量子力学 b 講義ノート - 京都大学yuichiro.sekiguchi/lecture_qm.pdf2 ^ ^ 発展：^

量子力学 B講義ノート

東邦大学理学部物理学科関口雄一郎

2020年 1月 24日

i

目次

第 1章量子力学の基礎事項 I 1

1.1 エネルギー固有状態 (エネルギー表示) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 系の状態と確率振幅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 恒等演算子と閉包関係 (完全性条件) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 ハミルトニアンのスペクトル分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 ハミルトニアンの期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.5 任意の物理量への一般化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 演算子と交換関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 エルミート演算子と量子力学における物理量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 演算子の関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 交換関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 時間発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 エネルギー固有状態の時間発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 一般の状態の時間発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 ユニタリ演算子と時間発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.4 補足：期待値の時間発展とエーレンフェストの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 補足：行列表示と行列要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 行列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 行列表示では行列の演算が適用可能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3 行列要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 補足：不確定性原理と同時固有状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1 不確定性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2 同時固有状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 発展：時間発展の種類と記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1 Schrodinger 描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.2 ハイゼンベルグ (Heisenberg)描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.3 相互作用描像 (朝永 (Tomonaga)-Schwinger描像) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.4 測定による非ユニタリ (Unitary)発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.A 数学的補遺 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.A.1 行列の固有値と固有ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.A.2 行列のエルミート共役 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.A.3 行列の対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

ii 目次

第 2章量子力学の基礎事項 II 29

2.1 連続スペクトル: 位置表示を例として . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 振幅の完全集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2 位置表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.3 位置表示における演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.4 一般の表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 正凖量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 正凖量子化の手続き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 位置表示における運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Schrodinger方程式からの波動方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 位置表示における位置と運動量の固有関数の具体形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 位置表示における位置の固有関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2 位置表示における運動量の固有関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 補足：位置表示における固有関数の完全性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.1 位置表示における位置の固有関数の完全性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.2 位置表示における運動量の固有関数の完全性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.3 位置表示における一般の物理量の固有関数の完全性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 運動量表示と変換則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 時間発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.1 自由粒子の運動とファインマン核 (Feynman kernel) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.2 ガウス波束の時間発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6.3 補足：位置と運動量の期待値の時間発展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.4 補足：ビリアル定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7 発展：(無限小)並進と運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7.1 平行移動の生成子としての運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7.2 物理量の変換則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7.3 対称性と保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.A 数学的補遺 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.A.1 ディラック (Dirac)のデルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.A.2 フーリエ (Fourier)級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.A.3 フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.A.4 デルタ関数のフーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

第 3章 1次元調和振動子 55

3.1 解析的手法 (級数展開法)：エルミート (Hermite)多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.1 無次元化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.2 無限遠での漸近解と級数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.3 エネルギー固有値：エネルギーの量子化が起こる理由 . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.4 ハミルトニアンの固有関数：エルミート多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.5 発展：調和振動子の固有関数の完全性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.6 補足：エルミート (Hermite)多項式の諸性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

iii

3.2 代数的手法 (演算子法)：生成消滅演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.1 個数演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.2 生成・消滅演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.3 真空状態 (基底状態) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.4 励起状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.5 |n⟩の位置表示 ⟨x|n⟩の具体形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.6 調和振動子の集合と個数表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 1次元調和振動子のエネルギー固有状態による行列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3.1 ハミルトニアンの行列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.2 位置と運動量の行列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4 応用：1次元の弦の振動の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4.1 弦の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4.2 弦の振動のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4.3 弦の振動モード：固定端境界条件の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.4.4 弦の振動の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4.5 熱力学的極限 (L→∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5 発展：コヒーレント状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5.1 準備：古典的な調和振動子の再考 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5.2 コヒーレント状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5.3 変位演算子を用いた記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.5.4 コヒーレント状態における位置の期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.5.5 補足：コヒーレント状態の直交性・完全性について . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

第 4章エネルギー固有値問題の摂動法 (1)：縮退のない場合 91

4.1 全体的な注意 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 縮退のない場合の基本方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3 1次摂動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.1 エネルギー固有値の 1次摂動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.2 状態ベクトルの 1次摂動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3.3 補足：1次摂動における状態ベクトルの規格直交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 摂動法が有効な条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.5 2次摂動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.5.1 エネルギー固有値の 2次摂動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.5.2 状態ベクトルの 2次摂動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5.3 補足：2次摂動における状態ベクトルの規格直交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.6 発展：ヘルマン-ファインマン (Hellmann-Feynman)の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

第 5章エネルギー固有値問題の摂動法 (2)：縮退のある場合 107

5.1 固有値の縮退 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.1 シュミットの直交化法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.2 縮退がある場合の閉包関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2 縮退がある場合の摂動法：2重縮退の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

iv 目次

5.2.1 第 0近似状態の選び方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.2 エネルギー固有値の 1次摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.3 補足：状態ベクトルの 1次摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.4 補足：エネルギー固有値の 2次摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.5 補足：2次摂動ではじめて縮退が解ける場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3 発展：s重縮退の場合の一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3.1 準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3.2 第 0近似の選び方とエネルギー固有値の 1次摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3.3 摂動ハミルトニアン V の対角化との関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3.4 状態ベクトルの 1次摂動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3.5 エネルギー固有値の 2次摂動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3.6 1次摂動では縮退が解かれない場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

第 6章時間に依存するシュレーディンガー方程式の摂動法 (1)：基礎方程式 131

6.1 時間発展と状態の遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.1 時間に依存しないハミルトニアンにおける状態の遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.2 時間に依存するハミルトニアンにおける状態の遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.1.3 選択則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.1.4 2準位系の遷移確率の厳密な取り扱い：共鳴現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2 時間に依存するシュレーディンガー方程式に対する摂動法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2.1 摂動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2.2 1次摂動：初期にエネルギー固有状態にあった場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2.3 摂動法が成り立つ条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.2.4 1次摂動：初期状態がエネルギー固有状態ではない場合 . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3 補足：時間に依存する摂動法のより詳細な議論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.3.1 確率振幅と遷移確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.3.2 摂動の 1次までの遷移確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

第 7章時間に依存するシュレーディンガー方程式の摂動法 (2)：Fermiの黄金率, 周期な摂動 145

7.1 時間的に一定の摂動：フェルミの黄金律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.2 周期的な摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.2.1 ω = ωfi の場合：エネルギー ℏω の吸収 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.2.2 ω = −ωfi の場合：エネルギー ℏω の放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.3 連続スペクトルを持つ状態への遷移と状態密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.3.1 状態密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.3.2 終状態が連続スペクトルを持つ場合のフェルミの黄金率 . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.3.3 自由粒子の状態密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.3.4 箱型規格化での状態密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.3.5 デルタ関数規格化での状態密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.4 補足：散乱断面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.4.1 フェルミの黄金率における方向依存性の考慮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.4.2 粒子の散乱: 初期状態も連続スペクトルを持つ場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

v

7.4.3 微分散乱断面積と散乱断面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7.5 補足：離散・連続スペクトル間の遷移の統一的取り扱い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

第 8章黒体輻射の基礎理論 161

8.1 プランクの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.2 密度演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2.1 純粋状態と混合状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2.2 密度演算子と密度行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.3 調和振動子の混合状態としての黒体輻射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3.1 (熱平衡)量子統計力学における密度演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3.2 黒体輻射の平均エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.3.3 粒子と波動の二重性とゆらぎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

8.4 補足：Einstein 係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.4.1 自発放射と誘導放射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.4.2 摂動法によるアインシュタインの B 係数の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8.5 発展：電磁場の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.5.1 クーロンゲージにおける真空中のMaxwell方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.5.2 モード展開 (空洞内に閉じ込められた電磁波) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.5.3 電磁場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.5.4 電磁場の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8.A Maxwell 方程式のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.A.1 単位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.A.2 ベクトルポテンシャルとゲージ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.A.3 電荷・電流密度による電磁場の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.A.4 Lorenz gauge と Coulomb gauge 条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

第 9章変分法 179

9.1 レイリー (Rayleigh)・リッツ (Ritz)の変分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.1.1 試行状態 (試行関数)の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

9.1.2 1次元調和振動子の基底状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.1.3 水素原子の基底状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.2 発展：ヘリウム原子の基底状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.2.1 試行波動関数の選び方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.2.2 基底状態エネルギーの上限の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.2.3 相互作用項 I12 の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9.3 発展：励起状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

第 10章角運動量 191

10.1 軌道角運動量と角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.1.1 軌道角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.1.2 一般化された角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.2 角運動量の固有値と固有状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

vi 目次

10.2.1 交換関係と同時固有状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.2.2 昇降演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

10.2.3 角運動量の固有値のとりうる値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

10.2.4 角運動量についてのまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.3 角運動量の行列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.3.1 行列表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10.3.2 角運動量量子数 j = 1の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

10.3.3 角運動量量子数 j = 3/2の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.4 発展：無限小回転と角運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.4.1 回転の生成子としての角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.4.2 角運動量演算子の交換関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

10.5 軌道角運動量の固有値と固有関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10.5.1 準備：極座標表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

10.5.2 演算子 Lz の固有関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.5.3 演算子 L2 の固有関数とルジャンドルの陪多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.5.4 軌道角運動量の同時固有関数と球面調和関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.5.5 発展：L2 の固有値 l(l + 1)において lが 0または正の整数であること . . . . . . . 214

10.5.6 発展：代数的手法による球面調和関数の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10.A ルジャンドル (Legendre)の多項式の諸性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

10.A.1 ルジャンドルの多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

10.A.2 ルジャンドル多項式の母関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

10.A.3 ルジャンドル多項式の直交関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.A.4 ルジャンドル多項式のロドリゲス (Rodrigues)の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . 224

10.A.5 ルジャンドルの多項式の漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

10.B ルジャンドル (Legendre)の陪多項式の諸性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

10.B.1 ルジャンドルの陪多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

10.B.2 ルジャンドルの陪多項式の対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

10.B.3 ルジャンドルの陪多項式の直交関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

第 11章 3次元中心力ポテンシャルにおけるエネルギー固有値問題 231

11.1 補足：3次元中心力ポテンシャル中の 2体問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

11.1.1 重心座標と相対座標への正準変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

11.1.2 複合系としての 2体問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

11.1.3 演算子 p2 の極座標表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

11.1.4 動径方向と角度方向の分離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

11.2 動径方向の波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

11.2.1 動径方向の波動関数の境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

11.2.2 動径方向の波動関数の原点近傍での振る舞い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

11.3 発展：一般座標系における位置表示と量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

11.3.1 極座標における運動量演算子のエルミート性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

11.3.2 一般座標における運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

vii

11.4 クーロンポテンシャル：水素型原子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

11.4.1 境界条件を満たす動径方向の波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

11.4.2 クーロンポテンシャルの束縛状態で量子化が起こる理由 . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.4.3 動径方向の波動関数の具体形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

11.4.4 動径座標の期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

11.4.5 水素型原子の縮退度について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

11.4.6 補足：動径方向の波動関数の一般形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

11.5 発展：クーロンポテンシャルにおける代数的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

11.6 補足：3次元井戸型ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

11.6.1 内部解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

11.6.2 外部解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

11.6.3 内部解と外部解の接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

11.7 補足：3次元調和振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

11.A ラゲール (Laguerre)の多項式の諸性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

11.A.1 ラゲールの多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

11.A.2 ラゲールの多項式の母関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

11.A.3 ラゲールの多項式の漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

11.A.4 ラゲールの多項式の直交関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

11.A.5 ラゲールの多項式のロドリゲス (Rodrigues)の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

11.B ラゲール (Laguerre)の陪多項式の諸性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

11.B.1 ラゲールの陪多項式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

11.B.2 ラゲールの陪多項式の母関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

11.B.3 ラゲールの陪多項式の漸化式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

11.B.4 ラゲールの陪多項式の直交関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

11.B.5 ラゲールの陪多項式のロドリゲス (Rodrigues)の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . 273

第 12章スピン 275

12.1 スピン角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

12.1.1 内部自由度としてのスピン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

12.1.2 スピン演算子 s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

12.1.3 スピン演算子 s = 1/2の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

12.2 スピン演算子 s = 1/2の行列表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.2.1 (2成分)スピノル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.2.2 パウリ (Pauli)行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

12.2.3 スピン演算子の他の行列表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.3 スピン (s = 1/2)演算子の固有状態：一般の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

12.3.1 固有値と固有状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

12.3.2 期待値と確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

12.4 ゼーマン (Zeeman)効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

12.4.1 磁場と軌道角運動量・スピン角運動量の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

12.4.2 ゼーマン効果による準位の分裂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

viii 目次

第 13章角運動量の合成 291

13.1 合成系の角運動量：直積状態と固有状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

13.2 角運動量の合成の手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

13.2.1 Step 0: 合成系の角運動量量子数 j のとりうる値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

13.2.2 Step I: 合成系の最大の j = jmax = j1 + j2 に対して |jmax,m⟩⟩を求める . . . . . . 294

13.2.3 Step II: j の値を 1つ下げた状態を求める . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

13.2.4 Step III: Step II を繰り返す . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

13.2.5 補足：クレブシュ-ゴルダン係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

13.3 角運動量の合成の具体例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

13.3.1 スピン 1/2同士の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

13.3.2 スピン 1重項と 3重項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.3.3 補足：スピン 1/2と軌道角運動量の合成の一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.4 スピン軌道相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

13.4.1 スピン軌道相互作用ハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

13.4.2 スピン軌道相互作用によるエネルギー準位の分裂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

13.4.3 水素原子の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

13.5 発展：超微細構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

13.6 発展：ベルの不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

13.6.1 EPR(Einstein-Podolsky-Rosen)の思考実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

13.6.2 ベルの不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

13.6.3 ベルの不等式と量子力学の整合性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

第 14章電磁場中の運動 313

14.1 電磁場と荷電粒子の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

14.1.1 最小結合における置き換え . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

14.1.2 スピン s = 1/2と磁場の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

14.2 外部電場による摂動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

14.2.1 シュタルク (Stark)効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

14.2.2 一様電場による誘起双極子モーメントと分極率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

14.3 一様磁場中のスピン s = 1/2粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

14.3.1 ラーモア歳差運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

14.3.2 スピン磁気共鳴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

14.4 補足：ランダウ準位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

14.4.1 一様磁場中の運動の調和振動子による記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

14.4.2 ゲージ自由度とランダウ準位の縮退 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

14.5 発展：アハラノフ・ボーム (Aharonov-Bohm)効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

14.5.1 ファインマン核と微小ファインマン核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

14.5.2 ファインマン核の経路積分表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

14.5.3 定常位相近似と経路積分の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

14.5.4 アハラノフ・ボーム (Aharonov-Bohm)効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

第 15章散乱問題 I: 散乱問題の基礎 341

ix

15.1 補足：重心系と実験室系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

15.1.1 重心系における記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

15.1.2 実験室系における記述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

15.1.3 重心系から実験室系への変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

15.2 散乱断面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

15.2.1 微分散乱断面積と全断面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

15.2.2 補足：重心系と実験室系の間の微分散乱断面積の変換公式 . . . . . . . . . . . . . . 347

15.3 散乱振幅と散乱断面積の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

15.3.1 散乱の境界条件と散乱振幅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

15.3.2 確率の保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

15.3.3 散乱振幅による微分散乱断面積の表式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

15.4 補足：光学定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

15.5 散乱振幅とポテンシャルの関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

15.5.1 グリーン関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

15.5.2 散乱の積分方程式と散乱振幅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

第 16章散乱問題 II: ボルン近似と部分波展開法 365

16.1 ボルン近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

16.1.1 ボルン近似における散乱振幅 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

16.1.2 ボルン近似の成立条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

16.1.3 中心力ポテンシャルによる散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

16.2 部分波展開法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

16.2.1 3次元シュレーディンガー方程式のエネルギー固有値問題 . . . . . . . . . . . . . . 371

16.2.2 部分波展開法の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

16.2.3 s波の散乱：最低次 (l = 0)近似の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

16.2.4 位相のずれ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

16.2.5 剛体球による s波散乱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

16.3 発展：部分波展開法の一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

第 17章同種粒子系 381

17.1 ボソンとフェルミオン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

17.2 同種粒子系のハミルトニアンの対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

17.3 状態の対称化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

17.3.1 フェルミオンの 2粒子状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

17.3.2 一般の同種フェルミオン多体系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

17.3.3 スレーター (Slater)行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

第 18章 1次元ポテンシャル問題 391

18.1 矩形ポテンシャル問題の解き方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

18.2 階段状ポテンシャル問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

18.2.1 0 ≤ E < V0 の場合：完全反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

18.2.2 E ≥ V0 の場合：量子反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

x 目次

18.3 ポテンシャル障壁 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

18.3.1 0 ≤ E < V0 の場合：トンネル効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

18.3.2 E ≥ V0 の場合：量子反射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

18.4 井戸型ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

18.4.1 寄パリティの場合: (κ− ik)/(κ+ ik) = +exp(ikL) . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

18.4.2 偶パリティの場合: (κ− ik)/(κ+ ik) = − exp(ikL) . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

第 19章 WKB(Wentzel-Kramers-Brillouin)法 401

19.1 適用範囲と古典的回帰点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

19.2 古典的回帰点で dV/dx > 0である場合の解の接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

19.2.1 転回点の左側に入射波があった場合の右側への接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

19.2.2 転回点の左側に進行波があった場合の右側への接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

19.3 古典的回帰点で dV/dx < 0である場合の解の接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

19.3.1 転回点の右側に入射波/進行波があった場合の左側への接続 . . . . . . . . . . . . . 405

19.3.2 転回点の左側に指数関数的に増大/減衰する波動関数があった場合の右側への接続 . 406

19.4 WKB法の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

19.4.1 ボーア・ゾンマーフェルド (Bohr-Sommerfeld)の量子条件 . . . . . . . . . . . . . 406

19.4.2 ガモフ (Gamow)の透過因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

xi

参考文献

• 朝永振一郎, 「量子力学 I」, (みすず書房)

は本講義ノートで取り扱わない前期量子論の記述に詳しい。前期量子論は古典物理学を総動員して量子系の

示す不思議な振る舞いに取り組んでいた時代であり、古典物理の応用の宝庫である。かなり程度は高いが、

大学院で物理を学ぶ場合にはぜひ挑戦してみてほしい。

• 須藤靖, 「解析力学・量子論」, (東京大学出版会)

は量子力学の副読本である。ブラケットや位置表示と運動量表示の関連などでつまづいたら参考にするとよ

い。その他、4元形式の電磁場、電磁場の作用、1次元ポテンシャル問題のなどの詳しい解説がある。

• 原島鮮, 「初等量子力学」, (裳華房)

はブラケットを用いない標準的な量子力学の教科書である。内容も豊富で、部分的に高度な応用例も取り

扱っている。本講義で主として用いられるベクトル記法 (ブラケット)と、波動関数を用いた形式の対応を

見たい場合には参考になると思う。

• 清水明, 「新版量子論の基礎」, (サイエンス社)

は量子力学の基礎についてのごまかしのないきっちりとした教科書である。講義の 1,2章で曖昧な記述が気

になる場合には参考にするとよいと思う。記述は丁寧であるが、深く読み込むと高レベルの内容が記述され

ている。

• 砂川重信, 「量子力学」, (岩波書店)

は丁寧に書かれた学部上級向けの量子力学の教科書である。物理と数学に自信のある学生にはおすすめの 1

冊である。これが読みこなせれば量子力学の理論的基礎はマスターしたといってよい。本講義の第 1,2章の

「量子力学の基本事項」、第 3章「1次元調和振動子」、第 4,5章「エネルギー固有値問題の摂動法」、第 6,7

章「時間に依存するシュレーディンガー方程式の摂動法」、第 8章「黒体輻射の基礎理論」、第 10章「角運

動量」第 11章「3次元中心力ポテンシャルにおけるエネルギー固有値問題」で参考にした。

• 小川哲生, 「量子力学講義」, (サイエンス社)

は様々な内容をコンパクトにまとめた教科書である。部分的に記述が簡潔に過ぎ難解だが、発展的な内容も

取り扱っている。説明がやや不親切なところも見受けられるが、値段が比較的良心的であり、レイアウトが

見やすい。第 18章の「1次元ポテンシャル問題」で特に参考にした。

• 猪木慶治・川合光, 「量子力学 I, II」, (講談社)

xii 参考文献

は演習形式の教科書である。ここで紹介する教科書の中ではもっとも内容が豊富である。第 14章「電磁場

中の運動」、第 19章の「WKB法」で参考にした。

• 倉澤治樹, 「量子力学講義ノート」

はインターネット上に公開されている量子力学の講義ノートである。無料で公開されているものの中ではた

いへん完成度が高く、さまざまな内容が詳しく説明されている。第 10章「角運動量」、第 12章の「スピン」

で参考にした。

• 蓬田清 , 「演習形式で学ぶ特殊関数・積分変換入門」, (共立出版)

は量子力学で必要となる複素関数, 特殊関数, フーリエ変換, WKB法, 積分方程式などの数学を広範かつコ

ンパクトにまとめた教科書である。入門書に比べてやや程度は高く、かなりの予備知識を必要とするが、あ

る程度修練を積んだ学生にとっては良書であると思う。

1

第 1章

量子力学の基礎事項 I

基礎事項のまとめ

1. 量子力学は測定結果等が示す確率分布を計算する物理学である。

2. 系の状態はあるベクトル空間上*1のベクトル |ψ⟩ (状態ベクトル) で与えられる*2。

（a）状態ベクトルの表現には基底の導入が重要となる。基底は物理系のベクトル空間のすべての状態

ベクトルを線形結合で表現できる完全なものである必要がある。すなわち、閉包関係 (完全性条

件)を満たす基底を用いる必要がある*3。

（b）応用上便利な基底の一つに、エネルギー固有状態がある。したがって、束縛系のエネルギー固有

状態および固有値を求めることは重要である。

（c）多くの場合、エネルギー固有状態は厳密に求められないため、近似的に固有状態を求める方法を

知る必要がある (時間に依存しない摂動法、変分法)。

3. 物理系が |ψ⟩ の状態にあるとき、それを測定して |ϕ⟩ の状態である確率は P ≡ |⟨ϕ|ψ⟩|2 で与えられる (確率解釈)。ここで、⟨ϕ|ψ⟩ を確率振幅と呼ぶ。

4. 量子力学における物理量 (観測可能量、観測量 (observable))は、状態ベクトル空間上のエルミート

演算子 Aで表される。

5. 系の状態が |ψ⟩であるとき (規格化されているとする)に、物理量 Aの測定を行うと、観測値は Aの

固有値 an のいずれかになる*4。

（a）|ψ⟩が Aのいずれかの固有値 an の固有状態 |n⟩でない限り、観測毎に得られる観測値は異なる。（b）系が |ψ⟩ の状態にあるとき、A を観測して固有値 an が得られる確率は、an に属する固有状態

|n⟩を用いて、Pn = |⟨n|ψ⟩|2 で与えられ、その期待値は ⟨A⟩ =∑

n anPn = ⟨ψ|A|ψ⟩である。6. 系の時間発展はシュレーディンガー方程式 (Schrodinger equation)で記述される。

（a）多くの場合、シュレーディンガー方程式を厳密に解くことができないため、近似的に時間発展を

求める方法を知る必要がある (時間に依存する摂動法)。

7. 対象となる物理系に応じて、角運動量やスピン、散乱の量子力学、縮退、磁場との相互作用などの取

り扱いが必要となる。

*1 一般に、ヒルベルト空間と呼ばれる、(可積分な)内積が定義された無限次元ベクトル空間 (線形空間)がこれに相当するが、その知識がなくてもこの講義ノートの内容は理解できる。

*2 線形代数は量子力学の習得において極めて重要である。*3 空間ベクトルの表現の際に、ベクトル空間の次元と同じ数の線形独立な基底を用いる必要があることに対応する。例えば空間 3

次元であれば 3つ線形独立な基底が必要である。*4 A|n⟩ = an|n⟩. ここで |n⟩は固有値 an に属する固有状態。

2 第 1章量子力学の基礎事項 I

1.1 エネルギー固有状態 (エネルギー表示)

1.1.1 系の状態と確率振幅

時間に依存しないシュレーディンガー方程式

時間に依存しないシュレーディンガー方程式 H|ψ⟩ = E|ψ⟩ (1.1)

を解いて、すべてのエネルギー固有値 (エネルギースペクトル) En とその固有状態 |n⟩ が求まったとする。このとき、任意の状態ベクトル |ψ⟩ は |n⟩ の重ね合わせ (線形結合)で表すことができる。いま、エネルギー

スペクトルは離散的であるとすると、

|ψ⟩ =N∑n

cn|n⟩. (1.2)

と展開できる。ここで N はベクトル空間の次元である。以下では、特に断らない限り、状態ベクトル |ψ⟩は規格化されているものとしよう。このとき、|ψ⟩の双対 (dual)(随伴 (adjoint)とも言う) ⟨ψ| は

⟨ψ| =N∑n

c∗n⟨n| (1.3)

と展開される*5。ここで、係数 cn についてその複素共役を取っていることに注意しよう。

量子力学では、しばしば |ψ⟩をケットベクトル、その双対である ⟨ψ|をブラベクトルと呼ぶ。ブラベクトルとケットベクトルを「結合」させると、スカラーになる。すなわち、任意の |ϕ⟩, ⟨ψ| に対して、⟨ψ|ϕ⟩ はスカラーである。また、この結合操作は、|ϕ⟩と |ψ⟩ (あるいは ⟨ϕ|と ⟨ψ|)の「内積」操作と関係づけることができる*6。

両辺に ⟨m| を作用させると、

⟨m|ψ⟩ =N∑n

cn⟨m|n⟩ (1.4)

となる。

確率解釈量子力学では、物理系が |ψ⟩ の状態にあるとき、それを測定して |ϕ⟩ の状態である確率は

P ≡ |⟨ϕ|ψ⟩|2 (1.5)

で与えられる (確率解釈)。ここで、⟨ϕ|ψ⟩は確率振幅と呼ばれる。したがって、左辺は系の状態が |ψ⟩ であるときに測定を行なって |m⟩、すなわちエネルギー固有値 Em に

*5 「双対ベクトル」の概念については線形代数の教科書 (例えば、佐武一郎著「線形代数学」(裳華房))参照のこと。縦ベクトルがあれば自然に横ベクトルが定義できるように、ここではそのような dual(双対、双子)なベクトル空間が自然に導入されるという事実を認めるにとどめる (物理数学 C・Dの講義ノート 8.2節参照)。

*6 縦ベクトルと横ベクトルの場合にも、縦ベクトル同士の内積という見方と、横 (双対) ベクトルと縦ベクトルの (行列演算による)結合という見方の 2通りが可能であった。縦ベクトルと横ベクトルを関係づけるのが「計量テンソル」である (物理数学 C・D講義ノート参照)。計量テンソル (内積構造)が存在しない場合には両者を対応付けることはできないが、本講義では、ブラベクトルとケットベクトルの「結合操作」と |ϕ⟩ と |ψ⟩ (あるいは ⟨ϕ| と ⟨ψ|) の「内積操作」の間の自然な対応があるものとすし、結合操作に対応する「⟨m|を |ψ⟩に作用」という言い方と、内積操作に対応する「|m⟩と |ψ⟩の内積」という言い方の両方を、数学的な厳密性を気にすることなく用いる。

1.1 エネルギー固有状態 (エネルギー表示) 3

属する固有ベクトルに見出す確率振幅am ≡ ⟨m|ψ⟩ (1.6)

である。一方、右辺は、エルミート演算子の固有ベクトルの直交性から*7、⟨m|n⟩ = δmn となるので、

⟨m|ψ⟩ =N∑n

cn⟨m|n⟩ =N∑n

cnδmn = cm (1.7)

となる*8。これは |ψ⟩の |m⟩方向の成分が、その展開係数 cm であるという当たり前の結果である。以下で

は特に混乱の恐れのない限り、和記号におけるベクトル空間の次元 N を省略する。

左辺の結果と右辺の結果をまとめると、系の状態が |ψ⟩ であるときに測定を行なって |m⟩、すなわちエネルギー固有値 Em に属する固有ベクトルに見出す確率振幅 am は、|ψ⟩の展開係数 cm に一致することが分

かる。確率 Pm は確率振幅 am の 2乗だから、

Pm = |am|2 = |⟨m|ψ⟩|2 = |cm|2 (1.8)

となる。

とくに、エネルギー固有状態 |ψ⟩ = |n⟩ の場合には

Pm = |⟨m|n⟩|2 = |δmn|2 (1.9)

であるから、確率 1で物理系を |n⟩ の状態に見出す。|ψ⟩ が規格化されているとすると、

1 = ⟨ψ|ψ⟩ =

[∑m

c∗m⟨m|

][∑n

cn|n⟩

]=∑m

∑n

c∗mcnδmn =∑n

|cn|2 (1.10)

となる。|cn|2 はエネルギー固有値 En に属する固有ベクトルに系がある確率であったから、すべての場合

を尽くせば合計確率は 1 となることを示している。ここで、|ψ⟩ の双対の定義 (1.2)において、係数の複素

共役をとっていたおかげで、確率の正値性が保証されるようになっていることにも注意しよう。

出席課題 S.1.1 : |ψ⟩ = eiπ/5|a⟩+ eiπ/4|b⟩ のとき、⟨ψ| はどのように表せるか。略解数係数は複素共役を取らなければならないので、⟨ψ| = e−iπ/5⟨a|+ e−iπ/4⟨b|

出席課題 S.1.2 : (1.7) ベクトル空間の次元を N = 3 として (1.7)の∑N

n を展開し、(1.7) 式のク

ロネッカーのデルタ δmn が関連した和の演算が成り立つことを具体的に示せ。演習問題 E.1.1 : 内積が満たすべき性質 ⟨ϕ|ψ⟩ = (⟨ψ|ϕ⟩)∗ が成り立つことを示せ。略解 |ψ⟩ =

∑n an|n⟩および |ϕ⟩ =

∑m bm|m⟩と展開する。このとき、⟨ϕ| =

∑m b∗m⟨m|である。エルミー

ト演算子の固有ベクトルの直交性 ⟨m|n⟩ = δmn(1.2.1節参照)に注意すれば、

⟨ϕ|ψ⟩ =∑m

∑n

b∗man⟨m|n⟩ =∑m

∑n

b∗manδmn =∑n

b∗nan

である。同様に ⟨ψ|ϕ⟩ =∑

n a∗nbn であることが示されるので、⟨ϕ|ψ⟩ = (⟨ψ|ϕ⟩)∗ である。

任意課題ベクトル空間の基底 |n⟩ が 1セット与えられたとき、双対ベクトル空間の基底も自然に

導入できる。線形代数の教科書を調べ、双対ベクトル空間の基底の自然な定義について述べよ。

*7 エルミート演算子の固有ベクトルが互いに直行することについては 1.2.1参照のこと。*8 クロネッカーデルタに関する演算については物理数学 C・Dの講義ノート等で復習しておくこと。


演習問題 E.1.2 : 電子が 2 重井戸型ポテンシャルの中にあるとする。井戸 1 に存在する状態を

|W1⟩、井戸 2に存在する状態を |W2⟩ とする (両者規格化されているとする)。電子がはじめ井戸

1にあったとしても、トンネル効果により、電子は井戸 2に染み出す。したがって、電子の状態

ベクトルは|ψ⟩ = c1|W1⟩+ c2|W2⟩ (1.11)

のような重ね合わせ (線形結合)の状態となる。

1. |ψ⟩ の規格化条件を書き下せ。2. 電子を井戸 2に見出す確率を書き下せ。

3. (a) c1 = i/2, (b) c2 = eiπ, (c) c2 = 1/3+ i/√2 それぞれの場合に、電子を井戸 1に見出す

確率を求めよ。略解井戸 1状態を観測して井戸 2に電子を見出すことはないので、⟨W2|W1⟩ = 0である。

1. 1 = ⟨ψ|ψ⟩ = c∗1c1⟨W1|W1⟩+ c∗1c2⟨W1|W2⟩+ c∗2c1⟨W2|W1⟩+ c∗2c2⟨W2|W2⟩ = |c1|2 + |c2|2

2. |⟨W2|ψ⟩|2 = |c2|2

3. 粒子を井戸 1 に見出す確率は |c1|2 である。(a) 1/4, (b) |c2|2 = 1 より 0, (c) |c2|2 = 11/18 より

7/18

1.1.2 恒等演算子と閉包関係 (完全性条件)

状態ベクトル空間上の演算子とは、状態ベクトル空間上の状態ベクトルに作用して、別の状態ベクトルに

移す操作である*9。

重要な演算子の一つとして、次の恒等演算子がある:

恒等演算子 1 =

∑n

|n⟩⟨n|. (1.12)

これが演算子であることは、任意の |ψ⟩に作用して、

1|ψ⟩ =∑n

⟨n|ψ⟩|n⟩ (1.13)

のように (右辺のような別の)状態ベクトルを与えることから分かる。ここで、(1.7)式より、

1|ψ⟩ =∑n

⟨n|ψ⟩|n⟩ =∑n

cn|n⟩ = |ψ⟩ (1.14)

となるから、(1.2)式より 1は恒等演算子であることが分かる。

逆に、|ψ⟩が (1.2)式のように展開できるとすると、

|ψ⟩ =∑n

cn|n⟩ =∑n

⟨n|ψ⟩|n⟩ =

(∑n

|n⟩⟨n|

)|ψ⟩ (1.15)

となる。すなわち*10、

*9 3次元空間の場合における回転操作などに対応する。*10 以下の閉包関係をはじめ、離散スペクトルにおける関係式は行列表示を用いると理解しやすい (1.4.2節等を参照)。

1.1 エネルギー固有状態 (エネルギー表示) 5

閉包関係 (完全性条件) 選んだ基底がベクトル空間のすべての状態ベクトルを (線形結合で)表現できる完全なものであるため

には、 ∑n

|n⟩⟨n| = 1 (1.16)

が成り立っている必要がある。これを閉包関係 (完全性条件)と呼ぶ。任意課題線形代数と関数解析の教科書を調べ、ヒルベルト空間とヒルベルト空間上の線形演算子に

ついて述べよ。

1.1.3 ハミルトニアンのスペクトル分解

エネルギー固有値 En とその固有ベクトル |n⟩ は時間に依らないシュレーディンガー方程式

H|ψ⟩ = E|ψ⟩ (1.17)

の解であった。ここで、ハミルトニアンは

ハミルトニアンのスペクトル分解 H =

∑n

En|n⟩⟨n| (1.18)

のように分解できる (ハミルトニアンのスペクトル分解)。実際、固有状態 |m⟩ に対して、

H|m⟩ =∑n

En|n⟩⟨n|m⟩ =∑n

En|n⟩δnm = Em|m⟩ (1.19)

となるので、確かにシュレーディンガー方程式を満たしている。

出席課題 S.1.3 : |ψ⟩ =∑

m cm|m⟩ に対して、H|ψ⟩ =∑

nEncn|n⟩を示せ。略解

H|ψ⟩ =

[∑n

En|n⟩⟨n|

][∑m

cm|m⟩

]=∑n

∑m

Encm|n⟩⟨n|m⟩ =∑n

∑m

Encm|n⟩δnm

=∑n

Encn|n⟩ (1.20)

1.1.4 ハミルトニアンの期待値

系の状態が |ψ⟩であるときに、ハミルトニアン (エネルギー)H の測定 (観測)を行うと、測定値 (観測値)

は H の固有値 En のいずれかになるが、|ψ⟩が固有状態 |n⟩のいずれかでない限り、測定毎に得られる測定値は異なる。

この場合にも、量子力学は多数回観測した場合の測定値の期待値を計算することができる。⟨ψ|H|ψ⟩ を計算すると

⟨ψ|H|ψ⟩ =

[∑m

c∗m⟨m|

]H

[∑n

cn|n⟩

]=∑n

En|cn|2 (1.21)

となるが、系の状態が |ψ⟩ であるときに測定を行なって En が得られる確率は |cn|2 で与えられるから((1.8)式)、(1.21)式右辺の

∑nEn|cn|2 はエネルギーの期待値 ⟨E⟩ の定義そのものである。すなわち、


ハミルトニアンの期待値 ⟨E⟩ = ⟨ψ|H|ψ⟩. (1.22)

この結果はスペクトル分解を用いた結果と一致する。すなわち、

⟨ψ|H|ψ⟩ = ⟨ψ|

[∑n

En|n⟩⟨n|

]|ψ⟩ =

∑n

En⟨ψ|n⟩⟨n|ψ⟩ =∑n

En|cn|2. (1.23)

このことからもハミルトニアンが (1.18)式のように分解できることが分かる。

とくに、エネルギー固有状態 |ψ⟩ =∑

m cm|m⟩ = |n⟩ の場合には (1.9)より確率 1で系の状態を |n⟩に見出す (|cn|2 = 1)ので、その期待値も

⟨E⟩ = ⟨n|H|n⟩ = En (1.24)

のように En に一致する。すなわち、系がエネルギー固有状態 |n⟩ にある場合には、測定値は常に対応するエネルギー固有値 En となる。実際、この場合にはハミルトニアンのゆらぎ δH((1.119)式参照)の期待

値は ⟨δH⟩ = ⟨[H − ⟨H⟩]

⟩= 0 (1.25)

となる。

ところで、ハミルトニアン (エネルギー)の測定値は実数であるべきことから、H の固有値 En はすべて

実数でなければならない。このことから H がエルミート演算子であることが要請されるのである。これに

ついては 1.2.1節で解説する。

出席課題 S.1.4 : (1.21)式を示せ。

1.1.5 任意の物理量への一般化

以上の議論は任意の物理量の場合に一般化できる。Q をある物理量とする (特にハミルトニアンである必

要はない)。系の状態が |ψ⟩であるときに、物理量 Qの測定を行うと、測定値は Qの固有値 qn のいずれか

になるが、|ψ⟩が Qの固有状態 |qn⟩のいずれかでない限り、測定毎に得られる測定値は異なる。測定値は実数であるべきことから、量子力学における物理量 Qの固有値 qn はすべて実数でなければならない*11。

その固有値スペクトル (すべての固有値を集めたもの)を qi、固有ベクトルを |qi⟩とする。|qi⟩が完全性条件を満たせば、任意の状態ベクトルは

|ψ⟩ =∑i

ci|qi⟩ (1.26)

と展開でき、QはQ =

∑i

qi|qi⟩⟨qi| (1.27)

とスペクトル分解できる。このとき、系を観測して qi の状態にある確率は

Pi = |⟨qi|ψ⟩|2 (1.28)

であり、⟨Q⟩ ≡ ⟨ψ|Q|ψ⟩ (1.29)

*11 このことから量子力学における任意の物理量 Qはエルミート演算子であることが要請される。1.2.1節参照。

1.2 演算子と交換関係 7

は系が |ψ⟩の状態にあるときに Qを多数回測定したときの観測値の期待値を与える。

とくに、系の状態が Qの固有状態 qj の場合には、確率 1で物理系を |qj⟩ の状態に見出し、物理量 Qの

観測値は常に qj になる。

1.2 演算子と交換関係

1.2.1 エルミート演算子と量子力学における物理量

複素数 ⟨ϕ|Q|ψ⟩ を考える。状態ベクトル及び演算子の基底による展開を代入すると、

⟨ϕ|Q|ψ⟩ =

[∑i

b∗i ⟨qi|

][∑k

qk|qk⟩⟨qk|

]∑j

aj |qj⟩

=∑i

b∗i qiai (1.30)

となる。ここで、⟨qn|qm⟩ = δmn となることを仮定した。同様に、

⟨ψ|Q|ϕ⟩ =∑i

a∗i qibi (1.31)

を得る。

したがって、Qの固有値がすべて実数であれば (q∗ = q)、(⟨ϕ|Q|ψ⟩

)∗=(∑

i

b∗i qiai

)∗=∑i

biq∗i a

∗i =

∑i

biqia∗i

= ⟨ψ|Q|ϕ⟩ (1.32)

となる。この結果より、

エルミート演算子の定義 (⟨ϕ|Q|ψ⟩

)∗= ⟨ψ|Q|ϕ⟩ (1.33)

の関係を満たす演算子としてエルミート演算子を定義する。逆に、(1.33)式が成り立つ場合、(1.33)式の導出過程を逆にたどれば、Qの固有値と固有ベクトルに対し

て、q∗ = q, ⟨qn|qm⟩ = δmn となることが要請される。すなわちエルミート演算子の固有値はすべて実数で

あり、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する (演習問題 E.1.4参照)。

物理量とエルミート演算子

量子力学において、任意の物理量 Qの測定を行って得られる観測値が Qの固有値 qn のいずれかになる

が、これらはすべて実数値でなければならないことから、

量子力学における物理量量子力学における物理量 (観測可能量、観測量 (observable))は、状態ベクトル空間上のエルミート演

算子で表されなければならない。ことを、量子力学の公理として要請する。

エルミート共役演算子

演算子 O がエルミート演算子ではない場合、


エルミート共役演算子 (⟨ϕ|O†|ψ⟩

)∗= ⟨ψ|O|ϕ⟩ (1.34)

を満たす演算子 O† を O のエルミート共役演算子と呼ぶ。これより、エルミート演算子は自分自身がエル

ミート共役演算子でもある自己共役演算子Q† = Q (1.35)

である。

出席課題 S.1.5 : (1.31)式を示せ。

略解 (1.30) 式の導出と全く同様にしてできる。

出席課題 S.1.6 : |ψ⟩ = O|ϕ⟩とするとき、⟨ψ| = ⟨ϕ|O† であることを示せ。(ヒント：⟨ψ|ϕ⟩∗ = ⟨ϕ|ψ⟩を使う。)

略解任意の状態ベクトル |φ⟩ に対して、⟨ψ|φ⟩ = (⟨φ|ψ⟩)∗ = (⟨φ|O|ϕ⟩)∗ である。ここで、(1.34) 式の複素

共役をとったものに対応する式を用いれば、更に変形して ⟨ψ|φ⟩ = (⟨φ|O|ϕ⟩)∗ = ⟨ϕ|O†|φ⟩ となる。これ

が任意の状態ベクトル |φ⟩ に対して成り立つので、⟨ψ| = ⟨ϕ|O† である。

演習問題 E.1.3 : (O1O2)† = O†

2O†1 であることを示せ。より一般に、n個の演算子の積の場合には

どうなるか。略解 O12 = O1O2 とおくと、エルミート共役の定義 (1.34)式より、

⟨ϕ|(O1O2)†|ψ⟩ = ⟨ϕ|O†

12|ψ⟩ = ⟨ψ|O12|ϕ⟩∗ = ⟨ψ|O1O2|ϕ⟩∗ (1.36)

ここで、|ϕ′⟩ = O2|ϕ⟩ とすると、

⟨ϕ|(O1O2)†|ψ⟩ = ⟨ψ|O1O2|ϕ⟩∗ = ⟨ψ|O1|ϕ′⟩ = ⟨ϕ′|O†

1|ψ⟩ = ⟨ϕ|O†2O

†1|ψ⟩ (1.37)

これが任意の |ϕ⟩, |ψ⟩に対して成り立つので、(O1O2)† = O†

2O†1.

3 個の演算子の積 O1O2O3 の場合にも O12 ≡ O1O2 と定義して、O12O3 のように 2 個の演算子に置

き換えれば、(O1O2O3)† = (O12O3)

† = O†3O

†12 = O†

3O†2O

†1 となる。以下帰納的に (O1O2 · · · On)

† =

O†nO

†n−1 · · · O

†1 となることが示せる。

演習問題 E.1.4 : エルミート演算子に関して、以下を証明せよ。

1. エルミート演算子の固有値はすべて実数である。

2. エルミート演算子の異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。

略解 ⟨qk|Q|qi⟩ = qi⟨qk|qi⟩ および ⟨qi|Q|qk⟩ = qk⟨qi|qk⟩ において、第 2 式の複素共役をとって第 1 式との差

を取ると、左辺は Q がエルミートであること ((1.33) 式) から消えるので、(qi − q∗k)⟨qk|qi⟩ = 0 を得る。

k = iとおけば qi = q∗i となりこれはエルミート演算子の固有値が実数であることを示す。固有値が実数で

あるので、先の条件は (qi − qk)⟨qk|qi⟩ = 0 となる。ここで、qk = qi の場合 ⟨qk|qi⟩ = 0 でなければなら

ず、これは異なる固有値に属する固有ベクトルが直交することを表している。

1.2.2 演算子の関数

量子力学ではしばしば演算子の関数が必要となる。たとえば、自由粒子のハミルトニアン (H = p2/2m)

は運動量演算子の関数であるし、ポテンシャル V (x)は位置演算子の関数である。

エルミート演算子 A の関数は、その固有値スペクトル ai と固有ベクトル |ai⟩ を用いて、スペクトル分解

1.2 演算子と交換関係 9

エルミート演算子の関数 f(A) ≡

∑i

f(ai)|ai⟩⟨ai| (1.38)

で定義される*12。

エルミート演算子の関数に関するこの定義を、非エルミート演算子に拡張することが可能である。例え

ば、演算子の指数関数については、エルミート演算子 Aの指数関数の定義から

exp A =∑i

exp(ai)|ai⟩⟨ai| =∑i

(1 + ai +

a2i2!

+ · · ·)|ai⟩⟨ai|

=∑i

(1 + A+

A2

2!+ · · ·

)|ai⟩⟨ai| =

(1 + A+

A2

2!+ · · ·

)∑i

|ai⟩⟨ai|

= 1 + A+A2

2!+ · · · (1.40)

となる。このような結果を用いて、エルミート演算子ではない一般の演算子 Qについても、演算子の関数

を定義することができる。例えば、指数関数はべき級数展開

exp Q = 1 + Q+Q2

2!+Q3

3!+ · · · (1.41)

によって定義される。

1.2.3 交換関係

演算子と通常の数との違いは、作用させる順序の可換性に顕著にあらわれる。任意の複素数 a, bに対して

は、常に ab = baが成り立つが、演算子の作用は可換ではない。例えば、A = x, B = d/dx として任意の

関数 f(x)に作用させると、BAf = d/dx(xf) = f(x) + xf ′(x) = f(x) + ABf となり、両者は可換ではな

い (AB = BA)。

ここで、任意の演算子 A, B から、交換子 (commutator)とよばれる演算子

交換子 [A, B] = AB − BA (1.42)

を定義する。演算子 A, B の可換性は、交換子によって [A, B] = 0 で与えられる。交換子が従う関係式を交

換関係とよぶ。

*12 より一般には、演算子はエルミートである必要はなく、正規演算子であればそのスペクトル分解が存在することが知られている (例えば、北野正雄「量子力学の基礎」(共立出版) 5章参照)。ここで、演算子 N が正規演算子であるとは、N が

NN† = N†N (1.39)

を満たすことを言う。エルミート演算子の性質 A = A† から容易に分かるように、エルミート演算子は正規演算子でもあるから、そのスペクトル分解が存在する。


演習問題 E.1.5 : 交換子について、以下の関係式が成り立つことを示せ。

[A+ B, C] = [A, C] + [B, C] (1.43)

AB = BA+ [A, B] (1.44)

[AB, C] = [A, C]B + A[B, C] (1.45)

[ABC, D] = [A, D]BC + A[B, D]C + AB[C, D] (1.46)

[[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0 (1.47)

略解標準的な量子力学の教科書のほとんどで取り扱われているので略解は割愛。

加点問題 P.1.1 : f(B) = f0 + f ′0B + 12!f

′′0 B

2 + · · · のようにテイラー展開できるとする。このとき

[A, f(B)] = f′

0[A, B] +1

2!f ′′0

([A, B]B + B[A, B]

)+

1

3!f ′′′0

([A, B]B2 + B[A, B]B + B2[A, B]

)+ · · · (1.48)

を示せ。さらに、B と [A, B]が交換するとき、

[A, f(B)] = [A, B]

(f ′0 + f ′′0 B +

1

2f ′′′0 B

2 + · · ·)

= [A, B]df

dB(1.49)

となることを示せ。

1.3 時間発展

状態ベクトルの時間発展は、時間に依存するシュレーディンガー方程式

iℏ∂

∂t|ψ⟩ = H|ψ⟩ (1.50)

によって記述される。これより、双対ベクトルの時間発展は

−iℏ ∂∂t⟨ψ| = ⟨ψ|H† = ⟨ψ|H (1.51)

で与えられる。以下では、特に断らない限りハミルトニアン H は陽に時間に依らないものとする。

1.3.1 エネルギー固有状態の時間発展

エネルギー固有状態 |n⟩の時間発展を考えよう。時間に依存するシュレーディンガー方程式は時間に依存するシュレーディンガー方程式

iℏ∂

∂t|n⟩ = H|n⟩ = En|n⟩ (1.52)

となる。この微分方程式は簡単に解けて、初期時刻 t = 0に |n(0)⟩であったエネルギー固有状態は、時刻 t

では

エネルギー固有状態の時間発展 |n(t)⟩ = e−iEn

ℏ t|n(0)⟩ (1.53) のように時間発展する。これは状態ベクトル (波動関数)の位相が単位時間あたり En/ℏだけ変わることを意味している。

1.3 時間発展 11

1.3.2 一般の状態の時間発展

エネルギー固有状態 (エネルギー表示における基底ベクトル)の時間発展がわかったので、任意の状態ベ

クトル |ψ⟩の時間発展を求めることができる。時刻 t におけるエネルギー固有状態を用いて展開すると

|ψ(t)⟩ =∑n

cn(t)|n(t)⟩ (1.54)

である。これを (1.50)式に代入すると、

iℏ∑n

(∂cn(t)

∂t|n(t)⟩+ cn(t)

∂|n(t)⟩∂t

)=∑n

cn(t)H|n(t)⟩ (1.55)

となるが、(1.52)式を用いれば、∂cn(t)

∂t= 0 (1.56)

となり、cn は時間に依らない定数であることが分かる。

cn が時間に依らない定数であるので、(1.53), (1.54)式より、

任意の状態の時間発展の展開形 |ψ(t)⟩ =

∑n

cne−iEn

ℏ t|n(0)⟩ (1.57)

が得られる。これがエネルギー表示における状態ベクトルの時間発展を表す式である。

出席課題 S.1.7 : (1.56)式を示せ。略解 (1.55)式の左辺において、(1.52)式より、

iℏ∑n

cn(t)∂n(t)⟩∂t

=∑n

cn(t)En|n(t)⟩ (1.58)

一方、(1.55)式の右辺は、 ∑n

cn(t)H|n(t)⟩ =∑n

cn(t)En|n(t)⟩ (1.59)

よって、(1.55)式は

iℏ∑n

∂cn(t)

∂t|n(t)⟩ = 0 (1.60)

となる。ここで、|n(t)⟩ は線形独立であるから、係数がゼロでなければこの方程式は満たせない。よって、

∂cn(t)

∂t= 0 (1.61)

任意課題 (1.57)式を導く際に、cn が定数である必要があることを説明せよ。

1.3.3 ユニタリ演算子と時間発展

状態ベクトル |ψ⟩に対する Schrodinger方程式

iℏ∂

∂t|ψ⟩ = H|ψ⟩ (1.62)


を考える。時間発展も、いってみれば、ある状態を別の状態へ移す操作であるから、これに対応する演算子

が存在するはずである。そこで、時間推進演算子 U(t2, t1)なるものを導入し、

t = t1 に状態ベクトル |ψ(t1)⟩を与えたとき、その後の状態 |ψ(t2)⟩が

|ψ(t2)⟩ = U(t2, t1)|ψ(t1)⟩ (1.63)

⟨ψ(t2)| = ⟨ψ(t1)|U†(t2, t1) (1.64)

のように与えられるとしよう。

時間発展で確率は保存されなければならないので、

⟨ψ(t2)|ψ(t2)⟩ = ⟨ψ(t1)|U†(t2, t1)U(t2, t1)|ψ(t1)⟩ (1.65)

より、U†(t2, t1)U(t2, t1) = 1 U†(t2, t1) = U−1(t2, t1) (1.66)

でなければならない。(1.66)式を満たす演算子 U をユニタリ (unitary)演算子とよぶ。より簡便には、

ユニタリ演算子の定義 U†U = 1 (1.67)

がユニタリ演算子の定義である。

(1.63)式を (1.62)式に代入すると、ユニタリ演算子もまた Schrodinger 方程式

iℏ∂

∂tU(t, 0) = HU(t, 0) (1.68)

を満たすことが分かる。大抵の場合がそうであるように、ハミルトニアン (エネルギー)が時間を陽に含ま

ない場合、(1.68)式は簡単に解けて、

ハミルトニアンが時間に陽に依らない場合の時間推進演算子 U(t, 0) = exp

[−i H

ℏt

]= U(t) (1.69)

となる*13。

時間推進演算子を用いても、(1.57) 式の結果を導くことができる。実際、時刻 t = 0 における任意の状

態を|ψ(0)⟩ =

∑n

cn|n(0)⟩ (1.70)

のように展開する。時間推進演算子より、その時間発展は、

|ψ(t)⟩ = U(t, 0)|ψ(0)⟩ = e−i Hℏ t|ψ(0)⟩ =

∑n

cne−i H

ℏ t|n(0)⟩

=∑n

cne−iEn

ℏ t|n(0)⟩ (1.71)

となり、(1.57)式が得られる*14。

*13 U(t, 0)はしばしば U(t)と簡略化して表記される場合も多い。本講義ノートでも後者の表記法が用いられる場合がある。*14 このように、閉じた系における系の時間発展は、ユニタリ演算子によるユニタリ変換であり、時間とともに連続的に変化していく。このような時間発展をユニタリ時間発展という。

1.3 時間発展 13

尚、ハミルトニアンが時間に依存するが、異なる時刻で可換の場合 ([H(t), H(t′)] = 0)の場合、

U(t, 0) = exp

[− iℏ

∫ t

0

H(t′)dt′]

(1.72)

である*15。

出席課題 S.1.8 : (1.68)式を示せ。演習問題 E.1.6 : ハミルトニアンのエルミート性から、確率 ⟨ψ|ψ⟩が保存することを示せ。略解 (1.50), (1.51)式より、

iℏ ddt

⟨ψ|ψ⟩ = iℏ[d⟨ψ|dt

|ψ⟩+ ⟨ψ|d|ψ⟩dt

]= −⟨ψ|H|ψ⟩+ ⟨ψ|H|ψ⟩ = 0

(1.51) 式を導く際に、ハミルトニアンがエルミートであることを用いていることに注意。

演習問題 E.1.7 : ハミルトニアンが時間に依存しない場合には、H と U は可換であることを示せ。略解ハミルトニアンが時間に依存しないとき、[H, Hn] = 0である。(1.69), (1.41)式より

[H, U ] =

[H,

∞∑n=0

1

n!

(−i t

ℏ

)n

Hn

]= 0 (1.73)

演習問題 E.1.8 : Aがエルミート演算子ならば、exp(iA)はユニタリ演算子であることを示せ。

略解 U = exp(iA) =∑

(iA)n/n! とおくと、U† =∑

(−iA†)n/n! =∑

(−iA)n/n! = exp(−iA)。ここで、

A, B が可換 AB = BA のときには積の順序を気にしなくてよいので、eAeB = eA+B が成り立つ。特に

iA と −iA は可換なので、eiAe−iA = U U† = 1。すなわち U はユニタリ。

演習問題 E.1.9: 時間に依存しないハミルトニアン

H =

(E ϵϵ E

), (ϵ > 0) (1.74)

で記述される 2準位系を考える。

1. エネルギー固有値 E± と、規格化されたエネルギー固有状態 |±⟩を求めよ。ここで、小さいエネルギー固有値 E− に属する固有状態を |−⟩ とする。

2. 時刻 t = 0に状態 |±⟩にある状態の時間発展を E± を用いてそれぞれ表せ。

3. 時刻 t = 0に状態 | ↑⟩ =

(1

0

)にあるとき、この状態を |±⟩を用いて表せ。

4. 時刻 t = 0で | ↑⟩にあった状態が、後の時刻 tで | ↓⟩ =

(0

1

)にある確率を計算せよ。

略解 1. 固有値方程式を解けばよい (1.A節数学的補遺 I参照)。∣∣∣∣ E − λ ϵϵ E − λ

∣∣∣∣ = 0 =⇒ λ = E ± ϵ (1.75)

よってエネルギー固有値は　E± = E ± ϵ (1.76)

E+ に属するエネルギー固有状態を |+⟩ =

(c1

c2

)とおくと、

(E+ − λ ϵ

ϵ E+ − λ

)(c1c2

)=

(−ϵ ϵϵ −ϵ

)(c1c2

)= 0 =⇒ c1 = c2 (1.77)

*15 より一般の場合にはダイソン (Dyson)級数であらわされるが、本講義では割愛する。


よって規格化された固有状態は

|+⟩ = 1√2

(11

)(1.78)

同様に、E− に属するエネルギー固有状態は

|−⟩ = 1√2

(1−1

)(1.79)

2. 初期にエネルギー固有状態にある場合の時間発展である。初期に |±⟩にある状態の時刻 tにおける状

態ベクトルを |±(t)⟩とおくと

|±(t)⟩ = e−(i/ℏ)Ht|±⟩ = e−(i/ℏ)E±t|±⟩ (1.80)

3. 線形結合であらわせばよい。

| ↑⟩ = 1√2

(|+⟩+ |−⟩

)(1.81)

4. エネルギー固有状態の線形結合であらわされる一般の状態の時間発展である。初期に | ↑⟩にある状態の時刻 tにおける状態ベクトルを |↑(t)⟩とおくと

|↑(t)⟩ = e−(i/ℏ)Ht| ↑⟩ =1√2e−(i/ℏ)Ht( |+⟩+ |−⟩

)=

1√2

(e−(i/ℏ)E+t|+⟩ + e−(i/ℏ)E−t|−⟩

)= e−(i/ℏ)Et

(cos(ϵt/ℏ)

−i sin(ϵt/ℏ)

)(1.82)

となる。この状態を時刻 tに観測して | ↓⟩である確率振幅 C↑→↓ は、

C↑→↓(t) = ⟨ ↓ |↑(t)⟩ = −ie−(i/ℏ)Et sin(ϵt/ℏ) (1.83)

よって確率 P↑→↓(t)はP↑→↓(t) = |C↑→↓(t)|2 = sin2(ϵt/ℏ) (1.84)

加点問題 P.1.2 : (1.72)式を示せ。

略解やや程度の高い量子力学の教科書では大抵取り扱われているので、略解は割愛。

加点問題 P.1.3 : z 軸方向の一様磁場 B = Bez 中の電子を考える。|±⟩をスピン演算子 Sz の固有

ベクトルとする：

Sz|±⟩ = ±ℏ2|±⟩. (1.85)

このとき、スピンが x軸方向 (上向き及び下向き)の状態は

|±⟩x =1√2( |+⟩ ± |−⟩ ) (1.86)

で与えられる (量子力学 A 3.3節スピンの量子状態の表現参照)。

1. 初期に x軸上向きの状態 |+x⟩にあるとして、時刻 tの後に x軸上向き (+)及び下向き (−)である確率 p±(t)をそれぞれ求めよ。

2. 時刻 tにおける Sx の期待値を求めよ略解詳しくは 14章で取り扱うが、磁気モーメント µを持つ粒子の磁場B 中でのエネルギーは

V = −µ ·B (1.87)

である。電子のスピンによる磁気モーメントは、ボーア磁子

µB =eℏ2me

(1.88)

1.3 時間発展 15

を用いて、

µ = −2µB

ℏS (1.89)

で与えられる。よってハミルトニアンはH =

e

meS ·B (1.90)

となり、問題設定のもとでは、

H = ωSz, ω ≡ |e|Bme

(1.91)

である。このハミルトニアンのもとで、時間推進演算子は、

U(t, 0) = e−iHt/ℏ = e−iHt/ℏ1 =∑a=±

e−iHt/ℏ|a⟩⟨a|

= e−iωt/2|+⟩⟨+| + eiωt/2|−⟩⟨−| (1.92)

となる。

1. 時間推進演算子を用いれば、

p±(t) =∣∣∣⟨±x|U(t, 0)|+x⟩

∣∣∣2=

∣∣∣∣12( ⟨+| ± ⟨−|)(e−iωt/2|+⟩⟨+|+ eiωt/2|−⟩⟨−|

)(|+⟩+ |−⟩

) ∣∣∣∣2=

∣∣∣∣12 (e−iωt/2 ± eiωt/2)∣∣∣∣2 (1.93)

となるので、p+(t) = cos2(ωt/2), p−(t) = sin2(ωt/2) (1.94)

である。

2. Sx の期待値は、

⟨Sx(t)⟩ = p+(t) ·(+ℏ2

)+ p−(t) ·

(−ℏ2

)=

ℏ2cos(ωt). (1.95)

1.3.4 補足：期待値の時間発展とエーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理

系が |ψ⟩の状態にあるときの物理量 Qの期待値 ⟨Q⟩ = ⟨ψ|Q|ψ⟩ の時間発展は、シュレーディンガー方程式を用いて変形すると

iℏd

dt⟨ψ|Q|ψ⟩ = −⟨ψ|HQ|ψ⟩+ iℏ⟨ψ|∂Q

∂t|ψ⟩+ ⟨ψ|QH|ψ⟩ = −⟨ψ|[H, Q]|ψ⟩+ ⟨ψ|∂Q

∂t|ψ⟩ (1.96)

となる。ここで、物理量 Qが陽に時間に依らない場合*16は期待値の時間発展は

d

dt⟨ψ|Q|ψ⟩ = i

ℏ⟨ψ|[H, Q]|ψ⟩ (1.97)

で与えられる。これをエーレンフェスト (Eherenfest)の定理と呼ぶ。

エーレンフェストの定理により、物理量 Qがハミルトニアン H と交換する場合には、その期待値が保存

することが分かる。例えば、自由粒子の場合 H = p2/2m であるから、[p, H] = 0より運動量 pの期待値が

保存する。特に、[H, H] = 0であるから、ハミルトニアンが時間に陽に依存しない場合には、エネルギーの

期待値が任意の状態に対して保存する。

*16 普通の物理量は時間に陽には依存しない。時間に陽に依存する物理量が表れる場合の例としては、時間とともに紐が短くなっていく振り子の運動など、外的要因が絡んでいることが多い。


定常状態

系がエネルギー固有状態にある場合 (|ψ⟩ = |n⟩)は特別であり、時間に陽に依存しない任意の物理量の期待値が ([Q, H] = 0であっても)保存する。実際、

iℏd

dt⟨n|Q|n⟩ = ⟨n|(QH − HQ)|n⟩ = (En − En)⟨n|Q|n⟩ = 0 (1.98)

となる。

これより、エネルギー固有状態は、(時間に陽に依存しない)物理量の期待値が時間変化しないという意味

において「定常 (stationary)」であると言われる。すなわち、エネルギー固有状態は定常状態である。

以上の議論は、物理量の期待値に関するものであり、物理量そのものについてではないことを最後に注意

しておく。

1.4 補足：行列表示と行列要素

1.4.1 行列表示

自由度 N の状態ベクトル |ψ⟩の展開*17。

|ψ⟩ =N∑

n=1

ψn|en⟩ (1.99)

を考える。ここで、|ei⟩は基底ベクトルであり、一次独立なベクトルの組であれば何でもよい。エネルギー固有状態を基底に取った場合には、|en⟩ = |n⟩ である*18。ここで、N 個の (抽象的な) 基底ベクトル |en⟩を、(具体的な)縦ベクトルと対応付けることを考えよう：

|e1⟩ =

10··0

, |e2⟩ =

01··0

, · · · , |eN ⟩ =

00··1

(1.100)

離散スペクトルの場合には、このような対応付けは常に可能である。ここではさらに状態ベクトルの次元が

有限であるとしている。このとき、任意の (抽象的な)状態ベクトル |ψ⟩も

|ψ⟩ =N∑

n=1

ψn|en⟩ =

ψ1

ψ2

··ψN

(1.101)

のように縦ベクトルで表されることになる。

基底ベクトル |en⟩を (1.100)式のように縦ベクトルと対応付けるとき、直交関係 ⟨em|en⟩ = δmn を満た

す双対基底ベクトル ⟨em|は、横ベクトル

⟨e1| = (1, 0, · · · , 0), ⟨e2| = (0, 1, · · · , 0), · · · , ⟨eN | = (0, 0, · · · , 1) (1.102)

*17 以下の議論は、無限次元の場合にも拡張可能である。*18 この章の記法では ψn = cn

1.4 補足：行列表示と行列要素 17

と対応付けられる。実際、行列の演算を用いれば ⟨em|en⟩ = δmn が成り立っていることはすぐに確かめら

れる。このとき、任意のブラベクトル ⟨ϕ |も

⟨ϕ| =

N∑m=1

⟨em|ϕ∗m = (ϕ∗m, ϕ∗m, · · · , ϕ∗N ) (1.103)

のように横ベクトルで表される。このように、基底ベクトルを縦ベクトル、双対基底ベクトルを横ベクトル

と対応付ける手法を行列表示と呼ぶ。

1.4.2 行列表示では行列の演算が適用可能

行列表示では、種々の (抽象的な)演算を (具体的な)行列の演算によって計算することができる。例えば、

内積操作

⟨ϕ|ψ⟩ =

[N∑

m=1

⟨em|ϕ∗m

][N∑

n=1

ψn|en⟩

]=

N∑m=1

N∑n=1

ϕ∗mψn⟨em|en⟩ =N∑

n=1

ϕ∗nψn (1.104)

は、行列の演算

⟨ϕ|ψ⟩ = (ϕ∗1, ϕ∗2, · · · , ϕ∗N )

ψ1

ψ2

··ψN

= ϕ∗1ψ1 + ϕ∗2ψ2 + · · ·+ ϕ∗NψN =N∑i=1

ϕ∗iψi (1.105)

で計算したものと一致する。

完全性条件∑N

n=1 |en⟩⟨en| = 1も、行列の演算より

|e1⟩⟨e1| =

10··0

(1, 0, · · · , 0) =

1 0 · · · 00 0 · · · 0··0 0 · · · 0

,

|e2⟩⟨e2| =

0 0 · · · 00 1 · · · 0··0 0 · · · 0

, · · · , |eN ⟩⟨eN | =

0 0 · · · 00 0 · · · 0··0 0 · · · 1

(1.106)

となることを考慮すると、基底の数 N が系の次元と一致していれば成り立つことが分かる：

N∑n

|en⟩⟨en| =

1 0 · · · 00 1 · · · 0··0 0 · · · 1

= I (単位行列). (1.107)

より一般に、|ψ⟩⟨ϕ|は

|ψ⟩⟨ϕ| =

[N∑

n=1

ψn|en⟩

][N∑

m=1

⟨em|ϕ∗m

]=

N∑n=1

N∑m=1

ψnϕ∗m|en⟩⟨em| (1.108)


であるが、行列の演算より

|e1⟩⟨e2| =

10··0

(0, 1, · · · , 0) =

0 1 · · · 00 0 · · · 0··0 0 · · · 0

, |e2⟩⟨e1| =

0 0 · · · 01 0 · · · 0··0 0 · · · 0

, · · · ,

(1.109)

であることを考慮すると、行列の演算

|ψ⟩⟨ϕ| =

ψ1

ψ2

··ψN

(ϕ∗1, ϕ∗2, · · · , ϕ∗N ) =

ψ1ϕ

∗1 ψ1ϕ

∗2 ψ1ϕ

∗3 · · · ψ1ϕ

∗N

ψ2ϕ∗1 ψ2ϕ

∗2 ψ2ϕ

∗3 · · · ψ2ϕ

∗N

· · · · · · ·· · · · · · ·

ψNϕ∗1 ψNϕ

∗2 ψNϕ

∗3 · · · ψNϕ

∗N

(1.110)

と一致していることが分かる。行列のmn-成分が ψnϕ∗m である。

1.4.3 行列要素

行列表示では、量子力学における物理量 Aも次のように行列で表される。具体的に示すために、エネル

ギー固有状態を基底ベクトルに選んで考えよう ( |en⟩ = |n⟩ )。このとき、ハミルトニアン H は

H = 1H 1 =

[N∑

m=1

|m⟩⟨m|

]H

[N∑

n=1

|n⟩⟨n|

]=

N∑m=1

N∑n=1

|m⟩⟨m|H|n⟩⟨n|

=N∑

m=1

N∑n=1

|m⟩En⟨m|n⟩⟨n| =N∑

m=1

N∑n=1

|m⟩Enδmn⟨n|

=N∑

n=1

En|n⟩⟨n| (1.111)

であるが、これを行列表示すれば

H =

E1 0 · · · 00 E2 · · · 0··0 0 · · · En

(1.112)

のように対角行列になっている。ハミルトニアンの行列表示が対角行列になったのは、行列表示の基底にハ

ミルトニアンの固有状態を選んだからであることに注意しよう。

任意の物理量 Aに対しては、

A = 1A1 =

[N∑

m=1

|em⟩⟨em|

]A

[N∑

n=1

|en⟩⟨en|

]=

N∑m

N∑n

⟨m|A|n⟩ |m⟩⟨n| (1.113)

となるが、これを行列表示したものは、成分

Amn = ⟨em|A|en⟩ = ⟨m|A|n⟩ (1.114)

1.5 補足：不確定性原理と同時固有状態 19

をもつ行列となる。ここで Amn = ⟨em|A|en⟩を行列要素と呼ぶ。具体的に書けば

A =

A11 A12 · · · A1N

A21 A22 · · · A2N

··

AN1 AN2 · · · ANN

=

⟨1|A|1⟩ ⟨1|A|2⟩ · · · ⟨1|A|N⟩⟨2|A|1⟩ ⟨2|A|2⟩ · · · ⟨2|A|N⟩··

⟨N |A|1⟩ ⟨N |A|2⟩ · · · ⟨N |A|N⟩

. (1.115)

この行列は一般に対角行列ではない。しかし、基底ベクトルとして、ハミルトニアンの固有状態ではなく、

物理量 Aの固有状態 |an⟩を選べば

Amn = ⟨em|A|en⟩ = ⟨am|A|an⟩ = an⟨am|an⟩ = anδmn (1.116)

となるので、対角行列となる。この場合には、ハミルトニアンの行列表示は一般に対角行列ではなくな

る*19。

ここで、物理量がエルミート演算子 A であることに対応して、その行列表示はエルミート行列 Amn と

なっていることを示すことができる。行列の積が一般に可換でないことからも、量子力学における物理量の

非可換性が理解できるだろう。

より一般に、行列表示では抽象的な演算を次のように行列の演算で置き換えることができる：

A|ψ⟩ = 1A1|ψ⟩ =N∑m

N∑n

|m⟩⟨m|A|n⟩⟨n|ψ⟩ =N∑m

N∑n

Amnψn|m⟩

=

A11 A12 · · · A1N

A21 A22 · · · A2N

··


ψ1

ψ2

··ψN

, (1.117)

⟨ϕ|A|ψ⟩ =N∑m

N∑n

ϕ∗m⟨m|A|n⟩ψn

= (ϕ∗1, ϕ∗2, · · · , ϕ∗N )

A11 A12 · · · A1N

A21 A22 · · · A2N

··


ψ1

ψ2

··ψN

. (1.118)

1.5 補足：不確定性原理と同時固有状態

既に述べたように、まったく同じ状態を用意して測定を行っても、多数回の測定の結果には一般にばらつ

きがあり、量子力学で予言できるのは測定結果の確率分布だけである。確率分布から計算される期待値に

は、量子力学の本質に奇妙な点は含まれていない。実際、エーレンフェストの定理から示唆されるように、

期待値は古典力学の運動方程式に対応する式にしたがって時間発展する。これに対し、量子力学に特徴的な

性質は観測値のばらつき (物理量のゆらぎ)に含まれている。本節では、より一般的な考察を行い、このば

らつきの中に量子力学の本質が潜んでいることをみる。

*19 任意課題：ハミルトニアンの行列表示も対角行列になるのはどのような場合か、考えてみよ。


1.5.1 不確定性原理

物理量 Aの期待値からのずれをあらわす演算子 δAを

δA = A− ⟨A⟩ (1.119)

によって定義し、Aの測定結果のばらつきの指標として、Aの測定値の標準偏差

∆A ≡√⟨(δA)2⟩ =

√⟨A2⟩ − ⟨A⟩2 (1.120)

を用いる。ここで、∆Aは実数値をとることが示せる。

物理量 Aの固有値 an に属する固有状態 |χn⟩ に系の状態がある (|ψ⟩ = |χn⟩)とする。このとき

A|ψ⟩ = an|ψ⟩, ⟨ψ|A† = ⟨ψ|an (1.121)

であり、物理量 Aはエルミート演算子であるから、

⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ = an (1.122)

⟨A2⟩ = ⟨ψ|A†A|ψ⟩ = a2n (1.123)

である。明らかにこの場合の測定結果のばらつきは 0である。

すなわち、物理量 Aの固有値 an に属する固有状態に系がある場合、Aの測定結果は an に定まり、測定

値にばらつき (不確定さ)は生じない。

演算子の交換子はまた演算子である。いま、演算子 A, B の交換子が

[A, B] = iC (1.124)

の形で与えられるとき、物理量 A,B の測定における不確定さについて考える。まず、演算子の期待値はも

はや演算子ではなくただの数であることに注意すれば、

[δA, δB] = iC (1.125)

であることが n容易に示せる。

ここで、天下り的ではあるが、任意の実数 pをパラメータとする新しい演算子

O ≡ δA+ ipδB (1.126)

を導入し、O†Oの期待値を、任意の系の状態 |ψ⟩に対して求めると、

⟨O†O⟩ = (∆B)2p2 − ⟨C⟩p+ (∆A)2 (1.127)

となる。一方、⟨O†O⟩ = ⟨ψ|O†O|ψ⟩ = |O|ψ⟩|2 ≥ 0 (1.128)

より O†O の期待値は非負であるから、任意の pに対して不等式

(∆B)2p2 − ⟨C⟩p+ (∆A)2 ≥ 0 (1.129)

が成り立つための判別条件から

∆A∆B ≥ ⟨C⟩2

(1.130)

1.6 発展：時間発展の種類と記述 21

が得られる。

これは、2 つの演算子が可換でない場合には、それら演算子に対応する物理量を、同時に、不確定さな

しに測定することはできないことを意味している。物理量の測定に関して、(1.130)式であらわされるよう

な不確定性が量子力学に内在してることを不確定性原理という。注意するべきは、A, B が可換 (⟨C⟩ = 0)

の場合でも、「常に」2つの物理量を不確定さなしに測定できるということではない。実際、この場合には

(1.130)式は∆A∆B ≥ 0であり、∆A∆B = 0を保証するものではない。

1.5.2 同時固有状態

2つのエルミート演算子 A, B が可換な場合には、A, B の両方に共通な同時固有状態が存在する。

[証明] 行列表示を用いて証明する。示すべきことは、Aと B を同時対角化するような固有状態ベク

トルが存在することである。Aの固有値スペクトルを anとして、その固有ベクトルを |an⟩とする。このとき、

A|an⟩ = an|an⟩ (1.131)

であり、Amn = ⟨am|A|an⟩ は対角化されている。⟨am|B を作用させると、

⟨am|BA|an⟩ = an⟨am|B|an⟩ (1.132)

であるが、可換条件 [A, B] = 0より、

⟨am|BA|an⟩ = ⟨am|AB|an⟩ = a∗m⟨am|B|an⟩= am⟨am|B|an⟩ (1.133)

でもある。2式を辺々引けば、(an − am)⟨am|B|an⟩ = 0 (1.134)

を得る。これより、m = nのとき Bmn = ⟨am|B|an⟩ = 0であり、Bmn は対角化される。すなわち、

同時固有状態が存在する。

逆に、A, B の一時独立なすべての固有状態ベクトルが、その同時固有ベクトルとなるように選べるなら

ば、A, B は可換である。

本節の初めに示したように、固有状態では測定値の不確定さは 0であるから、基底に A, B の同時固有状

態を選べば、それぞれの物理量を不確定さなし (∆A = 0, ∆B = 0)に測定することができる。

1.6 発展：時間発展の種類と記述

量子力学での時間発展は、以下の 2種類に分けて定式化されている。

1. 閉じた系の時間発展 (1.6.1, 1.6.2, 1.6.3 節参照)：考察の対象である系が、他の系 (測定による相互

作用も含む)から影響を受けずに時間発展する場合である。この場合には系は Schrodinger 方程式に

従って時間発展する。Schrodinger方程式は時間に対して 1階の微分方程式であるから、ある時刻 t0

での系の状態が与えられたならば、その後の任意の時刻 t ≥ t0 の系の状態も一意的に決まる。すな

わち、閉じた系における時間発展は決定論的である。

2. 測定による時間発展 (1.6.4節参照)：考察の対象である系が測定による相互作用 (他の系からの影響)

を受けた場合の時間発展である。測定とは、測定装置という考察の対象の外部の系からの相互作用に


よって、必要な物理量の情報を取り出す操作に他ならない。この場合の時間発展は、閉じた系におけ

る決定論的なものと本質的に異なり、決定論的ではなくなる。

閉じた系の量子力学で予言可能であるのは、ある物理量の測定値の確率分布である。逆に言えば、形式上

違って見えても、まったく同じ確率分布を与える定式化は同等とみなさなければならない。例えば、位置表

示、運動量表示、行列表示のいずれにおいても同値な確率分布が得られるので、これらの定式化はすべて同

等である。

同様に、閉じた系の量子力学における時間発展とは、確率分布が時間とともに変化することを指してい

う。したがって、形式上異なって見える時間発展の定式化でも、同じ確率分布を予言する定式化は同等であ

る。この同等性を利用して、問題に応じて幾つかの時間発展手法 (描像)が用いられる。

1.6.1 Schrodinger 描像

状態をあらわすケットベクトル (波動関数) が時間発展することで、系の時間的推移を記述する流儀が、

Schrodinger描像である。これは 1.3.3節で取り扱ったものである。

1.6.2 ハイゼンベルグ (Heisenberg)描像

ハイゼンベルグ描像では、状態をあらわすベクトル (波動関数)は時間的に変化せず、物理量をあらわす演

算子が時間発展する。前節の Schrodinger描像における演算子と状態ベクトルを AS, |ψS(t)⟩ と記述し、ハイゼンベルグ描像におけるものを AH(t), |ψH⟩と書くことにする。物理量 Aの期待値について

⟨ψS(t)|AS|ψS(t)⟩ = ⟨ψS(0)|U†(t, 0)ASU(t, 0)|ψS(0)⟩

= ⟨ψS(0)|[U†(t, 0)ASU(t, 0)

]|ψS(0)⟩ (1.135)

と捉え直すと、これは状態が時間発展するのではなく、物理量をあらわす演算子 Aが U†(t, 0)AU(t, 0)の

ように時間発展するのであると考えることもできる。このように、状態は時間変化せず、物理量に対応する

演算子が時間依存するとして系の時間発展を記述する流儀がハイゼンベルグ描像である。

ここで、ハイゼンベルグ描像での演算子を

AH(t) ≡ U†(t, 0)ASU(t, 0) (1.136)

定義しよう。ハイゼンベルグ描像での状態は、

|ψH⟩ ≡ U†(t, 0)|ψS(t)⟩ = U†(t, 0)U(t, 0)|ψS(0)⟩ = |ψS(0)⟩ (1.137)

と定義され時間変化しない。ハイゼンベルグ描像における物理量 Aの期待値と Schrodinger描像における

期待値はそれぞれ

⟨AS⟩ = ⟨ψS(t)|AS |ψS(t)⟩ (1.138)

⟨AH⟩ = ⟨ψH |AH(t)|ψH⟩ (1.139)

と与えられるが、両者は一致する。

Schrodinger描像における演算子 AS が時間に依存しない場合、ハイゼンベルグ描像における演算子 AH

1.6 発展：時間発展の種類と記述 23

のしたがう発展方程式は、

d

dtAH(t) =

d

dt

[U†(t, 0)ASU(t, 0)

]= U†(t, 0)AS

∂U(t, 0)

∂t+∂U†(t, 0)

∂tASU(t, 0)

=1

iℏ

[U†(t, 0)ASHSU(t, 0)− U†(t, 0)HSASU(t, 0)

]=

1

iℏ

[AH(t), HH

](1.140)

となる。これをハイゼンベルグの運動方程式と呼ぶ。初期条件は、t = 0において AH(0) = AS である。ま

た、ハミルトニアンが時間に依存しない場合には、HS と U は可換なので、

HH = U†(t, 0)HSU(t, 0) = HS (1.141)

である。

また、AS が時間依存する場合には、

d

dtAH(t) =

1

iℏ

[AH(t), HH

]+∂AS

∂t

∣∣∣∣∣H

(1.142)

となる。ここで、∂AS

∂t

∣∣∣∣∣H

= U†(t, 0)∂AS

∂tU(t, 0) (1.143)

である。

ハイゼンベルグ描像は保存則を記述するのに便利である。したがって、シュレーディンガー描像において

H が時間を陽に含まない場合には、[HS, U ] = 0であるから、

d

dtAH(t) =

1

iℏU†(t, 0)[AS, HS]U(t, 0) (1.144)

である。したがって、(シュレーディンガー描像において)物理量 Aがハミルトニアンと可換であるならば、

物理量の期待値も時間によらず一定になる。すなわち、物理量 Aは保存される。

加点問題 P.1.4 :

1. (1.138), (1.139)式が同じ期待値を与えることを示せ。

2. ハミルトニアンが時間に依存しない場合には、HS と U は可換であることを示せ。

3. (1.142), (1.144)式を示せ。

1.6.3 相互作用描像 (朝永 (Tomonaga)-Schwinger描像)

既にすべてのエネルギー固有状態が分かっている (無摂動)ハミルトニアン H0 に摂動的に相互作用ハミ

ルトニアン H int が加わったような問題の場合には、Schrodinger描像とハイゼンベルグ描像の中間的な描

像である、相互作用描像を用いると便利であることが知られている。

全ハミルトニアンをH = H0 + H int (1.145)

において、無摂動ハミルトニアン H0 は時間によらないとする。Schrodinger 描像では、

iℏ∂

∂t|ψS(t)⟩ =

[H0

S + H intS

]|ψS(t)⟩ (1.146)


である。

ここで、無摂動ハミルトニアンに関する時間推進演算子

U0(t, 0) = exp

[−i H

0St

ℏ

](1.147)

を用いて、相互作用描像における状態ベクトル |ψI⟩を

|ψI(t)⟩ = U†0 (t, 0)|ψS(t)⟩ (1.148)

で定義する。|ψI(t)⟩の時間発展は、

iℏ∂

∂t|ψI(t)⟩ = iℏ

[∂U†

0 (t, 0)

∂t|ψS(t)⟩+ U†

0 (t, 0)∂

∂t|ψS(t)⟩

]

= iℏ[− 1

iℏH0

SU†0 (t, 0)|ψS(t)⟩+

1

iℏU†0 (t, 0)(H

0S + H int

S )|ψS(t)⟩]

= −H0S |ψI(t)⟩+ U†

0 (t, 0)(H0S + H int

S )U0(t, 0)|ψI(t)⟩= U†

0 (t, 0)HintS U0(t, 0)|ψI(t)⟩ (1.149)

となる。

さらに、相互作用描像における物理量の演算子 AI(t)を

AI(t) = U†0 (t, 0)ASU0(t, 0) (1.150)

と定義すると、(1.149)式は、

iℏ∂

∂t|ψI(t)⟩ = H int

I |ψI(t)⟩ (1.151)

となる。すなわち、相互作用描像では状態ベクトルは相互作用ハミルトニアン従って時間発展する。

相互作用描像における演算子 (1.150)の時間発展は、

∂

∂tAI(t) =

1

iℏ[AI(t), H

0I ] =

1

iℏ[AI(t), H

0S ] (1.152)

で与えられる。すなわち、相互作用描像における演算子は無摂動ハミルトニアンに従って時間発展する。相

互作用描像の重要な応用として摂動法と散乱問題がある。

加点問題 P.1.5 :

1. (1.152)式を示せ。

2. 相互作用描像における物理量の期待値が、Schrodinger描像のものと同じであることを示せ。

1.6.4 測定による非ユニタリ (Unitary)発展

ある測定の直前に Ψ(x, t−)という波動関数で記述されている状態にあった系に対して、時刻 tに物理量

Aの測定を行うとする。測定値が Aの (離散)固有値のうちの an であったとすると、測定直後の波動関数

は、固有値 an に属する固有関数 χn になる：

Ψ(x, t+) = χn(x) (1.153)

測定によって系がこのような時間発展をするという考え方を射影仮説という。このような測定の直後に再び

Aの測定を行うと、必ず測定値 an がえられる。

1.A 数学的補遺 I 25

このように、測定によって、系の状態は測定された値 an に属する固有状態 χn に瞬時に変化する。これ

を波動関数 (状態/波束)の収縮と呼ぶ。波束の収縮は、測定された値が決まって初めて分かるので決定論的

ではない非ユニタリー時間発展である。

1.A 数学的補遺 I

例えばスピン角運動量演算子 (スピン演算子)の場合など、状態ベクトル空間上の演算子を行列で表すこ

とができる。このとき、状態ベクトル (ケットベクトル) |ψ⟩ は縦ベクトルに、その双対ベクトル (ブラベク

トル) ⟨ψ| は横ベクトルに対応する。(1.4節の議論参照)。このとき、スピン演算子の固有値と固有ベクトル

を求める問題は、スピン演算子行列の固有値と固有ベクトルを求める問題に帰着する。したがって、量子力

学において、行列の固有値と固有ベクトルを求めることは基本的で重要である。

1.A.1 行列の固有値と固有ベクトル

行列

A =

(0 11 0

)(1.154)

の固有値 |n⟩と固有ベクトル λを求めよう。

固有値と固有ベクトルの定義より、

A|n⟩ = λ|n⟩ ⇐⇒ (A− λ1)|n⟩ = 0 (1.155)

であるが、ここで |n⟩が 0とならないためには、A−λ1 に逆行列が存在してはならない。すなわち、A−λ1の行列式は 0でなければならない。よって、

det(A− λ1) = det

(−λ 11 −λ

)= λ2 − 1 = 0 (1.156)

これより固有値がλ± = ±1 (1.157)

と求まる。

固有値 λ+ = 1に属する固有ベクトルを |+⟩ =

(x

y

)とおくと、(1.155)式より、

(A− λ+1)|+⟩ =(−1 11 −1

)(xy

)=

(−x+ yx− y

)=

(00

)(1.158)

これより、x = y となる。固有ベクトル |+⟩を規格化すれば、

⟨+|+⟩ = |x|2 + |y|2 = 2|x|2 = 1 (1.159)

より、x = 1/√2。よって規格化された固有ベクトルは

|+⟩ = 1√2

(11

)(1.160)

となる。

同様に計算すると、λ− = −1に属する規格化された固有ベクトルは、

|−⟩ = 1√2

(1−1

)(1.161)

と求まる。


1.A.2 行列のエルミート共役

行列のエルミート共役は、転置行列の複素共役をとったものになる。すなわち

A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · anm

−→ A† = (AT )∗ =

a∗11 a∗21 · · · a∗n1a∗12 a∗22 · · · a∗n2· · · · · · · · · · · ·a∗1m a∗2m · · · a∗nm

(1.162)

である。

行列 (1.154)に適用すると、A = A† となるので、これはエルミート行列であることが分かる。このとき、

Aの固有値はすべて実数であり、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交している。

⟨±|∓⟩ = 0 (1.163)

1.A.3 行列の対角化

行列の対角化の意味について、スピン s = 1/2演算子に対応するパウリ行列 (Pauli matrix)の場合を例

にとって考えよう。

スピン角運動量の大きさ (スピンの大きさ)S2 と、z 方向のスピン Sz の同時固有状態 (1.5.2節参照)を基

底にとった場合、スピン s = 1/2演算子は

Si =ℏ2σi, (i = x, y, z) (1.164)

のように行列表示できる。ここで、σi はパウリ行列

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)(1.165)

である。スピン演算子行列の対角化とパウリ行列の対角化は定数因子 ℏ/2しか違わないので、以下ではパウリ行列の対角化について考える。

準備：σz について

まず、スピン z 方向のパウリ行列 σz は既に対角化されていることに注意しよう。これは、選んだ基底が、

スピンの大きさ S2 と、z 方向のスピン Sz の同時固有状態であったためである。スピン s = 1/2の固有値

が s = ±ℏ/2であるから、パウリ行列 σz の固有値は ±1である。したがって、スピン z 方向のパウリ行列

σz の対角成分には固有値があらわれていることに注意しよう。

固有値 ±1に対応する固有状態を |±⟩とすると、

σz|±⟩ =(

1 00 −1

)|±⟩ = ±|±⟩ (1.166)

より、1.A.1節で説明した方法で固有ベクトルを求めれば、

|+⟩ =(

10

), |−⟩ =

(01

)(1.167)

となる。すなわち、|±⟩は基底ベクトルとなっており、これはスピンの大きさ S2 と、z 方向のスピン Sz の

同時固有状態を基底に選んだことと整合的である。

1.A 数学的補遺 I 27

σx の対角化と基底の変換

さて、x方向のスピン σx の対角化について考えよう。いま、仮に σx が対角化できたとして、この行列を

σx とあらわそう。このとき、σx はその固有値 ±1を対角成分に持つのだから、

σx =

(1 00 −1

)(1.168)

となるはずである。ここで演算子を表す記号を ∼に変えたのは、対角変換後の行列であることを示すためである。

σz が対角化されていた理由について思い出せば、σx が対角化されているということは、σx の固有ベクト

ルを基底に選んだことに対応しているはずである。すなわち、σx を対角化する操作は σx の固有ベクトルを

基底ベクトルに選ぶという基底の変換に対応しているのである。

1.A.1 節で求めたように、σz の固有ベクトル |±⟩ を基底ベクトルに選んだ場合には、σx の固有ベクトルは

|+x⟩ =1√2

(11

), |−x⟩ =

1√2

(1−1

)(1.169)

と成分表示 (行列表示)される。ここで、σx の固有ベクトルであることを示すために添字 xをつけた。基底

ベクトルを選び直して、これら σx の固有ベクトルを基底ベクトルとすること、すなわち、|±x⟩の成分が

|+x⟩ =(

10

), |−x⟩ =

(01

)(1.170)

となるようにすることを考える。ここで ∼をつけたのは、変換後の状態ベクトルであることを示すためである。

やや天下りではあるが、もとの固有ベクトルの成分を並べた行列

P =1√2

(1 11 −1

)(1.171)

