
B C
D
A
B C
D
1
2
3
4
50
前面已經說明過，此時 AB //CD且BC // DA，因此四邊形 ABCD 為一
個平行四邊形。
這也是平行四邊形的判別性質之一：如果四邊形有一組對邊等長且平
行，那麼這四邊形必為平行四邊形。
例題二：如圖，四邊形 ABCD 中， AB //CD，BE =CD，∠D=130°，
∠BEA=50°。請證明四邊形 ABCD 為一個平行四邊形。
◎解題思維：
已知 AB與CD平行，再觀察 AB與CD有沒有等長，如果 AB //CD而且
AB =CD，就可以根據「四邊形有一組對邊等長且平行，則這四邊形為平
行四邊形」的性質來判別。
解：因為 AB //CD，所以∠A+∠D=180°。∠D=130°，因此∠A=50°。
可以知道△ABE 為一個等腰三角形，兩腰 AB = BE 。
50° 130° 𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑬
50° 130° 𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑬 50°
51
已知BE =CD，得 AB =CD，且 AB //CD，所以四邊形 ABCD 為平行
四邊形。
下圖有兩個不同大小的圓，圓心都在同一點。
先在小圓上找出一條直徑 AC後，接著在大圓上找出另外一條與小圓
直徑不重合的直徑BD。最後以這兩條直徑 AC、BD作為對角線，形成四
邊形 ABCD。這個四邊形 ABCD 會是平行四邊形嗎？
對角線 AC將∠A 分成∠1 和∠3、將∠C 分成∠2 和∠4：
50° 𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑬 50°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑶
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
52
先看△AOB 與△COD 這兩個三角形：
因為OA=OC、OB =OD，∠AOB 與∠COD 是對頂角，對頂角相等
∠AOB=COD。根據 SAS 全等性質，△AOB≅△COD。∠1 的對應角是∠4，
所以∠1=∠4。
觀察 AB與CD的關係， AC為其截線：
截角∠1 和∠4 為內錯角，內錯角相等，所以 AB //CD。
同理，∠3=∠2，內錯角相等，所以DA // BC 。
因此四邊形 ABCD 為一個平行四邊形。
這也就是平行四邊形的判別性質之一：如果四邊形的兩條對角線會互
相平分，那麼這四邊形必為平行四邊形。
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
𝟏
𝟒
╳ ╳
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
𝟏
𝟒
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
𝟐
𝟑
53
例題三：如下圖，四邊形 ABCD 中，兩對角線 AC與BD相交於 O 點，
AH ⊥BD、DG⊥ AC，而且 AH =3、DG =4，
△AOB 面積=△BOC 面積=△COD 面積=△DOA 面積=24。
請證明四邊形 ABCD 為平行四邊形。
解：我們要先看△AOB 與△AOD 這兩個三角形：
△AOB 面積=1
2× OB × AH ⇒ 24=
1
2× OB ×3 ⇒OB =16
△AOD 面積=1
2× OD × AH ⇒ 24=
1
2× OD ×3 ⇒OD =16
所以OB =OD =16。
再看△DOA 與△DOC 這兩個三角形：
△DOA 面積=1
2× OA× DG ⇒ 24=
1
2× OA×4 ⇒OA=12
△DOC 面積=1
2× OC × DG ⇒ 24=
1
2× OC ×4 ⇒OC =12
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
𝑯 𝑮
𝑨
𝐂 𝑶
𝐃
𝑮
𝑨
𝐁 𝑶
𝐃
𝑯
54
所以OA=OC =12。
因為OB =OD、OA=OC，四邊形的兩條對角線會互相平分，
所以四邊形 ABCD 為平行四邊形。
下圖四邊形 ABCD 中，兩組對角相等，∠A=∠C、∠B=∠D：
想證明這個四邊 ABCD 是平行四邊形，就要證明 AB //CD而且BC // DA。
我們知道四邊形內角和為 360°，∠A+∠B+∠C+∠D=360°。又因為
∠A=∠C、∠B=∠D，所以∠A+∠B=180°，而且∠A+∠D=180°。
觀察DA與BC 的關係， AB為其截線：
截角∠A 和∠B 為同側內角，∠A+∠B=180°同側內角互補，所以DA // BC 。
再觀察 AB與CD的關係，DA為其截線：
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃 ╳
○
○ ╳
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
55
截角∠A 和∠D 為同側內角，∠A+∠D=180° 同側內角互補，所以
AB //CD。因此四邊形 ABCD 為一個平行四邊形。
這也就是平行四邊形的判別性質：如果四邊形的兩組對角會相等，那
麼這四邊形必為平行四邊形。
例題四：如下圖，四邊形 ABCD 中，∠A=∠C，∠D=60°，∠1=50°，
∠2=70°，則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？原因為何？
◎解題思維：
已經知道一組對角∠A、∠C 相等了，再看看另外一組對角∠B、∠D
有沒有相等。
解：
△BEF 中，∠1=50°、∠2=70°，
所以∠B=180°−50°−70°=60°，得∠B=∠D。
根據平行四邊形的判別性質：「四邊形的兩組對角相等，則此四邊形為平
行四邊形」，四邊形 ABCD 是一個平行四邊形。
𝟐
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝟏
𝐄
𝐅
56
重點提問
1.根據上面的課文，請問判別平行四邊形的性質有哪些？
2.連連看，找出判別下列各四邊形 ABCD 為平行四邊形的方法：
AB =CD，BC = DA
․ ․兩組對邊分別等長
∠A=∠C，∠B=∠D
․ ․一組對邊平行且等長
AO =OC，BO =OD
․ ․兩組對角線互相平分
AD // BC ， AD = BC
․ ․兩組對角分別相等
57
․隨堂練習：
1.如圖，四邊形 ABCD 中， AH ⊥BC ， AB =CD =5， AD = AH =4，
HC =1。則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？原因為何？
2.如圖，四邊形 ABCD 中，∠A=∠ABE=65°，∠EBC=50°，BE + ED = BC 。
則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？原因為何？
3.如圖，四邊形 ABCD 中，兩對角線 AC與BD相交於 O 點，
△ABC 面積=△BCD 面積=△CDA 面積=24。則：
(1) 請問 AO與OC是否等長？
(2) 請問BO與OD是否等長？
(3) 則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？原因為何？
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫
𝑯
65°
𝑨
𝑩 𝑪
𝑫 𝑬
50°
65°
𝑨
𝐁 𝐂
𝑶
𝐃
58
4.如下圖，四邊形 ABCD 中，∠B=∠AEB=∠EAD=∠D=45°，∠C=135°，
則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？原因為何？
還是不太懂，請看下面影片
平行四邊形判別性質
https://youtu.be/Sf-G8NjTCd8
更多例題
https://youtu.be/pyKifWPc_1U
更多例題
https://youtu.be/AIkl0YDEeQI
更多例題
https://youtu.be/-pDRPddoq7o
𝑨
𝐁 𝐂
𝐃
𝐄
59
單元三 特殊四邊形
課文A： 箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質
這邊要介紹箏形、菱形、矩形、正方形的對角線性質。
第一個要介紹的是箏形，在前面多邊形的單元當中曾經
介紹過箏形就是兩雙鄰邊分別等長的四邊形，因為會長得跟
風箏很像，所以稱為「箏形」或叫作「鳶形」。
在前面線對稱的單元當中有提到箏形就是一種線對稱圖形，
如圖中的箏形 ABCD，如果沿著 AC 對摺，會使 B 點疊合在 D 點
上， AB和 AD疊合，CB和CD疊合，也就是 AC 是箏形 ABCD
的對稱軸，B 點的對稱點為 D 點。所以 AC會垂直平分BD。
換句話說，箏形的兩條對角線互相垂直，但是其中一條對角線會平分
另外一條對角線。來練習一些有關箏形題目！
例題一：如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD =10，BC =CD =17，O 為 AC和
BD的交點，如果BD =16，則：
(1) AC =？
(2)箏形 ABCD 的面積=？
A
B
C
D
60
解：(1)箏形 ABCD 中， AC垂直平分BD，也就是BO OD 。