を考える。このとき、成分表示に対してP |±x⟩ = |±x⟩ (1.172)

が成り立っていることが分かる。これより、基底の変換行列は

P−1 =1√2

(1 11 −1

)(1.173)

であることが分かる。すなわち、|±x⟩ = P−1|±x⟩ (1.174)

一方、双対ベクトルの基底 ⟨±x|については、

⟨±x| = ⟨±x|P †, ⟨±x| = ⟨±x|(P †)−1 (1.175)

である。

量子力学にあらわれる基底の変換行列の場合、基底の変換によって確率が保存されなければならないの

で、変換行列はユニタリ行列になる。すなわち、

P−1 = P † (1.176)

であり、このとき、確かに確率は保存する。

⟨±x|±x⟩ = ⟨±x|P †P |±x⟩ = ⟨±x|±x⟩ (1.177)


σx を対角化する

以上で準備が整った。固有値はスピン演算子そのものの特性であり、その行列表示の仕方には依らない、

すなわちどのような基底で行列表示しても変わらないという事実から、

⟨±x|σx|±x⟩ = ⟨±x|σx|±x⟩ (1.178)

でなければならない。左辺は、⟨±x|σx|±x⟩ = ⟨±x|P †σxP |±x⟩ (1.179)

であるから、結局、変換前と変換後のスピン演算子の関係として、

σx = P †σxP (1.180)

であればよい。

このとき、

σx = P †σxP =1√2

(1 11 −1

)(0 11 0

)1√2

(1 11 −1

)=

(1 00 −1

)(1.181)

であり、たしかに σx は対角化されている。

尚、σx を対角化する基底、つまり、スピンの大きさ S2 と、x方向のスピン Sx の同時固有状態を基底に

選んだ場合、Sy と Sz も (1.180)式と同じ変換を受ける。すなわち、パウリ行列を用いて、

Sy =ℏ2

(P †σyP

), Sz =

ℏ2

(P †σzP

)(1.182)

となるが、この場合、Sz はもはや対角行列ではない。

演習問題 E.1.10 : y 方向のパウリ行列

σy =

(0 −ii 0

)(1.183)

に対し、

1. 固有値と固有ベクトルを求めよ。

2. エルミート行列であることを示し、異なる固有値に属する固有ベクトルが直交していること

を示せ。

3. σy を対角化せよ。

略解 1., 3., は線形代数の基本的問題であるので略解は割愛。2. については (1.162) 式を当てはめれば良い。

演習問題 E.1.11 : 行列

Jx =1√2

0 1 01 0 10 1 0

(1.184)

に対し、

1. 固有値と固有ベクトルを求めよ。

2. エルミート行列であることを示し、異なる固有値に属する固有ベクトルが直交していること

を示せ。

3. Jx を対角化せよ。

略解 1., 3., は線形代数の標準的問題であるので略解は割愛。2. については (1.162) 式を当てはめれば良い。

29

第 2章

量子力学の基礎事項 II

2.1 連続スペクトル: 位置表示を例として

2.1.1 振幅の完全集合

完全性条件と同等の概念として、「振幅の完全集合 (complite set of amplitudes)」というものを導入しよ

う。これは、状態ベクトルを|ψ⟩ =

∑i

ci|qi⟩ (2.1)

と展開したとき、測定 (|ψ⟩と別の状態との内積)によって得られるのは ci あるいはその組み合わせである

から、1次独立な完全系 |qi⟩を用意する代わりに、可能なすべての ci を尽くすことで、|ψ⟩が基底ベクトルで展開できることを保証しようというものである。この考え方は、例えば位置演算子のようにとりうる固

有値が自明である場合に特に有用である。

2.1.2 位置表示

最も重要な適用例が位置表示である。1次元系にある粒子を考える。測定によって粒子を位置 xに見出す

確率振幅を ψ(x) とする。−∞ < x < ∞について考えれば、ψ(x) は振幅の完全集合となるはずであるから、|ψ⟩を

|ψ⟩ =∫ ∞

−∞dxψ(x)|x⟩ (2.2)

のように展開することができる。ここで、位置 xは連続スペクトルを持つから、(1.2)式における和は積分

に変える必要があることに注意しよう*1。

ψ(x)が振幅の完全集合であれば、|x⟩は完全性条件*2

1 =

∫dx|x⟩⟨x| (2.4)

を満たす。両辺を |ψ⟩に作用させると、

|ψ⟩ =∫dx|x⟩⟨x|ψ⟩ (2.5)

*1 本節では簡単のために空間 1次元の場合を考える。空間 3次元の場合への拡張は、積分を∫dx −→

∫d3x (2.3)

とすることで得られる。フーリエ変換の際の積分も同様の変更が必要である。*2 以下、混乱のおそれのない限り、積分区間を省略する。

30 第 2章量子力学の基礎事項 II

となる。これと (2.2)式を比べると、ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ (2.6)

であることが分かる。確率解釈より、右辺は粒子を位置 xに見出す確率 (密度)振幅であるが、これは波動

関数の定義そのものである。

(2.2)式に ⟨x′|を作用させると、

ψ(x′) = ⟨x′|ψ⟩ =∫dxψ(x)⟨x′|x⟩ (2.7)

となる。この方程式が成立するためには、

⟨x′|x⟩ = δ(x− x′) (2.8)

である必要がある。ここで δ(x)はディラック (Dirac)のデルタ関数 (Delta function)である。実際、デル

タ関数の定義により、 ∫dxψ(x)⟨x′|x⟩ =

∫dxψ(x)δ(x− x′) = ψ(x′) (2.9)

となる。xはエルミート演算子であり*3、異なる固有値に属する固有ベクトルは直交しているはずである。

(2.8) 式はその直交条件に対応するものになっている。

位置演算子 x のスペクトル分解は、

x =

∫dxx|x⟩⟨x| (2.10)

で与えられる (位置演算子の定義)。これを基底ベクトル |y⟩ に作用させると

x|y⟩ =∫dxx|x⟩⟨x|y⟩ =

∫dxx|x⟩δ(y − x) (2.165)

=

∫dxx|x⟩δ(x− y) = y|y⟩ (2.11)

となり、|y⟩はたしかに位置演算子 xの固有状態になっている。

出席課題 S.2.1 : 1次元の場合に ⟨ϕ|ψ⟩ を波動関数を用いて書き下せ。略解

⟨ϕ|ψ⟩ =[∫

dyϕ∗(y)⟨y|] [∫

dxψ(x)|x⟩]=

∫dxdyϕ∗(y)ψ(x)⟨y|x⟩ =

∫dxdyϕ∗(y)ψ(x)δ(x− y)

=

∫dyϕ∗(y)ψ(y) =

∫dxϕ∗(x)ψ(x) (2.12)

出席課題 S.2.2 : (2.8)式を満たす状態 |x⟩ が位置演算子 xの固有状態となっていることを示せ。

略解用いる記号は異なるが、講義ノートにあるとおり。

2.1.3 位置表示における演算子

任意の演算子 Aが、その行列表示 (1.4節参照)において行列要素 ⟨m|A|n⟩に対応していたのと同様に、位置表示における演算子について調べるためには

A = 1A1 =

[∫dz |z⟩⟨z|

]A

[∫dy |y⟩⟨y|

]=

∫dz

∫dy ⟨z|A|y⟩|z⟩⟨y| (2.13)

*3 より正確には「状態ベクトルに対する適切な境界条件のもとでエルミート演算子」である。

2.2 正凖量子化 31

より、演算子を位置演算子の固有状態で挟んだ ⟨z|A|y⟩ (行列要素) について調べればよい*4。

実際、Aを任意の状態 |ψ⟩に作用させると、

A|ψ⟩ =∫dz

∫dy ⟨z|A|y⟩ |z⟩⟨y|ψ⟩ =

∫dz

∫dy ⟨z|A|y⟩ψ(y) |z⟩ (2.14)

であるが、その位置表示を取れば、

⟨x|A|ψ⟩ =∫dz

∫dy ⟨z|A|y⟩ψ(y) ⟨x|z⟩ =

∫dz

∫dy ⟨z|A|y⟩ψ(y) δ(z − x)

=

∫dy ⟨x|A|y⟩ψ(y) (2.15)

となり、その作用は ⟨x|A|y⟩が司っているからである。

2.1.4 一般の表示

より一般に、連続スペクトルを持つ演算子 Aに対する固有ベクトル |a⟩：

A|a⟩ = a|a⟩ (2.16)

によって、任意の状態 |ψ⟩を

|ψ⟩ =∫da |a⟩⟨a|ψ⟩ (or

∑a

|a⟩⟨a|ψ⟩) (2.17)

と展開したときの展開係数ψa(x) ≡ ⟨a|ψ⟩ (2.18)

を A表示の波動関数と呼ぶ。上述の位置表示における議論は、一般の表示の場合に自然に拡張できる。例

えば、直交条件と完全性条件はそれぞれ

⟨a′|a⟩ = δ(a− a′) (2.19)

1 =

∫da |a⟩⟨a| (2.20)

で与えられる。

2.2 正凖量子化

2.2.1 正凖量子化の手続き

古典力学においてハミルトニアン H(q, p)が正準変数 (q, p)の組で与えられたとしよう*5。このような古

典力学の知識が与えられたとき、量子力学を以下のように構成すれば、このハミルトニアンが記述する系の

量子力学をつくることができる。

まず、正準変数 q, pを、以下の交換関係を満たすエルミート演算子に置き換える。

[q, p] = iℏ. (2.21)

*4 行列表示を用いない場合や、連続スペクトルの場合にも、演算子を (基底)状態ベクトルで挟んだものを行列要素と呼ぶことが多い。

*5 正準変数の組は位置 xと (その正準共役)運動量 pの組に限らない。原理的には、正準共役であればどのような物理量の組でもよい。


この交換関係を正凖交換関係と呼ぶ。これは正凖量子化と呼ばれ、古典力学から量子力学への橋渡しとなる

重要な手続きである。空間 3次元の場合には、正準交換関係は

[qi, pj ] = iℏδij , これ以外の交換関係はゼロ (2.22)

で与えられる。以下では簡単のために 1次元の場合について説明するが、3次元の場合への拡張は容易であ

る*6。

ハミルトニアンにおいても、変数 q, pを演算子で置き換える。

H = H(q, p) (2.23)

ただし、量子力学では、すべての物理量エルミート演算子でなければならないので、古典力学における q, p

の可換性を利用して、H がエルミート演算子になるようにする。

例えば、H = pqであった場合に、H = pqとするとエルミート演算子にならないので、H = (pq+qp)/2

と変形して、H = (pq + qp)/2とする。このような操作をエルミート化とよぶ。

以上の手続きによって、古典力学から量子力学を組み上げることを正準量子化という。念の為注意しておく

と、Schrodingerの量子化の関係式p −→ −iℏ∇ (2.24)

が量子化の操作なのではない。(2.21)式の操作 (正凖量子化)が量子化の操作である。正凖量子化の操作を

用いて、運動量演算子 pを位置表示した結果が Schrodingerの量子化の関係式なのである。それを次節で示

そう。

2.2.2 位置表示における運動量演算子

位置表示における正準量子化によって、対応原理に基づく、時間に依存しない場合の Schrodingerの量子

化の関係式 (対応原理)

x −→ x (2.25)

p −→ −iℏ∇ (2.26)

が得られる。

出席課題 S.2.3 : 1次元系における、位置演算子に関する Schrodingerの量子化の関係式

x −→ x

を示せ。略解 (2.15)式で A = xとすれば、

⟨x|x|ψ⟩ =∫dy ⟨x|x|y⟩ψ(y) =

∫dy ⟨x|y⟩ yψ(y) =

∫dy δ(y − x) yψ(y) = xψ(x) (2.27)

となるので示せる。あるいは、より簡便に

⟨x|x|ψ⟩ =(⟨x|x

)|ψ⟩ = x⟨x|ψ⟩ = xψ(x) (2.28)

と計算してもよい。

この結果より、|ψ⟩ に x が作用した状態 x|ψ⟩ の位置表示が xψ(x) であること、すなわち、波動関数の

世界 (位置表示の世界) では、位置演算子 x の作用が (ただの数) x の乗算であることが示された。

*6 例えばアインシュタインの和の規約を用いれば、ほとんど自明に拡張できる。

2.2 正凖量子化 33

加点問題 P.2.1 : 1次元系における、運動量演算子に関する Schrodingerの量子化の関係式

p −→ −iℏ ∂

∂x

を示せ。略解位置演算子の規格直交化された固有ベクトル

x|x⟩ = x|x⟩, ⟨x|x′⟩ = δ(x− x′) (2.29)

を用いて、[x, p] = iℏ の両辺を ⟨x|と |x′⟩で挟む。左辺は、

⟨x|[x, p]|x′⟩ = ⟨x|xp|x′⟩ − ⟨x|px|x′⟩ = x⟨x|p|x′⟩ − x′⟨x|p|x′⟩ = (x− x′)⟨x|p|x′⟩ (2.30)

である。一方、右辺は ⟨x|x′⟩ = δ(x− x′) であるから、

(x− x′)⟨x|p|x′⟩ = iℏ⟨x|x′⟩ = iℏδ(x− x′) (2.31)

となる。

ここで、任意の関数 f(x)に対して、∫ ∞

−∞xf(x)

dδ(x)

dxdx = lim

L→∞

∫ L

−L

xf(x)dδ(x)

dxdx

= limL→∞

[xf(x)δ(x)|L−L −

∫ L

−L

(f(x) + xf ′(x)

)δ(x)dx

]= − lim

L→∞

∫ L

−L

f(x)δ(x)dx = −∫ ∞

−∞f(x)δ(x)dx (2.32)

であるから、恒等式

xd

dxδ(x) = −δ(x) (2.33)

を得る。これより、

(x− x′)d

dxδ(x− x′) = −δ(x− x′) (2.34)

であり、(2.31)式と比べると、

⟨x|p|x′⟩ = −iℏ d

dxδ(x− x′) (2.35)

であることが分かる。

結局、

⟨x|p|ψ⟩ = (pψ)(x) =

∫dx′⟨x|p|x′⟩⟨x′|ψ⟩ =

∫dx′[−iℏ d

dxδ(x− x′)

]⟨x′|ψ⟩

= −iℏ ∂

∂x

∫dx′δ(x− x′)⟨x′|ψ⟩ = −iℏ ∂

∂x⟨x|ψ⟩ = −iℏ∂ψ

∂x(2.36)

となるので、|ψ⟩ に pが作用した状態 p|ψ⟩ の位置表示が −iℏ ∂∂xψ(x) であること、すなわち、正準量子化

の手続きを位置表示で行うことで、対応原理 (p → −iℏ ∂∂x

) に一致する結果が得られることが示せた。

2.2.3 Schrodinger方程式からの波動方程式の導出

p, xの関数であるハミルトニアン H(p, x) が x, p のべき級数で展開できる場合に、状態ベクトルに対す

る Schrodinger方程式H(p, x)|ψ⟩ = E|ψ⟩ (2.37)


から、その位置表示 ⟨x|H|ψ⟩ = ⟨x|E|ψ⟩ を取ることによって、いわゆる波動方程式

H

(−iℏ d

dx, x

)ψ(x) = Eψ(x) (2.38)

を導くことができる。

例えば、1次元調和振動子ポテンシャル中の粒子のハミルトニアン

H(p, x) =p2

2m+ V (x) =

p2

2m+

1

2mω2x2 (2.39)

の場合、Schrodinger方程式 H|ψ⟩ = E|ψ⟩ を位置表示した波動方程式は、

H

(−iℏ d

dx, x

)ψ(x) =

[− ℏ2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2

]ψ(x) = E ψ(x) (2.40)

となる。

加点問題 P.2.2 : p, x の関数であるハミルトニアン H(p, x) が x, p のべき級数で展開できる場合

に、状態ベクトルに対する Schrodinger方程式

H(p, x)|ψ⟩ = E|ψ⟩ (2.41)

から、波動関数に対する Schrodinger方程式

H

(−iℏ d

dx, x

)ψ(x) = Eψ(x) (2.42)

が導かれることを以下の手順で示せ。

1. |x⟩, |y⟩ を位置演算子 xの固有状態とするとき、

⟨x|p2|y⟩ =(−iℏ ∂

∂x

)2

δ(x− y) (2.43)

を示せ。

2. 任意の状態 |ψ⟩に対して、

⟨x|p2|ψ⟩ =(−iℏ ∂

∂x

)2

ψ(x) (2.44)

を示せ。ここで ψ(x) = ⟨x|ψ⟩である。3. 上記の議論を pn の場合に一般化せよ。

4. ⟨x|xn|ψ⟩ = xnψ(x) を示せ。

5. H が x, pのべき級数で展開できるときに、Schrodinger方程式から波動方程式を導け。

6. エネルギーの期待値が

⟨E⟩ =∫dxψ∗(x) H

(−iℏ d

dx, x

)ψ(x) (2.45)

で与えられることを示せ。略解 1. 位置の固有状態の閉包関係 1 =

∫dξ|ξ⟩⟨ξ|を用いれば、

⟨x|p2|y⟩ = ⟨x|p1p|y⟩ =∫dξ⟨x|p|ξ⟩⟨ξ|p|y⟩

(2.35)=

∫dξ

(−iℏ d

dx

)δ(x− ξ)

(−iℏ d

dξ

)δ(ξ − y)

=

(−iℏ d

dx

)∫dξ δ(ξ − x)

[(−iℏ d

dξ

)δ(ξ − y)

]=

(−iℏ d

dx

)[(−iℏ d

dx

)δ(x− y)

](2.46)

2.3 位置表示における位置と運動量の固有関数の具体形 35

2. 前問 1. の結果を用いれば、

⟨x|p2|ψ⟩ =∫dξ⟨x|p2|ξ⟩⟨ξ|ψ⟩

=

∫dξ

(−iℏ d

dx

)2

δ(x− ξ)ψ(ξ)

=

(−iℏ d

dx

)2 ∫dξ δ(ξ − x)ψ(ξ)

=

(−iℏ d

dx

)2

ψ(x) (2.47)

3. 前問 1., 2. の導出を帰納的に行えばよい。

4. 割愛。

5. 前問 3., 4. の結果より、

⟨x|xmpn|ψ⟩ = xm⟨x|pn|ψ⟩ = xm(−iℏ d

dx

)n

ψ(x) (2.48)

⟨x|pnxm|ψ⟩ =(−iℏ d

dx

)n

⟨x|xm|ψ⟩ =(−iℏ d

dx

)n (xmψ(x)

)(2.49)

となる。より複雑な ⟨x|xmpnxl|ψ⟩ のような場合にも同様の結果が得られる。よって、ハミルトニアンが x, pのべき級数で展開できるとき、Schrodinger方程式を位置表示した波動関数に対する波動方

程式は

H

(−iℏ d

dx, x

)ψ(x) = Eψ(x) (2.50)


6. エネルギーの期待値は

⟨ψ|H|ψ⟩ = ⟨ψ|1H|ψ⟩ = ⟨ψ|[∫

dx|x⟩⟨x]|H|ψ⟩ =

∫dx⟨ψ|x⟩⟨x|H|ψ⟩

=

∫dxψ∗(x)H

(−iℏ d

dx, x

)ψ(x) (2.51)

2.3 位置表示における位置と運動量の固有関数の具体形

2.3.1 位置表示における位置の固有関数

(2.11)式より位置表示においてはx|x⟩ = x|x⟩ (2.52)

である。位置表示における位置演算子の固有関数 (波動関数) ux(x′) は、(2.8)式より

ux(x′) = ⟨x|x′⟩ = δ(x− x′) (2.53)

である。

2.3.2 位置表示における運動量の固有関数

位置表示における運動量演算子の固有関数 up(x) は、(2.36)式より、

pup(x) = ⟨x|p|p⟩ = −iℏ∂up∂x

(2.54)


なる固有値方程式の解で与えられる。これより固有関数は、N を規格化定数として、

up(x) = N exp(ipx

ℏ

)(2.55)

となる。すなわち、運動量演算子の固有関数は平面波である。

規格化定数は直交条件を用いて求められる。運動量演算子はエルミート演算子であるから、異なる固有値

に属している固有関数は直交していなければならない。直交条件

⟨p′|p⟩ (2.12)=

∫u∗p′(x)up(x)dx = δ(p− p′) (2.56)

において、左辺は

⟨p′|1|p⟩ (2.4)=

∫dx⟨p′|x⟩⟨x|p⟩ (2.55)= |N |2

∫dx ei(p−p′)x/ℏ = 2πℏ|N |2δ(p− p′) (2.57)

となるので、規格化定数が

N =1√2πℏ

=1√h

(2.58)

と求まる。すなわち、

up(x) =1√2πℏ

exp(ipx

ℏ

). (2.59)

(2.57)式を導く際にデルタ関数のフーリエ積分表示を用いた。

出席課題 S.2.4 : 波数演算子を

k ≡ p

ℏ(2.60)

で定義すると、波数演算子の固有関数は、

uk(x) = C exp(ikx) (2.61)

である。波数演算子の固有関数の直交条件を用いて規格化定数を求める流儀もある。この場合、

運動量の固有関数の場合と規格化定数が異なるので注意が必要である。直交条件∫u∗k(x)uk′(x)dx = δ(k − k′) (2.62)

を採用し、規格化定数が

C =1√2π

(2.63)


略解運動量の固有関数の場合を参考に、波数演算子に対して全く同じ計算をすればよい。

2.4 補足：位置表示における固有関数の完全性

2.4.1 位置表示における位置の固有関数の完全性

完全性条件

1 =

∫dx |x⟩⟨x| (2.64)

2.4 補足：位置表示における固有関数の完全性 37

が位置表示において成立しているかどうかを調べるためには、これを任意の状態 ⟨y|, |z⟩ではさんだ、

⟨y|1|z⟩ =∫dx⟨y|x⟩⟨x|z⟩ =

∫dx⟨y|x⟩⟨x|z⟩ (2.65)

が成立しているかどうかを調べればよい (2.1.3 節も参照)。左辺は位置表示の定義より ⟨y|1|z⟩ = ⟨y|z⟩ =δ(z − y) であり、右辺も

(右辺) =

∫dxδ(x− y)δ(z − x) = δ(z − y) (2.66)

であるから確かに成り立っている。

2.4.2 位置表示における運動量の固有関数の完全性

位置表示における運動量の固有関数が完全であることは、運動量固有状態の完全性条件

1 =

∫dp |p⟩⟨p| (2.67)

を ⟨y|, |x⟩で挟んだ、

⟨y|1|x⟩ =∫dp ⟨y|p⟩⟨p|x⟩ =

∫dp ⟨y|p⟩(⟨x|p⟩)∗ (2.68)

において、左辺は δ(x− y)であり、右辺も

(右辺)(2.59)=

1

2πℏ

∫ ∞

−∞dp exp

(ip

ℏ(y − x)

)p′=−p/ℏ

=1

2π

∫ ∞

−∞dp′ exp (ip′(x− y))

(2.201)= δ(x− y) (2.69)

となることから成立している。

2.4.3 位置表示における一般の物理量の固有関数の完全性

より一般に、任意の連続スペクトルを持つ物理量 Aの固有状態 |a⟩の完全性条件

1 =

∫da |a⟩⟨a| (2.70)

が成り立つためには、これを位置の固有状態 ⟨y|, |x⟩ではさんで、

⟨y|1|x⟩ = δ(x− y) =∫da ⟨y|a⟩⟨a|x⟩ =

∫daψa(y)(ψa(x))

∗ (2.71)

が、固有関数 ψa(x) = ⟨x|a⟩に対して成り立つことが必要である。物理量 Aが離散スペクトルを持つ場合

には、δ(x− y) =

∑n

⟨y|n⟩⟨n|x⟩ =∑n

ψn(y)(ψn(x))∗ (2.72)

が固有関数の完全性条件となる。


2.5 運動量表示と変換則

状態ベクトル |ψ⟩を、運動量演算子に関する固有ベクトル |p⟩

p|p⟩ = p|p⟩ (2.73)

で展開することを考えよう。これを運動量表示と呼ぶ。運動量表示では、

p −→ p (2.74)

x −→ +iℏ∂

∂p(2.75)

であることが示される (出席課題 S.2.6, 演習問題 E.2.2参照)。

任意の状態 |ψ⟩を運動量の固有状態で展開すると

|ψ⟩ =∫dp |p⟩⟨p|ψ⟩ (2.76)

である。ここでψ(p) ≡ ⟨p|ψ⟩ (2.77)

は運動量表示 (p表示) における波動関数である。|ψ⟩と |x⟩との内積をとると、

ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ =∫dp⟨x|p⟩⟨p|ψ⟩ =

∫dp ψ(p)⟨x|p⟩ (2.78)

となる。

一方、位置表示の展開式

|ψ⟩ =∫dx|x⟩⟨x|ψ⟩ =

∫dx|x⟩ψ(x) (2.79)

と |p⟩との内積からは、

ψ(p) =

∫dxψ(x)⟨x|p⟩∗ (2.80)

が得られる。

ここで、⟨x|p⟩は運動量固有状態 |p⟩を位置表示した関数 up(x) であるから、(2.59)式より、

ψ(p) =1√2πℏ

∫dxψ(x) exp

(−i p

ℏx)

(2.81)

ψ(x) =1√2πℏ

∫dp ψ(p) exp

(+ix

ℏp)

(2.82)

を得る。すなわち、位置表示と運動量表示の波動関数は、フーリエ変換 (2.A.3, 2.A.4節参照)で結ばれて

いることが分かる (位置と運動量の波動関数の変換則)。

出席課題 S.2.5 : 位置表示と運動量表示の波動関数の変換則 (2.81), (2.82)式を示せ。出席課題 S.2.6 : 運動量演算子の運動量表示 (2.74)を示せ。

略解 ⟨p|p|ψ⟩ =(⟨p|p

)|ψ⟩ =

(⟨p|p

)|ψ⟩ = p⟨p|ψ⟩ = pψ(p)

演習問題 E.2.1 : 波数演算子の固有関数の直交条件を用いて規格化定数を求める流儀において、位置と波数の波動関数の変換則を求めよ。

略解運動量の固有関数の場合を参考に、波数演算子に対して全く同じ計算をすればよい。

2.6 時間発展 39

演習問題 E.2.2 : 位置と運動量の波動関数の変換則 (2.81)を用いて、位置演算子の運動量表示 (2.75)

を示せ。略解 |ϕ⟩ ≡ x|ψ⟩ とする。位置表示では ϕ(x) = ⟨x|ϕ⟩ = ⟨x|x|ψ⟩ = xψ(x) であるが、運動量表示 ϕ(p) =

⟨p|ϕ⟩ = ⟨p|x|ψ⟩ を変換則 (2.81)を用いて求めると、

⟨p|x|ψ⟩ = ϕ(p) =1√2πℏ

∫dxϕ(x)e−ipx/ℏ =

1√2πℏ

∫dxxψ(x)e−ipx/ℏ

=1√2πℏ

∫dx iℏ ∂

∂p

(ψ(x)e−ipx/ℏ) = iℏ ∂

∂p

[1√2πℏ

∫dxψ(x)e−ipx/ℏ

](2.81)= iℏ ∂

∂pψ(p) (2.83)

2.6 時間発展

2.6.1 自由粒子の運動とファインマン核 (Feynman kernel)

1次元自由粒子を考える。時間に依存するシュレーディンガー方程式は

iℏ∂|ψ(t)⟩∂t

= H|ψ(t)⟩ = p2

2m|ψ(t)⟩ (2.84)

である。ハミルトニアンが時間に依らないので、状態ベクトルの時間発展はユニタリ演算子を用いて

|ψ(t)⟩ = ˆU(t, 0)|ψ(0) = e−iℏ Ht|ψ(0)⟩ (2.85)


時刻 tに位置 x(t) = xにある状態を |x⟩とあわらすことにする。初期 t = 0に位置 x(0) = y にある粒子

|y⟩は時刻 tには|ψ(t)⟩ = e−

iℏ Ht|y⟩ (2.86)

のように時間発展しているので、時刻 tに位置 x(t) = xに見出す確率振幅は、

K(x, t; y, 0) ≡ ⟨x|ψ(t)⟩ = ⟨x|e− iℏ Ht|y⟩ = ⟨x|e− i

ℏp2

2m t|y⟩ (2.87)

となる。このK(x, t; y, 0)をファインマン核 (Feynman Kernel)と呼ぶ。

運動量の完全性条件 1 =∫dp|p⟩⟨p|を用いれば、確率振幅は

K(x, t; y, 0) = ⟨x|e− iℏ

p2

2m t|y⟩ =∫dp⟨x|e− i

ℏp2

2m t(|p⟩⟨p|)|y⟩

=

∫dp⟨x|p⟩e− i

ℏp2

2m t⟨p|y⟩ (2.88)

となる。運動量の固有関数 ⟨x|p⟩ = 1√2πℏe

i pxℏ を用いれば、

K(x, t; y, 0) =

∫dp

2πℏexp

[− itℏp2

2m+i

ℏp(x− y)

]= e

iℏ

m(x−y)2

2t

∫dp

2πℏexp

[− it

2mℏ

(p− m(x− y)

t

)2]

=

√m

2πiℏte

iℏ

m(x−y)2

2t (2.89)


と計算できる。ここでガウス積分 ∫ ∞

−∞dp e−ap2

=√π/a (2.90)

を用いた。この確率振幅 (ファインマン核)を用いると、時刻 tにおける波動関数は、

ψ(x, t) ≡ ⟨x|ψ(t)⟩ = ⟨x|e− iℏ Ht|ψ(0)⟩ =

∫dy⟨x|e− i

ℏ Ht|y⟩⟨y|ψ(0)⟩

=

∫dyK(x, t; y, 0)ψ(y, 0) (2.91)

のように計算することができる。

2.6.2 ガウス波束の時間発展

初期状態の波動関数をガウス波束 ψ(0) = e−x2/(4σ2) で与えると、時刻 t > 0 における波動関数 ψ(x, t)

は、

ψ(x, t) =

∫dy

√m

2πiℏtexp

[i

ℏm(x− y)2

2t− y2

4σ2

]=

(1 +

iℏt2mσ2

)−1/2

exp

[− x2

4σ2

(1 +

iℏt2mσ2

)−1]

(2.92)

となる。ここで被積分関数がガウス型であることから、平方完成を行いガウス積分を用いた。これより、確

率密度は

|ψ(x, t)|2 ∝ exp

− x2

2σ2

1

1 +ℏ2

4m2σ4t2

(2.93)

のように振る舞うことが分かる。よって、波動関数のひろがりは、時間と共に増大する。

演習問題 E.2.3 : ファインマン核K(x, t; y, 0)を用いて、波動関数の時間発展が

ψ(x, t) =

∫dyK(x, t; y, 0)ψ(y, 0) (2.94)

と表されることを示せ。

演習問題 E.2.4 : 上の議論及び計算の省略部分を明らかにしながら (2.93)式を導け。

演習問題 E.2.5 : 1次元調和振動子ポテンシャルに束縛された粒子を考える。系のハミルトニアンは

H =p2

2m+

1

2mω2x2 (2.95)

である。

1. 生成消滅演算子を用いて、ハミルトニアンが

H = ℏω(a†a+

1

2

)(2.96)

と表されることを示せ。

2. 個数演算子 n ≡ a†a の規格化された固有状態を |n⟩ とする:

n|n⟩ = n|n⟩. (2.97)

系が |n⟩ の状態にあるとき、H, x, x2, p, p2, 運動エネルギー、弾性ポテンシャルエネル

ギーの期待値を求めよ。

2.6 時間発展 41

3. 物理量 Qの不確定性∆Qを

∆Q ≡√⟨Q2⟩ − ⟨Q⟩2 (2.98)

で定義する。∆x∆p を求めよ。

4. 時刻 t = 0での状態ベクトルが

|ψ(0)⟩ =√

2

3|1⟩+

√1

3|2⟩ (2.99)

であった。時刻 t > 0での状態ベクトル |ψ(t)⟩を求めよ。5. 時刻 t > 0における H と xの期待値を求めよ。

略解 1. 正準交換関係 [x, p] = iℏ より、

a†a =1

2mℏω(mωx− ip

)(mωx+ ip

)=

1

2mℏω((mωx)2 + imω[x, p] + p2

)=

1

ℏωH − 1

2(2.100)

よって

H = ℏω(a†a+

1

2

)(2.101)

2. x, p を a, a† を用いて表し (具体的な表式を求めよ)、

a|n⟩ =√n|n− 1⟩, (2.102)

a†|n⟩ =√n+ 1|n+ 1⟩ (2.103)

を用いて計算する*7。

En = ⟨n|H|n⟩ = ℏω⟨n|(a†a+

1

2

)|n⟩ = ℏω

(n+

1

2

)⟨n|n⟩

= ℏω(n+

1

2

)(2.104)

⟨x⟩ = ⟨n|x|n⟩ =√

ℏ2mω

⟨n|(a+ a†

)|n⟩

=

√ℏ

2mω

(⟨n|n− 1⟩+ ⟨n|n+ 1⟩

)= 0 (2.105)

⟨x2⟩ = ℏ2mω

⟨n|(a+ a†

)(a+ a†

)|n⟩

=ℏ

2mω⟨n|(a2 + aa† + a†a+ (a†)2

)|n⟩ = ℏ

2mω⟨n|(aa† + a†a

)|n⟩

=ℏmω

(n+

1

2

)(2.106)

同様に計算すると (具体的に計算せよ)、

⟨p⟩ = 0 (2.107)

⟨p2⟩ = mℏω(n+

1

2

)(2.108)

*7 (2.102) 式の覚え方は次の通り。まず a が消滅演算子であることは知っておく必要がある。これより、a|n⟩ ∝ |n− 1⟩。次に、a|n⟩ =

√n− 1|n− 1⟩,

√n|n− 1⟩,

√n+ 1|n− 1⟩ のいずれかであることはぼんやり覚えておく。そして、真空状態の場合

a|0⟩ = 0 になるべきことから、a|n⟩ =√n|n− 1⟩であると導く。(2.103) 式の覚え方は、同様の流れの最後に、a†|0⟩ = |1⟩

でなければならないことから、a†|n⟩ =√n+ 1|n+ 1⟩であると導く。


となる。運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの期待値は、

⟨n| p2

2m|n⟩ = 1

2En (2.109)

⟨n|12mω2x2|n⟩ = 1

2En (2.110)

となり、それぞれ全エネルギーの半分になっている。

3. 定義に従って計算すれば、

∆x∆p = ℏ(n+

1

2

)(2.111)

となる。

4. 時間推進演算子 U(t) = e−iHt/ℏ を用いれば、e−i Hℏ t|n⟩ = e−iEnℏ t|n⟩より、

|ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩ = e−i Hℏ t

(√2

3|1⟩+

√1

3|2⟩

)

=

√2

3e−i 3

2ωt|1⟩+

√1

3e−i 5

2ωt|2⟩ (2.112)

5. エネルギーの期待値は

⟨E(t)⟩ = ⟨ψ(t)|H|ψ(t)⟩

=

(√2

3e−i 3

2ωt|1⟩+

√1

3e−i 5

2ωt|2⟩

)∗(√2

3e−i 3

2ωt 3

2ℏω|1⟩+

√1

3e−i 5

2ωt 5

2ℏω|2⟩

)

=11

6ℏω (2.113)

となり時間に依らない (エネルギー保存)。位置の期待値は、

⟨x(t)⟩ =

√ℏ

2mω

(⟨ψ(t)|a|ψ(t)⟩+ ⟨ψ(t)|a†|ψ(t)⟩

)(1.34)=

√ℏ

2mω

(⟨ψ(t)|a|ψ(t)⟩+ ⟨ψ(t)|a|ψ(t)⟩∗

)(2.114)

ここで、

⟨ψ(t)|a|ψ(t)⟩ =

(√2

3e−i 3

2ωt|1⟩+

√1

3e−i 5

2ωt|2⟩

)∗(√2

3e−i 3

2ωt|0⟩+

√1

3e−i 5

2ωt√2|1⟩

)

=2

3e−iωt (2.115)

よって、

⟨x(t)⟩ = 2

3

√ℏ

2mω

(e−iωt + e+iωt) = 4

3

√ℏ

2mωcosωt (2.116)

のように振動数 ω で単振動する。

2.6.3 補足：位置と運動量の期待値の時間発展

時間に陽に依存しないポテンシャル V 中の粒子の 3次元運動を考える*8。ハミルトニアンは

H =p2

2m+ V (x) (2.117)

である。

*8 アインシュタインの和の規約を用いた 3次元の場合への拡張の例として、3次元運動を考えている。

2.6 時間発展 43

エーレンフェストの定理 (1.97)より、位置の期待値の発展は

d

dt⟨ψ|xi|ψ⟩ = −

i

ℏ⟨ψ|[xi, H]|ψ⟩ (2.118)

で与えられる。ここで、正凖交換関係より

[xi, H] =1

2m[xi, pkp

k] + [xi, V (xj)] =1

2m

([xi, pk]p

k + pk[xi, pk])+ 0 =

iℏmpi (2.119)

であるから、結局d⟨xi⟩dt

=⟨pi⟩m

(2.120)

を得る。

一方、[pi, xj ] = −iℏδij が (演算子ではなく)、ただの複素数であるから、xk が [pi, xj ]と交換するので、

(1.49)式を適用できることに注意すると、運動量の期待値の時間発展は、

d

dt⟨pi⟩ = −

i

ℏ⟨ψ|[pi, H]|ψ⟩ = − i

ℏ⟨ψ|[pi, V (xk)]|ψ⟩ = − i

ℏ[pi, x

k]

⟨∂V

∂xk

⟩= −

⟨∂V

∂xi

⟩(2.121)

となる。

古典力学との対応の観点からは、 ⟨∂V (xi)

∂xi

⟩=∂V (⟨xi⟩)∂⟨xi⟩

(2.122)

となることが望ましい。対応 (2.122)が成り立つ条件について考えよう。いま、簡単のために空間 1次元の

場合を考える。この場合には力 F (x) = −dVdxを用いて対応 (2.122)は

⟨F (x)⟩ = F (⟨x⟩) (2.123)

と同等である。

粒子の位置 x を期待値 ⟨x⟩のまわりでx = ⟨x⟩+ y (2.124)

のように展開する。このとき、位置表示を用いれば ⟨x⟩ = X として、

x = X + y (2.125)

であるから、

⟨F (x)⟩ =∫ ∞

−∞dxψ∗(x, t)F (x)ψ(x, t) =

∫ ∞

−∞dxF (X + y)|ψ(x, t)|2

=

∫ ∞

−∞dx

[F (X) +

dF

dxy +

1

2

d2F

dx2y2 + · · ·

]|ψ(x, t)|2

=

∫ ∞

−∞dx

[F (X) +

dF

dx(x−X) +

1

2

d2F

dx2(x−X)2 + · · ·

]|ψ(x, t)|2 (2.126)

となる。ここで、X が xに依らないことから X,F (X)等は積分の外に出せること、および∫ ∞

−∞dx |ψ(x, t)|2 = 1,

∫ ∞

−∞dxx|ψ(x, t)|2 = X (2.127)


に注意して計算すると、

⟨F (x)⟩ = F (X) +1

2

d2F

dx2∆x2 +O(∆x3) = F (⟨x⟩) + 1

2

d2F

dx2∆x2 +O(∆x3) (2.128)

となる。ここで

∆x2 =

∫ ∞

−∞dxx2|ψ(x, t)|2 −X2 = ⟨x2⟩ − ⟨x⟩2 (2.129)

は位置の分散である。

対応 (2.123)が成り立つためには、右辺第 2項以降が 0になる必要があるが、例えば、自由粒子、一様重

力場・電場、および調和振動子の場合にはこれが成り立っている。より一般のポテンシャルの場合について

対応 (2.123)が満たされるためには、位置の分散 ∆x2 が十分小さければよい。つまり、波動関数が ⟨x⟩のまわりに十分局在化している場合である。特に、粒子は量子力学においてガウス波束で表現されるので、ガ

ウス波束の分散が小さいことが対応 (2.123)が成り立つための条件となる。

自由粒子の場合、対応 (2.123)が成り立つので、位置の期待値の運動は古典力学の運動方程式に従うが、

ガウス波束の時間発展は (2.93)式で与えられたことから分かるように、粒子をその期待値の位置に見出す

確率は時間とともに減少していく。この意味において、量子力学においては、自由粒子の場合にも、その運

動は古典軌道からずれた時間発展をするということができるだろう。

2.6.4 補足：ビリアル定理

系が定常状態にある場合には、系の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間に特別な関係が成り立

つ*9。ビリアル定理 (virial theorem)と呼ばれるこの結果を導こう。1.3.4節で述べたように、定常状態で

は任意の物理量 Qの期待値が保存する*10。

Q = x · pに対してこの結果を用いれば、

0 = iℏd

dt⟨n|x · p|n⟩ (1.97)

= ⟨n|[x · p, p

2

2m+ V (x)

]|n⟩

=1

2m⟨n|[x · p, p2

]|n⟩+ ⟨n| [x · p, V (x)] |n⟩ (2.130)

となるが、 [x · p, p2

]=[xkpk, pj p

j]= xk

[pk, pj p

j]+[xk, pj p

j]pk =

[xk, pj p

j]pk

= pj[xk, pj

]pk +

[xk, pj

]pj pk = pj

(iℏδkj

)pk +

(iℏδkj

)pj pk

= 2iℏp2 (2.131)

および [x · p, V (x)

]= x ·

[p, V (x)

]+[x, V (x)

]· p = xk

[pk, V (xi)

](1.49)= xk

[pk, x

i] ∂V∂xi

= xk(− iℏδki

) ∂V∂xi

= xk∂V

∂xk(2.132)

を位置表示して代入すれば、

2⟨n| p2

2m|n⟩ = ⟨n|x · ∇V |n⟩ (2.133)

*9 古典力学においても同様であった！たとえば、太陽の周りを回る惑星は良い精度で定常状態とみなせるが、その運動エネルギーと重力ポテンシャルエネルギーの間にはある特別な関係が成り立っている。

*10 実際には物理量 (エルミート演算子)である必要はなく、任意の演算子 Qでも成り立つ。

2.7 発展：(無限小)並進と運動量演算子 45

図 2.1 物理系の平行移動の概念図

を得る。

ビリアル定理 (2.133)を 1次元調和振動子ポテンシャルに適用すれば、⟨n|x · ∇V |n⟩ = 2⟨n|V |n⟩ であるから、演習問題 E.2.4で具体的に示したように、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間には等分配

則が成り立っている。調和振動子の場合に等分配則が成り立つのは、1次元の場合に限らないことに注意し

よう。一方、クーロンポテンシャルなどのように、V ∝ 1

rの場合には、

2⟨n| p2

2m|n⟩+ ⟨n|V |n⟩ = 0 (2.134)

である。

2.7 発展：(無限小)並進と運動量演算子

解析力学 (物理数学 C・D) で学んだように、運動量という物理量は、空間並進と深い関係を持ってい

る*11。いま、物理系を図のように一定のベクトル aだけ平行移動したとする。このとき、元の系における

波動関数 ψ(x) = ⟨x|ψ⟩と平行移動後の新たな系における波動関数 ψ(x) = ⟨x|ψ⟩との関連を考えよう。

2.7.1 平行移動の生成子としての運動量演算子

まず、ψ(x+ a, t) = ψ(x, t), ψ(x, t) = ψ(x− a, t) (2.135)

が成り立っていることに注意する。a = ϵなる微小並進を考えると、位置表示では、

ψ(x, t) = ψ(x− ϵ, t) = ψ(x)− ϵ · ∇ψ(x, t) +O(ϵ2) = ⟨x|(1− i

ℏϵ · p

)|ψ⟩+O(ϵ2) (2.136)

*11 ラグランジアンに並進対称性があると、系の全運動量が保存する。


である。すなわち、状態ベクトルは

|ψ(x, t)⟩ → Dϵ|ψ(x, t)⟩ ≡(1− i

ℏϵ · p

)|ψ(x, t)⟩ (2.137)

なる変換を受ける。すなわち、運動量演算子が平行移動と関連していることが分かる。このことを、運動量

演算子は平行移動の生成子であるという。Dϵ の共役演算子は、

D†ϵ = 1 +

i

ℏϵ · p (2.138)

である。

無限小平行移動の演算子が得られたので、これを n繰り返すことで、有限のベクトル a = nϵの平行移動

の演算子が

Dn ≡(Dϵ

)n=

(1− i

ℏϵ · p

)n

=

(1− i

ℏa · pn

)n

(2.139)

によって得られる。ここで aを固定したまま n→∞とすると、指数関数の性質より

D = limn→∞

Dn = exp

(−ia · p

ℏ

)(2.140)

となる。この D を変位演算子 (Transformation operator)という。同様にして、

D† = exp

(+i

a · pℏ

)(2.141)

となるから、変位演算子 D はユニタリー演算子

DD† = D†D = 1 (2.142)

である。

2.7.2 物理量の変換則

ユニタリー変換|ψ⟩ = D|ψ⟩ (2.143)

に伴って、物理量 Aの期待値は、

⟨ψ|A|ψ⟩ → ⟨ψ|A|ψ⟩ = ⟨ψ|D†AD|ψ⟩ (2.144)

となるから、演算子の変換法則はA→ D†AD (2.145)

である。

aを微小として位置演算子 xに適用すると、

D†xD =

(1 +

i

ℏa · p

)x

(1− i

ℏa · p

)= x+

i

ℏ[a · p, x] +O(a2) (2.146)

となる。ここで、

i

ℏ[a · p, x] = i

ℏ(a1 · [p, x] + [a1, x] · p

)=i

ℏ(−iℏa+ 0) = a (2.147)

2.A 数学的補遺 II 47

であるから、D†xD = x+ a (2.148)

であり、確かに D は aの平行移動の変換の演算子になっている。一方、[p, p] = 0より、運動量は不変で

ある。D†pD = p (2.149)

Note. aが有限の場合にも結果は同じである。それを以下にに示す。まず、[A, B] = 0のとき、

eABe−A = B + [A, B] +1

2![A, [A, B]] +

1

3![A, [A, [A, B]]] + · · · (2.150)

となることを用いると、

D†xD = exp

(ia · pℏ

)x exp

(−ia · p

ℏ

)= x+

[i

ℏa · p, x

]+

1

2!

[i

ℏa · p,

[i

ℏa · p, x

]]+ · · · (2.151)

となる。ここで、(2.147)式を用いると高次項はすべて 0になり、

DxD† = x+ a

と変換されることが分かる。

2.7.3 対称性と保存則

これらより、系のハミルトニアンは、

D†H(x, p)D = H(x+ a, p) (2.152)

と変換される。ここで、ハミルトニアンに並進対称性

H(x, p) = H(x+ a, p) (2.153)

がある場合には、(2.152)式に左から D = (D†)−1 を作用させることで、

[D, H] = 0 (2.154)

が成立することが分かる。これはすなわち、

[p, H] = 0 (2.155)

を意味する。エーレンフェストの定理を適用すれば系に並進対称性がある場合には、運動量 (の期待値)が

保存することが結論される。

2.A 数学的補遺 II

2.A.1 ディラック (Dirac)のデルタ関数

1次元空間における Diracのデルタ関数 δ(x)は、x = ξ で連続な f(x)に対して∫ b

a

f(x)δ(x− ξ)dx =

f(ξ) (a < ξ < b)0 (otherwise)

(2.156)

を満たす関数 (正確には超関数) として定義される。f(x) が遠方で十分にはやく 0 に近づく関数を想定し

て、より緩い条件、 ∫ ∞

−∞f(x)δ(x− a)dx = f(a) (2.157)


によってもデルタ関数を定義することが多い。本講義では (2.157)式をデルタ関数の定義として採用する。

つまり、デルタ関数を掛けて積分すると、x = ξ における f(x) の値が抽出される。(2.157) 式において

f(x) = 1とおけば、 ∫ ∞

−∞δ(x− ξ)dx = 1 (2.158)

を得る。以下、積分範囲を特に指定しなくても混乱を来さない場合には積分区間を省略する。

デルタ関数の定義は (2.157)式である。したがって、見かけは違っても、積分の結果が同じであれば、デ

ルタ関数とみなされる。そのような場合、「超関数の意味で等しい」という。例えば、以下で定義される階

段関数 (step function) θ(x)

θ(x) =

1 (x > 0)0 (x < 0)

(2.159)

に対して、dθ(x)/dx を考えると、∫ ∞

−∞f(x)

dθ(x)

dxdx = lim

ϵ→0

∫ ∞

−∞dxθ(x+ ϵ)− θ(x)

ϵf(x)

= limϵ→0

1

ϵ

[∫ ∞

−ϵ

f(x)dx−∫ ∞

0

f(x)dx

]= lim

ϵ→0

1

ϵ

∫ 0

−ϵ

f(x)dx = f(0) (2.160)

となり*12、デルタ関数と同じ結果を与えるので、dθ(x)/dx も超関数の意味で δ(x)に等しい。

デルタ関数の微分は ∫f(x)

dn

dxnδ(x)dx = (−1)n dnf(x)

dxn

∣∣∣∣x=0

(2.163)

で定義される。これは n = 1の場合の∫dxf(x)δ′(x) =

∫dx(f(x)δ(x))′ −

∫dxf ′(x)δ(x) = −f ′(0) (2.164)

を拡張したものである。

演習問題 E.2.6 : ディラックのデルタ関数が超関数の意味で偶関数

δ(−x) = δ(x) (2.165)

であることを示せ。

略解任意の f(x) に対して∫∞−∞ dxf(x)δ(x) = f(0)。

∫∞−∞ dxf(x)δ(−x) において x → −x と変換すれば、∫ −∞

∞ (−dx)f(−x)δ(x) =∫∞−∞(dx)f(−x)δ(x) = f(0)。よって超関数の意味で δ(x) = δ(−x)。

*12 念の為、3番目の等号と最後の等号における式変形について解説しておく。3番目の等号では、

limϵ→0

1

ϵ

[∫ ∞

−ϵf(x)dx−

∫ ∞

0f(x)dx

]= lim

a→∞limϵ→0

1

ϵ

[∫ a

−ϵf(x)dx−

∫ a

0f(x)dx

]= lim

a→∞limϵ→0

1

ϵ

[∫ a

−ϵf(x)dx+

∫ 0

af(x)dx

]= lim

a→∞limϵ→0

1

ϵ

∫ 0

−ϵf(x)dx

= limϵ→0

1

ϵ

∫ 0

−ϵf(x)dx (2.161)

4番目の等号では、F ′(x) = f(x)とすると、

limϵ→0

1

ϵ

∫ 0

−ϵf(x)dx = lim

ϵ→0

1

ϵ

∫ 0

−ϵF ′(x)dx = lim

ϵ→0

1

ϵ[F (x)]0−ϵ = lim

ϵ→0

F (0)− F (0− ϵ)

ϵ= F ′(0) = f(0) (2.162)


演習問題 E.2.7 : α = 0 を実定数とすると、超関数の意味で δ(αx) = 1/|α|δ(x) であること、すなわち ∫

δ(αx)f(x)dx =1

|α|

∫δ(x)f(x)dx (2.166)

を示せ。

略解∫dxf(x)δ(ax)

δ(x)=δ(−x)=

∫dxf(x)δ(|a|x) x=|a|x

=∫dxf(x/|a|)δ(x) = 1

|a|f(0)

演習問題 E.2.8 : 超関数の意味で

xδ(x) = 0 (2.167)

xδ′(x) = −δ(x) (2.168)

δ′(−x) = −δ′(x) (2.169)

δ(x2 − a2) = 1

2|a|[ δ(x− |a|) + δ(x+ |a|) ] (2.170)

であることを示せ。ここで、

δ′(x) ≡ dδ(x)

dx(2.171)

である。略解「超関数の意味で等しい」というのは、「任意の適当な*13関数 f(x)に作用させて積分した結果、右辺と左

辺が等しいならば、超関数としては区別できないので同じとみなせる」という意味である。(2.167), (2.168)

式を示すのはそれほど難しくない。∫ ∞

−∞dx f(x) (xδ(x)) =

∫ ∞

−∞dx (xf(x)) δ(x) = 0 · f(0) = 0 (2.172)∫ ∞

−∞dx f(x)

(xδ′(x)

)=

∫ ∞

−∞dx f(x)

(xd

dxδ(x)

)=

∫ ∞

−∞dx

[d

dx(xf(x)δ(x))− δ(x)

d

dx(xf(x))

]= [f(x)xδ(x)]∞−∞ −

∫ ∞

−∞dx

(f(x) + x

df(x)

dx

)= 0−

[f(0) + x · f ′(0)

]= −f(0)

= −∫ ∞

−∞dx f(x)δ(x) (2.173)

(2.169)式の証明は注意を要する。右辺は∫ ∞

−∞dx f(x)

(− δ′(x)

)= −

∫ ∞

−∞dx f(x)

d

dxδ(x)

= −∫ ∞

−∞dx

[d

dx

(f(x)δ(x)

)− δ(x)

df(x)

dx

]= 0−

∫ ∞

−∞dx[−δ(x)f ′(x)

]= f ′(0) (2.174)

となる。左辺も ∫ ∞

−∞dx f(x)δ′(−x) y=−x

=

∫ ∞

−∞dy f(−y)δ′(y) =

∫ ∞

−∞dy f(−y) d

dyδ(y)

=

∫ ∞

−∞dy

[d

dy

(f(−y)δ(y)

)− δ(y)

d

dyf(−y)

]= 0 +

∫ ∞

−∞dy[−δ(y)(−f ′(−y))

]= f ′(0) (2.175)

*13 発散等、関数の振る舞いが著しく悪くないという理解で良い。


となるので、証明できる。

それでは、左辺に対する次の計算はどこが間違っているか？∫ ∞

−∞dx f(x)δ′(−x) =

∫ ∞

−∞dx f(x)

(d

dxδ(−x)

)=

∫ ∞

−∞dx

[d

dx

(f(x)δ(−x)

)− δ(−x) d

dxf(x)

]= −

∫ ∞

−∞dx δ(−x)f ′(x)

(2.165)= −f ′(0) (2.176)

次の計算も間違っているが、どこがいけないか？∫ ∞

−∞dx f(x)δ′(−x) =

∫ ∞

−∞dx f(x)

(d

dxδ(−x)

)y=−x=

∫ ∞

−∞dy f(−y)

(− d

dyδ(y)

)= −

∫ ∞

−∞dy

[d

dy

(f(−y)δ(y)

)− δ(y)

d

dyf(−y)

]= 0 +

∫ ∞

−∞dy δ(y)

d

dyf(−y)

x=−y=

∫ ∞

−∞dx δ(−x)

(− d

dxf(x)

)(2.165)= −f ′(0)

(2.177)

このように、「導関数」と「関数の微分」の違いを区別せず、両者を混同してしまうと間違った結果となっ

てしまう。(2.170) 式の証明はデルタ関数について解説してある教科書にはたいてい載っているので、演習

問題として残しておく。

2.A.2 フーリエ (Fourier)級数

任意の関数 f(x)は、様々な波数の波の重ね合わせで表すことができる。ここでは簡単のために 1次元空

間の場合を考えよう。周期が Lの周期関数 f(x) = f(x+ L) (f(x− L/2) = f(x+ L/2)でもよい) を平面

波を表す関数系 exp(iknx)で展開する*14：

f(x) =

∞∑n=−∞

cn exp(iknx). (2.178)

周期的境界条件より、

kn =2π

Ln, (n = 0,±1,±2, · · · ) (2.179)

であり、展開係数は、1

L

∫ L

0

exp

[i(n−m)

2πx

L

]dx = δnm (2.180)

であることを用いると、

cn =1

L

∫ L

0

f(x) exp(−iknx)dx (2.181)

で与えられる。級数展開 (2.178)をフーリエ (Fourier)級数展開といい、展開係数の集合 |cn|を関数 f(x)

のスペクトルという。

*14 関数 (ベクトル)を一時独立な基底関数 (ベクトル)exp(iknx)で展開している。


フーリエ展開の係数 cn と元の関数 f(x)との間には、ベッセル-パーセヴァルの等式

1

L

∫ L

0

|f(x)|2dx =∞∑

n=−∞|cn|2 (2.182)

が成り立つ。

演習問題 E.2.9 : (2.179), (2.181)を示せ。

加点問題 P.2.3 : 　ベッセル-パーセヴァルの等式を示せ。

ヒント： 1L

∫ L

0|f(x)|2dx = 1

L

∫ L

0f(x)∗f(x)dx にフーリエ級数展開を代入する。

2.A.3 フーリエ変換

フーリエ変換は、フーリエ級数展開の極限として定義することができる。任意の関数 f(x)に対して、区

間 −L/2 ≤ x ≤ L/2での f(x) を fL(x)と書くことにする。fL(x) について周期的境界条件を課し、フー

リエ級数展開すれば、

fL(x) =∞∑

n=−∞cn exp(iknx). (2.183)

展開係数は、kn = 2πn/Lに注意して、

cn =1

L

∫ L/2

−L/2

f(x) exp(−iknx)dx =kn+1 − kn

2π

∫ L/2

−L/2

f(x) exp(−iknx)dx (2.184)

である。これを展開式 (2.183)に代入して、L → ∞の極限を考え、kn+1 − kn → dk とすると、フーリエ

の積分定理

f(x) ≡ limL→∞

fL(x) =

∫ ∞

−∞

dk

2π

[∫ ∞

−∞f(ξ) exp(−ikξ)dξ

]exp(ikx) (2.185)

=1√2π

∫ ∞

−∞

[1√2π

∫ ∞

−∞f(ξ) exp(−ikξ)dξ

]exp(ikx)dx (2.186)

が得られる。

ここで、

f(k) =1√2π

∫ ∞

−∞f(x) exp(−ikx)dx (2.187)

と定義すると、

f(x) =1√2π

∫ ∞

−∞f(k) exp(ikx)dk (2.188)

である。これらの積分変換をフーリエ変換と呼び、特に関数 f(k)を元の関数 f(x) のフーリエ変換という。

f(k)から f(x)への変換をフーリエ逆変換という。

これまでは xを位置、k を波数としてフーリエ変換を考えたが、時間 tと角振動数 ω もフーリエ変換で

変換される独立変数の組として重要である、すなわち、

f(ω) =1√2π

∫ ∞

−∞f(t) exp(+iωt)dt (2.189)

f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞f(ω) exp(−iωt)dω (2.190)


ここで、歴史的慣習*15から、時間と振動数の間のフーリエ変換は、位置と波数の場合と比べ、expの符号を

逆にして定義されていることに注意すること。

関数 f(x) と g(x) の畳み込み積分を

h(x) = f(x) ∗ g(x) ≡∫ ∞

−∞f(y)g(x− y)dy (2.191)

で定義する。畳み込み積分のフーリエ変換は

h(k) =√2πf(k)g(k) (2.192)

で与えられる。h(k) = f(k)g(k)のフーリエ逆変換は√2πf(x)g(x) である。

演習問題 E.2.10 : フーリエ変換を f(k) = F [f(x)]と表す。以下の関係式を示せ。

F [eik0xf(x)] = f(k − k0) (2.193)

F [f(x− x0)] = e−ikx0 f(k) (2.194)

F [f(cx)] = 1

|c|f(k/c) (2.195)

F [xnf(x)] = (i)ndnf(k)

dkn(2.196)

F [dnf(x)/dxn] = (ik)nf(k) (2.197)

略解証明はフーリエ変換について解説してある教科書にはたいてい載っているので割愛。

演習問題 E.2.11 : 畳み込み積分のフーリエ変換を示せ。略解

h(k) =1√2π

∫dxh(x)e−ikx =

1√2π

∫dx

∫dyf(y)g(x− y)e−ikx

=√2π

[1√2π

∫dyf(y)e−iky

] [1√2π

∫dxg(x− y)e−ik(x−y)

]=

√2π

[1√2π

∫dyf(y)e−iky

] [1√2π

∫d(x− y)g(x− y)e−ik(x−y)

]=

√2πf(k)g(k) (2.198)

2.A.4 デルタ関数のフーリエ変換

ディラックのデルタ関数をフーリエ変換すると、

δa(k) ≡1√2π

∫ ∞

−∞δ(x− a) exp(−ikx)dx =

1√2π

exp(−ika) (2.199)

となる。さらにフーリエ逆変換すると、

δ(x− a) = 1√2π

∫ ∞

−∞

[1√2π

exp(−ika)]exp(ikx)dk (2.200)

=1

2π

∫ ∞

−∞exp(ik(x− a))dk (2.201)

となる。これがディラックのデルタ関数のフーリエ積分表示である。

*15 相対性理論における Minkowski 時空の計量の符号と整合的になるように選ばれている。


ここで、a = x′ とおくと、

δ(x− x′) =∫ ∞

−∞

[1√2π

exp(ikx′)

]∗ [1√2π

exp(ikx)

]dk (2.202)

がとなるが、これは関数 exp(ikx)/√2π が完全性条件を満たすことを示している。一方、(2.202)式におい

て xと k を入れ替えた

δ(k − k′) =∫ ∞

−∞

[1√2π

exp(ik′x)

]∗ [1√2π

exp(ikx)

]dx (2.203)

は関数 exp(ikx)/√2π の正規直交性を表している。

デルタ関数のフーリエ積分表示を用いると、デルタ関数を通常の関数の極限で系統的に表すことができ

る。そのために、limϵ→0

ρϵ(k) = 1 (2.204)

となる関数を導入して、

δ(x) = limϵ→0

δϵ(x) = limϵ→0

1

2π

∫ ∞

−∞ρϵ(k) exp(−ikx))dk (2.205)

と表すことを考えよう。

例えば、ρϵ(k) = exp(−ϵ|k|) (2.206)

とおくと、

δϵ(x) =1

2π

∫ ∞

−∞e−ϵ|keikxdk =

1

2π

[∫ 0

−∞dke(ϵ+ix)k +

∫ ∞

0

dke−(ϵ−ix)k

]=

1

2π

[1

ϵ+ ix+

1

ϵ− ix

]=

1

π

ϵ

x2 + ϵ2(2.207)

となるので、

δ(x) = limϵ→0

1

π

ϵ

x2 + ϵ2(2.208)

と極限で表すことができる。

デルタ関数の積分表示を用いると、フーリエ変換に関するパーセヴァル-プランシュレル (Perseval-

Plancherel)の等式 ∫|f(x)|2dx =

∫|f(k)|2dk (2.209)

を示すことができる。

演習問題 E.2.12 : デルタ関数の積分表示を利用して、パーセヴァル-プランシュレルの等式を証明せよ。

略解 ∫dx|f(x)|2 =

∫dx

[1√2π

∫dkf∗(k)eikx

] [1√2π

∫dk′f(k′)e−ik′x

]=

∫dkf∗(k)

∫dk′f(k′)

1

2π

∫e−i(k−k′)xdx =

∫dkf∗(k)

∫dk′f(k′)δ(k − k′)

=

∫dkf∗(k)f(k) (2.210)


加点問題 P.2.4 : ρϵ(k) = exp(−ϵ2k2/2) とおくことにより

δ(x) = limϵ→0

1

ϵ

1√2π

exp

(− x2

2ϵ2

)(2.211)

を示せ。積分公式 (ガウス積分) ∫ ∞

−∞e−ξ2dξ =

√π (2.212)

を用いよ。

略解デルタ関数を扱っている教科書で、少し程度の高いものであれば解説されているので割愛。

55

第 3章

1次元調和振動子

本章でも空間 1次元の問題を考える。量子力学の応用面では、任意のポテンシャル V (x)による粒子の束

縛状態を取り扱う場面も多い。ここで、ポテンシャルは x = aで安定な平衡点を持つとしよう。平衡点を持

つという条件から、x = aでは粒子に力が働かないので、

dV (x)

dx

∣∣∣∣x=a

= 0 (3.1)

である。また、平衡点は安定であるという条件から、ポテンシャルは x = aの近傍で下に凸

d2V (x)

dx2

∣∣∣∣x=a

> 0 (3.2)

でなければならない。

このとき、平衡点 x = aまわりの微小振動を考えると、ポテンシャルは

V (x) = V (a) +1

2

d2V (x)

dx2

∣∣∣∣x=a

(x− a)2 +O((x− a)3

)(3.3)

で良く記述される。ここで、O((x − a)3

)の寄与を無視する近似を、ポテンシャル V (x) の調和近似とい

う。調和近似では平衡点からのずれ (x− a)を微小量として扱っていることに注意しよう*1。(x− a)3 以上の次数の項を考慮した場合を場合を非調和ポテンシャルと呼ぶ。以下ではエネルギーの原点を V (a)にとり

(V (a) = 0)、座標原点を平衡点にとる (a = 0)。

ポテンシャル中の質量mの粒子のハミルトニアンを調和近似のもとで考える。

H =p2

2m+ V (x) =

p2

2m+

1

2mω2x2 (3.4)

である。ここで

ω2 ≡ 1

m

d2V (x)

dx2

∣∣∣∣x=0

(3.5)

とおいた。(3.4)式の右辺第 2項のポテンシャルを調和振動子ポテンシャルと呼ぶ。調和振動子ポテンシャ

ルが適用可能な例は多く、例えば、分子振動、結晶格子の振動 (フォノン)、電磁場 (量子電磁気学)などが

挙げられる。

本章では、ハミルトニアン (3.4)に対する Schrodinger 方程式のエネルギー固有値問題について考える。

上述のように、1次元調和振動子それ自体も物理的な重要性を持っているが、その解析手法が量子力学の他

*1 逆に言えば、平衡点近傍の運動に限れば、(テイラー展開できる) 任意のポテンシャル中での粒子の運動を、調和振動子ポテンシャルで近似的に記述することが可能である。

56 第 3章 1次元調和振動子

の問題にも適用可能であるという技術的な側面からも、1 次元調和振動子はたいへん重要である。すなわ

ち、級数展開による解析的手法と、(生成消滅演算子による)代数的手法である*2。これら手法の別の適用例

として、10章では角運動量を取り扱う*3。3次元球対称ポテンシャルおよび水素原子のエネルギー固有値問

題については、前者の級数展開による解析的手法を主に用いて 11章で調べる*4。

出席課題 S.3.1 : 平衡点は安定であるという条件が、ポテンシャルは x = aの近傍で下に凸である

ことを意味することを説明せよ。

3.1 解析的手法 (級数展開法)：エルミート (Hermite)多項式

3.1.1 無次元化

位置表示をとり、時間に依らない Schrodinger 方程式

Hψ(x) =

[− ℏ2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2

]ψ = Eψ(x) (3.6)

を解くことを考えよう。(エネルギー固有状態を考えているので、ψ(x) = ⟨x|E⟩である*5。)

まず、変数の無次元化を行う。長さ、エネルギーの単位を ℏ,m, ω からつくると、√ℏ/(mω), ℏω となる。

これらを用いて、位置 xとエネルギー E を無次元化して

ξ ≡ x√mω

ℏ, (3.7)

λ ≡ 2E

ℏω(3.8)

を導入する。すると Schrodinger方程式は、

d2ψ

dξ2+ (λ− ξ2)ψ = 0 (3.9)

となる。

出席課題 S.3.2 :√ℏ/(mω)と ℏω がそれぞれ長さとエネルギーの次元を持つことを確かめよ。

3.1.2 無限遠での漸近解と級数展開

微分方程式が与えられたとき、その解が漸近的にどのように振る舞うかを調べることは、微分方程式の解

を求めるための下調べとしての常套的手段である。

無限遠での解の振る舞いを調べよう。|ξ|の大きいところで、(3.9)式は

d2ψ

dξ2∼ ξ2ψ (3.10)

*2 解析的手法では特殊関数などのいわゆる「物理数学」の知識が必要不可欠になる。やや程度は高いが、蓬田清「演習形式で学ぶ特殊関数・積分変換入門」(共立出版) には量子力学で必要となる知識が汎くコンパクトにまとめられている。ある程度修練を積んだ学生にとっては良書となるであろう。

*3 角運動量では、生成・消滅演算子の代わりに、昇降演算子と呼ばれるものが用いられる。*4 代数的手法を用いて水素原子のエネルギー固有値問題を解くことも可能である。*5 あるいは、ψ(x) = ⟨x|n⟩

3.1 解析的手法 (級数展開法)：エルミート (Hermite)多項式 57

と近似できる。さて、f(ξ) = exp(±ξ2/2)に対して、|ξ|の大きいところでは

d2f/dξ2 = ξ2f ± f ∼ ξ2f (3.11)

となり (3.10)式が (近似的に)満たされることに注意する。ここで、波動関数が無限遠で発散しないように、

無限遠での漸近形として

ψ(ξ)|ξ|→∞−→ exp

(−ξ

2

2

)(3.12)

を採用しよう。

さらに、波動関数からこの漸近形部分を分離して*6

ψ(ξ) = H(ξ) exp

(−ξ

2

2

)(3.13)

とおく。これを (3.9)式に代入すると、H(ξ)が満たすべき微分方程式

d2H

dξ2− 2ξ

dH

dξ+ (λ− 1)H = 0 (3.14)

を得る。

関数 H(ξ)を ξ のべき級数

H(ξ) =∞∑k=0

akξk (3.15)

で展開して (3.14)式に代入し、ξk の係数を比較すると、漸化式

(k + 1)(k + 2)ak+2 = (2k + 1− λ)ak, (k = 0, 1, 2, · · · ) (3.16)

が得られる。これより、H(ξ)には、漸化式において a0 からはじまる偶パリティの系列

Heven(ξ) =

∞∑m=0

a2mξ2m (3.17)

と、a1 からはじまる奇パリティの系列

Hodd(ξ) =∞∑

m=0

a2m+1ξ2m+1 (3.18)

があることが分かる。これが 2階の微分方程式 (3.14)の 2つの独立解である。

出席課題 S.3.3 : 漸化式 (3.16)を示せ。略解級数展開 (3.15)を (3.14)式に代入すると、

∞∑k=2

k(k − 1)akξk−2 − 2ξ

∞∑k=1

kakξk−1 + (λ− 1)

∞∑k=0

akξk = 0 (3.19)

左辺第１項について、ξk に揃うように添え字を操作すると、∞∑

k=0

(k + 2)(k + 1)ak+2ξk − 2

∞∑k=1

kakξk + (λ− 1)

∞∑k=0

akξk = 0 (3.20)

左辺第 2項の和の下限を k = 0にしてもゼロが足されるだけである。よって∞∑

k=0

[(k + 2)(k + 1)ak+2 − 2kak + (λ− 1)ak

]ξk = 0 (3.21)

これより漸化式 (3.16) を得る。

*6 これも物理数学でしばしば用いられる常套的テクニックである。


3.1.3 エネルギー固有値：エネルギーの量子化が起こる理由

さて、級数展開が無限に続くと仮定しよう。すると、漸化式 (3.16)より k →∞において、

ak =2k − 3− λk(k − 1)

ak−2 ∼2

kak−2 (3.22)

となる。このような漸化式に基づく級数展開を考えると、これは |ξ|の大きいところで

H(ξ) ∼ exp(ξ2) (3.23)

となることを意味する。すると、減衰指数関数因子 ((3.13)式参照) e−ξ2/2があるにも関わらず、波動関数は

ψ ∼ H(ξ) exp

(−ξ

2

2

)∼ exp

(ξ2

2

)(3.24)

となって発散してしまう。

したがって、波動関数が発散しないためには、漸化式 (3.16)において、ある有限の k = nにおいて、

2n+ 1− λ = 0 (3.25)

となって、級数展開 (3.15)が多項式となる必要がある。これより、λは特別の値を取る必要があるが、(3.8)

式に注意すれば、これはエネルギー固有値が特別の値を取らなければならないことを意味する。すなわち、

エネルギー固有値は

En =

(n+

1

2

)ℏω, (n = 0, 1, 2, · · · , ) (3.26)

となり、調和振動子ポテンシャルの束縛状態ではエネルギーの固有値は離散化されることが分かる*7。

出席課題 S.3.4 : Schrodinger 方程式 (3.6)からはじめて、調和振動子ポテンシャルにおいて波動関数が発散しないためには、級数展開 (3.15)が途中で途切れる必要があることを示せ。特に、漸化式 (3.22)に従う級数展開が (3.23)式を意味することを具体的に示せ*8。また、このことからエネルギー固有値が量子化されることを示し、エネルギー固有値を求めよ。

略解論理の展開は講義ノートにあるとおり。詳細は各自で補うこと。

ゼロ点エネルギー

ここで、エネルギーが最小となる基底状態のエネルギーは 0ではなく、有限のゼロ点エネルギー

E0 =1

2ℏω > 0 (3.27)

を持つことは注目に値する。これは、バネの自然長の位置に静止している粒子を考えればそのエネルギーが

0となる古典論と大きく対比される点である。加点問題 P.3.3で示されるように、このゼロ点エネルギーの

存在は、量子力学の不確定性原理に起因していると解釈することができる。

古典論における「バネの自然長の位置に静止している」状態は、位置と運動量の値が確定している状態で

あるが、量子力学においては位置と運動量の同時固有状態が存在しないため、そのような状態は存在しな

い。すなわち、位置と運動量に関する不確定性原理のために、「バネの自然長の位置に静止している」エネ

ルギーが 0になる状態が存在せず、その結果、ゼロ点エネルギーが生じると解釈できる。

*7 ここで、調和振動子の自然長の位置のエネルギーをポテンシャルの基準に取った。

*8 つまり、ex2の Taylor展開が ex

2= 1+ x2 +

1

2x4 +

1

6x6 +

1

24x8 + · · · となることを示し、この展開係数が漸化式 (3.22)

に従っていることが言えればよい。


3.1.4 ハミルトニアンの固有関数：エルミート多項式

このように、束縛状態を考えると、エネルギー固有値の量子化 (3.25), (3.26) が起こり、級数展開 (3.15)

は次数 nの有限多項式になる。そこで H(ξ), ψ(ξ)を

H(ξ)→ Hn(ξ), ψ(ξ)→ ψn(ξ) = Hn(ξ) exp

(−ξ

2

2

)(3.28)

のように、その次数が分かるように添え字 nを加えて表すことにする。以下では多項式 Hn(ξ)について調

べよう。

偶パリティ系列

a0 からはじまる偶パリティ系列 (k = 2m とする) が k = n = 2l で途切れるとすると、(3.25) 式より

λ = 4l + 1である。このとき、漸化式 (3.16)より、

a2(m+1) = −4(l −m)

(2m+ 2)(2m+ 1)a2m (3.29)

これより、

a2m = −4(l − (m− 1)

)2m(2m− 1)

a2(m−1) = (−4)2(l − (m− 2)

)(l − (m− 1)

)2m(2m− 1)(2m− 2)(2m− 3)

a2(m−2) = · · ·

= (−4)m(l − 0

)(l − 1

)· · ·(l − (m− 2)

)(l − (m− 1)

)(2m)!

a0

= (−4)m(l − 0

)(l − 1

)· · ·(l − (m− 2)

)(l − (m− 1)

)(2m)!

(l −m)!

(l −m)!a0

= (−1)m22ml!

(2m)!(l −m)!a0 (3.30)

よって、偶パリティ系列の級数解は

Heven2l (ξ) =

∞∑m=0

a2mξ2m = a0

l∑m=0

(−1)m(2ξ)2ml!

(2m)!(l −m)!(3.31)

である。

偶パリティ系列の級数解 (3.31)を用いると、

Heven0 (ξ) = a0 (3.32)

Heven2 (ξ) = a0(1− 2ξ2) (3.33)

Heven4 (ξ) = a0(1− 4ξ2 +

4

3ξ4) (3.34)

· · ·

のように与えられる。

奇パリティ系列

a1 からはじまる奇パリティ系列 (k = 2m + 1とする)が k = n = 2l + 1 (m = l)で途切れるとすると、

(3.25)式より λ = 4l + 3である。このとき、漸化式 (3.16)より、

a2(m+1)+1 = − 4(l −m)

(2m+ 3)(2m+ 2)a2m+1 (3.35)


0

1

2

3

4

5

6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

En

x

ψ5(x)

ψ4(x)

ψ3(x)

ψ2(x)

ψ1(x)

ψ0(x)

図 3.1 調和振動子ポテンシャルにおける束縛状態のエネルギー準位 En と波動関数 ψn(x)。ℏ = ω =

m = 1と規格化した場合の結果を示す。

これより、

a2m+1 = −4(l − (m− 1)

)(2m+ 1)2m

a2(m−1)+1 = (−4)2(l − (m− 2)

)(l − (m− 1)

)(2m+ 1)2m(2m− 1)(2m− 2)

a2(m−2)+1 = · · ·

= (−4)m(l − 0

)(l − 1

)· · ·(l − (m− 2)

)(l − (m− 1)

)(2m+ 1)!

a1

= (−4)m(l − 0

)(l − 1

)· · ·(l − (m− 2)

)(l − (m− 1)

)(2m+ 1)!

(l −m)!

(l −m)!a1

=(−1)m

222m+1 l!

(2m+ 1)!(l −m)!a1 (3.36)

よって、

Hodd2l+1(ξ) =

∞∑m=0

a2m+1ξ2m+1 =

a12

l∑m=0

(−1)m(2ξ)2m+1 l!

(2m+ 1)!(l −m)!(3.37)

である。

奇パリティ系列の級数解 (3.37)を用いると、

Hodd1 (ξ) = a1ξ (3.38)

Hodd3 (ξ) = a1

(ξ − 2

3ξ3)

(3.39)

Hodd5 (ξ) = a1

(ξ − 4

3ξ3 +

4

15ξ5)

(3.40)

· · ·

のように与えられる。


エルミート多項式の導入

上で導いた級数解Heven(ξ), Hodd(ξ)はいずれも、エルミート多項式として知られる関数の定数倍になっ

ている (3.1.6節参照)。すなわち、(3.69), (3.70)式を用いれば、

Heven2l (ξ) = a0

(−1)ll!(2l)!

H2l(ξ) (3.41)

Hodd2l+1(ξ) =

a12

(−1)ll!(2l + 1)!

H2l+1(ξ) (3.42)

である。ロドリゲスの公式 (3.75)式を用いて幾つかのエルミート多項式を列記しておくと、

H0(ξ) = 1

H1(ξ) = 2ξ

H2(ξ) = 4ξ2 − 2

H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ

H4(ξ) = 16ξ4 − 48ξ2 + 12

H5(ξ) = 32ξ5 − 160ξ3 + 120ξ

となる。これらの結果は級数解 (3.37),(3.31)と整合的である*9。

級数解 (3.42),(3.41)のエルミート多項式の部分を除いた係数因子を規格化定数 Cn の自由度に吸収させ

て、偶パリティ、奇パリティの系列をまとめて

Hn(ξ)→ CnHn(ξ) (3.43)

と表すと、1 次元調和振動子ポテンシャル中の粒子の波動関数は、エルミート多項式を用いて、(3.13) 式

より、

ψn(ξ) = CnHn(ξ) exp

(−ξ

2

2

)(3.44)


(3.7)式を用いて次元を回復すれば、

ψn(x) = Cn exp(−mω

2ℏx2)Hn

(√mω

ℏx

)(3.45)

となる。ここで、エネルギー固有値 En に属することを示すために添字 nをつけて固有関数を ψn とあらわ

した。規格化定数 Cn は、エルミート多項式の直交関係式 (3.87)を用いることで

Cn =1√2nn!

(mωπℏ

)1/4(3.46)

と定まる (加点問題 P.3.1参照)。こうして求まった波動関数の概要を図 3.1に示す。

出席課題 S.3.5 : 漸化式 (3.22)に従う無限級数展開が (3.23)となることを示せ。略解漸化式 (3.22)より、a0 からはじまる系列に対しては、k = 2mとして、

a2m ∼ 2

2ma2(m−1) =

1

m(m− 1)a2(m−2) = · · · = 1

m!a0 (3.47)

*9 すなわち、エルミート多項式を知らなくても、級数展開法によって解を求めることが可能である。


同様に、a1 からはじまる系列に対しては

a2m+1 ∼ 1(2m+1

2

)!a1 (3.48)

これより、和を偶数部分と奇数部分に分ければ

H(ξ) =∑k=0

akξk =

∑m=0

a2mξ2m +

∑m=0

a2m+1ξ2m+1

∼ a0∑m=0

1

m!(ξ2)m + a1

∑m=0

1(2m+1

2

)!(ξ2)

2m+12 (3.49)

ここで、mの大きいところでは (2m+ 1)/2 ∼ m であるから、

H(ξ) ∼(a0 + a1

) ∑m=0

1

m!(ξ2)m =

(a0 + a1

)eξ

2

∼ eξ2

(3.50)

加点問題 P.3.1 : 常微分方程式の級数展開法により 1次元調和振動子のエネルギー固有値およびエネルギー固有状態を求めよ。

略解 (3.45)式の導出までは講義ノートに従って、足りない部分を補えばよい。規格化定数 Cn を決めるために

は、エルミート多項式の直交関係式 (3.87)を用いる。すなわち、

1 =

∫ ∞

−∞dxψ∗

n(x)ψn(x) = |Cn|2√

ℏmω

∫ ∞

−∞exp(−ξ2)Hn(ξ)Hn(ξ)

= |Cn|2√

ℏmω

√π2nn! (3.51)

より規格化定数 (3.46) が求まる。原島鮮「初等量子力学」(裳華房) の 4 章も参照のこと。

加点問題 P.3.2 : 1 次元調和振動子のエネルギーが不確定性原理に起因していることを以下の手順

に従って示せ*10。

1. (3.85) 式と直交関係式 (3.87) を用いることで、位置と運動量の期待値が ⟨x⟩ = 0, ⟨p⟩ = 0


2. 漸化式 (3.78)を用いて

ξ2Hn(ξ) =1

4Hn+2(ξ) +

(n+

1

2

)Hn(ξ) + n(n− 1)Hn−2(ξ) (3.52)

を示し、(3.52)式および直交関係式 (3.87)を用いることで、

⟨x2⟩ = ℏmω

(n+

1

2

)(3.53)

を示せ。

3. p2 の期待値が

⟨p2⟩ = mℏω(n+

1

2

)(3.54)


4. エネルギーの期待値が、標準偏差 (1.120)を用いて、

⟨H⟩ = (∆p)2

2m+

1

2mω(∆x)2 (3.55)

となることを示せ。さらに、これを用いてエネルギー期待値の最小値 (零点振動)が不確定

性原理に起因していることを議論せよ。

*10 生成消滅演算子を用いた導出 (演習問題 E.3.1–E.3.3, (E.2.5)参照)よりも圧倒的に面倒な計算が必要になる。


略解 1. まず、位置の期待値は*11

⟨x⟩ =∫ ∞

−∞dxψ∗

n(x)xψn(x) = |Cn|2√

ℏmω

∫ ∞

−∞dξ ξ e−ξ2Hn(ξ)Hn(ξ)

= |Cn|2√

ℏmω

∫ ∞

−∞dξ

d

dξ

(−1

2e−ξ2

)Hn(ξ)Hn(ξ) (3.56)

部分積分して、(3.85)式および直交関係式 (3.87)を用いると

⟨x⟩ = −|Cn|2√

ℏmω

∫ ∞

−∞dξ e−ξ2Hn

dHn

dξ

(3.85)= −|Cn|2

√ℏmω

∫ ∞

−∞dξ e−ξ2Hn

(2nHn−1

)(3.87)= 0 (3.57)

運動量の期待値も同様に、(3.85)式および直交関係式 (3.87)を用いて計算できるが、ψn(x)が実関数

なので、部分積分で

⟨p⟩ =∫ ∞

−∞dxψ∗

n(x)

(−iℏ d

dx

)ψn(x)

= −iℏ[ψn(x)ψn(x)

]∞−∞ −

∫ ∞

−∞dx

(−iℏ d

dxψn(x)

)ψn(x)

= 0− ⟨p⟩ (3.58)

であることに気づけば、⟨p⟩ = 0と直ちに求まる。

2. 漸化式 (3.78)を用いて Hn+1, Hn−1 を消去すればよい。

Hn+2 − 2ξHn+1 + 2(n+ 1)Hn = 0

2ξ ×(Hn+1 − 2ξHn + 2nHn−1

)= 0

2n×(Hn − 2ξHn−1 + 2(n− 1)Hn−2

)= 0 (3.59)

を辺々加えて整理すれば (3.52)式となる。x2 の期待値は

⟨x2⟩ = |Cn|2(

ℏmω

)3/2 ∫ ∞

−∞dξ e−ξ2Hn(ξ) ξ

2Hn(ξ) (3.60)

であるが、ξ2Hn(ξ)に (3.52)式を用いて、直交関係式 (3.87)よりゼロにならない項だけ残せば、

⟨x2⟩ = |Cn|2(

ℏmω

)3/2 ∫ ∞

−∞dξ e−ξ2Hn(ξ)

(n+

1

2

)Hn(ξ)

(3.87),(3.46)=

ℏmω

(n+

1

2

)(3.61)

3. 定義どおり計算すれば、

⟨p2⟩ = −ℏ2|Cn|2√mω

ℏ

∫ ∞

−∞dξ e−ξ2/2Hn(ξ)

d2

dξ2

(e−ξ2/2Hn(ξ)

)(3.62)

となる。ここで ′ を d/dξ として

d2

dξ2

(e−ξ2/2Hn(ξ)

)= e−ξ2/2 (−Hn + ξ2Hn − 2ξH ′

n +H ′′n

)(3.63)

であるが、H ′′n の項は (3.86) 式を用いれば、直交関係式よりゼロになるので無視する。ξH ′

n の項に

(3.85)式を用いると、

e−ξ2/2 (−Hn + ξ2Hn − 4nξHn−1

)(3.64)

*11 被積分関数が奇関数であることを看破できれば、直ちに ⟨x⟩ = 0 としてもよい。


が積分に寄与する部分として残る。ξHn−1 の項に (3.59)式を用いると、積分に寄与する部分は

e−ξ2/2 (−Hn + ξ2Hn − 2nHn

)= e−ξ2/2

[−2

(n+

1

2

)Hn + ξ2Hn

](3.65)

となる。ξ2Hn(ξ)に (3.52)式を用いて計算すると、

⟨p2⟩ = +ℏ2|Cn|2√mω

ℏ

∫ ∞

−∞dξ e−ξ2Hn(ξ)

(n+

1

2

)Hn(ξ)

= mℏω(n+

1

2

)(3.66)

となる。

4. ⟨x⟩ = ⟨p⟩ = 0 より、(3.55) 式は直ちに示すことができる。ヒント：零点エネルギーと不確定性原理

との関連については、(相加平均) ≥ (相乗平均)を用いよ。

3.1.5 発展：調和振動子の固有関数の完全性

工事中。

エルミート多項式の積分表示 (あるいはエルミート多項式の完全性)を用いれば調和振動子の固有関数 ψn

が完全性条件 (2.72)を満たすことを示すことができる。

3.1.6 補足：エルミート (Hermite)多項式の諸性質

エルミート多項式の母関数

エルミート多項式は、母関数

S(s; ξ) ≡ exp[− s2 + 2sξ

]= exp

[ξ2 − (s− ξ)2] (3.67)

の多項式展開の係数として、

S(s; ξ) ≡∞∑n

sn

n!Hn(ξ) (3.68)

によって定義される。この母関数による定義では、級数展開で定まっていなかった係数因子を含めて、エル

ミート多項式が次のように完全に決定される：

H2l(ξ) = (−1)ll∑

m=0

(−1)m(2ξ)2m(2l)!

(2m)!(l −m)!(3.69)

H2l+1(ξ) = (−1)ll∑

m=0

(−1)m(2ξ)2m+1 (2l + 1)!

(2m+ 1)!(l −m)!(3.70)

(3.69), (3.70)式の導出：

指数関数のマクローリン展開より、

S(s; ξ) = e2sξ · e−s2 =

∞∑k=0

(2sξ)k

k!

∞∑j=0

(−s2)j

j!

=∞∑k=0

∞∑j=0

(−1)j (2ξ)k

k!

tk+2j

j!(3.71)


ここで、k = 2m のとき、

S(s; ξ) =∞∑j=0

∞∑m=0

(−1)j (2ξ)2m

(2m)!

t2(m+j)

j!(3.72)

l = m+ j とすると、lが 0 ≤ l <∞ を動くとき、mは 0 ≤ m ≤ l を動くから、

S(s; ξ) =∞∑l=0

l∑m=0

(−1)l−m (2ξ)2m

(2m)!

t2l

(l −m)!

=

∞∑l=0

t2l

(2l)!

[(−1)l

l∑m=0

(−1)−m (2ξ)2m(2l)!

(2m)!(l −m)!

](3.73)

(3.68)式と比較して

H2l(ξ) = (−1)ll∑

m=0

(−1)−m (2ξ)2m(2l)!

(2m)!(l −m)!(3.74)

1 = (−1)2m を乗じれば (3.69)式を得る。k = 2m+ 1 の場合も同様にして (3.70)式が示される。

エルミート多項式のロドリゲス (Rodrigues)の公式

エルミート多項式は、

Hn(ξ) = (−1)n exp(ξ2) dn

dξnexp(−ξ2) (3.75)

のように表すこともできる。これをエルミート多項式のロドリゲス (Rodrigues)の公式という。

(3.75)式の導出：

母関数 S(s; ξ) を sの多項式としてマクローリン展開すると、

S(s; ξ) =∞∑

n=0

sn

n!

[dnS

dsn

]s=0

(3.76)

である。エルミート多項式の母関数展開 (3.68)を用いれば

Hn(ξ) =

[dnS

dsn

]s=0

(3.67)= eξ

2

[dn

dsne−(s−ξ)2

]s=0

s=u+ξ= eξ

2

[dn

dune−u2

]u=−ξ

= (−1)neξ2 dn

dξne−ξ2 (3.77)

となり、ロドリゲスの公式が示される。

漸化式

エルミート多項式の母関数 S(s; ξ)を用いることで、次の 2つの漸化式を導くことができる：

Hn+1(ξ)− 2ξHn(ξ) + 2nHn−1(ξ) = 0 (3.78)

d2

dξ2Hn(ξ) = 2n

d

dξHn−1(ξ) = 4n(n− 1)Hn−2(ξ) (3.79)

(3.78)式の証明：


エルミート多項式の母関数 (3.67)の両辺を sで微分する。左辺は

d

ds

(eξ

2

e−(s−ξ)2)= −2(s− ξ) eξ

2

e−(s−ξ)2 = −2(s− ξ)∑n=0

1

n!Hn(ξ) s

n

= −2∑n=0

1

n!Hn(ξ) s

n+1 + 2ξ∑n=0

1

n!Hn(ξ) s

n

= −2∑n=1

1

(n− 1)!Hn−1(ξ) s

n + 2ξ∑n=0

1

n!Hn(ξ) s

n

= −2∑n=1

1

n!nHn−1(ξ) s

n +

[2ξH0(ξ) + 2ξ

∑n=1

1

n!Hn(ξ) s

n

](3.80)

となる。一方、右辺は

d

ds

(右辺

)=∑n=1

1

(n− 1)!Hn(ξ) s

n−1 =∑n=0

1

n!Hn+1(ξ) s

n

= H1(ξ) +∑n=1

1

n!Hn+1(ξ) s

n (3.81)

となるので、両辺まとめると[H1(ξ)− 2ξH0(ξ)

]+∑n=1

sn

n!

[Hn+1(ξ)− 2ξHn(ξ) + 2nHn−1(ξ)

]= 0 (3.82)

となる。左辺第 1項の係数 [H1(ξ) − 2ξH0(ξ)] は左辺第 2項の係数において n = 0としたものと一

致する*12。したがって、この式が成り立つためには、左辺第 2項の sn の係数がゼロ、すなわち漸化

式 (3.78)が成り立てばよい。

(3.79)式の証明：

(3.67)の両辺を ξ で微分すると、

2∑n=0

1

n!Hn(ξ) s

n+1 =∑n=0

1

n!

dHn(ξ)

dξsn (3.83)

となる。dH0/dξ = 0 に注意して変形すると

2∑n=1

1

n!nHn−1(ξ) s

n =∑n=1

1

n!

dHn(ξ)

dξsn (3.84)

両辺 sn の係数を比べてdHn(ξ)

dξ= 2nHn−1(ξ) (3.85)

(3.85)式をを ξ で微分するとd2Hn(ξ)

dξ2= 2n

dHn−1(ξ)

dξ(3.86)

右辺に漸化式 (3.85)式を用いると (3.79)式が得られる。

*12 実際、(3.75)式の下の脚注で示したように H1 = 2ξH0 となっている。

3.2 代数的手法 (演算子法)：生成消滅演算子 67

直交関係式

エルミート多項式の母関数 S(s; ξ)を用いることで、エルミート多項式の直交関係式∫ ∞

−∞exp(−ξ2)Hn(ξ)Hm(ξ) =

√π2nn!δnm (3.87)


(3.87)式の証明：

母関数表示

eξ2

e−(s−ξ)2 =∑n=0

1

n!Hn(ξ) s

n

eξ2

e−(t−ξ)2 =∑m=0

1

n!Hn(ξ) t

n

の辺々を掛け合わせて ξ で積分する。左辺の積の積分は、

(左辺の積の積分) = e2st∫ ∞

−∞e−(ξ−s−t)2dξ =

√πe2st =

√π∑n

1

n!(2st)n (3.88)

となる。右辺の積の積分と合わせてまとめると、∑n

√π 2n

(st)n

n!=∑n

∑m

sntm

n!m!

∫ ∞

−∞dξ e−ξ2Hn(ξ)Hm(ξ) (3.89)

となる。ここで両辺を比較する。まず、左辺には sと tのベキが異なる項は存在しないから、右辺も

そうであるべきである。すなわち、∫ ∞

−∞dξ e−ξ2Hn(ξ)Hm(ξ) = Anδmn (3.90)

とならなければならない。このとき、(3.89)式の右辺は

(右辺) =∑n

∑m

sntm

n!m!Anδmn =

∑n

(st)n

n!

An

n!(3.91)

となるので、左辺と比べると、An =

√π 2n n! (3.92)

と求まるので、直交関係式 (3.87)が示される。

3.2 代数的手法 (演算子法)：生成消滅演算子

1次元調和振動子

H =1

2m

(p2 + (mωx)2

)(3.93)

のエネルギー固有値が

En = ℏω(n+

1

2

), (n = 0, 1, 2, · · · , ) (3.94)


であるという事実を認めるとすると、ハミルトニアンのスペクトル分解は

H =∑n

En|n⟩⟨n| =∑n

ℏω(n+

1

2

)|n⟩⟨n| = ℏω

∑n

(n+

1

2

)|n⟩⟨n| (3.95)

となる。

ここで、n|n⟩ = n|n⟩ (3.96)

なる演算子 nを導入しよう。このとき、ハミルトニアンは

H = ℏω(n+

1

21

)(3.97)

のように表される (以下 1は省略する)。このとき、エネルギー固有状態 |n⟩は、

ℏω(n+

1

2

)|n⟩ = En|n⟩ −→ n|n⟩ =

(En

ℏω− 1

2

)|n⟩ (3.98)

であるので、エネルギー固有状態はまた nの固有状態にもなっている。すなわち、H の固有状態を調べる

代わりに、nの固有状態を調べてもよい。

3.2.1 個数演算子

天下り的になるが、次の演算子

a =1√

2mℏω(mωx+ ip) , (3.99)

a† =1√

2mℏω(mωx− ip) (3.100)

を導入する。a†aを計算すると、

a†a =1

2mℏω(mωx− ip) (mωx+ ip) =

1

2mℏω((mωx)2 + imω[x, p] + p2

)=

1

ℏωH − 1

2(3.101)

となる。これよりハミルトニアンは、

H = ℏω(a†a+

1

2

)(3.102)

とあらわされる。

(3.97)式と比べて、ここでn = a†a (3.103)

を定義し、これを個数演算子 (number operator)と呼ぶ。容易に分かるように、個数演算子はエルミート演

算子である。

個数演算子の固有状態n|n⟩ = n|n⟩ (3.104)

を用いると、エネルギー固有値は

H|n⟩ = ℏω(n+

1

21

)|n⟩ = ℏω

(n+

1

2

)|n⟩ (3.105)


のように直ちに求まる。

(3.101)式の導出と同様の計算から、

aa† =1

ℏωH +

1

2(3.106)

となるので、(3.101)式と組み合わせて、ハミルトニアン (3.93)は

H =1

2ℏω(a†a+ aa†) (3.107)

と表すこともできる*13。

出席課題 S.3.6 : (3.106)式を示せ。出席課題 S.3.7 : nがエルミート演算子であることを示せ。

略解 n† = (a†a)† = a†(a†)† = a†a = n

3.2.2 生成・消滅演算子

aと a† の間には、(3.101), (3.106)式より、

[a, a†] = 1 (3.108)

なる交換関係があることが分かる。個数演算子と aの交換関係は、

[n, a] = [a†a, a](1.45)= [a†, a]a+ a†[a, a] = [a†, a]a

(3.108)= −a (3.109)

同様に、[n, a†] = a†. (3.110)

これらを用いると、

n(a†|n⟩

) (1.44)=

([n, a†] + a†n

)|n⟩ (3.110)= (n+ 1)a†|n⟩ (3.111)

および、n (a|n⟩) = (n− 1)a|n⟩ (3.112)

が得られる。

(3.111), (3.112)式と、

n|n− 1⟩ = (n− 1)|n− 1⟩ (3.113)

n|n+ 1⟩ = (n+ 1)|n+ 1⟩ (3.114)

を比べると、a|n⟩は固有値 (n− 1)に属する nの固有状態 |n− 1⟩、a†|n⟩は固有値 (n+1)に属する nの固

有状態 |n + 1⟩に比例していることが分かる。すなわち、aと a† は固有値 nを 1ずつ下げたり上げたりす

るので、aを消滅演算子、a† を生成演算子と呼ぶ。

a|n⟩ と a†|n⟩ の規格化因子を考えよう。a|n⟩ は状態ベクトル |n − 1⟩ の定数倍であるから、a|n⟩ =An|n− 1⟩とおいて両辺のノルムを計算すると、右辺は |An|2 であり、一方、左辺は

|a|n⟩|2 = ⟨n|a†a|n⟩ = ⟨n|n|n⟩ = n⟨n|n⟩ = n (3.115)

*13 量子電磁気学などであらわれる表式である。


であるから、An =√n、すなわち

a|n⟩ =√n|n− 1⟩ (3.116)

である。a†|n⟩ についても同様の計算すると、

a†|n⟩ =√n+ 1|n+ 1⟩ (3.117)

であることが示せる。(3.116), (3.117)式は、期待値や分散をはじめとする様々な計算を大幅に簡単化する

ことのできる重要公式である。

Note. 次の点に留意すれば (3.116), (3.117)式を丸暗記する必要はない。

• a|n⟩ ∝ |n − 1⟩ であるが、真空条件 a|0⟩ = 0 が成り立つためには、a|n⟩ =√n |n − 1⟩。実際、

a|0⟩ =√0 | − 1⟩ = 0。a|n⟩ =

√n+ 1 |n⟩, a|n⟩ =

√n− 1 |n⟩では真空条件が成り立たない。

• 一方、a†|n⟩ ∝ |n+1⟩ であるが、a†|0⟩ ∝ |1⟩ = 0 が成り立つためには、a†|n⟩ =√n+ 1 |n+1⟩。

a†|n⟩ =√n |n+ 1⟩ の場合には a†|0⟩ =

√0 |1⟩ = 0 となってしまう。

このように、物理的意味を考えれば暗記は最低限にできる。角運動量でも同様の例が出てくるが、丸

暗記しないで済むようにできるのが望ましい。

出席課題 S.3.8 : (3.110), (3.117)式を示せ。演習問題 E.3.1 : 期待値 ⟨x⟩および ⟨x2⟩ を (3.116), (3.117)式を利用して求めよ。略解 (3.99), (3.100)式より、

x =

√ℏ

2mω(a† + a) (3.118)

であるから、

⟨x⟩ =√

ℏ2mω

(⟨n|a†|n⟩+ ⟨n|a|n⟩

)=

√ℏ

2mω

(√n+ 1⟨n|n+ 1⟩+

√n⟨n|n− 1⟩

)= 0. (3.119)

ここで nがエルミート演算子であることから |n⟩の正規直交性 ⟨m|n⟩ = δmn を用いた。

[a†, a] = 0であるから、(a† + a)2 は (a†)2 + 2a†a+ a2 ではないことに注意して ⟨x2⟩を計算すると、

⟨x2⟩ = ℏ2mω

⟨n|(a† + a)(a† + a)|n⟩ = ℏ2mω

⟨n|((a†)2 + aa† + a†a+ (a)2

)|n⟩ (3.120)

となるが、⟨n|(a†)2|n⟩, ⟨n|(a)2|n⟩ の項は、⟨n|n+ 2⟩, ⟨n|n− 2⟩ に比例する形になるので 0になる。少し

考えると、a† と aが同数含まれる項だけ考えればよいことが分かる。よって、

⟨x2⟩ = ℏ2mω

⟨n|(aa† + a†a

)|n⟩ = ℏ

2mω(2n+ 1). (3.121)

演習問題 E.3.2 : 期待値 ⟨p⟩および ⟨p2⟩を求めよ。演習問題 E.3.3 : 物理量 Qの不確定性 ∆Qを ∆Q ≡

√⟨Q2⟩ − ⟨Q⟩2 で定義するとき、以下の関係

式を示せ。

∆x∆p = ℏ(n+

1

2

)(3.122)

3.2.3 真空状態 (基底状態)

固有値 nがどのような値をとるのかについて調べよう。まず、個数演算子はエルミートであるから、その

固有値 nは実数である。さらに、

|a|n⟩|2 = ⟨n|a†a|n⟩ = ⟨n|n|n⟩ = n⟨n|n⟩ = n||n⟩|2 (3.123)


において、状態ベクトルのノルムは非負であるから、

n =|a|n⟩|2

||n⟩|2≥ 0 (3.124)

となり、固有値 nは非負であり、最小値が存在する。最小値を nmin とすると、固有値が nmin よりも小さ

い状態は存在しないので、a|nmin⟩ = 0 である。このため、調和振動子の「基底状態」は「真空状態」と呼

ばれる。これより、n|nmin⟩ = nmin|nmin⟩ = a†(a|nmin⟩ = 0 (3.125)

となるが |nmin⟩ = 0より、最小固有値は nmin = 0である。ここで、最小固有値 nmin = 0に属する基底状

態を |nmin⟩ = |0⟩とあらわし、⟨nmin|nmin⟩ = ⟨0|0⟩ = 1 (3.126)

と規格化しておくことにする。

3.2.4 励起状態

固有値が nの「励起状態」は、|0⟩に生成演算子を n回作用させることで、

|n⟩ = Cn(a†)n|0⟩ (3.127)

と表すことができる。ここで Cn は規格化定数である。

規格化定数を求めよう。(3.117)式より

|n+ 1⟩ = 1√n+ 1

a†|n⟩ (3.128)

であるが、そのノルムを計算すると、

⟨n+ 1|n+ 1⟩ =1

n+ 1⟨n|aa†|n⟩ = 1

n+ 1⟨n|([a, a†] + a†a

)|n⟩

(3.108)=

1

n+ 1⟨n|(1 + n

)|n⟩ = ⟨n|n⟩ = · · · = ⟨0|0⟩. (3.129)

となる。基底状態は規格化しているので、(3.135) 式で定義される |n + 1⟩ も規格化されていることが分かる。

したがって、規格化された第 1励起状態は、基底状態を用いて

|1⟩ = 1√1a†|0⟩ = 1√

1!a†|0⟩ (3.130)

であり、一般の |n⟩に対しては、

|n⟩ = 1√na†|n− 1⟩ = 1√

n(n− 1)(a†)2|n− 2⟩ = · · ·

=1√n!(a†)n|0⟩ (3.131)

が規格化された状態である。


3.2.5 |n⟩の位置表示 ⟨x|n⟩の具体形

最後に、個数演算子の固有状態の位置表示が、(3.45)式で求めたエネルギー固有関数に一致することを示

そう。基底状態の満たす式 a|0⟩ = 0を位置表示すれば、

0 = ⟨x|a|0⟩ = 1√2ℏ⟨x|[√

mωx+ i1√mω

p

]|0⟩ = 1√

2ℏ

[√mωx+

ℏ√mω

∂

∂x

]⟨x|0⟩ (3.132)

となる。ここで無次元化された座標 ξ = x√mω/ℏを導入すると、微分方程式[d

dξ+ ξ

]⟨x|0⟩ = 0 (3.133)

が得られる。これは直ちに解けて、⟨x|0⟩ = C0 exp(−ξ2/2) (3.134)

となる。ガウス積分を用いて規格定数を決めれば、

⟨x|0⟩ =(mωπℏ

)1/4exp

(−ξ

2

2

)(3.135)

である。これが基底状態の位置表示である。

励起状態の位置表示を導出する。まず、生成演算子の任意の状態 ψ への作用は、位置表示では

⟨x|a†|ψ⟩ = 1√2ℏ

[√mωx− ℏ√

mω

∂

∂x

]⟨x|ψ⟩ = − 1√

2

[d

dξ− ξ]⟨x|ψ⟩ (3.136)

となる。これは、運動量演算子の作用が位置表示で微分演算子 p −→ −iℏ∇ となることにちょうど対応するものである (2.2.2節の説明参照)。位置表示における生成演算子の具体型がわかったので、これを基底状

態の波動関数 (3.134)に作用させていくことで、任意の励起状態の波動関数を得ることができる。

さて、任意の関数 f(x)に対して、

exp

(ξ2

2

)d

dξ

[exp

(−ξ

2

2

)f(x)

]=

[d

dξ− ξ]f(x) (3.137)

であることが、左辺を計算することで簡単に示せる。これを用いると、[d

dξ− ξ]nf(x) = exp

(ξ2

2

)dn

dξn

[exp

(−ξ

2

2

)f(x)

](3.138)

となるから、励起状態の位置表示は、

⟨x|n⟩ = 1√n!⟨x|(a†)n|0⟩ = 1√

n!

(− 1√

2

)n

exp

(ξ2

2

)dn

dξn

[exp

(−ξ

2

2

)⟨x|0⟩

](3.139)

で与えられる。⟨x|0⟩に (3.135)式を代入すれば、

⟨x|n⟩ =(mωπℏ

)1/4 1√n!

(− 1√

2

)n

exp

(ξ2

2

)dn

dξnexp(−ξ2)

=1√2nn!

(mωπℏ

)1/4exp

(−ξ

2

2

)[(−1)n exp(ξ2) d

n

dξnexp(−ξ2)

]=

1√2nn!

(mωπℏ

)1/4exp

(−ξ

2

2

)Hn(ξ) (3.140)


となって、(3.45)式と一致する。ここで最後の等号を導く際にエルミート多項式のロドリゲスの公式 (3.75)

を用いた。

このように、はじめから位置表示をとって抽象的な演算子を (具体的な)微分演算子に変えた微分方程式

を解析的に解く (3.1.4参照)のではなく、抽象的な演算子のまま、代数的に計算に基づいて議論をすすめ、

必要に応じて位置表示や行列表示をとって具体的な表式を求める、という方法もある。このような代数的手

法の別の例として、量子力学における角運動量を 10章で取り扱う。

出席課題 S.3.9 : 微分方程式 (3.133)を解いて (3.134)を導け。

出席課題 S.3.10 : (3.137), (3.138)式を示せ。演習問題 E.3.4 : 得られた解 (3.134)を規格化せよ。略解 x =

√ℏ/(mω)ξ に注意して、

1 =

∫dx(C∗

0 e−ξ2/2

)(C0e

−ξ2/2)= |C0|2

∫d(√

ℏ/(mω)ξ)e−ξ2 = |C0|2√

ℏπ/(mω)

より C0 を決定すればよい。ここでガウス積分∫dxe−x2

=√π を用いた。

3.2.6 調和振動子の集合と個数表示

N 個の独立な調和振動子からなる多粒子系を考える*14。N 個の調和振動子はすべて異なる振動数で振動

している場合もあれば、すべて同ーの振動数で振動している場合も考えられる。前者の場合には振動モード

数は N 個であるといい、後者の場合には振動モード数は 1個である。ここで、N 個あるモードに番号を付

けて、k 番目のモードの振動数 ωk にある調和振動子の数を nk とすると、この多粒子系の状態は、nk をす

べて指定することで一意的に決定できる。例えば、上述の前者の例では系の状態は

|nk⟩ ≡ |n1, n2, · · · , nN ⟩ = |1, 1, · · · , 1⟩ (3.141)

であり、後者においてすべての振動子が振動数 ω3 のモードで振動しているとすれば、系の状態は

|nk⟩ = |0, 0, N, 0 · · · , 0⟩ (3.142)

である。このように、各モードを専有する粒子数 (振動子数)で系の状態を表す方法を個数表示という。こ

こで、N∑k

nk = N (3.143)

であることに注意しよう。また、N =∞であることも許される。粒子が互いに独立に振動しているとすると、系のハミルトニアンは、

H =

N∑k=1

ℏωk

(a†kak +

1

2

)(3.144)

で与えられる。ここで、a†k, ak は振動数 ωk のモードの生成消滅演算子であり、交換関係

[ak, a†k] = 1, [ak, ak] = [a†k, a

†k] = 0 (3.145)

*14 この場合、この多粒子系は複合系として取り扱うことが可能になる。複合系については、11.1.2 節、12.1.1 節を参照。ここでは数学的厳密性をあまり気にせずに議論する。


に従う。また、すべてのモードは独立なので、

[ak, a†k′ ] = [ak, ak′ ] = [a†k, a

†k′ ] = 0 (for k = k′) (3.146)

である。以上をまとめると、交換関係は

[ak, a†k] = δkk′ , [ak, ak′ ] = [a†k, a

†k′ ] = 0 (3.147)

となる。

また、エネルギー固有値は、

Enk ≡ En1,n2,··· ,nN =

N∑k=1

ℏωk

(nk +

1

2

)(3.148)

であり、個数演算子nk = a†kak (3.149)

の固有値が振動モード k を専有する粒子数 nk である:

nk|nk⟩ = nk|n1, n2, · · · , nk, · · · , nN ⟩ = nk|n1, n2, · · · , nk, · · · , nN ⟩ = nk|nk⟩ (3.150)

系の固有状態 |nk⟩は、

|nk⟩ = |n1, n2, · · · , nN ⟩(3.131)=

1√n1!

(a†1)n1 |0, n2, · · · , nN ⟩

=1√n1!

(a†1)n1

1√n2!

(a†2)n2 · · · 1√

nN !(a†N )nN |0, 0, · · · , 0⟩

=N∏

k=1

1√nk!

(a†k)nk |0⟩ (3.151)


3.3 1次元調和振動子のエネルギー固有状態による行列表示

1次元調和振動子ポテンシャルの束縛状態は離散固有値であるから行列表示が可能である。ただし、(可

算)無限個の固有状態があるので、無限個の基底ベクトルが必要になるため、行列も無限次元になる*15。

この節では、調和振動子のエネルギー固有状態 |n⟩ (n = 0, 1, 2, · · · ) を基底縦ベクトル

|0⟩ =

100··

, |1⟩ =

010··

, |2⟩ =

001··

, · · · (3.152)

に選んだ場合の演算子の行列要素 (行列表示)を計算しよう*16。

*15 有限次元に収まる行列表示の重要な例として角運動量演算子がある (10章参照)。*16 ここで、1次元調和振動子の場合の行列表示は、可算無限個の固有状態が必要になるから意味がないかと言うとそうではない。例えば、実験で扱うエネルギーが小さい場合には、高いエネルギー固有値の状態が実現することは極めて稀であると期待される。その場合には、有限のエネルギー固有値 (例えば E100)までの状態だけを考えても、実現する状態は十分記述できると考えられる。

3.3 1次元調和振動子のエネルギー固有状態による行列表示 75

3.3.1 ハミルトニアンの行列表示

ハミルトニアンの行列要素は、

⟨m|H|n⟩ = ⟨m|En|n⟩ = En⟨m|n⟩

= Enδmn =ℏω2(2n+ 1)δmn (3.153)

であるから、ハミルトニアンの行列表示は (1.115)式より、

H =

⟨0|H|0⟩ ⟨0|H|1⟩ ⟨0|H|2⟩ · ·⟨1|H|0⟩ ⟨1|H|1⟩ ⟨1|H|2⟩ · ·⟨2|H|0⟩ ⟨2|H|1⟩ ⟨2|H|2⟩ · ·· · · · ·· · · · ·

=ℏω2

1 0 0 · ·0 3 0 · ·0 0 5 · ·· · · · ·· · · · ·

(3.154)

となる。

時間発展を考慮した場合

エネルギー固有状態の時間発展は (1.53)式より、

|n(t)⟩ = e−iℏEnt|n(0)⟩ (3.155)

で与えられる。時間発展を考慮した場合の行列要素は

⟨m|H|n⟩ = ℏω2(2n+ 1) e−

iℏ (En−Em)tδmn (3.156)

となるが、この場合にもハミルトニアンの行列表示は (3.154)式に一致し、時間に依存しない。これは 1.3.4

節で述べたように、エネルギー固有状態は定常状態であり、エネルギーの期待値が時間発展しないという事

実の表れである。

尚、計算は複雑にはなるが、本節および次節の行列表示に関する結果はエルミート多項式を用いた計算か

らも得られることを注意しておく。

3.3.2 位置と運動量の行列表示

生成消滅演算子を用いた表式

x =

√ℏ

2mω(a† + a), (3.157)

p = i

√ℏmω2

(a† − a) (3.158)

を用いれば容易に計算できる。

位置演算子の行列表示

位置演算子の行列要素は、

⟨m|x|n⟩ =√

ℏ2mω

(⟨m|a†|n⟩+ ⟨m|a|n⟩

)=

√ℏ

2mω

(√n+ 1⟨m|n+ 1⟩+

√m+ 1⟨m+ 1|n⟩

)(3.159)


となる。

ここで、エネルギー固有状態として時間発展を考慮した表式 (3.155)を用いれば

⟨m|x|n⟩ =√

ℏ2mω

(√n+ 1 e−

iℏ (En+1−Em)tδm,n+1 +

√m+ 1 e−

iℏ (En−Em+1)tδm+1,n

)(3.160)

を得る。これより、0でない行列要素は

⟨0|x|1⟩ = (⟨1|x|0⟩)∗ =

√ℏ

2mω

√1 e−iωt

⟨1|x|2⟩ = (⟨2|x|1⟩)∗ =

√ℏ

2mω

√2 e−iωt

⟨2|x|3⟩ = (⟨3|x|2⟩)∗ =

√ℏ

2mω

√3 e−iωt

· · ·

⟨n− 1|x|n⟩ = (⟨n|x|n− 1⟩)∗ =

√ℏ

2mω

√n e−iωt (3.161)

· · ·

である。

以上により、位置演算子の行列表示は、

x =

√ℏ

2mω

0√1e−iωt 0 0 · ·√

1e+iωt 0√2e−iωt 0 · ·

0√2e+iωt 0

√3e−iωt · ·

0 0√3e+iωt 0 · ·

· · · · · ·· · · · · ·

(3.162)

となり、演算子自体は時間に依存する。ただし、対角成分が 0 であることからも明らかなように、エネル

ギー固有状態における位置の期待値は 0である (⟨n|x|n⟩ = 0)*17。

運動量演算子の行列表示

同様に計算すれば、運動量演算子の 0でない行列要素は

⟨0|p|1⟩ = (⟨1|p|0⟩)∗ = −i√1 e−iωt

√ℏmω2

⟨1|p|2⟩ = (⟨2|p|1⟩)∗ = −i√2 e−iωt

√ℏmω2

⟨2|p|3⟩ = (⟨3|p|2⟩)∗ = −i√3 e−iωt

√ℏmω2

· · ·

⟨n− 1|p|n⟩ = (⟨n|p|n− 1⟩)∗ = −i√n e−iωt

√ℏmω2

(3.163)

· · ·

*17 演習問題 E.3.1参照

3.4 応用：1次元の弦の振動の量子化 77

と求まるので、その行列表示は

p =

√ℏmω2

0 −i√1e−iωt 0 0 · ·

+i√1e+iωt 0 −i

√2e−iωt 0 · ·

0 +i√2e+iωt 0 −i

√3e−iωt · ·

0 0 +i√3e+iωt 0 · ·

· · · · · ·· · · · · ·

(3.164)

となる*18。

出席課題 S.3.11 : 生成消滅演算子 a†, aの行列表示を求めよ。

演習問題 E.3.5 : (3.163), (3.164)式を示せ。

3.4 応用：1次元の弦の振動の量子化

はじめに述べたように、調和振動子は例えば、分子振動、結晶格子の振動 (フォノン)など、多くの振動現

象に適用可能である。ここでは、そのための基本となる 1次元の弦の振動の量子化について述べる。

3.4.1 弦の運動

1次元の長さ Lの弦を伝わる横波を考える。弦は境界 x = 0と x = Lで固定されており、固定端境界条

件を満たすとする。静止状態の弦に沿って x 軸を取り、静止状態からの横波の変位を h(x, t) で表す。x-y

平面上で、y = h(x, t)が弦を表す曲線である。弦には一定の張力 T =が働いており、弦が振動によって変

形した場合にも弦の接線方向に沿って張力 T が働く。

ここで、時刻 t = t0 において弦が曲線 y = h(x, t0)で与えられたとして、弦の微小要素の力の釣り合いを

考える。弦の位置 x0 の近傍の微小要素 (x0 −∆x/2, x0 +∆x/2)では、弦は直線でほぼ近似できる。曲線

の接線と x軸とのなす角を θとすると、これは h(x, t0)の傾きそのものであるから、

tan θ =∂h

∂x(3.165)

である。ここで弦の変位は微小であるから、tan θ ≈ θ である。張力は接線方向に働いており、その x, y 成分は微小量 θの 1次までで、

Tx = T cos θ = T

(1− θ2

2+ · · ·

)= T (3.166)

Ty = T sin θ = Tθ(3.165)= T

∂h

∂x(3.167)

である。よって x方向の力は釣り合っており、微小要素 (x0 −∆x/2, x0 +∆x/2)に働く y 方向の合力は、

∆xの 1次までで、

Ty(x0 +∆x/2)− Ty(x0 −∆x/2) =∂Ty∂x

∣∣∣∣x0

∆x+O(∆x2) = T∂2h

∂x2∆x (3.168)

となる。

*18 念のため注意しておくと、xおよび pの行列表示が (3.162), (3.164)式のようになるのは、1次元調和振動子のエネルギー固有状態を基底ベクトルとして用いて行列表示したからである。別の基底ベクトルを用いて行列表示した場合には、その結果はもちろん違ったものになる。


弦の線密度 (単位長さあたりの質量)を ρとすると、微小要素の質量は ρ∆xであり、y 方向の運動の加速

度は

ρ∆x∂2h

∂t2(3.169)

である。(3.168), (3.169)式より、微小要素の y 方向の振動の運動方程式は、波動方程式

∂2h

∂t2− c2 ∂

2h

∂x2= 0 (3.170)

に従う。ここで

c2 =T

ρ(3.171)

は振動の伝播速度である。

任意課題 (3.170)式において、cが振動の伝播速度であることを説明せよ。

ヒント波動方程式の形式解は f(x± ct)で与えられる。

3.4.2 弦の振動のエネルギー

弦の振動のエネルギーは、運動エネルギーと、変形に伴い弦に蓄えられる弾性エネルギーの和である。微

小要素の運動エネルギー∆K は

∆K =1

2(ρ∆x)

(∂h

∂t

)2

(3.172)

であり、弦全体では、

K =∑

∆K =∑ 1

2(ρ∆x)

(∂h

∂t

)2

=ρ

2

∫ L

0

dx

(∂h

∂t

)2

(3.173)

である。

次に弾性エネルギーについて考える。ある状態にある弦を微小長さ ∆lだけ伸ばしたとする。そのために

必要な仕事は、弦の張力を T としてW = T∆lである。これが弦の弾性エネルギー∆U として蓄えられる。

微小要素の弦は直線で近似できるので、弦の伸びは

∆l =√∆x2 +∆y2 −∆x =

√∆x2 +

(∂h(x0)

∂x∆x

)2

−∆x

=1

2

(∂h(x0)

∂x

)2

∆x+O(∆x2) (3.174)

と表される。これより、弦を y 方向に h(x, t0)だけ引っ張ったときの微小区間の弾性エネルギーは、∆xの

1次までで、

∆U =1

2T

(∂h

∂x

)2

∆x (3.175)

で与えられる。弦全体の弾性エネルギーは、

U =

∫dU =

∫ L

0

1

2T

(∂h

∂x

)2

dx (3.176)

である。


結局、弦の全振動エネルギー (運動エネルギーと弾性エネルギーの和)は、

E = K + U =1

2

∫ L

0

dx

[ρ

(∂h

∂t

)2

+ T

(∂h

∂x

)2]

(3.177)

となる。

3.4.3 弦の振動モード：固定端境界条件の場合

弦は境界 x = 0と x = Lで固定されており、固定端境界条件

h(0, t) = h(L, t) = 0 (3.178)

を満たすとする。波動方程式 (3.170)式に

h(x, t) = h(t) sin(kx) (3.179)

を代入して固定端条件を課すと、sin kL = 0 (3.180)

より、nは振動モード (振動数)を司る自然数として、波数が

kn ≡πn

L(3.181)

のように離散化され、hとしてh(x, t) = h(t) sin

(πnLx)

(3.182)

なる解が得られる。

一般の振動は異なる振動モードの重ね合わせであり、モード関数は sin(πn/L)xに比例する。ここで、∫ L

0

dx sin(πnLx)sin(πmLx)=

L2 (n = m)0 (n = m)

(3.183)

であるから、規格化されたモード関数を

un(x) ≡√

2

Lsin(πnLx),

∫ L

0

dxunum = δnm (3.184)

によって定義し、hを基準モードの和として

h(x, t) =

√2

L

∞∑n=1

hn(t) sin(πnLx)=

∞∑n=1

hn(t)un(x) (3.185)

と展開する。これは振動の Fourier級数展開そのものである。

これを波動方程式に代入すると、hn(t)の満たすべき方程式は、

hn(t) =d2hn(t)

dt2= −c2

(πnL

)2hn(t) (3.186)

である。すなわち、hn は固有角振動数ωn ≡

πn

Lc = knc (3.187)

の調和振動子の運動方程式に従う。


弦の運動エネルギーは

K =1

2

∫ L

0

dx ρ

(∂h

∂t

)2

=1

2

∫ L

0

dx ρ

[ ∞∑n=1

hn(t)un(x)

][ ∞∑m=1

hm(t)um(x)

]

=1

2ρ∑n

∑m

hnhmδnm =1

2ρ∑n

h2n (3.188)

である。同様に、弾性エネルギーは、

U =1

2

∑n

ρω2nh

2n (3.189)

となる。

弦の全エネルギーは、運動エネルギーを弾性エネルギーの和で、

E = K + U =1

2

∞∑n=1

[ρh2n + ρω2

nh2n

](3.190)

となる。これは、質量m、固有角振動数 ω の調和振動子のハミルトニアン

Hho =p2

2m+

1

2mω2x2 (3.191)

と同型である。

演習問題 E.3.6 : (3.183)式を示せ。

3.4.4 弦の振動の量子化

正凖変数に hn を選ぶ。これに共役な運動量は、ラグランジアン

L = K − U =∞∑

n=1

[1

2ρh2n −

1

2ρω2

nh2n

](3.192)

より、

pn =∂L

∂hn= ρhn (3.193)

である。ハミルトニアンは、

H =∑n

pnhn − L =∞∑

n=1

[1

2ρh2n +

1

2ρω2

nh2n

](3.194)

となり、(3.190)式に一致する。

正凖量子化の処方箋に従って、正凖共役変数 (hn, pn)に正凖交換関係

[hn, pm] = iℏδnm (3.195)

[hn, hm] = 0 (3.196)

[pn, pm] = 0 (3.197)


を要請して弦の振動モードを量子化する。生成・消滅演算子 a, a† を

an =

√ρωn

2ℏ

(hn +

i

ρωnp

)(3.198)

a†n =

√ρωn

2ℏ

(hn −

i

ρωnp

)(3.199)

(3.200)

と定義すると、生成消滅演算子は交換関係

[an, a†m] = δmn (3.201)

を満たし、これ以外の交換関係は 0である。弦の振動モードは、

hn =

√ℏ

2ρωn(a†n + an) (3.202)

pn =

√ℏρωn

2(a†n − an) (3.203)

である。生成消滅演算子を用いれば、変位の演算子は (3.185)より、

h(x) =

√2

L

∞∑n=1

√ℏ

2ρωn(an + a†n) sin

(πnLx)

(3.204)

と表される。

弦の振動のハミルトニアンは

H =∞∑

n=1

ℏωn

(a†nan +

1

2

)(3.205)

ある。個数表示を用いると、基底状態あるいは真空状態 |0⟩は、

an|0⟩ = 0 (3.206)

を満たす。ゼロ点エネルギーは

E =∞∑

n=1

1

2ℏω (3.207)

となって発散するが、物理的に重要なのはエネルギーの差であり、それはいつも有限である。

このように、連続媒質における振動は一般に波動方程式に従うので、フーリエ級数展開によって、調和振

動子に従う固有モードの和に展開される。その振動モードの量子化は、固有モードを調和振動子の量子化に

従って量子化することで達成できる。

3.4.5 熱力学的極限 (L→∞)

ここで、L→∞の連続極限 (熱力学的極限とも呼ばれる)を考えると、(3.181), (3.187)式より波数と固

有角振動数は、連続変数 k, ω になる。ハミルトニアン (3.205)において、形式的に∑∞

n=0 を∫∞0dnに置き

換えると、

H =⇒∫ ∞

0

dnℏω(a†nan +

1

2

)=

∫ ∞

0

Ldk

πℏω(a†nan +

1

2

)(3.208)

となるので、ak =

√Lan, a†k =

√La†n (3.209)


と定義すると、連続極限でのハミルトニアン

H =

∫ ∞

0

dk

π

(a†kak +

1

2L

)(3.210)

が得られる。ここで、ak, a†k の交換関係は

[an, a†m] = δ(n−m) =⇒ [ak, a

†k′ ] = πδ(k − k′) (3.211)

である。

ハミルトニアン (3.210)から分かるように、ゼロ点エネルギーは L → ∞で発散してしまうが、これは、無限小の波数まで考えると、単位長さあたりに無限個の固有モードが存在するからである。発散するゼロ点

エネルギーがあっても、繰り込みの手法によってエネルギーの差は有限にすることが可能であり、物理的な

問題は生じない。

連続極限では、弦の変位を表す演算子は、

h(x) = limL→∞

√2

L

∞∑n=1

√ℏ

2ρωn(an + a†n) sin

(πnLx)

= limL→∞

√2

L

∫ ∞

0

Ldk

π

√ℏ

2ρω

1√L(ak + a†k) sin kx

=

∫ ∞

0

dk

π

√ℏρω

(ak + a†k) sin kx (3.212)


加点問題 P.3.3 : 周期的境界条件h(x+ L, t) = h(x, t) (3.213)

の場合の弦の振動の量子化を考える。

1. 弦の変位は Fourier級数によって

h(x, t) =1√L

∞∑n=−∞

exp

(i2πnx

L

)hn(t) (3.214)

のように固有モードの和に展開できることを示せ。

2. 展開係数 hn(t)は一般に複素数であるが、変位 h(x, t) は実数であるためには、

h−n(t) = hn(t)∗ (3.215)

の条件がつくことを示せ。

3. モード関数が直交すること

1

L

∫ L

0

exp

[i(n−m)

2πx

L

]dx = δnm (3.216)

を示せ。

4. (3.216)式を用いて、弦のエネルギーが

E =1

2

∞∑n=−∞

[ρhnh−n + T

(2πn

L

)2

hnh−n

]

=1

2ρh20 + ρ

∞∑n=1

[|hn|2 + ω2

n|hn|2]

(3.217)

3.5 発展：コヒーレント状態 83

となることを示せ。ただし、

ωn =2πn

Lc (3.218)

である。n = 0のモードは、弦の振動モードではなく、弦全体の並進運動モードである。い

まは弦の振動モードのみに着目しているので、以下ではこれを無視する。

5. hn は複素数であるから

hn =1√2(αn + iβn) (3.219)

とおき、αn, βn それぞれに対して正凖量子化を行い、(3.195)∼(3.205) 式に相当する式を導け。

3.5 発展：コヒーレント状態

エネルギー固有状態 (あるいは個数演算子固有状態) |n⟩ では、状態ベクトルの時間発展は、

|n(t)⟩ = e−iHt/ℏ|n⟩ = e−iEnt/ℏ|n⟩ (3.220)

で与えられたから、期待値の時間発展は

⟨x(t)⟩ ≡ ⟨n(t)|x|n(t)⟩ = ⟨n|x|n⟩ = 0 (3.221)

となってしまう。同様に、運動量の期待値の時間発展も ⟨p(t)⟩ = 0 となってしまうので、これは「単振動す

る粒子」という古典的な描像と大きく異なっている。量子力学においても、⟨x⟩ が単振動するような状態が|n⟩ の重ね合わせによって達成できると期待されるが*19、これについて考えよう。

3.5.1 準備：古典的な調和振動子の再考

古典的な調和振動子のハミルトン方程式は、

dx

dt=∂H

∂p=

p

m,

dp

dt= −∂H

∂q= −mω2x (3.222)

で与えられる。xと pについてより対称な形となるように、

Q ≡ x, P ≡ p

mω(3.223)

を定義すると、dQ

dt= ωP,

dP

dt= −ωQ (3.224)

を得る。さらに複素振幅

a ≡ 1√2(Q+ iP ) (3.225)

を導入すると、運動方程式は

da

dt=

1√2

(dQ

dt+ i

dP

dt

)=

1√2(ωP − iωQ) = −iωa (3.226)

となる。　

*19 自由粒子の運動量固有状態 (平面波)の重ね合わせで波束 (∼粒子)が実現できたように。


3.5.2 コヒーレント状態

前節で導入した複素振幅 a (古典論)の量子論的な対応物は、消滅演算子 a であるから、aの固有状態に

ついて考える*20:a|α⟩ = α|α⟩. (3.227)

ここで、aがエルミート演算子ではないので、固有値 αは一般に複素数値をとることに注意しよう。

|α⟩をエネルギー固有状態 |n⟩で

|α⟩ =∞∑

n=0

cn|n⟩ (3.228)

と展開して*21、(3.227)式の左辺に代入すると、

a∞∑

n=0

cn|n⟩ =∞∑

n=0

cn√n|n− 1⟩ =

∞∑n=1

cn√n|n− 1⟩ =

∞∑n=0

cn+1

√n+ 1|n⟩ (3.229)

となる。これが (3.227)式の右辺に等しいことから、√n+ 1cn+1 = αcn。よって、

cn =α√ncn−1 =

α2√n(n− 1)

cn−2 = · · · = αn

√n!c0. (3.230)

これより、

|α⟩ = c0∑n

αn

√n!|n⟩ (3.231)

となる。

規格化条件

1 = ⟨α|α⟩ = |c0|2[∑

m

(αm

√m!

)∗

⟨m|

][∑n

αn

√n!|n⟩

]

= |c0|2∑n

∑m

(α∗)mαn

√m!n!

⟨m|n⟩ = |c0|2∑n

|α|2n

n!

= |c0|2e|α|2

(3.232)

より、

c0 = e−|α|22 (3.233)

であるから、結局、

|α⟩ = e−|α|22

∑n

αn

√n!|n⟩ (3.234)

を得る。この状態をコヒーレント状態と呼ぶ。(3.131)式を用いれば、

|α⟩ = e−|α|22

∑n

αn

√n!

1√n!(a†)n|0⟩ = e−

|α|22

∑n

(αa†)n

n!|0⟩

= e−|α|2/2 exp(αa†) |0⟩ (3.235)

のようにも表すことができる。

*20 生成消滅演算子 a エルミート演算子ではないので量子力学における可観測量 (物理量) とみなすことはできない。また、[a, a†] = 1 より正規演算子でもないのでスペクトル分解をすることもできない。しかし、古典極限で複素振幅 a に近づくという点で有用な量である。

*21 |∠⟩も状態であることに変わりはないので、完全系 |n⟩で展開できる。


3.5.3 変位演算子を用いた記述

真空状態からコヒーレント状態を作る (3.235)式に表れる演算子 e−|α|2/2 exp(αa†)はユニタリ演算子で

はないが、次のようにすること、真空状態からコヒーレント状態を作りだすユニタリ演算子を定義すること

ができる。まず、exp(−α∗a) |0⟩ = 0 (3.236)

に注意すれば、(3.235)式は|α⟩ = e−|α|2/2 exp(αa†) exp(−α∗a) |0⟩ (3.237)

と変形できる。ここで公式 (3.255)を用いると、

|α⟩ = e−|α|2/2 exp(αa†) exp(−α∗a) |0⟩

= e−|α|2/2 exp

(αa† − α∗a+

|α|2

2[a, a†]

)|0⟩

= exp(αa† − α∗a

)|0⟩ (3.238)

となる。

ここで、

D(α) ≡ exp(αa† − α∗a

)= e−|α|2/2 exp(αa†) exp(−α∗a)

(3.257)= e|α|

2/2 exp(−α∗a) exp(αa†) (3.239)

がユニタリ演算子であることは、

D†(α) = exp(α∗a− αa†

)= D(−α) (3.240)

= e−|α|2/2 exp(−αa†) exp(α∗a) = e|α|2/2 exp(α∗a) exp(−αa†) (3.241)

より、D(α)D†(α) = D†(α)D(α) = 1 (3.242)

となることから示される。

このユニタリ演算子 D(α)は変位演算子と呼ばれる。その理由は、状態ベクトルのユニタリ変換

|α⟩ = D(α)|0⟩ (3.243)

に伴って、消滅演算子は D†(α)aD(α) のように変換されるが ((1.180), (2.145)式参照)、

A ≡ α∗a− αa† (3.244)

を定義すると、[A, a] = α (3.245)

なので、(3.250)式より、

D†(α)aD(α) = exp(A)a exp(−A) (3.250)= a+ α (3.246)

となり、複素数 αだけ移動するからである。


この結果を用いれば、

D(α)aD†(α)(3.240)= D†(−α)aD(−α) (3.246)

= a− α (3.247)

D†(α)a†D(α) =(D†(α)aD(α)

)†= (a+ α)† = a† + α∗ (3.248)

D(α)a†D†(α) = a† − α∗ (3.249)

が成り立つことを示すことができる。

すなわち、コヒーレント状態は真空状態を位相平面で「ずらす」ことによって得られるが、これはちょう

ど、理想的なレーザーの原理に対応するものになっている。

加点問題 P.3.4 : 1. 任意の演算子 A, B に対して

exp(A)B exp(−A) = B + [A, B] +1

2![A, [A, B]] +

1

3![A, [A, [A, B]]] + · · · (3.250)

を示せ。

2. 演算子値関数 A(x)に対して

d

dxexp(A(x)) =

∫ 1

0

dy exp((1− y)A

) dAdx

exp(yA)

(3.251)

を示せ。積分 ∫ 1

0

dy(1− y)nym =n!m!

(n+m+ 1)!(3.252)

を用いてよい。さらに、(3.251), (3.250)式の結果を用いて、

exp(−A) ddx

exp(A) = A′ +1

2![A′, B] +

1

3![[A′, A], A] +

1

4![[[A′, A], A, A]] + · · ·

(3.253)

を示せ。

3. 演算子 A, B が[A, [A, B]] = 0, [B, [A, B]] = 0 (3.254)

を満たすとき、

exp(A) exp(B) = exp

(A+ B +

1

2[A, B]

)(3.255)

を示せ。これより特に、

exp(A+ B

)= exp(A) exp(B) exp

(−1

2[A, B]

)(3.256)

= exp(B) exp(A) exp

(1

2[A, B]

)(3.257)

を示せ。略解 1. まず

F (x) = exp(xA)B exp(−xA) (3.258)

を定義して、これを

F (x) =∑n=0

1

n!Fnx

n (3.259)


のように展開しておく。(3.258)式を xで微分すると、

d

dxF (x) = (A exp(xA))B exp(−xA) + exp(xA)B(−A exp(−xA))

= A(exp(xA)B exp(−xA)

)−(exp(xA)B exp(−xA)

)A

= AF (x)− F (x)A

= [A, F (x)] (3.260)

となる。ここで F (x)の展開式 (3.259)を代入すると、左辺は

d

dxF (x) =

∑n=0

1

n!Fnnx

n−1 =∑n=1

1

n!Fnnx

n−1 =∑n=1

1

(n− 1)!Fnx

n−1

=∑n=0

1

n!Fn+1x

n (3.261)

右辺は

[A, F (x)] =∑n=0

1

n![A, Fn]x

n (3.262)

したがって、Fn+1 = [A, Fn] (3.263)

を得る。(3.258)式で x = 0とおけば F (0) = F0 = B であるから、F1 = [A, B]である。よって、漸

化式 (3.263)より (3.250)式が成り立つことが分かる。

2. A(x)の引数を省略する。また、A′ = dA/dxとあらわす。一般には Aと A′ が交換しないことに注意

すると、(3.251)式の左辺は

d

dxexp(A) =

d

dx

(1 + A+

1

2!A2 +

1

3!A3 + · · ·

)= A′ +

A′A+ AA′

2!+A′A2 + AA′A+ A2A′

3!+ · · ·

=∑n=0

∑m=0

1

(n+m+ 1)!AnA′Am (3.264)

(3.251)式の右辺は∫ 1

0

dy exp((1− y)A

) dAdx

exp(yA)

=

∫ 1

0

dy

[∑n=0

1

n!(1− y)nAn

]A′

[∑m=0

1

m!ymAm

]

=∑n=0

∑m=0

1

n!m!AnA′Am

∫ 1

0

dy(1− y)nym

(3.252)=

∑n=0

∑m=0

1

(n+m+ 1)!AnA′Am. (3.265)

よって (3.251)式が成り立つ。

(3.251)式の両辺に exp(−A)を左から作用させると、

exp(−A) ddx

exp(A) =

∫ 1

0

dy exp(− yA

)A′ exp

(yA)

=

∫ 1

0

dy

[A′ + y[A, A′] +

y2

2![A, [A, A′]] +

y3

3![A, [A, [A, A′]]] + · · ·

]= A′ +

1

2![A′, B] +

1

3![[A′, A], A] +

1

4![[[A′, A], A, A]] + · · · (3.266)



3. (3.255)式を示すために、

exp(xA) exp(xB) = exp(G(x)

)= exp(xG1 + x2G2 + x3xG3 + · · · ) (3.267)

を定義し、

exp(−xB) exp(−xA) ddx

exp(xA) exp(xB) = exp(−G(x))d

dxexp(G(x)) (3.268)

を考える。左辺は

(左辺) = exp(−xB) exp(−xA)[A exp(xA) exp(xB) + exp(xA)B exp(xB)

]= exp(−xB)A exp(xB) + B

(3.250)= B + A+ x[A, B] +

x2

2![B, [A, B]] +

x3

3![B, [B, [A, B]]] + · · · (3.269)

一方、右辺は、

(右辺) = G′ +1

2![G′, G] +

1

3![[G′, G], G] + · · ·

= G1 + 2xG2 + x2(3G3 −

1

2[G1, G2]

)+ · · · (3.270)

両辺 xの同じベキを比べると、

G1 = A+ B (3.271)

G2 =1

2[A, B] (3.272)

G3 =1

12

([A, [A, B]]− [B, [A, B]]

)(3.273)

よって、条件 (3.254)が満たされている場合に (3.255)式が成り立つ。

条件 (3.254)より、A, B と [A, B]の順序は気にしないでよいので、(3.255)式より、

exp(A) exp(B) = exp A+ B) exp

(1

2[A, B]

)(3.274)

よって、

exp(A) exp(B) exp

(−1

2[A, B]

)= exp(A+ B) (3.275)

よって (3.256)式が成り立つ。さらに、Aと B を入れ替えれば、

exp(B) exp(A) exp

(−1

2[B, A]

)= exp(B + A) = exp(A+ B) (3.276)



3.5.4 コヒーレント状態における位置の期待値

コヒーレント状態における位置及び運動量の期待値の時間発展を調べるために、まず、コヒーレント状態

の時間発展を考えよう。これは

|α(t)⟩ = e−i Hℏ t|α⟩ = e−

|α|22

∑n

αn

√n!

e−i Hℏ t|n⟩

= e−|α|22

∑n

αn

√n!

e−i(n+ 12 )ωt|n⟩

= e−|α|22 e−iω

2 t∑n

αn

√n!

(e−iωt)n|n⟩

(3.131)= e−

|α|22 e−iω

2 t∑n

αn

√n!

(e−iωt)n1√n!(a†)n|0⟩

= e−|α|22 e−iω

2 t∑n

(αe−iωta†)n

n!|0⟩

= e−|α|22 e−iω

2 t exp(αe−iωta†

)|0⟩ (3.277)

となるが、ここで、α′(t) ≡ αe−iωt (3.278)

を導入して式変形すると、

|α(t)⟩ = e−iωt/2e−|α′(t)|2/2 exp(α′(t)a†)|0⟩ (3.235)= e−iωt/2|α′(t)⟩= e−iωt/2|e−iωtα⟩ (3.279)

と求まる。

これより、コヒーレント状態にある系の位置の期待値の時間発展は、

⟨xα(t)⟩ ≡ ⟨α(t)|x|α(t)⟩ =√

ℏ2mω

((α′(t))∗ + α′(t)

)=

√ℏ

2mω

(α∗eiωt + αe−iωt

)= |α|

√2ℏmω

cos(ωt+ θ) (3.280)

となり (期待されたように)単振動する。ここで α = |α|e−iθ とおいた。この意味で、コヒーレント状態は

古典的調和振動子と最も似ている量子状態と言える。

3.5.5 補足：コヒーレント状態の直交性・完全性について

工事中。

91

第 4章

エネルギー固有値問題の摂動法 (1)：縮退のない場合

4.1 全体的な注意

エネルギー固有状態は完全系をなす優秀な基底ベクトルを構成する。しかしながら、エネルギー固有値及

び固有状態を厳密に求められる物理系はそれほど多くない。そこで、近似的にでもよいので*1、何らかの手

法でこれらを求める方法を知ることは重要である。ここでは、そのような方法の 1つである摂動法について

取り扱う。

系のハミルトニアン H が、固有エネルギーと固有状態がすべて分かっているハミルトニアン H(0)(無摂

動ハミルトニアン)と、それ以外の部分 Hp(摂動ハミルトニアン)の和 H = H(0) + Hp からなっていると

する*2。ここでもし Hp が小さければ、H のエネルギー固有状態は H(0) のそれとさほど変わらないことが

期待される。摂動法は、このような場合、すなわち Hp が H(0) に比べて小さい場合

H(0) ≫ Hp (4.1)

に適用可能な、Schrodinger方程式の近似解法である。

パラメータ λを導入して摂動ハミルトニアンを Hp = λV と表し、エネルギー固有値問題

H|ψn⟩ = (H(0) + λV )|ψn⟩ = En|ψn⟩ (4.2)

を解くことを考える。ここで、

パラメータ λは摂動についての展開の次数を見やすくするために、定式化の上で都合のよいように便

宜上導入したものであり、実際の計算では λ = 1とみなす。

すなわち、本質的には Hp = V である。λを導入することで摂動法の展開が見通しよくすすめられること

は、以下の議論ですぐに実感できるであろう。

この章では、H と H0 は、ともに離散的なエネルギー固有値を持っているとする。無摂動ハミルトニアン

の固有値問題H(0)|n⟩ = E(0)

n |n⟩ (4.3)

*1 そもそも実験で得られるのも実験の精度、統計誤差に依存した「近似値」であるので、結果の検証や解析にとって十分精確な「近似的な理論値」が得られれば十分であろう。

*2 HP 添字 P は摂動 (perturbation)の頭文字。

92 第 4章エネルギー固有値問題の摂動法 (1)：縮退のない場合

図 4.1 縮退のない場合の摂動法における各状態ベクトルのイメージ図。全ハミルトニアン H の固有状

態 (真の解)|ψn⟩ と無摂動ハミルトニアンの固有状態 |n⟩ との差 (摂動ベクトル |ψ(1)n ⟩, |ψ(2)

n ⟩, · · · ) は小さいと考えている。

は完全に解けていて、固有状態は規格直交化されているとする。

⟨m|n⟩ = δmn (4.4)

4.2 縮退のない場合の基本方程式

無摂動ハミルトニアンの固有値に縮退がない場合を考える。摂動方向が有効な場合には*3、全ハミルトニ

アン H の固有状態 (真の解) |ψn⟩ と無摂動ハミルトニアンの固有状態 |n⟩ との差 (摂動ベクトル)は小さい

と期待される (図 4.1参照)。この場合、λ → 0 の極限では非摂動の場合になめらかに繋がるはずであるか

ら、全ハミルトニアン H の固有エネルギー En と固有状態 |ψn⟩を無摂動ハミルトニアンの固有エネルギーと固有状態のまわりで

En = E(0)n + λE(1)

n + λ2E(2)n + · · · (4.5)

|ψn⟩ = |n⟩+ λ|ψ(1)n ⟩+ λ2|ψ(2)

n ⟩+ · · · (4.6)

のように展開しよう。

ここで、展開にあらわれる状態ベクトルはすべて、無摂動ハミルトニアンの固有状態 |n⟩と直交するように選ばれているものする。すなわち、

0 = ⟨n|ψ(1)n ⟩ = ⟨n|ψ(2)

n ⟩ = ⟨n|ψ(3)n ⟩ = · · · (4.7)

を要請する。

(4.5), (4.6)式を (4.2)式に代入して、λの各次数ごとに方程式が成り立つとする。λの同じ次数の項を両

辺で比較すると、

0 = (E(0)n − H(0))|n⟩ (4.8)

V |n⟩ = (E(0)n − H(0))|ψ(1)

n ⟩+ E(1)n |n⟩ (4.9)

(V − E(1)n )|ψ(1)

n ⟩ = (E(0)n − H(0))|ψ(2)

n ⟩+ E(2)n |n⟩ (4.10)

· · ·

が得られる。(4.8)式は 0次摂動の方程式 (無摂動ハミルトニアンの場合のエネルギー固有値問題)、(4.9)式

は 1次の摂動方程式、(4.9)式は 2次の摂動方程式である。より高次の摂動方程式も同様にして導くことが

できる。これらがエネルギー固有値問題の摂動法の基本方程式となる。

*3 摂動法が有効な条件については 4.4節参照。

4.3 1次摂動項 93

要請 (4.7)の物理的意味

要請 (4.7)の物理的意味について、1次摂動 0 = ⟨n|ψ(1)n ⟩ の場合に説明する。固有状態の 1次摂動 |ψ(1)

n ⟩もベクトルであるから、基底ベクトル |n⟩で展開することができる：

|ψ(1)n ⟩ =

∑m

⟨m|ψ(1)n ⟩|m⟩ = ⟨n|ψ(1)

n ⟩|n⟩+∑m =n

⟨m|ψ(1)n ⟩|m⟩ (4.11)

展開式 (4.6)において (λ = 1として)、1次摂動までを考え、(4.11)式を代入すると、

|ψn⟩ = |n⟩+ |ψ(1)n ⟩ =

(1 + ⟨n|ψ(1)

n ⟩)|n⟩+

∑m =n

⟨m|ψ(1)n ⟩|m⟩ (4.12)

である。これより、⟨n|ψ(1)n ⟩ は状態ベクトル |n⟩ の「長さ」の変化に関係していることが分かる。しかし、

量子力学では任意の状態はいつでも規格化することができることからも推察されるように、長さの変化は状

態ベクトルの本質的な変化を意味するものではない。したがって、⟨n|ψ(1)n ⟩ = 0なる要請は、物理的に本質

的ではない長さの変化を無視するということであり、摂動による状態変化の記述は、この要請によって一般

性を失わない。

ただし、要請 (4.7)をおいた代わりに、状態ベクトルの規格化については注意を払う必要がある。なぜな

らば、要請 (4.7)を用いれば、⟨n|ψn⟩ = 1 であるが、一般には ⟨ψn|ψn⟩ = 1 であり、全ハミルトニアンの

固有状態 |ψn⟩は 1に規格化されないからである。したがって、必要に応じて |ψn⟩を規格化しなければならない ( 4.5.3節、加点問題 P.4.3参照)。

出席課題 S.4.1 : (4.8)～(4.10)式を導け。

4.3 1次摂動項

λの 0次の項は無摂動ハミルトニアンに対する Schrodinger方程式で、これは既知であると仮定している

ので、1次摂動の方程式 (4.9)から調べよう。左から ⟨m|を作用させる。右辺第 1項が

⟨m|(E(0)n − H(0))|ψ(1)

n ⟩ = E(0)n ⟨m|ψ(1)

n ⟩ −(⟨m|H(0)

)|ψ(1)

n ⟩ = E(0)n ⟨m|ψ(1)

n ⟩ −(⟨m|E(0)

m

)|ψ(1)

n ⟩

= (E(0)n − E(0)

m )⟨m|ψ(1)n ⟩ (4.13)

となることに注意すると、結果は

⟨m|V |n⟩ = (E(0)n − E(0)

m )⟨m|ψ(1)n ⟩+ E(1)

n δmn (4.14)

となる。

4.3.1 エネルギー固有値の 1次摂動項

ここでm = nとおくと、E(1)

n = ⟨n|V |n⟩ (4.15)

となり、エネルギー固有値の 1次補正項が求まる。これは、摂動による 1次のエネルギー変化が、既知であ

る無摂動ハミルトニアンの固有状態 |n⟩による摂動ハミルトニアン V の期待値 (行列要素の対角成分)で与

えられることを示している。


4.3.2 状態ベクトルの 1次摂動項

次に、m = nとすると、固有値に縮退のない場合を考えているので E(0)n = E

(0)m であるから、

⟨m|ψ(1)n ⟩ =

⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

(4.16)

を得る。無摂動ハミルトニアンの固有状態は完全系であるから、摂動ベクトルを

|ψ(1)n ⟩ =

∑m

|m⟩⟨m|ψ(1)n ⟩ = |n⟩⟨n|ψ(1)

n ⟩+∑m =n

|m⟩⟨m|ψ(1)n ⟩

(4.7)=

∑m =n

|m⟩⟨m|ψ(1)n ⟩ (4.17)

と展開できることを思い出そう。したがって、固有状態の 1次の補正項は、

|ψ(1)n ⟩ =

∑m =n

|m⟩ ⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

(4.18)

で与えられる。すなわち、1次の補正項まで加味すると、状態ベクトルは

|ψn⟩ = |n⟩+∑m =n

|m⟩ ⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

(4.19)

となる。

出席課題 S.4.2 : エネルギー固有値と状態ベクトルの 1次摂動を導出せよ。

4.3.3 補足：1次摂動における状態ベクトルの規格直交性

このようにして求まった摂動の 1次までを考慮した状態ベクトル (4.19)は規格直交条件 ⟨ψm|ψn⟩ = δmn

を満たすだろうか？摂動法で便宜上導入したパラメータ λを復活させて (4.19)式を再掲すると、

|ψn⟩ = |n⟩+ λ|ψ(1)n ⟩ = |n⟩+ λ

∑m =n

|m⟩ ⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

(4.20)

である。

規格化条件

これより、規格化条件は、

⟨ψn|ψn⟩ =(⟨n|+ λ⟨ψ(1)

n |)(|n⟩+ λ|ψ(1)

n ⟩)

= ⟨n|n⟩+ λ(⟨n|ψ(1)

n ⟩+ ⟨ψ(1)n |n⟩

)+ λ2⟨ψ(1)

n |ψ(1)n ⟩ (4.21)

となる。ここで、1次摂動までを考えている場合には、λ2 の項は無視できる。また、要請 (4.7)を用いれば

λ1 の項も 0になるので、1次摂動の範疇では規格化条件が満たされていることが分かる。

しかし、規格化条件が満たされるのは 1次摂動までであり、続いて 2次およびより高次摂動まで考える必

要がある場合には、⟨ψn|ψn⟩ = ⟨n|n⟩+ λ2⟨ψ(1)

n |ψ(1)n ⟩

λ=1= 1 + ⟨ψ(1)

n |ψ(1)n ⟩ (4.22)

4.4 摂動法が有効な条件 95

より、1次摂動の状態ベクトルの規格化

|ψn⟩ →1√

1 + ⟨ψ(1)n |ψ(1)

n ⟩|ψ⟩ (4.23)

を行う必要がある (4.5.3節、加点問題 P.4.3参照)、。

直交条件

直交条件は

δmn = ⟨ψm|ψn⟩ =

⟨m|+ λ∑k =m

⟨m|V |k⟩E

(0)m − E(0)

k

⟨k|

|n⟩+ λ∑l =n

|l⟩ ⟨l|V |n⟩E

(0)n − E(0)

l

= ⟨m|n⟩+ λ

∑k =m

⟨m|V |k⟩⟨k|n⟩E

(0)m − E(0)

k

+∑l =n

⟨m|l⟩⟨l|V |n⟩E

(0)n − E(0)

l

+O(λ2) (4.24)

ここで、1次摂動までを考えているので右辺の O(λ2)は無視できる。よって、右辺の第 2項の括弧の中身が

ゼロになっていれば、1次摂動の範疇内では直交性が成り立っていることになる。

(4.18)式を用いて (4.24)式の右辺第 2項の括弧内を計算すると、

[· · ·]=∑k =m

⟨m|V |k⟩δknE

(0)m − E(0)

k

+∑l =n

δml⟨l|V |n⟩E

(0)n − E(0)

l

=⟨m|V |n⟩

E(0)m − E(0)

n

+⟨m|V |n⟩

E(0)n − E(0)

m

= 0 (4.25)

となるので、1次摂動の範疇内では直交性が成り立っている。同様に、2次摂動まで考えた場合にも直交性

は満たされており (4.5.3節参照)、より一般に、n次摂動の範疇内で直交性が成り立つことを示すことがで

きる*4。

4.4 摂動法が有効な条件

全ハミルトニアン H のエネルギー固有値 En に属する固有状態では、無摂動状態における E(0)n の固有状

態 |n⟩の他に、他の固有状態が重み⟨m|V |n⟩

E(0)n − E(0)

m

(4.26)

で混ざってくる。この重みは、固有エネルギーの差が小さいほど、また、V の行列要素*5と呼ばれる因子

⟨m|V |n⟩が大きいほど (つまり、|m⟩と V |n⟩の重なりが大きいほど)効いてくる。

摂動法が有効な条件は、状態ベクトルの補正項の係数 ⟨m|V |n⟩/(E(0)n − E(0)

m )が 1より十分小さいこと

⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

≪ 1 ⇐⇒ ⟨m|V |n⟩ ≪ E(0)n − E(0)

m (4.27)

である。オーダーを評価すると、

⟨m|V |n⟩ ∼ ⟨n|V |n⟩ = ⟨V ⟩ (4.28)

⟨m|H(0)|n⟩ ∼ ⟨n|H(0)|n⟩ = E(0)n (4.29)

*4 繰り返しになるが、規格化条件は高次摂動では満たされないことに注意。*5 1.4節, 10.3.1節参照。


であるが、はじめに V ≪ H(0) を仮定しているので、⟨m|V |n⟩ ≪ E(0)n である。したがって、E(0)

n −E(0)m ≪

⟨V ⟩のような特別なことがない限り、すなわちエネルギー準位差が摂動ハミルトニアンの期待値よりも小さくない限り、摂動法は有効であるといえる。

出席課題 S.4.3 : 調和振動子の無摂動ハミルトニアン

ˆH(0) =p2

2m+

1

2mω2x2 (4.30)

に摂動ハミルトニアンV = gx4 (4.31)

が加わった「非調和振動子」において、摂動法が適用可能な条件が

g ≪ m2ω3

ℏ(4.32)

で与えられることを示せ*6。略解オーダー評価をすればよいので、大きさ 1程度の数係数の違いを無視する (ポイント)*7。

摂動法が有効な条件は⟨H0⟩ ≫ ⟨V ⟩ = g⟨x4⟩ (4.33)

である。ここで無摂動ハミルトニアンの基底状態のエネルギースケールは ⟨H(0)⟩ ∼ ℏω である。同様に、エネルギー準位差も ℏω のオーダーである。⟨V ⟩ の評価には ⟨x4⟩ が必要であるが、これは次のようにオーダー評価する。具体的に計算すれば (演習

問題 E.2.5参照)分かるように、

1

2m⟨p2⟩ ∼ 1

2mω2⟨x2⟩ ∼ En ∼ ℏω (4.34)

のように全エネルギー、運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーは同じオーダーである*8。ポテンシャル

エネルギーの評価より

⟨x2⟩ ∼ ℏmω

(4.35)

が得られるので、これを用いて ⟨x4⟩ を

⟨x4⟩ ∼ (⟨x2⟩)2 ∼ ℏ2

(mω)2(4.36)

と評価する*9。

この結果を (4.33)式に用いれば

g ≪ ⟨H(0)⟩⟨x4⟩ ∼ m2ω3

ℏ(4.37)

のように摂動法が有効である条件を見積もることができる。

*6 物理学者がよく行う「大雑把だが本質をつかむ」思考法の養成が設問の目的である。*7 数係数の大きさが 10以上の場合には、オーダー (桁)が変わるので、無視することはできない。この場合、15 ∼ 20 ∼ O(10) ∼

10, 150 ∼ 243 ∼ O(102) ∼ 102 などと評価する。*8 この事実は定性的に説明できる。すなわち、もしも運動エネルギーのほうがポテンシャルエネルギーよりも圧倒的に大きければ、粒子はポテンシャルによる束縛から逃れてどこかへいってしまうし、ポテンシャルエネルギーのほうが圧倒的に大きければ(バネを伸ばした状態で手を離す場合を想定してみよ)、ポテンシャルの勾配に沿って粒子の運動エネルギーを増大する (バネのポテンシャルエネルギーを運動エネルギーに変える)。結局、束縛状態では運動エネルギーとポテンシャルエネルギーは同程度になると期待されるのである。

*9 調和振動子では ⟨x⟩ = 0 だから、これを用いて ⟨x2⟩ ∼ (⟨x⟩)2 ∼ 0 とは評価できないことが気になったあなたは鋭い。⟨x⟩ = 0 となる理由は x の固有値が正負の値をとるからである。一方、x2 の固有値は常に 0以上である。両者にはこのような定性的な違い (振る舞いの質的な違い) があるため、⟨x⟩ を用いて ⟨x2⟩ ∼ (⟨x⟩)2 のような評価を行うことは危険である (物理的センスがない評価法)。一方、x2 と x4 の間にはこのような定性的な違いがないので、⟨x2⟩を用いて ⟨x4⟩ ∼ (⟨x2⟩)2 のような評価を行うことは妥当であると期待される。さらに欲を言えば、演算子の勘定からして (⟨x2⟩)2 ∼ (⟨a†a⟩)2 ∼ (⟨n⟩)2 ∼ n2

および ⟨x4⟩ ∼ ⟨a†aa†a⟩ ∼ ⟨n2⟩ ∼ n2 となりそうだなともう少し具体的に考えられれば理想的である。

4.5 2次摂動項 97

演習問題 E.4.1 : µを電子の磁気モーメントとして、磁場B の中の水素原子のハミルトニアンは

H =p2

2me− e2

4πε0r− µ ·B (4.38)

で与えられる。V = −µ ·B を摂動ハミルトニアンとするとき、摂動法が適用可能な磁場の大きさの条件が、

|B| ≪ 105 T (4.39)

となることを示せ。ヒント：rはボーア半径 a = ℏ2/(mee2)程度の大きさである*10。

略解ハミルトニアンとクーロンポテンシャルエネルギー項は同程度のオーダーである (と期待される) か

ら*11、クーロンポテンシャルエネルギー項を評価する。

水素原子の基底状態では、⟨r⟩はボーア半径 aB 程度の大きさであると評価できる。すなわち

⟨1/r⟩ ∼ 1/aB =

(4πε0ℏ2

mee2

)−1

(4.40)

よって*12、

|⟨H(0)⟩| ∼⟨

e2

4πε0r

⟩∼ e2

4πε0aB∼ mec

2α2 ∼ 2Ry (4.41)

ここで、αは微細構造定数 (以下の値を計算して示すこと！)

α =e2

4πε0ℏc≈ 1

137(無次元) (4.42)

Ry はリュードベリ (Rydberg)エネルギー

Ry =1

2mec

2α2 ≈ 13.6 eV (4.43)

である (この値も単位に注意して計算して示すこと)。

一方、摂動ハミルトニアン V = −µ ·B は、|µ|をボーア磁子の磁気モーメント

|µ| ≈ µB =eℏ2me

≈ 6× 10−5 eV/T (4.44)

で評価すれば (この値も単位に注意して計算して示すこと！)、期待値は µBB のオーダーである。

|⟨V ⟩| ≪ |⟨H0⟩| より、摂動法が有効な磁場の条件として |B| ≪ 105 Tを得る。

4.5 2次摂動項


次に 2次摂動項について調べよう*13。2次摂動項 (4.10)に左から ⟨m|を作用させると、

⟨m|V |ψ(1)n ⟩ − E(1)

n ⟨m|ψ(1)n ⟩ = (E(0)

n − E(0)m )⟨m|ψ(2)

n ⟩+ E(2)n δmn (4.45)

*10 この結果は 11.4.4節で示される。*11 この結果はビリアル定理 (2.6.4節参照)として知られている。ビリアル定理を知らなくても、上述の脚注 4のように考えて同程度のオーダーになりそうだ、と考えられると理想的。

*12 ちなみに、基底状態のエネルギーの厳密解は (11.155)式より、me(αc)2/2である。*13 無摂動ハミルトニアンに高い対称性 (例えば球対称性)があり、摂動ハミルトニアンに特別な方向性がある場合 (例えば z 軸方向の磁場の印加など)には、特に基底状態において、エネルギー固有値の 1次の補正項が 0になる場合も多い。


となる。m = nとして直交条件 (4.7)および |ψ(1)n ⟩の表式 (4.18)を用いれば、エネルギー固有値の 2次の

補正項は、

E(2)n = ⟨n|V |ψ(1)

n ⟩ =∑m =n

⟨n|V |m⟩⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

(4.46)

となる。これより、エネルギー固有値の 2次の補正では、m = nなるすべての状態が関与することが分か

る。摂動計算の際に現れるこのような状態を中間状態と呼ぶ。

特に基底状態について考えると、

E(2)0 =

∑m =0

|⟨m|V |0⟩|2

E(0)0 − E(0)

m

(4.47)

であるが、E(0)0 < E

(0)m であるから、補正項は負であり、2次摂動は基底状態のエネルギーを下げる働きを

する。


次に n = mとすると、

⟨m|V |ψ(1)n ⟩ − E(1)

n ⟨m|ψ(1)n ⟩ = (E(0)

n − E(0)m )⟨m|ψ(2)

n ⟩ (4.48)

となる。これに E(1)n の表式 (4.15)および |ψ(1)

n ⟩の表式 (4.18)を代入すると、

⟨m|ψ(2)n ⟩ =

∑l =n

[⟨m|V |l⟩⟨l|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

m )(E(0)n − E(0)

l )

]− ⟨n|V |n⟩⟨m|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

m )2(4.49)

となる。これより、固有ベクトルの 2次の補正は

|ψ(2)n ⟩ =

∑m =n

|m⟩

∑l =n

[⟨m|V |l⟩⟨l|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

m )(E(0)n − E(0)

l )

]− ⟨n|V |n⟩⟨m|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

m )2

(4.50)


4.5.3 補足：2次摂動における状態ベクトルの規格直交性

摂動の 2次までを考慮した状態ベクトルの規格直交性を調べよう。λの 2次までを考慮すれば、

⟨ψm|ψn⟩ =(⟨m|+ λ⟨ψ(1)

m |+ λ2⟨ψ(2)m |)(|n⟩+ λ|ψ(1)

m ⟩+ λ2|ψ(2)m ⟩)

= ⟨m|n⟩+ λ(⟨m|ψ(1)

n ⟩+ ⟨ψ(1)m |n⟩

)+ λ2

(⟨m|ψ(2)

n ⟩+ ⟨ψ(2)m |n⟩+ ⟨ψ(1)

m |ψ(1)n ⟩)+O(λ3)

(4.51)

である。

規格化条件は、m = nとして要請 (4.7)を用いることで、

1 = ⟨ψn|ψn⟩ = 1 + λ2⟨ψ(1)n |ψ(1)

n ⟩ (4.52)

となるが、これは一般に満たされないので、2次摂動では状態ベクトルを

|ψn⟩ −→|ψn⟩√

1 + λ2⟨ψ(1)n |ψ(1)

n ⟩=

[1− 1

2λ2⟨ψ(1)

n |ψ(1)n ⟩]|ψn⟩+O(λ4)

(4.18)=

1− 1

2

∑m =n

⟨n|V |m⟩⟨m|V |n⟩(E

(0)n − E(0)

m )2

|ψn⟩ (4.53)

4.5 2次摂動項 99

のように規格化する必要がある。最後の等号で λ = 1とおき、O(λ4)の項を無視した。

直交条件が成り立っていることを見るためには、(4.51)式で m = nとして λの 2次までの項が消えるこ

とを示せばよい。ここで、1次項が消えることは 4.3.3節ですでに示しているので、2次の寄与が 0になる

ことを示せばよい。状態ベクトルの 2次摂動の表式 (4.50)を用いれば、

⟨m|ψ(2)n ⟩ =

∑l′ =n

⟨m|l′⟩

∑l =n

[⟨l′|V |l⟩⟨l|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

l′ )(E(0)n − E(0)

l )

]− ⟨n|V |n⟩⟨l

′|V |n⟩(E

(0)n − E(0)

l′ )2

=∑l =n

[⟨m|V |l⟩⟨l|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

m )(E(0)n − E(0)

l )

]− ⟨n|V |n⟩⟨m|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

m )2

=∑

l =n,m

[⟨m|V |l⟩⟨l|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

m )(E(0)n − E(0)

l )

]+⟨m|V |n⟩⟨m|V |m⟩(E

(0)n − E(0)

m )2− ⟨n|V |n⟩⟨m|V |n⟩

(E(0)n − E(0)

m )2

(4.54)

⟨ψ(2)m |n⟩ =

∑l′ =m

⟨l′|n⟩

∑l =m

[⟨m|V |l⟩⟨l|V |l′⟩

(E(0)m − E(0)

l′ )(E(0)m − E(0)

l )

]− ⟨m|V |m⟩⟨m|V |l

′⟩(E

(0)m − E(0)

l′ )2

=∑l =m

[⟨m|V |l⟩⟨l|V |n⟩

(E(0)m − E(0)

n )(E(0)m − E(0)

l )

]− ⟨m|V |m⟩⟨m|V |n⟩

(E(0)m − E(0)

n )2

=∑

l =m,n

[⟨m|V |l⟩⟨l|V |n⟩

(E(0)m − E(0)

n )(E(0)m − E(0)

l )

]+⟨m|V |n⟩⟨n|V |n⟩(E

(0)m − E(0)

n )2− ⟨m|V |m⟩⟨m|V |n⟩

(E(0)m − E(0)

n )2

(4.55)

⟨ψ(1)m |ψ(1)

n ⟩ =

∑k =m

⟨m|V |k⟩E

(0)m − E(0)

k

⟨k|

∑l =n

|l⟩ ⟨l|V |n⟩E

(0)n − E(0)

l

=∑l =n

∑k =m

⟨k|l⟩⟨m|V |k⟩⟨l|V |n⟩(E

(0)n − E(0)

l )(E(0)m − E(0)

k )

=∑

l =n,m

⟨m|V |l⟩⟨l|V |n⟩(E

(0)n − E(0)

l )(E(0)m − E(0)

l )(4.56)

となる。

よって、2次の寄与をまとめると、

[ 2次の寄与 ] =∑

l =n,m

⟨m|V |l⟩⟨l|V |n⟩[(E

(0)m − E(0)

l )− (E(0)n − E(0)

l ) + (E(0)n − E(0)

m )]

(E(0)n − E(0)

m )(E(0)n − E(0)

l )(E(0)m − E(0)

l )

= 0 (4.57)

となり、2次摂動においても状態ベクトルの直交性は満たされていることが分かる。

出席課題 S.4.4 : エネルギー固有値の 2次摂動を導出せよ。

演習問題 E.4.2 : 1次元調和振動子

H =p2

2m+

1

2mω2x2 (4.58)

を考える。これを形式的に無摂動ハミルトニアン

ˆH(0) =p2

2m+

1

2mω2

0 x2 (4.59)


と摂動ハミルトニアン

λV = V =1

2m(ω2 − ω2

0)x2 (4.60)

に分けた系を考える。エネルギー固有値の 1次摂動および 2次摂動を求め、厳密解と比較せよ。略解エネルギー固有値の厳密解は、

En = ℏω(n+

1

2

)= ℏ√ω20 + (ω2 − ω2

0)

(n+

1

2

)= ℏω0

(n+

1

2

)(1 +

1

2

ω2 − ω20

ω20

− 1

8

(ω2 − ω20)

2

ω40

+ · · ·)

(4.61)

生成消滅演算子

a =1√

2mℏω0

(mω0x+ ip) , (4.62)

a† =1√

2mℏω0

(mω0x− ip) (4.63)

を用いると、摂動ポテンシャルは、

V =ℏ(ω2 − ω2

0)

4ω0

(a2 + a†a+ aa† + (a†)2

)=

ℏ(ω2 − ω20)

4ω0

(a2 + 2a†a+ (a†)2 + 1

)(4.64)

と表される。これより、エネルギー固有値の 1次摂動および 2次摂動は、(3.116), (3.117)式を用いて、

E(1)n = ⟨n|V |n⟩ = ℏ(ω2 − ω2

0)

4ω0(2n+ 1) (4.65)

E(2)n =

∑l=n

⟨n|V |l⟩⟨l|V n⟩En − El

=∑l=n

⟨n|V |l⟩⟨l|V n⟩(n− l)ℏω0

=

(ℏ(ω2 − ω2

0)

4ω0

)2 ( ⟨n|(a†)2|n− 2⟩⟨n− 2|a2|n⟩2ℏω0

+⟨n|a2|n+ 2⟩⟨n+ 2|(a†)2|n⟩

−2ℏω0

)=

(ℏ(ω2 − ω2

0)

4ω0

)2 (n(n− 1)

2ℏω0+

(n+ 2)(n+ 1))

−2ℏω0

)= −ℏω0

(n+

1

2

)(ω2 − ω2

0)2

8ω40

(4.66)

となる。これらの結果は厳密解の展開と一致している。

演習問題 E.4.3 : 1次元調和振動子にV = ϵ(aa+ a†a†) (4.67)

なる摂動が加わった。エネルギー固有値 En の摂動を 2次まで求めよ。略解行列要素 ⟨m|V |n⟩ を計算すると、

⟨m|V |n⟩ = ϵ(⟨m|aa|n⟩+ ⟨m|a†a†|n⟩

)= ϵ(√

n(n− 1)⟨m|n− 2⟩+√

(n+ 1)(n+ 2)⟨m|n+ 2⟩)

= ϵ(√

n(n− 1)δm,n−2 +√

(n+ 1)(n+ 2)δm,n+2

)(4.68)

これより、エネルギー固有値の 1次摂動は

E(1)n = ⟨n|V |n⟩ = 0 (4.69)

エネルギー固有値の 2次摂動は

E(2)n =

∑m =n


(0)n − E

(0)m

= ϵ2∑m =n

(√n(n− 1)δm,n−2 +

√(n+ 1)(n+ 2)δm,n+2

)2E

(0)n − E

(0)m

(4.70)

4.5 2次摂動項 101

となるが、δm,n−2δm,n+2 の項は m についての和で δn−2,n+2 となり寄与しない。寄与する項だけ残して

計算すれば

E(2)n = ϵ2

∑m=n

(n(n− 1)δm,n−2δm,n−2 + (n+ 1)(n+ 2)δm,n+2δm,n+2

)E

(0)n − E

(0)m

= ϵ2[

n(n− 1)

E(0)n − E

(0)n−2

+(n+ 1)(n+ 2)

E(0)n − E

(0)n+2

]

= −2ϵ2

ℏω

(n+

1

2

)= −2

( ϵ

ℏω

)2E(0)

n (4.71)

演習問題 E.4.4 : 1次元調和振動子にV = ϵx4 (4.72)

なる摂動が加わった。

1. 基底状態のエネルギー固有値の摂動を 2次まで求めよ。

2. 摂動によって基底状態どのように変わるか？摂動の 1次まで求めよ。略解 1. 1次摂動は

E(1)0 = ⟨0|x4|0⟩ = ϵ

(ℏ

2mω

)2

⟨0|(a† + a)4|0⟩

= ϵ

(ℏ

2mω

)2

⟨0|(a2(a†)2 + aa†aa†)|0⟩

= 3ϵ

(ℏ

2mω

)2

(4.73)

2次摂動は

E(2)0 = ϵ2

∑n=0

⟨0|x4|n⟩⟨n|x4|0⟩E

(0)0 − E

(0)n

= −ϵ2(

ℏ2mω

)4∑n =0

|⟨0|(a† + a)4|n⟩|2

nℏω

= −ϵ2(

ℏ2mω

)4∑n=0

|⟨0|(aa†a2 + a2a†a+ a3a† + a4)|n⟩|2

nℏω

= −ϵ2(

ℏ2mω

)4∑n=0

[(√2 + 2

√2 + 3

√2)δn2 + 2

√6δn4

]2nℏω

= −42ϵ2

ℏω

(ℏ

2mω

)4

(4.74)

2. 基底状態の 1次摂動は

|ψ(1)0 ⟩ = ϵ

∑n=0

⟨n|x4|0⟩E

(0)0 − E

(0)n

|n⟩

= ϵ

(ℏ

2mω

)2∑n=0

⟨n|((a†)4 + (a†)2aa† + a†a(a†)2 + a(a†)3)|0⟩−nℏω |n⟩

= ϵ

(ℏ

2mω

)2∑n=0

√24δn4 + 6

√2δn2

−nℏω |n⟩

= − ϵ

2ℏω

(ℏ

2mω

)2 [6√2 |2⟩+

√6 |4⟩

](4.75)

演習問題 E.4.5 : 質量 m, 電荷 eを持った粒子が、振動数 ω の調和振動子ポテンシャル中を運動し

ている。そこに x方向に一様な電場 E を加えた。


1. 摂動ハミルトニアンが V = −eExで与えられることを示せ。2. 固有エネルギーの 1次摂動は 0であることを示せ。

3. 固有エネルギーの 2次摂動が

E(2)n = − e

2E2

2mω2(4.76)


4. 全ハミルトニアンにおいて

ξ = x− eE

mω2(4.77)

と変換 (平方完成)する。[ξ, p] = iℏであるから ξ, pも正準変数の組である。エネルギー固

有値の厳密解を求め、2次摂動までの結果と比べよ。略解 1. 粒子に加わる力は eE。E は一様電場であるから、ポテンシャルは V = −

∫eE dx = −eE

∫dx =

−eEx. 演算子にすれば V = −eEx

2. x =

√ℏ

2mω(a+ a†) である。⟨n|a|n⟩ =

√n⟨n|n− 1⟩ = 0, ⟨n|a†|n⟩ =

√n+ 1⟨n|n+ 1⟩ = 0 より

E(1)n = ⟨n|V |n⟩ = −eE

√ℏ

2mω⟨n|(a+ a†)|n⟩ = 0 (4.78)

3. エネルギー固有値の 2次摂動は

E(2)n =

∑n=m


(0)n − E

(0)m

(4.79)

中間状態 |m⟩として値を持つのは |n− 1⟩, |n+ 1⟩の場合のみであるから、

E(2)n =

⟨n|V |n− 1⟩⟨n− 1|V |n⟩E

(0)n − E

(0)n−1

+⟨n|V |n+ 1⟩⟨n+ 1|V |n⟩

E(0)n − E

(0)n+1

=e2E2ℏ2mω

[⟨n|a†|n− 1⟩⟨n− 1|a|n⟩

E(0)n − E

(0)n−1

+⟨n|a|n+ 1⟩⟨n+ 1|a†|n⟩

E(0)n − E

(0)n+1

]

= − e2E2

2mω2(4.80)

4. 定数はすべての演算子と交換するから、[ξ, p] = [x, p] = iℏ であり、ξ, pも正準変数の組である。ξ を用いて、全ハミルトニアンを

H =p2

2m+

1

2mω2x2 − eEx =

[p2

2m+

1

2mω2ξ2

]− e2E2

2mω2

≡ Hξ −e2E2

2mω2(4.81)

のように変換する。[ξ, p] は正凖変数の組であったから、この変換は正凖変換である。Hξ は 1次元調

和振動子と同型なのでそのエネルギー固有値は ℏω(n+ 1

2

)|n⟩である。よって、H のエネルギー固有

値は、

H|n⟩ =[Hξ −

e2E2

2mω2

]|n⟩ =

[ℏω(n+

1

2

)− e2E2

2mω2

]|n⟩ (4.82)

より、

E = ℏω(n+

1

2

)− e2E2

2mω2(4.83)

右辺第 2項はエネルギー固有値の 2次摂動の結果と一致している。

加点問題 P.4.1 : 状態ベクトルの 2次摂動を求めよ。式変形における添字の取り扱いについて、そ

の詳細を明らかにすること。

4.5 2次摂動項 103

加点問題 P.4.2 : 調和振動子にV = bx3 (4.84)

なる摂動が加わった場合に、エネルギー固有値 En の変化を 2次の摂動まで求めよ。略解演習問題 E.4.2–E.4.5を参考に、各自で計算すること。

エネルギー固有値の 1次摂動は 0。

2次摂動は

E(2)n = − b2

ℏω

(ℏ

2mω

)3 (30n2 + 30n+ 11

)(4.85)

加点問題 P.4.3 : (規格化による補正の考慮) 無摂動ハミルトニアン

H(0) =

(E 00 −E

)(4.86)

に対して、摂動ハミルトニアン

V =

(0 ϵϵ 0

), (ϵ > 0) (4.87)

が加わった系 H = H(0) + V を考える。

1. 無摂動ハミルトニアン H(0) の固有値と固有ベクトルを求めよ。

2. 全ハミルトニアン H の固有値と規格化された固有状態を求めよ。これが厳密解を与える。

3. エネルギー固有値と固有状態に対する 1次摂動を求めよ。

4. エネルギー固有値と固有状態に対する 2次摂動を求めよ。

5. 厳密解において、ϵ≪ E で展開し、摂動解と一致することを示せ。

略解 1. 固有値は E(0)1 = E, E

(0)2 = −E。固有ベクトルは |1⟩ =

(1

0

), |2⟩ =

(0

1

)。

2. 固有値は、

∣∣∣∣∣ E − λ ϵ

ϵ −E − λ

∣∣∣∣∣ = 0を λについて解いて、

E± = ±√E2 + ϵ2. (4.88)

規格化された固有状態は、固有値 E+ に対して、(E − E+ ϵ

ϵ −E − E+

)(c1c2

)= 0 (4.89)

より、ϵ c1 = (E + E+) c2 だから、

|+⟩ =(E + E+

ϵ

)(4.90)

⟨+|+⟩ = 2E+(E+ + E) より、これを規格化して (以下の式を示すのは意外に難しい)、

|+⟩ = 1√2

1√E+(E+ + E)

(E + E+

ϵ

)=

1√2

( √1 + E/E+√1− E/E+

)(4.91)

同様に |−⟩ も計算すれば、

|±⟩ = 1√2

(±√

1 + E/E±√1− E/E±

)(4.92)

3. エネルギー固有値の 1次補正は摂動に対角項がないため

E(1)1 = E

(1)2 = 0. (4.93)


|1⟩に対する 1次補正は

|ψ(1)1 ⟩ = ⟨2|V |1⟩

E(0)1 − E

(0)2

|2⟩ = ϵ

2E|2⟩ (4.94)

であるから、エネルギー固有状態は

|1(1)⟩ ≡ |1⟩+ |ψ(1)1 ⟩ =

(1ϵ

2E

)(4.95)

となるが、これは規格化されていないので、規格化すると

|1(1)⟩ = 1√1 +

ϵ2

4E2

(1ϵ

2E

)=

[1− ϵ2

8E2+O(ϵ4)

](1ϵ

2E

)

=

1− ϵ2

8E2+O(ϵ4)

ϵ

2E+O(ϵ3)

(4.96)

となり、規格化による高次補正が加わる。同様に、

|2(1)⟩ = 1√1 +

ϵ2

4E2

− ϵ

2E

1

=

− ϵ

2E+O(ϵ3)