又BD =16，所以BO OD =8。
先看△AOB，∠AOB=90°，
△AOB 是一個直角三角形。
直角三角形有一個很重要的三邊關係就是畢氏定理：
兩股的平方和等於斜邊的平方，可以列出式子：
2 2 2OA OB AB ⇒
2 2 28 10OA ⇒2
100 64OA ⇒OA=6
再看△BOC，因為 AC垂直BD，
也就是∠BOC=90°，△BOC 是一個直角三角形。
2 2 2OC OB BC ⇒
2 2 28 17OC ⇒2
289 64OC
⇒OC =15
AC = AO +OC =6+15=21
(2)接下來要計算箏形 ABCD 的面積。
箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD：
△ABD 面積=1
2× BD × AO =
1
2×16×6=48。
△CBD 面積=1
2× BD × OC =
1
2×16×15=120。
箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積
=48+120=168
A
B
C
D
17
8 8
15
A
B
C
D
10
8 8
6
61
例題二：如圖，箏形 ABCD 中，AB = AD，BC =CD，AC =21，BD =24，
O 為兩對角線 AC和BD的交點。
如果 AB = AD =13，則：
(1)箏形 ABCD 的周長=？
(2)箏形 ABCD 的面積=？
◎解題思維：
要計算箏形 ABCD 的周長，必須求出箏形的四邊長，已經知道了其中
兩邊 AB = AD =13，所以剩下要求BC 跟CD，而BC =CD，所以只要求出
其中一邊就可以了！
解：(1)箏形 ABCD 中， AC垂直平分BD，也就是BO OD 。
又因為BD =24，所以BO OD =12。
直角△AOB 中，根據畢氏定理可列出等式：
2 2 2OA OB AB ⇒
2 2 212 13OA ⇒
2169 144OA ⇒OA=5
OC = AC −OA=21−5=16
根據畢氏定理列出式子：
2 2 2BC OC OB
⇒2 2 216 12BC ⇒
2400BC
⇒ BC =20
箏形 ABCD 的周長=13+20+20+13=66
62
(2) 接下來要計算箏形 ABCD 的面積。
箏形 ABCD 可以拆成兩個三角形△ABD 跟△CBD：
△ABD 面積=1
2× BD × AO =
1
2×24×5=60。
△CBD 面積=1
2× BD × OC =
1
2×24×16=192。
箏形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積=60+192=252
第二個要介紹的是菱形，四邊等長的四邊形稱為「菱形」。
在上一個單元中，有提到平行四邊形的判別性質：「如
果四邊形有兩組對邊等長，那麼這四邊形必為平行四邊形」。
既然我們知道菱形的四邊會等長，那麼菱形就一定有兩組
等長的對邊，換句話說，菱形是平行四邊形的一種。
在前面線對稱的單元當中有提到菱形也是一種線對稱圖形，
如圖中的菱形 ABCD，如果沿著對角線 AC 對摺，會使 B 點疊合
在 D 點上， AB和 AD疊合，CB和CD疊合，也就是 AC 是菱形
ABCD的對稱軸，B點的對稱點為D點。所以 AC會垂直平分BD。
同理，BD也會垂直平分 AC。也就是說，菱形的兩條對角線互
相垂直平分。
63
讓我們來練習有關菱形的題目！
例題三：如圖菱形 ABCD 中，O 為兩對角線 AC和BD的交點，
AC =10，BD =24。
(1)菱形 ABCD 周長=？
(2)菱形 ABCD 面積=？
解：因為四邊形 ABCD 是一個菱形，所以
兩條對角線 AC、BD互相垂直平分。
AC =10，所以 AO OC =5；
BD =24，所以BO OD =12。
因為 AC、BD互相垂直，所以△AOB 為直角三角形。
根據畢氏定理可以列式：2 2 2
AB AO OB
2 2 25 12AB =25+144=169
AB =13
菱形四邊都一樣長，所以菱形 ABCD 周長=13×4=52。
(2)要計算菱形 ABCD 面積，可以分成兩個三角形△ABD、△CBD，
菱形 ABCD 面積=△ABD 面積+△CBD 面積
=24 5
2
24 5
2
+=60+60=120。
64
第三個要介紹的是矩形，四個內角都是直角的四邊形就是「矩形」。
在上一個單元中，有提到平行四邊形的判別性質：「四邊形的兩組對
角相等，則此四邊形為平行四邊形」。既然我們知道矩形的四個內角都是
90°，那麼矩形的對角相等就一定會相等，所以矩形為平行四邊形的一種。
那矩形的對角線有什麼性質呢？
下圖四邊形 ABCD 為一個長方形，而 AC、BD是兩條對角線，O 點是
AC和BD的交點。
既然矩形是平行四邊形的一種，所以矩形也會有平行四邊形的性質，
就是對角線會互相平分，OA OC 、OB OD 。
除此之外，我們知道矩形四個內角都是直角而且兩雙對邊會等長。
分別連接對角線 AC、對角線BD：
65
因為對邊 AB = DC 、共同邊BC = BC 、內角∠B=∠C=90°，根據 SAS
全等性質，△ABC≅△DCB。
AC和DB是對應邊，所以 AC = DB。 AC、BD就是矩形的兩條對角
線，也就是說矩形的兩條對角線會互相平分且等長。
讓我們來練習有關矩形的題目！
例題四：矩形 ABCD 的周長為 14，且兩對角線和為 10，求矩形面積為何？
◎解題思維：矩形面積=長×寬，要算出面積需要長和寬。
解：矩形 ABCD 的對角線會平分且等長，
而兩對角線和為 10，所以 AC = BD =5。
矩形 ABCD 的周長為 14，所以長+寬=7。
因為矩形的內角都是 90°，所以△ABC 為一個直角三角形：
令 AB =x，則BC =7−x， AC =5
根據畢氏定理列出式子：2 2 2
AB BC AC
22 27 5x x
2 2 249 14 5x x x 相加整理
22 14 49 25x x 等號右邊的 25 移項到等號左邊
66
22 14 24 0x x 等號兩邊同除以 2
2 7 12 0x x 利用十字交乘法：
3 4 0x x
x=3 或 4
若 AB =3，則BC =7−3=4；若 AB =4，則BC =7−4=3。
所以矩形 ABCD 長若是 4、寬會是 3，面積=3×4=12。
第四個要介紹的是正方形，四邊會等長而且四個內角都是
直角的四邊形就是「正方形」。
因為正方形的四邊會等長，所以正方形就是菱形的一種；又因為正方
形的四個內角都是直角，所以正方形也是矩形的一種。
那正方形的對角線有什麼性質呢？右圖為四邊形ABCD為一
個正方形，而 AC、BD是兩條對角線，O 點是 AC和BD的交點。
因為正方形就是菱形的一種，所以正方形對角線就會具有菱形
對角線的性質，菱形的兩條對角線會互相垂直平分，所以正方形的
對角線也會互相垂直平分。
又因為正方形就是矩形的一種，所以正方形對角線就會具有矩
形對角線的性質，矩形的兩條對角線會互相平分且等長，所以正方形的對
角線也會互相平分且等長，也就是OA OC =OB OD ，而且 AC垂直BD。
正方形的對角線性質：等長且垂直平分！讓我們來練習有關正方形的
題目！
67
例題五：如圖正方形 ABCD 的邊長為4 2 ，P 為兩對角線 AC和BD的交
點，若 Q 為 AP線上的一點，QP： AP =3：4，
(1)QP =？
(2) DQ =？
(3)△CDQ 面積=？
解：(1)因為QP： AP =3：4，所以QP =3
4AP。
又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且等長，所以 AP會是
對角線 AC的一半。
也就是先求出對角線 AC，就可以求出 AP，然後就可以求出QP。
正方形 ABCD 的邊長為4 2 ，△ABC 為直角三角形：
根據畢氏定理列式：2 2 2
AC AB BC
2 22
4 2 4 2AC =32+32=64
AC =8
AP會是對角線 AC的一半， AP =1
2AC =
1
2×8=4
QP =3
4AP =3/4×4=3
68
(2)要求DQ，找有關的直角三角形△DPQ：
△DPQ 中，QP =3；又因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且
等長，所以DP = AP =4。
根據畢氏定理列式：2 2 2
DQ QP PD
2 2 23 4DQ =9+16=25
DQ =5
(3)要求△CDQ 面積：
因為正方形 ABCD 的兩對角線會互相垂直平分且
等長，所以PC = DP =4。
QC =QP + PC =3+4=7。
△CDQ 面積=1
2× QC × DP =
1
2×7×4=14。
重點提問
1.根據上面的課文，請寫出下列各個特殊四邊形的定義。
(1)箏形：
(2)菱形：
(3)矩形：
(4)正方形：
69
2.請在下面的方格中，畫出箏形、菱形、矩形、正方形各一個。
3.根據上面的課文，請說明箏形的性質，並利用提問 2 所畫出箏形做說明。
4.根據上面的課文，請說明菱形的性質，並利用提問 2 所畫的菱形做說明。
5.根據上面的課文，請說明矩形的性質，並利用提問 2 所畫的矩形做說明。
6.根據上面的課文，請說明正方形的性質，並利用提問 2 所畫的正方形做
說明。
70
7.下列有一些關於四邊形的性質：
(A)兩雙對邊相等 (B)兩組對角相等 (C)四邊等長
(D)四個內角都是 90° (E)兩雙對邊分別平行 (F)兩對角線互相垂直
(G)兩對角線互相平分 (H)兩對角線等長
請將下面這些四邊形所含有的性質代號填入問題中：
(1)任意平行四邊形有哪些性質？