1− ϵ2

8E2+O(ϵ4)

(4.97)

4. エネルギー固有値の 2次摂動は

E(2)1 =

|⟨2|V |1⟩|2

E(0)1 − E

(0)2

=ϵ2

2E(4.98)

および

E(2)2 = − ϵ2

2E. (4.99)

エネルギー固有状態の 2次摂動は、

|ψ(2)1 ⟩ =

∑m =1

|m⟩

∑l=1

[⟨m|V |l⟩⟨l|V |1⟩

(E(0)1 − E

(0)m )(E

(0)1 − E

(0)l )

]− ⟨1|V |1⟩⟨m|V |1⟩

(E(0)1 − E

(0)m )2

= |2⟩

[⟨2|V |2⟩⟨2|V |1⟩

(E(0)1 − E

(0)2 )(E

(0)1 − E

(0)2 )

− ⟨1|V |1⟩⟨2|V |1⟩(E

(0)1 − E

(0)2 )2

](4.100)

であるが、⟨1|V |1⟩ = ⟨2|V |2⟩ = 0より|ψ(2)

1 ⟩ = 0 (4.101)

となる。同様に|ψ(2)

2 ⟩ = 0 (4.102)

が得られる。

5. 厳密解より、

E± ≈ ±(E +

ϵ2

2E

)(4.103)

|+⟩ =

1− ϵ2

8E2+O(ϵ4)

ϵ

2E+O(ϵ3)

(4.104)

|−⟩ =

− ϵ

2E+O(ϵ3)

1− ϵ2

8E2+O(ϵ4)

(4.105)

4.6 発展：ヘルマン-ファインマン (Hellmann-Feynman)の定理 105

であるから、2次補正までの結果と一致している。ただし、(4.101), (4.102)式から分かるように、状

態ベクトルの 2次摂動 (ϵ2 の項)は、規格化条件から生じたことに注意。

4.6 発展：ヘルマン-ファインマン (Hellmann-Feynman)の定理

ハミルトニアンがあるパラメータ λに依存して滑らかに変動する場合を考える：

H(λ)|n(λ)⟩ = En(λ)|n(λ)⟩ (4.106)

このとき、エネルギー固有値及びエネルギー固有状態も λに依存して滑らかに変動すると期待される。

(4.106)式を λで微分すると、

∂H

∂λ|n(λ)⟩+ H(λ)

∂|n(λ)⟩∂λ

=∂En

∂λ|n(λ)⟩+ En(λ)

∂|n(λ)⟩∂λ

(4.107)

となる。(4.107)式に |n(λ)⟩を作用させれば、

⟨n(λ)|

[∂H

∂λ− ∂En

∂λ

]|n(λ)⟩ = ⟨n(λ)|

[En(λ)− H(λ)

]∂|n(λ)⟩∂λ

(4.108)

となるが、(4.106)式のエルミート共役

⟨n(λ)|H(λ) = ⟨n(λ)|En(λ) (4.109)

を用いれば、右辺はゼロになる。よって、

∂En

∂λ= ⟨n(λ)|∂H

∂λ|n(λ)⟩ (4.110)

を得る。この結果をヘルマン-ファインマン (Hellmann-Feynman)の定理と呼ぶ。

ヘルマン-ファインマンの定理を技巧的に利用すると、運動エネルギーやポテンシャルエネルギーなどの

期待値を簡単に求めることが可能となる。例として、1次元調和振動子

H =p2

2m+

1

2mω2x2, En = ℏω

(n+

1

2

)(4.111)

を考える。ポテンシャルエネルギーの期待値を求める場合には、運動エネルギーが ω に依存していないこ

とに着目して、λ = ω としてヘルマン-ファインマンの定理を適用すると、

ℏ(n+

1

2

)= ⟨mωx2⟩ (4.112)

より、ポテンシャルエネルギーの期待値が

1

2⟨mω2x2⟩ = 1

2En (4.113)

と直ちに求まる。

107

第 5章

エネルギー固有値問題の摂動法 (2)：縮退のある場合

5.1 固有値の縮退

ハミルトニアン H のエネルギー固有値 En について、複数の線形独立な固有状態ベクトルが存在すると

き、エネルギー固有値 (エネルギー準位) En は縮退しているという。固有値 En に属する線形独立な状態ベ

クトルの個数を縮退度という。s個の線形独立な固有状態ベクトルが存在する場合には、「エネルギー固有

値 En は s重に縮退している」という。

簡単のため、エネルギー固有値 En が 2重縮退の場合について考えよう。En に属する 2つの状態ベクト

ルを |n, 1⟩、|n, 2⟩とあらわすことにする。

H|n, 1⟩ = En|n, 1⟩ (5.1)

H|n, 2⟩ = En|n, 2⟩ (5.2)

固有値に縮退がある場合、|n, 1⟩と |n, 2⟩の線形結合 a|n, 1⟩+ b|n, 2⟩ もまた

H(a|n, 1⟩+ b|n, 2⟩) = En(a|n, 1⟩+ b|n, 2⟩) (5.3)

となってエネルギー固有値 En に属する固有状態である。a, bのとり方は無数にあるから、エネルギー固有

状態は一意には定まらず、無数にあることになる。

すなわち、縮退がある場合には、縮退のあるエネルギー固有値に属する状態ベクトルの任意の線形結合も

また、そのエネルギー固有値の固有ベクトルとなっているのである。この事実は、縮退のある場合のエネル

ギー固有値の摂動法を展開する際に極めて重要な役割を果たす。

5.1.1 シュミットの直交化法

一般に |n, 1⟩と |n, 2⟩は直交していないが、その線形結合から |n, 1⟩と直交する状態ベクトル |n, 2′⟩を作ることが次のようにしてできる。まず、

|n, 2′⟩ = a|n, 1⟩+ b|n, 2⟩ (5.4)

に左から ⟨n, 1|を作用させれば、直交条件 ⟨n, 1|n, 2′⟩ = 0から、

a = −b⟨n, 1|n, 2⟩ (5.5)

108 第 5章エネルギー固有値問題の摂動法 (2)：縮退のある場合

となる。ここで |n, 1⟩と |n, 2⟩は規格化されているとした。一方、|n, 2′⟩の規格化条件から、

a2 + ab(⟨n, 1|n, 2⟩+ ⟨n, 2|n, 1⟩) + b2 = 1 (5.6)

が得られる。これらから a, bを求めれば、

|n, 2′⟩ = 1√1− |⟨n, 1|n, 2⟩|2

(|n, 2⟩ − ⟨n, 1|n, 2⟩|n, 1⟩) (5.7)

のように |n, 1⟩と直交する状態ベクトルが得られる。縮退度が 2より大きい場合にも、逐次的に上記の直交化の操作を行うことができる (シュミットの直交化

法)。例えば、縮退度が 3の場合には、

|n, 2′⟩ = a|n, 1⟩+ b|n, 2⟩ (5.8)

とおいて、直交条件 ⟨n, 1|n, 2′⟩ = 0 および規格化条件 ⟨n, 2′|n, 2′⟩ = 1 の 2つの条件から 2つの未知数 a, b

を決定する。続いて、こうして求まった |n, 2′⟩を用いて

|n, 3′⟩ = c|n, 1⟩+ d|n, 2′⟩+ e|n, 3⟩ (5.9)

として、同様に c, d, e を決定すればよい*1。以下では、シュミットの直交化法によって固有ベクトルは直交

化されているものとする。

任意課題 : シュミットの直交化の一般論について調べよ。

5.1.2 縮退がある場合の閉包関係

縮退がある場合の完全性条件 (閉包関係)について考えよう。エネルギー固有値 En が s重に縮退してい

るとして、それに属する固有ベクトルをシュミットの直交化法で規格直交化した s 個の状態ベクトルを、

|n, α⟩, (α = 1, 2, · · · s)と表すことにしよう。縮退がない離散固有値の場合には、閉包関係は

1 =∑m

|m⟩⟨m| = |n⟩⟨n|+∑m =n

|m⟩⟨m| (5.10)

であった。縮退がある場合には、|n⟩が s個の状態ベクトルの組 |n, α⟩になっているので、閉包関係は

1 =s∑

α=1

|n,α⟩⟨n,α|+∑m =n

|m⟩⟨m| (5.11)


より一般に、A個のエネルギー固有値 En1 , En2 , · · · , EnAがそれぞれ sA 重に縮退している場合には、閉

包関係は

1 =

s1∑α=1

|n1,α⟩⟨n1,α|+s2∑

α=1

|n2,α⟩⟨n2,α|+ · · ·+sA∑α=1

|nA,α⟩⟨nA,α| +∑

m =n1,··· ,nA

|m⟩⟨m|

(5.12)


出席課題 S.5.1 : 縮退がある場合の閉包関係が (5.11), (5.12) 式となることを納得せよ。(特にレ

ポート用紙に書いて提出する必要はない)

*1 この際に用いる直交条件は ⟨n, 1|n, 3′⟩ = 0, ⟨n, 2′|n, 3′⟩ = 0 であることに注意。

5.2 縮退がある場合の摂動法：2重縮退の場合 109

(a)

(b)

図 5.1 縮退のある場合の摂動法における各状態ベクトルのイメージ図。(a) 適切でない無摂動解を選ん

だ場合。真の解 |ψn⟩と無摂動解 |n⟩⟩の差が大きく、摂動法がうまく働かない。(b) 適切な無摂動解を選

んだ場合。真の解 |ψn⟩と無摂動解 |n⟩⟩の差が小さく、摂動法が有効にはたらく。ただし、真の解あるいは摂動により縮退が解けた状態は、摂動法を適用したあとでないと求まらないため、どのように無摂動

解を選べばよいかがわからない。このため、縮退のある場合の摂動法では、(エネルギー固有値の縮退が

摂動によって解ける場合)、エネルギー固有値の摂動と適切な無摂動解の選び方が同時に決まるような定

式化となっている (講義ノート参照)。

5.2 縮退がある場合の摂動法：2重縮退の場合

縮退がない場合の摂動法では、エネルギー固有値 En に対する 1次摂動は、(4.15)式で与えられる。すな

わち、摂動ポテンシャル V を En の固有状態 |n⟩で挟んで期待値を取れば良い。一方、縮退のある場合には、En に属する固有状態は任意の線型結合

|n⟩⟩ =s∑

α=1

Cn,α|n, α⟩ (5.13)


で表されるので*2、どの |n⟩⟩ で期待値をとればよいのかが自明ではない。また、摂動法では摂動ハミルトニアンが 0、すなわち λ→ 0の極限で非摂動の場合の結果になめらかに繋がる必要があるが、固有値に縮退が

あると、どの |n⟩⟩ につなげればよいのかもわからない (図 5.1参照)*3。

したがって、縮退のある場合の摂動法では、これらの問題点が解消されるように、第 0 近似の状態 |n⟩⟩をうまく選んでおく必要がある。一般論はかなり複雑であるので、本節では無摂動ハミルトニアンの固有値

E(0)n が 2重に縮退している場合を考える。

5.2.1 第 0近似状態の選び方

縮退しているエネルギー固有値 En に属する第 0近似の状態を

|n⟩⟩ = Cn,1|n, 1⟩+ Cn,2|n, 2⟩ (5.14)

のように En に属する 2つの縮退した固有状態ベクトル |n, 1⟩, |n, 2⟩の線形結合であらわそう。先に注意したように、|n⟩⟩も En に属する固有ベクトルである。

その上で、

En = E(0)n + λE(1)

n + λ2E(2)n + · · · (5.15)

|ψn⟩ = |n⟩⟩+ λ|ψ(1)n ⟩+ λ2|ψ(2)

n ⟩+ · · · (5.16)

のように展開する。ここで、縮退のない場合と同様に、条件

0 = ⟨⟨n|ψ(1)n ⟩ = ⟨⟨n|ψ(2)

n ⟩ = ⟨⟨n|ψ(3)n ⟩ = · · · (5.17)

を課すことにする。

摂動がある場合の結果が、λ→ 0の極限で、摂動のない場合の結果になめらかに繋がるように、係数 Cn,i

を決めなければならない。逆にいえば、係数 Cn,i をうまく選んで |n⟩⟩を構築し、そこから摂動がある場合の状態へと繋がっていくようにしなけらばならない。そのためには、摂動を受けたあとの知識が必然的に必

要になる。

(4.2)式に代入して、λの各次数ごとに方程式が成り立つとする。λの同じ次数の項を両辺で比較すると、

縮退のない場合と同様に、摂動方程式

0 = (E(0)n − H(0))|n⟩⟩ (5.18)

V |n⟩⟩ = (E(0)n − H(0))|ψ(1)

n ⟩+ E(1)n |n⟩⟩ (5.19)

(V − E(1)n )|ψ(1)

n ⟩ = (E(0)n − H(0))|ψ(2)

n ⟩+ E(2)n |n⟩⟩ (5.20)

· · ·

が得られる。

5.2.2 エネルギー固有値の 1次摂動

1次摂動の式 (5.19)に、⟨n, 1|, ⟨n, 2|を作用させると、

Cn,1⟨n, 1|V |n, 1⟩+ Cn,2⟨n, 1|V |n, 2⟩ = E(1)n Cn,1 (5.21)

Cn,1⟨n, 2|V |n, 1⟩+ Cn,2⟨n, 2|V |n, 2⟩ = E(1)n Cn,2 (5.22)

*2 |n⟩⟩は規格化されているとする。*3 図 5.1では「真の解」が「縮退している無摂動解の空間」の中に存在しているように見えるが、これは作図における便宜上のものであり、実際にはそうではないことに注意。


となる。これらの連立方程式は行列を用いて(E

(1)n − ⟨n, 1|V |n, 1⟩ −⟨n, 1|V |n, 2⟩−⟨n, 2|V |n, 1⟩ E

(1)n − ⟨n, 2|V |n, 2⟩

)(Cn,1

Cn,2

)= 0 (5.23)

の形にまとめられる。

永年方程式とその解

これが Cn,1 = Cn,2 = 0以外の解を持つためには、行列式が 0にならなければならない。すなわち、永年

方程式

0 =

∣∣∣∣∣ E(1)n − ⟨n, 1|V |n, 1⟩ −⟨n, 1|V |n, 2⟩−⟨n, 2|V |n, 1⟩ E

(1)n − ⟨n, 2|V |n, 2⟩

∣∣∣∣∣=(E(1)

n − ⟨n, 1|V |n, 1⟩)(E(1)

n − ⟨n, 2|V |n, 2⟩)−∣∣∣⟨n, 1|V |n, 2⟩∣∣∣2 (5.24)

を解くことでエネルギー固有値の 1次摂動 E(1)n が求まり、

E(1)n,± =

1

2

[⟨n, 1|V |n, 1⟩+ ⟨n, 2|V |n, 2⟩

±√(⟨n, 1|V |n, 1⟩ − ⟨n, 2|V |n, 2⟩

)2+ 4

∣∣∣⟨n, 1|V |n, 2⟩∣∣∣2 ] (5.25)

となる。この 2根が異なっていれば、エネルギーの縮退が摂動によって解けることになる。

一方、永年方程式が重解を持つ場合、すなわち

⟨n, 1|V |n, 1⟩ = ⟨n, 2|V |n, 2⟩ (5.26)

⟨n, 1|V |n, 2⟩ = 0 (5.27)

が共に成り立つ場合には、1次摂動では縮退は解けない。これは、(5.26)式から分かるように、摂動ポテン

シャル V によって、縮退しているエネルギー固有値 E(0)n が同じだけシフトするからである*4 この場合に

も、より高次の摂動の寄与を考慮すれば縮退が解けることが多い。ただし、高次摂動によって必ず縮退が解

けるとは限らないことには留意する必要がある。2次摂動によって縮退が解ける場合を 5.2.5節で取り扱う。

摂動によって縮退が解ける場合、第 0近似の状態が定まる

1次摂動で縮退が解けたとすると、(5.14)式より、2つの 0次近似

|n,±⟩⟩ = C±n,1|n, 1⟩+ C±

n,2|n, 2⟩ (5.28)

が得られる。縮退が解けた場合の状態ベクトルが (5.28)式のように |n, 1⟩, |n, 2⟩の線形結合であらわされるので、摂動の出発点で用意する |n⟩⟩もそのように選んでおく必要があったのである。

*4 そのイメージを ⟨n, 1|V |n, 1⟩ = ⟨n, 2|V |n, 2⟩ = δ として行列表示で表せば、1次摂動まででは

H + V =

(E

(0)n 0

0 E(0)n

)+

(δ 00 δ

)=

(E

(0)n + δ 0

0 E(0)n + δ

)これでは縮退は解けていない。摂動によってエネルギー準位のずれ方に差異があることが必要である。


ここで、(5.23)式より、

C±n,1

C±n,2

=⟨n, 1|V |n, 2⟩

E(1)n,± − ⟨n, 1|V |n, 1⟩

=E

(1)n,± − ⟨n, 2|V |n, 2⟩⟨n, 2|V |n, 1⟩

=1

2⟨n, 2|V |n, 1⟩

[⟨n, 1|V |n, 1⟩ − ⟨n, 2|V |n, 2⟩

±√(⟨n, 1|V |n, 1⟩ − ⟨n, 2|V |n, 2⟩

)2+ 4

∣∣∣⟨n, 1|V |n, 2⟩∣∣∣2 ] (5.29)

である。

ここで、縮退が解ける場合には、1 次摂動の式 (5.19) から、(5.23) 式の永年方程式を経て、係数 Cn,i

とエネルギー固有値の 1次摂動 E(1)n がいっしょに求まったことに注意しよう。これらの計算で、摂動があ

る場合の状態へと繋がる |n⟩⟩が構築されたのである (図 5.1をもう一度参照して納得できるようにしておく

こと)。

縮退を解く第 0近似の状態 |n,±⟩⟩ の直交性|n,±⟩⟩は、縮退が解けた結果、異なる 2つの固有値 En + E

(1)n,± に属する固有ベクトルとみなすことがで

きるので、直交しているはずである。直接計算すれば明らかなように、|n,±⟩⟩は確かに直交している (出席

課題 S.5.4参照)。

縮退を解く第 0近似の状態 |n,±⟩⟩ は V を対角化する

ところで、(5.23)式を変形すれば、(⟨n, 1|V |n, 1⟩ ⟨n, 1|V |n, 2⟩⟨n, 2|V |n, 1⟩ ⟨n, 2|V |n, 2⟩

)(Cn,1

Cn,2

)= E(1)

n

(Cn,1

Cn,2

)(5.30)

となることから分かるように、Cn,1,Cn,2 は摂動ハミルトニアン V を対角にする基底を与える。

実際、(5.19)式より、V |n,±⟩⟩ = (E(0)

n − H(0))|ψ(1)n ⟩+ E

(1)n,±|n,±⟩⟩ (5.31)

であるが、⟨⟨n,±|を作用させると、

⟨⟨n,±|V |n,±⟩⟩ = (E(0)n − E(0)

n )⟨⟨n,±|ψ(1)n ⟩+ E

(1)n,±⟨⟨n,±|n,±⟩⟩ (5.32)

より⟨⟨n,±|V |n,±⟩⟩ = E

(1)n,± (5.33)

となる (この結果と縮退のない場合の摂動法の結果 (4.15)式を比べよ)。

同様に⟨⟨n,∓|V |n,±⟩⟩ = 0 (5.34)

となるから、|n,±⟩⟩によって V は対角化されている：(⟨⟨n,+|V |n,+⟩⟩ ⟨⟨n,+|V |n,−⟩⟩⟨⟨n,−|V |n,+⟩⟩ ⟨⟨n,−|V |n,−⟩⟩

)=

(E

(1)n,+ 0

0 E(0)n,−

)(5.35)

すなわち、はじめに選ぶ |n, 1⟩, |n, 2⟩を

|n, 1⟩ = |n,+⟩⟩, |n, 2⟩ = |n,−⟩⟩ (5.36)


のように、V を対角化するように選ぶことができれば (V の固有状態ともなるように選ぶことができれば)、

(5.33)式より、

E(1)n,+ = ⟨⟨n,+|V |n,+⟩⟩ = ⟨n, 1|V |n, 1⟩ (5.37)

E(1)n,− = ⟨⟨n,−|V |n,−⟩⟩ = ⟨n, 2|V |n, 2⟩ (5.38)

とエネルギー固有値の 1次摂動が求まる。これは縮退のない場合の摂動法の場合と同じ求め方になっている

(演習問題 E.5.2, E.5.3参照)。

演習問題 E.5.1 : 永年方程式 (5.24)を導き、エネルギー固有値の 1次摂動が (5.25)式で与えられる

ことを示せ。出席課題 S.5.2 : 1次摂動で縮退が解けない場合はどのような場合か。

略解講義ノートをよく読む。

出席課題 S.5.3 : (5.29)式を示せ。出席課題 S.5.4 : |n,±⟩⟩が直交していることを確かめよ。略解 |n, 1⟩, |n, 2⟩ が規格直交化されていることに注意して、

⟨⟨n,+|n,−⟩⟩ (5.28)= C+

n,1C−n,1 + C+

n,2C−n,2 = C+

n,2C−n,2

(1 +

C+n,1

C+n,2

C−n,1

C−n,2

)(5.39)

を計算する。ここで、記述を簡単にするために

A ≡ ⟨n, 1|V |n, 1⟩ − ⟨n, 2|V |n, 2⟩, (5.40)

B ≡√(

⟨n, 1|V |n, 1⟩ − ⟨n, 2|V |n, 2⟩)2

+ 4∣∣∣⟨n, 1|V |n, 2⟩

∣∣∣2 (5.41)

とおく。すると (5.29)式を用いれば、

⟨⟨n,+|n,−⟩⟩ (5.29)= C+

n,2C−n,2

(1 +

A2 −B2

4|⟨n, 2|V |n, 1⟩|2

)= 0 (5.42)

と計算できるので、直交していることが示せる。

出席課題 S.5.5 : (5.34)式を示せ。

略解 (5.33) 式の導出に倣えばよい。

演習問題 E.5.2 : 無摂動ハミルトニアン

H(0) =

(∆ 00 ∆

)(5.43)


V =

(δ 00 −δ

)(5.44)

が加わった系 H = H(0) + λV を考える。

1. 無摂動ハミルトニアン H(0) の固有値と直交する固有ベクトルの組を求めよ。

2. エネルギー固有値に対する 1次摂動を求め、エネルギー準位の縮退が解けることを示せ。

3. 縮退が解けた準位の固有ベクトルを求めよ。

4. エネルギー固有値の厳密解を求め、摂動解と比較せよ。

5. 縮退のない場合の摂動法を適用した場合、エネルギー固有値に対する 1次摂動は正しく求ま

るか？


略解 1. 固有値 E1 = E2 = ∆。H(0) が単位行列に比例しており、固有値がすべて縮退しているので、固有

ベクトルは 1次独立な任意のベクトルの組でよいが、ここでは |1⟩ =

(1

0

), |2⟩ =

(0

1

)と選ぶ*5。

その線形結合として|±⟩⟩ = C1|1⟩+ C2|2⟩ (5.45)

とおく*6。もちろん、任意の直交する |1⟩と |2⟩の 1次独立な線形結合の組を選ぶことも可能である。

例えば、|1′⟩ = 1√2

(1

1

), |2′⟩ = 1√

2

(1

−1

)と選ぶことも可能である。

2. 永年方程式 (5.24)式∣∣∣∣ E(1) − ⟨1|V |1⟩ −⟨1|V |2⟩−⟨2|V |1⟩ E(1) − ⟨2|V |2⟩

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ E(1) − δ 0

0 E(1) + δ

∣∣∣∣ = 0 (5.46)

より E(1)± = ±δ。すなわち、E = ∆の 2重縮退が E+ = ∆+ δ, E− = ∆− δ のように解ける。

3. E(1)+ = δ の場合、(

E(1)+ − δ 0

0 E(1)+ + δ

)(C+

1

C+2

)=

(0 00 2δ

)(C+

1

C+2

)= 0 (5.47)

より、C+2 = 0、C+

1 は任意。よって (5.45)式より

|+⟩⟩ = C+1 |1⟩+ C−

2 |2⟩ = C+1 |1⟩ (5.48)

となるので、これを規格化すれば、縮退が解けた先の固有ベクトルは、

|+⟩⟩ = |1⟩ =(

10

)(5.49)

となる。同様に、E(1)− = −δ の場合、|−⟩⟩ =

(0

1

)を得る。これは、もともと選んでいた無摂動ハ

ミルトニアンのエネルギー固有状態と一致している。

4. 全ハミルトニアンのエネルギー固有値の厳密解は、∆± δ であり、摂動解と一致している。

5. 縮退のない場合の摂動法を適用すると、E(1)1 = ⟨1|V |1⟩ = δ, E

(1)2 = ⟨2|V |2⟩ = −δ であり、これは

E(1)± と一致している。つまり、エネルギー固有値の 1次摂動はうまく求まる。これは摂動ハミルトニ

アンが、今回選んだ無摂動ハミルトニアンの固有ベクトル |1⟩, |2⟩によって対角化されており、縮退が解けた先の |n⟩⟩が、無摂動ハミルトニアンの固有ベクトル |1⟩, |2⟩ と一致していたためである。すなわち、摂動ハミルトニアン (5.44)式をにらんで、無摂動ハミルトニアンの固有ベクトルを意図的

に |1⟩ =

(1

0

), |2⟩ =

(0

1

)と選んでおけば、永年方程式を解くことなく (5.33)式を用いてエネル

ギー固有値の 1次摂動が求められる。


H(0) =

(∆ 00 ∆

)(5.50)


V =

(0 δδ 0

)(5.51)

が加わった系 H = H(0) + λV を考える。

1. エネルギー固有値に対する 1次摂動を求め、エネルギー準位の縮退が解けることを示せ。

*5 エネルギー準位が ∆ の一つだけしか無いので、(5.14) 式での |n, 1⟩, |n, 2⟩ を単に |1⟩, |2⟩ とおいた。その他、Cn,i や En の添字 nも省略する。

*6 添字 nを省略してしまったので、摂動によって 2重縮退が解けることをみこして左辺を |±⟩⟩とおいた。


2. 縮退が解けた準位の固有ベクトルを求めよ。

3. 縮退が解けた準位の固有ベクトルによって V が対角化されることを示せ。

4. エネルギー固有値の厳密解を求め、摂動解と比較せよ。

5. 縮退のない場合の摂動法を適用した場合、エネルギー固有値に対する 1次摂動は正しく求ま

るか？

略解 1. 前問と同様に、|1⟩ =

(1

0

), |2⟩ =

(0

1

)と選ぶ。永年方程式

∣∣∣∣∣ E(1) −δ−δ E(1)

∣∣∣∣∣ = 0 より E(1)± =

±δ。すなわち、E = ∆の 2重縮退が E+ = ∆+ δ, E− = ∆− δ のように解ける。

2. E(1)+ = δ の場合、

(E

(1)+ −δ−δ E

(1)+

)(C+

1

C+2

)= 0より、C+

1 = C+2 。よって規格化された固有ベクト

ルは、|+⟩⟩ = C+1 (|1⟩+ |2⟩)を規格化して、|+⟩⟩ = 1√

2(|1⟩+ |2⟩) = 1√

2

(1

1

)。同様に、E(1)

− = −δ

の場合、|−⟩⟩ = 1√2

(1

−1

)。これらは互いに直交している。

3. 固有ベクトル |+⟩⟩, |−⟩⟩ から行列 P ≡(|+⟩⟩ |−⟩⟩

)=

1√2

(1 1

1 −1

)を作り、対角化の作法に

従って計算すると、

P †V P =1

2

(1 11 −1

)(0 δδ 0

)(1 11 −1

)=

(δ 00 −δ

)となり、確かに対角化される。

4. 全ハミルトニアンのエネルギー固有値の厳密解は、∆± δ であり、摂動解と一致している。

5. 縮退のない場合の摂動法を適用すると、E(1)1 = ⟨1|V |1⟩ = 0, E

(1)2 = ⟨2|V |2⟩ = 0 であり、縮退は解

けず、正しく求まらない。これは、今回選んだ無摂動ハミルトニアンの縮退した固有ベクトルが適切

ではなかったからである。

逆に言うと、摂動ハミルトニアン (5.51)式をにらんで、これを対角化するように*7無摂動ハミルトニ

アンの固有ベクトルを意図的に |1′⟩ = 1√2

(1

1

), |2′⟩ = 1√

2

(1

−1

)と選んでおけば、これらは縮

退が解けた先の |±⟩⟩と一致しているから、縮退のない場合の摂動法を適用しても正しい結果が得られる。すなわち、⟨1′|V |1′⟩ = δ, ⟨2′|V |2′⟩ = −δ となっている。

任意課題 : ゼーマン効果、シュタルク効果について調べよ。

5.2.3 補足：状態ベクトルの 1次摂動

こうして得られた第 0近似の状態ベクトルを用いると、高次摂動項を求めることができる。閉包条件は

1 = |n,+⟩⟩⟨⟨n,+| + |n,−⟩⟩⟨⟨n,−| +∑m =n

|m⟩⟨m| (5.52)

である。これより、条件 (5.17)式に注意すると、

|ψ(1)n,+⟩ = 1|ψ(1)

n,+⟩ =

|n,+⟩⟩⟨⟨n,+| + |n,−⟩⟩⟨⟨n,−| + ∑m =n

|m⟩⟨m|

|ψ(1)n,+⟩

= |n,−⟩⟩⟨⟨n,−|ψ(1)n,+⟩ +

∑m =n

|m⟩⟨m|ψ(1)n,+⟩

= C(1)n,−|n,−⟩⟩+

∑m =n

C(1)m |m⟩ (5.53)

*7 行列の対角化と基底ベクトルの関係については 1.A節数学的補遺 I参照。



C(1)n,− ≡ ⟨⟨n,−|ψ

(1)n,+⟩ (5.54)

C(1)m ≡ ⟨m|ψ(1)

n,+⟩ (5.55)

と定義した。

|n⟩⟩ = |n,+⟩⟩として、1次摂動の式 (5.19)に ⟨m| (m = n)を作用させると、

⟨m|V |n,+⟩⟩ = (E(0)n − E(0)

m )⟨m|ψ(1)n,+⟩+ E(1)

n ⟨m|n,+⟩⟩ (5.56)

となるが、条件 (5.17)式と E(0)n = E

(0)m より

C(1)m = ⟨m|ψ(1)

n,+⟩ =⟨m|V |n,+⟩⟩E

(0)n − E(0)

m

(5.57)

となって、|m⟩部分の展開係数が求まる。|n,−⟩⟩部分の展開係数は、2次摂動の式 (5.20) を用いる必要がある。この式で |n⟩⟩ = |n,+⟩⟩とした式

(V − E(1)n,+)|ψ

(1)n,+⟩ = (E(0)

n − H(0))|ψ(2)n ⟩+ E(2)

n |n,+⟩⟩ (5.58)

に ⟨⟨n,−|を作用させると

⟨⟨n,−|(V − E(1)n,+)|ψ

(1)n,+⟩ = (E(0)

n − E(0)n )⟨⟨n,−|ψ(2)

n ⟩+ E(2)n ⟨⟨n,−|n,+⟩⟩ (5.59)

となるが、⟨⟨n,−|n,+⟩⟩ = 0に注意して計算すると、

0 = ⟨⟨n,−|(V − E(1)n,+)|ψ

(1)n,+⟩

= ⟨⟨n,−|(V − E(1)n,+)

|n,−⟩⟩⟨⟨n,−|ψ(1)n,+⟩ +

∑m =n

|m⟩⟨m|ψ(1)n,+⟩

=

[⟨⟨n,−|V |n,−⟩⟩ − E(1)

n,+

]⟨⟨n,−|ψ(1)

n,+⟩+∑m =n

⟨⟨n,−|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,+⟩

(5.33)=

[E

(1)n,− − E

(1)n,+

]⟨⟨n,−|ψ(1)

n,+⟩+∑m =n

⟨⟨n,−|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,+⟩ (5.60)

が得られる。これより、|n,−⟩⟩部分の展開係数は

C(1)n,− = ⟨⟨n,−|ψ(1)

n,+⟩ =

∑m =n

⟨⟨n,−|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,+⟩

E(1)n,+ − E

(1)n,−

=

∑m =n

⟨⟨n,−|V |m⟩C(1)m

E(1)n,+ − E

(1)n,−

(5.61)

(5.57)=

∑m =n

⟨⟨n,−|V |m⟩⟨m|V |n,+⟩⟩

(E(1)n,+ − E

(1)n,−)(E

(0)n − E(0)

m )(5.62)

と求められる。

|n⟩⟩ = |n,−⟩⟩についても同様に計算できるので、まとめると、

|ψ(1)n,±⟩ =

∑m =n

[|n,∓⟩⟩ ⟨⟨n,∓|V |m⟩⟨m|V |n,±⟩⟩

(E(1)n,± − E

(1)n,∓)(E

(0)n − E(0)

m )+ |m⟩ ⟨m|V |n,±⟩⟩

E(0)n − E(0)

m

](5.63)

と求まる。

加点問題 P.5.1 : 2重縮退の場合の固有ベクトルの 1次摂動が (5.63)式で与えられることを示せ。


5.2.4 補足：エネルギー固有値の 2次摂動

2次摂動の式 (5.20)に ⟨⟨n,+|を作用させると、

⟨⟨n,+|(V − E(1)n,+)|ψ

(1)n,+⟩ = (E(0)

n − E(0)n )⟨⟨n,+|ψ(2)

n,+⟩+ E(2)n,+⟨⟨n,+|n,+⟩⟩ (5.64)

であるが、(5.17) 式より、左辺において E(1)n,+⟨⟨n,+|ψ

(1)n,+⟩ = 0 であるから、エネルギー固有値の 2 次摂

動は、

E(2)n,+ = ⟨⟨n,+|V |ψ(1)

n,+⟩

= ⟨⟨n,+|V |∑m =n

[|n,−⟩⟩ ⟨⟨n,−|V |m⟩⟨m|V |n,+⟩⟩

(E(1)n,+ − E

(1)n,−)(E

(0)n − E(0)

m )+ |m⟩ ⟨m|V |n,+⟩⟩

E(0)n − E(0)

m

]

(5.34)=

∑m =n

⟨⟨n,+|V |m⟩⟨m|V |n,+⟩⟩

E(0)n − E(0)

m

(5.65)

である。

同様に、

E(2)n,− =

∑m =n

⟨⟨n,−|V |m⟩⟨m|V |n,−⟩⟩

E(0)n − E(0)

m

(5.66)

5.2.5 補足：2次摂動ではじめて縮退が解ける場合

1 次摂動では縮退が解かれず、2 次摂動で縮退が解かれる場合について考えよう。まず、(5.26), (5.26),

(5.25)式より

E(1)n,± = ⟨n, i|V |n, i⟩ = ⟨n, j|V |n, j⟩

0 = ⟨n, i|V |n, j⟩ (5.67)

となっているので、⟨n, i|V |n, j⟩ = E

(1)n,±δij (5.68)

であることに注意しよう*8。

1次摂動で縮退が解ける場合には、1次摂動の式 (5.19)から導かれる永年方程式 (5.23)が重根を持つこと

がなかったので、エネルギー固有値の 1次摂動 E(1)n によって縮退が解け、係数 Cn,i も同時に求まった。同

様に、2次摂動で縮退が解かれる場合には、2次摂動の式 (5.20)から導かれる永年方程式から決まるエネ

ルギー固有値の 2次摂動 E(2)n によって縮退が解け、係数 Cn,i が定まることになる。

2次摂動の式 (5.20)

(V − E(1)n )|ψ(1)

n ⟩ = (E(0)n − H(0)

n )|ψ(2)n ⟩+ E(2)

n |n⟩⟩ (5.69)

に、⟨n, i|を作用させると、

⟨n, i|V |ψ(1)n ⟩ − E(1)

n ⟨n, i|ψ(1)n ⟩ = (E(0)

n − E(0)n )⟨n, i|ψ(2)

n ⟩+ E(2)n ⟨n, i|n⟩⟩ (5.70)

*8 5.3節で説明する s重縮退の一般論に備えて、|n, 1⟩ → |n, i⟩, |n, 2⟩ → |n, j⟩ という表記に一般化しておいた。


であるが*9、左辺第 1項は、閉包関係 (5.11)式を用いると、

⟨n, i|V |ψ(1)n ⟩ = ⟨n, i|V 1|ψ(1)

n ⟩= ⟨n, i|V |n, i⟩⟨n, i|ψ(1)

n ⟩+ ⟨n, i|V |n, j⟩⟨n, j|ψ(1)n ⟩+

∑m =n

⟨n, i|V |m⟩⟨m|ψ(1)n ⟩

(5.68)= E(1)⟨n, i|ψ(1)

n ⟩+∑m =n

⟨n, i|V |m⟩⟨m|ψ(1)n ⟩ (5.71)

となる。

ここで、1次摂動の式 (5.19) に ⟨m| (m = n)を作用させ、(5.57)式を導いたのと同様の計算で得られる

⟨m|ψ(1)n ⟩ =

⟨m|V |n⟩⟩E

(0)n − E(0)

m

=Cn,i⟨m|V |n, i⟩+ Cn,j⟨m|V |n, j⟩

E(0)n − E(0)

m

(5.72)

を用いると、結局

⟨n, i|V |ψ(1)n ⟩ = E(1)⟨n, i|ψ(1)

n ⟩+∑m=n

⟨n, i|V |m⟩⟨m|ψ(1)n ⟩

= E(1)⟨n, i|ψ(1)n ⟩+

∑m=n

[Cn,i|⟨n, i|V |m⟩|2

E(0)n − E(0)

m

+ Cn,j⟨n, i|V |m⟩⟨m|V |n, j⟩

E(0)n − E(0)

m

](5.73)

となる。

よって、2次摂動の式に ⟨n, i|を作用させた (5.70)からはE(2)n −

∑m =n

|⟨n, i|V |m⟩|2

E(0)n − E(0)

m

Cn,i −∑m =n

⟨n, i|V |m⟩⟨m|V |n, j⟩E

(0)n − E(0)

m

Cn,j = 0 (5.74)

が得られる。

同様に、2次摂動の式に ⟨n, j|を作用させると、

−∑m =n

⟨n, j|V |m⟩⟨m|V |n, i⟩E

(0)n − E(0)

m

Cn,i +

E(2)n −

∑m =n

|⟨n, j|V |m⟩|2

E(0)n − E(0)

m

Cn,j = 0 (5.75)

が得られる。

(5.74), (5.75)式が 2次摂動で縮退が解ける場合の永年方程式であり、これを解けば、エネルギー固有値

の 2次摂動 E(2)± が求まり、第 0次近似の選び方が与えられる。

2次摂動で縮退が解けない場合には、3次摂動の式から導かれる永年方程式の解であるエネルギー固有値

の 3次摂動 E(3)n によって縮退が解ける。以下同様に、高次摂動で縮退が解ける場合にまで議論を展開する

ことが可能である。

加点問題 P.5.2 : (5.74)式の導出にしたがって、(5.75)式を示せ。

加点問題 P.5.3 : H = H(0) + V において、Ea < Eb として、

H(0) =

E1 0 00 E2 00 0 E3

=

Ea 0 00 Ea 00 0 Eb

, V =

0 0 a0 0 ba∗ b∗ 0

(5.76)

であるとする。また、En に属する固有ベクトルを |n⟩とする。

*9 右辺第 1項は消える。


1. H(0) のエネルギー固有値と固有ベクトルを求めよ。

2. H のエネルギー固有値の厳密解が

E0 = Ea, E± =1

2

[(Ea + Eb)± (Eb − Ea)

√1 +

4(|a|2 + |b|2)(Eb − Ea)2

](5.77)

であることを示し、Eb − Ea ≫√|a|2 + |b|2 として展開せよ。

3. エネルギー固有値に対する 1次摂動が 0になることを示せ。

4. エネルギー固有値に対する 2 次摂動の計算の際に、縮退のないときの公式を適用した場合

に、縮退していない E(2)3 については正しい摂動解が得られるが、縮退しているエネルギー

固有値については誤ったものとなることを示せ。

5. この場合には 1次摂動で縮退が解けていないので、2次摂動を求めるためには (5.74), (5.75)

式の永年方程式を解く必要がある。

（a）永年方程式が ∣∣∣∣∣∣∣∣∣|a|2

Ea − Eb− E(2) ab∗

Ea − Eb

a∗b

Ea − Eb

|b|2

Ea − Eb− E(2)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (5.78)


（b）エネルギー固有値の 2次摂動を求めよ。略解 1. H(0) のエネルギー固有値は E

(0)1 = Ea, E

(0)2 = Ea, E

(0)3 = Eb。対応する固有ベクトルは

|1⟩ =

100

, |2⟩ =

010

, |3⟩ =

001

(5.79)

2. H のエネルギー固有値の厳密解は∣∣∣∣∣∣Ea − λ 0 a

0 Ea − λ ba∗ b∗ Eb − λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ (Ea − λ)[(Ea − λ)(Eb − λ)− (|a|2 + |b|2)

]= 0

の解で、E1 < E2 < E3 として

E1 =1

2

[(Ea + Eb)− (Eb − Ea)

√1 +

4(|a|2 + |b|2)(Eb − Ea)2

]E2 = Ea (5.80)

E3 =1

2

[(Ea + Eb) + (Eb − Ea)

√1 +

4(|a|2 + |b|2)(Eb − Ea)2

]

Eb − Ea ≫√

|a|2 + |b|2 として展開すれば、

E1 ≈ Ea − |a|2 + |b|2

Eb − Ea, E3 ≈ Eb +

|a|2 + |b|2

Eb − Ea(5.81)

3. 縮退していない E(0)3 については、E(1)

3 = ⟨3|V |3⟩ = 0。縮退している E(0)1 , E

(0)2 については、(5.25)

式より、E(1)1 = E

(1)2 = 0。よって 1次摂動では縮退は解かれない。


4. エネルギー固有値の 2次摂動について、縮退のない場合の公式を適用すると

E(2),nd1 =

⟨1|V |3⟩⟨3|V |1⟩E

(0)1 − E

(0)3

= − |a|2

Eb − Ea

E(2),nd2 =

⟨2|V |3⟩⟨3|V |2⟩E

(0)2 − E

(0)3

= − |b|2

Eb − Ea(5.82)

E(2),nd3 =

⟨3|V |1⟩⟨1|V |3⟩E

(0)3 − E

(0)1

+⟨3|V |2⟩⟨2|V |3⟩E

(0)3 − E

(0)2

=|a|2 + |b|2

Eb − Ea

となる。ここで縮退のない場合の公式を適用したことを示すため添字 nd (non-degenerate の略) を

つけた。厳密解の展開と比較すると、縮退していない E(2)3 については正しい摂動解が得られるが、縮

退しているエネルギー固有値については誤った結果となっている。

5.（a）割愛。

（b）永年方程式より、エネルギー固有値の 2次摂動は、

E(2)1 =

|a|2 + |b|2

Ea − Eb= −|a|2 + |b|2

Eb − Ea< 0, (5.83)

E(2)2 = 0 (5.84)

これらは厳密解の展開と一致する。

5.3 発展：s重縮退の場合の一般論

より一般的に、無摂動ハミルトニアン H(0) のエネルギー固有値 E(0)n に属する固有状態が s重に縮退し

ている場合を考える。1次摂動で縮退が解ける場合は、閉包関係として (5.11)式

s∑α=1

|n,α⟩⟨n,α|+∑m =n

|m⟩⟨m| = 1

を用いなければならないことを除いて、2 重縮退の場合と本質的に同じである。ただし、式は少々複雑に

なる。

一方、1次摂動で縮退が解けない場合はすこし注意が必要である。なぜならば、2重縮退の場合には、縮

退は完全に解けるかまったく解けないかのどちらかであり、縮退が部分的に解けるということはない。しか

しながら、より一般の場合には、縮退が部分的にだけ解けるということもある。

詳しくは 5.3.6節を参照してもらいたいが、要点だけをここで述べておこう。はじめにあった s個の縮退

のうち、h個の縮退は解かれず、(s − h)個だけ縮退が解けたとする。すると縮退が解けたエネルギー固有値からは、(s− h)個の |n, α⟩⟩が定まることになる。そこで閉包関係が

h∑i=1

|n, i⟩⟨n, i|+s∑

α=h+1

|n, α⟩⟩⟨⟨n, α|+∑m =n

|m⟩⟨m| = 1 (5.85)

となるようにエネルギー固有値のラベル付けをして、この閉包関係を用いて 5.2.5節と同様の議論を展開す

れば、s重縮退の場合の一般論を展開することができる。

5.3 発展：s重縮退の場合の一般論 121

5.3.1 準備

縮退している固有状態を |n, α⟩, α = 1, 2, · · · , s と表す。E(0)n 以外のエネルギー固有値 E

(0)m の固有状態

|m⟩は縮退していないとする。この場合、

⟨m|m′⟩ = δmm′ (5.86)

⟨n,α|m⟩ = 0 (5.87)

である。さらに、縮退した固有値に属する固有状態 |n,α⟩は規格直交化されているものとしよう：

⟨n,α|n,β⟩ = δαβ . (5.88)

エネルギー固有値の展開をEn = E(0)

n + λE(1)n + λ2E(2)

n + · · · (5.89)

とおく。また、2重縮退の場合の議論に倣って、λ→ 0の極限でなめらかに繋がるべき非摂動状態を

|n⟩⟩ =s∑

β=1

Cα|n,β⟩ (5.90)

のように縮退した s 個の状態 |n,β⟩ の重ね合わせであらわす。これを用いて、全ハミルトニアンの波動関数を

|ψn⟩ = |n⟩⟩+ λ|ψ(1)n,α⟩+ λ2|ψ(2)

n,α⟩+ · · · , (5.91)

と展開しよう。ここで、規格化条件として

⟨⟨n|ψn⟩ = ⟨⟨n|n⟩⟩ = 1, ⟨⟨n|ψ(i)n ⟩ = 0 (5.92)

を採用する。

5.3.2 第 0近似の選び方とエネルギー固有値の 1次摂動

これらを Schrodinger方程式

H|ψn⟩ = (H(0) + λV )|ψn⟩ = En|ψn⟩ (5.93)

に代入し、λの次数ごとに左右両辺を比較すると、

(E(0)n − H(0))|n⟩⟩ = 0 (5.94)

(E(0)n − H(0))|ψ(1)

n ⟩+ E(1)n |n⟩⟩ = V |n⟩⟩ (5.95)

(E(0)n − H(0))|ψ(2)

n ⟩+ E(1)n |ψ(1)

n ⟩+ E(2)n |n⟩⟩ = V |ψ(1)

n ⟩ (5.96)

が得られる。(5.95)式に左から ⟨n,α|, (α = 1, 2, · · · , s)を作用させると、

E(1)n ⟨n,α|n⟩⟩ = ⟨n,α|V |n⟩⟩ (5.97)

となる。(5.90)式を代入すると、

s∑β=1

[E(1)

n ⟨n,α|n,β⟩ − ⟨n,α|V |n,β⟩]Cβ

(5.88)=

s∑β=1

[E(1)

n δαβ − ⟨n,α|V |n,β⟩]Cβ = 0 (5.98)


を得る。

2重縮退の場合と同様に、これは行列

A =

E

(1)n − ⟨n,1|V |n,1⟩ −⟨n,1|V |n,2⟩ · · · −⟨n,1|V |n,s⟩−⟨n,2|V |n,1⟩ E

(1)n − ⟨n,2|V |n,2⟩ · · · −⟨n,2|V |n,s⟩

· · · · · · · · · · · ·−⟨n,s|V |n,1⟩ −⟨n,s|V |n,2⟩ · · · E

(1)n − ⟨n,s|V |n,s⟩

(5.99)

とベクトル

c =

C1

C2

· · ·Cs

(5.100)

を用いて、Ac = 0 (5.101)

と表すことができる。E(1)n の s次方程式である永年方程式 detA = 0を解くことで、s個の解 E

(1)n,α, (α =

1, 2, · · · , s)が求まる。これらに重根がなければ 1次の摂動によって E(0)n の縮退が解けることになる。重根

がある場合には、縮退は部分的にしか解けない。

s個のうちのいずれかの解 E(1)n,α を (5.101)式に代入して、規格化条件

∑sβ=1 |Cβ |2 = 1の下で Cβ につ

いて解けば、縮退の解けたエネルギー固有値 En,α = E(0)n + E

(1)n,α に対する展開係数 Cβ が求まる。これを

Cα,β と書いて (5.90)式に代入すれば、エネルギー固有値 En,α に対して用いるべき |n,α⟩⟩が

|n,α⟩⟩ =s∑

β=1

Cα,β |n,β⟩ (5.102)

のように求まる。

5.3.3 摂動ハミルトニアン V の対角化との関係

(5.98) 式において、Vαβ ≡ ⟨n, α|V |n, β⟩ はエルミート行列である。したがって、s 組の解C1,β , C2,β , · · · , Cs,β は互いに直交するベクトルとなる。さらに、規格化しておくことにする。する

と、このとき、

⟨⟨n,α|n,β⟩⟩ =

[s∑

γ=1

C∗α,γ |n,γ⟩

] s∑γ′=1

Cβ,γ′ |n,γ′⟩

(5.88)=

s∑γ=1

s∑γ′=1

C∗α,γCβ,γ′δγγ′

=s∑

γ=1

C∗α,γCβ,γ = δαβ (5.103)

である。最後の等式で s組の解 C1,β , C2,β , · · · , Cs,β が規格直交化されたベクトルであることを用いた。

(5.97)式に (5.98), (5.102)式より求まった E(1)n,α, |n, α⟩⟩を代入すると、

E(1)n,α⟨n,γ|n, α⟩⟩ = ⟨n,γ|V |n, α⟩⟩. (5.104)

両辺に C∗γ,β を掛けて、γ について和をとると、

E(1)n,α⟨⟨n,β|n,α⟩⟩ = ⟨⟨n,β|V |n,α⟩⟩ (5.105)


を得る。ここで、規格直交条件⟨⟨n,β|n,α⟩⟩ = δβα (5.106)

を用いると、⟨⟨n,β|V |n,α⟩⟩ = E(1)

n,αδβα (5.107)

が得られる。すなわち、|n, α⟩⟩によって ⟨⟨n,β|V |n,α⟩⟩は対角化されている。このように、V を対角化する状態ベクトル |n,α⟩⟩ を用いれば、エネルギーの 1次摂動は、

E(1)n,α = ⟨⟨n,α|V |n,α⟩⟩ (5.108)

と表すことができる。つまり、状態ベクトル |n,α⟩⟩によって、摂動ハミルトニアン V は対角化されている。


永年方程式に重根がない場合、状態ベクトルの 1次補正項を求める。|n,α⟩⟩が規格直交化

⟨⟨n,β|n,α⟩⟩ = δβα (5.109)

されているとする。この場合、閉包関係

s∑γ=1

|n,γ⟩⟩⟨⟨n,γ|+∑m =n

|m⟩⟨m| = 1 (5.110)

が成り立つ。また、摂動ハミルトニアンは対角化

⟨⟨n,β|V |n,α⟩⟩ = E(1)n,αδβα (5.111)

されていることに注意しよう。

まず、1次摂動項の式 (5.95)において E(1)n = E

(1)n,α の場合、

(E(0) − H(0))|ψ(1)n,α⟩+ E(1)

n,α|n,α⟩⟩ = V |n,α⟩⟩ (5.112)

であるが、m = nなる ⟨m|を左から作用させると、

⟨m|ψ(1)n,α⟩ =

⟨m|V |n,α⟩⟩E

(0)n − E(0)

m

(5.113)

が得られる。

次に、E(1)n = E

(1)n,α の場合の摂動の 2次の項 (5.96)

(E(0) − H(0))|ψ(2)n,α⟩+ E(1)

n,α|ψ(1)n,α⟩+ E(2)

n,α|n,α⟩⟩ = V |ψ(1)n,α⟩ (5.114)

に、⟨⟨n,β|, (β = α)を作用させると、

(E(0) − E(0))⟨⟨n,β|ψ(2)n ⟩+ E(1)

n,α⟨⟨n,β|ψ(1)n,α⟩+ E(2)

n,αδβα = ⟨⟨n,β|V |ψ(1)n,α⟩ (5.115)


となる。左辺第 1項は消え、第 3項も β = αより 0になる。ここで、閉包関係 (5.110)より、

⟨⟨n,β|V |ψ(1)n,α⟩ = ⟨⟨n,β|V

s∑γ=1

|n,γ⟩⟩⟨⟨n,γ|+∑m =n

|m⟩⟨m|

|ψ(1)n,α⟩

=s∑

γ=1

⟨⟨n,β|V |n,γ⟩⟩⟨⟨n,γ|ψ(1)n,α⟩+

∑m =n

⟨⟨n,β|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩

=

s∑γ=1

E(1)n,γδβγ⟨⟨n,γ|ψ(1)

n,α⟩+∑m =n

⟨⟨n,β|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩

= E(1)n,β⟨⟨n,β|ψ

(1)n,α⟩+

∑m =n

⟨⟨n,β|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩ (5.116)

であるから、(5.115)式は

(E(1)n,α − E

(1)n,β)⟨⟨n,β|ψ

(1)n,α⟩ =

∑m =n

⟨⟨n,β|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩ (5.117)

となる。縮退は解けていて E(1)n,α − E(1)

n,β = 0であるから、

⟨⟨n,β|ψ(1)n,α⟩ =

1

E(1)n,α − E(1)

n,β

∑m =n

⟨⟨n,β|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩ (5.118)

となる。(5.3.4)式を代入すれば、

⟨⟨n,β|ψ(1)n,α⟩ =

∑m =n

⟨⟨n,β|V |m⟩⟨m|n,α⟩⟩(E

(1)n,α − E(1)

n,β)(E(0)n − E(0)

m )(5.119)

が得られる。

これらの結果を

|ψ(1)n,α⟩ = 1|ψ(1)

n,α⟩ =

s∑β=1

|n,β⟩⟩⟨⟨n,β|+∑m =n

|m⟩⟨m|

|ψ(1)n,α⟩

=∑β =α

|n,β⟩⟩⟨⟨n,β|ψ(1)n,α⟩+

∑m =n

|m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩ (5.120)

に代入すると (規格化条件より ⟨⟨n,α|ψ(1)n,α⟩ = 0に注意)、状態ベクトルへの 1次補正が

|ψ(1)n,α⟩ =

∑m =n

∑β =α

|n,β⟩⟩ ⟨⟨n,β|V |m⟩⟨m|V |n,α⟩⟩(E

(1)n,α − E(1)

n,β)(E(0)n − E(0)

m )+ |m⟩ ⟨m|V |n,α⟩⟩

E(0)n − E(0)

m

(5.121)

と求まる。


永年方程式に重根がない場合、エネルギー固有値のの 2次補正項を求める。2次摂動項の E(1)n = E

(1)n,α の

場合の式 (5.114)に ⟨⟨n,α|を左から作用させると、

(E(0) − E(0))⟨⟨n,α|ψ(2)n ⟩+ E(1)

n,α⟨⟨n,α|ψ(1)n,α⟩+ E(2)

n,α = ⟨⟨n,α|V |ψ(1)n,α⟩ (5.122)


であるが、左辺第 1、2項はきえるので、エネルギー固有値の 2次補正項は

E(2)n,α = ⟨⟨n,α|V 1|ψ(1)

n,α⟩

= ⟨⟨n,α|V

s∑β=1

|n,β⟩⟩⟨⟨n,β|+∑m =n

|m⟩⟨m|

|ψ(1)n,α⟩

=

s∑β=1

⟨⟨n,α|V |n,β⟩⟩⟨⟨n,β|ψ(1)n,α⟩+

∑m =n

⟨⟨n,α|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩

=

s∑β=1

E(1)n,βδαβ⟨⟨n,β|ψ

(1)n,α⟩+

∑m =n

⟨⟨n,α|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩

= E(1)n,α⟨⟨n,α|ψ(1)

n,α⟩+∑m =n

⟨⟨n,α|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩

=∑m =n

⟨⟨n,α|V |m⟩⟨m|ψ(1)n,α⟩

=∑m =n

⟨⟨n,α|V |m⟩⟨m|V |n,α⟩⟩E

(0)n − E(0)

m

(5.123)

となる。

5.3.6 1次摂動では縮退が解かれない場合

1 次摂動では縮退が解かれない場合にも、2 次摂動まで考えると縮退を取り除くことができる。エネル

ギー固有値の 1次摂動E(1)

n,αδα,β = ⟨⟨n,α|V |n,β⟩⟩ (5.124)

において、s個の縮退のうち、1から hまでの縮退は解かれず、

E(1)n δi,j = ⟨n, i|V |n, j⟩ (5.125)

であり (縮退が解かれていないのでエネルギー固有値の 1次摂動を E(1)n とおいた)、一方 h+ 1から sの縮

退はE(1)

n,αδαβ = ⟨⟨n, α|V |n, β⟩⟩ (5.126)

のように解かれたとする。ここで (5.107)式より、

⟨n, i|V |n, α⟩⟩ = 0 (5.127)

であることに注意しよう。

1次摂動でも縮退が解けなかった n = 1から hのエネルギー固有値と状態ベクトルを

|ψn⟩ =h∑

i=1

Ci|n, i⟩+ λ|ψ(1)n ⟩+ λ2|ψ(2)

n ⟩+ · · · (5.128)

En = E(0)n + λE(1)

n + λ2E(2)n + · · · (5.129)

とおく。


シュレーディンガー方程式に代入して、λの次数ごとに左右両辺を比較すると、

h∑i=1

Ci(E(0)n − H(0))|n, i⟩ = 0 (5.130)

(E(0)n − H(0))|ψ(1)

n ⟩+h∑

i=1

E(1)n Ci|n, i⟩ =

h∑i=1

V Ci|n, i⟩ (5.131)

(E(0)n − H(0))|ψ(2)

n ⟩+ E(1)n |ψ(1)

n ⟩+h∑

i=1

E(2)n Ci|n, i⟩ = V |ψ(1)

n ⟩ (5.132)

となる。

(5.131)式に、第 0近似で既に縮退のない状態ベクトル ⟨m|を作用させると、

(E(0)n − E(0)

m )⟨m|ψ(1)n ⟩+

h∑i=1

E(1)n Ci⟨m|n, i⟩ =

h∑i=1

Ci⟨m|V |n, i⟩ (5.133)

となるが、⟨m|n, i⟩ = 0 および E(0)n = E

(0)m を用いると、

⟨m|ψ(1)n ⟩ =

h∑i=1

Ci⟨m|V |n, i⟩E

(0)n − E(0)

m

(5.134)

を得る。

(5.132)式に ⟨n, j|を作用させると、

(E(0)n − E(0)

n )⟨n, j|ψ(2)n ⟩+ E(1)

n ⟨n, j|ψ(1)n ⟩+

h∑i=1

E(2)n Ci⟨n, j|n, i⟩ = ⟨n, j|V |ψ(1)

n ⟩

E(1)n ⟨n, j|ψ(1)

n ⟩+h∑

i=1

E(2)n Ciδji = ⟨n, j|V |ψ(1)

n ⟩ (5.135)

であるが、完全性条件

h∑i=1

|n, i⟩⟨n, i|+s∑

α=h+1

|n, α⟩⟩⟨⟨n, α|+∑m =n

|m⟩⟨m| = 1 (5.136)

を右辺に代入すると、

⟨n, j|V |ψ(1)n ⟩ =

h∑i=1

⟨n, j|V |n, i⟩⟨n, i|ψ(1)⟩+s∑

α=h+1

⟨n, j|V |n, α⟩⟩⟨⟨n, α|ψ(1)⟩

+∑m =n

⟨n, j|V |m⟩⟨m|ψ(1)⟩ (5.137)

となる。右辺第 1項は、

h∑i=1

⟨n, j|V |n, i⟩⟨n, i|ψ(1)⟩ (5.125)= E(1)n

h∑i=1

δji⟨n, i|ψ(1)⟩ = E(1)n ⟨n, j|ψ(1)⟩ (5.138)

であり、これは (5.135)式の左辺第 1項と相殺する。右辺の第 2項は、(5.127)式より

s∑α=h+1

⟨n, j|V |n, α⟩⟩⟨⟨n, α|ψ(1)⟩ = 0 (5.139)


である。右辺第 3項は、(5.134)式を用いると、

∑m =n

⟨n, j|V |m⟩⟨m|ψ(1)⟩ =h∑

i=1

∑m =n

Ci⟨n, j|V |m⟩⟨m|V |n, i⟩

E(0)n − E(0)

m

(5.140)

となる。

ここで、

⟨n, j|V (2)|n, i⟩ ≡∑m =n

⟨n, j|V |m⟩⟨m|V |n, i⟩E

(0)n − E(0)

m

(5.141)

と定義すると、(5.135)式はh∑

i=1

(E(2)

n δji − ⟨n, j|V (2)|n, i⟩)Ci = 0 (5.142)

となる。(5.142)式が Ci = 0でない解を持つためには、∣∣∣E(2)n δji − ⟨n, j|V (2)|n, i⟩

∣∣∣ = 0 (5.143)

この方程式を解くことにより第 2近似のエネルギーの補正値 E(2)n が求まり、第 1次近似では解けなかった

縮退を取り除くことができる。

加点問題 P.5.4 : 無摂動ハミルトニアン

H(0) =

0 E 0 0E 0 0 00 0 E 00 0 0 E

, (E > 0) (5.144)

に対して、摂動

H(0) =

0 −iϵ 0 0iϵ 0 0 00 0 0 00 0 0 δ

(5.145)

が加わった系 H = H(0) + V について考える。

1. H(0) の固有値と固有ベクトルを求めよ

2. H(0) は 3重に縮退した励起状態を持つ。摂動の 1次の効果で縮退が 1部解けるが、2重縮

退が残ることを示せ。

3. 摂動の 2次の効果によって縮退が完全に解けることを示せ。

4. エネルギー固有値の摂動を 2次まで求めよ。

5. H の固有値の厳密解と摂動の結果を比較せよ。略解 1. H(0) の固有値は ±E であり、+E の固有状態は 3重に縮退している。これを

E(0)0 = −E, E

(0)1 = +E (5.146)

とあらわし、E(0)0 に属する固有ベクトル (基底状態)を |0⟩, 3重に縮退した E

(0)1 に属する固有ベクト

ル (励起状態)を |1, 1⟩, |1, 2⟩, |1, 3⟩ とあらわす。規格化された基底状態は

|0⟩ = 1√2

1−100

(5.147)


である。励起状態を互いに直交するように、

|1, 1⟩ = 1√2

1100

, |1, 2⟩ =

0010

, |1, 3⟩ =

0001

(5.148)

と選ぶ。

2. 基底エネルギーへの摂動の 1次の効果は、E(1)0 = ⟨0|V |0⟩ = 0。縮退した励起状態について、

|1⟩⟩ = C1|1, 1⟩+ C2|1, 2⟩+ C3|1, 3⟩ (5.149)

とおく。永年方程式にあらわれる行列は、(5.99)式より、

A =

E(1)1 − ⟨1, 1|V |1, 1⟩ −⟨1, 1|V |1, 2⟩ −⟨1, 1|V |1, 3⟩−⟨1, 2|V |1, 1⟩ E

(1)1 − ⟨1, 2|V |1, 2⟩ −⟨1, 2|V |1, 3⟩

−⟨1, 3|V |1, 1⟩ −⟨1, 3|V |1, 2⟩ E(1)1 − ⟨1, 3|V |1, 3⟩

=

E(1)1 0 0

0 E(1)1 0

0 0 E(1)1 − δ

(5.150)

となる。よって、detA = 0より

E(1)1,1 = E

(1)1,2 = 0, E

(1)1,3 = δ (5.151)

となって縮退が 1部解ける。また、縮退の解けた

E1,3 = E(0)1,3 + E

(1)1,3 = E + δ (5.152)

に対応する 0次の固有状態は、C3 = 1と決まるので、

|1, 3⟩⟩ = |1, 3⟩ (5.153)

と定まる。

3. 1次摂動で解かれずに残った 2重縮退について、あらためて

|1⟩⟩ = C1|1, 1⟩+ C2|1, 2⟩ (5.154)

とおく。2次摂動によってこの残った縮退が解けるか調べる。

2次摂動の場合の永年方程式 (5.143)を求めよう。(5.141)式より、

⟨1, j|V (2)|1, i⟩ =∑m=1

⟨1, j|V |m⟩⟨m|V |1, i⟩E

(0)1 − E

(0)m

=⟨1, j|V |0⟩⟨0|V |1, i⟩

E(0)1 − E

(0)0

(5.155)

であるが、ゼロでない寄与は i = j = 1 の場合だけであり、このとき、

⟨1, 1|V (2)|1, 1⟩ = ϵ2

2E(5.156)

である。よって、永年方程式 (5.143)は、∣∣∣∣∣ E(2)1 − ϵ2

2E0

0 E(2)1

∣∣∣∣∣ = 0 (5.157)

これより、エネルギー固有値の 2次摂動は、

E(2)1,1 =

ϵ2

2E, E

(2)1,2 = 0 (5.158)

となり 2重縮退が 2次摂動によって解ける。


縮退の解けた

E1,1 = E(0)1,1 + E

(1)1,1 + E

(2)1,1 = E + 0 +

ϵ2

2E(5.159)

に対応する 0次の固有状態は、C1 = 1と決まるので、

|1, 1⟩⟩ = |1, 1⟩ (5.160)

と定まる。E1,2 = E

(0)1,2 + E

(1)1,2 + E

(2)1,2 = E + 0 + 0 (5.161)

に対応する 0次の固有状態は、|1, 1⟩⟩, |1, 3⟩⟩と直交するように選んで、

|1, 2⟩⟩ = |1, 2⟩ (5.162)

と定まる。

4. |1, i⟩⟩, (i = 1, 2, 3)がすべて求まったので、1次摂動までしか求められていなかった、E0 と E1,3 の 2

次摂動を計算することができる。

E0 の 2次摂動について、縮退のない場合には、(4.46)式より

E(2)0 =

∑m =0

⟨0|V |m⟩⟩⟨⟨m|V |0⟩E

(0)0 − E

(0)m

=⟨0|V |1⟩⟨1|V |0⟩E

(0)0 − E

(0)m

(5.163)

として計算することができたが、今の場合には励起状態 |1⟩ が 3 重に縮退しているので、閉包関係と

して (5.11)式を用いなければならない。これに対応して中間状態 |1⟩⟨1| の部分を次のように変更して計算する：

E(2)0 =

⟨0|V[∑3

α=1 |1, α⟩⟨1, α|]V |0⟩

E(0)0 − E

(0)m

=

3∑α=1

⟨0|V |1, α⟩⟨1, α|V |0⟩E

(0)0 − E

(0)m

= − ϵ2

2E(5.164)

E0 の 2次摂動について (5.123)式より

E(2)1,3 =

∑m =1

⟨⟨1, 3|V |m⟩⟨m|V |1, 3⟩⟩E

(0)1 − E

(0)m

=⟨⟨1, 3|V |0⟩⟨0|V |1, 3⟩⟩

E(0)1 − E

(0)0

(5.165)

基底状態 |0⟩には縮退がないので、このまま計算すればよく、

E(2)1,3 =

⟨1, 3|V |0⟩⟨0|V |1, 3⟩E

(0)1 − E

(0)0

= 0 (5.166)

以上の結果をまとめると、摂動の 2次までで、

E0 = −E + 0 − ϵ2

2E(5.167)

E1,1 = E + 0 +ϵ2

2E(5.168)

E1,2 = E + 0 + 0 (5.169)

E1,3 = E + δ + 0 (5.170)

5. H の固有値の厳密解は、λ = E, E + δ, ±

√E2 + ϵ2 (5.171)

である。摂動の結果は厳密解を 2次まで展開したものと一致している。

131

第 6章

時間に依存するシュレーディンガー方程式の摂動法 (1)：基礎方程式

ハミルトニアンが時間に依らない場合、系の時間発展は時間推進演算子 U(t) = e−i Hℏ t を用いて記述され

た。一方、ハミルトニアンが時間に依存する場合には、時間発展の記述は一般にとても複雑になる。そこ

で、エネルギー固有値および固有状態を摂動法により近似的に求めたのと同様に、系の時間発展についても

その解を近似的にを求める手法があると大変便利である。

本章では、時間に依存しない無摂動ハミルトニアン H(0) に対して、時間に依存する摂動ハミルトニアン

V (t)が時間が加わった場合の系の時間発展を摂動法によって近似的に求める手法について考える*1。

6.1 時間発展と状態の遷移

6.1.1 時間に依存しないハミルトニアンにおける状態の遷移

まず、量子力学における状態ベクトルの時間発展について復習しておこう。時刻 t = 0に系がエネルギー

E(0)n を持つ H(0) の固有状態 |n(0)⟩にあるとする。H(0) が時間に依存しない定常状態であるから、系の時

間発展は

|n(t)⟩ = exp

(−i H

(0)t

ℏ

)|n(0)⟩ = exp

(−i E

(0)n t

ℏ

)|n(0)⟩ (6.1)

で与えられ、|n(t)⟩が時刻 tでにおける系の状態である。ここで、|n(t)⟩ と |n(0)⟩は定数倍 (位相因子)し

か異なっていないことに注意しよう。確率振幅は ⟨n(t)|n(t)⟩ = ⟨n(0)|n(0)⟩であるから、系の状態は実際的には変化していないことになる。そこで、両者を区別せずに、単に |n⟩と表記する。次に、H(0) の固有状態ではない状態 |ψ(0)⟩の時間発展について考えよう。エネルギー固有状態 |n⟩の完全性を用いて、

|ψ(0)⟩ =∑n

Cn|n⟩ (6.2)

と展開する。時間が tだけたったときの系の状態は、

|ψ(t)⟩ = exp

(−i H

(0)t

ℏ

)|ψ(0)⟩ =

∑n

Cn exp

(−i E

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (6.3)

*1 特に断らない限り、Schrodinger描像で時間発展を記述する。

132 第 6章時間に依存するシュレーディンガー方程式の摂動法 (1)：基礎方程式

であるが、これは一般に |ψ(0)⟩とは異なっている。例えば時刻 t = 0で

|ψ(0)⟩ = 1√2(|n⟩+ |n′⟩), (n = n′) (6.4)

の状態であったとすると、時刻 t = ℏπ/(E(0)n − E(0)

n′ )における系の状態は、

|ψ(t)⟩ = 1√2

[exp

(−iπ E

(0)n

E(0)n − E(0)

n′

)|n⟩+ exp

(−iπ

E(0)n′

E(0)n − E(0)

n′

)|n′⟩

]

=1√2

[exp

(−iπ E

(0)n

E(0)n − E(0)

n′

)|n⟩+ exp

(−iπ

(E

(0)n

E(0)n − E(0)

n′

− 1

))|n′⟩

]

=1√2exp

(−i πE

(0)n

E(0)n − E(0)

n′

)(|n⟩+ eiπ|n′⟩

)=

1√2exp

(−i πE

(0)n

E(0)n − E(0)

n′

)(|n⟩ − |n′⟩

)(6.5)

で与えられるが、これは初期状態 ψ(0)とは異なる*2。

このことを、状態 |ψ(0)⟩から |ψ(t)⟩への遷移が起こったという。すなわち、時間に依存しないハミルトニアンで記述される系は、もし、はじめの状態がハミルトニアンの固有状態でなければ遷移を受ける。

出席課題 S.6.1 : (6.5)式を示し、|ψ(t)⟩が |ψ(0)⟩と直交していることを示せ。

6.1.2 時間に依存するハミルトニアンにおける状態の遷移

ハミルトニアンが時間に依存する場合には、系の状態 |ψ(t)⟩は時々刻々と変化し、その時間発展は時間に依存する Schrodinger方程式

iℏ∂

∂t|ψ(t)⟩ = H(t)|ψ(t)⟩ (6.6)

にしたがう。ここで、ハミルトニアン H(t)は時間に依存しない部分 H(0) と時間に依存する V (t)の和で

H(t) = H(0) + λV (t) (6.7)

と表されるとしよう。

H(0) のエネルギー固有状態は完全系をなすから、時間に依存する Schrodinger 方程式にしたがう状態ベ

クトル |ψ(t)⟩も |n⟩で展開することができる。定常状態の場合の展開 (6.3)式に倣って、状態ベクトルを

|ψ(t)⟩ =∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (6.8)

と展開しよう。これは、V = 0の場合には (6.3)式に一致するべきであるから、C(t)の時間依存性は、基

本的にはポテンシャル V (t)によるものである。

状態ベクトル |ψ(t)⟩がいつでも規格化されているとすると*3、(6.8)式の係数 Cn(t)は確率振幅 (遷移振

幅)になり、|Cn(t)|2 が時刻 tに系が状態 |n⟩に遷移している確率 (遷移確率)を表す。(6.8)式において、位

*2 直交している。*3 規格化を考慮したより詳細な議論については 6.3節参照。

6.1 時間発展と状態の遷移 133

相因子 exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)は系の本質的な時間発展を記述するものではない。すなわち、系の時間発展は係数

Cn(t)が担っていることになる。以下ではその時間発展について調べよう。

展開 (6.8)を Schrodinger方程式の左辺に代入すると、

iℏ∂

∂t|ψ(t)⟩ = iℏ

∂

∂t

∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩

= iℏ∑n

[dCn(t)

dt+−iE(0)

n

ℏCn(t)

]exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩

= iℏ∑n

dCn(t)

dtexp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩+

∑n

E(0)n Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (6.9)

となる。一方、Schrodinger方程式の右辺は、

H|ψ(t)⟩ =(H(0) + λV (t)

)∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩

=∑n

E(0)n Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩+ λ

∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)V (t)|n⟩ (6.10)

であるから、左辺第 2項と右辺第 1項がキャンセルして、Schrodinger方程式は

iℏ∑n

dCn(t)

dtexp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ = λ

∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)V (t)|n⟩ (6.11)

となる。

ここで ⟨m|を左から作用させると、Cm(t)の発展方程式が

iℏ∑n

dCn(t)

dtexp

(−iE

(0)n t

ℏ

)⟨m|n⟩ = λ

∑n

⟨m|V (t)|n⟩Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)

iℏdCm(t)

dtexp

(−iE

(0)m t

ℏ

)= λ

∑n


(−iE

(0)n t

ℏ

)

と変形してdCm(t)

dt= λ

1

iℏ∑n


(i(E

(0)m − E(0)

n )

ℏt

)(6.12)

のように得られる。(6.12)式は、本節における時間に依存するシュレーディンガー方程式の議論の出発点と

なる方程式である。(6.12)式は C1(t), C2(t), · · · に対する連立微分方程式であることに注意しよう*4。

出席課題 S.6.2 : (6.6)式からはじめて (6.12)式を導け。

*4 実際、ωmn ≡ (E(0)m − E

(0)n )/ℏとして、

iℏC1 = λ(C1⟨1|V |1⟩e−ω11t + C2⟨1|V |2⟩e−ω12t + C3⟨1|V |3⟩e−ω13t + · · ·

)iℏC2 = λ

(C1⟨2|V |1⟩e−ω21t + C2⟨2|V |2⟩e−ω22t + C3⟨2|V |3⟩e−ω23t + · · ·

)iℏC3 = λ

(C1⟨3|V |1⟩e−ω31t + C2⟨3|V |2⟩e−ω32t + C3⟨3|V |3⟩e−ω33t + · · ·

)· · ·

である。


6.1.3 選択則

(6.12)式より、初期に状態 |l⟩, (l = m)である場合 (すなわち Cm(0) = 0)でも、dCm/dtの方程式の右辺

には ⟨m|V (t)|l⟩Cl に比例する項があるために*5、

dCm(0)

dt= λ

1

iℏ∑n

⟨m|V (t)|n⟩Cn(0) = λ1

iℏ⟨m|V (t)|l⟩Cl(0) (6.13)

となるので、時刻 tにおいて一般に Cm(t) = 0 となり得る。すなわち、初期に無摂動ハミルトニアンのエ

ネルギー固有状態にあった場合にも、摂動ハミルトニアン V (t) によって状態間の遷移が起こる。

ただし、⟨m|V (t)|l⟩ = 0, (l = m) の場合には dCm/dt = 0であるから、状態間の遷移は起こらない。逆

に言えば、⟨m|V (t)|l⟩ = 0 を満たす状態の間でのみ遷移が許される。これを選択則とよぶ。例えば、エネル

ギー固有状態 |n⟩によって V (t) の行列要素が常に対角化されている場合

⟨m|V (t)|n⟩ = ⟨n|V (t)|n⟩δmn (6.14)

には、状態間の遷移は起こらない。選択則は、例えば、原子の電子が光の吸収または放出に伴って軌道間を

遷移する場合を考える際などに重要となる。

出席課題 S.6.3 : 選択則について説明せよ。

6.1.4 2準位系の遷移確率の厳密な取り扱い：共鳴現象

演習問題 E.6.1 : ラビ (Rabi)振動：ハミルトニアン H(0) の固有状態が 2個 |1⟩, |2⟩しかない 2準

位系を考える。

H(0) =

(−E(0) 0

0 E(0)

)≡ 1

2

(−ℏω0 00 ℏω0

)(6.15)

ここで E(0) = ℏω0/2とおいた。外部から相互作用のハミルトニアン V が

V = −1

2ℏV(

0 e+iωt

e−iωt 0

)(6.16)

で与えられるとする。このときの状態の遷移について調べよ。略解状態ベクトルを

|ψ(t)⟩ = C1(t)e−i−E(0)t

ℏ |1⟩+ C2(t)e−iE

(0)tℏ |2⟩

= C1(t)e+ i

2ω0t|1⟩+ C2(t)e

− i2ω0t|2⟩ (6.17)

と展開すると、(6.12)式より、

iℏdC1(t)

dt= −1

2ℏV e−i(ω0−ω)tC2(t) (6.18)

iℏdC2(t)

dt= −1

2ℏV ei(ω0−ω)tC1(t) (6.19)

となる (具体的に計算して示せ)。

*5 ここで、⟨m|V (t)|l⟩ は無摂動ハミルトニアンの固有ベクトルを基底として V を行列表示したときの行列要素である。行列要素については、1.4節および 10.3.1節参照のこと。

6.2 時間に依存するシュレーディンガー方程式に対する摂動法 135

はじめに系が状態 |2⟩にあったとしよう。すなわち、

C1(0) = 0, C2(0) = 1 (6.20)

であったとする。このとき (6.18), (6.19)式から、

dC1(0)

dt= − 1

2iℏℏV, dC2(0)

dt= 0 (6.21)

である。(6.18), (6.19)から C2 を消去すると、

d2C1

dt2+ i(ω0 − ω)

dC1

dt+V 2

4C1 = 0 (6.22)

を得る。

C1 = eiαt を代入して得られる 2次方程式を解くと、

α = α± ≡ −1

2(ω0 − ω)± 1

2

√V 2 + (ω0 − ω)2 (6.23)

となる。初期条件 (6.20), (6.21)より、C1(t)は

C1(t) =iV√

V 2 + (ω0 − ω)2exp

(− it

2(ω0 − ω)

)sin

(t

2

√V 2 + (ω0 − ω)2

)(6.24)

となる (具体的に計算して示せ)。一方、C2 は

C2 = exp

(it

2(ω0 − ω)

)[cos

(t

2

√V 2 + (ω0 − ω)2

)−i ω0 − ω√

V 2 + (ω0 − ω)2sin

(t

2

√V 2 + (ω0 − ω)2

)](6.25)

で与えられる (具体的に計算して示せ)。

これより、時刻 tに系が状態 |1⟩に遷移している確率は、

P2→1(t) =V 2

V 2 + (ω0 − ω)2sin2

[t

2

√V 2 + (ω0 − ω)2

](6.26)

と求まり (具体的に計算して示せ)、一般に時間とともに振動する。

これをラビ (Rabi) 振動と呼び、(6.26) 式をラビの公式と呼ぶ。特筆するべきは、外部ポテンシャルの周

期が ω = ω0 を満たすとき、遷移確率が 1にまでなれることである。これはハミルトニアンと H(0) の固有

振動数と外場の間の共鳴現象として理解される。この非常に単純な系 (ラビ振動) は、磁気共鳴をはじめと

する共鳴現象のの原理を明確に表すものである。共鳴現象は、共鳴振動数から様々な情報を得られるなど、

その応用範囲も広い。

6.2 時間に依存するシュレーディンガー方程式に対する摂動法

2準位系などの簡単な場合を除いて、一般に、連立微分方程式 (6.12)を解くことは極めて難しい問題であ

る。しかしながら、実際の応用例においては、ハミルトニアン H = H(0) + V (t)の時間依存部分 V (t) が小

さく摂動として扱える場合も多い。そこで H(0) を無摂動ハミルトニアンとし、V (t)→ λV (t)として λを

挿入して摂動ハミルトニアンとみなして連立微分方程式 (6.12)に摂動法を適用してみよう。


6.2.1 摂動方程式

(6.8)式のところでも述べたように、C(t)の時間発展は、基本的にはポテンシャル V (t)によるものであ

り、V = 0の場合には無摂動ハミルトニアンの場合の (6.3)式に一致するべきである。そこで、展開係数を

Cn(t) = C(0)n (t) + λC(1)

n (t) + λ2C(2)n (t) + · · · (6.27)

と摂動展開することを考えよう。ここで、(6.3)式によれば、0次の展開係数 C(0)n (t)は時間に依らないはず

であるが、ここでは一応時間依存性を持たせてある。この摂動展開がうまくはたらけば、得られた摂動方程

式から、0次の展開係数 C(0)n (t)が時間に依らないという帰結が得られるはずである。

摂動方程式を導こう。摂動展開を (6.12)式に代入すると、

dC(0)n (t)

dt+ λ

dC(1)n (t)

dt+ λ2

dC(2)n (t)

dt+ · · · = λ

1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt

)C(0)

m (t)

+λ21

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt

)C(1)

m (t) + · · ·

となるから、両辺 λの次数が同じ項を比較すると、

d

dtC(0)

n (t) = 0 (6.28)

d

dtC(p)

n (t) =1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt

)C(p−1)

m (t) (6.29)

を得る。(6.28) 式より、V = 0 の解に相当する C(0)n (t) は時間によらない一定値 C

(0)n をとる。すなわち、

C(0)n は摂動ハミルトニアンが加わる前の初期条件によって決められる。一方、(6.29)式は、時間に依存す

るシュレーディンガー方程式の摂動法における摂動方程式である。

(6.29)式から明らかなように、摂動方程式は、0次の展開係数 C(0) を用いて 1次の展開係数 C(1) を決定

し、求まった C(1) を用いて 2次の展開係数を求め · · ·、という構造になっている。すなわち、エネルギー固有状態における摂動法の場合と同様に、より低次の摂動解から高次の摂動解が求まるという構造になってい

る。これは摂動法に限らず、近似解法がうまくはたらく場合に一般に見られる構造である。

出席課題 S.6.4 : 摂動方程式 (6.29)を導け。

6.2.2 1次摂動：初期にエネルギー固有状態にあった場合

まずはじめに、初期に H(0) のエネルギー固有状態 |i⟩にあったとして議論を進めよう。この場合、

C(0)n (0) = δni, C(p)

n (0) = 0 (p ≥ 1) (6.30)

である。この初期条件の下では、(6.29)より、1次の摂動の係数は

d

dtC

(1)i→n(t) =

1

iℏ⟨n|V (t)|i⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

i )

ℏt

)(6.31)


となる。ここで、これは初期状態 |i⟩から状態 |n⟩への遷移振幅であるから、C(1)i→n と表記した。これを形

式的に積分すると、1次の係数が

C(1)i→n(t) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′⟨n|V (t′)|i⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

i )

ℏt′

)(6.32)

と求まる。以下、逐次的に、高次の摂動の係数を求めることができる。

1次までの摂動では、時刻 tの状態 |ψ(t)⟩は (6.8)式より (便宜的に導入した λを 1にして)、

|ψ(t)⟩ =∑n

[δin + C

(1)i→n(t)

]exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩

= exp

(−iE

(0)i t

ℏ

)|i⟩ +

∑n

C(1)i→n(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩

=[1 + C

(1)i→i(t)

]exp

(−iE

(0)i t

ℏ

)|i⟩ +

∑n =i

C(1)i→n(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (6.33)

となる。これより、時刻 tにおいて系の状態が |i⟩から |n⟩へと遷移している遷移確率は、

|⟨n|ψ(t)⟩|2 =∣∣∣C(1)

i→n

∣∣∣2 (6.34)


一方、系の状態が |i⟩のままである確率は

|⟨i|ψ(t)⟩|2 =∣∣∣1 + C

(1)i→i

∣∣∣2 (6.35)

で与えられるように見受けられるが、もしそうだとすると全確率が 1にならない:∣∣∣1 + C(1)i→i

∣∣∣2 +∑n=i

∣∣∣C(1)i→n

∣∣∣2 = 1. (6.36)

これは、もともとの固有ベクトル (6.8)が規格化されていなかったためである。詳しい議論は 6.3節に譲る

が、規格化を正しく考慮すると、系の状態が |i⟩のままである確率は

|⟨i|ψ(t)⟩|2 = 1−∑n=i

∣∣∣C(1)n→i

∣∣∣2 (6.37)

となる。一方、|i⟩から |n⟩への遷移確率は変わらずに (6.34)式で与えられる。

出席課題 S.6.5 : 初期にエネルギー固有状態にあった場合の 1次摂動の表式 (6.32)を導け。

6.2.3 摂動法が成り立つ条件

得られた結果が信頼できる、1次の摂動法の適用条件は、初期状態 |i⟩からの遷移が起こる確率が十分小さいこと ∑

n =i

∣∣∣C(1)i→n

∣∣∣2 ≪ 1 (6.38)

である。これは |C(1)i→n|2 ≪ 1, (n = i)であることも意味する。確率振幅 C

(1)i→n は (6.32)式で与えられるの

で、摂動法が信頼できる結果を与えるためには、摂動ハミルトニアンの行列要素*6⟨n|V (t)|i⟩が (無摂動ハ

*6 1.4節, 10.3.1節参照。


ミルトニアンの行列要素、すなわちエネルギー固有値より)十分小さければよい。この条件は、エネルギー

固有値問題の摂動法の成立条件と同等である。

出席課題 S.6.6 : 無摂動ハミルトニアン

H(0) =

(∆ 00 −∆

)(6.39)

に対して、t > 0で摂動ハミルトニアン

V = e−t/τ

(0 δδ 0

)≡ e−t/τ V0 (6.40)

が加わった系 H = H(0) + λV とする。初期状態がエネルギー固有値 E1 = ∆の固有状態 |1⟩にあった場合、時刻 tで E2 = −∆の状態 |2⟩に遷移する遷移振幅と遷移確率を 1次摂動まで求めよ。

略解初期にエネルギー固有状態にあるので公式 (6.32)式が使える。遷移振幅は

C(1)1→2(t) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′e−t′/τ ⟨2|V0|1⟩eit′ℏ (E2−E1) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′e−t′/τδeit′ℏ (−2∆)

=1

iℏδ

1τ+ i 2∆ℏ

[1− exp

(− t

τ− i

2∆

ℏt

)](6.41)

遷移確率は、

P(1)1→2(t) = |C(1)

1→2|2 =

δ2

ℏ2τ2 + 4∆2

[(1− e−t/τ cos

2∆

ℏt

)2

+

(e−t/τ sin

2∆

ℏt

)2]

(6.42)

十分時間が経つ (t→ ∞)と、

P(1)1→2 → δ2

ℏ2τ2 + 4∆2

(6.43)

演習問題 E.6.2 : 次の H(0) と V で記述される 2準位系 H = H(0) + V を考える。

H(0) =

(E(0) 00 E(0) + ℏω

), V =

1

2ℏ(

0 vv∗ 0

)(6.44)

1. 初期状態が |1⟩ =

(1

0

)である場合に、時刻 tで状態 |2⟩ =

(0

1

)に遷移している確率

の厳密解が、

P1→2(t) =|v|2

ω2 + |v|2sin2

[t

2

√ω2 + |v|2

](6.45)


2. 時間に依存する摂動法を適用して、遷移確率を 1次の近似まで求め、厳密な結果と比較せよ。略解 1. 割愛。

2. (6.32)式より、

C(1)1→2 =

1

iℏ

∫ t

0

dt′⟨2|V (t′)|1⟩ exp

(i(E

(0)2 − E

(0)1 )

ℏt′)

=1

iℏ

∫ t

0

dt′ℏv∗

2eiωt′

= − v∗

2ω

(eiωt − 1

)= −v

∗

ωeiωt/2 sin(ωt/2) (6.46)

よって、

P(1)1→2(t) =

∣∣C(1)1→2

∣∣2 =|v|2

ω2sin2 ωt

2(6.47)


演習問題 E.6.3 : 1次元調和振動子系 H = 12m

(p2 + (mω0x)

2)に対して、t = 0 において摂動

V = Fxe−ωt (6.48)

が加わった。初期に基底状態 |0⟩ にあったとする。1. 選択則に基づくと、遷移可能な励起状態はなにか？

2. t =∞において、摂動による遷移可能な励起状態への遷移確率を 1次摂動まで求めよ。

略解 1. x =

√ℏ

2mω0(a+ a†) であるから、遷移振幅にあらわれる行列要素は ⟨n|(a+ a†)|0⟩。これが 0で

ない値を持つのは n = 1 の場合のみ。よって第 1励起状態への遷移のみが可能。

2. 行列要素は一般的に

⟨n|V |m⟩ = Fe−ωt

√ℏ

2mω0⟨n|(a+ a†)|m⟩

= Fe−ωt

√ℏ

2mω0

(√mδn,m−1 +

√m+ 1 δn,m+1

)(6.49)

となる。これを用いれば、t = ∞ における遷移確率は n = 1, m = 0として

P(1)0→1(∞) =

∣∣∣∣∣ 1iℏ∫ ∞

0

dt ⟨1|V (t)|0⟩ exp

(i(E

(0)1 − E

(0)0 )

ℏt

)∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣ 1iℏ∫ ∞

0

dt

(Fe−ωt

√ℏ

2mω0

)eiω0t

∣∣∣∣∣2

=F 2

2mℏω0

∣∣∣∣∫ ∞

0

e−(ω−iω0)tdt

∣∣∣∣2 =F 2

2mℏω0

∣∣∣∣ 1

ω − iω0

∣∣∣∣2=

F 2

2mℏω0

1

ω2 + ω20

(6.50)


(p2 + (mω0x)


V = αx1√πτ

exp

(− t

2

τ2

)(6.51)

が加わったとする。初期 (t = −∞)に基底状態 |0⟩ にあったとして、摂動による励起状態 |n⟩への t =∞における遷移確率を 1次摂動まで求めよ。

略解 n = 1への遷移のみが可能である。行列要素は

⟨1|V |0⟩ = α√πτ

√ℏ

2mω0exp

(− t2

τ2

)(6.52)

遷移確率をガウス積分を用いて計算する。

P0→1 =

∣∣∣∣∣ 1iℏ∫ ∞

−∞dt

[α√πτ

√ℏ

2mω0exp

(− t2

τ2

)]eiω0t

∣∣∣∣∣2

=α2

2mℏω0

∣∣∣∣∣ 1√πτ

exp

(−1

4ω20τ

2

)∫ ∞

−∞dt exp

[− 1

τ2

(t− i

ω0τ2

2

)2] ∣∣∣∣∣

2

=α2

2mℏω0exp

(−1

2ω20τ

2

)(6.53)

加点問題 P.6.1 : 演習問題 E.6.3において、初期に状態 |1⟩にあった場合に遷移可能な状態とその遷移確率を 1次摂動まで求めよ。


6.2.4 1次摂動：初期状態がエネルギー固有状態ではない場合

初期状態がエネルギー固有状態ではない場合には、(6.31)式で行ったような初期条件 C(0)n (0) = δni を用

いたクロネッカーデルタの和の操作を行うことができないので、(6.32)式ではなく (6.29)式を積分した

C(1)n (t) =

1

iℏ∑m

∫ t

0

dt′⟨n|V (t′)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt′

)C(0)

m (6.54)

を用いて、個々の初期条件に応じて問題を解く必要がある (演習問題 E.6.5, 加点問題 P.6.2)。

本講義では扱わないが*7、終状態がエネルギー固有状態ではない場合にも同様の取り扱いが必要となる。

加点問題 P.6.2 : 1 次摂動の公式 (6.32) は、初期状態および終状態がエネルギー固有状態にあ

ったとした場合のものである。初期状態および終状態が一般の状態 |ψ(0)⟩ =∑

n C(0)n |n⟩,

|ψ(t)⟩ =∑

m C(0)m |m⟩であった場合には、それぞれどのように変更されるか調べよ。


H(0) =

(∆ 00 −∆

)(6.55)

に対して、t > 0で摂動ハミルトニアン

V = e−t/τ

(0 δδ 0

)≡ e−t/τ V0 (6.56)

が加わった系 H = H(0)+λV とする。初期状態が 1√2

(1

1

)であった場合、時刻 tでE2 = −∆

の状態に遷移する遷移振幅を 1次摂動まで求めよ。略解初期状態がエネルギー固有状態ではないので、(6.54)式を用いる。初期条件は C1(0) = C2(0) = 1/

√2

である。(6.28)式より、0次摂動は

C(0)1 (t) = C

(0)2 (t) =

1√2

(6.57)

1次摂動は、

C(1)2 (t) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′[⟨2|V (t′)|1⟩ exp

(i(E

(0)2 − E

(0)1 )

ℏt′)C1(0)

+⟨2|V (t′)|2⟩ exp

(i(E

(0)2 − E

(0)2 )

ℏt′)C2(0)

]

=1√2

1

iℏδ

1τ+ i 2∆ℏ

[1− exp

(− t

τ− i

2∆

ℏt

)](6.58)

よって、遷移振幅は

C2(t) = C(0)2 (t) + C

(1)2 (t) =

1√2

[1 +

1

iℏδ

1τ+ i 2∆ℏ

[1− exp

(− t

τ− i

2∆

ℏt

)]](6.59)

*7 実際上の問題としても必要となる場面は少ないだろう

6.3 補足：時間に依存する摂動法のより詳細な議論 141

6.3 補足：時間に依存する摂動法のより詳細な議論

6.3.1 確率振幅と遷移確率

初期条件から C(0)n 、摂動方程式から C

(i)n , i = 1, 2, · · · が求まったとする。これらを (6.8)式に代入すれ

ば、状態 |ψ(0)⟩の時刻 tへの時間発展が分かる。すなわち、

|ψ(t)⟩ =∑n

[C(0)

n + C(1)n (t) + C(2)

n (t) + · · ·]exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (6.60)

である。

ここで、|ψ(t)⟩は規格化されていないので、確率を求める前に規格化しておく必要があることに注意しよう。規格化係数 A(t) は、

⟨ψ(t)|ψ(t)⟩ =

[∑m

(C(0)

m + C(1)m (t) + · · ·

)∗e+

iℏE(0)

m t⟨m|

][∑n

(C(0)

n + C(1)n (t) + · · ·

)e−

iℏE(0)

m t|n⟩

]

=∑m,n

(C(0)

m + C(1)m (t) + · · ·

)∗ (C(0)

n + C(1)n (t) + · · ·

)exp

(i

ℏ(E(0)

m − E(0)n )t

)⟨m|n⟩

=∑n

∣∣∣C(0)n + C(1)

n (t) + · · ·∣∣∣2 (6.61)

より、

A(t) =1√∑

n

∣∣∣C(0)n + C(1)

n (t) + · · ·∣∣∣2 (6.62)

であり、規格化された状態ベクトルは、

|ψ(t)⟩ = A(t)∑n

[C(0)

n + C(1)n (t) + C(2)

n (t) + · · ·]exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (6.63)

となる。

したがって、時刻 tである状態 |φ⟩ に遷移する確率振幅は

⟨φ|ψ(t)⟩ = A(t)∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)⟨φ|n⟩

= A(t)∑n

[C(0)

n + C(1)n (t) + C(2)

n (t) + · · ·]exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)⟨φ|n⟩ (6.64)

であり、その確率は

|⟨φ|ψ(t)⟩|2 = A(t)2

[∑m

Cm(t) exp

(+iE

(0)m t

ℏ

)⟨φ|m⟩

][∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)⟨φ|n⟩

](6.65)

である。


初期状態がエネルギー固有状態である場合

初期にエネルギー固有状態 |i⟩にあったとすると、

C(0)n = δni, C(p)

n (0) = 0 (6.66)

である。すなわち、0次摂動の係数がクロネッカーのデルタで与えられる。

この場合、1次の遷移振幅は (6.29)式の和がなくなるため簡単に計算できる。すなわち、

d

dtC(1)

n (t) =1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt

)C(0)

m

=1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt

)δmi

=1

iℏ⟨n|V (t)|i⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

i )

ℏt

)(6.67)

となる。

終状態がエネルギー固有状態である場合

終状態が H(0) のエネルギー固有状態 |m⟩ である場合には、確率振幅は

⟨m|ψ(t)⟩ = A(t)∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)⟨m|n⟩ = A(t)

∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)δmn

= A(t)Cm(t) exp

(−iE

(0)m t

ℏ

)(6.68)

と比較的簡単な形にあらわされる。

さらに、確率 |⟨m|ψ(t)⟩|2 を考える際には、位相因子 e−iℏE(0)

m t は絶対値が 1なので寄与せず、

|⟨m|ψ(t)⟩|2 =

∣∣∣∣∣A(t)Cm(t) exp

(−iE

(0)m t

ℏ

)∣∣∣∣∣ = |A(t)Cm(t)|

= |A(t)|2|C(0)m + C(1)

m (t) + C(2)m (t) + · · · |2 (6.69)

となる。したがって、実際上の確率振幅としては、

⟨m|ψ(t)⟩ = A(t)Cm(t) = A(t)[C(0)

m + C(1)m (t) + C(2)

m (t) + · · ·]

(6.70)

を考えればよい。

6.3.2 摂動の 1次までの遷移確率

高次摂動まで考える場合には、規格化係数も考慮に入れなければならないため、遷移確率を計算するのは

複雑になる。以下では、摂動の 1次までの遷移確率の具体的な表式を導いてみよう。

初期状態および終状態ともにエネルギー固有値である場合の詳しい議論

初期にエネルギー固有状態 |i⟩にあったとすると、

C(0)n = δni, C(p)

n (0) = 0 (6.71)

6.3 補足：時間に依存する摂動法のより詳細な議論 143

である。C(1)n を求めよう。(6.67)式を形式的に積分すると、1次の係数が

C(1)i→n(t) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′⟨n|V (t′)|i⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

i )

ℏt′

)(6.72)

と求まる。ここで、初期状態 |i⟩から状態 |n⟩への遷移振幅であることを示すために C(1)n を C

(1)i→n とあらわ

した。

時刻 tにおける状態ベクトル |ψ(t)⟩は (6.63)式より、

|ψ(t)⟩ = A(t)∑n

[δni + C

(1)i→n(t)

]exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩

= A(t)[1 + C

(1)i→i(t)

]exp

(−iE

(0)i t

ℏ

)|i⟩ + A(t)

∑n =i

C(1)i→n(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (6.73)

となる。ここで、規格化係数 (6.62)は、

A(t) =1√∣∣∣1 + C

(1)i→i(t)

∣∣∣2 +∑n=i

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2=

1√[1 + C

(1)i→i(t) +

(C

(1)i→i(t)

)∗+∣∣∣C(1)

i→i(t)∣∣∣2]+∑

n =i

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2=

1√[1 + C

(1)i→i(t) +

(C

(1)i→i(t)

)∗]+∑n

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2 (6.74)

となる。後で必要になるので、|A(t)|2 を、1次摂動係数 C(1)i→i(t), C

(1)i→n(t)の 2次まで展開すると*8、

|A(t)|2 ≈ 1− 2ReC(1)i→i +

(2ReC(1)

i→i

)2−∑n

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2 (6.75)

となる。ここでReは複素数の実数部分をあらわす*9。

摂動法における確率の保存について

時刻 tにおいて系の状態が |i⟩から |n⟩へと遷移している遷移確率は、1次摂動係数の 2次までで*10、

Pi→n ≡ |⟨n|ψ(t)⟩|2 = |A|2∣∣∣C(1)

i→n

∣∣∣2 ≈ ∣∣∣C(1)i→n

∣∣∣2 (6.76)

*8 xが小さい場合に成り立つ 11+x

≈ 1− x+ x2 を用いる。

*9 2ReC(1)i→i = C

(1)i→i(t) +

(C

(1)i→i(t)

)∗*10 遷移確率は確率振幅の 2乗であるから、摂動の 2次まで考える必要がある。


で与えられる。一方、系の状態が |i⟩のままである確率は、1次摂動係数の 2次までで

Pi→i ≡ |⟨i|ψ(t)⟩|2 = |A|2∣∣∣1 + C

(1)i→i

∣∣∣2≈

[1− 2ReC(1)

i→i +(2ReC(1)

i→i

)2−∑n

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2][1 + 2ReC(1)i→i +

∣∣∣C(1)i→i

∣∣∣2]≈ 1−

∑n

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2 + ∣∣∣C(1)i→i

∣∣∣2= 1−

∑n=i

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2 (6.77)

となる。これより、1次摂動係数の 2次までの展開において、全確率はたしかに 1になっていることが分

かる。 ∑n

Pi→n = Pi→i +∑n=i

Pi→n =

1−∑n=i

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2+

∑n =i

∣∣∣C(1)i→n(t)

∣∣∣2 = 1 (6.78)

同様に、各次数までの展開において全確率が 1となることを示すことができる。

加点問題 P.6.3 : 状態ベクトルの規格化も考慮し、1次摂動係数の 2次までの展開において、全確率

はたしかに 1になっていることを示せ。

145

第 7章

時間に依存するシュレーディンガー方程式の摂動法 (2)：Fermiの黄金率, 周期な摂動

7.1 時間的に一定の摂動：フェルミの黄金律

具体的に摂動法によって遷移確率を計算するためには、積分 (6.72)を実行しなければならない。この節

では最も簡単な場合として、t ≤ 0では摂動が加わっておらず、t > 0で時間に依存しない一定の摂動 V が

加えられた場合

V (t) = V θ(t) =

0 (t ≤ 0)

V (t > 0)(7.1)

について考える。

エネルギー固有状態間の遷移を考える。初期状態 |i⟩から終状態 |f⟩への遷移振幅 (6.72)は、

C(1)i→f (t) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′⟨f |V |i⟩eiωfit′=

1

ℏ⟨f |V |i⟩1− e

iωfit

ωfi(7.2)

となる。ここで、終状態と初期状態のエネルギー差から

ℏωfi ≡ E(0)f − E(0)

i (7.3)

と定義した。これより、遷移確率、すなわち初期状態 |i⟩から終状態 |f⟩への遷移が、時間間隔 tの間に起

こる確率は、

P(1)i→f (t) ≡ |C

(1)i→f (t)|

2 =(C

(1)i→f (t)

)∗C

(1)i→f (t)

=1

ℏ2∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 (1− e−iωfit

)(1− e+iωfit

)ω2fi

=1

ℏ2∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 2−

(e+iωfit + e−iωfit

)ω2fi

=1

ℏ2∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 2(1− cos(ωfit)

ω2fi

=1

ℏ2∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 4 sin2

(12ωfit

)ω2fi

=πt

ℏ2∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2D(xfi; t) (7.4)

で与えられる。ここで、後の説明のためにxfi ≡

ωfi

2(7.5)

とおき、(パラメータ tに依存する)xfi の関数

D(xfi; t) ≡sin2 (xfi t)

πx2fit(7.6)

146 第 7章時間に依存するシュレーディンガー方程式の摂動法 (2)：Fermiの黄金率, 周期な摂動

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

D(x

;t)

x

t=1t=2t=4t=6

図 7.1 D(xfi; t)の関数形

を導入した。

我々の興味のある系では、一般に ωfit≫ 1 (t≫ ω−1fi ) である*1。この場合、関数 D(xfi; t)は、ωfi = 0

に高さ t/π、幅 2π/t の大きなピークを持ち、ωfi = 0 から離れると急速に小さくなる。このような関数

D(xfi; t) の性質より、P(1)i→f (t) は ωfi ≈ 0 のときのみに大きくなる。実際、t → ∞ の極限では、積分∫∞

−∞D(xfi; t)dxfi は、高さ t/π、幅 2π/t の二等辺三角形の面積に近づき、

limt→∞

∫ ∞

−∞D(xfi; t)dxfi = 1 (7.7)

となり tに依らなくなる。D(xfi; t)の関数形と、積分が 1であるという結果から、t→∞で D(xfi; t)は

limt→∞

D(xfi; t) = δ(xfi) (7.8)

のように、ディラックのデルタ関数になる*2。

この結果を用いると、遷移確率は、

P(1)i→f (t) =

πt

ℏ2∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 δ(xfi) = 2πt

ℏ

∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 δ(E(0)f − E(0)

i ) (7.11)

*1 例えば原子における電子軌道間の遷移では ℏωfi ∼ 1–10 eV であり、ω−1fi ∼ 10−10–10−11 sec 程度である。原子核内にお

ける核子が関わる遷移では ℏωfi ∼MeV (= 106 eV) であるから ω−1fi ∼ 10−16 sec となり、もっと小さい。

*2 数学的にきちんと扱おうとするといろいろ厄介な点もあるのであるが、我々の応用上は以下を示しておけば十分であろう。

limt→∞

∫ ∞

−∞dxD(x− a; t)f(x) = lim

t→∞

∫ ∞

−∞dx

sin2 ((x− a)t)

π(x− a)2tf(x) = lim

t→∞

∫ ∞

−∞dξ

sin2 ξ

πξ2f(ξ/t+ a) (7.9)

= f(a) limt→∞

∫ ∞

−∞dξ

sin2 ξ

πξ2= f(a)

∫ ∞

−∞D(x; t)dx = f(a) (7.10)

となり Diracのデルタ関数の性質を満たす。ここで、2番目の等号で (x− a)t = ξ とおき、4番目の等号で ξ = xtとおいた。

7.2 周期的な摂動 147

となる。ここでデルタ関数の性質 δ(ax) = δ(x)/|a|を用いた。遷移の前後で、全系のハミルトニアン H のエネルギーが保存するのはエネルギー保存則の観点からも当

然であるが、ここではさらに、δ(E(0)f − E(0)

i )の存在のため、無摂動ハミルトニアン H(0) のエネルギーが

保存されるような状態間の遷移のみが許されることに注意しよう。

単位時間あたりの遷移確率は

P(1)i→f (t) =

d

dtP

(1)i→f (t) =

2π

ℏ

∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 δ(E(0)f − E(0)

i ) (7.12)

となり、時間によらない定数である。(7.11)、(7.12)式を時間的に一定の摂動におけるフェルミの黄金律と

よぶ*3。

出席課題 S.7.1 : (7.4)式を示せ。

演習問題 E.7.1 : (6.72)式からはじめてフェルミの黄金率 (7.12)を導出せよ。任意課題積分

∫∞−∞D(x; t)dxが t → ∞の極限で高さ t/π、幅 2π/tの二等辺三角形の面積に近づ

くことを説明せよ。

略解 | sin(xt)| ≤ 1 より |D(x; f)| ≤ (πx2t)−1 である。x ≈ 0 で D(x; t) は大きな値をとるので x = 0 近

傍に注目する。このとき sin(xt) をテイラー (マクローリン) 展開すると、sin2(xt) ≈ (xt)2 であるから、

x ≈ 0 で D(x; t) ≈ t/π となる (高さ)。次に、x 切片を求めるために D(x; t) = 0 とすると x = nπ/t で

ある。x ≈ 0 では n の最も小さい場合について考えればよく x = −π/t, π/t が x 切片である (幅)。よっ

て、x = 0近傍で D(x; t) は高さ t/π, 幅 2π/t の山型の形状となる。この山型の形状と高さ t/π, 幅 2π/t

の 2 等辺三角形の形状の差は、t→ ∞ の極限で高次の微小量となるため無視できる。x = 0 から離れたと

ころでは、D(x; t) ∼ (πx2t)−1 であるから、t→ ∞の極限でその寄与は高次の微小量となりやはり無視で

きる。

任意課題 gnuplot や excel などを用いて D(xfi; t)の関数形を幾つかの tに対して図示せよ。

7.2 周期的な摂動

t ≤ 0 では摂動が加わっていないが、t > 0で周期的に時間変動する摂動

V (t) =

0 (t ≤ 0)

Vpeiωt + V †

p e−iωt (t > 0)

(7.13)

が加えられた場合について考える。V (t) = Vp cosωtのような摂動も cosx = (eix + e−ix)/2 であるからこ

れに相当することに注意しよう。

以下にみるように、周期的な摂動のもとでは、一般に、摂動ポテンシャルとの相互作用によってエネル

ギーの吸収あるいは放出現象が起こる。その結果、状態は遷移し、励起あるいは脱励起を起こす*4。

エネルギー固有状態間の遷移を考える。エネルギー固有値の差を振動数を用いて

ℏωfm ≡ E(0)f − E(0)

m , ℏωfi ≡ E(0)f − E(0)

i (7.14)

*3 実際に初めてこれらの結果を導いたのはディラックである。フェルミは「黄金率 (golden rule)」と名付けただけらしいのであるが、何らかの誤解のために、フェルミの名が冠されている。

*4 例えば、光の吸収による励起や、光の放出による脱励起である。光は電磁波 (電場・磁場の振動) であるので、例えば周波数 ω

の光との相互作用は V = qEx cos(ωt) (Exは電位, qExは仕事 =エネルギーの次元を持つことに注意) のように与えられる。


と定義すると、初期状態 |i⟩から終状態 |f⟩への 1次摂動における遷移振幅 (6.72)は、

C(1)i→f (t) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′∑m

[⟨f |Vp|m⟩ei(ωfm+ω)t′ + ⟨f |V †

p |m⟩ei(ωfm−ω)t′]δmi

=1

ℏ⟨f |Vp|i⟩

1− exp[i(ωfi + ω)t]

ωfi + ω+

1

ℏ⟨f |V †

p |i⟩1− exp[i(ωfi − ω)t]

ωfi − ω

= −2i

ℏ⟨f |Vp|i⟩ωfi + ω

exp

[i

2(ωfi + ω)t

]sin

[1

2(ωfi + ω)t

]−2i

ℏ⟨f |V †

p |i⟩ωfi − ω

exp

[i

2(ωfi − ω)t

]sin

[1

2(ωfi − ω)t

](7.15)

となる。

(7.15)は、2つの項を含み、ω 依存性があるということを除けば、前節で求めた遷移振幅 (7.2)と基本的

には同等である。(7.15)式の右辺第 1項は ω ≈ −ωfi のときにのみ大きくなり*5、そのときには右辺第 2項

は無視できることが分かる。同様に、ω ≈ ωfi の場合には右辺第 2項だけ考えればよく、右辺第 1項は無視

できる。以下では、それぞれの場合について個別に考えよう。

出席課題 S.7.2 : (7.15)式を示せ。はじめは途中計算を見ないで挑戦すること。

出席課題 S.7.3 : (7.15) 式において、ω ≈ −ωfi の場合には右辺第 1 項のみを考慮すればよく、一

方、ω ≈ ωfi の場合には右辺第 2項のみを考慮すれば良いことを説明せよ。

7.2.1 ω = ωfi の場合：エネルギー ℏω の吸収

この場合には (7.15)式の第 2項だけ考えればよい。時間間隔 tの間に初期状態 |i⟩から、終状態 |f⟩への遷移する確率振幅は

C(1)i→f (t) = −

2i

ℏ⟨f |V †

p |i⟩ωfi − ω

exp

[i

2(ωfi − ω)t

]sin

[1

2(ωfi − ω)t

](7.16)

である。遷移確率は

P(1)i→f (t) = |C

(1)i→f (t)|

2 =4

ℏ2∣∣∣⟨f |V †

p |i⟩∣∣∣2 sin2

[12 (ωfi − ω)t

](ωfi − ω)2

(7.17)

となる。ここで、(7.6), (7.8)式を適用すると、十分大きな tに対して、

sin2[12 (ωfi − ω)t

](ωfi − ω)2

=πt

4

sin2[12 (ωfi − ω)t

]π · 14 (ωfi − ω)2t

=πt

4

sin2(xfit)

πx2fit=

t→∞

πt

4δ(xfi)

=ℏπt2δ(E

(0)f − E(0)

i − ℏω) (7.18)


xfi ≡ωfi − ω

2(7.19)

と定義し、最後の等式では公式 δ(x/a) = |a|δ(x)を用いた。

*5 外部ポテンシャルの振動数 ω は正の実数として定義されるのが普通なので、この条件は ωfi < 0 すなわち E(0)i > E

(0)f であ

ることを意味している。これより、この場合には初期状態よりも低いエネルギーを持つ終状態に遷移すると予想される。エネルギー保存則より、この場合には何らかの形でエネルギーが放出されなければならない。

7.2 周期的な摂動 149

以上をまとめると、遷移確率は、

P(1)i→f (t) =

2πt

ℏ

∣∣∣⟨f |V †|i⟩∣∣∣2 δ(E(0)

f − E(0)i − ℏω) (7.20)

単位時間あたりの遷移確率は

P(1)i→f (t) =

2π

ℏ

∣∣∣⟨f |V †|i⟩∣∣∣2 δ(E(0)

f − E(0)i − ℏω) (7.21)

となる。

ここで、δ(E(0)f − E(0)

i − ℏω)の因子から分かるように、遷移が起こるのは、

E(0)f = E

(0)i + ℏω (7.22)

となる場合であるから、終状態は外部から ℏω のエネルギーを吸収して励起されている。例えば、摂動として時間変動する電場 V = 2Ex cos(ωt) = Ex(eiωt + e−iωt) を加えたとすると、時間変動する電場は電磁場

(光)にほかならないから、系は、準位差に相当する振動数 (波長)の光を吸収して、励起状態に遷移するこ

とになる (演習問題 E.7.2参照)。

7.2.2 ω = −ωfi の場合：エネルギー ℏω の放出

この場合には、(7.15)式の第 1項だけ考えればよい。時間間隔 tの間に初期状態 |i⟩から、終状態 |f⟩への遷移が起こる確率は (7.11)より、

P(1)i→f (t) =

2πt

ℏ

∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 δ(E(0)f − E(0)

i + ℏω) (7.23)

となる。δ(E(0)f − E(0)

i + ℏω)の因子から分かるように、遷移が起こるのは、

E(0)f = E

(0)i − ℏω (7.24)

となる場合であるから、終状態は外部へと ℏω のエネルギーを放出して脱励起されている。単位時間あたりの遷移確率は、

P(1)i→f (t) =

2π

ℏ

∣∣∣⟨f |V |i⟩∣∣∣2 δ(E(0)f − E(0)

i + ℏω) (7.25)

となる。

出席課題 S.7.4 : ω = ωfi の場合がエネルギー ℏω の吸収、ω = −ωfi の場合がエネルギー ℏω の放出に対応していることを説明せよ。

出席課題 S.7.5 : (7.20)式の導出にならって (7.23)式を示せ。


(p2 + (mω0x)


V = 2Ex cos(ωt), (ω ≈ ω0) (7.26)

が加わったとする。初期に基底状態 |0⟩ にあったとして、摂動による励起状態 |n⟩への遷移確率を 1次摂動まで求めよ。共鳴的な場合についてだけ考えてよい。これはエネルギーを吸収する過程か、それとも放出する過程か。


略解 V = Ex(eiωt + e−iωt)である。

⟨n|x|0⟩ (3.118)=

√ℏ

2mω0⟨n|(a+ a†)|0⟩ =

√ℏ

2mω0⟨n|a†|0⟩ (3.117)

=

√ℏ

2mω0δn1 (7.27)

であるから、n = 1への遷移のみが可能である。ℏωfi = E1 − E0 = ℏω0 なのでエネルギーを吸収する過

程である。すなわち、基底状態から n = 1の励起状態に遷移する。

遷移確率は、(7.15)式より、

P(1)0→1(t) = |C(1)

0→1|2 =

2E2

mℏω0

1

(ω0 − ω)2sin2

[1

2(ω0 − ω)t

](7.28)

となる。(7.20)式の導出から分かるように、遷移確率は t→ ∞で

P(1)0→1(t) =

πE2t

mω0δ(ℏω0 − ℏω) (7.29)

のようになる。

note. 確率は無次元でなければならないから、(7.29) 式もそうであるはずなのだがπE2t

mω0は無次元量ではな

い。デルタ関数を

δ(ℏω0 − ℏω) = 1

ℏω0δ(1− ω/ω0) (7.30)

のように変形し、無次元の δ(1− ω/ω0)となるようにすると、(7.29)式は、

P(1)0→n(t) = π(ω0t)

(ℏEmω0

1

ℏω0

)2

δ(1− ω/ω0) (7.31)

となる。ω0t は無次元、ℏEmω0

∼ E · x は電場のする仕事でエネルギーの次元を持つから ℏEmω0

1

ℏω0も無次

元である。よって、確かに (7.29) 式の P(1)0→n(t)は無次元である。

演習問題 E.7.3 初期に基底状態 |0⟩ にある 1次元調和振動子系 H = 12m

(p2 + (mω0x)

2)に対して、

t = 0 において摂動V = 2Ex sin(ωt), (ω ≈ ω0) (7.32)

が加わり、摂動によって励起状態 |1⟩へ遷移したとする。(7.15)式から遷移確率を直接計算し、t→∞の極限をとれ。

略解 V = −iEx(eiωt − e−iωt)である。ω± ≡ (ω0 ± ω)/2と定義すると、

P0→1(t) =πE2t

2mℏω0

[sin2 ω−t

πω2−t

+2π cos(ωt)

t

sinω−t

πω−

sinω+t

πω++

sin2 ω+t

πω2+t

](7.33)

となる。ここで、(7.6), (7.8)式および公式

δ(x) = limt→∞

sinxt

πx(7.34)

を用いると、

P0→1(t) =t→∞

πE2t

2mℏω0[ δ(ω−) + 0 · δ(ω−)δ(ω+) + δ(ω+) ] (7.35)

となり右辺第 2項は消える。基底状態から n = 1の励起状態への遷移過程では ω− = 0, ω+ = 0 であるか

ら、結局

P0→1(t) =t→∞

πE2t

mω0δ(ℏω0 − ℏω) (7.36)

となる。この結果は、(7.15) 式から遷移確率を直接計算せず、エネルギーを吸収する項だけを考えて計算

した結果と一致する。

加点問題 P.7.1 演習問題 E.7.2において、初期に第 1励起状態 |1⟩にあった場合に可能な遷移過程について、その遷移確率を 1次摂動まで求めよ。

ヒント遷移可能な状態は |2⟩ と |0⟩ の 2 つであり、それぞれ個別に取り扱うことが必要である。

7.3 連続スペクトルを持つ状態への遷移と状態密度 151

7.3 連続スペクトルを持つ状態への遷移と状態密度

7.3.1 状態密度

これまでは始状態終状態ともに離散スペクトルの場合を考えたが、実際の問題では、例えば水素原子の電

離*6のように、終状態が連続スペクトルを持つ場合も多い*7。この場合に興味があるのは、エネルギー E(0)f

のエネルギーを持つ特定の終状態への遷移確率ではなくエネルギー E(0)f のまわりのエネルギー間隔

E(0)f − ∆E

2≤ Ef ≤ E(0)

f +∆E

2(7.37)

にある一群の終状態 Gf への遷移確率である*8。

そのためには、エネルギー間隔 (E −∆E/2, E +∆E/2)にある状態数

∆N(E) =

∫ E+∆E/2

E−∆E/2

dE′ ρ(E′) ≈ ρ(E)∆E (7.38)

dN(E) = ρ(E)dE (7.39)

が必要となる。ここで、ρ(E)は単位エネルギーあたり状態数であり、これを状態密度とよぶ。

7.3.2 終状態が連続スペクトルを持つ場合のフェルミの黄金率

この ∆N(E)を用いれば、(離散スペクトルを持つ)初期状態 |i⟩から、(連続スペクトルを持つ)終状態の

グループ Gf への遷移が起こる確率を計算することができる。

時間的に一定の摂動の場合

この場合、1つの終状態 |f(Ef )⟩への単位時間あたりの遷移確率は (7.12)式で与えられる。エネルギー間

隔 (E(0)f −∆E/2, E

(0)f +∆E/2)にある状態数にわたってこれを足し上げれば、Gf への遷移確率が求めら

れる。ただし、連続スペクトルであるので、足し上げは積分になることに注意が必要である。すなわち、

P(1)i→Gf

(t) =

∫ E(0)f +∆E/2

E(0)f −∆E/2

P(1)i→f (t)dNf

=2π

ℏ

∫ E(0)f +∆E/2

E(0)f −∆E/2

∣∣∣⟨f(Ef )|V |i⟩∣∣∣2 δ(E(0)

f − E(0)i ) dNf (7.40)

である。

ここで、状態密度を用いれば、dNf = ρ(Ef )dEf (7.41)

である。また、デルタ関数の積分において実質的に積分範囲をを∫∞−∞ とできることを考慮すれば、時間的

に一定の摂動によって、離散スペクトルを持つ初期状態 (束縛状態)から連続スペクトルを持つ終状態 (例え

*6 束縛状態にある電子 (離散スペクトル)が電離して非束縛状態 (連続スペクトル)になる*7 自由粒子のポテンシャル散乱などのように、束縛状態にない粒子 (連続スペクトル)が散乱されてやはり非束縛状態 (連続スペクトル)になる場合もある。このような始状態、終状態ともに連続スペクトルである場合については、本講義ノートでは議論しない。

*8 状態が連続スペクトルの場合、数学的には、特定のエネルギー Ef を持つ確率は 0 となってしまう。連続スペクトルの場合にも、エネルギー幅 dE の間の確率密度 ρ(E)を定義することが可能で、これは一般に有限の値を持つ。


ば電離状態)への遷移確率を与えるフェルミの黄金率が

P(1)i→Gf

(t) =2π

ℏ

∫ ∞

−∞

∣∣∣⟨f(Ef )|V |i⟩∣∣∣2 δ(E(0)

f − E(0)i )ρ(Ef )dEf

=2π

ℏ

∣∣∣⟨f(E(0)i )|V |i⟩

∣∣∣2 ρ(E(0)i ) (7.42)

と求まる。

時間的に振動するの摂動の場合

時間的に一定の摂動の場合と同様に、エネルギー間隔 (E(0)f −∆E/2, E

(0)f + ∆E/2)にある状態数にわ

たって遷移確率 (7.21)式あるいは (7.25)式を積分すればよい。

時間に一定の摂動の場合と同様の計算を行えば、時間的に振動する摂動におけるフェルミの黄金率が

P(1)i→Gf

(t) =

2π

ℏ

∣∣∣⟨f+|V |i⟩∣∣∣2 ρ(E(0)i + ℏω) (吸収)

2π

ℏ

∣∣∣⟨f−|V |i⟩∣∣∣2 ρ(E(0)i − ℏω) (放出)

のように得られる。ここで |f±⟩ ≡ |f(E(0)i ± ℏω)⟩ である。

出席課題 S.7.6 : 状態密度の概念の導入からはじめて、時間的に一定の摂動における、終状態が連続

スペクトルを持つ場合のフェルミの黄金率 (7.42)を示せ。

演習問題 E.7.4 : 時間的に振動する摂動におけるフェルミの黄金率 (7.43)式を導け。

7.3.3 自由粒子の状態密度

終状態が連続スペクトルを持つ場合、フェルミの黄金率に終状態の状態密度があらわれるので、以下で

は、例として運動量 p = ℏkを持つ自由粒子の波数ベクトル固有状態 |k⟩を考え*9、その状態密度を求めよ

う。自由粒子のハミルトニアン H(0) = ℏ2k2/(2m) の位置表示での固有関数は平面波であり無限に広がっ

ているから、通常の規格化はできない。以前は Diracのデルタ関数を用いた規格化をしたが、ここでは体積

V = L3 の有限の箱を考え、この中で波動関数を 1に規格化する「箱型規格化」を行う。

7.3.4 箱型規格化での状態密度

自由粒子が 1辺 Lの箱の中に閉じ込められているとすると規格化された波数ベクトルの波動関数は

⟨x|kL⟩ = ψk,L(x) =

1√L3eik·x (7.43)

である。添字 Lは箱型規格化された状態であることを示すためにつけた。

ここで、仮想的に x = 0 と x = L をつなぎ (y, z 方向も同様)、両端で波動関数をなめらかに接続すれ

ば、人為的に導入した箱の境界の影響を回避できると期待される。そこで、波動関数は周期的境界条件

ψk,L(x) = ψk,L(x+ L)(y, z についても同様)を満たすものとすると*10、

eikxL = eikyL = eikzL = 1 (7.44)

*9 波数ベクトル固有状態と運動量固有状態の違いについては 2参照。*10 空洞の中に閉じ込められた電磁波 (空洞輻射)の場合には固定端境界条件を課さなくてはならない。


でなければならないから*11、波数ベクトル kは離散化され、

k = (kx, ky, kz) =

(2πnx

L,2πny

L,2πnz

L

), (nx, ny, nz = 0,±1,±2, · · · ) (7.45)

で表されることになる。これより規格直交性∫V=L3

d3xψ∗k,L

(x)ψk′,L(x) =

1

L3

∫ L

0

dx

∫ L

0

dy

∫ L

0

dz ei(k−k′)·x

=1

L3

∫ L

0

ei(kx−k′x)xdx

∫ L

0

ei(ky−k′y)ydy

∫ L

0

ei(kz−k′z)zdz

= δkx,k′xδky,k′

yδkz,k′

z= δk,k′ (7.46)

が満たされる*12。積分領域は 1辺 Lの立方体である。

波数ベクトルの微小領域 ∆3k = ∆kx∆ky∆kz に含まれる状態数は、(7.45)式より、

∆Nk,L= ∆nx∆ny∆nz =

(L

2π

)3

∆3k =

(L

2πℏ

)3

∆3p (7.47)

となる。波数空間において極座標表示を用いると、k =√k2x + k2y + k2z として

d3k = k2 sin θkdk dθkdϕk ≡ k2dk dΩk (7.48)

となる。ここで dΩk は粒子の波数ベクトル kのまわりの微小立体角である。よって、

∆Nk,L=

(L

2π

)3

k2∆k∆Ωk (7.49)

dNk,L =

(L

2π

)3

k2dk dΩk (7.50)

である。

単位エネルギー、単位立体角当たりの状態数を ρk,L(E)とすると*13、

∆Nk,L= ρk,L

(E)∆E∆Ωk (7.51)

dNk,L= ρk,L

(E) dE dΩk (7.52)

である。(7.50)式と (7.52)式を比べると、

ρk,L(E) =

(L

2π

)3

k2dk

dE(7.53)

であることが分かる。自由粒子の場合、E =ℏ2k2

2mより

dk

dE=

m

ℏ2kであるから、

ρk,L(E) =

(L

2πℏ

)3

mℏk = m

(L

2πℏ

)3√2mE (7.54)

*11 自由に選べる定数を 1とした。*12 例えば x 積分について、kx = k′x の場合には積分結果は L である。一方、kx = k′x の場合には周期的境界条件 (7.44) より積分結果は 0 である。y,z 方向についても同様。周期的境界条件 (7.44) より波数は (7.45) 式のように離散化されているから、ディラックのデルタ関数ではなく、クロネッカーのデルタを用いて規格直交性が表される。

*13 方向依存性を残した ρk,L(E)を状態密度としている文献も多い。どちらの定義なのか注意が必要。


となる。

状態密度は、角度方向も積分して得られる単位エネルギー当たりの状態数であるから ((7.39)式参照)、

dNL =

∫dΩk dNk,L = dE

∫dΩk ρk,L(E)

(7.39)= ρL(E)dE (7.55)

より、角度方向に ρk,L(E)を積分した

ρL(E) =

∫dΩk ρk,L(E) (7.56)

である。特に、自由粒子の場合には ρk,L(E)は等方的なので、

ρL(E) =

∫dΩk ρk,L(E)

=

∫ π

0

sin θkdθk

∫ 2π

0

dϕk ρk,L(E) = ρk,L

(E)

∫ 1

−1

d(cos θk)

∫ 2π

0

dϕk

= 4πρk,L(E) = 4πm

(L

2πℏ

)3√2mE (7.57)

である。

演習問題 E.7.5 : 自由粒子の箱型規格化における状態密度 (7.57)式を示せ。略解箱型規格化の規格化定数は、ψk,L

(x) = Ceik·x とおいて、箱型規格化条件

1 =

∫ L

0

dx

∫ L

0

dy

∫ L

0

dz |ψk,L(x)|2 (7.58)

より C を決定する。あとは講義ノートにあるとおり。

加点問題 P.7.2 : 運動量 p = ℏk を持つ自由粒子状態 |k⟩が 1辺 Lの箱の中に閉じ込められている

とする。位置表示での波動関数が固定端境界条件 ψ(0) = ψ(L) = 0を満たすものとする。

1. 規格化された波動関数が

ψ(x) =

(√2

L

)3

sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) (7.59)

k =(πnx

L,πny

L,πnz

L

), (nx, ny, nz = 1, 2, 3, · · · ) (7.60)

で与えられることを示せ。

2. 単位波数当たりの状態数が、

dN =

(L

π

)3

k2dk dΩk (7.61)

ことを示せ。ここで d3k = k2dk dΩk とした。

3. n0の条件より k0であるから、積分の際に kのすべての範囲が寄与するわけではない。この

ことを考慮し、上の結果を 1/8する必要があることを説明し、

dN =

(L

2π

)3

k2dk dΩk (7.62)

であることを示せ。この結果は周期的境界条件の場合と同じである。


7.3.5 デルタ関数規格化での状態密度

デルタ関数規格化では、運動量が確定した状態をそのまま扱うので、位置の不確定性が無限大、すなわち

箱が無限大の状態に対応する。波数についてデルタ関数規格化した場合、波数の固有関数 ((2.63) 式参照)

は

⟨x|kδ⟩ = ψk,δ(x) =1

(√2π)3

eik·x (7.63)

である。ここで添字 δ はデルタ関数規格化の場合であることを示すためにつけた。箱型規格化の固有関数

(7.43)式が L3 の体積の中に粒子が 1個存在するような規格化であるのに対し、この場合には、(2π)3 の体

積の中に 1個の粒子があるという規格化になっている。

したがって、箱型規格化で得られた結果を L3 で割り単位体積あたりの量にした後、(2π)3 を掛ければ、

波数によるデルタ関数規格化の結果が得られる。これより、波数によるデルタ関数規格化の場合の、方向依

存性も考慮した状態密度 ρk,δ(E)は*14、

ρk,δ(E) dE dΩ =(2π)3

L3ρk, L(E) dE dΩk =

mk

ℏ2dE dΩk (7.64)

より、

ρk,δ(E) =mk

ℏ2(7.65)

である。角度方向で積分すれば状態密度が得られるが、自由粒子の場合にはその等方性より、

ρδ(E) =

∫dΩk

mk

ℏ2=

4πmk

ℏ2(7.66)

となる。

演習問題 E.7.6 : 空間 3次元の場合、デルタ関数規格化された波数の固有関数が (7.63)式となることを示せ。

略解空間 1次元の場合のデルタ関数規格化については 2.3.2節ですでに取り扱っている。デルタ関数規格化条

件は、空間 3次元の場合には

⟨k′|k⟩ = δ(k − k′) = δ(kx − k′x)δ(ky − k′y)δ(kz − k′z) (7.67)

のように拡張される。これを用いると、空間 1 次元の場合のデルタ関数規格化の場合の積に帰着できる。

これより規格化定数を求めればよい。

加点問題 P.7.3 : 波数ではなく、運動量でデルタ関数規格化した場合の方向依存性も考慮した状態

密度はρp,δ(E) = mp = mkℏ (7.68)


ヒント波数の微小領域ではなく、運動量の微小領域 ∆3p = ∆px∆py∆pz に含まれる状態数を考える必要が

ある。

加点問題 P.7.4 : 水素原子を考える。電子のハミルトニアンは、重心からの相対座標 r と換算質量

µを用いれば

H = − ℏ2

2µ∇2 − e2

4πε0r= − ℏ2

2µ∇2 − αℏc

r(7.69)

*14 ここで添字 δ はデルタ関数規格化であることを表すために付けた。


である (MKSA単位系)。ここで

α =e2

4πε0ℏc(7.70)

は微細構造定数である。

t = 0に印加された電場 E = En cosωtの作用によって、波動関数が

⟨r|ψi⟩ = ψ(r) =1√πa3

e−r/a (7.71)

であらわされる基底状態にある電子が、単位時間あたりに電離放出される確率を以下の手順で求

めよ。ここで a(= ℏcαµ ) は水素原子のボーア半径である。

1. 電場による摂動ポテンシャル V = eE · r を (7.13)式の形で求めよ (n · rの内積はそのままにしておいて良い)。

2. 終状態は電離状態である。実際には電子は水素原子のクーロン場の中にあるが、簡単のため

に終状態を波数でデルタ関数規格化された平面波 ⟨r|f⟩ = eik·r/(2π)3/2 で近似する。以下

の行列要素の計算の詳細を追え。

⟨f |V |i⟩ = eE

4√2π2a3/2

∫d3r(n · r)e−ik·r−r/a

=eE

4√2π2a3/2

(in · ∇k)∫d3r e−ik·r−r/a

= −i4√2

π

eEa7/2

(1 + a2k2)3(n · k) (7.72)

ここで、∇k は kに関しての微分演算子である。

3. 単位時間あたりに (Ω,Ω+ dΩ)の方向に電離電子を放出する確率は、(7.90)式より、

dP =2π

ℏ|⟨f |V i⟩|2µk

ℏ2=

64e2E2µ

πℏ3a7k3

(1 + a2k2)6cos2 θ dΩ (7.73)

となることを示せ。ここで θ は nと kのなす角である。ヒント (7.72)式の積分は、∫

d3re−ik·r−r/a =

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

−1

d cos θ

∫ ∞

0

r2dre−ikr cos θ−r/a

= 2π

∫ ∞

0

dr r2e−r/a 1

ikr

(eikr − e−ikr

)=

4π

k

∫ ∞

0

dr r e−r/a sin(kr) (7.74)

となる。ここで部分積分を繰り返し用いることで、

I ≡∫ ∞

0

dr r e−r/a sin(kr)

= a

∫ ∞

0

dr e−r/a sin(kr) + a2k

∫ ∞

0

dr e−r/a cos(kr)− a2k2I (7.75)

となるから、

I =1

1 + a2k2

∫ ∞

0

dr[ae−r/a sin(kr) + a2ke−r/a cos(kr)

](7.76)

を得る。同様の計算で不定積分

Is ≡∫dr ear sin(br) =

eax

a2 + b2[ a sin(bx)− b cos(bx) ] (7.77)

Ic ≡∫dr ear cos(br) =

eax

a2 + b2[ a cos(bx) + b sin(bx) ] (7.78)

7.4 補足：散乱断面積 157

を示すことができる。以上を用いれば

I =2a3k

(1 + a2k2)2(7.79)

したがって ∫d3re−ik·r−r/a =

8πa3

(1 + a2k2)2(7.80)

となる。

7.4 補足：散乱断面積

初期に束縛状態 |i⟩にあり、ポテンシャル V の作用によって、運動量 p = ℏk を持つ自由粒子状態 |kL⟩に遷移する場合を考えよう*15。終状態は波数 k (運動量 p)を持つから、散乱方向もこのベクトルの方向に

限定される。エネルギーの場合にもそうであったように、ベクトル k(の方向) を一意に定めることはでき

ず、考えるべきは、kのまわりの微小立体角 dΩk 方向の状態への散乱確率である。

7.4.1 フェルミの黄金率における方向依存性の考慮

ここで、自由粒子のエネルギーは E =p2

2m=

ℏ2k2

2mで与えられ、kに対する方向依存性を持たないが、一

般に、粒子のエネルギーには方向依存性が存在する。一方、フェルミの黄金率 (7.42)は方向依存性があら

われていないが、これは、粒子のエネルギーの方向依存性を積分した結果であるからである。そこで、方向

について積分する前の、粒子の状態の方向依存性を考慮したフェルミの黄金率を考えよう。

この場合には、E のまわりの dE の幅のエネルギー領域で、かつ、k方向の微小立体角 dΩk 内の終状態の

一群 Gf,k に散乱される確率 dP

(1)i→G

f,k(t)を考えることになる。これは、フェルミの黄金率 (7.42)におい

て、(全)状態密度 ρL(E) を微小立体角 dΩk 方向の状態密度 ρk,L(E) dΩk に置き換えることで得られる。

すなわち、

dP(1)i→G

f,k(t) =

2πt

ℏ

∣∣∣⟨kL|V |i⟩∣∣∣2 ρk,L(E) dΩk (7.81)

である。これをを立体角積分すれば、(全)散乱確率が得られる：

P(1)i→Gf

(t) =

∫dP

(1)i→G

f,k(t) =

∫dΩk

2πt

ℏ

∣∣∣⟨kL|V |i⟩∣∣∣2 ρk,L

(E) (7.82)

単位時間あたりの散乱確率は、

dP(1)i→G

f,k(t) =

2π

ℏ

∣∣∣⟨kL|V |i⟩∣∣∣2 ρk,L(E) dΩk (7.83)

P(1)i→Gf

(t) =

∫dΩk

2πt

ℏ

∣∣∣⟨kL|V |i⟩∣∣∣2 ρk,L

(E) (7.84)

自由粒子の場合

自由粒子の場合、(7.83)式, (7.84)式は、

dP(1)i→G

f,k(t) =

2π

ℏ

∣∣∣⟨kL|V |i⟩∣∣∣2( L

2πℏ

)3

mℏk dΩk (7.85)

P(1)i→Gf

(t) =2π

ℏ

(L

2πℏ

)3

mℏk∫dΩk

∣∣∣⟨kL|V |i⟩∣∣∣2 (7.86)

*15 ここでは箱型規格化を採用して議論を進めるが、デルタ関数規格化を用いても最終的な結果は変わらない。


となる。ここで、閉包関係を挿入して (7.43)式を用いれば、

⟨kL|V |i⟩ = ⟨kL|1V |i⟩ =∫d3x ⟨kL|x⟩⟨x|V |i⟩ =

∫d3x ⟨x|kL⟩∗⟨x|V |i⟩

=1√L3

∫d3x e−ik·x⟨x|V |i⟩ (7.87)

であることに注意すると、L依存性のない表式

dP(1)i→G

f,k(t) =

2π

ℏ

∣∣∣∣∫ d3x eik·x⟨x|V |i⟩∣∣∣∣2( 1

2πℏ

)3

mℏk dΩk (7.88)

P(1)i→Gf

(t) =2π

ℏ

(1

2πℏ

)3

mℏk∫dΩk

∣∣∣∣∫ d3x eik·x⟨x|V |i⟩∣∣∣∣2 (7.89)

が得られる。

Note. デルタ関数規格化された波数の固有関数 ((7.63)式参照) を用いると、波数によってデルタ関数規格化し

た場合の状態密度 (7.64)より、

dP(1)

i→Gf ,k(t) =

2π

ℏ

∣∣∣⟨kδ|V |i⟩∣∣∣2 mkℏ2 dΩk (7.90)

である*16。

7.4.2 粒子の散乱: 初期状態も連続スペクトルを持つ場合

さらに、始状態が (束縛状態ではなく)運動量 p′ = ℏk′ を持つ非束縛状態 |k′L⟩である場合を考えよう。

これは、粒子ポテンシャル V によって |kL⟩状態へと散乱される場合に相当する。この場合には、始状態における状態密度も考慮することが必要になるため、(7.83)式は G

i,k′ → Gf,k の散乱確率

dP(1)G

i,k′→Gf,k

(t) =2π

ℏ

∣∣∣⟨kL|V |k′L⟩∣∣∣2 ρk,L

(E) dΩk ρk′,L(E′) dΩk′ (7.91)

に拡張されると考えるかもしれない。

これはこれで正しいのであるが、この表式は Gi,k′ に属する dNG

i,k′ ≡ ρk,L(E) dΩk 個の状態を考え、

それらが Gf,k のいずれかの状態に遷移する確率を表すものである。したがって、(7.81)式のように 1個の

粒子 (状態 |k′⟩)の遷移確率とするためには、初期状態の個数で割る必要がある。すなわち、

dP(1)

|k′⟩→Gf,k

(t) =

dP(1)G

i,k′→Gf,k

(t)

dNGi,k′

=2π

ℏ

∣∣∣⟨kL|V |k′L⟩∣∣∣2 ρk,L(E) dΩk (7.92)

が状態 |k′⟩から Gf,k への遷移確率を与える。

自由粒子の場合、これは粒子 |k′⟩ がポテンシャル V で散乱され、エネルギー Ef = Ei = p2/(2m) =

ℏ2k2/(2m)をもって、k方向の立体角 dΩk に散乱される、単位時間あたりの確率

dP(1)

|k′⟩→Gf,k

(t) =

(L

2πℏ

)62π

ℏ

∣∣∣⟨kL|V |k′L⟩∣∣∣2mℏk dΩk (7.93)

を与える。

*16 規格化因子の違いより、L3 → (2π)3 と変換すればよい。

7.4 補足：散乱断面積 159

7.4.3 微分散乱断面積と散乱断面積

ここで、(実際の実験でよくあるように)1つの粒子の散乱ではなく、粒子ビームが散乱される場合を考え

よう。毎秒 1 個の粒子が入射してきて散乱されるとすると、この場合、量子力学の確率解釈に基づけば、

dP(1)G

i,k′→Gf,k

(t)は、k方向の単位立体角に、単位時間当たりに見出される粒子数 dNf,k に他ならない:

dNf,k = dP

(1)G

i,k′→Gf,k

(t) (7.94)

「毎秒 1個の粒子が入射」してくる状況は次のよう記述できる。いま、箱型規格化では、体積 L3 の立方体

の中に 1つの粒子が見出されるので、粒子の密度は 1/L3 である。この粒子が速度 v = p′/m = ℏk′/mで入射してくるとき*17、単位断面積を通って、単位時間あたりに入射してくる粒子数は

dNi,k′ ≡ v × 1

L3=

ℏk′

mL3

であるが、入射粒子が連続スペクトルを持つことを考慮すると、状態密度を乗じて、

dNi,k′ =

ℏk′

mL3× ρk′

,L(E′) dΩk′

=

(1

2πℏ

)3

ℏ2k′2dΩk′ (7.95)

とする必要がある。

この散乱現象について、散乱の微分断面積 dσk′→k は、単位面積当たり毎秒 1個の粒子が入射してくる

ときに、kの方向の単位立体角に散乱されてくる確率として定義される。すなわち、微分散乱断面積は、

dσk′→k =dN

f,k

dNi,k′

= L6( m

2πℏ2)2 k

k′

∣∣∣⟨kL|V |k′L⟩∣∣∣2 dΩk


ここで、(7.87)式と同様に閉包関係を挿入して計算すれば、

⟨kL|V |k′L⟩ = ⟨kL|1V 1|k′

L⟩ =∫d3x′

∫d3x′′ ⟨kL|x′⟩⟨x′|V |x′′⟩⟨x′′|k′

L⟩

=1

L3

∫d3x′

∫d3x′′ e−ik·x′

⟨x′|V (x)|x′′⟩eik′·x′′

(7.96)

となるが、ここで、V = V (x)のスペクトル分解 ((1.38)式参照)を用いれば、デルタ関数の積分より

⟨x′|V (x)|x′′⟩ =∫d3xV (x)⟨x′|x⟩⟨x|x′′⟩

∫d3xV (x)δ(x− x′)δ(x− x′′)

= V (x′′)δ(x′′ − x′) (7.97)

であるから*18、

⟨kL|V |k′L⟩ =

1

L3

∫d3x′

∫d3x′′ e−ik·x′

V (x′′)δ(x′′ − x′) eik′·x′′

=1

L3

∫d3x′ e−i(k−k′

)·x′V (x′) (7.98)

*17 非相対論的な場合。*18 V |ψ⟩ の位置表示が V (x)ψ(x) であることを用いてもよい。ψ(x) が位置の固有関数 δ(x − x′) の場合である。すなわち、

⟨x′|V |x′′⟩ = V (x′′)δ(x′′ − x′)


となる。これより、(7.96)式は*19

dσk′→k =( m

2πℏ2)2 k

k′

∣∣∣∣∫ d3x e−i(k−k′)·x V (x)

∣∣∣∣2 dΩk (7.99)

のように L依存性のない形で表すことができる。

上で導いたdσk′→kdΩk

=( m

2πℏ2)2 k

k′

∣∣∣∣∫ d3x e−i(k−k′)·x V (x)

∣∣∣∣2 (7.100)

を微分散乱断面積と呼び、微分散乱断面積を積分した

σ ≡∫dσk′→k

=( m

2πℏ2)2 k

k′

∫dΩk

∣∣∣∣∫ d3x e−i(k−k′)·x V (x)

∣∣∣∣2 (7.101)

を (全)散乱断面積と呼ぶ。

上述の導出からも明らかであり、また、具体的に計算すれば容易に分かるように、規格化因子と状態密度

の規格化依存性がちょうどキャンセルすることになるため、微分散乱断面積および散乱断面積は、箱型規格

化とデルタ関数規格化で同じ結果を与える。微分散乱断面積は「散乱問題」の章でもう一度取り扱う。

任意課題箱型規格化の場合、単位断面積を通って、毎秒入射してくる粒子数が v × (1/L3) =

ℏk′/(mL3)となることを示せ。

7.5 補足：離散・連続スペクトル間の遷移の統一的取り扱い

準備中。

上述の議論は少しまどろっこしい部分もあるので、離散-離散スペクトル、離散-連続スペクトル、連続-連

続スペクトル間の遷移の統一的取り扱いについて解説する予定。

*19 積分のダミー変数を x′ → xとして

161

第 8章

黒体輻射の基礎理論

8.1 プランクの公式

空洞内の黒体輻射について考える。空洞の壁を構成している原子は、光を放射し、またそれを再吸収し

て、原子系と輻射の系が熱平衡状態にあるとする。体積 L3 の空洞内において、角振動数が ω と ω + dω の

間にある電磁波の持つ平均エネルギーは、

⟨E(ω)⟩dω = dN × ⟨E⟩= (dωの間の電磁波のモード数)× (角振動数ωにあるモードの平均エネルギー) (8.1)

で与えられる。固有角振動数 ω を持つ振動子 (電磁波モード)の平均エネルギーは、

⟨E⟩ =

∫Ee−βEdE∫e−βEdE

=

∞∑n=0

nℏωe−βnℏω

∞∑n=0

e−βnℏω(8.2)

である。ここで、熱平衡状態の温度を T として、β ≡ 1/(kBT ) (kB はボルツマン定数)を定義した。分配

関数

Z =∞∑

n=0

e−βnℏω =1

1− e−βℏω (8.3)

を導入すれば、

⟨E⟩ = − 1

Z

∂Z

∂β=

ℏωeβℏω − 1

(8.4)

である。

出席課題 S.8.1 : (8.2)式からはじめて (8.4)式を示せ。演習問題 E.8.1 : プランクの輻射公式を導出せよ。略解体積 L3 の空洞に閉じ込められた電磁波は、(x, y, z) = 0, Lにおいて固定端境界条件を満たす波動

f(x) =

(√2

L

)3

sin (kxx) sin (kyy) sin (kzz) (8.5)

k =(πnx

L,πny

L,πnz

L

), (nx, ny, nz = 1, 2, 3, · · · ) (8.6)

として表されるから ((7.59)式参照)、dω の中にある電磁波のモード (状態)数は、

dN = 2× dnxdnydnz = 2×(L

π

)3

d3k = 2×(L

π

)3

k2dkdΩk (8.7)

162 第 8章黒体輻射の基礎理論

となる。ここで、因子 2は電磁場が横波であって、その偏りの方向が 2個あることによる。さらに、n ≥ 0

の条件より k ≥ 0であるから、角度積分 (∫dΩk = 4π)の際に寄与するのは全立体角 4π の 1/8の領域に

限られるから、

dN = 2×(L

π

)3

k2dk × 4π × 1

8=L3

π2k2dk = L3 ω2

π2c3dω (8.8)

である。ここで ω = ck = c√k2x + k2y + k2z の関係を用いた。

これらより、角振動数が ω と ω + dω の間にある電磁波の持つ, 空洞の単位体積当たりの平均エネルギー

(平均エネルギー密度)は

⟨u(ω)⟩dω ≡ 1

L3⟨E(ω)⟩dω =

ω2

π2c3ℏω

eβℏω − 1dω =

8πν2

c3hν

eβhν − 1dν (8.9)

となり、プランク (Plank) の公式が得られる。

8.2 密度演算子

3.4.4節の議論によれば、電磁波は調和振動子の集まりであった。すると、そのエネルギー固有値は

⟨n|H|n⟩ = En = ℏω(n+

1

2

)(8.10)

であり、統計力学から導かれた (8.4)式とは異なる。ここで、エネルギー固有値はエネルギー固有状態にあ

る場合のハミルトニアンの期待値でもあることに注意しよう。これらの違いを考察することが本節以降の主

目的である。

8.2.1 純粋状態と混合状態

確かに電磁波は調和振動子の集まりとして記述可能であり、振動モードのすべてを指定すれば、電磁波の

量子状態 |n⟩ を指定することができる。しかしながら、実際の電磁波は非常に多くの振動モードからなり、ある電磁波の状態を指定するためには、膨大な数の振動モードのすべてを指定しなければならない。これは

実際上不可能であるため、真の電磁波の量子状態 |n⟩を知ることはできない。ただし、統計力学の知識や仮定 (エネルギー等重率の原理、ボルツマンの原理など)を用いれば、電磁波が量子状態 |n⟩にある確率 pn を

計算することは可能であるとする。

このとき、ある物理量 Aの期待値は、

⟨A⟩ =∑n

pn⟨n|A|n⟩ (8.11)

となる。ここで、状態 |n⟩を Aの固有状態 |ai⟩で

|n⟩ =∑i

⟨ai|n⟩|ai⟩ (8.12)

と展開して (8.11)式に代入すると、

⟨A⟩ =∑n

∑i

aipn|⟨ai|n⟩|2 (8.13)

となる。これは系の状態が |n⟩であるときに観測して |ai⟩である確率 |⟨ai|n⟩|2 に、さらに統計的確率 pn を

掛けることで期待値が求まることを示している。

8.2 密度演算子 163

このように、系に対する知識が不完全であるため、量子力学的な意味での確率操作に加えて、統計力学的

な確率法則の知識など、それとは別種の情報が必要となる状態を混合状態と呼ぶ。(巷に聞く)エンタング

ルメント状態 (量子もつれ状態)も混合状態の一例である。一方、これまで取り扱ってきた (通常の)状態を

純粋状態と呼ぶ。

出席課題 S.8.2 : (8.13)式を示せ。

8.2.2 密度演算子と密度行列

混合状態と純粋状態を統一的に取り扱いたい。そのために次の密度演算子 ρn を定義する。

ρ ≡∑n

pn|n⟩⟨n| (8.14)

この場合、以下に定義される密度行列は |n⟩について対角化されている。

ρmn ≡ ⟨m|ρ|n⟩ =∑l

pl⟨m|l⟩⟨l|n⟩ = pnδmn (8.15)

密度演算子がρ = |n⟩⟨n| (8.16)

となるとき系は純粋状態にある (純粋状態の定義)。

|n⟩とは異なる基底 |ai⟩のもとでは、

ρ = 1ρ1 =∑k

∑j

∑n

pn|aj⟩⟨aj |n⟩⟨n|ak⟩⟨ak| =∑k

∑j

[∑n

pn⟨aj |n⟩⟨n|ak⟩

]|aj⟩⟨ak|

=∑k

∑j

pjk|aj⟩⟨ak|, (8.17)

ただし、pjk ≡

∑n

pn⟨aj |n⟩⟨n|ak⟩ (8.18)

となるので、一般に密度行列は非対角成分を持つ。

密度行列と任意の物理量 Aをスペクトル分解したものの積をとり、

ρA =

[∑n

pn|n⟩⟨n|

][∑i

ai|ai⟩⟨ai|

]=∑n

∑i

pnai|n⟩⟨n|ai⟩⟨ai| (8.19)

状態 |n⟩についてのトレース操作 (対角和操作)

Tr(ρA) ≡∑n

⟨n|ρA|n⟩ (8.20)

を行うと*1、右辺は (8.11)式に一致するので、

Tr(ρA) = ⟨A⟩ (8.22)

*1 この場合に限らず、任意の演算子 Aに対して、基底 |n⟩についてのトレース操作は

Tr A ≡∑n

⟨n|A|n⟩ (8.21)

で定義される。



すなわち、純粋状態・混合状態にかかわらず、任意の物理量の期待値は、密度演算子との積をとり、その

トレースを計算することで得られる。この意味で、密度演算子とそれを用いたトレース操作は、状態ベクト

ルを用いた期待値計算 ⟨ψ|A|ψ⟩ と等価で、且つ、純粋状態だけでなく混合状態にもそのまま適用可能であるという点で、応用上より便利なものになっている。

出席課題 S.8.3 : (8.20)式の右辺が (8.11)式に一致することを示せ。

演習問題 E.8.2 : トレース操作は基底に依らないこと、すなわち任意の 2つの直交基底 |n⟩, |qk⟩に対して、

TrA =∑n

⟨n|A|n⟩ =∑k

⟨qk|A|qk⟩ (8.23)

であることを示せ。この性質のため、便利な基底を用いてトレース計算を行えば十分であることが正当化される。

略解

TrA =∑n

⟨n|A|n⟩ =∑i,n,k

⟨n|qi⟩⟨qi|A|qk⟩⟨qk|n⟩ =∑i,k

⟨qi|A|qk⟩⟨qk

[∑n

|n⟩⟨n|

]|qi⟩

=∑i,k

⟨qi|A|qk⟩⟨qk|qi⟩ =∑i

⟨qi|A|qi⟩ (8.24)

演習問題 E.8.3 : 密度演算子のトレースは 1であることを示せ。

Trρ = 1 (8.25)

略解

Trρ =∑k

⟨qk|

[∑n

pn|n⟩⟨n|

]|qk⟩ =

∑n

pn⟨n|

[∑k

|qk⟩⟨qk|

]|n⟩

=∑n

pn⟨n|n⟩ =∑n

pn = 1 (8.26)

演習問題 E.8.4 : 任意の演算子 A, B に対して、

Tr(AB) = Tr(BA) (8.27)

を示せ。略解

Tr(AB) =∑n

⟨n|A1B|n⟩ =∑n

∑m

⟨n|A|m⟩⟨mB|n⟩ =∑n

∑m

AnmBmn (8.28)

より、行列に関するトレース操作が Tr(AB) = Tr(BA) を満たすことを示せばよい。これについては線形

代数の教科書参照。

8.3 調和振動子の混合状態としての黒体輻射

8.3.1 (熱平衡)量子統計力学における密度演算子

温度 T の熱平衡状態にある量子系のアンサンブルを考える。量子系のハミルトニアンを H として、エネ

ルギー固有値を En、エネルギー固有状態を |n⟩とする。統計力学におけるボルツマン (Boltzmann)の原理

より、アンサンブルから系を一つ選ぶとき、それがエネルギー En を持つ状態である確率は、

pn =1

Ze−βEn (8.29)

8.3 調和振動子の混合状態としての黒体輻射 165

で与えられる。ここで β = 1/(kBT )であり、

Z ≡∞∑n

e−βEn (8.30)

は分配関数である。以下では、特に混乱の恐れのない限り、和の上限∞を省略する。密度演算子は、

ρ =∑n

pn|n⟩⟨n| =1

Z

∑n

e−βEn |n⟩⟨n| (8.31)

である。ここで ∑n

e−βEn |n⟩⟨n| =∑n

e−βH |n⟩⟨n| = e−βH∑n

|n⟩⟨n| = e−βH 1 (8.32)

およびZ =

∑n

e−βEn =∑n

⟨n|e−βH |n⟩ = Tr(e−βH) (8.33)

であるから、

ρ =e−βH

Tr(e−βH)(8.34)

となる。

8.3.2 黒体輻射の平均エネルギー

密度演算子を用いると、熱平衡状態にある調和振動子の個数演算子 nの期待値は、

⟨n⟩ = Tr(ρn) =

∑n

⟨n|e−βH n|n⟩∑n

⟨n|e−βH |n⟩=

∑n

ne−βEn

∑n

e−βEn

=

∑n

ne−βℏω(n+1/2)

∑n

e−βℏω(n+1/2)=

∑n

ne−βnℏω

∑n

e−βnℏω(8.35)

である。ここで、等比級数の公式∞∑

n=0

e−nα =1

1− e−α(8.36)

の両辺を αで微分すると、

(1− e−α)∑n

ne−nα =1

eα − 1(8.37)

が得られるので、これらを用いると、

⟨n⟩ =

∑n

ne−βnℏω

∑n

e−βnℏω= (1− e−βℏω)

∑n

neβnℏω =1

eβℏω − 1(8.38)

となる。

エネルギー当分配則により、各量子数に ℏω のエネルギーが割り当てられるので、熱平衡状態にある光子の平均エネルギーは、

⟨E⟩ = ℏωeβℏω − 1

(8.39)

となり、(8.4)式が再現された。


8.3.3 粒子と波動の二重性とゆらぎ

1.5節でも述べたように、量子力学に特徴的な性質は物理量のゆらぎに含まれている。そこで、黒体輻射

のエネルギーのゆらぎについて考える。(8.38)式を導いたのと同様の計算を行えば、

⟨n2⟩ =

∑n

n2e−βnℏω

∑n

e−βnℏω=

(e−βℏω + 1)e−βℏω

(1− e−βℏω)2(8.40)

となるから、個数演算子のゆらぎは、

∆n2 = ⟨n2⟩ − ⟨n⟩2 =e−βℏω

(1− e−βℏω)2= ⟨n⟩2 + ⟨n⟩ (8.41)

となる。すなわち、ゆらぎが期待値 ⟨n⟩の 2乗と 1乗の 2つの寄与からなることが分かる。実は、⟨n⟩の 2

乗の項が光子の波動性を、1乗の項が光子の粒子性を表しているのである (演習問題 E.8.5)。

出席課題 S.8.4 : (8.40)式を示せ。演習問題 E.8.5 : 量子力学の本質をよくあわらしている不確定性原理が、物理量のゆらぎに関する

関係式であったことからも分かるように、量子力学の本質的に重要な部分は、物理量のゆらぎによくあらわれる。プランク分布から計算されるエネルギーのゆらぎには光子の粒子性と波動性が含まれていることを示せ。

略解波のエネルギー E は振幅の 2乗に比例するから、粒子数 ∼ E/ℏω も振幅の 2乗に比例する。さらに、

エネルギーのゆらぎは振幅の 4乗、すなわちエネルギーの 2乗に比例する。同様に個数のゆらぎは個数の

2 乗に比例し、∆n2 ∝ ⟨n⟩2 であるから、(8.41) 式の右辺第 1 項は、光子の波動性を表していることが分

かる。

次に粒子性について考える。いま、光子を古典的な粒子として取り扱い、N 個の光子が体積 V の空洞中

にランダムに分布しているとする。ある一つの光子に対し、それを空洞内の単位体積に見出す確率は

p =1

V(8.42)

である。さらに、単位体積の中に n個の光子が存在する確率は、

P (n) = NCnpn(1− p)N−n =N Cnp

nqN−n, q ≡ 1− p (8.43)

である。

2項定理

(p+ q)N =

N∑n=0

NCnpnqN−n (8.44)

を pで微分した

∂

∂p(p+ q)N =

N∑n=0

nNCnpn−1qN−n =

N∑n=1

nNCnpn−1qN−n (8.45)

を用いると、単位体積中の光子数の期待値は、

⟨n⟩ =

N∑n=1

nP (n) = p∂

∂p(p+ q)N = Np(p+ q)N−1

(p+q=1)= Np (8.46)

となる。

8.4 補足：Einstein 係数 167

同様に、

⟨n2⟩ =N∑

n=1

n2P (n) = Np+N(N − 1)p2 (8.47)

となる。これより、光子数のゆらぎは、

∆n2 = ⟨n2⟩ − ⟨n⟩2 = Np−Np2 = ⟨n⟩ − ⟨n⟩2

N(8.48)

となる。ここで、空洞を無限に大きく取り、N → ∞の極限では、

∆n2 = ⟨n⟩ (8.49)

となり光子数の期待値の 1乗となる。すなわち、(8.41)式の右辺第 2項は、光子の粒子性を表している。

このように Plank の公式は、光が粒子でもあり波でもあるという量子的二重性が共存していることを定

量的に表現しているのである。このことは、アインシュタインによってはじめて指摘された。

8.4 補足：Einstein 係数

8.4.1 自発放射と誘導放射

空洞内に分布する原子を 2準位系として扱い、エネルギー準位 (固有値)のうち、低エネルギー準位 E1 に

ある原子数を N1、高エネルギー準位 E2 にある原子数を N2 とする。これらの準位間の原子の状態の転移

に伴って放出または吸収される光子のエネルギーは

ℏω = E2 − E1 (8.50)

で与えられる。いま、高エネルギー準位 E2 にある 1個の原子をとり、それが自発的に低エネルギー準位 E1

に脱励起して、エネルギー ℏω を持つ光子を放出する単位時間当たりの転移確率を A2→1 と書く。すなわ

ち、単位時間当たりの遷移原子数は N2A2→1 である。この光子の放出現象を自発放射という (図 8.1参照)。

また、低エネルギー準位 E1 にある原子は光子を吸収して E2 に励起する場合もあるだろう。この遷移

は、低エネルギー準位 E1 にある原子数 N1 に加えて、光子吸収に利用可能な輻射場の平均エネルギー

密度 ⟨u(ω)⟩ にも比例すると考えられる。その比例係数を B1→2 とすれば、単位時間当たりの遷移数は

N1⟨u(ω)⟩B1→2 である。これは、原子と電磁場 (輻射場)の相互作用によるものとみなすことができる。す

ると、この逆に、E2 にある原子が、平均エネルギー密度 ⟨u(ω)⟩の輻射場と相互作用して、E1 へと脱励起す

る過程を考えることができる。この現象を誘導放射という (図 8.1参照)。誘導放射は E2 にある原子数 N2

に加えて、輻射場の平均エネルギー密度 ⟨u(ω)⟩にも比例すると考えられ、その比例係数を B2→1 とする。

これら 3パターンの光の放射・吸収過程のもとで、各準位の原子数 N1 と N2 の時間発展は、

dN1

dt= +N2A2→1 −N1B1→2⟨u(ω)⟩+N2B2→1⟨u(ω)⟩ (8.51)

dN2

dt= −N2A2→1 +N1B1→2⟨u(ω)⟩ −N2B2→1⟨u(ω)⟩ (8.52)

(8.53)

で与えられる。ここで、熱平衡状態では、dN1/dt = dN2/dt = 0であるから、

N2A2→1 −N1B1→2⟨u(ω)⟩+N2B2→1⟨u(ω)⟩ = 0 (8.54)

これより、

⟨u(ω)⟩ = A2→1

N1

N2B1→2 −B2→1

(8.55)


図 8.1 光の吸収、自然放射および誘導放射の概念図

を得る。

一方、熱平衡状態では、統計力学の知識から、系のエネルギーが E である状態は確率 e−βE に比例して

実現するから、N1

N2=e−βE1

e−βE2(8.56)

である。これを (8.55)式に代入すると、ℏω = E2 − E1 より、

⟨u(ω)⟩ =

A2→1

B2→1

B1→2

B2→1eβℏω − 1

(8.57)

となる。(8.57)式をプランクの公式 (8.9)と比較すると、

A2→1 =ℏω3

π2c3B2→1, B2→1 = B1→2 (8.58)

の関係が成り立っていなければならない。

このようにしてアインシュタイン (Einstein)は、物理学の中にはじめて転移確率という概念を導入し、プ

ランクの公式を利用して、自発放射と誘導放射の係数の間に (8.58) 式のような関係があることを導いた。

それは量子力学が発見される 10年も前の 1916年のことである*2。係数 A2→1 をアインシュタインの A係

数、B1→2, N2→1 をアインシュタインの B 係数と呼ぶ。

8.4.2 摂動法によるアインシュタインの B 係数の導出

本節ではMKSA単位系を採用する。Einstein の B 係数を求めるため、原子 (内の電子)に外部から角振

動数 ω0 の古典的な電磁波が作用する場合について考える。通常、磁気相互作用は (cgs-gauss 単位系で明

らかなように因子 1/cの存在のため)電場との相互作用に比べて小さいため、ここではそれを無視する。ま

*2 同じ年にアインシュタインは一般相対性理論も発表している

8.4 補足：Einstein 係数 169

た、入射電磁波の波長が十分に長くて、原子の大きさの領域内で電場をほとんど空間的に一様とみなせると

して、電場をE(t) = eE cos(ω0t− k · x) ≈ e E cosω0t (8.59)

と近似する (双極子近似)。ここで、eは電場の偏りの方向を表す単位ベクトルである。

このとき、系のハミルトニアンは原子のハミルトニアン H(0) と相互作用ハミルトニアン V (t)によって

H = H(0) + V (t) (8.60)

V (t) = −er ·E(t) = −e(r · e)E cosω0t = −1

2e(r · e) E (eiω0t + e−iω0t) (8.61)

で記述される。ここで、r は原子の中心から測った電子の位置を示す演算子である。原子の固有状態として

は、低エネルギー準位 E1 と高エネルギー準位 E2 の 2個だけを考え、

H(0)|i⟩ = Ei|i⟩, (i = 1, 2) (8.62)

とする。時刻 tにおける系の状態ベクトルを

|ψ(t)⟩ = C1(t)e−iE1t/ℏ|1⟩+ C2(t)e

−iE2t/ℏ|2⟩ (8.63)

と展開し、摂動法に基づき、Ci(t) = C

(0)i (t) + λC

(1)i (t) + · · · (8.64)

とおく。

いま、B1→2 係数を求めるために、初期に E1 の状態にあるとして

C(0)1 (0) = 1, C

(0)2 (0) = 0 (8.65)

ととる。この場合、C(1)1→2(t) = C

(1)2 (t)である。外部電場からの光子の吸収過程を考えているので、(7.20)

式より、

P(1)1→2(t) =

πt

2ℏe2 E2 |⟨2|r · e|1⟩|2 δ(E(0)

2 − E(0)1 − ℏω0)

=e2

ℏ2πt

2E2|e · r21|2δ(ω − ω0) (8.66)

となる。ここでr21 ≡ ⟨2|r|1⟩ (8.67)

と定義し、 ℏω = E(0)2 − E(1)

1 を用いた。

実際には入射電波の角振動数はある程度の幅 ∆ω をもち、振幅も角振動数に依存して E(ω) となっている。そこで、その幅に渡って (8.66)式を積分すると

P(1)1→2(t) =

e2

ℏ2πt

2|e · r21|2

∫ ω0+∆ω/2

ω0−∆ω/2

dω E2(ω)δ(ω − ω0)

=e2

ℏ2πt

2|e · r21|2

∫ ∆ω/2

−∆ω/2

dω′ E2(ω′ + ω0)δ(ω′)

≈ e2

ℏ2πt

2|e · r21|2

∫ ∞

−∞dω′ E2(ω′ + ω0)δ(ω

′)

=e2

ℏ2πt|e · r21|2

1

2E2(ω0) (8.68)


が得られる。電場の平均エネルギーは真空の誘電率を ε0 として ⟨u(ω)⟩ = ε0E2(ω)/2であるから、単位時間当たりの遷移確率が

P(1)1→2(t)

t=

πe2

ε0ℏ2|e · r21|2 ⟨u(ω)⟩ (8.69)


ここで |e · r21|2 を計算しよう。空洞放射の場合には、電波の偏りはまったくランダムである。つまり、実際に測定される遷移確率は、|e · r21|2 を全立体角にわたって平均したものであるはずである。そこで、e · r21 = r21 cos θ として、

¯|e · r21|2= |r21|2

∫cos2 θdΩ∫dΩ

=1

4π

∫ π

0

cos2 θ sin θdθ

∫ 2ϕ

0

dϕ =1

3|r21|2 (8.70)

になる。P (1)1→2(t)/t は E1 にある原子 1 個が単位時間当たりに E2 へと励起する確率であるから、これは

B1→2⟨u(ω)⟩に等しく、それは

B1→2 =πe2

3ε0ℏ2|r21|2 (8.71)

で与えられることが導かれる。微細構造定数 α = e2/(4πε0ℏc)を用いれば、

B1→2 =4π2αc

3ℏ|r21|2 (8.72)

である。微細構造定数が小さい α ≈ 1/137ため、摂動法で輻射場と原子の相互作用がうまく記述されたの

である。

自発放射を記述するアインシュタインの A係数は、原子だけを量子力学的に、電磁場は古典的に取り扱

うという上記のモデルの枠内には含まれていない。自発的放射の過程を説明するためには、電磁場も量子化

すること (量子電磁気学)が必要になる*3。結果だけを引用すると、

A2→1 =4α

3c2ω3|r21|2 (8.73)

であり、アインシュタインの理論 (8.58)式から得られる結果と一致する。ここで、A係数は ω3 に比例して

おり、ω が大きくなると、すなわちエネルギー準位差が大きくなると急激に増大することは注目に値する。

加点問題 P.8.1 : 原子に外部から角振動数 ω0 の古典的な電磁波が作用する場合を考える。系のハミ

ルトニアン H = H(0) + V (t)は原子のハミルトニアン H(0) と相互作用ハミルトニアン V (t)

V (t) = ex E sinω0t (8.74)

で記述されるとする。原子は 2準位系をなしているとして、状態 |1⟩から |2⟩への単位時間当たりの遷移確率を (8.68)式に対応する段階まで計算せよ。

加点問題 P.8.2 : 水素原子における光の吸収 (放出)における選択則が

∆m = ±1, (8.75)

∆l = ±1 (8.76)

で与えられることを示せ*4。

*3 電磁場の量子化についても講義ノートに記載したが、時間の都合上、講義ではアインシュタインの A 係数を量子電磁気学に基づいて導出することはしない。興味がある場合には砂川重信著「量子力学」(岩波書店)の 8章を参照のこと。

*4 ⟨m′|x|m⟩ = 0, ⟨l′|x|l⟩ となる m,m′ および l, l′ の組について ∆m = m −m′ = ±1, ∆l = l − l′ = ±1 であることを示す。(現象と数学的体系から見える物理学 9 量子力学 I p174)

8.5 発展：電磁場の量子化 171

8.5 発展：電磁場の量子化

8.5.1 クーロンゲージにおける真空中のMaxwell方程式

クーロンゲージ∇ ·A(x, t) = 0 (8.77)

におけるMaxwell方程式 (8.151), (8.151)において、真空の場合を考えると、(8.151)式より

ϕ = 0 (8.78)

であるから、ベクトルポテンシャルAに対する(− 1

c2∂2

∂t2+∇2

)A = 0 (8.79)

が得られる。電場と磁場は、(8.136), (8.130)式より、

E = −1

c

∂A

∂t(8.80)

B = ∇×A (8.81)

である。

8.5.2 モード展開 (空洞内に閉じ込められた電磁波)

(8.79)式は波動方程式であるから、弦の振動の場合と同様の手続きで量子化することができる。ベクトル

ポテンシャルをA(x, t) = q(t)u(x) (8.82)

と変数分離して (8.79)式に代入すると、

q∇2u =1

c2u∂2q

∂t2(8.83)

となる。ここで任意の単位ベクトル sを作用させると、

s · (∇2u)

s · u=

1

c2q

∂2q

∂t2(8.84)

が得られる。左辺は xだけの関数、右辺は tだけの関数であるから、定数に等しくなければならず、それを

−κ2 とおくと、

∇2u+ κ2u = 0 (8.85)

d2q2

dt2+ ω2q = 0 (8.86)

となる。ここで、ω ≡ cκ (8.87)

と定義した。


ゲージ条件 (8.77)と空洞境界での境界条件 (nは境界面の外向き単位法線ベクトル)

B · n = 0, (8.88)

E × n = 0, (8.89)

(8.90)

の下では、異なるモードに属するベクトル un は直交する∫dV un · um = δnm (8.91)

ことが示される。

証明の概略ゲージ条件は∇ · u = 0 (8.92)

である。境界条件は uが境界に垂直、すなわち

u = (u · n)n (8.93)

であれば満たされる。異なるモード解 un, um に対して、(8.85)式より、

(κ2n − κ2

m)

∫dV um · un =

∫dV (um · ∇2un − un · ∇2um) (8.94)

となる。右辺にグリーンの定理を適用すると、

(κ2n − κ2

m)

∫dV um · un =

∫dS [um · ((n · ∇)un)− un · ((n · ∇)um)] (8.95)

となるが、ゲージ条件 ∇ · u = 0、境界条件 u = (u · n)n を適用すると、右辺は 0 になることが示され

る。よってモード un は直交する。

すなわち、ベクトルポテンシャルは直交するモード un を用いて、

A =∑n

qn(t)un(x) (8.96)

と展開される。

電場と磁場は、(8.80), (8.81)式より、

E = −1

c

∑n

qnun (8.97)

B =∑n

qn∇× un (8.98)

となる。

8.5.3 電磁場のエネルギー

空洞内の電場のエネルギーは

UE =1

8π

∫V

E ·EdV =1

8π

∫V

dV

[−1

c

∑n

qnun

]·

[−1

c

∑m

qmum

]

=1

8πc2

∑n

∑m

qnqm

∫V

dV (un · um) =1

8πc2

∑n

q2n (8.99)

8.5 発展：電磁場の量子化 173

である。同様に、磁場のエネルギーは、

UB =1

8π

∑n

∑m

qnqm

∫V

dV (∇× un) · (∇× um) =1

8π

∑n

κ2nq2n =

1

8πc2

∑n

ω2nq

2n (8.100)

と計算できる。

導出の概略ベクトル恒等式∇ · (v ×w) = (∇× v) ·w − v · (∇×w) (8.101)

において、v = un, w = ∇× um とすると、

(∇× un) · (∇× um) = ∇ · (un × (∇× um)) + un · (∇× (∇× um)) (8.102)

となる。右辺第 1項は　∫dV ∇ · (un × (∇× um)) =

∫dS n · (un × (∇× um))

=

∫dS (∇× um) · (n× un) (8.103)

となるが*5、境界では (8.93)式より uは nの方向なので n × u = 0 となるので寄与しない。第 2項は、

ベクトルの公式を用いて

∇× (∇× um) = ∇(∇ · um)−∇2um(8.92)= −∇2um

(8.85)= κ2

mum (8.104)

となるので、直交条件を用いれば (8.100)式が得られる。

8.5.4 電磁場の量子化

正凖変数に qn を選ぶ。これに共役な運動量は、ラグランジアン

L = UE − UB =1

8πc2

∑n

(q2n − ω2

nq2n

)(8.105)

より、

pn =∂L

∂qn=

1

4πc2qn (8.106)

である。ハミルトニアンは、

H =∑n

pnqn − L =∑n

(2πc2p2n +

1

8πc2ω2nq

2n

)= UE + UB (8.107)

である。

正凖共役変数 (qn, pn)に正凖交換関係

[qn, pm] = iℏδnm (8.108)

[qn, qm] = 0 (8.109)

[pn, pm] = 0 (8.110)

*5 ガウスの法則とA · (B ×C) = C · (A×B)を用いた。


を要請して電磁場を量子化する。生成消滅演算子を

an =

√ωn

8πc2ℏ

(qn + i

4πc2

ωnpn

)(8.111)

a†n =

√ωn

8πc2ℏ

(qn − i

4πc2

ωnpn

)(8.112)


qn =

√2πc2ℏωn

(a†n + an

)(8.113)

pn = i

√ℏωn

8πc2(a†n − an

)(8.114)

となるが、qn が (8.86)式の解であることを考慮して、時間依存性を

qn =

√2πc2ℏωn

(eiωnta†n + e−iωntan

)(8.115)

のように導入しておこう。このとき、

an = eiωnt

√ωn

8πc2ℏ

(qn + i

4πc2

ωnpn

)(8.116)

a†n = e−iωnt

√ωn

8πc2ℏ

(qn − i

4πc2

ωnpn

)(8.117)

pn = i

√ℏωn

8πc2(eiωnta†n − e−iωntan

)(8.118)

であり、ハミルトニアンは

H =∑n

ℏωn

(a†nan +

1

2

)(8.119)

となる。

8.A Maxwell 方程式のまとめ

国際協定によって、電磁気学にはMKSA単位系を使うことが推奨されているが、電磁気学の理解のため

は、電場と磁場が同じ次元を持ち、さらに光速度があらわにあらわれ、その役割があからさまになる単位系

を使った方がよい。そのような単位系として cgs-Gauss 単位系がある。この節では両者の説明を行う。

8.A.1 単位系

MKSA単位系

時間 [s]： 133Cs を使った原子時計で決める。ある準位間の遷移からの放射の振動数を ν =

9, 192, 631, 770 Hz [1/s]と定義し、それにより 1秒を定義する。

長さ [m]：光速度を c = 299, 792, 458 m/s と定義して、原子時計から定義される 1s を使って、光

が 1/299, 792, 458 s の間に進む距離を 1m と定義する。

質量 [kg]：国際キログラム原器の質量を 1kgとする。

電流 [A]：電流と電流の間に働く力で決める。1m離れた 1Aの電流に単位長さあたりに働く力の大

きさが 1N。

8.A Maxwell 方程式のまとめ 175

これ以外の物理量の単位はすべてこれらの組み合わせで定義される (のでMKSA単位系と呼ばれる)。電磁

気学にあらわれるものでは、

電荷 [C]：電流 1Aが 1sに運ぶ電荷が 1C。すなわち、[C] = [A·s]。電場 [V/m]：まず、電位の単位を、1C の電荷を 1V の電位差にわたって運んだときの仕事が 1J

であるとして [V]=[J/C] を定義し、電位の勾配によって電場を定義する。すなわち電場の単位は

[V/m]=[N/C]。

磁場 (磁束密度) [T]=[V·s/m2]： qC の電荷に働く力が F = q(E + v × B) と表せるように磁場

の単位を決める。これより、磁場の次元は電場の次元を速度の次元で割ったものになる。よって、

[T]=[V·s/m2]=[(N·s)/(C·m)]。

Maxwell 方程式は

ε0∇ ·E = ρ (8.120)

1

µ0∇×B − ε0

∂E

∂t= j (8.121)

∇ ·B = 0 (8.122)

∇×E +∂B

∂t= 0 (8.123)

である。ここで電荷密度 ρの次元は [C/m3] であるから、真空の誘電率 ε0 の次元は [C2/(N·m2)]であり、

電流密度 j の次元が [C/(m2·s)] であることから、真空の透磁率 µ0 の次元は [N/A2] である。これより、

1/(ε0µ0)は速度の 2乗の次元を持ち、その大きさは光速度の 2乗である。

cgs-Gauss単位系

時間 [s]： 1s。

長さ [cm]： 1cm = 10−2m。

質量 [g]： 1g = 10−3kg。

cgs単位系ではでは力の単位として dyn (1dyn = 10−5N)を用いる。

電荷 [esu]：電荷と電荷の間に働くクーロン力 F = q1q2r2 から電荷の次元を決定する。すなわち、電

荷の次元は、[esu] =

√dyn · cm =

√g · cm · cm/s (8.124)

電場 [statvolt/cm]： 1esu の電荷により 1cm離れた場所にできる電場を 1 statvolt/cm と定義する。

磁場 [gauss]：電荷に働く力が

F = q(E +

v

c×B

)(8.125)

となるように決める。速度が光速度で割られているので、電場と磁場は同じ次元を持つ。

cgs-Gauss 系ではMaxwell 方程式に光速度 c が直接あらわれ、真空の誘電率と透磁率は 1になる。

∇ ·E = 4πρ (8.126)

∇×B − 1

c

∂E

∂t=

4π

cj (8.127)

∇ ·B = 0 (8.128)

∇×E +1

c

∂B

∂t= 0 (8.129)

以下、理論物理学でもっともよく用いられる、 cgs-Gauss 系を採用する。


8.A.2 ベクトルポテンシャルとゲージ変換

4本のMaxwell 方程式のうち、まず

∇ ·B = 0

∇×E +1

c

∂B

∂t= 0

の組に着目する。ベクトル解析の知識から、∇ ·B = 0は、

B = ∇×A (8.130)

となるベクトル場Aが存在することを意味する。

しかし、このAは一意には定まらない。ベクトル解析が教えるように、任意のスカラー場 χに対して

∇× (∇χ) = 0 (8.131)