(2)任意箏形有哪些性質？
(3)任意菱形有哪些性質？
(4)任意矩形有哪些性質？
(5)任意正方形有哪些性質？
8.若有一個四邊形的對角線互相垂直，請證明這個四邊形的面積為
「兩條對角線相乘
2」，並舉一個例子做說明。
71
․隨堂練習：
1.如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD =15，BC =CD =13，O 為 AC和BD的交
點，如果BD =24，則：
(1) AC =？
(2)箏形 ABCD 的面積=？
2.如圖，箏形 ABCD 中， AB = AD =10，BC =CD， AC =21，BD =16，O
為兩對角線 AC和BD的交點。求：
(1)箏形 ABCD 的周長=？
(2)箏形 ABCD 的面積=？
3.如圖，菱形 ABCD 中，O 為兩對角線 AC和BD的交點，AC =18，BD =24。
求：
(1)菱形 ABCD 面積=？
(2)菱形 ABCD 周長=？
72
4.如圖，菱形 ABCD 中，O 為兩對角線 AC和BD的交點， AC =14，菱形
ABCD 周長=100。求：
(1) BD =？
(2)菱形 ABCD 面積=？
5.矩形 ABCD 的周長為 28，且兩對角線和為 20，求矩形面積為何？
6.如圖正方形 ABCD 中，P 為兩對角線 AC和BD的交點，Q、R 為 AP線上
的一點，QP =6， AQ =2，RC =4。
求△DQR 面積=？
73
7.如圖正方形 ABCD 的邊長為3 2，P 為兩對角線 AC和BD的交點，若 Q
為 AP線上的一點，CQ：QP =1：2，
(1)QP =？
(2) DQ =？
(3)△ADQ 面積=？
還是不太懂，請看下面影片
箏形
https://youtu.be/3g2iaYyW_2A
菱形
https://youtu.be/9r-di6lgO9A
矩形
https://youtu.be/HBl4L48-I8c
正方形
https://youtu.be/GJHUipn5ydU
綜合
https://youtu.be/TGhx0fh70KA
74
課文B： 利用對角線判斷箏形、菱形、矩形、正方形
第一個先來看箏形的判別性質，課文 A 有提到：「箏形的其中
一條對角線會垂直平分另外一條對角線」。那如果有一個四邊形
ABCD，其中的一條對角線 AC會垂直平分另外一條對角線BD，這
個四邊形 ABCD 會是箏形嗎？
要看四邊形是不是箏形就是驗證看看這個四邊形是不是有兩
雙分別等長的鄰邊。因為 AC垂直平分BD，所以將四邊形 ABCD
沿著 AC對摺的話，B點就會與D點疊合，而 AC是對稱軸。AB = AD，
CB =CD，故四邊形 ABCD 就是一個箏形。
由此可知：「一個四邊形中，有一條對角線垂直平分另一條對角線時，
則這個四邊形就是箏形。」
第二個要來看菱形的判別性質，課文 A 有提到：「菱形的兩條
對角線互相垂直平分」。那麼是否可以利用四邊形的對角線來判斷
此四邊形是不是菱形呢？如果有一個四邊形 ABCD，兩條對角線
AC、BD會互相垂直平分，而這個四邊形 ABCD會是一個菱形嗎？
兩條對角線 AC、BD交於 O 點，兩條對角線 AC、BD會互相垂直平
分，所以 AO OC 、BO OD ，而且∠AOB=∠AOD=∠BOC=∠COD 都是
90°，根據 SAS 全等性質，因此△AOB、△COB、△COD、△AOD 四個三
角形會全等三角形。所以可以得知 AB =CB =CD = AD，也就是四邊等長，
四邊形 ABCD 是一個菱形。
由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相垂直且平分，則這
個四邊形就是菱形。」
75
第三個要來看矩形的判別性質，課文 A 有提到：「矩形
的兩條對角線會互相平分且等長」。那可不可以利用四邊形
的對角線來判斷此四邊形是不是矩形呢？如果有一個四邊
形 ABCD，兩條對角線 AC、BD會互相平分且等長，而這
個四邊形 ABCD 會是矩形嗎？
四邊形 ABCD 中，兩條對角線 AC、BD交於 O 點，
而且這兩條對角線會互相平分且等長。所以可以知道
OA OB OC OD 。因此△AOB、△BOC、△COD、
△DOA 為四個等腰三角形。
在等腰三角形△AOB 中，OA OB ，所以∠1=∠2(設為 a°)；
在等腰三角形△BOC 中，OB OC ，所以∠3=∠4(設為 b°)；
看三角形△ABC：
由∠1+∠2+∠3+∠4=180°。得 a+a+b+b=180，即 a+b=90
得∠ABC=∠2+∠3=90°。
同理，∠BCD=90°、∠CDA=90°、∠DAB=90°，所以四邊形 ABCD 為
一個矩形。
由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相平分且等長，則這
個四邊形就是矩形。」
O
A
B
C
D
1
2 3
4 5
67
8
76
第四個要來看正方形的判別性質，課文 A 有提到：「正方形的兩條對
角線會互相垂直平分且等長」。那可不可以利用四邊形的對角線來判斷此
四邊形是不是正方形呢？
如果有一個四邊形 ABCD，兩條對角線 AC、BD
會互相垂直平分且等長，而這個四邊形 ABCD 會是
正方形嗎？
因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD會互
相垂直平分，從前面的討論就可以知道，四邊形ABCD
會是一個菱形，它的四邊等長。
又因為四邊形 ABCD 的兩條對角線 AC、BD會互相平
分且等長，從前面的討論就可以知道，四邊形 ABCD 會是
一個矩形，它的四個內角都是 90°。
四邊形 ABCD 的四邊等長，而且四個內角都是 90°，
所以四邊形 ABCD 會是一個正方形。
由此可知：「一個四邊形中，有兩條對角線會互相垂直平分且等長，
則這個四邊形就是正方形。」
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
77
重點提問
1.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是箏形，並解釋其原因。
2.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是菱形，並解釋其原因。
3.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是矩形，並解釋其原因。
4.根據上面的課文，請說明如何判別一個四邊形是正方形，並解釋其原因。
78
․隨堂練習：
1.下面各小題的正方形格子圖中，分別有 4 個不同的四邊形，請判斷分別
是什麼圖形，並解釋。
(1) AC、BD為圓
的直徑。
(2) (3)
(4)
2.連連看：四邊形 ABCD 中，對角線 AC、BD交於 O 點，請利用下列四邊
形的對角線判別是何種四邊形，並說明原因。
OA OB OC OD =7
∠AOB=60° ․ ․箏形
OA OB OC OD =5
∠AOB=90° ․ ․菱形
OA OC =4，OB OD =7
∠AOB=90°
․ ․矩形
OA=4，OC =2，OB OD =7
∠AOB=90°
․ ․正方形
A
B
C
D
E
F
G
H
𝐼
L
K
J
M
O
P N
79
課文C： 梯形的性質
一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形就是梯形，其中平行的兩
邊分別稱為上底與下底，不平行的兩邊則稱為腰，梯形面積= (上底+下底)×高
2。
當兩腰相等時，這個梯形就稱為等腰梯形。
等腰梯形有兩個特別的性質：
第一個性質，等腰梯形的兩組底角會分別相等。如下圖的等腰梯形
ABCD 中，∠B 和∠C 為等腰梯形 ABCD 下底的底角，∠A 和∠D 為等腰
梯形 ABCD 上底的底角，兩組底角會分別相等，∠B=∠C，∠A=∠D。
第二個性質，等腰梯形的兩條對角線相等。如下圖等腰梯形ABCD中，
AC和BD為等腰梯形 ABCD 的對角線，兩條對角線會相等， AC = BD。
利用這兩個性質可以解決一些問題，證明在單元三課文 D，這裡先讓
同學經由練習來熟悉性質吧！
上底
下底
腰 腰
A
B C
D
A
B C
D
80
例題一：等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ，∠B=60°，∠ACD=30°，
AB =CD =3，BC =6，求
(1)∠BCA=？
(2)∠D=？
(3)∠CAB=?
(4) BD =？
解：(1)等腰梯形的底角會分別相等，所以∠BCD=∠B=60°。
∠ACD=30°，所以∠BCA=∠BCD−∠ACD=60°−30°=30°
(2)因為 AD // BC ，∠D、∠BCD 為同側內角，所以∠D+∠BCD=180°。
∠D=180°−∠BCD=180°−60°=120°
(3)等腰梯形的對角線會相等，所以BD = AC。
看△ABC：
∠B=60°、∠BCA=30°，因為三角形的內角和=180°，
所以∠CAB=180°−∠BCA−∠B=180°−30°−60°=90°。
(4) 因為△ABC 為直角三角形，根據畢氏定理列式：2 2 2
AC AB BC
2 2 2AC BC AB = 2 26 3 =27， 3 3AC BD 。
A
B C
D
60° 60°
3 3
6
A
B C
D
60° 30°
3 3
6
30°
81
例題二：等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB =CD =13， AD =8，