がいつでも成り立つので、A′ = A+∇χ (8.132)

を用いても、∇×A′ = B (8.133)

となり同じ磁場を与えるからである。このことを、ベクトルポテンシャルには χによるゲージ自由度がある

といい、変換 (8.132)をゲージ変換と呼ぶ。すなわち、ゲージ変換のもとで B は不変であり、ゲージ対称

性 (ゲージ不変性)を持つ。

ベクトルポテンシャルを用いると、ファラデー (Faraday)の電磁誘導の法則は、

∇×E +1

c

∂B

∂t= ∇×E +

1

c

∂

∂t(∇×A) = ∇×

(E +

1

c

∂A

∂t

)= 0 (8.134)

となるので、ベクトル解析の知識から、

−∇ϕ = E +1

c

∂A

∂t(8.135)

となるスカラーポテンシャル ϕが存在することになる。したがって、電場はスカラーポテンシャルとベクト

ルポテンシャルを用いて、

E = −∇ϕ− 1

c

∂A

∂t(8.136)

と表される。

スカラーポテンシャルは、ベクトルポテンシャルのゲージ自由度に対応して、次のゲージ自由度を持つ。

ϕ −→ ϕ′ = ϕ− 1

c

∂χ

∂t(8.137)

実際、このゲージ変換によって、電場は

E = −∇(ϕ− 1

c

∂χ

∂t

)− 1

c

∂

∂t(A+∇χ) = −∇ϕ− 1

c

∂A

∂t(8.138)

となり不変である。

8.A Maxwell 方程式のまとめ 177

以上をまとめると、Maxwell 方程式

∇ ·B = 0

∇×E +1

c

∂B

∂t= 0

は電磁場がスカラーポテンシャル ϕとベクトルポテンシャル Aによって表すことができることを意味する

が、ϕ,A の決め方については何も教えない。ポテンシャル ϕ,A にはゲージ自由度があり、ゲージ変換に

よって電磁場は不変である。

8.A.3 電荷・電流密度による電磁場の生成

次に、Maxwell 方程式

∇ ·E = 4πρ

∇×B − 1

c

∂E

∂t=

4π

cj

を考える。Maxwell方程式がその存在を保証する、スカラーポテンシャル ϕとベクトルポテンシャルAを

用いれば、

∇ ·(−∇ϕ− 1

c

∂A

∂t

)= 4πρ (8.139)

∇× (∇×A)− 1

c

∂

∂t

(−∇ϕ− 1

c

∂A

∂t

)=

4π

cj (8.140)

となる。ここで、ベクトル解析の公式

∇× (∇×A) = −∇2A+∇(∇ ·A) (8.141)

を用いると、

−∇2ϕ− 1

c

∂(∇ ·A)

∂t= 4πρ (8.142)

−∇2A+∇(∇ ·A) +1

c∇(∂ϕ

∂t

)+

1

c2∂2A

∂t2=

4π

cj (8.143)

となる。これは電荷密度 ρと電流密度 j が与えられた場合にどのような電磁場 ϕ,Aが生成されるかを表す

式である。

ここで、ρ, j が与えられても、ϕ,Aは一意には定まらない。その理由の一つは、ρ, j が 0の場合にも、ゼ

ロでない ϕ,Aの解、すなわち真空中を伝わる電磁波が存在することである。もう一つはゲージ自由度によ

るものである。具体的にゲージ変換の式を代入すれば分かるように、ゲージ変換によって方程式が不変だか

らである。

8.A.4 Lorenz gauge と Coulomb gauge 条件

電磁気学ではこのゲージ自由度を積極的に利用して方程式を簡略化する。よく用いられるのがローレンス

(Lorenz)ゲージ条件

∇ ·A+1

c

∂ϕ

∂t= 0 (8.144)

とクーロン (Coulomb)ゲージ条件∇ ·A = 0 (8.145)


である。

である。ゲージ変換によってローレンスゲージをとることができることを示そう。初めに

S ≡ ∇ ·A+1

c

∂ϕ

∂t= 0 (8.146)

であったとして、ゲージ変換後、

∇ · (A+∇χ) + 1

c

∂

∂t

(ϕ− 1

c

∂χ

∂t

)= 0 (8.147)

とできればよい。この方程式は、S を発生源とする χに対する波動方程式(1

c2∂2

∂t2−∇2

)χ = S (8.148)

であるから、その解としてゲージ関数 χを選べばよい。

ローレンスゲージ条件のもとでは、(8.142), (8.143)式は(1

c2∂2

∂t2−∇2

)ϕ = 4πρ (8.149)(

1

c2∂2

∂t2−∇2

)A = 4πj (8.150)

となり、2つの独立な方程式に帰着する。

同様に、ゲージ変換によってクーロンゲージをとることも可能で、この場合には、(8.142), (8.143)式は

∇2ϕ = −4πρ (8.151)

−∇2A+1

c∇(∂ϕ

∂t

)+

1

c2∂2A

∂t2=

4π

cj (8.152)

となり、ϕはクーロンポテンシャルに相当する。

179

第 9章

変分法

摂動法はハミルトニアン H が正確に解ける部分 H(0) とこれに比べて効果が小さい摂動 V に分離できる

ときに有効であった。定常状態の問題の中には、厳密に解くことができないうえ、摂動法では満足できない

ようなものも多く存在する。また、1次、2次の近似では十分に正確ではなく、高次の近似が必要となる場

合には、計算量が膨大となるため、この場合にも摂動法はよい近似手法とは言えない。摂動法が適用できな

い場合, 変分法が強力な近似法になることがある。変分法は特に系の基底状態のエネルギーを計算するのに

適しており、より簡単な問題 (例えば無摂動ハミルトニアン)の厳密解が分かっていることを前提としない

ので、応用範囲が広い。欠点としては、未知の問題についての変分法の結果が、どれだけの精度かというこ

とを定量的に評価できないということである。これに対して摂動法の結果は、近似の次数をあげていったと

きの結果の変化から精度を評価することが可能である。

解析力学で学んだように、物理の基本法則を表す微分方程式は、積分型汎関数の停留値問題に書き直せる

(場合がある)。実際、時間に依存しない Schrodinger方程式も変分形式に表せる。系のハミルトニアンを H

として、状態ベクトルの汎関数*1

E[ψ] ≡ ⟨ψ|H|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩

(9.1)

を考える。ここで |ψ⟩の変分 |δψ⟩に対して E[ψ]が極致をとるとき、すなわち

δE ≡ E [ |ψ⟩+ |δψ⟩ ]− E[|ψ⟩] = 0 (9.2)

であるとき、その状態は Schrodinger方程式の固有値方程式

H|ψ⟩ = E|ψ⟩ (9.3)

を満たす。このことを以下に示す。

(9.1)式を E⟨ψ|ψ⟩ = ⟨ψ|H|ψ⟩と変形して変分をとると、

δE⟨ψ|ψ⟩+ E⟨δψ|ψ⟩+ E⟨ψ|δψ⟩ = ⟨δψ|H|ψ⟩+ ⟨ψ|H|δψ⟩ (9.4)

となる。ここで極値条件 δE = 0より、

⟨δψ|(H − E)|ψ⟩+ ⟨ψ|(H − E)|δψ⟩ = 0 (9.5)

であるが、任意の変分 |δψ⟩, ⟨δψ|に対してこの式が成り立つためには、

(H − E)|ψ⟩ = 0 (9.6)

*1 普通の関数は点 (座標)を与えると 1つ複素数を返すが、汎関数とは関数を与えると複素数を返す。

180 第 9章変分法

でなければならない。これは時間によらない Schrodinger方程式そのものである。

ここで、|δψ⟩は一般に複素数であるから、変分においては実部と虚部をそれぞれ独立に変化させることができる*2。これより、|δψ⟩と ⟨δψ|は独立ではないが、|ψ⟩の実部と虚部を変化させる代わりに、変分の際に、|δψ⟩と ⟨δψ|を独立とみなして変化させることが許される。

9.1 レイリー (Rayleigh)・リッツ (Ritz)の変分法

9.1.1 試行状態 (試行関数)の導入

あらゆる可能なすべての関数形の |ψ⟩を用意して、(9.1)の変分をとって極値を探し出せば、厳密なエネ

ルギー固有値を求めることができるが、|ψ⟩のパターンは無限個あるから、この作業を実際に行うことはできない。代わりに、いくつかのパラメータ α1, α2, · · · .αs に依存する試行状態 (trial state)

|ψT ⟩ = |ψT (α1, α2, · · · .αs)⟩ (9.7)

を用意して、パラメータ αi に関して

E(α1, α2, · · · .αs) ≡ E[ |ψT ⟩] (9.8)

が極値をとる∂E(α1, α2, · · · .αs)

∂αi= 0, (i = 1, 2, · · · , s) (9.9)

ことを要請することで、近似的に変分問題を解く。これをレイリー・リッツの変分法あるいは単にリッツの

変分法という*3。

レイリー・リッツの変分法の基礎にあるのは、ハミルトニアン H の基底状態のエネルギー固有値を E0 と

するとき、どんな状態ベクトル |ψ⟩ (別にエネルギー固有状態でなくてもよい)に対しても、

E[ |ψ⟩] ≥ E0 (9.10)

が成り立つというリッツの変分原理である。等号は |ψ⟩ = |0⟩のとき、すなわち |ψ⟩が基底状態にぴったり一致するときにのみ成り立つ。つまり、レイリー・リッツの変分法では、正しい基底状態のあたりをつけ

て、できるだけ E[ |ψ⟩]を小さくすることで近似的に E0 に迫っていこうというものである。

リッツの変分原理を証明しておこう。

E[ |ψ⟩] = ⟨ψ|1H 1|ψ⟩⟨ψ|1|ψ⟩

=

⟨ψ|

[∑n

|n⟩⟨n|

]H

[∑m

|m⟩⟨m|

]|ψ⟩

⟨ψ|

[∑n

|n⟩⟨n|

]|ψ⟩

=

∑n

∑m

⟨ψ|n⟩⟨n|H|m⟩⟨m|ψ⟩∑n

⟨ψ|n⟩⟨n|ψ⟩

=

∑n

∑m

⟨ψ|n⟩Emδnm⟨m|ψ⟩∑n

⟨ψ|n⟩⟨n|ψ⟩=

∑n

En⟨ψ|n⟩⟨n|ψ⟩∑n

⟨ψ|n⟩⟨n|ψ⟩≥

E0

∑n

⟨ψ|n⟩⟨n|ψ⟩∑n

⟨ψ|n⟩⟨n|ψ⟩= E0 (9.11)

ここで、不等号 ≥のところでは、基底状態のエネルギー固有値が最小であることを用いた。

出席課題 S.9.1 : リッツの変分原理を示し、レイリー・リッツの変分法について説明せよ。

*2 実際、任意の複素数 z = x + iy に対して、実部 x と虚部 y は、複素共役 z∗ = x − iy を用いて x = (z + z∗)/2,

y = (z − z∗)/(2i)と表されるので、z,z∗ を独立に変化させることが許されることが分かる。*3 更に簡略化して単に変分法と呼ばれることも多い。

9.1 レイリー (Rayleigh)・リッツ (Ritz)の変分法 181

9.1.2 1次元調和振動子の基底状態

一次元調和振動子のエネルギー固有値をレイリー・リッツの変分法で評価する。試行関数として、

ψT (x;α) = ⟨x|ψT ⟩ = Ce−αx2

, (α > 0) (9.12)

を採用する。規格化条件より、

C =

(2α

π

)1/4

(9.13)

であることが分かる。すると、E[ |ψ⟩]の分母はいつも規格化されるので、分子だけを考えればよい。

E(α) = E[ |ψT ⟩] = ⟨ψT |H|ψT ⟩ =∫ ∞

−∞ψ∗T HψT dx

=

√2α

π

∫ ∞

−∞e−αx2

[− ℏ2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2

]e−αx2

dx

=ℏ2α2m

+1

8αmω2 (9.14)

を得る (出席課題 S.9.2参照)。

この E(α)を極小にする αを探し出せばよい。

∂E

∂α=

ℏ2

2m− 1

8α2mω2 = 0 (9.15)

より、α = α0 =

mω

2ℏ(9.16)

のときに E(α)は極小値

E0 = E(α0) =1

2ℏω (9.17)

をとる。

これは厳密な結果と一致している。その理由は今回選んだ試行関数の形が厳密な固有関数

ψ0 =

(2α

π

)1/4

exp(−mω

2ℏx2)

(9.18)

と同型であり、α = α0 のときに厳密解と一致するからである。

9.1.3 水素原子の基底状態

重心運動の寄与を除いた、相対運動についての水素原子のハミルトニアンは、基底状態の場合、

Hr = − ℏ2

2m∇2 − e2

4πε0r(9.19)

で与えられる (MKSA単位系)。ここで

µ ≡ m =memp

me +mp(9.20)

は換算質量である。試行波動関数をψT (r;α) = Ce−αr (9.21)


として、水素原子の基底状態のエネルギー固有値を変分法で求めよう。

規格化定数は、

⟨ψT |ψT ⟩ = C2

∫ ∞

0

e−2αr4πr2dr = 1 (9.22)

より

C =

√α3

π(9.23)

である。E(α)は、

E(α) = E[ |ψT ⟩] = ⟨ψT |Hr|ψT ⟩ =∫ ∞

0

ψ∗T HrψT d

3r

=α3

π

∫ ∞

0

e−αr

[− ℏ2

2m∇2 − e2

4πε0r

]e−αr4πr2dr

=ℏ2α2

2m− e2α

4πε0(9.24)

と計算される。

これより、E(α)は、

α =e2m

4πε0ℏ2=

1

aB

m

me≡ 1

aB′(9.25)

に対して極小値をとることが分かる。ここで aB はボーア半径である。基底状態のエネルギーの近似値は

E(1/aB′) = −1

2

e2

4πε0aB′= −1Ry = −13.6 eV (9.26)

であるが、これは正確な基底状態エネルギーに一致する。

出席課題 S.9.2 : 1 次元調和振動子の基底状態のエネルギー固有値をレイリー・リッツの変分法に

よって求めたい。試行関数は ψT (x;α) = Ce−αx2

とする。演習問題 E.9.1, E.9.2の結果を用い

てよい。

1. 規格化定数 C を求めよ。

2. (9.14)式の計算の詳細を示し、調和振動子の場合に、

E(α) =ℏ2α2m

+1

8αmω2


3. レイリー・リッツの変分法により基底状態エネルギーの上限値を計算し、厳密解と比較せよ。

略解 1. |C|2∫e−2αx2

dx = |C|2√π/(2α) = 1より、C を実数に選んで C = (2α/π)1/4。

2. 試行関数によるエネルギーは

E(α) = ⟨ψT |Hr|ψT ⟩ =∫ ∞

−∞ψ∗

T HrψT dx =

√2α

π

∫ ∞

−∞e−αx2

[− ℏ2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2

]e−αx2

dx

=

√2α

π

∫ ∞

−∞dx

[− ℏ2

2m

(−2αe−2αx2

+ 4α2x2e−2αx2)+

1

2mω2x2e−2αx2

]=

√2α

π

[− ℏ2

2m

(−2α

√π

2α+ 4α2 1

4α

√π

2α

)+

1

2mω2 1

4α

√π

2α

]=

ℏ2α2m

+1

8αmω2 (9.27)

となる。

9.1 レイリー (Rayleigh)・リッツ (Ritz)の変分法 183

3. 省略

演習問題 E.9.1 :

ガウス積分の公式

IG0 =

∫ ∞

−∞exp(−ax2)dx =

√π

a(9.28)

を以下の手順で示せ。

1.

(IG0 )2 =

∫ ∞

−∞exp(−ax2)dx

∫ ∞

−∞exp(−ay2)dy (9.29)

を 2次元の極座標に変換し角度について積分すると

(IG0 )2 = 2π

∫ ∞

0

exp(−ar2) rdr (9.30)


2. z = r2 と変換して積分し、

IG0 =

∫ ∞


√π

a(9.31)

を示せ。

演習問題 E.9.2 : ガウス型積分

IGn =

∫ ∞

−∞x2n exp(−ax2)dx (9.32)

が関係式

IGn =2n− 1

2aIGn−1 (9.33)

を満たすことを示せ*4。略解恒等式

d

dx(x2n−1e−ax2

) = (2n− 1)x2(n−1)e−ax2

− 2ax2ne−ax2

(9.35)

の両辺を (−∞,∞)で積分すると、

(左辺) = [x2n−1e−ax2

]∞−∞ = 0, (右辺) = (2n− 1)IGn−1 − 2aIGn (9.36)

となり示せる。特に、n = 1のとき、

IG1 =

∫dxx2e−ax =

1

2a

√π

a(9.37)

演習問題 E.9.3 : 水素原子の基底状態のエネルギー固有値をレイリー・リッツの変分法によって求

めたい。試行関数は ψT (r;α) = Ce−αr とする。

1. 水素原子のハミルトニアンの準備

*4 ちなみに、被積分関数が奇関数であることから、∫ ∞

−∞x2n+1 exp(−ax2)dx = 0 (9.34)

である。


（a）水素原子核の質量を mp、電子の質量を me、水素原子核と電子の位置座標をそれぞれ

rp = (xp, yp, zp), re = (xe, ye, ze) とする。水素原子のハミルトニアンは

H =−ℏ2

2mp∇2

p −ℏ2

2me∇2

e −e2

4πε0|rp − re|(9.38)

で与えられる。ここで

∇i ≡(

∂

∂xi,∂

∂yi,∂

∂zi

), (i = p, e) (9.39)

であり、この微分演算子はそれぞれ水素原子核 (i = p)、電子 (i = e)にのみ作用する。

重心座標

R ≡ mprp +meremp +me

= (X,Y, Z) (9.40)

と相対座標r ≡ re − rp = (x, y, z) (9.41)

を用いると、ハミルトニアンは重心運動と相対運動の部分に分離され、

H = HR + Hr (9.42)

HR = − ℏ2

2M∇2

R (9.43)

Hr = − ℏ2

2µ∇2

r −e2

4πε0r(9.44)

となることを示せ。ここでM ≡ me +mp は総質量、

µ ≡ m =memp

me +mp(9.45)

は換算質量である。

（b）波動関数をΨ(R, r) = G(R)ψ(r)と変数分離すると、相対運動のしたがう Schrodinger

方程式がHrψ(r) = Eψ(r) (9.46)


2. 数学の準備

（a） In を

In =

∫ ∞

0

rn exp(−αr)dr (9.47)

と定義する。

I0 =

∫ ∞

0

exp(−αr)dr = 1

α(9.48)

を示せ。

（b）恒等式d

dr(rne−αr) = nrn−1e−αr − αrne−αr の両辺を積分することで、

In =n

αIn−1 =

n!

αnI0 =

n!

αn+1(9.49)

を示せ。

9.2 発展：ヘリウム原子の基底状態 185

3. 規格化定数が C =√α3/π となることを示せ。

4. レイリー・リッツの変分法により基底状態エネルギーの上限値を計算せよ。ヒント 4. 3次元極座標の場合には

∇2ψ(r) =

(d2

dr2+

2

r

d

dr

)ψ(r) (9.50)

である。これを用いてもよいし、任意の関数 ψ に対して成立する∫∇ · (ψ∗∇ψ)d3r =

∫ψ∗∇2ψd3r +

∫∇ψ∗ · ∇ψd3r (9.51)

において、ψ(r) が r−3 に比べて r → ∞ で十分にはやく 0 になる場合には左辺の表面積分が 0 にな

ることから、 ∫ψ∗∇2ψd3r = −

∫∇ψ∗ · ∇ψd3r (9.52)

を用いてもよい。結果は

E(α) =ℏ2α2

2m− e2

4πε0α (9.53)

となるので、αがボーア半径 aB を用いて

α0 =e2m

4πε0ℏ2=

e2me

4πε0ℏ2m

me=

1

aB

m

me≡ 1

aB′(9.54)

をとるとき、基底状態のエネルギーの上限は

E(α0) = −1

2

e2

4πε0aB′≈ −13.6 eV = −1Ry (9.55)

となるが、これは厳密解と一致している。これは用いた試行関数が基底状態の波動関数と同型であっ

たためである。

加点問題 P.9.1 : 前問において、試行関数として ψT (r;α) = Ce−α2r2 を採用すると、

E(α) =3ℏ2

2mα2 −

√2

π

e2

2πε0α (9.56)

となることを示せ。これより、基底状態のエネルギーの近似値が

E(α0) = −4m

3πℏ2

(e2

4πε0

)2

(9.57)

となることを示せ。厳密解との誤差は何％か?

9.2 発展：ヘリウム原子の基底状態

9.2.1 試行波動関数の選び方

ヘリウム原子中の 2つの電子の位置を、ヘリウム原子核を原点にとった座標系で r1, r2 とする。ここで、

原子核は静止しているとする*5。この設定の下で、ヘリウム原子のハミルトニアンは、

H = H1 + H2 + H12 ≡[− ℏ2

2me∇2

1 −2e2

4πε0r1

]+

[− ℏ2

2me∇2

2 −2e2

4πε0r2

]+

e2

4πε0r12(9.58)

で表される。ここで r1 = |r1|, r2 = |r2|, r12 = |r1 − r2|である。

*5 水素原子の場合のように換算質量と相対座標を用いて 1体問題に帰着できる問題ではないので、原子核は静止しているとした。


どのような試行波動関数を選べばよいか推定しよう。電子の相互作用項 +e2/(4πε0r12) がない場合には、

ハミルトニアンは電子 1,2の独立な部分 H1, H2 に分離することができる。H1, H2 はそれぞれ、水素原子

のハミルトニアンと同型 (電荷 Z だけ違う)であるから、Hi の基底状態の波動関数

Hiψi = E0,iψi (9.59)

は、水素原子の基底状態の波動関数

ψi(ri) =

√Z3

πa3Bexp

(−ZriaB

), (i = 1, 2) (9.60)

で与えられる。ここで aB はボーア半径である。

ψi の積からなる波動関数 ψ(r1, r2) ≡ ψ1ψ2 をつくると、

(H1 + H2)ψ = ψ2H1ψ1 + ψ1H2ψ2 = (E1 + E2)ψ1ψ2 = (E1 + E2)ψ (9.61)

であるから、ハミルトニアン H1 + H2 の固有関数である。解きたいヘリウム原子のハミルトニアンは、こ

れに電子の相互作用ハミルトニアン H12 が加わったものであるから、試行波動関数を作る際に、

ψ(r1, r2) = ψ1(r1)ψ2(r2) (9.62)

を利用しよう。

次に考えるのは、どのようにして試行関数のパラメータ αを導入するかである。実際のヘリウム原子と、

H1 + H2 で記述される系との違いは、電子の相互作用ハミルトニアン H12 であるから、その効果が組み込

まれるようなパラメータが望ましい。実際のヘリウム原子では、ヘリウム原子核は電子の「雲」をまとって

いるから、原子核からの電子へのクーロン力は電子の雲によって部分的に遮蔽されていると考えられる。こ

れは、実効的に考えれば、原子核の持っている電荷が実質的に Z = 2よりも小さい値になったとみなすこ

とができる。そこで、電荷 Z を変分パラメータ αで置き換えて、

ψT (α) ≡ ψT,1ψT,2 ≡ ψ1(r1)|Z=αψ2(r2)|Z=α =α3

πa3Bexp

(− α

aB(r1 + r2)

)(9.63)

を試行波動関数として採用しよう。

9.2.2 基底状態エネルギーの上限の計算

試行関数として (9.63)式を採用すると、

E(α) =

∫ ∞

0

d3r1

∫ ∞

0

d3r2ψ∗T HψT =

∫ ∞

0

d3r1

∫ ∞

0

d3r2

[ψ∗T,2ψ

∗T,1(H1 + H2 + H12)ψT,1ψT,2

]=

∫ ∞

0

d3r1ψ∗T,1ψT,1

∫ ∞

0

d3r2ψ∗T,2H2ψT,2 +

∫ ∞

0

d3r2ψ∗T,2ψT,2

∫ ∞

0

d3r1ψ∗T,1H1ψT,1

+

∫ ∞

0

d3r1

∫ ∞

0

d3r2 ψ∗T,2ψ

∗T,1H12ψT,1ψT,2

=

∫ ∞

0


∫ ∞

0


∫ ∞

0

d3r1

∫ ∞

0

d3r2 ψ∗T,2ψ

∗T,1H12ψT,1ψT,2

= 2

∫ ∞

0


∫ ∞

0

d3r1

∫ ∞

0

d3r2 ψ∗T,2ψ

∗T,1H12ψT,1ψT,2 ≡ 2I1 + I12 (9.64)

となる。右辺第 1項は水素原子の場合の結果を参照すると、

2I1 =ℏ2α2

ma2B− e2α

πε0aB= 2α2 Ry − 8αRy (9.65)

9.2 発展：ヘリウム原子の基底状態 187

であることが導かれる。ここで

1Ry =1

2

e2

4πε0aB=

ℏ2

2ma2B(9.66)

を用いた。問題は I12 である。結果だけを与えると (導出は次節参照)、

I12 =5

4· 12

e2

4πε0aBα =

5

4αRy (9.67)

となる。

∂E(α)/∂α = 0より、

α = α0 =27

16= 1.6875 (9.68)

のときに、E(α)の最小値E(α0) = −5.7Ry (9.69)

が実現することが導かれる。この値は 2％以下の精度で実験値 −5.808Ryと一致している。

加点問題 P.9.2 : (9.64)式を示し、E(α)の最小値を与える αとその場合の E(α) を求めよ。I12 は

既知としてよい。αの値をヘリウム原子核の電荷と比べ、その違いについて考察せよ。

9.2.3 相互作用項 I12 の積分

I12 の積分を求めるためには、ルジャンドル (Legendre)多項式を用いた展開 (10.218)

1

r12=

1

|r1 − r2|=

1√r21 + r22 − 2r1r2 cosΘ

=

1

r1

∞∑l=0

Pl(cosΘ)

(r2r1

)l

(r1 > r2)

1

r2

∞∑l=0

Pl(cosΘ)

(r1r2

)l

(r1 ≤ r2)(9.70)

を用いる必要がある*6。ここで r1 と r2 のなす角を Θとした。r1 = (r1, θ1, ϕ1),r2 = (r2, θ2, ϕ2) と極座標

表示すると、

Pl(cosΘ) =4π

2l + 1

l∑m=−l

Y ∗lm(θ1, ϕ1)Ylm(θ2, ϕ2) (9.71)

と展開される。これらを代入して積分することになる。

より具体的には、∫∞0dr2 =

∫ r10dr2 +

∫∞r1dr2 の積分において、(9.70)式より

∫ r10dr2 と

∫∞r1dr2 で被積

分関数を変えなければならないから、∫dΩ =

∫ 2π

0dϕ∫ π

0dθ として、

I12 =

(α3

πa3B

)2e2

4πε0

∫dΩ1

∫ ∞

0

r 21 dr1∫

dΩ2

[∫ r1

0

r 22 dr2 e

− 2αaB

(r1+r2) 1

r1

∞∑l=0

(r2r1

)l4π

2l + 1

l∑m=−l

Y ∗lm(θ1, ϕ1)Ylm(θ2, ϕ2)

+

∫ ∞

r1

r 22 dr2 e

− 2αaB

(r1+r2) 1

r2

∞∑l=0

(r2r1

)l4π

2l + 1

l∑m=−l

Y ∗lm(θ1, ϕ1)Ylm(θ2, ϕ2)

](9.72)

となる。

*6 ルジャンドル多項式については 10.A節を参照。


ここで、球面調和関数の直交性 ∫dΩY ∗

lm(θ, ϕ)Yl′m′(θ, ϕ) = δll′δmm′ (9.73)

を用いる。l = 0,m = 0の球面調和関数が

Y00(θ, ϕ) =1√4π

(9.74)

であることを考慮すると、直交性 (9.73)の特別の場合として、∫dΩY ∗

lm(θ, ϕ) =√4πδl0δm0 (9.75)

が成り立つ。

さて、(9.72)式の積分には、球面調和関数の積の積分はあらわれない (一見すると積があるように見える

が、引数が違うので、積分の際には積とはみなされない)。すなわち、∫dΩの積分は、直交性 (9.75)のため

に、l = 0,m = 0以外からの寄与はすべて 0になる。これより、

I12 =

(α3

πa3B

)2e2

4πε0

∫dΩ1

∫ ∞

0

r 21 dr1[∫ r1

0

r 22 dr2 e

− 2αaB

(r1+r2) 1

r14π√4πY ∗

00(θ1, ϕ1) +

∫ ∞

r1

r 22 dr2 e

− 2αaB

(r1+r2) 1

r24π√4πY ∗

00(θ1, ϕ1)

]=

(α3

πa3B

)2e2

4πε0(4π)2

∫ ∞

0

r 21 dr1

[1

r1

∫ r1

0

r 22 dr2 e

− 2αaB

(r1+r2) +

∫ ∞

r1

r2dr2 e− 2α

aB(r1+r2)

](9.76)

となる。ここで不定積分の公式 ∫r2eardr =

ear

a

(r2 − 2r

a+

2

a2

)(9.77)∫

reardr =ear

a

(r − 1

a

)(9.78)

を用いると、

I12 =5

4· 12

e2

4πε0aBα =

5

4αRy (9.79)

が得られる。

加点問題 P.9.3 : 相互作用積分 I12 を求めよ。

9.3 発展：励起状態

レイリー・リッツの変分法は、励起状態のエネルギー固有値を近似的に求める場合にも応用できる。た

だし、この場合には少なくとも基底状態についての信頼できる試行状態関数 |0T (α)⟩ と極小エネルギーを与える α = α0 の値が分かっている必要がある。|0T (α0)⟩が真の基底状態の良い近似となっている場合に、|0T (α0)⟩ に直交する別の試行状態 |1T (β)⟩ を考える。異なるエネルギー固有値に属する固有状態は互いに直交するから、いろいろな |1T (β)⟩を用意して E[ |1T (β)⟩]が最小となるものを探せば、それが第 1励起状

態の近似解を与えることが期待できる。

実際、真の基底状態 |0⟩と直交する試行状態 ψT が用意できたとすると、

⟨0|ψT ⟩ = 0 (9.80)

9.3 発展：励起状態 189

であるから、

E[ |ψT ⟩] =

∑n

En⟨ψT |n⟩⟨n|ψT ⟩∑n

⟨ψT |n⟩⟨n|ψT ⟩=

∑n =0

En⟨ψT |n⟩⟨n|ψT ⟩∑n

⟨ψT |n⟩⟨n|ψT ⟩≥

E1

∑n

⟨ψT |n⟩⟨n|ψT ⟩∑n

⟨ψT |n⟩⟨n|ψT ⟩= E1 (9.81)

となるので、E[ |ψT ⟩]は第 1励起エネルギーの上限を与える。

191

第 10章

角運動量

角運動量の量子力学は量子力学における代数的扱いの代表例であり、特に交換関係が重要な役割を演じる。

これを理解することは量子力学自体の理解を深める。また、この代数は最も単純なリー代数 (Lie algebra)

である。リー代数は素粒子の標準模型 (弱電相互作用を記述するワインバーグ・サラム模型と強い相互作用

を扱う量子色力学)で重要な役割をする。原子や原子核のような有限系の状態は角運動量の量子数で指定さ

れるので、この点でも角運動量は重要である。

10.1 軌道角運動量と角運動量

10.1.1 軌道角運動量

古典力学では軌道角運動量 Lは L = x× pで与えられる。これに対応して、量子力学でもエルミート演

算子*1

ℏL = x× p (10.1)

を軌道角運動量とする。ここで、ℏは角運動量の次元を持つから本講義ノートでは Lは無次元である*2。

正準交換関係[xi, pj ] = iℏδij , [xi, xj ] = [pi, pj ] = 0 (10.2)

を用いると、軌道角運動量 Lx,Ly の間には、

ℏ2[Lx, Ly]∗= [ypz − zpy, zpx − xpz]

(1.43)= [ypz, zpx]− [ypz, xpz] + [zpy, xpz]− [zpy, zpx]∗= [ypz, zpx] + [zpy, xpz]

(1.45)= y[pz, zpx] + [y, zpx]pz + z[py, xpz] + [z, xpz]py

= y[pz, zpx] + [z, xpz]py(1.45)= yz[pz, px] + y[pz, z]px + x[z, pz]py + [z, x]pz py∗= y[pz, z]px + x[z, pz]py∗= iℏ(−ypx + xpy)∗= iℏ2Lz (10.3)

*1 軌道角運動量演算子がエルミート演算子であることは自明ではない。出席課題 S.10.2参照。*2 ただし、L ≡ x× pと定義される場合も多い。この場合には Lは ℏの次元を持つ。すなわち、以下の議論において、固有値や期待値、測定値については、角運動量の次元を持った量にするためには ℏ(あるいは ℏ2)を適宜掛ける必要がある。

192 第 10章角運動量

なる交換関係が成り立っている*3。同様に他の場合についても計算すると、結局、交換関係

[Lx, Ly] = iLz, [Ly, Lz] = iLx, [Lz, Lx] = iLy (10.4)

が成り立っていることが分かる*4。

添字について x→ 1, y → 2, z → 3と対応させれば、交換関係 (10.4)は、物理数学で習ったレビ・チビ

タ記号を使って、[Li, Lj ] = i

∑k

ϵijkLk ≡ iϵijkLk = iϵijkLk (10.5)

とも表せる。ここで、2番めの等号では、特に混乱の恐れのない場合には、「繰り返しあらわれる添字につ

いては和をとる」というアインシュタインの縮約規則を採用し*5、最後の等号では、それがよりわかりやす

いように添字を上下に振り分けた*6。

10.1.2 一般化された角運動量

物理量に関して、量子力学と古典力学との対応がいつでもつくとは限らない。例えば、量子力学において

ℏ → 0の極限をとると、ある意味で古典力学に近づくが、角運動量の次元が ℏと同じであることを考えると、その際に消失してしまう量子力学に特有の「角運動量」があるかもしれない。量子力学では物理量はエ

ルミート演算子で表され、演算子の (代数的)性質は交換関係によって規定される。そこで、量子力学では、

交換関係 (10.5)を満たす物理量 J

[Ji, Jj ] = i∑k

ϵijkJk ≡ iϵijkJk = iϵijkJk (10.6)

を「角運動量」と定義する。

その際、J は rと pで表されている必要はない。軌道角運動量はいわば公転運動の角運動量であるが、剛

体の自転運動に対応するような角運動量があるかもしれない。質点の極限、あるいは波動性と粒子性を双方

を備える量子力学的な粒子では、自転運動の角運動量はどうなるであろうか？自転運動に完全に対比させる

ことは難しいが、スピン角運動量と呼ばれる量子力学特有の角運動量は存在する。

出席課題 S.10.1 : [Ly, Lz] = iLx を示せ。出席課題 S.10.2 : (a) 軌道角運動量演算子がエルミートであることを示せ。(b) ℏ が角運動量の次

元を持つことを示せ。略解 (a) ℏL†

i =(ϵijkxj pk

)†= ϵijkp

†kx

†j = ϵijkpkxj

(10.2)= ϵijk(−iℏδjk + xj pk)

(10.8)= ϵijkxj pk = ℏLi

(b) ヒント: ℏ の次元は作用の次元と同じである (覚えておくに値する重要事項、だから ℏ (h) のことを

「作用量子」などと呼んだりする)。作用の次元はラグランジアンを時間積分したものと同じである (解析力

学で知っておくべき基本事項)。ラグランジアンの次元がわかれば (基本中の基本)、ℏ の次元が分かる。こ

れが角運動量の次元と同じであることを示せばよい。

*3 正凖交換関係 (10.2) より、[xi, pi] 以外の項はすべて消えることに注目して、(10.3) 式の ∗ のついた等号だけを飛び石のように計算できるようになることを心がけて欲しい、というか、ここで納得して自力で計算できるようになっておいてほしい。

*4 覚え方：レビ・チビタ記号を用いて表現できることからも分かるように、x → y → z → x の円順列の順番になっている。[Lx, Ly ] = iLz だけ覚えておいて、円順列の順番にずらしていくと、[Ly , Lz ] = iLx, [Lz , Lx] = iLy のように得られる。円順列の順番が反転しているような場合には負号がつく。例えば [Lz , Ly ] = −iLx である。

*5 物理数学 CDでは「添字の上下に繰り返しあらわれる添字について和をとる」としていたが、量子力学 Bでは特に断りのない限り、添字の上下にわかれていなくても、くり返しあらわれる添字について和をとると約束する。

*6 ここで、上付添字と下付き添字にわけたのは、見やすさのための便宜上のものである。ただし、相対性理論や、曲がった空間での解析の場合には、上付きと下付きには重要な違いがある。

10.2 角運動量の固有値と固有状態 193

出席課題 S.10.3 : Levi Civita 記号は隣り合う添字同士を交換すると −1が掛かる。1. ϵ123 = 1とする。次の値を求めよ。(1) ϵ231, (2) ϵ312, (3) ϵ321, (4) ϵ213, (5) ϵ132

2. ϵijk の添字で少なくともどれか 2つが同じになると 0になる*7ことを示せ。

3. 任意の ak に対してϵijka

jak = 0 (10.7)

となることを示せ。同様に、任意の Ajk = Akj に対して、

ϵijkAjk = 0, (for Ajk = Akj) (10.8)


4. 次の関係式は極めて有用である。

ϵijkϵilm = δljδ

mk − δmj δlk (10.9)

この関係式を用いて、

[A× (∇×B)]i = A · (∂iB)− (A · ∇)Bi (10.10)

を示せ。略解 1. 割愛。

2. ϵijk = −ϵjik において、i = j とすると、ϵiik = −ϵiik(iについて和は取らない) よって 2ϵiik = 0。

3. ϵijkajak = ϵijka

kaj = −ϵikjakaj∗= −ϵilmalam = −ϵijkajak よって、2ϵijka

jak = 0。ここで ∗のついた等号の計算は飛ばせるようになってほしい。ϵijkAjk = 0 の証明も同様にしてできるので演習

として残しておく。

4. C ≡ (∇×B) とする。すると Ci = ϵijk∂jBk である。よって、Ci の添字を他の添字と混同が起こ

らないように付け替えなければならないことに注意して、

[A× (∇×B)]i = ϵijkAjCk = ϵijkA

j(ϵklm∂lBm) = ϵijkϵklmAj∂lBm = ϵkijϵ

klmAj∂lBm

= (δliδmj − δmi δ

lj)A

j∂lBm = Aj∂iBj −Aj∂jBi

= A · (∂iB)− (A · ∇)Bi (10.11)

演習問題 E.10.1 : [Lz, Lx] = iLy を示せ。

10.2 角運動量の固有値と固有状態

10.2.1 交換関係と同時固有状態

1.5節で説明したとおり、2つの演算子 A, B が可換な場合には、同時固有状態 |a, b⟩が存在して、

A|a, b⟩ = a|a, b⟩, B|a, b⟩ = b|a, b⟩ (10.12)

を満たす*8。ここで、Aとは可換 ([A, C] = 0)であるが、B とは可換でない ([B, C] = 0) 別の演算子 C が

あった場合を考える。この場合には、Aと B の同時固有状態 |a, b⟩、あるいは Aと C の同時固有状態 |a, c⟩は存在するが、A, B, C すべての同時固有状態 |a, b, c⟩は存在しない*9。

*7 例えば ϵ112 = 0*8 これは、A だけ考えた状態 |a⟩は縮退しているが、状態を見分けるために、新たな物理量 B も考慮するとその縮退が解けたとみなすこともできる。

*9 もちろん、[B, C] = 0であれば同時固有状態 |b, c⟩は存在する。


角運動量演算子 J の成分 Ji は (10.6)式の交換関係にしたがい可換ではないが、各成分と角運動量の大き

さの 2乗 J2 の交換関係を調べると、例えば Jx とは、

[Jx, J2] = [Jx, J

2x + J2

y + J2z ] = [Jx, J

2y + J2

z ] = [Jx, J2y ] + [Jx, J

2z ]

(1.45)= Jy[Jx, Jy] + [Jx, Jy]Jy + Jz[Jx, Jz] + [Jx, Jz]Jz

= i(JyJz + JzJy − JzJy − JyJz

)= 0 (10.13)

となって交換する。Jy, Jz についても同様に交換することが示せる。

Note. より一般に、

[Ji, Jj Jj ] = Jj [Ji, J

j ] + [Ji, Jj ]Jj = iJjϵ

ji kJ

k + iϵijkJkJj

= iϵijkJj Jk + iϵijkJ

kJj (10.14)

ここで右辺第 2項で添字の j と k を入れ替えて、レビチビタ記号の性質 ϵikj = −ϵijk を用いると、

[Ji, Jj Jj ] = iϵijkJ

j Jk + iϵikj Jj Jk = iϵijkJ

j Jk − iϵijkJj Jk = 0 (10.15)

となるので交換することが示せる。

角運動量における同時固有状態の組

角運動量の大きさの 2乗 J2 とすべての成分 J i の同時固有状態は存在しないが、J2 とどれか一つの成分

の同時固有状態は存在する。通常、その成分として z 方向の角運動量が選ばれる。すなわち、同時固有状態

|λ,m⟩は

J2|λ,m⟩ = λ|λ,m⟩ (10.16)

Jz|λ,m⟩ = m|λ,m⟩ (10.17)

を満たし、規格化されている⟨λ,m|λ,m⟩ = 1 (10.18)

としよう。

出席課題 S.10.4 : [Jy, J2] = 0 を示せ。

演習問題 E.10.2 : [Jz, J2] = 0 を示せ。

10.2.2 昇降演算子

唐突ではあるが、ここで、2つの演算子

J± = Jx ± iJy (10.19)

を導入する*10。J± はお互いにエルミート共役

J †+ = J−, J †

− = J+, (10.20)

であることに注意しよう。J± のあいだの交換関係は

[J+, J−] = [iJy + Jx, Jx − iJy] = [iJy, Jx] + [Jx,−iJy] = −2i[Jx, Jy] = 2Jz (10.21)

*10 以下に示すように、調和振動子における生成消滅演算子のような役割を持つ。


である。Jz と J± の交換関係は、

[Jz, J±] = [Jz, Jx ± iJy] = [Jz, Jx]± i[Jz, Jy] = iJy ± Jx = ±J± (10.22)

となる。一方、J± は J2 とは可換[J2, J±] = 0 (10.23)

である。

角運動量の大きさの 2乗 J2 と z 成分 Jz の同時固有状態 |λ,m⟩に J± が作用すると、

Jz(J±|λ,m⟩) =([Jz, J±] + J±Jz

)|λ,m⟩

(±J± + J±m

)|λ,m⟩

= (m± 1)J±|λ,m⟩ (10.24)

J2(J±|λ,m⟩) = = J±J2|λ,m⟩ = λJ±|λ,m⟩ (10.25)

となる。すなわち、J+ は角運動量の大きさは変えず Jz の固有値を 1つ増加させるので、J+ を上昇演算子

と呼ぶ。一方、J− は角運動量の大きさは変えず Jz の固有値を 1つ減少させるので下降演算子と呼ばれる。

J± はあわせて昇降演算子と呼ばれることが多い。

状態 |λ,m⟩が規格化されているとき、J+|λ,m⟩ ∝ |λ,m+ 1⟩, J−|λ,m⟩ ∝ |λ,m− 1⟩の規格化について考える。

J†+J+

(10.20)= J−J+ = (Jx − iJy)(Jx + iJy) = J2

x + J2y + i[Jx, Jy]

= J2 − J2z − Jz (10.26)

を用いると、

⟨λ,m|J†+J+|λ,m⟩ = ⟨λ,m|J2|λ,m⟩ − ⟨λ,m|Jz(Jz + 1)|λ,m⟩ = λ−m(m+ 1) (10.27)

となるから、

|λ,m+ 1⟩ = 1√λ−m(m+ 1)

J+|λ,m⟩ (10.28)

とすれば、状態 |λ,m⟩から規格化された |λ,m+ 1⟩を求めることができる。同様に、

J†−J− = J2 − J2

z + Jz (10.29)

であるから、

|λ,m− 1⟩ = 1√λ−m(m− 1)

J−|λ,m⟩ (10.30)

である。

出席課題 S.10.5 : (10.20)-(10.23)式を示せ。角運動量の交換関係を自分なりに納得しておいて、自

力でサクサクと計算できるようになっておくことが重要である。

出席課題 S.10.6 : (10.27)式の導出を参考にして (10.30)式を示せ。


10.2.3 角運動量の固有値のとりうる値

角運動量の固有値のとりうる値について考える。まず、Ji はエルミート演算子であるから、

|Ji|λ,m⟩|2 = ⟨λ,m|J†i Ji|λ,m⟩ = ⟨λ,m|J

2i |λ,m⟩ ≥ 0 (10.31)

これより、0 ≤ ⟨λ,m|(J2

x + J2y )|λ,m⟩ = ⟨λ,m|(J2 − J2

z )|λ,m⟩ = λ−m2 (10.32)

となるのでmには上限mmax および下限mmin が存在する。

mの上限の存在より、|λ,mmax⟩に上昇演算子が作用すると、

J+|λ,mmax⟩ = 0 (10.33)

でなければならない。これより、

0 = J†+J+|λ,mmax⟩

(10.26)= (J2 − J2

z − Jz)|λ,mmax⟩= (λ−mmax(mmax + 1)) |λ,mmax⟩ (10.34)

であるが、|λ,mmax⟩ = 0より (m = mmax までの状態は存在すると仮定している)、

λ = mmax(mmax + 1) (10.35)

である。同様に、mの下限の存在より、

λ = mmin(mmin − 1) = −mmin(−mmin + 1) (10.36)

を導くことができる。これを (10.35)式と比べれば、

j ≡ mmax = −mmin (10.37)

を結論づけることができる。

今後は、(10.37)式で新しく導入した量子数 j を用いて、固有状態を

|λ,m⟩ =⇒ |j,m⟩ (10.38)

のように表すことにする。このとき、(10.35)式より

λ = j(j + 1) (10.39)

である。

ここで、昇降演算子の作用によって固有値mは ±1ずつ変化するから、|j,mmax⟩から n回の下降演算子

J− の作用で |j,mmin⟩になったとすると、

j − n = mmax − n = mmin −→ 2mmax = n, (n : 0または自然数) (10.40)

でなければならないので j = mmax のとりうる値は

j = 0,1

2, 1,

3

2, 3, · · · のいずれか (10.41)


であることが分かる*11。このときmは

m = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j (10.42)

の値をとりうる。j を角運動量量子数、mを磁気量子数と呼ぶ。これより、量子力学において、角運動量の

大きさ J2 およびその成分は連続実数値を取ることはできず、量子化されていることが分かる。

補足：数学的により丁寧な議論

(10.35), (10.36)式より、

mmax(mmax + 1) = mmin(mmin − 1) ⇔ (mmax +mmin)(mmax −mmin + 1) = 0 (10.43)

となるが、mmax −mmin + 1 > 0であるから、

mmin = −mmax (10.44)

でなければならない。これを (10.35), (10.36)式に代入して 2次方程式を解くと、形式解として

mmax = −1

2± 1

2

√1 + 4λ (10.45)

mmin =1

2∓ 1

2

√1 + 4λ (10.46)

が得られるが、λ > 0に注意すれば、mmax ≥ mmin を満たす解は

mmax = −1

2+

1

2

√1 + 4λ (10.47)

mmin =1

2− 1

2

√1 + 4λ = −mmax (10.48)

だけであることが分かる。すなわち、与えられた λに対して、mmax, mminを満たす解はただ一つに定まる。

状態 |λ,mmax⟩に対して、J− を作用させていって、n回目で状態 |λ,mmin⟩になったとすると、

n = mmax −mmin = 2mmax (10.49)

より、mmax ≥ 0 が取りうる値は 0, 12 , 1,

32 , 2, · · · のいずれかである。ここで、j ≡ mmax とおいて、角運

動量の大きさ λの代わりに、mの最大値 j を用いて固有状態を |j,m⟩のように表すことにする。このとき(10.35)式より λ = j(j + 1) である。λが与えられたときに j はただ一つに定まるので、j を状態を区別す

る量子数として用いることが正当化される。

演習問題 E.10.3 : 角運動量量子数 j のとりうる値が 0, 12 , 1,

32 , 2, · · · のいずれかであること、およ

び磁気量子数mのとりうる値がm = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j であること示せ。

10.2.4 角運動量についてのまとめ

λ = j(j + 1)とおけば、以上の結果は次のようにまとめられる。

J2|j,m⟩ = j(j + 1)|j,m⟩ (10.50)

Jz|j,m⟩ = m|j,m⟩ (10.51)

J+|j,m⟩ =√j(j + 1)−m(m+ 1)|j,m+ 1⟩ =

√(j −m)(j +m+ 1) |j,m+ 1⟩ (10.52)

J−|j,m⟩ =√j(j + 1)−m(m− 1)|j,m− 1⟩ =

√(j +m)(j −m+ 1) |j,m− 1⟩ (10.53)

*11 10.5節 (および 10.5.5節)で判明することであるが、軌道角運動量の場合には j は整数値 j = 0, 1, 2, · · · しかとりえない。それでは半自然数の j は何に対応しているかというと、12章で取り扱うスピン角運動量である。


ここで j のとりうる値は 0以上の整数または半整数

j = 0,1

2, 1,

3

2, 3, · · · (10.54)

であり、与えられた j に対してmは

m = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j (10.55)

の 2j + 1個の値をとりうる。例えば、j = 1/2のとき、λ = 3/4で、mのとり得る値はm = −1/2, 1/2である。(10.52), (10.53)式によって、J+|j, j⟩ = 0, J−|j,−j⟩ = 0が保証されている。

調和振動子の場合と同様に、昇降演算子の作用によって、|j, j⟩あるいは |j,−j⟩が求められれば、任意の状態を

|j,m⟩ =

√(j +m)!

(2j)!(j −m)!

(J−

)j−m

|j, j⟩ (10.56)

|j,m⟩ =

√(j −m)!

(2j)!(j +m)!

(J+

)j+m

|j,−j⟩ (10.57)

によって求めることができる。

これらは、角運動量演算子 J が持つ普遍的な関係式である。すなわち、軌道角運動量 Lもスピン S も上

記の関係式を満たす。

演習問題 E.10.4 : (10.56),(10.57)式を示せ。略解 (10.53)式を用いると、

|j, j − 1⟩ = 1√2j

1√1(J−)

1|j, j⟩ , |j, j − 2⟩ = 1√2j(2j − 1)

1√1 · 2

(J−)2|j, j⟩ , · · · , (10.58)

より、

|j, j − l⟩ = 1√2j(2j − 1) · · · 2j − (l − 1)

1√1 · 2 · · · l

(J−)l|j, j⟩ (10.59)

ここで l = j −mとすると、

|j,m⟩ = 1√2j(2j − 1) · · · (j +m+ 1)

1√1 · 2 · · · (j −m)

(J−)j−m|j, j⟩

=1√

2j(2j − 1) · · · (j +m+ 1)

√(j +m)!

(j +m)!

1√(j −m)!

(J−)j−m|j, j⟩

=

√(j +m)!

(2j)!(j −m)!(J−)

j−m|j, j⟩

(10.57) 式も同様にして導出できるので、各自で示すこと。

10.3 角運動量の行列表示

量子力学はその黎明期に行列力学とも呼ばれた。それは量子力学の関係式が行列で表せるからである。行

列表示は、調和振動子や角運動量など、固有値が離散的な場合に有用で、角運動量のように、固有値のとる

値が有限である場合には特に有効である。1.4節で補足事項として説明したが、以下では角運動量の行列表

示に必要な事項をまとめる*12。

*12 1.4節で補足事項を必ず予習・復習しておくこと。

10.3 角運動量の行列表示 199

10.3.1 行列表示

行列要素

Schrodinger 方程式H|ψ⟩ = E|ψ⟩ (10.60)

に |ψ⟩を規格直交化された (エネルギー固有状態とは限らない)ある完全系 |α⟩で展開した

|ψ⟩ =∑α

cα|α⟩ (10.61)

を代入して、左から ⟨β|を作用させると、∑α

⟨β|H|α⟩cα = E∑α

⟨β|α⟩cα = E∑α

δβαcα = Ecβ (10.62)

となる。ここでHβα ≡ ⟨β|H|α⟩ (10.63)

と定義すると、この方程式は行列方程式

∑α

Hβαcα =

H11 H12 H13 · · ·H21 H22 H23 · · ·...

......

. . .

c1

c2...

= E

c1c2...

= E cβ (10.64)

の形にあらわされる。これはエルミート行列 (Hmn)の固有値と固有ベクトルを求める問題である。ここで、

Hβα = ⟨β|H|α⟩ を完全系 |α⟩ を基底に選んだ場合の行列要素という。本講義ノートでは、演算子の行列表示には ^ (ハット)を付けないこととする。

完全系 |α⟩ を基底に選んだので、これらを

|1⟩ =

10...

, |2⟩ =

01...

, · · · , (10.65)

のように縦ベクトルで表現しよう。このとき、任意の状態 |ψ⟩について、展開 (10.61)より、

|ψ⟩ = c1|1⟩+ c2|2⟩+ · · · = c1

10...

+ c2

01...

+ · · · =

c1c2...

(10.66)

となるので、状態ベクトル |ψ⟩ を基底 |α⟩ の下で成分表示することができる*13。

*13 これまでの議論から、行列と縦ベクトルの掛け算は、ある演算子 (今の例ではハミルトニアン H)のある状態ベクトル |ψ⟩ への作用を、ある基底 |α⟩の下で記述したことに対応することが分かる。このように、行列の背後にはそれに対応する演算子 (線形操作)が必ず存在する。例えば、基底の回転操作には回転行列が対応するし、楕円を円に変形する操作も行列を用いて表現できる。より抽象的な操作も行列で表現可能である。だから、線形代数では行列だけではなくと線形空間などの抽象的な事項も学ぶ必要があったのである。


エネルギー固有状態の下での行列表示

ここで、完全系 |α⟩ としてエネルギー固有状態 |n⟩ を選ぼう。この場合には、ハミルトニアンは|n⟩の下で対角化されているはずである。実際、

Hmn = ⟨m|H|n⟩ = En⟨m|n⟩ = Enδmn (10.67)

となるので、エネルギー固有状態を基底に選んだ場合、ハミルトニアンの行列要素は確かに対角化されて

いる。

一方、エネルギー固有状態とは異なる完全系 |α⟩ の下では、ハミルトニアンは一般に対角化されない。このことを具体的に確かめてみよう。完全系 |α⟩ のベクトル |α⟩, |β⟩をエネルギー固有状態で

|α⟩ =∑n

αn|n⟩, |β⟩ =∑n

βn|n⟩ (10.68)

と展開しよう。完全系 |α⟩ の下でのハミルトニアンの行列要素は、

Hαβ ≡ ⟨α|H|β⟩ =

[∑m

α∗m⟨m|

]H

[∑n

βn|n⟩

]=∑n

∑m

α∗m⟨m|H|n⟩βn

=∑n

∑m

α∗mβnEnδmn =

∑n

α∗nβnEn (10.69)

となるので、これは一般に対角化されていない (δαβ の定数倍になっていない)。

尚、(10.69)式の結果は、次のような行列操作として理解できる。

Hαβ = ⟨α|1H 1|β⟩ = ⟨α|

[∑m

|m⟩⟨m|

]H

[∑n

|n⟩⟨n|

]|β⟩

=∑m

∑n

⟨α|m⟩⟨m|H|n⟩⟨n|β⟩ (10.70)

において、⟨m|H|n⟩はエネルギー固有状態の下でのハミルトニアンの行列要素であり、対角成分にエネルギー固有値を持つ対角行列である。⟨α|m⟩, ⟨n|β⟩は、状態 ⟨α|, |β⟩ のエネルギー固有状態表示 (での波動関

数)であり、今の場合には、(10.68)式より、展開係数 α∗m, βn である。これらをそのまま行列表示すれば、

Hαβ =(α1 α2 · · ·

)∗ E1 0 · · ·0 E2 · · ·...

.... . .

β1

β2...

(10.71)

となる。これは「⟨α| と |β⟩ で H をはさむ」という直感的な操作とも一致する結果である。

任意の演算子への一般化

ハミルトニアンの行列要素を考える場合には、エネルギー固有状態を基底に選ぶとハミルトニアンが対角

化されるため何かと都合がよい。一方、別の物理量*14(演算子)Aの行列要素を考える場合には、Aの固有

状態 |α⟩を基底に選ぶと都合が良い場合も多い。Aの固有値を Aα とあらわすと、

Aβα ≡ ⟨β|A|α⟩ = Aα⟨β|α⟩ = Aαδαβ (10.72)

*14 例えば、角運動量 J。

10.3 角運動量の行列表示 201

となって、基底 |α⟩ の下で Aは対角化されている。

角運動量の場合には、基底として J2, Jz の同時固有状態 |j,m⟩を選んだ場合、J2, Jz の行列要素は対角

化されるが、Jx, Jy の行列要素は対角化されない。これらについて具体的に求めるのが次節で取り扱う問題

である。

10.3.2 角運動量量子数 j = 1の場合

角運動量量子数 j = 1の場合に、角運動量演算子の行列表示について考える。基底状態ベクトルとして、

J2, Jz の同時固有状態 |j,m⟩を選ぶ。Jz の固有値 (磁気量子数)のmとりうる値はm = 1, 0, −1であり、それぞれに対応する固有ベクトルを

|1⟩ = |j = 1, m = 1⟩ =

100

, |2⟩ = |j = 1, m = 0⟩ =

010

,

|3⟩ = |j = 1, m = −1⟩ =

001

(10.73)

とする。

このとき、J2 と Jz の行列表示は、(10.50), (10.51)式から、

J2 = ⟨j,m|J2|j,m′⟩ =

⟨1|J2|1⟩ ⟨1|J2|2⟩ ⟨1|J2|3⟩⟨2|J2|1⟩ ⟨2|J2|2⟩ ⟨2|J2|3⟩⟨3|J2|1⟩ ⟨3|J2|2⟩ ⟨3|J2|3⟩

= j(j + 1)δmm′ = 2

1 0 00 1 00 0 1

(10.74)

Jz = ⟨j,m|Jz|j,m′⟩ = mδmm′ =

1 0 00 0 00 0 −1

(10.75)

と行列表示され、確かに対角化されている。

出席課題 S.10.7 : 基底状態ベクトルとして、J2, Jz の同時固有状態 |j,m⟩を選ぶ。j = 1の場合に

J2, Jz の行列表示を求めよ。演習問題 E.10.5 : 基底状態ベクトルとして、J2, Jz の同時固有状態 |j,m⟩を選ぶ。j = 1の場合に

Jx を行列表示し、固有値と固有ベクトルを求めよ。略解 Jx を昇降演算子で表すと、

Jx = (J+ + J−)/2 (10.76)

となる。(10.52), (10.53)式を用いれば、

⟨j,m|Jx|j,m′⟩ = 1

2

[⟨j,m|J+|j,m′⟩+ ⟨j,m|J−|j,m′⟩

]=

1

2

[√j(j + 1)−m′(m′ + 1)⟨j,m|j,m′ + 1⟩

+√j(j + 1)−m′(m′ − 1)⟨j,m|j,m′ − 1⟩

]=

1

2

[√j(j + 1)−m′(m′ + 1)δm,m′+1 +

√j(j + 1)−m′(m′ − 1)δm,m′−1

](10.77)


となる。j = 1の場合、

⟨j,m|Jx|j,m′⟩ = 1

2

[√2−m′(m′ + 1)δm,m′+1 +

√2−m′(m′ − 1)δm,m′−1

](10.78)

であり、m,m′ のとりえる値は −1, 0, 1であるから、Jx の行列表示は、

Jx =1√2

0 1 01 0 10 1 0

(10.79)

となる。

Jx の固有値方程式Jx|j,mx⟩ = mx|j,mx⟩ (10.80)

において、Jx の固有状態 |j,mx⟩を、Jz の固有状態 |n⟩ ≡ |j,m⟩で

|j,mx⟩ =j∑

mz=−j

Cmz |j,m⟩ =2j+1∑n=1

Cn|n⟩ (10.81)

と展開し、これを行列表示すると、行列方程式 −mx1√2

01√2

−mx1√2

0 1√2

−mx

C1

C2

C3

= 0 (10.82)

が得られる。Ci = 0以外の解が存在するためには、永年方程式∣∣∣∣∣∣∣−mx

1√2

01√2

−mx1√2

0 1√2

−mx

∣∣∣∣∣∣∣ = −m3x +mx = 0 (10.83)

が成り立つ必要がある。これより、確かに Jx の固有値も mx = −1, 0, 1になっていて、Jx を観測した場

合に得られる測定値はそのいずれかである。

固有ベクトルを計算する。mx = 0の固有値に対しては、C2 = 0, C3 = −C1 であるから、(10.81)式よ

り、規格化された状態は、

|j = 1, mx = 0⟩ = 1√2( |1⟩ − |3⟩) = 1√

2

10−1

(10.84)

である。同様にして、固有値mx = 1, mx = −1に対する固有ベクトルは

|j, mx = 1⟩ = 1

2( |1⟩+

√2|2⟩+ |3⟩) = 1

2

1√21

|j, mx = −1⟩ = 1

2( |1⟩ −

√2|2⟩+ |3⟩) = 1

2

1

−√2

1

(10.85)

となる。直接計算で簡単に確かめられるように、これらの固有ベクトルは直交している。

演習問題 E.10.6 : J2, Jz の同時固有状態を基底に選ぶ。j = 1の場合に Jy を行列表示し、固有値と固有ベクトルを求めよ。

ヒント Jy の行列表示は

Jy =1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

(10.86)

となるはずである。

10.4 発展：無限小回転と角運動量演算子 203

10.3.3 角運動量量子数 j = 3/2の場合

加点問題 P.10.1: j = 3/2 の場合に基底を J2 と Jz の同時固有状態にとる。このとき J2, Ji, (i =

x, y, z))の行列表示を求めよ。答え J2, Jz については (10.50), (10.51)式から直ちに求まる。Jx, Jy は、

Jx =1

2

0

√3 0 0√

3 0 2 0

0 2 0√3

0 0√3 0

, (10.87)

Jy =i

2

0 −

√3 0 0√

3 0 −2 0

0 2 0 −√3

0 0√3 0

(10.88)

10.4 発展：無限小回転と角運動量演算子

10.4.1 回転の生成子としての角運動量

無限小平行移動と運動量演算子が対応していたのと同様に、無限小回転には角運動量演算子が対応する。

系を z 軸の回りに角度 θ 回転する演算子を Rz(θ)とする。回転によって状態ベクトルの大きさは変わらな

いから、||Rz(θ)|ψ⟩|| = ⟨ψ|R†

z(θ)Rz(θ)|ψ⟩ = ⟨ψ|ψ⟩ (10.89)

よりR†

z(θ)Rz(θ) = 1 (10.90)

となるので、Rz(θ)はユニタリ演算子である。また、回転の合成則*15

Rz(θ1)Rz(θ2) = Rz(θ1 + θ2) (10.91)

において、θ2 = −θ1 とすると、Rz(0) = 1に注意して、

R†z(θ) = Rz(−θ) (10.92)

が得られる。

ここで θが無限小の場合 (無限小回転)、

Rz(θ) = 1− iθJz (10.93)

を満たすエルミート演算子 Jz が存在する*16。Jz がエルミート演算子であることは、Rz(θ)のユニタリ性

から、R†

z(θ)Rz(θ) =(1 + iθJ†

z

)(1− iθJz

)= 1 + iθ(J†

z − Jz) = 1 (10.94)

が満たされなければならないので、J†z = Jz (10.95)

*15 これはまったく幾何学的なものであり、回転の定義とも呼べるものである。*16 本来は Rz(θ) = 1− iθJzℏであるが、この講義ノートでは J の定義に ℏを組み入れていることに注意。


となるから必要である。θ が有限の場合には、(2.140)式を示したのと同様に、

Rz(θ) = e−iθJz (10.96)

となる。

演算子 (10.93)が実際に z 軸まわりの回転を与えることを、軌道角運動量

ℏJz −→ ℏLz = xpy − ypx (10.97)

の場合に示そう。位置の状態ベクトルに作用させると、(1− iθLz

)|x⟩ = |x⟩ − iθ

ℏ(xpy − ypx)|x⟩ = |x, y, z⟩ − θ

(x∂

∂y− y ∂

∂x

)|x, y, z⟩

= |x+ θy, y − θx, z⟩ (10.98)

となるので、確かに z 軸まわりの回転となっている。

運動量演算子と空間並進が対応していたように、角運動量は (空間)回転と対応している。量子力学では、

z 軸まわりの無限小回転に関連して (10.93)にあらわれた演算子 Jz を角運動量演算子の z 方向成分とみな

す。すなわち、Jz は回転の生成子となっている。同様に、x軸、y 軸まわりの無限小回転に付随して Jx, Jy

がRx(θ) = 1− iθJx, Ry(θ) = 1− iθJy (10.99)

によって導入される。

10.4.2 角運動量演算子の交換関係

角運動量の成分は互いに交換しなかったが、実は、これは幾何学的な理由による。すなわち、たとえば x

軸まわりの回転のあと続けて y 軸まわりの回転を行うことが、その順番を逆にした操作と同じにならないよ

うに、回転操作の非対称性によるものなのである。これをみるために、2つの演算子(1− iθxLx

)(1− iθyLy

),

(1− iθyLy

)(1− iθxLx

)(10.100)

の位置の状態ベクトルへの作用を比較する。以下では、回転操作の順番に注目するため、θxθy の項は残し

て計算を進める。ただし、θ2x, θ2y の項は無視する。すると、(

1− iθxLx

)(1− iθyLy

)|x⟩ =

(1− iθxLx

)[1− θy

(z∂

∂x− x ∂

∂z

)]|x⟩

=(1− iθxLx

)|x− θyz, y, z + θyx⟩

=

[1− θx

y∂

∂z− (z + θyx)

∂

∂y

]|x− θyz, y, z + θyx⟩

= |x− θyz, y + θx(z + θyx), z + θyx− θxy⟩ (10.101)(1− iθyLy

)(1− iθxLx

)|x⟩ =

(1− iθyLy

)[1− θx

(y∂

∂z− z ∂

∂y

)]|x⟩

=

[1− θy

(z − θxy)

∂

∂x− x ∂

∂z

]|x, y + θxz, z − θxy⟩

= |x− θy(z − θxy), y + θxz, z + θyx− θxy⟩ (10.102)

となるため、一致しない。

10.5 軌道角運動量の固有値と固有関数 205

ここで、x軸、y軸まわりの回転の後に、さらに z 軸まわりの回転をおこなって、y軸、x軸まわりの順番

の回転の結果と一致させることを考える。(1− iθzLz

)(1− iθyLy

)(1− iθxLx

)|x⟩

=

[1− θz

([x− θy(z − θxy)]

∂

∂y− [y + θxz]

∂

∂x

)]|x− θy(z − θxy), y + θxz, z + θyx− θxy⟩

= |x− θy(z − θxy) + θz(y + θxz), y + θxz − θz[x− θy(z − θxy)], z + θyx− θxy⟩= |x− z(θy − θxθz) + y(θxθy + θz), y + z(θx + θyθz)− xθz, z + θyx− θxy⟩ (10.103)

であるから、θz = −θxθy とすれば、θ の 2次まででは、(1− iθzLz

)(1− iθyLy

)(1− iθxLx

)= |x− zθy, y + zθx + xθxθy, z + θyx− θxy⟩ (10.104)

となって両者は一致する。すなわち、(1− iθxLx

)(1− iθyLy

)=(1 + iθxθyLz

)(1− iθyLy

)(1− iθxLx

)(10.105)

である。この両辺を展開して θxθy の項を比較することにより、交換関係

[Jx, Jy] = iJz (10.106)

が得られる。同様にして、[Jy, Jz] = iJx, [Jz, Jx] = iJy (10.107)


運動量演算子の場合と同じく、角運動量は回転変換の生成子となっており、ハミルトニアンに回転対称性

がある場合、系の角運動量が保存する。

加点問題 P.10.2 : 2.7節の運動量と並進対称性の議論に倣い、ハミルトニアンに回転対称性がある

場合、系の角運動量が保存することを示せ。

10.5 軌道角運動量の固有値と固有関数

これまでの議論は、角運動量の定義、すなわち交換関係 (10.6)にしたがう (広義の)角運動量に関するも

のであった。これに対して、軌道角運動量 (10.1)の場合には、角運動量量子数 j のとる値は 0または正の

整数に限られ、半整数 1/2, 3/2, · · · は許されない。以下では具体的に軌道角運動量の固有関数を求め、このことを示そう。

10.5.1 準備：極座標表示

極座標系

軌道角運動量 L = −ix×∇を 3次元極座標で表す。極座標とデカルト座標の関係は、

x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ (10.108)

である。任意の位置座標

r = xex + yey + zez = r sin θ cosφex + r sin θ sinφey + r cos θez (10.109)


について、これを極座標の基底ベクトルで表せば r = rer になるべきことから、

er = sin θ cosφex + sin θ sinφey + cos θez (10.110)

である。また、作図すると容易に分かるように、

eφ = − sinφex + cosφey (10.111)

である。eθ は er と eφ の両方に直交し、eφ から er に向かって右ネジを回すと進む方向を向いているから、

eθ = eφ × er

= (− sinφex + cosφey)× (sin θ cosφex + sin θ sinφey + cos θez)

= − sinφex × (sin θ sinφey + cos θez) + cosφey × (sin θ cosφex + cos θez)

= − sin θ sin2 φez + sinφ cos θey − sin θ cos2 φez + cosφ cos θex

= cos θ cosφex + cos θ sinφey − sin θez (10.112)

である*17。これらは曲線直交座標系になっていることを確かめることができる。

ei · ej = δij , ei × ej = ϵijkek, (i, j, k = r, θ, φ) (10.113)

あとは単純計算で、

∂er∂θ

= eθ,∂eθ∂θ

= −er,∂eφ∂θ

= 0,

∂er∂φ

= sin θeφ,∂eθ∂φ

= cos θeφ,∂eφ∂φ

= − sin θer − cos θeθ

(10.114)

を示すことができる。これらを用いると、

dr = d(rer) = drer + rder = drer + r

(∂er∂θ

dθ +∂er∂φ

dφ

)= dr er + rdθ eθ + r sin θdφ eφ (10.115)

が得られる。

スカラー場の全微分が、極座標では

df = (∇f) · dr = (∇f) · (dr er + rdθ eθ + r sin θdφ eφ)

=∂f

∂rdr +

∂f

∂θdθ +

∂f

∂φdφ (10.116)

となるべきことから*18、∇f = a(∂rf)er+ b(∂θf)eθ+ c(∂φf)eφとおいて代入し、係数 a, b, cを決定すると

∇f = er∂f

∂r+ eθ

1

r

∂f

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂f

∂φ(10.117)

であることが導ける*19。これより、極座標において

∇ → er∂

∂r+ eθ

1

r

∂

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂

∂φ(10.118)

*17 暗記していてもよいが、ベクトル解析を学んだからには、ここまでは”そら”で導出できるようになっていてほしい。この他に必要になるのは、基本的に単純計算だけである

*18 物理数学 C・D講義ノート 1章を参照。*19 物理数学 C・D講義ノート 1章の演習問題参照。


軌道角運動量演算子の位置表示 (極座標)

これらより、軌道角運動量 ℏL = r × p の位置表示 ℏL = r × (−iℏ∇) を極座標であらわすと、(10.118)

式より

L = −irer ×(er

∂

∂r+ eθ

1

r

∂

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂

∂φ

)= −i

(eφ

∂

∂θ− eθ

1

sin θ

∂

∂φ

)(10.119)

となる*20。ここで er × eθ = eφ, eφ × er = eθ を用いた。(10.111), (10.112)式を代入すると、

L = i

[ex

(sinφ

∂

∂θ+ cot θ cosφ

∂

∂φ

)+ ey

(− cosφ

∂

∂θ+ cot θ sinφ

∂

∂φ

)− ez

∂

∂φ

](10.120)

となる。これより、Lx, Ly, Lz を極座標を採用して位置表示したものが、

Lx = i

(sinφ

∂

∂θ+ cot θ cosφ

∂

∂φ

)(10.121)

Ly = i

(− cosφ

∂

∂θ+ cot θ sinφ

∂

∂φ

)(10.122)

Lz = −i ∂∂φ

(10.123)

であることが分かる*21。

L2 の極座標表示は、(10.119)式を 2乗して、

L2 = −[eφ

∂

∂θ− eθ

1

sin θ

∂

∂φ

]·[eφ

∂

∂θ− eθ

1

sin θ

∂

∂φ

]= − ∂2

∂θ2− cot θ

∂

∂θ− 1

sin2 θ

∂2

∂φ2

= − 1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)− 1

sin2 θ

∂2

∂φ2(10.124)

となる。この計算は、eθ, eφ が (θ, φ)に依存することに注意して、慎重に行う必要がある。例えば

eθ ·1

sin θ

∂

∂φ

(eφ

∂

∂θ

)= eθ ·

1

sin θ

[eφ

∂2

∂φ∂θ+∂eφ∂φ

∂

∂θ

]= 0− eθ ·

1

sin θ(sin θ er + cos θ eθ)

∂

∂θ

= − cot θ∂

∂θ(10.125)

のような計算を遂行する必要がある。(10.123), (10.124)式から分かるように、軌道角運動量は角度及びそ

の微分で表され, 動径座標 r を含まない。

任意課題作図して (10.111)の関係を示し、eθ = eφ × er であることを説明せよ。

任意課題 (10.110), (10.111), (10.112)式を (10.113)式に代入して具体的に計算し、極座標系が曲

線直交座標系であることを示せ。

任意課題 (10.124)式を示せ。

*20 er × er = 0であるため、r 方向は消えてしまい (10.119)式の最終結果は正しものになっているが、途中計算はじつは正しく

ない。r 方向の運動量演算子 pr がエルミート演算子であるためには、その位置表示は pr →ℏi∂r ではなく、pr =

1

rprr とし

てエルミート化された pr →ℏi

1

r∂rr でなければならない。11.3節の議論参照。

*21 これらはエルミート演算子になっている。


10.5.2 演算子 Lz の固有関数

軌道角運動量演算子の固有関数は、Lz と L2 の同時固有状態 (を位置表示したもの)である。軌道角運動

量の演算子 Lz と L2 は角度とその微分で表され、動径座標 r を含まない。したがって、その固有関数は

(θ, φ)のみの関数である。軌道角運動量の大きさ L2 の固有値のラベルを l で表すことにする。位置表示に

おける軌道角運動量演算子 Lz と L2 の同時固有関数を ⟨x|l,m⟩ = Ylm(θ, φ) と表す。

Note. 軌道角運動量の演算子 Lz と L2 が動径座標 r によらないことから、任意の関数 R(r) に対して

R(r)Ylm(θ, φ)も同時固有状態となる。

Lz の固有関数の具体形

Lz についての固有値方程式 (極座標による位置表示)

Lz|l,m⟩ = m|l,m⟩ (10.123)=⇒ −i ∂

∂φYlm(θ, φ) = mYlm(θ, φ) (10.126)

において、Ylm(θ, φ) = Θlm(θ)Φlm(φ) (10.127)

と変数分離できるとすると、微分方程式から直ちに、Φlm(φ) = Aeimφ であることが分かる。極座標におけ

る φ積分で

1 =

∫ 2π

0

dφΦ∗lm(φ)Φlm(φ) = 2π|A|2 (10.128)

と規格化されているとすると、規格化因子は A = 1/√2π である。よって、Lz の固有関数は

Φlm(φ) =1√2πeimφ (10.129)

である。

軌道角運動量量子数 lのとりうる値

ここで、波動関数の座標 φに対する 1価性

Ylm(θ, φ) = Ylm(θ, φ+ 2π) (10.130)

を要求すると ei2πm = 1 でなければならないことが直ちに分かる。これより、軌道角運動量の磁気量子数

mは整数でなければならないことが結論づけられる。

軌道角運動量の角運動量量子数 lに対して、mのとる値は

m = −l, −l + 1, · · · − 1, 0, 1, · · · , l − 1, l (10.131)

の (2l+ 1)個であった。これより、mが整数であるという事実は、軌道角運動量量子数 lも整数でなければ

ならないことを意味する。さらに、L2 の正値性から、L2 の固有値には l(l + 1) ≥ 0が要求されていた。以

上の事実をまとめれば、軌道角運動量量子数 lのとり得る値は 0または正の整数、すなわち

l = 0, 1, 2, · · · (10.132)

であり、半整数値をとることは許されないことが結論付けられる*22。

*22 入門的な教科書ではこのように説明されている場合が多い。しかしながら、量子力学で要求されるのは、確率密度の 1 価性で


10.5.3 演算子 L2 の固有関数とルジャンドルの陪多項式

次に、L2 の固有関数を求めよう。そのためには、

L2|l,m⟩ = l(l + 1)|l,m⟩ (10.133)

を解かなければならない。

Θlm(θ)の具体形：ルジャンドルの陪多項式

(10.124) 式の表式を用いて極座標における位置表示をとり、さらに、変数分離型 (10.127) を代入して

(10.126)を用いると、

−[

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)− m2

sin2 θ

]Θlm = l(l + 1)Θlm (10.134)

となる。ここで、ξ = cos θと変数変換すると、(10.134)式は、

(1− ξ2)d2Θlm

dξ2− 2ξ

dΘlm

dξ+

[l(l + 1)− m2

1− ξ2

]Θlm = 0 (10.135)

と変形できる。これはルジャンドル (Legendre)の陪微分方程式として知られており、その解は、ルジャ

ンドルの陪多項式 (10.251)

Pml (ξ) =

(−1)l

2ll!

(√1− ξ2

)m d l+m

dξl+m(1− ξ2)l (10.136)

で与えられることが知られている*23。ルジャンドルの陪多項式については 10.B節に最低限必要な基本事項

をまとめてある*24。

(10.136) 式は規格化されていないので、規格化定数を A として、極座標における θ 積分で規格化する。

ξ = cos θであったことに注意して、

1 = |A|2∫ π

0

sin θdθ Pml (cos θ)Pm

k (cos θ) = |A|2∫ −1

1

d(− cos θ)Pml (cos θ)Pm

k (cos θ)

= |A|2∫ 1

−1

dξPml (ξ)Pm

k (ξ) (10.137)

となる。ここで、ルジャンドルの陪多項式の直交関係式 (10.262)∫ 1

−1

dξ Pml (ξ)Pm

k (ξ) =2

2l + 1

(l +m)!

(l −m)!δlk (10.138)

を用いると、(−1)k のような 2乗して 1になる自明の定数部分を除いて、規格化定数が

A =

√2l + 1

2

(l −m)!

(l +m)!(10.139)

あって、状態の 1 価性ではない。実際、スピン 1/2 の固有関数は φ に対して 2 価であるが、確率密度は 1 価になっている。10.5.5節で、軌道角運動量の場合に l のとり得る値が整数であることを波動関数の 1価性に頼らない議論で示す。

*23 ルジャンドルの随伴多項式とも呼ばれる。*24 より詳細については、例えば蓬田清「演習形式で学ぶ特殊関数・積分変換入門」(共立出版) などを参照せよ。


と決まる。これより、

Θlm(θ) =

√2l + 1

2

(l −m)!

(l +m)!Pml (ξ)

=(−1)l

2ll!

√2l + 1

2

(l −m)!

(l +m)!

(√1− ξ2

)m d l+m

dξl+m(1− ξ2)l (10.140)

である。

ルジャンドルの陪多項式の対称性を考慮した表式

ここで、Θlm の従う微分方程式 (10.134)はmの正負に依らず同型であるから、θ 方向の波動関数は

Θl,−m = Θlm = Θl|m| (10.141)

を満たさなければならない。この関係式が満たされるためには、先ほどは考慮しなかった 2乗して 1になる

自明の係数 (Cm とする)を加える必要がある：

Θlm(θ) = Cm

√2l + 1

2

(l −m)!

(l +m)!Pml (ξ). (10.142)

係数 Cm は以下のようにして決められる。まず、(10.142)式において m = −m とすれば、

Θl,−m(θ) = C−m

√2l + 1

2

(l +m)!

(l −m)!P−ml (ξ) (10.143)

である。一方、ルジャンドルの陪多項式の対称性 (10.256)

P−ml (ξ) = (−1)m (l −m)!

(l +m)!Pml (ξ) (10.144)

を考慮すると、(10.140)第 1式より、

Θl,m(θ) = Cm(−1)−m

√2l + 1

2

(l +m)!

(l −m)!P−ml (ξ) (10.145)

が得られる。これを (10.143)式と比べて、対称性 (10.141)が成り立つためには、係数 Cm が

Cm = (−1)m+|m|

2 = (−1)(m+|m|)/2 (10.146)

となっていればよい。実際、この場合には、

C−m = (−1)(−m+|m|)/2 = Cm(−1)−m (10.147)

であるので、(10.143), (10.145)式は係数を含めて一致し、対称性 (10.141)が満たされる。

以上をまとめれば、角度方向の波動関数で、対称性 (10.141)を満たす解は、

Θlm(θ) = (−1)(m+|m|)/2

√2l + 1

2

(l − |m|)!(l + |m|)!

P|m|l (ξ) (10.148)

で与えられることが分かる。


-0.1-0.05

0 0.05

0.1-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

z

x

y

z

図 10.1 球面調和関数 Y0,0(θ, φ)の概形。|Yl,m|2 の表面をプロットしている。

10.5.4 軌道角運動量の同時固有関数と球面調和関数

Lz の固有関数 Φlm(φ)と L2 の固有関数 Θlm(φ)とあわせると、軌道角運動量の固有関数 Ylm(θ, φ)は、

Yl,m(θ, φ) = Θlm(θ)Φlm(φ)

= (−1)(m+|m|)/2

√2l + 1

4π

(l − |m|)!(l + |m|)!

P|m|l (ξ)eimφ

= (−1)(m+|m|)/2 (−1)l

2ll!

√2l + 1

4π

(l − |m|)!(l + |m|)!

(√1− ξ2

)|m|eimφ d l+|m|

dξl+|m| (1− ξ2)l

(10.149)

となる*25。この Yl,m(θ, φ)を球面調和関数という*26。

球面調和関数の直交関係式と完全性関係式

ルジャンドルの陪多項式の直交性 (10.262)より、球面調和関数は直交関係式∫dΩY ∗

l′,m′(θ, φ)Yl,m(θ, φ) =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ Y ∗l,m(θ, φ)Yl,m(θ, φ) = δl′lδm′m (10.150)

を満たすことが示される。さらに、本講義ノートでは証明を割愛するが、球面調和関数は完全性関係式 (閉

包関係)∞∑l

l∑m=−l

Y ∗l′,m′(θ′, φ′)Yl,m(θ, φ) = δ(Ω′ − Ω) =

δ(θ′ − θ)δ(φ′ − φ)sin θ

(10.151)

も満たすことを示すことができる。

演習問題 E.10.7 : 球面調和関数に対して、

*25 代数的手法による導出も可能である。これについては 10.5.6節参照。*26 ルジャンドルの陪関数の定義には、教科書によって定数倍の不定性があるようなので、注意が必要である。ルジャンドルの陪関数および球面調和関数については原島鮮「初等量子力学」(裳華房) の 12.6節、12.7節も参照のこと。


-0.2-0.1

0 0.1

0.2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

z

x

y

z

-0.1-0.05

0 0.05

0.1-0.1

-0.05

0

0.05

0.1-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

z

x

y

z

図 10.2 球面調和関数 Y1,0 (左図) および Y1,±1 (右図)の概形。|Yl,m|2 の表面をプロットしている。

1. Y0,0 =1√4πであることを示せ。

2. l = 1 の場合には m = −1, 0, 1 が許される。Y1,0 ∝ cos θ, Y1,±1 ∝ sin θ を具体的に書き

下せ。

3. 座標 x, y, z の極座標表示を rY1,m の線形結合で表せ。

4. l = 2の場合の球面調和関数を求めよ。略解球面調和関数 (10.149)式に l,mを代入すれば良い。|Y0,0(θ, φ)|2 の概要を図 10.1に示す。

1. 0の階乗が 0! = 1であること、および l = 0のとき∂l−m

∂ξl−m

(1− ξ2

)l= 1であること注意すれば直ち

に得られる。

2. 前問と同様に、

Y1,0(θ, φ) =

√3

4πcos θ, Y1,±1(θ, φ) = ∓

√3

8πsin θ e±iφ (10.152)

|Y1,m(θ, φ)|2 の概要を図 10.1に示す。

3. x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ より、

x = −r√

4π

3

1√2(Y1,1 − Y1,−1)

y = −r√

4π

3

1

i√2(Y1,1 + Y1,−1)

z = r

√4π

3Y1,0

4. l = 2の場合の球面調和関数は

Y2,0 =1√2π

√10

4(3 cos2 θ − 1), (10.153)

Y2,±1 = ∓ 1√2π

√15

2sin θ cos θ e±iφ, (10.154)

Y2,±2 =1√2π

√15

4sin2 θ e±2iφ (10.155)

となる。|Y2,m(θ, φ)|2 の概要を図 10.1に示す。


-0.4-0.2

0 0.2

0.4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

z

x

y

z

-0.1-0.05

0 0.05

0.1

-0.1-0.05

0 0.05

0.1-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

z

x

y

z

-0.1-0.05

0 0.05

0.1

-0.1-0.05

0 0.05

0.1-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

z

x

y

z

図 10.3 球面調和関数 Y2,0 (上左図), Y2,±1 (上右図) および Y2,±2 (下図) の概形。|Yl,m|2 の表面をプロットしている。

加点問題 P.10.3 : パリティ演算子：パリティ演算子 P を、任意の状態 |ψ(x)⟩に対して

P |ψ(x)⟩ = |ψ(−x)⟩ (10.156)

のように、空間反転として作用する演算子として定義する。

P 2|ψ(x)⟩ = P |ψ(−x)⟩ = |ψ(+x)⟩ (10.157)

であるから、P 2 = 1である。これより P−1 = P である。

1. P はエルミート演算子であることを示せ。ヒント：エルミート演算子の定義を示せばよい。

座標表示して ⟨ψ|P |ϕ⟩∗ =[∫∞

−∞ d3xψ∗(x)P ϕ(x)]∗を変形し、⟨ϕ|P |ψ⟩となることを示す。

2. 任意の演算子 A(x)へのパリティ変換の作用が

P A(x)P−1 = A(−x) (10.158)

であることを示せ。ヒント：P A(x)|ψ(x)⟩を定義にしたがって計算し、P−1P = 1をうま

く挿入して、P A(x)P−1|ψ(−x)⟩ = A(−x)|ψ(−x)⟩ を導く。3. 演算子 A(x)がパリティ変換によって不変 P A(x)P−1 = A(x)であるならば、[P , A] = 0



4. x, p, Lへのパリティ変換の作用を求めよ。

5. 極座標の場合には、P の作用によって r, θ, φ はどのように変換されるか。

6. 前問の結果を用いて、P の Yl,m(θ, φ) への作用について、因子 eimφ からは (−1)m、∂l−m

∂ξl−m

(1− ξ2

)lからは (−1)l−mの寄与があり、全体として P Yl,m(θ, φ) = (−1)lYl,m(θ, φ)


10.5.5 発展：L2 の固有値 l(l + 1)において lが 0または正の整数であること

軌道角運動量の昇降演算子は*27、Lx, Ly の位置表示 (10.121), (10.122) 式を用い、ξ ≡ cos θ を導入す

ると、

L+ = Lx + iLy = e+iφ

[+∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

]= e+iφ

[−√1− ξ2 ∂

∂ξ− ξ√

1− ξ21

i

∂

∂φ

](10.159)

L− = Lx − iLy = e−iφ

[− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

]= e−iφ

[+√1− ξ2 ∂

∂ξ− ξ√

1− ξ21

i

∂

∂φ

](10.160)

とあらわすことができる。

さて、Ylm(θ, φ) = Θlm(θ)1√2πeimφ と変数分離できることに注意すると、

L+Ylm = e+iφ

[−√

1− ξ2 ∂∂ξ− mξ√

1− ξ2

]Ylm

= −e+iφ(√

1− ξ2)m+1 ∂

∂ξ

[(√1− ξ2

)−m

Ylm

](10.161)

L−Ylm = e−iφ

[+√1− ξ2 ∂

∂ξ− mξ√

1− ξ2

]Ylm

= +e−iφ(√

1− ξ2)−m+1 ∂

∂ξ

[(√1− ξ2

)mYlm

](10.162)

であることを示すことができる。ここでそれぞれ 2番目の等号は、最後の表式の微分を実行してみることで

成り立つことが確かめられる。

ここで、軌道角運動量の z 成分の固有値の最大値は lであるから、

L+Yl,l = −e+iφ(√

1− ξ2)l+1 ∂

∂ξ

[(√1− ξ2

)−l

Yl,l

]= 0 (10.163)

でなければならないから、これより

(√1− ξ2)−lYl,l = c = (ξに関して定数) (10.164)

*27 以下の議論は砂川重信著「量子力学」(岩波書店) に従う。


である。一方、正の整数 nに対して、

(L−)nYlm = e−inφ

(√1− ξ2

)−m+n ∂n

∂ξn

[(√1− ξ2

)mYlm

](10.165)

が成り立つことを数学的帰納法で証明することができる。

(10.165)式でm = l, n = 2l + 1とおくと、左辺は L−Yl,−l に比例するので 0となるから、

∂2l+1

∂ξ2l+1

[(√1− ξ2

)lYl,l

]= 0 (10.166)

を得る。これを積分すると、 (√1− ξ2

)lYl,l = (ξの 2l次の多項式) (10.167)

であることが分かる。(10.167)式を (10.164)式で割れば、

(1− ξ2)l = (ξの 2l次の多項式) (10.168)

が成立しなければならないことになる。左辺が ξ の 2l次の多項式であるためには、lが半整数値をとること

は許されず*28、0または正の整数であることが要求される。

10.5.6 発展：代数的手法による球面調和関数の導出

調和振動子系において、真空状態に生成演算子を作用させて、その固有関数がエルミート関数になること

を示した方法と同様に、mが最小となる固有状態 Yl,−l を求め、それに上昇演算子 L+

L+ = Lx + iLy = e+iφ

[+∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

](10.169)

L− = Lx − iLy = e−iφ

[− ∂

∂θ+ i cot θ

∂

∂φ

](10.170)

を作用させて、軌道角運動量の固有関数を求めよう*29。

まず、(10.164)式より、Yl,l = c(

√1− ξ2)leilφ = c sinl θeilφ (10.171)

である。ここで φ依存性 eilφ を復活させた。

積分定数 cは固有関数の規格化条件∫ π

0

sin θdθ

∫ 2π

0

dφ|Ylm(θ, φ)|2 =

∫ 1

−1

d(cos θ)

∫ 2π

0

dφ|Ylm(θ, φ)|2 = 1 (10.172)

より、ξ = cos θ とおけば、

|C|2∫ 1

−1

d(cos θ)

∫ 2π

0

dφ sin2l θ = 2π|C|2∫ 1

−1

dξ(1− ξ2)l = 1 (10.173)

となる。ここで、積分を Il とおくと、部分積分より、

Il ≡∫ 1

−1

dξ(1− ξ2)l =[ξ(1− ξ2)l

]1−1−∫ 1

−1

dξξd

dξ(1− ξ2)l = 2l

∫ 1

−1

dξ ξ2(1− ξ2)l−1

= 2l(−Il + Il−1) (10.174)

*28 例えば l = 1/2とすると、左辺は√

1− ξ2 であるが、これは ξ の (2l = 2 · 1/2 =) 1次の多項式 aξ + bの形をしていない。*29 以下の議論は砂川重信著「量子力学」(岩波書店)に従う。


となるから、

Il =2l

2l + 1Il−1 =

2l · 2(l − 1)

(2l + 1) · (2l − 2)Il−2 = · · ·

=2l · 2(l − 1) · 2(l − 1) · · · 2

(2l + 1) · (2l − 1) · (2l − 3) · · · 3I0 = 2

(2ll!)2

(2l + 1)!(10.175)

が得られる。これより規格化定数が

c =(−1)l

2ll!