BC =18， AE、DF 為這個等腰梯形的高，求
(1) BE =？
(2) AE =？
(3)等腰梯形 ABCD 面積=？
解：(1) AE、DF 為這個等腰梯形的高，所以 AE⊥BC 、DF ⊥BC ，
四邊形 AEFD 有四個內角都是 90°，所以四邊形 AEFD 是一個矩形，
EF = AD =8。
BE + EF + FC =18，所以BE + FC =18− EF =18−8=10。
看△ABE 和△DCF 兩個三角形：
AE、DF 都是等腰梯形的高，所以∠AEB=∠DFC=90°、AE = DF ；而且
AB =CD。
根據 RHS 全等性質，△ABE≅△DCF，而其中對應邊BE = FC 。
BE + FC =10，BE = FC =5。
82
(2)看△ABE，因為 AE為這個等腰梯形的高，所以 AE⊥BC ，
也就是△ABE 是一個直角三角形。而由(1)可以知道BE =5。
根據畢氏定理列式：2 2 2
AE BE AB
2 2 2AE AB BE = 2 213 5 =144
AE =12
(3)等腰梯形 ABCD 面積 =(上底+下底)×高
2
等腰梯形 ABCD 面積= 8 18 12
1562 2
AD BC AE
A
B C
D
13
E F 5
A
B C
D
13 13
8
E 18
12
83
梯形當中還有一個關於兩腰中點連線長的性質！
有一個梯形 ABCD，其中 AD // BC ：
(1)找出 AB的中點 E 點、DC的中點 F 點，並連接EF ：
(2)複製與梯形 ABCD 相同的梯形 A'B'C'D'：
(3)將梯形 A'B'C'D'旋轉 180°，並移動梯形 A'B'C'D'使DC 邊與CD邊貼
合：
(4)請問四邊形 ABA'B'是一個什麼四邊形？
(5)請問梯形 ABCD 的兩腰中點連線長EF 與梯形 ABCD 的上底、下底
有什麼關係？
A
B C
D
A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
A’
B’ C’
D’
E’ F’
B’
A’
E’
A
B C(D’)
D(C’)
E F(F’)
84
從上面的活動可以知道梯形兩腰中點連線長的性質，就是兩腰的中點
連線長= (上底+下底)
𝟐。
如下圖，梯形 ABCD 中，AD // BC，且 E 為 AB的中點、F 為DC 的中
點，那麼2
AD BCEF
。
這一性質的證明在後面，這裡先做應用熟悉性質！
例題三：若梯形上底、下底長度的比為 3：5，兩腰的中點連線長為 20，
求上底、下底的長度為何？
解：
任意梯形的兩腰中點連線長= (上底+下底)
𝟐。
假設上底長為 3x、下底長為 5x。
兩腰的中點連線長為 20，可以列式：20=3 5
2
x x，
整理成 20=4x x=5
所以 上底=3×5=15、下底 =5×5=25。
例題四：梯形下底比上底長 8，兩腰的中點連線長為 10，且面積為 50，
求：(1)兩底長為何？ (2)高為多少？
D
B
A
C
E F
85
解：(1)假設上底長為 x，下底長為 x+8。
梯形的兩腰中點連線= (上底+下底)
𝟐，
可以列式： 8
2
x x =10
整理成 2 8
2
x=10 x+4=10 x=6
所以 上底=6、下底=6+8=14。
(2)題目當中有說梯形面積為 50，梯形面積= (上底+下底)×高
2。
由(1)可以知道上底=6、下底=14，所以可以列出式子：
(6 + 14) × 高
2= 50
1020
2
高50
高=5
★省思：
例題四中的這個梯形來看，這個梯形的上底是 6、下底是 14、高是 5、
兩腰的中點連線長是 10、面積是 50。
觀察一下，梯形面積= (上底+下底)×高
2以外，還可以怎麼算呢？
會發現兩腰的中點連線長×高=10×5=50 剛好是面積 50。
其實利用梯形兩腰的中點連線長也可以求得梯形面積：
梯形面積= (上底+下底)×高
2=
(上底+下底)
2× 高=兩腰的中點連線長×高
(上底+下底)
2=兩腰的中點連
86
重點提問
1.根據上面的課文，請寫出梯形及等腰梯形的定義。
2.請在下面的方格中，畫出一個梯形、一個等腰梯形。
3.根據上面的課文，請說明等腰梯形的性質，並利用提問 2 所畫的等腰梯
形做說明。
4.根據上面的課文，請說明梯形的兩腰中點連線長跟上底、下底有什麼關
係，並利用提問 2 所畫的梯形做說明。
87
5.根據上面的課文，請說明計算梯形面積的兩種方式，並利用提問 2 所畫
出的梯形做說明。
․隨堂練習：
1.等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ，∠B=60°，∠DAC=30°， AB =CD =2，
BC =4，求
(1)∠ACD=？
(2) AD =？
(3) BD =？
(4)等腰梯形 ABCD 面積=？
2.等腰梯形 ABCD 中，AD // BC，AB =CD =10，AD =6，BC =12，AE、DF
為這個等腰梯形的高，求
(1) BE =？
(2) AE =？
(3)等腰梯形 ABCD 面積=？
88
3.若梯形上底、下底長度的比為 3：7，兩腰的中點連線長為 50，求上底、
下底的長度分別為何？
4.梯形下底比上底長 7，兩腰的中點連線長為 15，且面積為 75，求：
(1)兩底長為何？
(2)高為多少？
5.有一個梯形，其兩腰的中點連線長為 18，高為 5，它的面積為多少？
還是不太懂，請看下面影片
梯形
https://youtu.be/VWt1bfIwYVo
例題二+更多例題
https://youtu.be/OwBX4lGHyCo
例題三、四+更多例題
https://youtu.be/TZo224tBSag
更多例題
https://youtu.be/vM7D1qtsWpk
89
課文D： 梯形的性質證明
課文 C 當中說了三個梯形的性質，第一個性質就是「等腰梯形的兩組
底角會分別相等」；第二個性質就是「等腰梯形的兩條對角線會相等」；第
三個性質就是「任何梯形的兩腰中點連線長 = (上底長+下底長)
2」。
課文 D 要來證明這三個性質。
先來證明第一個性質：「等腰梯形的兩組底角會分別相等」。
如下圖， AD // BC ， AB =CD，作通過 A 點的高 AE、通過 D 點的高
DF ：
因為 AD // BC，高 AE會等於高DF，AE = DF，而且 AE會垂直EB、
DF 會垂直FC 。
看△ABE 和△DCF 兩個三角形：
∠E=∠F=90°， AB =CD， AE = DF 。
根據 RHS 全等性質，△ABE≅△DCF。
所以∠B=∠C。
A
B C
D
E F
90
再來看整個等腰梯形 ABCD，AD // BC，∠A 是∠B 的同側內角，∠D
是∠C 的同側內角：
∠A+∠B=180°、∠D+∠C=180°，又因為∠B=∠C，所以∠A=∠D。
也就是等腰梯形的兩組底角會分別相等。
再來證明第二個性質：「等腰梯形的兩條對角線會相等」。
連接對角線 AC，看到△ABC；而連接對角線BD，看到△DCB：
因為 AB和DC為等腰梯形的兩腰，所以 AB = DC 。
又BC = BC ，∠B=∠C。
根據 SAS 全等性質，△ABC≅△DCB。
所以 AC = DB。
也就是等腰梯形的兩對角線會相等。
A
B C
D
A
B C
B C
D
A
B C
B C
D
91
梯形第三個性質就是「任何梯形的兩腰中點連線長= (上底長+下底長)
𝟐」。
如下圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，且 E 為 AB的中點、F 為DC 的
中點，
將梯形 A'B'C'D'旋轉 180°，並移動梯形 A'B'C'D'使DC 邊與C D 邊貼
合，其中相對應相等的角如下：
因為∠4+∠5=180°，所以 E、F、E'會在同一條直線上：
在梯形 ABCD 中， AD // BC ，所以∠3+∠6=180°，這也可以知道 B、
C、A'會在同一條直線上：
看EB和E A ，E 為 AB的中點，所以EB = EA，而且EA = E A ，
故EB = E A ：
在四邊形 EBA'E'中，EE是這兩條線的截線，其截角∠1、∠2 為同側
內角，又因為∠1+∠2=180°，所以EB // E A 。
EB = E A 、EB // E A ，四邊形 EBA'E'有一雙對邊等長且平行，所以四
邊形 EBA'E'為一個平行四邊形。因此EE= BA。
而EE=2 EF 、BA= BC +CA= BC + D A = BC + AD，
故得 2 EF = AD + BC ，EF =，2
AD BC
即兩腰的中點連線長= (上底長+下底長)
2。
92
重點提問
1. 如圖等腰梯形 ABCD 中，AD // BC，AB =CD，AE、DF 為梯形的高。
請證明：
(1)△ABE≅△DCF
(2)∠B=∠C
(3)∠A=∠D
2. 如圖等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ， AB =CD。請證明：
(1)△ABC≅△DCB
(2) AC = BD
93
3.如圖，梯形 ABCD 中，AD // BC，且 E 為 AB的中點、F 為DC 的中點。
我們將梯形 ABCD 沿EF 剪開，並以 E 點為中心，將四邊形 AEFD
依逆時針方向旋轉 180° 後會形成下圖四邊形 F'D'CF。
請回答下列問題並解釋：
(1)四邊形 F'D'CF 是什麼四邊形？
(2)梯形 ABCD 的兩腰中點連線與上、下底有什麼關係？
D
B
A
C
E F 1
2 3 4
D
B(A ) D C
E F F
A