√(2l + 1)!

4π(10.176)

と求まる。ここで、因子 (−1)l をつけたのは (2乗すると 1になるから規格化には寄与しない)、最終的な結

果が (10.149)と一致するようにするためである。結局、

Yl,l(θ, φ) =(−1)l

2ll!

√(2l + 1)!

4πsinl θ eilφ =

(−1)l

2ll!

√(2l + 1)!

4π

(√1− ξ2

)leilφ (10.177)

となる。

L− を作用させていけば、(10.56)式より、

Ylm(θ, φ) =

√(l +m)!

(l −m)!(2l)!

(L−

)l−m

Yl,l(θ, φ) (10.178)

となる。ここで (10.165)においてm = l, n = l −mとおくと、(L−

)l−m

Yl,l(θ, φ) = e−i(l−m)φ(√

1− ξ2)−m ∂l−m

∂ξl−m

[(√1− ξ2

)lYl,l(θ, φ)

]=

(−1)l

2ll!

√(2l + 1)!

4π

eimφ

(√1− ξ2)m

∂l−m

∂ξl−m

(1− ξ2

)l(10.179)

を得る。これを (10.178)式に代入すれば、

Ylm(θ, φ) =(−1)l

2ll!

√(2l + 1)!

4π(2l)!

(l +m)!

(l −m)!

eimφ

(√

1− ξ2)mdl−m

dξl−m

(1− ξ2

)l=

(−1)l

2ll!

√2l + 1

4π

(l +m)!

(l −m)!

eimφ(√1− ξ2

)m d l−m

dξl−m(1− ξ2)l (10.180)

となる。

ここで、ルジャンドルの陪多項式

P−ml (ξ) =

(−1)l

2ll!

1(√1− ξ2

)m dl−m

dξl−m(1− ξ2)l (10.181)

を用いれば、

Ylm(θ, φ) =

√2l + 1

4π

(l +m)!

(l −m)!P−ml (ξ) eimφ (10.182)

となるが、ルジャンドルの陪多項式の対称性 (10.256)を用いれば、

Ylm(θ, φ) = (−1)m√

2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (ξ) eimφ (10.183)

となる。これは、2乗して 1になる定数の違いを除いて (10.140)式に Φ(φ) =1√2πeimφ を乗じたものに一

致している。備えるべき対称性 (10.141)を満たすようにすれば、球面調和関数 (10.149)が得られるのは先

の議論と同じである。

10.A ルジャンドル (Legendre)の多項式の諸性質 217

10.A ルジャンドル (Legendre)の多項式の諸性質

調和振動子におけるエルミート多項式 (3.1.6節参照)や、水素原子の動径方向の波動関数におけるラゲー

ルの (陪)多項式 (11.A節参照)と同様に、ルジャンドルの陪多項式にも母関数が存在し、母関数を用いて直

交関係式などを導くことができる。その解説の準備として、まずはルジャンドルの多項式*30を本節で導入

しておく。

10.A.1 ルジャンドルの多項式

ルジャンドルの多項式 Pl(ξ)は、ルジャンドルの微分方程式

(1− ξ2)d2Pl

dξ2− 2ξ

dPl

dξ+ l(l + 1)Pl = 0 (10.184)

の解として導入される。級数解を求めるために Pl(ξ) =∑∞

n=0 anxn とおいて代入すると、漸化式

an+2 = − l(l + 1)− n(n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)an = − (l − n)(l + n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)an (10.185)

が得られる。これより、

[命題]： ξ ∈ [−1, 1] で無限級数が収束するためには、lは 0または正の整数 (10.186)

でなければならないことを示すことができる (下記証明参照)。このとき n = lで漸化式が途切れるため、級

数解は多項式になる。

エルミート多項式の場合と同様に、漸化式 (10.185)には a0 からはじまる偶パリティの系列

Pl,even(ξ) = a0

(l2 !)2l!

l2∑

k=0

(−1)k(l + 2k)!

(2k)!(l2 − k

)!(l2 + k

)!ξ2k (10.187)

と a1 からはじまる奇パリティの系列

Pl,odd(ξ) = a1( l−1

2 !)2

l!

l−12∑

k=0

(−1)k(l + 2k)!

(2k + 1)!(l−12 − k

)!(l−12 + k

)!ξ2k+1 (10.188)

が存在するが、ガウスの記号 (10.202)を用いて表記法を工夫すると、両者は

Pl(ξ) = Cl

2n≤l∑n=0

(−1)n(2l − 2n)!

2l n! (l − n)! (l − 2n)!ξl−2n = Cl

⌊ l2⌋∑

n=0

(−1)n(2l − 2n)!

2l n! (l − n)! (l − 2n)!ξl−2n (10.189)

のように統一的に表すことができる。ここで Cl は (l, a0, a1 を含む)定数である。

(10.185)式の導出：

Pl(ξ) =∑∞

n=0 anξn を (10.184)式に代入して ξn の係数を比べればよい。例えば

(1− ξ2)d2Pl

dξ2=

∞∑n=2

n(n− 1)anξn−2 −

∞∑n=2

n(n− 1)anξn (10.190)

*30 陪多項式ではなく多項式。


であるが、右辺第 2項では和の範囲を n = 0に変えても、n = 0, 1について n(n− 1) = 0であるか

らゼロが 2つ加えられるだけであるから結果が不変であるに注意し、さらに右辺第 1項で n→ n+2

と置き換えれば

(1− ξ2)d2Pl

dξ2=

∞∑n=0

[(n+ 2)(n+ 1)an+2 − n(n− 1)an] ξn (10.191)

となる。他の項も同様に計算すると、

0 = (1− ξ2)d2Pl

dξ2− 2ξ

dPl

dξ+ l(l + 1)Pl

=∞∑

n=0

[(n+ 2)(n+ 1)an+2 +

(l(l + 1)− n(n+ 1)

)an]ξn (10.192)

となる。係数がゼロにならなければならないので (10.185)式を得る。

命題 (10.186)の証明：

lが負の整数の場合、l(l+ 1) < 0であるから n ≥ 0 の整数 nによって漸化式 (11.291)が途切れるこ

とはなく、級数解は無限級数になる。このとき、十分大きい n ≥ N において*31

an+2 ∼n(n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)an ∼ an (10.193)

になるので、級数解は

Pl(ξ) =∞∑

n=0

anξn =

N∑n=0

anξn +

∞∑n=N

anξn ∼

N∑n=0

anξn + aN

∞∑n=N

ξn (10.194)

となるが、右辺第 2項∑∞

n=N ξnは |ξ| = 1で発散してしまう。したがって、|ξ| = 1を含む ξ ∈ [−1, 1]で無限級数が収束するためには、lは負の整数であってはならない。

次に、l が整数ではない場合にも漸化式 (11.291) が途切れることはなく、級数解は無限級数になる

が、上述と同様の議論により、この場合にも級数解は発散する。したがって、ξ ∈ [−1, 1] で無限級数が収束するためには、lは整数であることが必要である。以上により命題 (11.292)が証明された。

(10.187)式の導出：

l が偶数の場合、漸化式が途切れるためには a0 からはじまる偶パリティ系列でなければならない。

l = 2p, n = 2k とおくと、漸化式 (10.185)式より、

a2k = (−1)k(2p− 2k + 2

)(2(p+ k)− 1

)2k(2k − 1)

(2p− 2k + 4

)(2(p+ k)− 3

)(2k − 2)(2k − 3)

· · · 2p(2p+ 1)

2 · 1a0

=a0(−1)k

(2k)!

[2kp(p− 1) · · · (p− k + 1)

][(2(p+ k)− 1

)(2(p+ k)− 3

)· · · (2p+ 1)

(2p− 1)!!

(2p− 1)!!

]=a0(−1)k

(2k)!

[2kp(p− 1) · · · (p− k + 1)

(p− k)!(p− k)!

](2(p+ k)− 1)!!

(2p− 1)!!

= a0(−1)k

(2k)!

2k p!

(p− k)!

(2(p+ k)− 1

)!!

(2p− 1)!!(10.195)

*31 ここで N は N(N + 1) ≫ |l(l+ 1)|となるような値を想定している。


となる。ここで 2重階乗 (10.203)を用いた。さらに公式 (10.205)を用いて 2重階乗を普通の階乗で

書き換える：

a2k = a0(−1)k

(2k)!

2k p!

(p− k)!(2p+ 2k)!

2p+k(p+ k)!

2pp!

(2p)!

= a0(p!)2

(2p)!

(−1)k(2p+ 2k)!

(2k)!(p− k)!(p+ k)!(10.196)

これを級数展開式に代入する。n = lで級数が途切れることに注意して、また p = l/2を代入すれば

Pl,even(ξ) =

l∑n=0

anξn = a0

(l2 !)2l!

l2∑

k=0

(−1)k(l + 2k)!

(2k)!(l2 − k

)!(l2 + k

)!ξ2k (10.197)

となり、(10.187)式が得られる。

(10.188)式の導出：

(10.188)式の場合と同様にして導出できる。l が奇数の場合、漸化式が途切れるためには a1 からは

じまる奇パリティ系列でなければならない。l = 2p + 1, n = 2k + 1とおくと、漸化式 (10.185)式

より、

a2k+1 = a1(p!)2

(2p+ 1)!

(−1)k(2p+ 1 + 2k)!

(2k + 1)!(p− k)!(p+ k)!(10.198)

これを級数展開式に代入すると、

Pl,odd(ξ) =l∑

n=0

anξn = a1

(l−12 !)2

l!

l−12∑

k=0

(−1)k(l + 2k)!

(2k)!(l−12 − k

)!(l−12 + k

)!ξ2k+1 (10.199)

となり、(10.188)式が得られる。

(10.189)式の導出：

奇パリティ系列の級数解 (10.188)において k =l − 1

2−nと変換し、係数をうまく調整して (10.189)

式まで持っていく：

Pl,odd(ξ) = a1( l−1

2 !)2

l!

0∑n= l−1

2

(−1) l−12 −n(2l − 2n− 1)!

(l − 2n)!n! (l − n− 1)!ξl−2n

= a1(−1) l−1

2 ( l−12 !)2 2l

l!

l−12∑

n=0

(−1)n(2l − 2n− 1)!

2l (l − 2n)!n! (l − n− 1))!ξl−2n

∗= a1

(−1) l−12 ( l−1

2 !)2 2l

l!

l−12∑

n=0

1

2

(2l − 2n)

(l − n)(−1)n(2l − 2n− 1)!

2l (l − 2n)!n! (l − n− 1)!ξl−2n

= a1(−1) l−1

2 ( l−12 !)2 2l−1

l!

l−12∑

n=0

(−1)n(2l − 2n)!

2l (l − 2n)!n! (l − n)!ξl−2n (10.200)

ここで和の記号の前の係数を Cl とすれば、奇パリティ系列の級数解 (10.188)は (10.189)式に変換

される。偶パリティ系列の級数解 (10.187)の場合も、k =l

2− nと変換すれば、

Pl,even(ξ) = a0(−1) l

2 ( l2 !)

2 2l

l!

l2∑

n=0

(−1)n(2l − 2n)!

2l (l − 2n)!n! (l − n)!ξl−2n (10.201)


となり、(10.189)式の形に表すことができる。この場合には、奇パリティ系列の場合の (10.200)式

の ∗のついた等号におけるような技巧的な操作は必要ないので、その導出は比較的容易である。

ガウスの記号

任意の実数 xに対し、ガウスの記号は

⌊x⌋ ≡ xを超えない最大の整数 (10.202)


2重階乗

任意の自然数 nに対し、2重階乗は

n!! ≡n(n− 2)(n− 4) · · · 4 · 2 (nが偶数)n(n− 2)(n− 4) · · · 3 · 1 (nが奇数)

(10.203)


恒等式(2n)! = (2n)!! (2n− 1)!! = 2nn! (2n− 1)!! (10.204)

に注意すれば、2重階乗は普通の階乗を用いて

(2n− 1)!! =(2n)!

2nn!(10.205)

と表すことができる。

10.A.2 ルジャンドル多項式の母関数

ルジャンドルの多項式は、母関数

G(t; ξ) ≡ 1√1− 2tξ + t2

(10.206)

の多項式展開の係数として

G(t; ρ) ≡∞∑l=0

Pl(ξ) tl (10.207)

によって定義される。この母関数による定義では、級数展開で定まっていなかった係数因子 (すなわち a0)

を含めて、ルジャンドルの多項式が次のように完全に決定される。

Pl(ξ) =1

2l

⌊l/2⌋∑k=0

(−1)k(2l − 2k)!

k! (l − k)! (l − 2k)!ξl−2k (10.208)

(10.208)式の導出：

一般化された二項定理 (10.213), (10.214) を用いて母関数 (10.206) を展開する。y ≡ 2tξ − t2 =


t(2ξ − t)とおくと、

G(t; ξ) = (1− y)−1/2 =

∞∑n=0

∏n−1k=0

(−1

2 − k)

n!(−y)n

=∞∑

n=0

∏n−1k=0(2k + 1)

(−2)n n!(−y)n =

∞∑n=0

(2n+ 1)!!

2n n!yn

(10.205)=

∞∑n=0

(2n)!

2n (n!)2yn (10.209)

通常の二項定理 (10.215)より、

yn = tn(2ξ − t)n = tnn∑

k=0

nCk(2ξ)n−k(−t)k =

n∑k=0

(−1)k 2n−k n!

(n− k)! k!tn+k ξn−k (10.210)

であるから、結果をまとめて

G(t; ξ) =

∞∑n=0

n∑k=0

(−1)k (2n)!2n+k n! k! (n− k)!

tn+k ξn−k (10.211)

ここで、展開式 (10.207) の t のべき指数に合わせて n + k = l とすると、n が 0 から∞ まで動くとき、l も 0から∞まで変化する。一方、0 ≤ k ≤ nであった k の範囲は、n = l − k より変換後は 0 ≤ k ≤ l − k となる。k ≤ l − k より k ≤ ⌊l/2⌋となることに注意すれば、変換後の k の範囲は

0 ≤ k ≤ ⌊l/2⌋である。よって、

G(t; ξ) =∞∑l=0

⌊l/2⌋∑k=0

(−1)k (2l − 2k)!

2l (l − k)! k! (l − 2k)!ξl−2k

tl (10.212)

(10.207)式と比べて (10.208)式を得る。

一般化された二項定理

べき指数 αが自然数でない場合、二項級数は無限級数になる。すなわち、

(a+ b)α =

∞∑k=0

αCk aα−kbk (10.213)

αCk =α(α− 1) · · · (α− (k − 1))

k!=

∏k−1j=0 (α− j)

k!=

α!

(α− k)! k!(10.214)

αが自然数でない場合に無限級数に展開されることは、等比級数1

1− r=

∞∑k=0

rk の例からも納得できるで

あろう。

これに対して、αが自然数 nの場合の通常の二項定理は、多項式展開

(a+ b)n =

n∑k=0

nCk an−kbk (10.215)



ルジャンドル多項式と重力ポテンシャル

領域 V に質量密度 ρ(r′)を持つ物体の重力ポテンシャル ϕ(r)は

ϕ(r) =

∫d3x′

Gρ(r′)

|r − r′|(10.216)

で与えられる。ここで r と r′ のなす角を Θとすると、

1

|r − r′|=

1√r2 − 2rr′ cosΘ + r′2

=

1

r

1√1− 2(r′/r) cosΘ + (r′/r)2

(r > r′)

1

r′1√

1− 2(r/r′) cosΘ + (r/r′)2(r ≤ r′)

(10.217)

となるが、これは ξ = cosΘ, および r′/r = tあるいは r/r′ = tとおくことでルジャンドル関数の母関数と

同じ形になる。したがって、母関数の展開式 (10.207)を用いれば、

1

|r − r′|=

1

r

∞∑l=0

Pl(cosΘ)(r′r

)l(r > r′)

1

r′

∞∑l=0

Pl(cosΘ)( rr′

)l(r ≤ r′)

(10.218)

となる。

これを (10.217)式に用いることで重力ポテンシャルを計算することができる。まず、極座標を用いれば

積分は ∫d3x =

∫ ∞

0

r′2dr′∫ π

0

d cos θ′∫ 2π

0

dφ (10.219)

となるが、ある r に対して、r′ の向きすなわち θ が 0から π まで動くとき、Θも 0から π まで動くから、

θ積分を Θ積分に変えることができる。よって∫d3x′ =

∫ ∞

0

r′2dr′∫ π

0

d cosΘ

∫ 2π

0

dφ (10.220)

これより、

ϕ(r) =

G

∞∑l=0

1

rl+1

[∫ 2π

0

dφ

∫ ∞

0

dr′ (r′)l+2

∫ π

0

d cosΘPl(cosΘ) ρ(r′)

](r > r′)

G∞∑l=0

rl

[∫ 2π

0

dφ

∫ ∞

0

dr′(1

r′

)l−1 ∫ π

0

d cosΘPl(cosΘ) ρ(r′)

](r ≤ r′)

(10.221)

となる。

球対称物体の重力ポテンシャル

密度が角度に依らない (球対称の)場合には、

ρ(r′) = ρ(r′) = ρ(r′)P0(cosΘ) (10.222)


である。ここで P0(ξ) = 1 を用いた (ルジャンドル多項式のロドリゲスの公式 (10.236) 下の脚注を参照)。

ルジャンドル多項式の直交関係式 (10.225)を用いれば、外部重力ポテンシャルは、

ϕ(r) = G∞∑l=0

1

rl+1

[∫ 2π

0

dφ

∫ ∞

0

dr′ (r′)l+2

∫ π

0

d cosΘPl(cosΘ)P0(cosΘ) ρ(r′)

]

= G∞∑l=0

1

rl+1

[∫ 2π

0

dφ

∫ ∞

0

dr′ (r′)l+2 2 δl02l + 1

ρ(r′)

]=G

r

∫ ∞

0

dr′ 4πr′2ρ(r′)

=GM

r(10.223)


M =

∫ ∞

0

dr′ 4πr′2ρ(r′) (10.224)

は物体の質量である。

10.A.3 ルジャンドル多項式の直交関係式

母関数 (10.206), (10.207)を用いると、ルジャンドルの多項式の直交関係式∫ 1

−1

dξ Pl(ξ)Pk(ξ) =2

2l + 1δlk (10.225)


(10.225)式の導出：

母関数 (10.206)式を用いると、

Ilk ≡∫ 1

−1

dξ G(s; ξ)G(t; ξ) =

∫ 1

−1

dξ1√

1− 2sξ + s21√

1− 2tξ + t2

≡ 1

2√st

∫ 1

−1

dξ1√

1+s2

2s − ξ

1√1+t2

st − ξ(10.226)

ここで、積分公式 ∫dx

√a− x

√b− x

= −2 ln(√

a− x+√b− x

)+ C (10.227)

を用いると*32、

Ilk =1√st

ln

√

1+s2

2s + 1 +√

1+t2

2t + 1√1+s2

2s − 1 +√

1+t2

2t − 1

=1√st

ln

[1+s√2s

+ 1+t√2t

1−s√2s

+ 1−t√2t

]

=1√st

ln

[(1 + s)

√t+ (1 + t)

√s

(1− s)√t+ (1− t)

√s

]=

1√st

ln

[ (√s+√t) (

1 +√st)(√

s+√t) (

1−√st)]

=1√st

[ln(1 +√st)− ln

(1−√st)]

(10.229)

*32 これより ∫ 1

−1

dx√a− x

√b− x

=[− 2 ln

(√a− x+

√b− x

)]1−1

= 2 ln

(√a+ 1 +

√b+ 1

√a− 1 +

√b− 1

)(10.228)


さらに、ln(1 + x)のマクローリン展開*33を用いれば、

Ilk =1√st

∞∑n=0

(−1)n

n+ 1

[(√st)n+1 −

(−√st)n+1

]n=2k=

∞∑n=0

(√st)n

n+ 1

[(−1)n + 1

](10.231)

ここで、nが奇数の項はゼロなので、和は n = 2lに対してだけ取ればよく、

Ilk =∞∑l=0

2

2l + 1(st)l (10.232)

となる。一方、母関数 (10.206)式を用いると、

Ilk ≡∑l

∑k

sltk∫ 1

−1

dξ Pl(ξ)Pk(ξ) (10.233)

である。(10.232), (10.233)式を比較すると、l = k のとき (10.233)式の sltk の係数はゼロでなけれ

ばならないので、 ∫ 1

−1

dξ Pl(ξ)Pk(ξ) = 0 (10.234)

l = nの場合には、 ∫ 1

−1

dξ Pl(ξ)Pl(ξ) =2

2l + 1(10.235)

である。これらの結果をまとめれば直交関係式 (10.225)が得られる。

10.A.4 ルジャンドル多項式のロドリゲス (Rodrigues)の公式

ルジャンドルの多項式は

Pl(ξ) =1

2l l!

dl

dξl(ξ2 − 1)l (10.236)

のように表すこともできる。これを (ルジャンドルの多項式の)ロドリゲス (Rodrigues)の公式という*34。

*33

ln(1 + x) =∞∑

n=0

(−1)n

n+ 1xn+1 (10.230)

*34 ロドリゲスの公式を用いて幾つかのルジャンドル多項式を書き下しておくと、

P0(ξ) = 1

P1(ξ) = ξ

P2(ξ) =1

2(3ξ2 − 1)

P3(ξ) =1

2(5ξ3 − 3ξ) (10.237)

P4(ξ) =1

8(35ξ4 − 30ξ2 + 3)

P5(ξ) =1

8(63ξ5 − 70ξ3 + 15ξ)

P6(ξ) =1

16(231ξ6 − 315ξ4 + 105ξ2 − 5)

(10.238)

となる。


(10.236)式の導出：

二項定理 (10.215)を (ξ2 − 1)l に用いれば、

Pl(ξ) =1

2l l!

dl

dξl

[l∑

n=0

(−1)n l!n!(l − n)!

ξ2l−2n

]=

1

2l

l∑n=0

(−1)n

(l − n)!dl

dξlξ2l−2n (10.239)

ここで、dl

dξlξ2l−2n =

(2l − 2n)!

(l − 2n)!ξl−2n (10.240)

において、n− 2r ≤ 0 の場合には ξ2l−2n の l 階微分はゼロになり、和に寄与しないから、(10.239)

式の和の上限をを ⌊n/2⌋ に変えることができる。この注意のもとで (10.240)式を (10.239)式に代入

すれば、

Pl(ξ) =1

2l

⌊n/2⌋∑l=0

(−1)n(2l − 2n)!

n! (l − n)! (l − 2n)!ξl−2n (10.241)

となる。これは (10.208)式に一致している。

10.A.5 ルジャンドルの多項式の漸化式

本講義ノートでは用いられないが、母関数 (10.206)を ξ あるいは tで微分することで、ルジャンドルの

多項式の 2つの漸化式を導くことができる：

dPl

dξ− 2ξ

dPl−1

dξ+dPl−2

dξ= Pl−1(ξ) (10.242)

(l + 1)Pl+1(ξ)− (2l + 1) ξ Pl(ξ) + l Pl−1(ξ) = 0 (10.243)

(10.242)式の導出：

母関数 (10.206)を ξ で微分すると、

(1− 2tξ + t2)∂G

∂ξ= tG (10.244)

となる。ここで母関数展開 (10.207)を G, ∂G/∂ξ に用いると

(左辺) =(1− 2tξ + t2

) ∞∑l=0

tldPl

dξ=

∞∑l=0

tldPl

dξ− 2ξ

∞∑l=0

tl+1 dPl

dξ+

∞∑l=0

tl+2 dPl

dξ

=∞∑l=0

tldPl

dξ− 2ξ

∞∑l=1

tldPl−1

dξ+

∞∑l=2

tldPl−2

dξ

= (右辺) =∑l=1

tlPl−1 (10.245)

ここで、t0 の項は左辺第 1項のみから表れ

t0dP0

dξ= 0 (10.246)

となるが、ロドリゲスの公式 (10.236)より P0 = 1なので上式は成り立っている。t1 は左辺第 1,2項

と右辺第 1項から表れ、

tdP1

dξ− 2ξt

dP0

dξ= tP0 (10.247)


となるが、ロドリゲスの公式 (10.236)より P1 = ξ なのでやはり成り立つ。したがって、l ≥ 2の項

について (10.245)式が成り立っているかどうかを考えればよい。すなわち、

∞∑l=2

tl[dPl

dξ− 2ξ

dPl−1

dξ+dPl−2

dξ

]=∑l=2

tlPl−1 (10.248)

ここで、tl の係数が等しくなければならないことから (10.206)式を得る。

(10.243)式の導出：

母関数 (10.206)を tで微分すると、

(1− 2tξ + t2)∂G

∂t= (ξ − t)G (10.249)

となる。ここで母関数展開 (10.207)を G, ∂G/∂t に用いると、

(左辺) =(1− 2tξ + t2

) ∞∑l=1

l tl−1Pl =(1− 2tξ + t2

) ∞∑l=0

(l + 1) tlPl+1

=∞∑l=1

[(l + 1)Pl+1 − 2lξPl + (l − 1)Pl−1

]tl

= (右辺) =

∞∑l=1

[ξPl − Pl−1

]tl (10.250)

ここで、ロドリゲスの公式より t0 の項の関係は満たされていることを用いた。tl の係数を等しいと

して (10.243)式を得る。

10.B ルジャンドル (Legendre)の陪多項式の諸性質

10.B.1 ルジャンドルの陪多項式

ルジャンドルの陪多項式は、ルジャンドルの多項式の微分によって

Pml (ξ) ≡

(√1− ξ2

)m dm

dξmPl(ξ) (10.251)

のように定義される。この定義の段階では m ≥ 0であるが、ルジャンドルの多項式に対するロドリゲスの

公式 (10.236)を用いることでmの範囲を負の場合に拡張して定義することができる。すなわち、

Pml (ξ) ≡ 1

2l l!

(√1− ξ2

)m dl+m

dξl+m(ξ2 − 1)l

=1

2l l!

(√1− ξ2

)m dl+m

dξl+m(ξ + 1)l(ξ − 1)l (10.252)

本講義では拡張された (10.252)式をルジャンドルの陪多項式の定義として採用する。この定義より次の

2点が直ちに分かる。

1. m = 0のときルジャンドルの多項式 (10.236)に一致する：

P 0l (ξ) = Pl(ξ) (10.253)

10.B ルジャンドル (Legendre)の陪多項式の諸性質 227

2. (ξ2 − 1)l は 2l 次の多項式であるから、(10.252)式が意味を持つのは 0 ≤ l +m ≤ 2l の場合に限ら

れる。これより、mのとり得る範囲は−l ≤ m ≤ l (10.254)

である。

また、(10.252)式を直接代入すれば示されるように、ルジャンドルの陪多項式は、微分方程式

(1− ξ2)d2Pm

l

dξ2− 2ξ

dPml

dξ+

[l(l + 1)− m2

1− ξ2

]Pml = 0 (10.255)

に従う。

10.B.2 ルジャンドルの陪多項式の対称性

ルジャンドル陪多項式は次の対称性を持つ：

P−ml (ξ) = (−1)m (l −m)!

(l +m)!Pml (ξ) (10.256)

対称性 (10.256)の証明：

高階微分に関するライプニッツ則 (10.261)より、

Dm(ξ) ≡ dl+m

dξl+m(ξ2 − 1)l

=l+m∑k=0

(l +m)!

(l +m− k)!k!

[dl+m−k

dξl+m−k(ξ + 1)l

] [dk

dξk(ξ − 1)l

](10.257)

であるが、(ξ+1)l の微分がゼロにならないためには l+m− k ≤ lよりm ≤ k、(ξ− 1)l の微分がゼ

ロにならないためには k ≤ mであるから、kの範囲はm ≤ k ≤ lとなることに注意する。このとき、

Dm(ξ) =l∑

k=m

(l +m)!

(l +m− k)!k!

[l! (ξ + 1)l−(l+m−k)(l − (l +m− k)

)!

][l! (ξ − 1)l−k(l − k

)!

]

=l∑

k=m

(l +m)!

(l +m− k)!k!

[l! (ξ + 1)k−m

(k −m)!

] [l! (ξ − 1)l−k(l − k

)!

]

n=k−m=

l−m∑n=0

(l +m)!

(l − n)!(n+m)!

[l! (ξ + 1)n

n!

] [l! (ξ − 1)l−m−n

(l −m− n)!

]

= (l +m)!(l!)2l−m∑n=0

(ξ + 1)n(ξ − 1)l−m−n

n!(l − n)!(n+m)!(l −m− n)!(10.258)


一方、

D−m(ξ) ≡ dl−m

dξl−m(ξ2 − 1)l

=l−m∑k=0

(l −m)!

(l −m− k)!k!

[dl−m−k

dξl−m−k(ξ + 1)l

] [dk

dξk(ξ − 1)l

]

=l−m∑k=0

(l −m)!

(l −m− k)!k!

[l! (ξ + 1)m+k

(m+ k)!

] [l! (ξ − 1)l−k

(l − k)!

]n=k= (l −m)!(l!)2

l−m∑n=0

(ξ + 1)n+m(ξ − 1)l−n

n!(l − n)!(n+m)!(l −m− n)!

= (l −m)!(l!)2(ξ2 − 1)ml−m∑n=0

(ξ + 1)n(ξ − 1)l−m−n

n!(l − n)!(n+m)!(l −m− n)!(10.259)

(10.258), (10.259)式を比べれば、

D−m(ξ) =(l −m)!

(l +m)!(ξ2 − 1)mDm(ξ) = (−1)m (l −m)!

(l +m)!(1− ξ2)mDm(ξ)

= (−1)m (l −m)!

(l +m)!

(√1− ξ2

)mPml (ξ) (10.260)

この両辺を(√

1− ξ2)mで割れば、(10.256)式を得る。

高階微分ライプニッツ則

関数の積 fg の n階微分は

dn

dxn(f(x)g(x)

)=

n∑k

nCk

[dn−k

dxn−kf(x)

] [dk

dxkg(x)

]

=n∑k

n!

(n− k)!k!

[dn−k

dxn−kf(x)

] [dk

dxkg(x)

](10.261)

で計算できる。

10.B.3 ルジャンドルの陪多項式の直交関係式

ルジャンドルの陪多項式の対称性 (10.256)を用いると、ルジャンドルの陪多項式の直交関係式∫ 1

−1

dξ Pml (ξ)Pm

k (ξ) =2

2l + 1

(l +m)!

(l −m)!δlk (10.262)


(10.262)式の導出：

m = 0 の場合には、(10.253) 式よりルジャンドルの多項式の直交関係式に帰着するので、(10.262)

式は成立している。以下ではm ≥ 1とする。積分

Im ≡∫ 1

−1

dξ P−ml (ξ)Pm

k (ξ)

=1

2ll!

1

2kk!

∫ 1

−1

dξ

(dl−m


)(dk+m

dξk+m(ξ2 − 1)k

)(10.263)

10.B ルジャンドル (Legendre)の陪多項式の諸性質 229

を考える。部分積分により、

Im =1

2ll!

1

2kk!

[(dl−m


)(dk+(m−1)

dξk+(m−1)(ξ2 − 1)k

)]1−1

− 1

2ll!

1

2kk!

∫ 1

−1

dξ

(dl−(m−1)

dξl−(m−1)(ξ2 − 1)l

)(dk+(m−1)

dξk+(m−1)(ξ2 − 1)k

)= 0−

∫ 1

−1

dξ P−(m−1)l (ξ)P

(m−1)k (ξ)

= −Im−1 (10.264)

よって、

Im = (−1)mI0(10.253)

= (−1)m∫ 1

−1

dξ Pl(ξ)Pk(ξ)

(10.225)= (−1)m 2

2l + 1δlk (10.265)

一方、対称性 (10.256)を用いると、

Im = (−1)m (l −m)!

(l +m)!

∫ 1

−1

dξ Pml (ξ)Pm

k (ξ) (10.266)

両者を比べることで (10.262)式が導かれる。

231

第 11章

3次元中心力ポテンシャルにおけるエネルギー固有値問題

11.1 補足：3次元中心力ポテンシャル中の 2体問題

加点問題 P.11.1 : 3次元中心力ポテンシャル中の 2体問題について、重心運動系と相対運動系への

正準変換を行い、それぞれの系での Schrodinger方程式を導け。

演習問題 E.11.1 : 演算子 p2 の極座標における位置表示を求めよ。

演習問題 E.11.2 : 相対運動系のハミルトニアンを極座標において位置表示する。このとき、エネル

ギー固有値問題の Schrodinger方程式において、全波動関数は動径方向と角度方向の波動関数の

積として表されることを示せ (変数分離)。さらに、角度方向の波動関数は球面調和関数で与えら

れることを示せ。

11.1.1 重心座標と相対座標への正準変換

中心力ポテンシャル V = V (|x1 −x2|) が働いている 2粒子系 (質量m1, m2)を考える。ここで、粒子の

位置座標を x1, x2 とした。この 2粒子系のラグランジアンは、

L =1

2m1|x1|2 +

1

2|x2|2 − V (|x1 − x2|) (11.1)

である。ここで重心座標

R =m1x1 +m2x2

m1 +m2(11.2)

および相対座標r = x1 − x2 (11.3)

を用いると、系のラグランジアンは、

L =1

2(m1 +m2)|R|2 +

1

2

m1m2

m1 +m2|r|2 − V (|r|) (11.4)

となる。ここでµ = m =

m1m2

m1 +m2(11.5)

は換算質量であり*1、系の全質量はm1 +m2 は系の全質量M である。

*1 本講義ノートでは換算質量に対してもmという記号を用いる。

232 第 11章 3次元中心力ポテンシャルにおけるエネルギー固有値問題

新たに導入したRと r に共役な運動量をそれぞれ P , pと表す：

P =∂L

∂R=MR, p =

∂L

∂r= mr (11.6)

量子力学に移行するために、正準交換関係

[Ri, Pj ] = iℏδij , [ri, pj ] = iℏδij , これ以外の交換関係はすべて 0 (11.7)

を課す。これは、もともとの 2粒子系の正準交換関係*2

[x1,i, p1,j ] = iℏδij , [x2,i, p2,j ] = iℏδij (11.8)

を (11.2), (11.3), (11.6)式に用いることでも導かれる。すなわち、上述の変換は正準変換である。

任意課題 : もともとの 2粒子系の正準交換関係 (11.8)から、重心運動系および相対運動系の正準交

換関係 (11.7)が導かれることを示せ。

11.1.2 複合系としての 2体問題

系のハミルトニアンは、

HR =P 2

2M, Hr =

p2

2m+ V (|r|) (11.9)

として、

H = HR + Hr =P 2

2M+

p2

2m+ V (|r|) (11.10)

で与えられる。ここで、交換関係 (11.7)より、

[H, HR] = [H, Hr] = [HR, Hr] = 0 (11.11)

であるから、重心運動と相対運動の同時固有状態が存在する。さらに、全系は 2つの独立な部分系 HR と

Hr を単にまとめたものとみなすことができる*3。

この場合、全系の状態ベクトル ψ⟩は、HR の状態ベクトル |ψR⟩と Hr の状態ベクトル |ψr⟩の直積状態*4

|ψ⟩ = |ψR⟩|ψr⟩ (11.13)

で記述される。同様に、ハミルトニアンをはじめとする演算子も、重心運動に作用する部分と相対運動に作

用する部分に分かれる。例えば、HR は |ψR⟩のみに作用し、Hr は |ψr⟩のみに作用する*5：

HR|ψ⟩ =(HR|ψR⟩

)|ψr⟩, Hr|ψ⟩ = |ψr⟩

(Hr|ψr⟩

)(11.15)

*2 これ以外の交換関係は 0である。*3 重心運動の状態ベクトルが存在するベクトル空間 VR と相対運動の状態ベクトルが存在するベクトル空間 Vr は全く独立なベクトル空間になっている。2 つのベクトル空間をまとめる数学的操作がテンソル積 ⊗ である。すなわち、全系の状態ベクトルは、

V = VR ⊗ Vr (11.12)

なる空間に存在することになる。*4 より厳密には状態のテンソル積 |ψR⟩ ⊗ |ψr⟩。*5 テンソル積を用いれば、全ハミルトニアンは

H = HR ⊗ 1r + 1R ⊗ Hr (11.14)

となる。ここで 1R は重心運動のベクトル空間における恒等演算子であり、ここで 1r は相対運動のベクトル空間における恒等演算子である。

11.1 補足：3次元中心力ポテンシャル中の 2体問題 233

このとき、重心運動と相対運動は分離可能で、それぞれ独立な Schrodinger方程式に従う：

HR|ψR⟩ = iℏ∂

∂t|ψR⟩ (11.16)

Hr|ψr⟩ = iℏ∂

∂t|ψr⟩ (11.17)

重心運動と相対運動が分離可能であることの証明：

|ψ⟩ = |ψR⟩|ψr⟩を時間に依存するシュレーディンガー方程式に代入して、左から ⟨φr|⟨φR|*6を作用させると、

⟨φR|HR|ψ⟩ ⟨φr|ψr⟩+ ⟨φR|ψR⟩ ⟨φr|Hr|ψr⟩

= ⟨φR|(iℏ∂

∂t

)|ψR⟩ ⟨φr|ψr⟩+ ⟨φR|ψR⟩ ⟨φr|

(iℏ∂

∂t

)|ψr⟩ (11.18)

両辺 ⟨φR|ψR⟩ ⟨φr|ψr⟩で割って整理すると、

1

⟨φR|ψR⟩⟨φR|

[HR −

(iℏ∂

∂t

)]|ψR⟩ =

1

⟨φr|ψr⟩⟨φr|

[iℏ∂

∂t− Hr

]|ψr⟩ (11.19)

となる。

左辺は重心運動、右辺は相対運動の自由度のみに依存するから、右辺と左辺はそれぞれ定数でなければな

らない。この定数を ℏθ とおくと、右辺より、

⟨φr|[iℏ∂

∂t− Hr − ℏθ

]|ψr⟩ = 0 (11.20)

となるが、ここで位相因子の自由度*7を利用して |φr⟩ = eiθt|φr⟩, |ψr⟩ = eiθt|ψr⟩ と再定義すると、

⟨φr|[iℏ∂

∂t− Hr

]|ψr⟩ = 0 (11.21)

とできるので θ = 0としても一般性を失わない。左辺についても同様である。|φR⟩, |φr⟩ は任意であったから、(11.17), (11.16)式が成り立つ。

ちなみに、時間に依存しない Schrodinger方程式 (エネルギー固有値 E)の場合にも同様にして証明でき

る。左から ⟨φr|⟨φR|を作用させて変形すると

⟨φR|HR|ψR⟩⟨φR|ψR⟩

=⟨φR|(E − Hr) |ψr⟩

⟨φr|ψr⟩(11.22)

となる。両辺が定数でなければならないのでこれを ER とおき、さらに Er = E − ER を定義すると、

⟨φR|(HR − ER|ψR⟩⟨φR|ψR⟩

=⟨φR|(Er − Hr) |ψr⟩

⟨φr|ψr⟩(11.23)

となる。これよりHR|ψR⟩ = ER|ψR⟩, Hr|ψr⟩ = Er|ψr⟩ (11.24)

のように分離される。

*6 ここで |φR⟩, |φr⟩はそれぞれ重心運動系、相対運動系の任意の状態ベクトル*7 量子力学で本質的なのは確率密度であるから、|φ⟩ と |ϕ⟩ = eiθt|φ⟩は ⟨ϕ|ϕ⟩ = ⟨φ|e−iθteiθt|φ⟩ = ⟨φ|φ⟩ より同じ状態とみなせる。


11.1.3 演算子 p2 の極座標表示

重心運動は自由運動であるから、位置表示すれば平面波解が直ちに得られるので*8、以下では相対運動の

Schrodinger方程式について考える。

相対運動の運動エネルギー演算子の極座標表示を考える。まず、[xk, pk] = iℏδkk = 3iℏに注意すれば、

ℏ2L2 = ℏ2LiLi =(ϵijkxj pk

)(ϵilmx

lpm)= (δjl δ

km − δkl δjm)xj pkx

lpm

= xj(pkx

j)pk − xj

(pkx

k)pj

= xj(xj pk − [xj , pk]

)pk − xj

(xkpk − [xk, pk]

)pj

= (xj xj)(pkp

k)− xj(xkpk)pj + 2iℏ(xj pj) (11.25)

となる。これより、ℏ2L2 = r2p2 − r

(r · p

)· p+ 2iℏ(r · p) (11.26)

を得る。

位置表示で正準量子化を行えば、p = −iℏ∇ (11.27)

であるが、任意の関数に対して

r∂f

∂r= r · ∇f (11.28)

であるから*9、(11.26)式より、

ℏ2L2 = r2p2 + ℏ2r2∂2

∂r2+ 2ℏ2r

∂

∂r= r2p2 + ℏ2

∂

∂r

(r2∂

∂r

)(11.30)

を得る。両辺 r2 で割れば*10、

p2 = −ℏ2

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

ℏ2L2

r2(11.31)

となる*11。

11.1.4 動径方向と角度方向の分離

これより、相対運動系のエネルギー固有値問題は、

ℏ2

2m

[− 1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+L2

r2

]ψ + V (r)ψ = Eψ (11.36)

*8 2.3節で議論したように、位置表示における運動量 P の固有関数は、平面波 uP ∝ eiP ·x/ℏ で与えられる。重心運動のハミルトニアン HR = P 2/2mの固有関数は運動量 P の固有関数でもあるので、やはり平面波解となる。

*9 偏微分のチェインルールより

r∂f

∂r= r

(∂x

∂r

∂f

∂x+∂y

∂r

∂f

∂y+∂z

∂r

∂f

∂z

)= x

∂f

∂x+ y

∂f

∂y+ z

∂f

∂z= r · ∇f (11.29)

*10 [r, L2] = 0であるから、L2 を r2 で割るときの演算子の順序 (L2r−2 なのか r−2L2 なのか)は気にしないで良い。*11 この結果は、10.5.1節のベクトル解析の結果を用いても導くことができる。スカラー場へのラプラシアンの作用は、微分が er,

eθ, eφ にも作用すること

∂er

∂r= 0,

∂eθ

∂r= 0,

∂eφ

∂r= 0,

∂er

∂θ= eθ,

∂eθ

∂θ= −er,

∂eφ

∂θ= 0,

∂er

∂φ= sin θ eφ,

∂eθ

∂φ= cos θ eφ,

∂eφ

∂φ= − sin θ er − cos θ eθ (11.32)

11.1 補足：3次元中心力ポテンシャル中の 2体問題 235

となる。ここで波動関数をψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ) (11.37)

と動径方向の波動関数と角度方向の波動関数の積として表すと、(11.36)式は、

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)+

2mr2

ℏ2(E − V (r)) =

(L2Y )

Y(11.38)

のように変数分離される。すなわち、L2 の極座標における位置表示 (10.124)より、左辺は θ, ψ に依存せ

ず、右辺は r に依存しないので、それぞれ定数でなければ方程式を成り立たせることができない。

角度方向の波動関数

この定数を λとすると、右辺から得られる方程式は

L2Y = λY (11.39)

となるので、角度方向の波動関数 Y は角運動量演算子の固有関数であることが分かる。これより、

λ = l(l + 1) (11.40)

であり、固有関数は、10.5.4節で詳しく説明したように、球面調和関数 (10.149)

Y = Yl,m(θ, φ)

= (−1)(m+|m|)/2 (−1)l

2ll!

√2l + 1

4π

√(l − |m|)!(l + |m|)!

(√1− ξ2

)|m|eimφ ∂l+|m|

∂ξl+|m|

(1− ξ2

)l(11.41)

で与えられる。ここで、ξ = cos θ である。

動径方向の波動関数が満たすべき式

一方、動径方向の Schrodinger方程式は、

− 1

r2d

dr

(r2dRl

dr

)+

2m

ℏ2(V (r)− E)Rl +

l(l + 1)

r2Rl = 0 (11.42)

となる。ここで、動径方向の波動関数は角運動量の大きさ (角運動量量子数) lに依存するので、その依存性

を添え字につけて Rl とした。動径方向の波動関数が角運動量の z 成分 mに依らないのは、中心力ポテン

と ei · ej = δij に注意すれば、

∆f = ∇ · ∇f =

(er

∂

∂r+ eθ

1

r

∂

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂

∂φ

)·(er∂f

∂r+ eθ

1

r

∂f

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂f

∂φ

)= er · er

∂2f

∂r2+ eθ ·

1

r

(eθ∂f

∂r+ eθ

1

r

∂2f

∂θ2

)+ eφ ·

1

r sin θ

(eφ sin θ

∂f

∂r+ eφ cos θ

1

r

∂f

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂2f

∂φ2

)=∂2f

∂r2+

2

r

∂f

∂r+

1

r2

[∂2f

∂θ2+ cot θ

∂f

∂θ+

1

sin2 θ

∂2f

∂φ2

](11.33)

=1

r2∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂f

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2f

∂φ2(11.34)

となる。さらに、(10.124)式より角運動量演算子を用いれば、

p2 −1

r2∂

∂r

(r2

∂

∂r

)+

ℏ2L2

r2(11.35)

となる。


シャルの回転対称性から、z 軸をどちらの方向にとってもよいという事実のあらわれである*12。また、

+l(l + 1)

r2∝ ℏ2

2m

L2

r2(11.43)

は、遠心力による斥力ポテンシャルに対応する部分であることに注意しよう*13。

任意課題 : (11.43)式が遠心力ポテンシャルに相当することを示せ。略解：ニュートン力学における遠心力に対応する部分であることを示せばよい。惑星のように中心力ポテン

シャル中を運動する粒子のエネルギー保存則を極座標で表せば、

E =1

2mv2 + V (r) =

1

2m(v2r + v2φ) + V (r) (11.44)

ここで vφ = rφ および L = v×p = mr× (vrer)+mr× (vφeφ) = mr× (vφeφ) より、L2 = m2r2v2φ

であるから、vr = r として、

E =1

2mr2 +

1

2m

L2

r2+ V (r) (11.45)

となる。したがって、動径方向の運動について考えれば、

Veff ≡ 1

2m

L2

r2+ V (r) =

1

2mr2φ2 + V (r) (11.46)

が実行的なポテンシャルとして働いていることになる。このポテンシャルによる力は、

F = −∇Veff = +1

m

L2

r3er −∇V =

mv2φr

er −∇V = (mrφ2)er −∇V (11.47)

となり*14、遠心力項 mrφ2 が表れる。よって、(11.43) 式は遠心力ポテンシャルに相当する。

11.2 動径方向の波動関数

11.2.1 動径方向の波動関数の境界条件

11.3.1節の (11.111)式で示すように、任意の波動関数が境界条件

limr→∞

rψ = 0 (11.48)

limr→0

rψ = 0 (11.49)

を満たせば、⟨ϕ|pr|ψ⟩ =

(⟨ψ|pr|ϕ⟩

)∗(11.50)

となるので、pr はエルミート演算子となる*15。

無限遠での境界条件 (11.48)式について、波動関数が規格化できる場合には、無限遠での寄与は消えなけ

ればならないので、規格化できるという条件が満たされれば、境界条件も自動的に満たされる。一方、原点

における境界条件は pr がエルミート演算子であるために必要な境界条件であり、3次元エネルギー固有値

問題では、境界条件 (11.49)式が成り立つことを要請する。

*12 11.4.5節の「発展」参照。*13 もともとの出処である運動エネルギーに戻すために ℏ2/2mの因子をつけた。*14 この計算の際に、L2 = m2r2v2φ を代入して微分してはだめで、この形で微分とらなければならないのであるが、それはなぜか。*15 (11.3.1)節の内容は講義では取り扱わない。ここではこの結果を認めることにする

11.2 動径方向の波動関数 237

発展的補足：さらに補足を加えておくと、pr はエルミート演算子であるにもかかわらず、量子力学におけ

る可観測量ではない。これは次のような事情による。pr の固有関数 uを

pru =ℏi

1

r

∂

∂r(ru) = pu (11.51)

を解いて求めると、規格化定数を C として

u(r) = Ceipr/ℏ

r(11.52)

で与えられるが、これは pr がエルミートであるための条件 (11.49), (11.48)を満たさない。すなわ

ち、エルミート演算子となるための条件を満たす固有関数の完全系が存在しないからである。

11.2.2 動径方向の波動関数の原点近傍での振る舞い

変数分離された動径方向の方程式 (11.42)より、[− 1

r2d

dr

(r2d

dr

)+

2m

ℏ2(V (r)− E

)+l(l + 1)

r2

]Rl = 0 (11.53)

である。

境界条件 (11.48), (11.49)の形から、動径方向の波動関数 Rl から

χl(r) = rRl(r) (11.54)

を定義しよう。エネルギー固有値を求める方程式は、[d2

dr2+

2m

ℏ2(E − V )− l(l + 1)

r2

]χl = 0 (11.55)

となる。

ここで、χl(r)と V (r)が原点の近傍で

χl(r) = a0rα+0 + a1r

α+1 + a2rα+2 + · · · = rα

∞∑n=0

anrn, (a0 = 0) (11.56)

V (r) = b0rβ+0 + b1r

β+1 + b2rβ+2 + · · · = rβ

∞∑n=0

bnrn, (b0 = 0) (11.57)

と冪級数展開できるものとする。これを (11.55)式に代入すると、

[a0α(α− 1)rα−2 + · · ·

]+

2mE

ℏ2[a0r

α + · · · ]− 2m

ℏ2[a0b0r

α+β + · · ·]

− l(l + 1)[a0r

α−2 + · · ·]= 0 (11.58)

を得る。ここで、β > −2の場合、最低冪 rα−2 の項の係数に対して、a0 = 0より、

α(α− 1)− l(l + 1) = 0 (11.59)

でなければならない。これより、波動関数の原点付近での振る舞いは、

α = l + 1 または α = −l (11.60)


と定まるが、境界条件 (11.49)式が満たされるためには、

α = l + 1 (11.61)


以上より、境界条件 (11.49)式を満たす動径方向の波動関数の原点近傍での振る舞いは、

χl(r) ∼ rl+1 =⇒ Rl(r) ∼ rl, (r → 0) (11.62)

となる。

β ≤ −2のときには、遠心力による斥力よりもポテンシャル V (r)からの寄与が大きい場合であり、原点

における境界条件はポテンシャルの詳細に依存する。

出席課題 S.11.1 : 原点近傍における動径方向の波動関数の振る舞い (11.62)式を示せ。出席課題 S.11.2 : 基底状態では l = 0であることを簡単な議論から説明せよ。

略解軌道角運動量が大きい場合には回転の運動エネルギーが大きくなるので*16、エネルギー最小の基底状態

では角運動量も最小値をとるはずである。量子力学では軌道角運動量は l = 0の場合に最小となるので、基

底状態では l = 0 であると考えられる。

出席課題 S.11.3 : 質量mの粒子を考える。3次元ポテンシャル

V (r) =

0 (0 < r < a)∞ (r > a)

(11.63)

における基底束縛状態の波動関数とエネルギーを求めよ。(出席課題 S.11.4–7 を先に解くこと)

略解基底状態では l = 0である。この場合、0 < r < aの領域における動径方向のシュレーディンガー方程式

は、(11.42)式より

− ℏ2

2m

[1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)]R0(r) = ER0(r) (11.64)

である。χ0(r) = rR0(r)を用いると、

− ℏ2

2m

∂2

∂r2χ0(r) = Eχ0(r) (11.65)

となる。これを解いて

R0(r) =χ0(r)

r= A

sin kr

r+B

cos kr

r(11.66)

ここで E = ℏ2k2/(2m)である。

r = 0での境界条件 (11.62)より B = 0でなくてはならない。また、r = aにおける境界条件 R(a) = 0

より*17、ka = nπ, (n = 1, 2, 3, · · · ) (11.67)

と量子化される。l = 0の場合のエネルギー固有値は

En =ℏ2k2

2m=

π2ℏ2

2ma2n2 (11.68)

となるが、基底状態では n = 1であるから、基底エネルギーは

E1 =π2ℏ2

2ma2(11.69)

であり、このとき k = π/aである。

*16 式を用いて説明すること。*17 無限大のポテンシャルに束縛されている場合の境界条件である。

11.2 動径方向の波動関数 239

角度方向の波動関数は Y0,0 = 1/√4π であるから、基底状態の波動関数は

ψ0 = R0(r)Y0,0 =A√4π

1

rsin(πra

)(11.70)

となる。波動関数の規格化条件∫dΩr2dr|ψ0|2 =

∫dΩ|Y0,0|2

∫ ∞

0

r2dr|R0|2 = |A|2∫ a

0

dr sin2(πra

)= |A|2 a

2= 1 (11.71)

より A =√

2/aとすると、基底状態の波動関数は

ψ0 =1√2πa

1

rsin(πra

)(11.72)

演習問題 E.11.3 : 3次元調和振動子ポテンシャル

V (r) =1

2mω2r2 (11.73)

中の質量mの粒子を考える。基底束縛状態の波動関数とエネルギーを求めよ。

ただし、ガウス型積分

IGn =

∫ ∞

−∞x2n exp(−ax2)dx (11.74)

に対する公式

IGn =2n− 1

2aIGn−1 (11.75)

IG0 =

∫ ∞


√π

a(11.76)

を用いてよい。略解基底状態では l = 0である。このとき、χ(r) = rR(r)を用いると、

− ℏ2

2m

∂2

∂r2χ(r) +

1

2mω2r2χ(r) = Eχ(r) (11.77)

である。これは 1次元調和振動子の場合と同じ形をしている。したがって、3.1節の議論を展開すれば、基

底状態の χ(r)はエルミート多項式 Hn を用いて

χ(r) = AHn(br) exp

(− b

2r2)

(11.78)

のかたちをしていることがいえる。ここで b ≡ mω/ℏである。よって、

R(r) =χn(r)

r= A

Hn(br)

rexp

(− b

2r2)

(11.79)

である。

ここで、Rn(r)は r = 0での境界条件 (11.62)を満たさなければならないので、1次元調和振動子の場合

と異なり、n = 0をとることは許されない*18。したがって、基底状態は n = 1である。H1(br) = 2br で

あるから、基底状態では

χ(r) = Br exp

(− b

2r2), R(r) = B exp

(− b

2r2), (11.80)

である。ここで B = 2bAとした。これを (11.77)式に代入すれば、基底状態のエネルギー固有値は

E =3

2ℏω (11.81)

*18 n = 0の場合のエルミート多項式は H0 = 1である。


と求まる。

これは、基底状態が 1次元調和振動子の n = 1 に対応するものであったことから当然であるが、エネル

ギー等分配則の観点からも当然の結果である。すなわち、3次元調和振動子では、x, y, z の各方向の振動

にエネルギーが等分配されるため、3次元調和振動子の基底状態のエネルギー固有値が、1次元調和振動子

の基底状態のエネルギー ℏω/2の 3倍となっているのである。

基底状態 ψ0 = RY0,0 の波動関数の規格化条件は

1 =

∫dΩr2dr|ψ0|2 = |B|2

∫ ∞

0

drr2e−br2 (11.82)

であるが、被積分関数が偶関数であることに注意して積分区間を変更し、(11.74), (11.75), (11.76)式を用

いれば、 ∫ ∞

0

drr2e−br2 =1

2

∫ ∞

−∞drr2e−br2 =

1

2

1

2b

∫ ∞

−∞dre−br2 =

1

2

1

2b

√π

b(11.83)

であるから、規格化された波動関数は

ψ0 = R0Y0,0 =1√π

(m3ω3

πℏ3

)1/4

exp(−mω

2ℏr2)

(11.84)

となる。

演習問題 E.11.4 : クーロンポテンシャル

V (r) = − Ze2

4πε0r(11.85)

中の質量mの粒子の基底束縛状態の波動関数とエネルギーを求めよ。

ただし、積分

In =

∫ ∞

0

rn exp(−αr)dr (11.86)

に対する公式

I0 =

∫ ∞

0

exp(−αr)dr = 1

α(11.87)

In =n

αIn−1 =

n!

αnI0 =

n!

αn+1(11.88)

を用いてよい。略解基底状態は l = 0である。動径方向のシュレーディンガー方程式は[

− ℏ2

2m

1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)− Ze2

4πε0r− E

]R(r) = 0 (11.89)

となるが、r → ∞では

− ℏ2

2m

d2

dr2R(r) = ER(r) = −|E|R(r) (11.90)

となるので*19、r の大きいところで R(r)は

R(r) ∼ exp

(±√

2m|E|ℏ

r

)(11.91)

のように振る舞う。無限遠での境界条件 (11.48)より負符号を採用しなければならない。

演習問題 E.11.3 での議論、特に (11.80)式が導かれた流れをにらみ、基底状態の波動方程式が

R(r) ∼ Ae−br (11.92)

*19 束縛状態を考えているので、E < 0であることに注意。

11.3 発展：一般座標系における位置表示と量子化 241

の形をとると仮定する。ここで bは未知定数とする。χ(r) = rR(r)に対するシュレーディンガー方程式

− ℏ2

2m

d2

dr2χ(r)− Ze2

4πε0rχ(r) = Eχ(r) (11.93)

に (11.92)式を代入すると、

− ℏ2

2m(−2b+ b2r)e−br − Ze2

4πε0rre−br = Ere−br (11.94)

となるが、これが成り立つように b, E を決めると*20、

b =Zme2

4πε0ℏ2=

√2m|E|ℏ

(11.95)

E = −ℏ2b2

2m= −Z

2m

2ℏ2

(e2

4πε0

)2

(11.96)

を得る。(11.95)式の結果は (11.91)式と同じであることに注意しよう。

あとは基底状態の波動関数 ψ0 = RY0,0 の規格化を行えばよい。(11.86), (11.87), (11.88)式を用いれば、

1 =

∫dΩr2dr|ψ0|2 = |A|2

∫ ∞

0

drr2e−2br =|A|2

4b3(11.97)

であるから、

A =√4b3 = 2

(Zme2

4πε0ℏ2

)3/2

(11.98)

であり、規格化された波動関数は、

ψ0 =1√π

(Zme2

4πε0ℏ2

)3/2

exp

(− Zme2

4πε0ℏ2r

)(11.99)

となる。

得られた基底エネルギー、基底状態関数ともに、厳密解と一致する。

加点問題 P.11.2 : 動径方向の運動量演算子がエルミート演算子でなければならないことから、動径

方向の波動関数が境界条件

limr→∞

rψ = 0 (11.100)

limr→0

rψ = 0 (11.101)

を満たさなければならないことを示せ。

略解 11.3.1 節参照。

11.3 発展：一般座標系における位置表示と量子化

2体問題では重心座標をとってその相対運動を極座標を用いて記述すると便利であった。さらに、多数の

粒子の運動を取り扱う原子物理や原子核物理においては、その集団運動を量子化する場合にもっと特殊な座

標系を用いることも多い。そこで、本節では極座標系を例にとり、それを拡張するかたちで一般座標系にお

ける量子化と位置表示について簡潔にまとめておく。

*20 e−br と re−br は関数 (状態ベクトル)として線形独立であるから、Ae−br +Bre−br = 0の形にまとめたときに、係数 A,B

を 0としなければならない。


11.3.1 極座標における運動量演算子のエルミート性

動径方向の運動量 pr

動径方向 Schrodinger方程式 (11.42)式における r に関する微分の項は、

−ℏ2

r2∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)=

(ℏi

1

r

∂

∂rr

)(ℏi

1

r

∂

∂rr

)ψ (11.102)

と変形できるので、3次元エネルギー固有値問題のハミルトニアンは、

H =1

2m

[(ℏi

1

r

∂

∂rr

)2

+ℏ2L2

r2

]+ V (r) (11.103)

となる。ハミルトニアンが

H =p

2m+ V (r) =

1

2m(p2r + p2θ + p2φ) + V (r)

=1

2m

[p2r +

ℏ2L2

r2

]+ V (r) (11.104)

となるべきことから、これは、動径方向の運動量演算子を位置表示で表したものが

pr,0 =ℏi

∂

∂r(11.105)

ではなく、

pr =ℏi

1

r

∂

∂rr (11.106)

であることを示唆している。

これは、

pr,0 = er · p =r

r· p (11.107)

がエルミート演算子ではないために、これをエルミート化した

pr =1

2

(r

r· p+ p · r

r

)(11.108)

を動径方向の運動量演算子とするべきことに起因している。実際、後者の場合に位置表示 p = −iℏ∇をとれば、∇ · r = 3, r · ∇r = r, に注意して

prf = − iℏ2

(∂f

∂r+∇ · rr

f − r · ∇rr2

f +r

r· ∇f

)= −iℏ

(∂f

∂r+f

r

)=

ℏi

1

r

∂

∂r(rf) (11.109)

となっている。あるいは、量子化 pr → pr に際して、pr を (1/r)prrのようにしておく必要があるというこ

ともできる。これが正凖量子化に伴うエルミート化の操作である。

直接計算すれば示せるように、pr,0, pr ともに、

[r, pr,0] = [r, pr] = iℏ (11.110)

を満たすので、いずれの組も正凖共役な変数となっている。しかし、pr,0 はエルミート演算子ではないので、

動径方向の運動量をあらわす演算子とはなり得ないのである。

11.3 発展：一般座標系における位置表示と量子化 243

pr がエルミート演算子であるかどうかを調べよう。(1.33)式が成り立っているかどうかを調べれば良い。

具体的に計算すると

⟨ϕ|pr|ψ⟩ =∫dΩ

∫ ∞

0

r2dr ϕ∗ℏi

1

r

∂

∂r(rψ) =

∫dΩ

∫ ∞

0

dr (rϕ∗)ℏi

∂

∂r(rψ)

=

∫dΩ

[ℏirϕ∗rψ

]∞0

−∫ ∞

0

drℏi

(∂

∂r(rϕ∗)

)(rψ)

=

∫dΩ

∫ ∞

0

r2dr

(ψℏi

1

r

∂

∂r(rϕ)

)∗

+ℏi

∫dΩ [(rϕ)∗(rψ)|r=∞ − (rϕ)∗(rψ)|r=0]

= ⟨ψ|pr|ϕ⟩∗ +ℏi

∫dΩ [ (rϕ)∗(rψ)|r=∞ − (rϕ)∗(rψ)|r=0 ] (11.111)

となる。これより、pr がエルミート演算子であるかどうかは、波動関数の境界条件と関連していることが

分かる。

すなわち、波動関数が境界条件

limr→∞

rψ = 0 (11.112)

limr→0

rψ = 0 (11.113)

を満たせば、⟨ϕ|pr|ψ⟩ =

(⟨ψ|pr|ϕ⟩

)∗(11.114)

となるので、pr はエルミート演算子となる。

角度方向の運動量 pθ, pφ

同様に、正準交換関係を満たす角度方向の運動量演算子は

pθ =ℏi

1√sin θ

∂

∂θ

√sin θ (11.115)

pφ =ℏi

∂

∂φ(11.116)


実際、pθ の場合、

⟨ϕ|pθ|ψ⟩ =∫ ∞

0

r2dr

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sin θdθ ϕ∗ℏi

1√sin θ

∂

∂θ

(√sin θψ

)=

∫ ∞

0

r2dr

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ(√

sin θϕ∗) ℏi

∂

∂θ

(√sin θψ

)=

∫ ∞

0

r2dr

∫ 2π

0

dφ

[ℏi

√sin θϕ∗

√sin θψ

]π0

−∫ π

0

dθℏi

(∂

∂θ

(√sin θϕ∗

))(√sin θψ

)=

∫ ∞

0

r2dr

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sin θdθ ψ

(ℏi

1√sin θ

∂

∂θ

(√sin θϕ

))∗

= ⟨ψ|pθ|ϕ⟩∗ (11.117)

となる。

pφ の場合、同様の計算を行うと、

⟨ϕ|pφ|ψ⟩ = ⟨ψ|pφ|ϕ⟩∗ +∫ ∞

0

r2dr

∫ π

0

sin θdθ

[ℏiϕ∗ψ

]2π0

(11.118)


となる。10.5.2節でも議論したように、波動関数が φに対して 1価であれば

ψ(r, θ, φ) = ψ(r, θ, φ+ 2π) (11.119)

より pφ のエルミート性が成り立つ。

運動量演算子 p2

テンソル解析の知識が必要となる。本講義ノートでは詳しい議論を行わないが、以下に結論だけをまとめ

ておく*21。以下では、計量 gij の行列式を g ≡ det gij する。

まず、p2 の計算には、p2 = −ℏ2

(∂2x + ∂2y + ∂2z

)= −ℏ2∆

より、ラプラシアン ∆が必要になることに注意する。スカラー関数 ψ(x)のラプラシアンは

∆ψ = ∇i∇iψ (11.122)

より、ベクトル場 ∇iψ の発散で与えられる。ここで、勾配 ∇iψ = ∂iψ は双対ベクトルであるが、逆計量

を用いて∇iψ = gij∂iψ (11.123)

のように「ベクトル化」できることに注意する。

次に、一般化座標 qi におけるベクトル場の発散は

∇iVi = ∂iV

i + ΓiijV

j =1√g

∂

∂qi(√gV i

)(11.124)

となることを示すことができる*22。ここで Γkij はクリストッフェル記号である。すると、ラプラシアン

∆ψ は、ベクトル場∇iψ の発散によって

∆ψ = ∇i∇iψ =1√g

∂

∂qi

(√ggij

∂

∂qi

)ψ (11.125)


これを用いれば、極座標における p2 は

p2 = −ℏ2(∂2x + ∂2y + ∂2z

)= −ℏ2∆

⇒ −ℏ2[1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂φ2

](11.126)

となる。

*21 なぜこのような複雑なことになるのか、出発点となる疑問点は以下のとおりである。(1) 位置 (ベクトル) qi の正準共役運動量

pi =∂L

∂qi(11.120)

は物理数学 C・D で学んだテンソル解析の観点からは、双対ベクトルである。双対ベクトルの内積は逆計量 gij を用いて与えられるから、p2 = gijpipj である。すなわち、単に p2 = p2r + p2θ + p2φ とするわけにはいかない。(2) さらに、物理数学 C・Dで学んだように、ベクトル場の微分が共変微分

∇jVi = ∂jV

i + ΓijkV

k (11.121)

で与えられたことを考慮すると、極座標で運動量演算子を位置表示して微分演算子に代えた場合に、クリストっフェル記号 Γijk

の寄与はどうなっているのかも気になるところである。*22 重要公式である。一般相対論の教科書にはだいたい証明されていると思う。「一般相対性理論 (再)入門講義ノート」(公開中) や教科書「一般相対性理論」須藤靖著, 日本評論社などを参照。

11.4 クーロンポテンシャル：水素型原子 245

任意課題 : (11.111)式の計算を詳細に追え。

任意課題 : (11.115), (11.116)式が正準交換関係

[θ, pθ] = iℏ, [φ, pφ] = iℏ (11.127)

を満たすことを示せ。

任意課題 : 極座標の場合、

gij =

1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

(11.128)

である。(11.125)式を用いてスカラー場の発散を計算し、正しい結果 (11.126) が得られること

を示せ。

11.3.2 一般座標における運動量演算子

極座標の場合の結果 (11.106), (11.115), (11.116)を一般化すると、任意の一般座標系 qi における運動量

演算子 pi の位置表示は

pi =1

g1/4

(ℏi

∂

∂qi

)g1/4 (11.129)

で与えられる。エルミート性が成立するために、別途波動関数に対する境界条件が要請される場合がある。

p2 についても (11.125)式より、

p2 = −ℏ2 1√g

∂

∂qi

(√ggij

∂

∂qi

)(11.130)

である。運動量演算子を用いて表せば、

p2 =1

g1/4pi

(√ggij pj

1

g1/4

)(11.131)

となる。

11.4 クーロンポテンシャル：水素型原子

ポテンシャルが相対距離だけで決まる場合には重心運動が分離できて、相対運動は換算質量を用いた 1体

問題に帰着する*23。Ze, (e > 0) の電荷を持つ原子核まわりに電子 (電荷 −e)が束縛されている場合のクーロンポテンシャル

V (r) = − Ze2

4πε0r(11.132)

はこの場合に相当するので、相対運動のエネルギー固有値問題は動径方向と角度方向で変数分離でき、動径

方向のエネルギー固有値方程式は、[− ℏ2

2m

1

r2d

dr

(r2d

dr

)+

ℏ2

2m

l(l + 1)

r2− Ze2

4πε0

1

r− E

]Rl(r) = 0 (11.133)

となる。ここで換算質量を簡単のため m = µと表記していることをもう一度注意しておく。クーロンポテ

ンシャルで記述される系を水素型原子と呼ぶ。

*23 本章以外でも 9.1.3節の演習課題で取り上げた。重要な問題であるから、いろいろな教科書や演習書に載っているはずである。必ず復習しておくこと。


微細構造定数

電気力の強さに関係する e, ε0 (真空の誘電率)に、基本定数である ℏ, c (光速度)を加えて無次元量を構

成すると、

α ≡ e2

4πε0ℏc≈ 1

137(11.134)

が得られる。ここで、4π を分母に含めたのは慣習による。αは微細構造定数と呼ばれ*24、電気力の強さを

表す。微細構造定数を用いるとクーロンポテンシャルは、

V (r) = − Ze2

4πε0r= −Zαℏc

r(11.135)

とあらわされる*25。

11.4.1 境界条件を満たす動径方向の波動関数

動径方向の方程式は

ρ = 2κr, κ ≡√2m|E|ℏ

(11.136)

と無次元化座標を導入し、パラメータ

γ ≡ Ze2

4πε0ℏ

√m

2|E|(11.137)

を導入すると、d2Rl

dρ2+

2

ρ

dRl

dρ+

(γ

ρ− 1

4− l(l + 1)

ρ2

)Rl = 0 (11.138)

となる。

原点での境界条件は (11.62)式より、

Rl(ρ) ∼ ρl, (ρ→ 0) (11.139)

である。一方、無限遠での振る舞いを調べるために、(11.138)式で ρ→∞で残る項を考えると、

d2Rl

dρ2− 1

4Rl ∼ 0, (ρ→∞) (11.140)

となるから、Rl の無限遠での振る舞いはRl(ρ) ∼ e±

12ρ (11.141)

となる。境界条件 (11.48)を満たすためには、Rl(ρ) ∼ e−12ρ を選ぶ必要がある。

原点および無限遠での振る舞いから、動径方向の波動関数を

Rl(ρ) = ρle−12ρ χl(ρ) (11.142)

とおいて*26、(11.138)式に代入すると、

ρd2χl

dρ2+[2(l + 1)− ρ

]dχl

dρ+(γ − l − 1

)χl = 0 (11.143)

*24 微細構造定数と呼ばれる名前の由来については 13.4節「スピン軌道相互作用」の脚注参照。*25 本講義ノートでは微細構造定数を用いた表記と真空の誘電率を用いた表記を列記する。*26 このように原点近傍や無限遠での漸近形を別途抜き出した関数形を与えることは、微分方程式の解を求める際の常套手段の一つである。


が得られる。ここで χl を

χl(ρ) =∞∑k=0

akρk (11.144)

とべき級数展開して、(11.143)式に代入して ρk の係数を比べると、漸化式

ak+1 =k + l + 1− γ

(k + 1)(k + 2l + 2)ak (11.145)

が得られる。

出席課題 S.11.4 : (11.145)式を示せ。略解べき級数展開 (11.144)を (11.143)式に代入すると、

ρd2χl

dρ2=

∞∑k=0

akk(k − 1)ρk−1 =

∞∑k=1

akk(k − 1)ρk−1 k=k′+1=

∞∑k′=0

ak′+1(k′ + 1)k′ρk

′

k′=k=

∞∑k=0

ak+1(k + 1)kρk (11.146)

2(l + 1)dχl

dρ=

∞∑k=0

ak(2l + 2)kρk−1 =

∞∑k=1

ak(2l + 2)kρk−1 =

∞∑k′=0

ak′+1(2l + 2)(k′ + 1)ρk′

=∞∑

k=0

ak+1(2l + 2)(k + 1)ρk (11.147)

−ρdχl

dρ= −

∞∑k=0

akkρk (11.148)

(γ − l − 1)χl =

∞∑k=0

ak(γ − l − 1)ρk (11.149)

となる。ここで (11.146)式の 2番めの等号では、k = 0のときには akk(k− 1) = 0より∑には寄与しな

いから、∑

k=0 を∑

k=1 としても変わらないことを用いている。(11.147)式でも同様の計算を行なってい

る。辺々加えると、

∞∑k=0

[ak+1(k + 1)(k + 2l + 2)− ak(k − γ + l + 1)

]ρk = 0 (11.150)

となる。係数を 0 とおけば漸化式 (11.145) が得られる。

11.4.2 クーロンポテンシャルの束縛状態で量子化が起こる理由

漸化式 (11.145) より、冪級数展開の無限級数がどこかで途切れない限り、動径方向の波動関数は e−ρ/2

の因子があるにも関わらず発散してしまう*27。実際、k の大きいところでは、

ak+1

ak∼ 1

k, (k →∞) (11.151)

であり、また、無限級数 (11.144)式では ρ→∞では k の大きい部分の寄与ほど大きいから、

χl(ρ) ∼∞∑k=0

1

k!ρk ∼ eρ, (ρ→∞) (11.152)

*27 同様の例を、既に 1次元調和振動子の級数展開法のところで取り扱っている (3.1.3節参照)。


という形に近づいていく。この場合には、

Rl = ρle−ρ/2χl ∼ ρle+ρ/2 (11.153)

となるので波動関数は無限遠で発散してしまう。

したがって、漸化式 (11.145)式が途切れて (11.144)式が有限級数となる必要がある。そのためには、γ

が漸化式を途切れさせるような特別の値をとる必要がある。(11.137)式で導入された γ がエネルギーに依

存することから、これは束縛状態では特別の (とびとびの値の)エネルギー固有値しか許されないことを意

味する。すなわち、無限遠までポテンシャルの寄与があるクーロン場においても量子化が起こるのである。

いま、冪級数 (11.144)が k = ν で途切れたとする。このとき、漸化式 (11.145)式の分子が 0になる必

要があるのでγ = ν + l + 1 ≡ n (11.154)

である。この ν を動径方向の量子数といい、n = ν + l+ 1のことを主量子数という。また、lを方位量子数

と呼ぶことがある。(11.137)式より、主量子数 nの状態のエネルギー固有値は

En = − m

2ℏ2

(Ze2

4πε0

)21

n2= −m(Zαc)2

2

1

n2(11.155)

で与えられる。ここで、束縛状態を考えているのでエネルギーの符号は負である*28ことに注意しよう。

出席課題 S.11.5 : 講義ノートに従い、水素型原子のエネルギー固有値を次の手順で求めよ。

1. 漸化式 (11.145)より、べき級数展開の無限級数がどこかで途切れない限り、動径方向の波

動関数は e−ρ/2 の因子があるにも関わらず発散してしまうことを示せ。

2. べき級数展開がどこかで途切れる条件より、エネルギー固有値が (11.155)式で与えられる

ことを示せ。

11.4.3 動径方向の波動関数の具体形

エネルギー固有値が量子化されて γ = nが自然数である場合、漸化式 (11.145)式は

ak+1 =(k + 1) + l − n

(k + 1)((k + 1) + 2l + 1)ak (11.156)

となるが、ak = 0であったとしても、k = n− (l+ 1)のとき ak+1 = 0となってしまうから、べき級数展開

は k = n− (l+ 1)までの有限級数となる。例えば、主量子数 n = 3の場合、角運動量量子数 (方位量子数)l

の取り得る値は l = 0, 1, 2である。l = 0のとき、動径方向の量子数は (11.154)式より k = ν = 2であり、

多項式展開は 2次までとなる。同様に l = 1の場合は k = 1であり、l = 2の場合は k = 0となる。

*28 より正確には、「エネルギーの原点をクーロンポテンシャルエネルギーが無限遠で 0になるようにとっているので、束縛状態のエネルギーは負である」というべきだろう。


級数解の具体形を求めよう。

ak = − n− l − kk(2l + 1 + k)

ak−1 = (−1)2 1

k(k − 1)

(n− l − k)(n− l − (k − 1))

(2l + 1 + k)(2l + 1 + (k − 1))ak−2 = · · ·

= (−1)k 1

k!a0

(n− l − k)(n− l − (k − 1)) · · · (n− l − 1)

(2l + 1 + k)(2l + 1 + (k − 1)) · · · (2l + 1 + 1)

= a0(−1)k

k!

(n− l − 1)(n− l − 2) · · · (n− l − k)(2l + 1 + k)(2l + 1 + (k − 1)) · · · (2l + 1 + 1)

(2l + 1)!

(2l + 1)!

= a0(−1)k

k!

(2l + 1)!

(2l + 1 + k)!

[(n− l − 1)(n− l − 2) · · · (n− l − k)

]= a0

(−1)k

k!

(2l + 1)!

(2l + 1 + k)!

(n− l − 1)!

(n− l − (k + 1))!(11.157)

となる。すでに説明したように k = n− (l + 1)で級数が途切れるから、和はそこまで取ればよく、

χl(ρ) = a0

n−(l+1)∑k=0

(−1)k

k!

(2l + 1)!

(2l + 1 + k)!

(n− l − 1)!

(n− l − (k + 1))!ρk (11.158)

が級数解の具体形となる。

ラゲール (Laguerre)の陪多項式の導入

級数解 (11.158)はラゲール (Laguerre)の陪多項式*29と呼ばれる多項式 (の定数倍)になっている。こ

こで、ラゲールの陪多項式 Lpq(ρ)の添字 q, pは、ラゲールの陪微分方程式

ρd2Lp

q

dρ2+(p+ 1− ρ

)dLpq

dρ+(q − p

)Lpq = 0 (11.159)

の解として導入される*30。(11.143)式と比べると、p = 2l + 1, q = n + l とおけばクーロンポテンシャル

の場合に相当することが分かる。よって、ラゲールの陪多項式 Lpq(ρ)を用いれば、方程式 (11.143)の解は

χl(ρ) = L2l+1γ+l (ρ) = L2l+1

n+l (ρ) (11.161)

と表される。結局、(11.142)式より、水素型原子の動径方向の波動関数は Aは規格化定数として、

Rn,l(ρ) = Aρle−ρ/2L2l+1n+l (ρ) (11.162)

で与えられる。ここで、動径方向の波動関数は主量子数 nにも依存するので添字 nを加えた (Rl → Rn,l)。

球面調和関数 Yl,m(θ, φ)で与えられる角度方向の波動関数を含めた、全波動関数は

un,l,m(r, θ, φ) = Rn,l(r)Yl,m(θ, φ) (11.163)

で与えられる。ここで全波動関数は磁気量子数 mにも依存するのでこの添字を加え、動径方向の波動関数

を ρではなく r の関数として表した。

以下では、ラゲールの陪多項式を n = 1, 2, 3の場合に求め、水素型原子の規格化された波動関数の具体型

について調べよう。水素型原子の動径方向の波動関数の一般形や、ラゲールの陪多項式の諸性質についての

議論はかなり面倒な計算を伴うので、発展的補足として 11.4.6節, 11.B節で取り扱う。

*29 ラゲールの随伴多項式とも呼ばれる。*30 ラゲールの陪多項式の定義には様々な流儀があり、係数倍の違いがあるほか、添字の意味についても違いがあるので注意が必要である。例えば、ラゲールの陪多項式を

ρd2Lp

q

dρ2+ (p+ 1− ρ)

dLpq

dρ+ qLp

q = 0 (11.160)

の解として導入する場合もある。この場合には p = 2l+ 1, q = n− l− 1とおけば、クーロンポテンシャルの場合となる。


ボーア半径

そのために、ボーア半径

aB ≡4πε0ℏ2

mee2=

ℏmeαc

(11.164)

を導入する。ここでme は電子の質量である。ボーア半径を用いて長さの次元を持つ定数

aB′ ≡ aBme

m(11.165)

を導入すれば、無次元化された動径座標は、

ρ = 2κr =2

n

Zr

aB′(11.166)

となる。ここで、無次元化された動径座標には主量子数 nが含まれていることに注意しよう。すなわち、主

量子数が異なれば無次元化された動径座標 ρが表す物理的な実際上の長さは異なる*31。

ところで、新たに定義した aB′ とボーア半径 aB の比は、m/me = mH/(me +mH) ≈ 0.9995であるか

らほとんど 1に等しいが、原子物理における精度の高いスペクトルの測定においては、m/me と 1とのこ

の微小な差を無視することはできない (らしい)。したがって、以下ではこの違いを無視しないで議論をすす

めることにする。

主量子数が n = 1の場合

主量子数が n = 1の場合、(11.154)式より ν = l = 0である。級数展開 (11.144)が途切れる k の値が ν

であったことに注意すると、展開は 0次で途切れる。すなわち、n = 1の波動関数にあらわれるラゲールの

陪多項式は L11(ρ) =定数である。また、無次元化座標は (11.166)式より

ρ = 2κr =2Zr

aB′(11.167)

である。

以上より、R1,0(ρ) = Ae−ρ/2 (11.168)

の形であることが分かる。全波動関数は

u1,0,0 = R1,0Y0,0 = Ae−ρ/2 1√4π

(11.169)

となる。

規格化因子 Aを求めよう。(11.166)式を用いて r 積分を ρ積分に変えて計算すれば、

1 =

∫dΩ|Y0,0|2

∫ ∞

0

r2dr|R1,0|2 = |A|2∫ ∞

0

(aB′ρ

2Z

)2 aB′

2Zdρ e−ρ =

|A|2

4

(aB′

Z

)3(11.170)

である。ここで (11.86), (11.87), (11.88)式を用いた。球面調和関数の正規直交性 (10.150)より、角度方向

の積分は常に 1になる (角度方向部分だけで独立に規格化されている)ので、実際の計算では、動径方向の

波動関数部分だけを規格化すればよいことにも注意しよう。これより、規格化因子は

A = 2

(Z

aB′

)3/2

(11.171)

*31 いろいろな場面での実計算で注意を要する点である。


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20

V2(r)

V1(r)

V0(r)

l(l+

1)R

nl(

r), E

n

r / aB’

R30(r)

R20(r)

R10(r)

E3

E2

E1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20

V2(r)

V1(r)

V0(r)

l(l+

1)R

nl(

r), E

n

r / aB’

R32(r)

R31(r)

R21(r)

E3

E2

E1

図 11.1 水素原子の動径方向の波動関数の概要。波動関数が見やすいように l(l + 1) 倍したものをプ

ロットしている。黒点線はポテンシャル Vl(r)である。エネルギースケールは E1 = −0.5となるように

規格化してある。l = 0の場合 (上図)、遠心力ポテンシャルが存在しないので、電子はクーロン力によっ

て束縛される。その結果として、波動関数は En < V0(r) の領域に局在するが、外部領域にも染み出し

ている。n = 3の場合には、En < V0(r)の領域がかなり外側 r/aB′ ≲ 20まで伸びており、波動関数も

この領域まで拡がっている。l > 0の場合 (下図)、遠心力ポテンシャルの存在により電子は中心から締め

出されることになる。また、遠心力とクーロン力の釣り合うポテンシャルの極小値が生じるため、その

近傍で波動関数はピークを持つ。


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20

r2|R

nl(

r)|2

r / aB’

R32(r)

R31(r)

R30(r)

R21(r)

R20(r)

R10(r)

図 11.2 電子軌道の確率密度関数 r2|Rn,l(r)|2。

となるので、規格化された波動関数は (11.162)式より、

R1,0(r) = 2

(Z

aB′

)3/2

exp

(− ZraB′

)(11.172)

u1,0,0(r, θ, φ) =1√π

(Z

aB′

)3/2

exp

(− ZraB′

)(11.173)

となる。

図 11.1に n = 1, 2, 3の場合の水素原子の動径方向の波動関数 Rn,l、エネルギー固有値 En、ポテンシャル

Vl(r) ≡ℏ2

2m

l(l + 1)

r2− Ze2

4πε0

1

r(11.174)

の概要を示す。波動関数のピークの位置やその拡がりは古典力学からの類推によってよく説明できる。すな

わち、波動関数は En < V0(r) の領域に局在し (量子力学的効果で外部領域にも染み出しているが)、遠心

力とクーロン力の釣り合うポテンシャルの極小値のその近傍で波動関数がピークを持つということである

(l = 0の場合には遠心力ポテンシャルが存在しないため r = 0にピークを持つ)。

次に、水素原子の電子を r ∼ r + dr の球殻に見出す確率 dPn,l(r) を考えると、これは

dPn,l(r) = r2|Rn,l(r)|2dr (11.175)

で与えられる*32。これより、r2|Rn,l(r)|2 は電子を r ∼ r + dr の球殻に見出す確率密度であることが分か

る。図 11.2に n = 1, 2, 3の場合の r2|Rn,l(r)|2 を示す。これより、電子を見出す確率は波動関数よりも外側に拡がっていることが分かる。これは、重み因子 r2 (外側ほど球殻が大きいため電子を見出す確率が増幅

される) の影響である。

*32 極座標系での規格化条件が

1 =

∫dΩ|Yl,m(θ, φ)|2

∫drr2|Rn,l(r)|2 (11.176)

であることから、r2 の重み因子がつくことに注意。


出席課題 S.11.6 : 主量子数 n = 1の場合の動径方向の波動関数 R1,0(r)を求めよ。

主量子数が n = 2の場合演習問題 E.11.5 : n = 2の場合の水素型原子の波動関数を求め、動径方向の波動関数を図示せよ。略解動径方向の波動関数の図示については各自で行うこと。主量子数が n = 2 の場合、(11.154) 式より

ν = 1, l = 0 (u2,0,0)あるいは ν = 0, l = 1 (u2,1,m, m = 0,±1) の 2通りの可能性がある。また、動径座

標の無次元化は (11.166)式より ρ = Zr/aB′ であることに注意する。

1. ν = 1, l = 0 の場合：級数展開 (11.144)が途切れる k の値が ν であったことに注意すると、波動

関数にあらわれるラゲールの陪多項式は L12(ρ) = a0 + a1ρ である。さらに、漸化式 (11.145) より、

a1 = −a0/2であるから、L11(ρ) = a0(1− ρ/2)となる。よって (11.162)式より、

u2,0,0 = R2,0Y0,0 = Ae−ρ/2

(1− 1

2ρ

)1√4π

(11.177)

となる。ここで a0 は規格化因子 Aに吸収させた。

(11.86), (11.87), (11.88)式を用いて規格化条件を計算すると、

1 =

∫dΩ

∫ ∞

0

r2dr |u2,0,0|2 = |A|2(aB′

Z

)3 ∫ ∞

0

dρ

(1− ρ+

ρ2

4

)ρ2e−ρ

= 2|A|2(aB′

Z

)3(11.178)

となるので、規格化された波動関数は

u2,0,0 =1√8π

(Z

aB′

)3/2

e−ρ/2

(1− 1

2ρ

)(11.179)

となる。ここで ρ = Zr/aB′ である。

2. ν = 0, l = 1 の場合：波動関数に表れるラゲールの陪多項式は L33(ρ) = 定数である。(11.162)式よ

り、この定数を規格化因子 Aに組み込んで、

R2,1 = Aρe−ρ/2 (11.180)

u2,1,m = R2,1Yl,m = Aρe−ρ/2Y1,m (11.181)

球面調和関数の正規直交性および (11.86), (11.87), (11.88)式を用いて規格化条件を計算すると、

1 = 24|A|2(aB′

Z

)3(11.182)

よって、

u2,1,m = R2,1Y1,m =1

2√6

(Z

aB′

)3/2

ρe−ρ/2Y1,m (11.183)

となる。Y1,m については (10.152)式を参照して、

u2,1,0 =1

4√2π

(Z

aB′

)3/2

ρe−ρ/2 cos θ (11.184)

u2,1,±1 = ∓ 1

8√π

(Z

aB′

)3/2

ρ e−ρ/2 sin θ e±iφ (11.185)

主量子数が n = 3の場合加点問題 P.11.3 : n = 3の場合の水素型原子の動径方向の波動関数を求め、動径方向の波動関数を

図示せよ。


略解少し面倒な計算になるが、演習問題 E.11.5 と同様に計算する。(11.166) 式より ρ = 2Zr/(3aB′) とし

て、動径方向の波動関数は

R3,0(ρ) =2

9√3

(Z

aB′

)3/2(3− 3ρ+

1

2ρ2)e−ρ/2 (11.186)

R3,1(ρ) =

√2

9√3

(Z

aB′

)3/2

ρ

(2− 1

2ρ

)e−ρ/2 (11.187)

R3,2(ρ) =

√2

18√3

(Z

aB′

)3/2

ρ2e−ρ/2 (11.188)

となるはずである。球面調和関数も含めれば全波動関数が求められる。動径方向の波動関数の図示につい

ては各自で行うこと。

11.4.4 動径座標の期待値

主量子数が n = 1の場合

n = 1の場合に動径座標の期待値 ⟨r⟩を求めよう。(11.168)式を用いれば

⟨r⟩ =∫|Y0,0|2dΩ

∫ ∞

0

r2drR∗1,0rR1,0 = |A|2

∫ ∞

0

drr3e−ρ (11.189)

であるが、r 積分を ρ積分に変えて、(11.86), (11.87), (11.88)式を用いて計算すれば、

⟨r⟩ = |A|2(aB′

2Z

)43! =

3aB′

2Z(11.190)

となる。

同様に、動径座標の逆数の期待値 ⟨1/r⟩は、⟨1

r

⟩=

∫|Y0,0|2dΩ

∫ ∞

0

r2drR∗1,0

1

rR1,0 =

Z

aB′(11.191)

となる。これらより、水素原子 (Z = 1)の場合、n = 1の状態の電子はボーア半径 aB ≈ aB′ 程度の拡がり

を持っていることが分かる。

出席課題 S.11.7 : (11.191)式を示せ。

演習課題 E.11.6 : (11.190)式を示せ。

主量子数が n = 2の場合加点問題 P.11.4 : n = 2の場合の水素型原子の波動関数に対して、⟨r⟩ および ⟨1/r⟩ を求めよ。略解やや面倒だが、講義ノートにある n = 1 の場合にならって計算する。得られた結果が正しいかどうかの

チェックは (11.213), (11.212) 式参照。

11.4.5 水素型原子の縮退度について

水素型原子の場合、エネルギー固有値 (11.155)は主量子数 nだけで決まっている。これは、エネルギー

固有状態が nだけで区別され、角運動量量子数 lについては縮退していることを意味している。nを与えた

ときに lの取り得る値は、l = 0, 1, · · · , n− 1 (11.192)


である。すなわち、角運動量子数 l について n 重に縮退している。そのため、本講義ノートでも採用して

きたように、水素型原子の動径方向の波動関数は主量子数と角運動量量子数の 2つを添え字にとって Rnl,

Rn,l と表記されることが多い。

このそれぞれの lに対して、磁気量子数mは

m = −l, −l + 1, · · · , l − 1, l (11.193)

の (2l + 1)個の場合があるので、n−1∑l=0

(2l + 1) = n2 (11.194)

より、エネルギー固有状態は与えられた主量子数 n に対して、全体としては n2 重に縮退していることに

なる。

水素原子の電子状態の表記法

水素原子では、主量子数 nによってエネルギー準位が決められるので、主量子数が同じ (縮退した)状態を

まとめて、アルファベットの大文字で名前をつけ、ひとまとまりの殻として考える場合がある。その対応は

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · · ⇐⇒ K, L, M, N, O, P, · · · (11.195)

となっている。あるいは主量子数の値をそのまま用いる場合も多い (本講義ノートでは主量子数の値をその

まま用いる表記法を採用する)。次に、軌道角運動量量子数 l で電子の軌道の状態を指定する。軌道角運動

量量子数 lには小文字のアルファベットが対応し、

l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · ⇐⇒ s, p, d, f, g, h, · · · (11.196)

とあらわされる。

例えば、n = 1 の状態は ν = l = 0 の状態、すなわち 1s状態

|1s⟩ ≡ |u1,0,0⟩ (11.197)

のみ存在し、これが基底状態であり、縮退はない。

一方、n = 2 の状態は、ν = 1, l = 0 の 2s状態

|2s⟩ ≡ |u2,0,0⟩ (11.198)

と、ν = 0, l = 1 の 2p状態|2p⟩ ≡ |u2,1,m⟩ (11.199)

が存在する。2s状態は l = 0なので 1重縮退、一方、2p状態は l = 1なので

|2p−1⟩ ≡ |u2,1,−1⟩, |2p0⟩ ≡ |u2,1,0⟩, |2p+1⟩ ≡ |u2,1,1⟩ (11.200)

の 2l + 1 = 3 重に縮退しており、合わせて 4 重に縮退している。この縮退度はたしかに (11.194) 式の

n2 = 22 = 4に等しい。

演習課題 E.11.7 : 主量子数 n = 3の場合の状態をすべて挙げよ。


略解 n = 3, l = 2, ν = 0の場合、

|3d−2⟩ = |u3,2,−2⟩, |3d−1⟩ = |u3,2,−1⟩, |3d0⟩ = |u3,2,0⟩,|3d+1⟩ = |u3,2,1⟩, |3d+2⟩ = |u3,2,2⟩ (11.201)

の 5状態、n = 3, l = 1, ν = 1の場合、

|3p−1⟩ = |u3,1,−1⟩, |3p0⟩ = |u3,1,0⟩, |3p+1⟩ = |u3,1,1⟩ (11.202)

の 3状態、n = 3, l = 0, ν = 2の場合、|3s⟩ = |u3,0,0⟩ (11.203)

の 1 状態、あわせて n2 = 32 = 9 個の状態がある。

発展　：対称性と縮退

磁気量子数 mに関する縮退は、中心力ポテンシャルの球対称性によるものである。すなわち、系が z 軸

の選び方に依らないため、mを指定しても状態を区別できないということに起因している。一方、角運動量

量子数 l に関しての縮退は、クーロンポテンシャルが ∝ 1/r という特別の形をしているために生じたもの

である。クーロンポテンシャルには、空間 4次元の回転操作に関連した O(4)と呼ばれる対称性があり、そ

のために角運動量量子数 lについても縮退が生じているのである。

したがって、一般の中心力ポテンシャルでは。l についての縮退は生じず、エネルギー固有値は nと l の

両方に依存する*33。また、球対称ではないポテンシャルの場合には、エネルギー固有値は n, l, mのすべて

の量子数に依存する。

より一般に、系 (ハミルトニアン)に対称性があるということは、対称であるがゆえに区別がつかない状

態があるということを意味する。区別がつかない状態があるということは、翻って、エネルギー固有値にお

ける縮退の存在を意味する。この観点からは、摂動によって縮退が解けるのは、摂動がもともとあった対称

性を壊すからである。

例えば、12.4節で取り扱うゼーマン効果では、z 方向の一様磁場を摂動として印加することによって磁気

量子数 mの縮退が解ける。対称性と縮退の関係の観点からは、これは「磁場の方向= z 方向」という特別

な方向ができてしまったために、もともと系が持っていた z 軸の選び方に関する対称性が失われたためであ

る、と解釈することができる。

11.4.6 補足：動径方向の波動関数の一般形

11.4.3 節で少し触れたように、水素型原子の動径方向の波動関数の一般系は、ラゲールの陪多項式

L2l+1n+l (ρ)を用いて、

Rnl(ρ) = Aρle−ρ/2L2l+1n+l (ρ) (11.204)

と表すことができる。未決定の規格化定数 A をここで求めよう。すでに述べたように、変数分離された、

角度方向の波動関数 (球面調和関数)の規格化条件が成り立っているので、動径方向の波動関数の規格化条

件は

1 =

∫ ∞

0

dr r2R∗nl(r)R(r) = |A|2

∫ ∞

0

dr r2l+2e−2κr[L2l+1n+l (2κr)

]2(11.205)

*33 3次元等方調和振動子ポテンシャルのエネルギー固有値は l に依存せず縮退する。これは、中心力ポテンシャルの場合に l についての縮退が起こる別の例である。


である。ここで変数を ρ = 2κr, κ = Z/(naB′)に変換すると、

1 = |A|2(naB′

2Z

)2l+3∫ ∞

0

dρ ρ2l+2 e−ρ[L2l+1n+l (ρ)

]2(11.206)

となる。

この積分を直交関係式 (11.333)を用いて評価したいが、そのまま適用するには ρの次数が 1つ高い。そ

こで、漸化式 (11.329)を次のように変形して用いる：

ρLpq(ρ) =

(p

q + 1− 1

)Lpq+1(ρ) +

(2q − p+ 1

)Lpq(ρ)− q2L

pq−1(ρ) (11.207)

ここで、直交関係式 (11.333)に注意すれば、右辺で積分として寄与するのは Lpq の項だけである。よって、∫ ∞

0

dρ ρ2l+2 e−ρ[L2l+1n+l

]2=(2(n+ l)− (2l + 1)− 1

)∫ ∞

0

dρ ρ2l+1 e−ρ[L2l+1n+l

]2= 2n

((n+ l)!

)3(n− l − 1)!

(11.208)

これを (11.206)式に代入すれば、規格化定数が

A = −

√√√√ (n− l − 1)!

2n((n+ l)!

)3 ( 2Z

naB′

)3(2Z

naB′

)l

(11.209)

と求まる。ここで、慣例に従って負号を付けた。(11.204)式に代入すれば、水素型原子の動径方向の波動関

数の一般形は、

Rn,l(r) = −

√√√√ (n− l − 1)!

2n((n+ l)!

)3 ( 2Z

naB′

)3 (2Zr

naB′

)l

exp

(− Zr

naB′

)L2l+1n+l

(2Zr

naB′

)(11.210)

で与えられる。全波動関数は、un,l,m(r) = Rn,l(r)Yl,m(θ, φ) (11.211)

である。

動径座標の期待値

直交関係式 (11.333) と漸化式 (11.329)を用いれば、動径座標の期待値の一般系も求めることができる。

例えば、1/rの期待値は、⟨1

r

⟩=

∫ ∞

0

dr r2R∗nl(r)

1

rR(r) = |A|2

(naB′

2Z

)2l+2∫ ∞

0

dρ ρ2l+1 e−ρ[L2l+1n+l (ρ)

]2(11.333)

= |A|2(naB′

2Z

)2l+2((n+ l)!

)3(n− l − 1)!

(11.209)=

Z

aB′

1

n2(11.212)


r の期待値の計算では、漸化式 (11.329)を繰り返し用いる必要があるが、規格化定数 (11.209)の導出に

ならって計算すれば、

⟨r⟩ = aB′

Z

3n2 − l(l + 1)

2(11.213)


であることを示すことができる。同様に、rk, (k ≥ −1) の場合には直交関係式 (11.333)と漸化式 (11.329)

を駆使して期待値を計算することができるが、1/r2, 1/r3 の期待値を計算するためには技巧的計算を要す

る。ここでは結果だけを示しておく*34：⟨1

r2

⟩=

Z2

a2B′

1

n32

(2l + 1)(11.214)⟨

1

r3

⟩=

Z3

a3B′

1

n32

l(l + 1)(2l + 1)(11.215)

加点問題 P.11.5 : (11.213)式を示せ。ヒント ρ2Lp

q を ρの掛かっていないラゲールの陪多項式で評価する。漸化式 (11.329)より、

ρ2Lpq =

(p

q + 1− 1

)ρLp

q+1 +(2q − p+ 1

)ρLp

q − q2ρLpq−1 (11.216)

であるが、右辺の ρLpq+1, ρL

pq , ρL

pq−1 をさらに漸化式 (11.329)を用いて書き換える:

ρLpq+1 =

(p

q + 2− 1

)Lp

q+2 +(2(q + 1)− p+ 1

)Lp

q+1 − (q + 1)2Lpq (11.217)

ρLpq =

(p

q + 1− 1

)Lp

q+1 +(2q − p+ 1

)Lp

q − q2Lpq−1 (11.218)

ρLpq−1 =

(p

q− 1

)Lp

q +(2(q − 1)− p+ 1

)Lp

q−1 − (q − 1)2Lpq−2 (11.219)

直交関係式 (11.333)より、寄与する項は Lpq に関する[

−(

p

q + 1− 1

)(q + 1)2 +

(2q − p+ 1

)2 − q2(p

q− 1

)]Lp

q (11.220)

だけである。

加点問題 P.11.6 : 1. クーロンポテンシャルの場合のビリアル定理 (2.6.4節参照)*35

2

⟨p2

2m

⟩+ ⟨V ⟩ = 0 (11.225)

を用いて、⟨1/r⟩ を計算せよ。

*34 加点問題 P.11.6, P.11.7参照。*35 2.6.4節の内容の再掲。1.3.4節で述べたように、定常状態では任意の物理量 Qの期待値が保存する。Q = x · p = xkpk に対してこの結果を用いれば、

0 = iℏd

dt⟨n|xkpk|n⟩

(1.97)= ⟨n|

[xkpk, H

]|n⟩ = ⟨n|

[xkpk,

pj pj

2m+ V (x)

]|n⟩ (11.221)

となるが、 [xkpk, pj p

j]= xk

[pk, pj p

j]+[xk, pj p

j]pk =

[xk, pj p

j]pk

= pj[xk, pj

]pk +

[xk, pj

]pj pk = pj

(iℏδkj

)pk +

(iℏδkj

)pj pk = 2iℏp2 (11.222)

[xkpk, V (x)

]= xk

[pk, V (xi)

] (1.49)= xk

[pk, x

i] ∂V∂xi

= xk(− iℏδki

) ∂V∂xi

= xk∂V

∂xk(11.223)

を位置表示して代入すれば、ビリアル定理

2⟨n|p2

2m|n⟩ = ⟨n|x · ∇V |n⟩ (11.224)

を得る。ビリアル定理を 1次元調和振動子ポテンシャルに適用すれば、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間には等分配則が成り立つことが分かる。一方、クーロンポテンシャル V ∝ 1/r の場合には、2⟨n|(p2/2m)|n⟩+ ⟨n|V |n⟩ = 0 である。


2. ヘルマン-ファインマンの定理 (4.6節参照)*36

∂En

∂λ=

⟨∂H

∂λ

⟩(11.230)

を λ = lとして適用することで、⟨1/r2⟩ を計算せよ。略解 1. ビリアル定理と

⟨H⟩ =⟨p2

2m

⟩+ ⟨V ⟩ = En (11.231)

から運動エネルギーの期待値を消去すれば、クーロンポテンシャルの期待値として

⟨V ⟩ = 2En (11.232)

を得る。(11.155)式を代入して、ボーア半径を用いて表せば (11.212)が導かれる。

2. 水素原子のハミルトニアン (11.133式参照)

H = − ℏ2

2m

1

r2d

dr

(r2d

dr

)+

ℏ2

2m

l(l + 1)

r2− Ze2

4πε0

1

r(11.233)

において、遠心力ポテンシャル項 (∝ 1/r2)だけが l に依存しているので、ヘルマン-ファインマンの

定理で λ = lとすることで、

∂En

∂l=

⟨∂H

∂l

⟩=

ℏ2

2m(2l + 1)

⟨1

r2

⟩(11.234)

より ⟨1/r2⟩を計算することができる。左辺のエネルギー固有値の微分の計算においては、(11.154)式より ∂/∂n = ∂/∂lであることに注意して計算する。結果は (11.214)となるはずである。

加点問題 P.11.7 : ⟨ [H, pr] ⟩ ≡ ⟨unlm|[H, pr]|unlm⟩ を計算することで ⟨1/r3⟩ を求めよ。略解 1.3.4節で述べたように、エネルギー固有状態においては任意の物理量の期待値が保存するので、

0 = ⟨unlm|[H, pr]|unlm⟩ = ⟨ [H, pr] ⟩ (11.235)

である。ハミルトニアン (11.233)を代入すれば、

0 =ℏ2l(l + 1)

2m⟨ [r−2, pr] ⟩ −

Ze2

4πε0⟨ [r−1, pr] ⟩ (11.236)

*36 4.6節の内容の再掲。ハミルトニアンがあるパラメータ λに依存して変動する場合を考える：

H(λ)|n(λ)⟩ = En(λ)|n(λ)⟩ (11.226)

(11.226)式を λで微分すると、

∂H

∂λ|n(λ)⟩+ H(λ)

∂|n(λ)⟩∂λ

=∂En

∂λ|n(λ)⟩+ En(λ)

∂|n(λ)⟩∂λ

(11.227)

となる。(11.227)式に |n(λ)⟩を作用させれば、

⟨n(λ)|[∂H

∂λ−∂En

∂λ

]|n(λ)⟩ = ⟨n(λ)|

[En(λ)− H(λ)

]∂|n(λ)⟩∂λ

(11.228)

となるが、(11.226)式のエルミート共役 ⟨n(λ)|H(λ) = ⟨n(λ)|En(λ) を用いれば、右辺はゼロになる。よって、

∂En

∂λ= ⟨n(λ)|

∂H

∂λ|n(λ)⟩ (11.229)

を得る。この結果をヘルマン-ファインマン (Hellmann-Feynman)の定理と呼ぶ。ヘルマン-ファインマンの定理を技巧的に利用すると、運動エネルギーやポテンシャルエネルギーなどの期待値を簡単に求めることが可能となる。例えば、1次元調和振動子のポテンシャルエネルギーの期待値は、運動エネルギーが ω に依存していないことに着目して、λ = ω としてヘルマン-ファインマンの定理を適用することで、(1/2)⟨mω2x2⟩ = En/2 と直ちに求まる。


を得る。正準交換関係 [r, pr] = iℏ が成り立つことに注意して (1.49)式を適用すれば、

[r−2, pr] = [r, pr]

(− 2

r3

)= −2iℏ 1

r3(11.237)

同様に、

[r−1, pr] = −iℏ 1

r2(11.238)

(11.236)式に (11.237), (11.238)式を代入すれば、⟨1

r3

⟩=

m

ℏ2l(l + 1)

Ze2

4πε0

⟨1

r2

⟩=

Z3

a3B′

1

n3

2

l(l + 1)(2l + 1)(11.239)

が示せる。

11.5 発展：クーロンポテンシャルにおける代数的方法

工事中。

調和振動子の場合 (エルミート多項式)にもそうであったが、解析的手法に基づく計算は面倒なことこの

上ない。水素原子の場合にも生成消滅演算子、あるいは昇降演算子のような代数的方法があると便利そうで

ある。そのうち解説を加える予定。

11.6 補足：3次元井戸型ポテンシャル

3次元井戸型ポテンシャル

V (r) =

−V0 (0 < r < a)0 (r > a)

(11.240)

を考える。

11.6.1 内部解

動径方向の方程式は r < aに対して、

− ℏ2

2m

1

r

d

dr

(r2dRl

dr

)+

ℏ2

2m

l(l + 1)

r2Rl − (E + V0)Rl = 0 (11.241)

となる。束縛状態が存在するためには、−V0 < E < 0 (11.242)


ρ = κr, κ ≡√2m(E + V0)

ℏ(11.243)

として無次元化すると、d2Rl

dρ2+

2

ρ

dRl

dρ+

(1− l(l + 1)

ρ2

)Rl = 0 (11.244)

となる。

11.6 補足：3次元井戸型ポテンシャル 261

原点周りで冪級数

Rl = ρα∞∑

n=0

anρn (11.245)

で展開して (11.244)式に代入すると、最低次 ρα−2 の項の係数から

a0 [α(α+ 1)− l(l + 1)] = 0 (11.246)

を得る。よって、α = l, あるいは α = −(l + 1) (11.247)


ρα−1 の項の係数からa1 = 0 (11.248)

であることがわかり、奇数次の冪 ρα+(2k−1) の項の係数から、奇数次の係数がすべて消えることが分かる。

a2k−1 = 0. (11.249)

偶数次の係数からは、漸化式

an [(n+ α)(n+ α+ 1)− l(l + 1)] + an−2 = 0 (11.250)

が得られる。

原点で有限な系列 α = lからは、

a2k = a0(−1)k

2kk!(2l + 2k + 1)(2l + 2k − 1) · · · (2l + 3)

= a0(−1)k(2l + 2k)(2l + 2k − 2) · · · (2l + 2)

2kk!(2l + 2k + 1)(2l + 2k)(2l + 2k − 1)(2l + 2k − 2) · · · (2l + 3)(2l + 2)

= a0(−1)k(l + k)!(2l + 1)!

k!(2l + 2k + 1)!l!(11.251)

が得られる。a0 として、

a0 =2ll!

(2l + 1)!(11.252)

と選んだ場合の Rl を jl とあらわし、球ベッセル関数

jl(ρ) = (2ρ)l∞∑

k=0

(−1)k(l + k)!

k!(2l + 2k + 1)!ρ2k (11.253)

と呼ぶ*37。

この方程式の原点で正則な解は球ベッセル関数で与えられ、動径方向の波動関数は球ベッセル関数を規格

化したものになる。Rl(r) = Al jl(κr) (11.256)

*37 原点で発散する系列 α = −(l + 1)からは、係数が

a2k = a01

2kk!(2l − 1)(2l − 3) · · · (2l − 2k − 1)

と求まり、a0 を

a0 = −(2l)!

2ll!(11.254)

と選んだ場合を球ノイマン関数

nl(ρ) = −1

2lρl+1

l∑k=0

(2l− 2k)!

k!(l− k)!ρ2k + (−1)k

∞∑k=l+1

(−1)k(k − l)!

k!(2k − 2l)!ρ2k

(11.255)

と呼ぶ。


11.6.2 外部解

外部解は、(11.241)式において V0 = 0としたものである。束縛状態においては

E < 0 (11.257)


ρo ≡ iβr, β ≡√2m|E|ℏ

(11.258)

として無次元化すると、(11.244)式と同型の

d2Rl

dρ2o+

2

ρo

dRl

dρo+

(1− l(l + 1)

ρ2o

)Rl = 0 (11.259)

が得られる。外部解は無限遠での境界条件 (11.48)を満たさなければならない。ただし、この場合には原点

r = 0は方程式の有効領域の範囲外であるので、内部解において原点での正則性を満たさない球ノイマン関

数 (11.255) も考慮する必要がある。そこで、球ベッセル関数、球ノイマン関数の 1 次独立な線形結合と

して、

h(1)l (ρo) ≡ jl(ρo) + i nl(ρo) (11.260)

h(2)l (ρo) ≡ jl(ρo)− i nl(ρo) (11.261)

を定義する。(11.260)式を第 1種の球ハンケル関数、(11.261)式を第 2種の球ハンケル関数と呼ぶ。ハンケル関数の無限遠での振る舞いを調べるためには、球ベッセル関数、球ノイマン関数の三角関数表示を用い

るのが便利である。それを以下で導出しよう。l = 0の場合、(11.244)式は、

d2R0

dρ2+

2

ρ

dR0

dρ+R0 = 0 (11.262)

であるが、これは χ0 = ρR0 と変換するとd2χ0

dρ2+ χ0 = 0 (11.263)

となるので、直ちに解ける。原点での正則性および級数解 (11.253), (11.255)との整合性を考慮すると、

j0(ρ) =sin ρ

ρ(11.264)

n0(ρ) = −cos ρ

ρ(11.265)

であることが分かる。一般の lの場合、Rl = ρlfl とおくと、(11.244)式は

d2fldρ2

+2(l + 1)

ρ

dfldρ

+ fl = 0 (11.266)


Fl ≡1

ρ

d

dρfl(ρ) (11.267)

なる関数を考え、(11.266)式を ρで微分して整理すると、

d2Fl

dρ2+

2(l + 2)

ρ

dFl

dρ+ Fl = 0 (11.268)

が得られる。これより、Fl は fl+1 が満たすべき方程式を満たしていることが分かる。これより、

fl(ρ) =

(1

ρ

d

dρ

)l

f0(ρ) =⇒ Rl(ρ) = ρl(1

ρ

d

dρ

)l

R0(ρ) (11.269)


のように、微分操作の繰り返しで解 Rl が求まる。R0 = j0, R0 = n0 のそれぞれの系列に対して (11.269)式を

用い、原点での正則性および級数解 (11.253), (11.255)との整合性を考慮すると、球ベッセル関数と球ノイマン

関数は、

jl(ρ) = (−1)lρl(1

ρ

d

dρ

)lsin ρ

ρ(11.270)

nl(ρ) = (−1)l+1ρl(1

ρ

d

dρ

)lcos ρ

ρ(11.271)

のように三角関数で表すことができる。これより、無限遠での振る舞いは、

jl(ρ) ∼ (−1)l(d

dρ

)lsin ρ

ρ=

1

ρsin

(ρ− l

2π

)=

1

ρcos

(ρ− l + 1

2π

)(11.272)

nl(ρ) ∼ (−1)l+1

(d

dρ

)lcos ρ

ρ=

1

ρcos

(ρ− l

2π

)=

1

ρsin

(ρ− l + 1

2π

)(11.273)

となる。これより、球ハンケル関数の無限遠での振る舞いは、

h(1)l (ρ) ∼ 1

ρexp

[i

(ρ− l + 1

2π

)](11.274)

h(2)l (ρ) ∼ 1

ρexp

[−i(ρ− l + 1

2π

)](11.275)

となり、それぞれ h(1)l は外向きに出ていく波、h(1)

l は内向きに入ってくる波に対応している。

球ハンケル関数 (11.260), (11.261)の無限遠での振る舞いは、

h(1)l (ρo) ∼

1

ρoexp

[i

(ρo −

l + 1

2π

)]=

1

iβrexp

[−βr − i(l + 1)

2π

](11.276)

h(2)l (ρo) ∼

1

ρoexp

[−i(ρo −

l + 1

2π

)]=

1

iβrexp

[βr +

i(l + 1)

2π

](11.277)

であるから、無限遠で有界な解は規格化因子を Bl として、

Rl = Blh(1)l (iβr) = Bl [ jl(iβr) + i nl(iβr) ] (11.278)

である。

11.6.3 内部解と外部解の接続

有界なポテンシャルの不連続点で波動関数とその 1 階導関数は連続でなければならない。この接続条件

より、 [1

jl(κr)

d

drjl(κr)

]r=a

=

[1

h(1)l (iβr)

d

drh(1)l (iβr)

]r=a

(11.279)

この条件から、エネルギーが量子化されエネルギー固有値が求まり、内部界と外部解の規格化定数 Al と Bl

の関係が決まる。

ここで、ξ ≡ κa, η ≡ βa (11.280)

とおくと、ξ, η は

ξ2 + η2 =2mV0ℏ2

a2 (11.281)

を満たす。


図 11.3 l = 0 の場合の束縛状態のエネルギー固有値の図形的解法。(11.281), (11.282) 式で記述

される 2 つの曲線をプロットしている。(a) 2mV0/ℏ2 = 1 の場合: 束縛状態は存在しない。(b)

2mV0/ℏ2 = 16の場合: 束縛状態が 1つ存在する (c) 2mV0/ℏ2 = 36の場合: 束縛状態が 2つ存在する。

(d) 2mV0/ℏ2 = 64の場合: 束縛状態が 3つ存在する。

l = 0の場合

これら変数を用いると、l = 0の場合の接続条件 (11.279)は、

ξ cot ξ = −η (11.282)

となる。これは 1次元井戸型ポテンシャルのエネルギー固有値問題における、奇パリティの場合の条件と同

じである。(11.281), (11.282)式で記述される 2つの曲線を図示し、その交点が求めるべき解となっており、

(11.243), (11.258)式からエネルギー固有値が定まる。さらに、定まったエネルギー固有値の下で波動関数

を規格化することで規格化定数 Al と Bl が決まる。

図 11.3からも分かるように、(11.282)式において η = 0 となるのは、

ξ1 =π

2+ kπ, (k = 0, 1, 2, · · · ) (11.283)


図 11.4 l = 1の場合の束縛状態のエネルギー固有値の図形的解法。(11.287)式の右辺 (2mV0a2/ℏ2 =

(0.9π)2, (1.1π)2, (2.1π)2, (3.1π)2 の場合) と左辺をプロットしている。

であるのに対し、(11.281)式では

ξ2 =

√2mV0ℏ2

a2 (11.284)

である。したがって、(11.281), (11.282)式が交点を持つ条件、すなわち束縛状態が存在するための条件は、

ξ1 < ξ2 =⇒ V0 >π2ℏ2

8ma2(11.285)

の場合である。より一般に、k 個の束縛状態が存在するための条件は、

(2k − 1)2π2ℏ2

8ma2< V0 <

(2k + 1)2π2ℏ2

8ma2(11.286)

であることが示される。

l = 1の場合

l = 1の場合の接続条件 (11.279)は、

cot ξ

ξ− 1

ξ2=

1

η+

1

η2(11.287)

である。この右辺を ξ の関数とみなすと、ξ = 0では正の有限の値をとり、ξ =√2mV0a2/ℏのところで正

の無限大に発散する。一方、左辺は ξ = 0まわりでテイラー展開すると負の有限の値をとることが分かる。

左辺を図示すると、図 11.4 に示すように、ξ = kπ, (k = 1, 2, · · · ) に対して発散する周期関数となっている。図 11.4より、l = 1の場合に少なくとも 1つの束縛状態が存在するための条件は

V0 >π2ℏ2

2ma2(11.288)


であり、より一般に、k 個の束縛状態が存在するための条件は、

k2π2ℏ2

2ma2< V0 <

(k + 1)2π2ℏ2

2ma2(11.289)

である。

加点問題 P.11.8 : l = 1の場合の接続条件が (11.287)式で与えられることを示せ。さらに、(11.287)

式より、l = 1の場合に束縛状態が存在するための条件が (11.288)式となることを図形的解法に

より示せ。

11.7 補足：3次元調和振動子

工事中。

11.A ラゲール (Laguerre)の多項式の諸性質

調和振動子におけるエルミート多項式 (3.1.6節参照)やルジャンドル (陪)多項式と同様に、ラゲールの

陪多項式にも母関数が存在し、母関数を用いて直交関係式などを導くことができる。エルミート多項式やル

ジャンドル多項式*38に比べて、ラゲールの陪多項式に関してこれらの事項をまとめた教科書は少ないよう

なので、11.B 節で解説する。そのための準備として、まずはラゲールの多項式*39を本節で導入しておく。

11.A.1 ラゲールの多項式

ラゲールの多項式 Lq(ρ)は、ラゲールの微分方程式

ρd2Lq

dρ2+ (1− ρ)dLq

dρ+ qLq = 0 (11.290)

の解として導入される。級数解を求めるために Lq(ρ) =∑∞

n anρn とおいて代入すると、漸化式

an+1 = − q − n(n+ 1)2

an (11.291)

が得られる。この漸化式は n = q で途切れるので、級数展開は n = q までの有限級数になる。漸化式から

an の一般系を求めれば、ラゲールの多項式は

Ln(ρ) = a0

q∑n=0

(−1)n q!

(q − n)! (n!)2ρn (11.292)

となる。

(11.291), (11.292)式の導出：

級数展開をラゲールの微分方程式に代入すると

0 =∑n=0

[(n+ 1)nan+1ρ

n +(n+ 1)an+1 − nan

ρn + qanxρ

n]

=∑n=0

[(n+ 1)2an+1 + (q − n)an

]ρn (11.293)

*38 ルジャンドル多項式 (陪多項式)が一番複雑かもしれない。*39 陪多項式ではなく多項式。

11.A ラゲール (Laguerre)の多項式の諸性質 267

ρn の係数をゼロとおいて (11.291)式を得る。さらに、漸化式 (11.291)より、

an = −q − (n− 1)

n2an−1 = (−1)2 q − (n− 1)

n2· q − (n− 2)

(n− 1)2an−2 = · · ·

= (−1)n q − (n− 1)

n2· q − (n− 2)

(n− 1)2· · · q − 1

22· q12a0

= (−1)nq(q − 1)(q − 2) · · ·

(q − (n− 1)

)(n!)2

(q − n)!(q − n)!

a0

= (−1)n q!

(q − n)! (n!)2a0 (11.294)

これを級数展開に代入すれば (11.292)式となる。

11.A.2 ラゲールの多項式の母関数

ラゲールの多項式は、母関数

U(t; ρ) ≡ 1

1− texp

(− ρt

1− t

)(11.295)


U(t; ρ) ≡∞∑q=0

tq

q!Lq(ρ) (11.296)

によって定義される。この母関数による定義では、級数展開で定まっていなかった係数因子 (すなわち a0)

を含めて、ラゲールの多項式が次のように完全に決定される*40：

Ln(ρ) =

q∑n=0

(−1)n (q!)2

(q − n)! (n!)2ρn (11.297)

(11.297)式の導出：

母関数 (11.295)の指数関数をマクローリン展開すると、

U(t; ρ) =1

1− t

∞∑n=0

1

n!

(− ρt

1− t

)n

=∞∑

n=0

(−1)n

n!ρn

tn

(1− t)n+1(11.298)

ここで、一般化された二項定理 (10.213), (10.214)より、

1

(1− t)n+1=

∞∑k=0

∏k−1j=0

(− (n+ 1)− k

)k!

(−t)k =∞∑k=0

∏k−1j=0

((n+ 1) + k

)k!

tk

=∞∑k=0

(n+ k)!

n! k!tk (11.299)

であることを用いると、

U(t; ρ) =∞∑k=0

∞∑n=0

(−1)n

n!ρn

(n+ k)!

n! k!tn+k

q=n+k=

∞∑q=0

q∑n=0

(−1)n

n!ρn

q!

n! (q − n)!tq

=∞∑q=0

tq

q!

[q∑

n=0

(−1)n (q!)2

(q − n)! (n!)2ρn

](11.300)

*40 a0 = q! である。


となる*41。これを (11.296)式と比べれば (11.297)式が得られる。

11.A.3 ラゲールの多項式の漸化式

母関数 (11.295), (11.296)の両辺を ρおよび tで微分することで、2つの漸化式

dLq+1

dρ− (q + 1)

dLq

dρ+ (q + 1)Lq = 0 (11.301)

Lq+1(ρ) + (ρ− 2q − 1)Lq(ρ) + q2Lq−1(ρ) = 0 (11.302)

が得られる。

(11.301), (11.302)式の導出：

母関数 (11.295)式の両辺を ρで微分して変形すると

(1− t)∂U∂ρ

= −tU (11.303)

となる。展開式 (11.296) を代入して tq の項の係数を比べれば (11.301) 式が得られる。同様に母関

数の両辺を tで微分して整理すると

(1− t)2 ∂U∂t

= (1− t− ρ)U (11.304)

となるが、展開式を代入して t について各係数を比べると、もう一つの漸化式 (11.302) 式が得ら

れる。

当然のことであるが、漸化式 (11.301), (11.302)より、ラゲールの多項式が従う微分方程式 (11.290)を導

くこともできる。

漸化式から (11.290)式を導出すること：

漸化式 (11.302)で q → q + 1として ρで 2回微分すると、

d2Lq+2

dρ2− (2q + 3− ρ)d

2Lq+1

dρ2+ 2

dLq+1

dρ+ (q + 1)2

d2Lq

dρ2= 0 (11.305)

となるが、漸化式 (11.301)を用いて d2Lq+2/dρ2 を消去すると、

(−q − 1 + ρ)d2Lq+1

dρ2− q dLq+1

dρ+ (q + 1)2

d2Lq

dρ2= 0 (11.306)

となる。漸化式 (11.301)を用いて d2Lq+1/dρ2 を消去すると、

−q dLq+1

dρ+ (q + 1)ρ

d2Lq

dρ2− (q + 1)(q + 1− ρ)dLq

dρ= 0 (11.307)

となるので、さらに漸化式 (11.301)を用いて dLq/dρを消去すると、

(q + 1)

[ρd2Lq

dρ2+ (1− ρ)dLq

dρ+ qLq

]= 0 (11.308)

両辺 q + 1で割れば (11.290)式を得る。

*41 q = n+ k の変換のところで、和の範囲が変わる理由がわからない場合には、多重積分の積分範囲の理解に問題があると考えられるので、多重積分について勉強することを強く推奨する。

11.A ラゲール (Laguerre)の多項式の諸性質 269

11.A.4 ラゲールの多項式の直交関係式

母関数 (11.295), (11.296)を用いると、ラゲールの多項式の直交関係式∫ ∞

0

dρ e−ρLm(ρ)Ln(ρ) = (n!)2δmn (11.309)


(11.309)式の導出：

母関数 (11.295)式を用いると、∫ ∞

0

dρ e−ρU(s; ρ)U(t; ρ) =

∫ ∞

0

dρ e−ρ 1

1− se−ρs/(1−s) 1

1− te−ρt/(1−t)

=1

(1− s)(1− t)

∫ ∞

0

dρ exp

[−ρ(

s

1− s+

t

1− t+ 1

)]=

1

(1− s)(1− t)

(s

1− s+

t

1− t+ 1

)−1

=1

1− st=

∞∑n=0

(st)n (11.310)

一方、(11.296)式を用いると、∫ ∞

0

dρ e−ρU(s; ρ)U(t; ρ) =∞∑

m=0

∞∑n=0

sm tn

m!n!

∫ ∞

0

dρ e−ρLm(ρ)Ln(ρ) (11.311)

(11.310)式と (11.311)式を比べる。m = nのとき、(11.310)式に s, tの異なる次数の項は存在しな

いので、 ∫ ∞

0

dρ e−ρLm(ρ)Ln(ρ) = 0, (m = n) (11.312)

一方、m = nのとき、 ∫ ∞

0

dρ e−ρLn(ρ)Ln(ρ) = (n!)2 (11.313)

これらの結果をまとめると (11.309)式となる。

11.A.5 ラゲールの多項式のロドリゲス (Rodrigues)の公式

ラゲールの多項式は

Lq(ρ) = eρdq

dρq(ρqe−ρ

)(11.314)

のように表すこともできる。これを (ラゲールの多項式の)ロドリゲス (Rodrigues)の公式という。

(11.314)式の証明：


高階微分に関するライプニッツ則 (10.261)を用いると、

eρdq

dρq(ρqe−ρ

)= eρ

q∑n

qCn

[dq−n

dρq−nρq] [

dn

dρne−ρ

]

= eρq∑n

qCn

[ q!n!ρn][(−1)ne−ρ

]=

q∑n=0

(−1)n (q!)2

(q − n)! (n!)2ρn

(11.297)= Lq(ρ) (11.315)

11.B ラゲール (Laguerre)の陪多項式の諸性質

11.B.1 ラゲールの陪多項式

ラゲールの陪多項式 Lpq(ρ)は、ラゲールの多項式を p回微分したものとして定義される：

Lpq(ρ) ≡

dp

dρpLq(ρ) (11.316)

このようにして定義された Lpq(ρ)がラゲールの陪微分方程式 (11.159)

ρd2Lp

q

dρ2+(p+ 1− ρ

)dLpq

dρ+(q − p

)Lpq = 0 (11.317)

に従うことを示すことができる。また、ラゲールの陪多項式が係数因子 (すなわち a0)を含めて次のように

定まる：

Lpq(ρ) =

q−p∑n=0

(−1)p+n (q!)2

(p+ n)! (q − p− n)!n!ρn (11.318)

これは数係数を除いて (11.158)式と同じである*42。

Lpq(ρ)が (11.159)式に従うことの証明：

ラゲールの微分方程式 (11.290)を p回微分する。高階微分ライプニッツ則 (10.261)を用いると、

dp

dρp

(ρd2Lq

dρ2

)= ρ

d2Lpq

dρ2+ p

dLpq

dρ(11.319)

他の項も同様に計算すると (11.290)式が得られる。

(11.318)式の導出：

Lpq(ρ) =

dp

dρpLq(ρ) =

dp

dρp

q∑n=0

(−1)n (q!)2

(n!)2(q − n)!ρn

=

q∑n=0

(−1)n (q!)2

(n!)2(q − n)!n(n− 1) · · · (n− p+ 1) ρn

=

q∑n=p

(−1)n (q!)2

(n!)2(q − n)!n!

(n− p)!ρn =

q∑n=p

(−1)n (q!)2

n! (q − n)! (n− p)!ρn

=

q−p∑n=0

(−1)n (q!)2

(p+ n)! (q − p− n)!n!ρn (11.320)

*42 a0 = (−1)p(q!)2

p!(q − p)!に相当する。

11.B ラゲール (Laguerre)の陪多項式の諸性質 271

11.B.2 ラゲールの陪多項式の母関数

ラゲールの陪多項式は、母関数

Up(t; ρ) ≡ (−1)p

(1− t)p+1exp

(− ρt

1− t

)(11.321)


Up(t; ρ) ≡∞∑q=0

tq−p

q!Lpq(ρ) =

∞∑q=p

tq−p

q!Lpq(ρ) (11.322)

によっても定義される。この母関数による定義は、ラゲールの多項式の微分による定義 (11.316)とも整合

的である。

(11.322)式と (11.316)式の定義の整合性：

ラゲールの多項式の母関数 (11.295)を微分すると、

∂pU

∂ρp=

∂p

∂ρp

(1

1− te−

ρt1−t

)=

(−1)p

(1− t)p+1tp e−

ρt1−t (11.323)

一方、(11.296)式を微分すると、

∂pU

∂ρp=

∞∑q=0

tq

q!

dpLq

dρp=

∞∑q=0

tq

q!Lpq(ρ) (11.324)

よって、

Up(t; ρ) ≡ t−p ∂pU

∂ρp=

(−1)p

(1− t)p+1e−

ρt1−t =

∞∑q=0

tq−p

q!Lpq(ρ) (11.325)

ここで、Lq(ρ)が q 次の多項式であるから (11.316)式より、

Lpq(ρ) = 0, (p > q) (11.326)

を用いると、

Up(t; ρ) =∞∑q=p

tq−p

q!Lpq(ρ) (11.327)

よって (11.322)式と (11.316)式の定義は整合的である。

11.B.3 ラゲールの陪多項式の漸化式

母関数 (11.321), (11.322)の両辺を ρおよび tで微分することで、2つの漸化式

dLpq+1

dρ− (q + 1)

dLpq

dρ+ (q + 1)Lp

q = 0 (11.328)(1 +

p

q + 1

)Lq+1(ρ) + (ρ+ p− 2q − 1)Lp

q(ρ) + q2Lpq−1(ρ) = 0 (11.329)

が得られる。


(11.328), (11.329)式の導出：

母関数 (11.321)式の両辺を ρで微分して変形すると

(1− t)∂Up

∂ρ= −tUp (11.330)

となる。展開式 (11.322) を代入して tq の項の係数を比べれば (11.328) 式が得られる。同様に母関

数の両辺を tで微分して整理すると

(1− t)2 ∂Up

∂t=((k + 1)(1− t)− ρ)

)Up (11.331)

となるが、展開式を代入すれば∑q=p

[q + 1− p(q + 1)!

Lpq+1 +

ρ+ p− 2q − 1

q!Lpq +

q

(q − 1)!Lpq−1

]tq−p = 0 (11.332)

tq−p について各係数を q!をかけて比べると、もう一つの漸化式 (11.329)式が得られる。

11.B.4 ラゲールの陪多項式の直交関係式

ラゲールの陪多項式の母関数を用いると、次のラゲールの陪多項式の直交関係式を導くことができる：∫ ∞

0

Lpm(ρ)Lp

n(ρ)ρpe−ρdρ =

(n!)3

(n− p)!δmn (11.333)

(11.333)式の導出：

母関数 (11.321)を用いると、∫ ∞

0

dρ ρp e−ρ Up(s; ρ)Up(t; ρ) =

∫ ∞

0

dρ ρp e−ρ (−1)p

(1− s)p+1e−

ρs1−s

(−1)p

(1− t)p+1e−

ρt1−t

=1(

(1− s)(1− t))p+1

∫ ∞

0

dρ ρp exp

[−ρ(

s

1− s+

t

1− t+ 1

)]≡ Ip (11.334)

部分積分して

Ip =1(

(1− s)(1− t))p+1

∫ ∞

0

dρ pρp−1

(s

1− s+

t

1− t+ 1

)−1

e−ρ( s1−s+

t1−t+1)

=p

1− st1(

(1− s)(1− t))p ∫ ∞

0

dρ ρp−1 exp

[−ρ(

s

1− s+

t

1− t+ 1

)]=

p

1− stIp−1 (11.335)

よって

Ip =p!

(1− st)pI0

(11.310)=

p!

(1− st)p+1(11.336)

さらに、一般化された二項定理 (10.213), (10.214)より、

Ip = p!∞∑

m=0

∏m−1k=0

(− (p+ 1)− k

)m!

(−st)m = p!∞∑

m=0

∏m−1k=0

(p+ k + 1

)m!

(st)m

= p!∞∑

m=0

(p+m)!

m!p!(st)m

n=m−p=

∞∑n=p

q!

(n− p)!(st)n−p (11.337)

11.B ラゲール (Laguerre)の陪多項式の諸性質 273

一方、母関数展開 (11.322)を用いると、∫ ∞

0

dρ ρp e−ρ Up(s; ρ)Up(t; ρ) =∞∑

m=p

∞∑n=p

sm tn

m!n!

∫ ∞

0

dρ ρp e−ρ LpmL

pn (11.338)

(11.337)式と (11.338)式を比べる。m = nのとき、(11.337)式に s, tの異なる次数の項は存在しな

いので、 ∫ ∞

0

dρ ρp e−ρLpm(ρ)Lp

n(ρ) = 0, (m = n) (11.339)

一方、m = nのとき、 ∫ ∞

0

dρ ρp e−ρLpn(ρ)L

pn(ρ) =

(n!)3

(n− p)!(11.340)

これらの結果をまとめると (11.333)式となる。

11.B.5 ラゲールの陪多項式のロドリゲス (Rodrigues)の公式

この講義ノートではラゲールの陪多項式をラゲールの多項式の微分 (11.316)として定義したので、ラゲー

ルの陪多項式に対するロドリゲスの公式は

Lpq(ρ) =

dp

dρpLq(ρ)

(11.314)=

dp

dρp

[eρ

dq

dρq(ρqe−ρ

)](11.341)

となる。

275

第 12章

スピン

12.1 スピン角運動量

軌道角運動量の大きさ l は整数だけに制限されたが、9.2.3節で示したように、交換関係に基づく一般的

議論から出てくる結論は、一般に角運動量の大きさ j は半整数 1/2, 3/2, · · · も許される。この半整数の角運動量は単なる数学的産物ではなく重要な物理的意味をもつ。

それは素粒子が静止系でもつ固有の角運動量, スピン (角運動量)*1を表現するからである。電子が ℏ/2の大きさのスピンをもつことは、例えば, シュテルン (Stern)とゲルラッハ (Gerlach)の実験、ウーレンベッ

ク (Uhlenbeck)とハウトシュミット (Goudsmit)によるアルカリ元素のスペクトルの二重線の説明などの

証拠がある。

はじめ電子のスピンは電子の自転に伴うものであると考えられたが、この秒像に基づくと、電子が剛体回

転しているとした場合に、その古典的半径における速度が光速度を越え、特殊相対性理論と矛盾してしま

う。したがって、古典的な描像に基づいて、電子のスピンを電子の自転による角運動量と解釈することはで

きない。その意味で、スピン (角運動量)は純粋に量子力学的な物理量であるといえる。スピンは 3次元空

間の軌道運動に伴う角運動量ではないので、半整数の大きさの固有値が許されるのである。電子の他にも、

例えば、陽子と中性子はスピン 1/2をもち、光子のスピンは 1である。

演習問題 E.12.1 : シュテルン (Stern) とゲルラッハ (Gerlach) の実験、および、ウーレンベック(Uhlenbeck)とハウトシュミット (Goudsmit)によるアルカリ元素のスペクトルの二重線の説明について調べ、その概要を説明し、スピンを導入する必要性について述べよ。

参考文献: 例えば、原島鮮「初等量子力学」(裳華房) 17 章参照。

演習問題 E.12.2 : 本設問ではMKSA単位系を採用する。ローレンツ (Lorentz)による電子の古典

的理論では、電子を一様に帯電したした剛体球と考える。電子の半径は質量エネルギーとクーロ

ンエネルギーが等しいとした場合の大きさで与えられる。

1. この条件より、電子の古典的半径が

re =1

4πε0

e2

mec2(12.1)


2. プランク定数、光速度、電子の質量から、長さの次元を持つ量を作れ、これが電子のコンプ

トン波長

λe =h

mec(12.2)

*1 スピン角運動量といったり、単にスピンともいう。

276 第 12章スピン

である。

3. 微細構造定数

α ≡ e2

4πε0ℏc(12.3)

が無次元量であることを示し*2、その値を計算せよ*3。

4. 電子を半径 re の剛体球と考えると、その角運動量の大きさは剛体球表面の回転速度を v と

して ∼ remev の程度である。スピン角運動量の大きさ ℏ/2が電子の自転によるものであるとすると、v ∼ c/α となることを示せ。αの値を代入し、これが特殊相対性理論に矛盾することを示せ。

略解: 問題の流れがほぼ「略解」になっている。これに沿えばできるはずである。

12.1.1 内部自由度としてのスピン

スピン演算子を S と表記することにする。スピン演算子 S は交換関係

[Sx, Sy] = iSz, [Sy, Sz] = iSx, [Sz, Sx] = iSy (12.4)

にしたがう。スピン演算子 S を規定する数学的関係式はこれだけであり、軌道角運動量のように、位置や

運動量の演算子で表現できるものではない。スピン演算子についても、一般の角運動量と同じく、

S2|s,mS⟩ = s(s+ 1)|s,mS⟩, Sz|s,mS⟩ = mS |s,mS⟩ (12.5)

を満たす、S2 と Sz の同時固有状態 |s,mS⟩が存在する。ここで、mS = −s,−s+ 1, · · · , s− 1, sの値をと

る。スピン演算子 S は xや pなど、空間的自由度との関連性がない。すなわち、スピンはいわば「内部」

自由度に関連した物理量であるので、|s,mS⟩も xの関数で表されるようなものではない。したがって、ス

ピン演算子の「位置表示」を導入することはできないため、「行列表示」を用いて記述する必要がある (12.2

節参照)。

一般の状態ベクトルや波動関数は、(調和振動子の波動関数のような)外部自由度に依存する部分 |ψmS(x)⟩

と、(スピンなどの)内部自由度に依存する部分 (例えば |s,mS⟩)の積として表される。スピンの場合に形式的に書けば、

|ψ⟩ =∑mS

|ψmS (x)⟩|s,mS⟩ (12.6)

である。

ここで、例えばスピン演算子 S が上記状態 |ψ⟩に作用したとすると、|ψmS(x)⟩にはなにもせず、|s,mS⟩

だけに作用する：S|ψ⟩ =

∑mS

|ψmS(x)⟩

[S|s,mS⟩

](12.7)

同様に、外部自由度の演算子は内部自由度の状態ベクトルには作用しない。基本的には、内部自由度=スピ

ン部分、外部自由度=それ以外と考えておいてよい。

*2 (1) ε0 の次元を調べる。ℏは作用の次元であるから覚えておく。素電荷 e, 光速度 c の次元は問題ないだろう。これで無次元になることを示す。(2) クーロンの法則から e2/(4πε0) の次元が求まる。ℏ は作用の次元であるから覚えておく。光速度 c の次元は問題ないだろう。これで無次元になることを示す。これだと調べる必要はない。

*3 単位系に注意して計算する。1[m/s]×1[s]/1[cm]=1 のような計算を行わないように。α ≈ 1/137程度になるはずである。

12.1 スピン角運動量 277

補足：複合系としての外部自由度とスピン自由度

数学的には、外部自由度の状態ベクトルが存在するベクトル空間 VO と内部自由度 (スピン)の状態ベク

トルが存在するベクトル空間 VS は全く独立なベクトル空間になっている。物理の問題として、これら 2つのベクトル空間をまとめて複合系として取り扱いたい場合、そのための数

学的操作がテンソル積 ⊗ と呼ばれるものである。すなわち、全系の状態ベクトルは、

V = VO ⊗ VS (12.8)

なる空間に存在することになる。したがって、状態ベクトルもテンソル積を用いて

|ψ⟩ =∑mS

|ψmS(x)⟩ ⊗ |s,mS⟩ (12.9)

と厳密には表されるべきものである。

同様に、演算子も外部空間のベクトルに作用するものと内部空間のベクトルに作用するもののテンソル積

で与えられる。例えば、全ハミルトニアン H が、外部自由度の演算子 HO と、内部自由度の演算子 HS の

和からなっていたとする。HO は VO にのみ、HS は VS にのみ作用する演算子であるが、テンソル積を用いることで、全ベクトル空間 V に作用する演算子 H を次のように構成できる：

H = HO ⊗ 1S + 1O ⊗ HS (12.10)

ここで 1O 外部自由度のベクトル空間における恒等演算子であり、ここで 1S は内部自由度のベクトル空間

における恒等演算子である。

H の |ψ⟩への作用は、

H|ψ⟩ =∑mS

[(HO|ψmS

(x)⟩)⊗ |s,mS⟩+ |ψmS

(x)⟩ ⊗(HS |s,mS⟩

)](12.11)

となる。

12.1.2 スピン演算子 s = 1/2

電子、中性子および陽子が s = 1/2をもつので、s = 1/2のスピン演算子は最も重要である。この場合に

はmS は ±1/2の 2つの値しかとらないから、状態ベクトルの表記として、

|+⟩ ≡∣∣∣∣s = 1

2, mS =

1

2

⟩=

∣∣∣∣12 , 12⟩

(12.12)

|−⟩ ≡∣∣∣∣s = 1

2, mS = −1

2

⟩=

∣∣∣∣12 ,−1

2

⟩(12.13)

という略記法を採用する*4。これらの状態は規格化されているとする (⟨±|±⟩ = 1, ⟨±|∓⟩ = 0)。スピン演

算子の作用は、

S2|±⟩ = 1

2

(1

2+ 1

)|±⟩ = 3

4|±⟩ (12.14)

Sz|±⟩ = ±1

2|±⟩ (12.15)

*4 |+⟩は | ↑⟩、|−⟩は | ↓⟩と表記されることもある。


である。

スピン内部自由度は 2次元のベクトル空間である。したがって任意の状態は、外部自由度の状態ベクトル

を |ψ±⟩として、|ψ⟩ = |ψ+⟩|+⟩ + |ψ−⟩|−⟩ (12.16)

と表される。

ここで、σ = 2S (12.17)

なる演算子を導入しよう*5。すると、

σ2|±⟩ (12.14)= 3|±⟩ (12.18)

σz|±⟩(12.15)= ±|±⟩ (12.19)

である。これより任意の状態 (12.16)に対して、

σ2|ψ⟩ = |ψ+⟩(σ2|+⟩

)+ |ψ−⟩

(σ2|−⟩

)= 3|ψ⟩ (12.20)

であるから、σ2 = 31である。以下 1を省略する。同様に、

σ2z = 1 (12.21)


12.1.3 スピン演算子 s = 1/2の性質

s = 1/2の場合、可能な固有値・固有状態が 2つしかないために、 10.2.4節でまとめた関係式に加えて、

特有の関係式をさらに満たす。それを以下で導こう。

σ に対する昇降演算子 σ± = σx ± iσy ((10.19)式参照 )を考えると、(10.52), (10.53)式より、

σ+|+⟩ = 0, σ+|−⟩ = 2|+⟩, σ−|+⟩ = 2|−⟩, σ−|−⟩ = 0 (12.22)

が成り立つ。これよりσ2+|±⟩ = 0, σ2

−|±⟩ = 0 (12.23)

が得られる*6。ここで、スピン内部空間は 2 次元のベクトル空間であり、スピン内部空間の任意の状態

ベクトルは |±⟩ の線形結合であらわされることに注意すると、スピン内部空間の任意の状態ベクトル|χ⟩ = a|+⟩+ b|−⟩ に対して、

σ2±|χ⟩ = σ2

±(a|+⟩+ b|−⟩) = aσ2±|+⟩+ bσ2

±|−⟩ = 0 (12.24)

となる。すなわち、σ2+ = σ2

− = 0 (12.25)

であるとみなしてよい。

これより、0 = σ2

± = σ2x − σ2

y ± i(σxσy + σyσx) (12.26)

*5 単に分数がでてくるのを避けるために導入した。*6 はしごが 2段しか無いので高々 1段しか上下できないということである。

12.1 スピン角運動量 279

したがって、

σ2x = σ2

y, (12.27)

σxσy + σyσx = 0 (12.28)

が成り立つ。さらに、σ2x + σ2

y = σ2 − σ2z = 3− 1 = 2 (12.29)

であるから、結局、σ2i = 1, (σ2

x = σ2y = σ2

z = 1) (12.30)

である。

一方、σ に対する交換関係σxσy − σyσx = 2iσz (12.31)

と (12.28)式から、σxσy = −σyσx = iσz (12.32)

であることが分かる。σxσy = iσz に右側から σz を作用させると、

σxσyσz = i (12.33)

となる。次に、−σyσx = iσz の左側から iσy を作用させると、σyσz = iσx となる。σxσy = iσz の右側か

ら iσy を作用させた結果と合わせて、σyσz = −σzσy = iσx (12.34)

が得られる。同様にして、σzσx = −σxσz = iσy (12.35)

である。

以上をまとめると、重要な関係式*7、

σiσj + σj σi = 2δij 1 (12.36)

σiσj − σj σi = 2i∑k

ϵijkσk = 2iϵijkσk (12.37)

あるいは、これら 2式を辺々足しあわせて

σiσj = δij + i∑k

ϵijkσk = δij + iϵijkσk (12.38)

が得られる。ここでも一部表式でアインシュタインの縮和規則を用いた。

出席課題 S.12.1 : (12.22), (12.35)式を示せ。

任意課題 i, j, k に x, y, z を入れて具体的に計算し、演算子 σ の性質に関するそれまでの議論が

(12.36), (12.37)式で表されることを確かめよ。さらに、(12.38)式にまとめられることを示せ。

出席課題 S.12.2 : 　任意のベクトルA, B に対して

(σ ·A)(σ ·B) = A ·B + iσ · (A×B) (12.39)

が成り立つことを示せ。

*7 σxσyσz = iも有用である。


略解アインシュタインの縮和規則を用いて成分表示する。

(σ ·A)(σ ·B) = (σiAi)(σjBj) = (σiσj)AiBj(12.38)= (δij + iϵijkσk)AiBj

= AiBi + iσkϵijkAiBj = AiBi + iσk(ϵkijAiBj)

= A ·B + iσ · (A×B) (12.40)

演習問題 E.12.3 : nを単位ベクトルとする。

1. (12.40)式を用い、(σ · n)2 = 1 (12.41)

を示せ。

2. exp(iθσ · n)をテイラー展開することで、

exp(iθσ · n) = cos θ + i(σ · n) sin θ (12.42)

を示せ。

略解 1. については、(12.40) 式に A = B = n を代入すれば直ちに得られる。2. については、オイラーの公

式を示すのと同様の計算を行えばよい。

12.2 スピン演算子 s = 1/2の行列表現

本節でも s = 1/2の場合に議論を限定する。スピン状態は行列表示を用いると扱いやすい。

12.2.1 (2成分)スピノル

スピン空間だけに作用する演算子 Aを考える。これを任意の状態 |ψ⟩ = |ψ+⟩|+⟩ + |ψ−⟩|−⟩に作用させると、

A|ψ⟩ = |ψ+⟩(A|+⟩

)+ |ψ−⟩

(A|−⟩

)(12.43)

となる。一方、|φ⟩ = A|ψ⟩とおくと、|φ⟩はまた、スピン部分とそれ以外の部分に分けることができるはずなので、

A|ψ⟩ = |φ⟩ = |φ+⟩|+⟩+ |φ−⟩|−⟩ (12.44)

と直積状態に表すことができるはずである。(12.43), (12.44)式を等しいとおけば、

|ψ+⟩(A|+⟩

)+ |ψ−⟩

(A|−⟩

)= |φ+⟩|+⟩+ |φ−⟩|−⟩ (12.45)

を得る。

(12.45)式の両辺に ⟨±|を作用させる。⟨±|±⟩ = 1, ⟨±|∓⟩ = 0に注意すると、結果は(⟨+|A|+⟩ ⟨+|A|−⟩⟨−|A|+⟩ ⟨−|A|−⟩

)(|ψ+⟩|ψ−⟩

)=

(|φ+⟩|φ−⟩

)(12.46)

のようにまとめられる。すなわち、スピン空間に作用する演算子 Aは 2× 2行列に対応し、状態ベクトルが

スピン +と −の 2成分の列ベクトルに対応するように行列表示できる。つまり、スピン 1/2の内部自由度

も考慮すると、状態ベクトル |ψ⟩は

|ψ⟩ =(|ψ+⟩|ψ−⟩

)(12.47)

12.2 スピン演算子 s = 1/2の行列表現 281

のように縦に並べたものとして考えることができる。このような |ψ⟩ を (2成分)スピノルと呼ぶ。

この結果は、スピン内部空間の基底ベクトルを |±⟩に選び*8、

|+⟩ =(

10

), |−⟩ =

(01

)(12.48)

のように行列表示をした場合に相当している。実際、このようにスピン状態を行列表示すると、

|ψ⟩ = |ψ+⟩|+⟩+ |ψ−⟩|−⟩ =(|ψ+⟩|ψ−⟩

)(12.49)

である。

(2成分)スピノルの規格化は

1 = ⟨ψ|ψ⟩ =(⟨ψ+| ⟨ψ−|

)( |ψ+⟩|ψ−⟩

)= ⟨ψ+|ψ+⟩+ ⟨ψ−|ψ−⟩

=∑s=±⟨ψs|ψs⟩ (12.50)

=

∫d3x( |ψ+(x)|2 + |ψ−(x)|2) (12.51)

で与えられる。ここで、例えば |ψ+(x)|2d3x は、スピン上向き (mS = 1/2, |+⟩状態)の粒子が位置 xの微

小体積 d3xに存在する確率を表す。また、(12.50)式から分かるように、規格化はスピン自由度を足し上げ

る形で行わなければならない。

12.2.2 パウリ (Pauli)行列

基底状態に S2 と Sz の同時固有状態 |±⟩を用いる。このとき、σz はその固有値を対角成分に持つように対角化されるので (1.A節数学的補遺 I参照)。実際、直接計算しても、その行列表示は、

σz =

(⟨+|σz|+⟩ ⟨+|σz|−⟩⟨−|σz|+⟩ ⟨−|σz|−⟩

)=

(1 00 −1

)(12.52)

である。次に、σ+ の行列表示は、

σ+ =

(⟨+|σ+|+⟩ ⟨+|σ+|−⟩⟨−|σ+|+⟩ ⟨−|σ+|−⟩

)(12.22)=

(0 20 0

)(12.53)

となる。同様にして、

σ− =

(0 02 0

)(12.54)

である。これら 2式を用いると、σx = (σ+ + σ−)/2, σy = (σ+ − σ−)/(2i)より、

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)(12.55)

を得る。これらの行列をパウリ行列と呼ぶ。

実際のスピン演算子の行列表示は、このパウリ行列を用いて、

S =1

2σ (12.56)

*8 外部空間はスピン内部空間とは独立であるから、基底ベクトルを別途導入することができる。


であることに注意しよう。また、本講義では ℏの因子を S に含めていないので、角運動量の次元を持つス

ピン演算子は、

ℏS =ℏ2σ (12.57)

であることにも注意しよう*9

出席課題 S.12.3 : (12.54), (12.55)式を示せ。

出席課題 S.12.4 : 行列表示を用いて成分を具体的に計算し、パウリ行列に対して

Trσi = 0, Tr(σiσj) = 2δij , detσi = −1 (12.58)

を示せ。12.2.3節の Note.も確認しておくこと。

演習問題 E.12.4 : 任意の (2× 2)行列 A =

(a b

c d

)について、具体的に成分を計算して

A =1

2

[(TrA)I +Tr(σiA)σ

i]≡ 1

2

[(TrA)I +Tr(σA) · σ

](12.59)

と展開できることを示せ。ここで I = δij は単位行列である。

Note. σ0 = I を導入すると、演習問題 E.12.4の結果は、

A =Tr(σ0A)

2σ0 +

Tr(σxA)

2σx +

Tr(σyA)

2σy +

Tr(σzA)

2σz =

3∑α=0

Tr(σαA)

2σα (12.60)

と展開できることを意味している。(2× 2)行列 Aは 4つの成分を持つ (4次元)が、それをベクトル

の成分とみなし、4次元基底 (行列)σα を用いて表現している。

行列表示で成り立つこの結果は、行列表示を用いないもともとの演算子においても同様に成り立

つ。すなわち、8.2.2節で導入したように、演算子 Aの基底 |n⟩についてのトレース操作を

Tr A ≡∑n

⟨n|A|n⟩ (12.61)

で定義すれば、演算子の展開

A =Tr(σ0A)

2σ0 +

Tr(σxA)

2σx +

Tr(σyA)

2σy +

Tr(σzA)

2σz =

3∑α=0

Tr(σαA)

2σα (12.62)

が成り立つ。ここで σ0 = 1は恒等演算子である。尚、スピン演算子の場合、トレース操作は

Tr A =∑n=±⟨n|A|n⟩ = ⟨+|A|+⟩+ ⟨−|A|−⟩ (12.63)

であり、行列のトレース操作と同じであることを注意しておく。

*9 以下では、角運動量の次元をもつ ℏS の代わりに、σ を用いて議論を進めるので、固有値や測定値、期待値などには因子 ℏ/2の違いがあることに注意。

12.2 スピン演算子 s = 1/2の行列表現 283

12.2.3 スピン演算子の他の行列表現

スビン演算子の性質は交換関係と (12.38)式で特徴づけられるが、パウリ行列がそのようなものの唯一の

ものではない。実際、U を 2次元の任意のユニタリ演算子として*10として、新しいスピン演算子を

σ′ = UσU† (12.64)

で導入すると、まず ((2.145)式参照)、U U† = U†U = 1 であるから、交換関係

[σ′i, σ

′j ] = U [σi, σj ]U

† = U [iϵijkσk] U† = iϵijkσ

′k (12.65)

を満たし、σ′iσ

′j = U σiσjU

† = U [δij + iϵijkσk] U† = δij + iϵijkσ

′k (12.66)

であるから (12.38)式も満たす。すなわち、σ′ = U σU† もパウリ演算子と同等のスピン演算子である。

σ′ を行列表示したものは、基底状態に U |±⟩ を採用した場合の行列表示に相当する。U |±⟩は S2 と Sz

の同時固有状態 |±⟩とは一般に異なるので、得られる行列表示も違ったものになる。

Note:

(12.58)式の性質は、パウリ行列以外のスピン演算子の行列表示についても成り立つ。実際、(12.64)式の

変換に対して、トレースと行列式の性質

Tr(AB) = Tr(BA), det(AB) = (detA)(detB) (12.67)

に注意すると、

Tr(σ′i) = Tr(UσiU

†) = Tr(UU †σi)

= Tr(σi) = 0 (12.68)

Tr(σ′iσ

′j) = Tr(UσiU

†UσjU†) = Tr(UσiσjU

†)

= Tr(σiσj) = 2δij (12.69)

detσ′i = det(UσiU

†) = detU detσi detU† = detU detU† detσi = det(UU†) detσi

= detσi = −1 (12.70)

である。ここでユニタリ演算子の行列表示を U ,U† とした。

上述のように、(12.58)式の性質はパウリ行列以外のスピン演算子の行列表示についても成り立っている。

実際、出席課題 S.12.4では行列表示を用いて示したが、(12.58)式の性質の多くは、行列表示を用いなくて

も示すことができる。

まず、スピン演算子の一般的性質 (12.30), (12.36)式より、i = j のとき、σiσj = −σj σi, σj σiσj = −σiであるから、

Tr σi = −Tr(σj σiσj) = −Tr(σiσ2j ) = −Tr σi (12.71)

となるので (ここで演算子のトレースは (12.61),12.63式で定義される)、

Tr σi = 0 (12.72)

である。

*10 行列表示が任意の 2× 2のユニタリ行列になるという意味。


次に、i = j に対して、Tr(σiσj) = −Tr(σj σi) = −Tr(σiσj) となるので、

Tr(σiσj) = 0, (i = j) (12.73)

である。一方、i = j の場合は、σ2i = 1(単位行列)より、

Tr(σiσj) = Tr σ2i = 1 + 1 = 2, (i = j) (12.74)

となるので、まとめればTr(σiσj) = 2δij (12.75)

である。

最後に、任意の (2× 2)行列 Aに対して成り立つハミルトン・ケイリーの定理

A2 −A(TrA) + detA = 0 (12.76)

を援用して、A = σi とすると、det σi = −1 (12.77)

が得られる*11。

12.3 スピン (s = 1/2)演算子の固有状態：一般の場合

本節で取り扱っている内容は量子力学の基本事項の復習と、スピン演算子についての演習としては最適な

題材である。

スピンの向きがどの座標軸とも揃っておらず、n方向を向いている場合の固有値と固有状態を求めよう。

これは、スピンの向きを単位ベクトル n = er であらわすと、n · σ の固有状態 |χn⟩と固有値mn を求める

問題に対応する*12。特別な場合として、n = ei, (i = x, y, z)のとき、n · σ = σi, (i = x, y, z) である。

n = sin θ cosφex + sin θ sinφey + cos θez (12.78)

であるから、

n · σ = sin θ cosφσx + sin θ sinφσy + cos θσz =

(cos θ e−iφ sin θ

eiφ sin θ − cos θ

)(12.79)

である。

復習事項

一般に、系の状態が |ψ⟩であるとき (規格化されているとする)に、物理量 Aの測定を行うと、観測値は

Aの固有値 an のいずれかになる。|ψ⟩が Aのいずれかの固有値の固有状態でない限り、観測毎に得られる

観測値は異なる。量子力学が予言できるのは、多数回観測した場合に固有値 an が得られる確率であり、そ

れは an に属する固有状態 |an⟩を用いて、

Pan = |⟨an|ψ⟩|2 (12.80)

*11 演算子に対するハミルトン・ケーリーの定理が証明されておらず、また演算子に対する determinant も定義されていないので、この結果は参考程度に考えておいてよい。

*12 座標系を決めた時点で σx, σy , σz は固定されている。そうして固定されたいわばスピン座標の中で、任意の向きのスピンを考えている。10.2.2節の [その他の重要事項] のところで述べたように、スピン座標はユニタリ変換で変えることができる。

12.3 スピン (s = 1/2)演算子の固有状態：一般の場合 285


これは量子力学の基本である「系の状態が ψ⟩ であるときにそれを観測して状態 |ϕ⟩ を見出す確率|⟨ϕ|ψ⟩|2」そのものである。A として時間推進の演算子 U を考えれば、これは遷移確率を与える。また、

|⟨an|ψ⟩|を確率振幅と呼ぶ (時間進化を考えている場合には遷移振幅と呼ばれたりもする)。

必ずどれかの固有値が観測されること (∑

n Pan = 1)は、∑n

Pan =∑n

|⟨an|ψ⟩|2 =∑n

⟨an|ψ⟩∗⟨an|ψ⟩ =∑n

⟨ψ|an⟩⟨an|ψ⟩

= ⟨ψ|

[∑n

|an⟩⟨an|

]|ψ⟩ = ⟨ψ|ψ⟩ = 1 (12.81)

より、エルミート演算子 Aの異なる固有値に属する状態ベクトルが直交しているという数学的事実と、そ

の場合における固有状態の完全性条件が ∑n

|an⟩⟨an| = 1 (12.82)

と表されることから従う。

完全性より、任意の状態は|ψ⟩ =

∑n

Cn|an⟩ (12.83)

と展開できる。これより、固有値 aが得られる確率はその展開係数 (一般に時間に依存していてもよい) に

よって (以下の式で、和の添字をmに代えなければならないことを必ず納得しておくこと)、

Pan = |⟨an|ψ⟩|2 =

∣∣∣∣∣⟨an|[∑

m

Cm|am⟩

]∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣∑m

Cm⟨an|am⟩

∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣∑m

Cmδnm

∣∣∣∣∣2

= |Cn|2 (12.84)

とも与えられる。

物理量 Aの測定結果得られる値の期待値は、期待値の定義から計算すれば、

⟨A⟩ =∑n

anPan =∑n

an|⟨an|ψ⟩|2 =∑n

an⟨ψ|an⟩⟨an|ψ⟩ =∑n

⟨ψ|an|an⟩⟨an|ψ⟩

=∑n

⟨ψ|A|an⟩⟨an|ψ⟩ = ⟨ψ|A|

[∑n

|an⟩⟨an|

]|ψ⟩

= ⟨ψ|A|ψ⟩ (12.85)

のようによく知られた表式が得られる。あとはこれらの基本を使いこなせるかどうかである。

12.3.1 固有値と固有状態

固有状態を

|χn⟩ =(c+c−

)(12.86)

と行列表示すると、固有値方程式 (n · σ)|χn⟩ = mn|χn⟩ より、(cos θ −mn e−iφ sin θeiφ sin θ − cos θ −mn

)(c+c−

)= 0 (12.87)


である。永年方程式 ∣∣∣∣ cos θ −mn e−iφ sin θeiφ sin θ − cos θ −mn

∣∣∣∣ = m2n − 1 = 0 (12.88)

を解けば、確かに固有値がmn = ±1となっている。固有状態を求めよう。(12.87)式より、

c−c+

= eiφmn − cos θ

sin θ=

eiφ tan

(θ2

), (mn = +1)

−eiφ cot(θ2

), (mn = −1) (12.89)

である。規格化条件 |c+|2 + |c−|2 = 1に代入すれば、定数位相因子を除いて、

mn = +1 のとき c+ = cos

(θ

2

), mn = −1 のとき c+ = sin

(θ

2

)(12.90)

が得られる。したがって、mn = ±1に属する固有状態 |χn,±⟩として、

|χn,+⟩ =(

cos(θ2

)eiφ sin

(θ2

) ) , |χn,−⟩ =(

sin(θ2

)−eiφ cos

(θ2

) ) (12.91)

が得られる。

|χn,±⟩はスピンの向きが nに揃った系の状態を表している。+の場合は n向きのスピン状態、−の場合は −n向きのスピン状態である。簡単に確かめられるように、|χn,±⟩は規格直交系をなす。

演習問題 E.12.5 : 12.3.1 節を参考に、スピンの向きが n の場合における固有値と固有状態を求

めよ。

12.3.2 期待値と確率

量子力学の基本事項より、系が |χn,+⟩の状態にあるときの σx の期待値は、

⟨σx⟩ = ⟨χn,+|σx|χn,+⟩(cos(θ2

)e−iφ sin

(θ2

) )( 0 11 0

)(cos(θ2

)eiφ sin

(θ2

) )= sin θ cosφ (12.92)

である。スピンの向きが x軸に揃っている場合 (n = ex のとき)、すなわち θ = π/2, φ = 0 のときには、

σx の期待値は予想通り 1になっている。同様にして、

⟨σy⟩ = sin θ sinφ, ⟨σz⟩ = cos θ (12.93)

であるから、⟨σ⟩ = ⟨σxex + σyey + σzez⟩ = ⟨σx⟩ex + ⟨σy⟩ey + ⟨σz⟩ez = n (12.94)

であることが結論づけられる*13。

これより、系がn方向を向いたスピン σn ≡ n·σ の固有状態にあるとき、n′方向のスピン成分 σn′ ≡ n′ ·σを測定した場合の期待値は、

⟨σn′⟩ = ⟨n′ · σ⟩ = n′ · ⟨σ⟩ = n′ · n (12.95)

で与えられる。例えば、n = n′ の場合の期待値は 1である。また、n = ex, n′ = ey の場合の期待値は 0

であるが、この場合にも観測の結果得られるのは σn′ = σy の固有値 ±1のいずれかであり、その確率がどちらも 1/2であるために期待値が 0になるのである。

*13 どういう場合に期待値が 0になるか。

12.4 ゼーマン (Zeeman)効果 287

状態 |χn,+⟩で、σy を観測する場合に得られる可能性のある値は σx の場合と同様に ±1のいずれかである。その確率を求めよう。(12.91)より、σy の固有状態は θ = π/2, φ = π/2として、

|χy,±⟩ =1√2

(1±i

)(12.96)

である。これより、系の状態が |χn,+⟩ある場合に、スピンの y 成分に対応*14する σy を観測する場合に ±1が得られる確率は、

Pn,y,± = |⟨χy,±|χn,+⟩|2 =1

2

∣∣∣∣( 1 ∓i)( cos

(θ2

)eiφ sin

(θ2

) )∣∣∣∣2 =1± sin θ sinφ

2(12.97)

である。確率が 1になり、値が確定するのは、|χn,+⟩が σy の固有状態になっている場合に限られる。

期待値の定義にしたがって ⟨σy⟩を計算すれば、

⟨σy⟩ = (+1) · Pn,y,+ + (−1) · Pn,y,− = sin θ sinφ (12.98)

であり、(12.94)式で n′ = ey とした結果と一致する。

σi, (i = x, y, z)は非可換であるから、スピンの 3つの成分が同時に確定した値をとることはない。系が

|χn,+⟩の状態にあるときに、スピンの n′ 方向の成分 σn′ ≡ n′ · σ の分散を計算すると*15、

⟨σn′⟩ = n′ · ⟨σ⟩ = n′ · n (12.99)

および⟨σ2

n′⟩ = 1 (12.100)

であるから、

∆σn′ =√⟨σ2

n′⟩ − ⟨σn′⟩2 =√1− (n′ · n)2 (12.101)

である。n′ と nが一致したときにのみ分散が 0になり確定値が得られる。

演習問題 E.12.6 : 12.3.2節を参考に、系が σn の固有状態にあるとき、n′ 方向のスピン成分 σn′ を

測定した場合の期待値と分散を求めよ。

12.4 ゼーマン (Zeeman)効果

12.4.1 磁場と軌道角運動量・スピン角運動量の相互作用

詳しくは 14 章で解説するが、一様な磁場 B 中における電荷 −e のスピン 1/2 の粒子のハミルトニア

ンは、

H =1

2m(p+ eA)

2+ µσ ·B (12.102)

で与えられる。ここで、

µ ≡ ℏe2m

(12.103)

である。磁場を z 軸方向にとりB = (0, 0, B)とすると、ベクトルポテンシャルA はB = ∇×Aより、

A =1

2B × x =

1

2ϵijkB

ixk =1

2(−yB, xB, 0) (12.104)

*14 実際のスピンは ℏS = ℏ2σ である。

*15 σ2i = 1に注意。


で与えられる。今、磁場は弱いとして、A, B の 2次以上の項を無視することにすると、

(p+ eA)2 ≈ p2 + e

(p ·A+A · p

)(12.105)

となる。

z 軸方向の一様磁場ではベクトルポテンシャルが (12.104)式のようにあらわされるから、正凖交換関係

[xi, pj ] = iℏδij (12.106)

を用いると

p ·A = piAi = −1

2Bpxy +

1

2Bpyx

(12.106)= −1

2Bypx +

1

2Bxpy = A · p (12.107)

のように pと Aが交換する。この結果より、

(p+ eA)2 ≈ p2 + 2ep ·A = p2 + ep · (B × x) = p2 + ℏeB · L (12.108)

となる。この近似のもとで*16、ハミルトニアンは、

H =p2

2m+ µB · (L+ σ) =

p2

2m+ µB · (L+ 2S) (12.109)

となり、磁場と角運動量およびスピンとの相互作用項があらわれる。

出席課題 S.12.5 : (12.104)式を示せ。ヒント Levi-Civita 記号を用いて ∇×Aを計算し、B = (0, 0, B)に一致することを示す。一様磁場だから

∂iBk = 0に注意して、

ϵijk∂jAk =

1

2ϵijk∂

j(ϵklmBlxm)(10.9)=

1

2(δliδ

mj − δmi δ

lj)Blδ

jm =

1

2(3Bi −Bi) = Bi (12.110)

を得る。あとは i, j, k に具体的に x, y, z を代入して確かめる。

出席課題 S.12.6 : (12.108)式を示せ。ヒント A = B × xおよび p · (B × x) = ℏB · Lを示せばよい。前者については省略。後者については、

p · (B × x) = piϵijkBj xk = Bjϵijkx

kpi = Bjϵjkixkpi = B · (x× p) = ℏB · L (12.111)

注意点：2 番目の等号では x と p の順序を入れ替えている。これらは非可換ではなかったか。交換関係

(10.2) ([xi, pj ] = iℏδij) を用いて 2 番めの等号が成り立つことを具体的に示せ。また、3 番目の等号にお

ける添字操作を説明せよ。

12.4.2 ゼーマン効果による準位の分裂

ゼーマン効果について角運動量量子数 l = 1 の場合を例として説明する。まずはじめにスピンのない場

合 S = 0 を考える。空間の等方性より、系にはもともと回転対称性があるため、l = 1 状態は磁気量子数

m = −1, 0, 1の 3重に縮退している。z 方向に一様な磁場を課すとその対称性が破れるため、磁気量子数の

縮退が解ける。実際、V ≡ µB · L = µBLz (12.112)

として、エネルギー固有値の 1次摂動を計算すると、

E(1)lm = ⟨l,m|V |l,m⟩ = mµB (12.113)

*16 ここでいう近似とは、弱磁場条件と一様磁場条件である。後者の一様磁場条件については、実験室のスケールで磁場が一様でなくても、量子系のスケールで外部磁場が一様であるとみなせれば十分である。

12.4 ゼーマン (Zeeman)効果 289

図 12.1 l = 1準位のゼーマン効果の概略図

となり、エネルギー固有値の縮退が解けることが分かる*17。

ここで、角運動量量子数 lの状態は縮退しているので、本来は縮退のある場合の摂動法を適用しなければ

ならない。しかし、今の場合には、摂動磁場の方向が z 方向であり、B と Lz が平行であるため、無摂動

ハミルトニアンの固有状態 (Lz の固有状態)によって摂動ハミルトニアンも対角化されているので、|n⟩⟩ と|n⟩が等しくなる。この場合にはエネルギー固有値の 1次摂動は ⟨⟨n|V |n⟩⟩ = ⟨n|V |n⟩ となるので、縮退のない場合の摂動法と同じ計算でエネルギー固有値の 1次摂動が求まったことに注意しよう (演習問題 E.5.2,

E.5.3 参照)。

スピンがある場合について、スピンの量子化軸が z 方向である場合 (mS = ±1/2) を考えると、エネルギー固有値の 1次摂動は、V ≡ µB · (L+ 2S) = µB(Lz + 2Sz)より、

E(1)lmmS

= ⟨l,m,mS |V |l,m,mS⟩ = [⟨l,m|⟨mS |]V [|l,m⟩|mS⟩]

= µB(⟨mS |mS⟩⟨l,m|Lz|l,m⟩+ 2⟨l,m|l,m⟩⟨mS |Sz|mS⟩

)= µB(m+ 2mS) (12.114)

となり、スピンの 2重縮退が解ける*18。l = 1準位のゼーマン効果によるエネルギー準位の分裂の概要は図

12.1のようになる。

演習問題 E.12.7 : l = 2, s = 1/2の場合に、ゼーマン効果によるエネルギー固有値の 1次摂動を求めよ。また、図 12.1に相当する図を描け。

略解 l = 2, s = 1/2 の場合、ゼーマン効果によるエネルギー固有値の 1 次摂動 (12.114) において、m =

2, 1, 0,−1,−2, mS = 1/2,−1/2 を取り得る。まず、軌道角運動量と磁場の相互作用の効果で l = 2の 5

*17 (12.113)式のmは磁気量子数であり、質量mではないことに注意。*18 この場合も、本来は縮退のある場合の摂動法を適用しなければならないが、今の場合には、無摂動ハミルトニアンの固有状態によって摂動ハミルトニアンも対角化されているので、縮退のない場合の摂動法と同じ計算でエネルギー固有値の 1次摂動が求まる。


重縮退が 5つに分裂し、その分裂した 4つの準位が、スピンの効果でさらに 2つに分裂する。(m+ 2mS)

の取りうるパターンは

3 for (m,mS) = (2, 1/2),

2 for (m,mS) = (1, 1/2),

1 for (m,mS) = (2,−1/2), (0, 1/2),

0 for (m,mS) = (1,−1/2), (−1.1/2),

−1 for (m,mS) = (0,−1/2), (−2.1/2),

−2 for (m,mS) = (−1,−1/2),

−3 for (m,mS) = (−2,−1/2)

の 7 通りであるから、最終的に 7 準位に分裂する。これを図示すればよい。

291

第 13章

角運動量の合成

　

13.1 合成系の角運動量：直積状態と固有状態

2つの部分系 1, 2からなる合成系の角運動量を考える。部分系の角運動量演算子はそれぞれ交換関係

[J1,i, J1,j ] = iϵijkJk1 , [J2,i, J2,j ] = iϵijkJ

k2 (13.1)

を満たす。すなわち、10 章で導いた一般角運動量が満たす関係式が適用可能である。さらに、部分系 1, 2

は独立であるので、部分系の間の交換関係は

[J1,i, J2,j ] = 0 (13.2)

である。いま、j1, j2 が与えられたとき、合成系の状態 |j1,m1; j2,m2⟩ は、部分系が独立であることにより、それぞれの状態ベクトル |j1,m1⟩, |j2,m2⟩の直積状態*1

|j1,m1; j2,m2⟩ ≡ |j1,m1⟩ ⊗ |j2,m2⟩ = |j1,m1⟩|j2,m2⟩ (13.3)

を用いて表すことができる (固有状態になっているとは限らない)。ここで ⊗はテンソル積と呼ばれる数学的操作であるが、本講義ノートではこれを省略して表記する*2。

合成系の角運動量はJ = J1 + J2 (13.4)

で定義される*3。ここで、注意として、部分系 1の角運動量 J1 は、部分系 2の状態ベクトルには恒等演算

子として作用し、同様に、部分系 2の角運動量 J2 は、部分系 1の状態ベクトルには恒等演算子として作用

*1 スピン内部自由度と外部自由度を合わせた状態ベクトルも積 (直積)で表せたことを思い出そう。*2 読者は特に神経質になる必要はなく、2つのベクトルが合わさったものと直感的に理解しておけば良い。*3 角運動量が回転変換の生成子であるというおおもとの定義からすると、J は全系の回転に対応する。全体を i軸まわりに微小角度 θ 回転すると、部分系も θ 回転するから、θ の 1次までで(

1− iθ

ℏJi

)=

(1− i

θ

ℏJ1,i

)(1− i

θ

ℏJ2,i

)=

(1− i

θ

ℏ(J1,i + J2,i)

)(13.5)

となるので、J = J1 + J2 である。

13.2 角運動量の合成の手順 293

ただし、(m1 = j1, m2 = j2), (m1 = −j1, m2 = −j2)のときは例外的で、

J2|j1,+j1; j2,+j2⟩ =[j1(j1 + 1) + j2(j2 + 1) + 2j1j2

]|j1,+j1; j2,+j2⟩

= (j1 + j2)(j1 + j2 + 1)|j1,+j1; j2,+j2⟩= j(j + 1)|j1,+j1; j2,+j2⟩ (13.14)

J2|j1,−j1; j2,−j2⟩ =[j1(j1 + 1) + j2(j2 + 1) + 2j1j2

]|j1,−j1; j2,−j2⟩

= (j1 + j2)(j1 + j2 − 1)|j1,−j1; j2,−j2⟩= j(j + 1)|j1,−j1; j2,−j2⟩ (13.15)

となるので、J2 の固有状態である。この事実が合成系である J2 と Jz の同時固有状態 |j,m⟩⟩を求める際の重要な足がかりとなる。

出席課題 S.13.1 : (13.12)式を示せ。

ヒント 2J1 · J2 = 2J1,zJ2,z + 2(J1,xJ2,x + J1,yJ2,y) の Ji,x, Ji,y を Ji,± であらわせばよい。

出席課題 S.13.2 : 合成系の角運動量 J = J1 + J2 が角運動量の交換関係を満たすことを示せ。略解 [J1,i, J2,j ] = 0に注意して、

[Ji, Jj ] = [J1,i + J2,i, J1,j + J2,j ] = [J1,i, J1,j ] + [J2,i, J2,j ]

= iϵijk(Jk1 + Jk

2 ) = iϵijkJk (13.16)

であるから角運動量の定義式を満たす。

13.2 角運動量の合成の手順

13.2.1 Step 0: 合成系の角運動量量子数 j のとりうる値

角運動量はベクトルであるから、角運動量量子数 j1, j2 を持つ部分系 1, 2を合成した結果得られる合成角

運動量量子数 j の大きさは、上限となる j1 + j2 だけではなく、別の値も取ることが可能である。具体的な

合成の手法に入る前に、合成系の j の下限について調べよう*6。合成系の j の最小値を jmin とする。最大

値は jmax = j1 + j2 であるから、j の取りうる値は、

j = jmin + k, (k = 0, 1, 2, · · · , jmax − jmin) (13.17)

である。

ここで、各 j に対して、mは −j ∼ j の 2j + 1個の値をとれるから、j が固定されたとき、|j,m⟩の状態の数は 2j + 1個である。そして、その j が (13.17)式の範囲にわたって変化する。したがって、j の取りう

る値にわたって足しあげれば、合成系がとりうる状態の総数 N は、

N =

jmax∑j=jmin

(2j + 1) =

jmax−jmin∑k=0

[2(jmin + k) + 1

]=

jmax+1−jmin∑k=1

[2(jmin + k)− 1

]=

jmax+1−jmin∑k=1

(2k) +

jmax+1−jmin∑k=1

(2jmin − 1)

= (jmax + 1− jmin)(jmax + 1− jmin + 1) + (jmax + 1− jmin)(2jmin − 1)

= (jmax + 1)2 − j2min (13.18)

*6 下限が存在することは、普通のベクトルに対して、J = J1 + J2, |J1| ≥ |J2|であるとき、|J1| − |J2| ≤ |J | ≤ |J1|+ |J2|となることから理解できよう。


である。

一方、合成系の状態は、直積状態 |j1,m1; j2,m2⟩ = |j1,m1⟩|j2,m2⟩ の線型結合で表されるが、互いに直交し、基底となりうる直積状態の数は、(j1,m1), (j2,m2)組の総数、(2j1 + 1)(2j2 + 1)である。これが合

成系の状態の総数 N と等しいので、

(jmax + 1)2 − j2min = (j1 + j2 + 1)2 − j2min = (2j1 + 1)(2j2 + 1) (13.19)

より、jmin = |j1 − j2| (13.20)

である。すなわち、合成系の角運動量量子数の取りうる値は、

j = |j1 − j2|, |j1 − j2|+ 1, · · · , j1 + j2 (13.21)

である。

出席課題 S.13.3 : (13.18), (13.20)式を示せ。

演習問題 E.13.1 : スピン 1/2どうしの合成を考える。合成系の同時固有状態 |j,m⟩⟩において、角運動量量子数 j の取りうる値は j = 0, 1である。j = 0の場合には 2j + 1 = (2 · 0 + 1) = 1通

り、j = 1の場合には (2 · 1 + 1) = 3通りの状態があり、合わせて 4つの状態がある。一方直積

状態の状態数も、(2j1 + 1)(2j2 + 1) = (2 · 12 + 1)(2 · 12 + 1) = 4となり一致する。このことを、

1

2⊗ 1

2= 1⊕ 0 (13.22)

と書くことにする。(1) j1 = 1, j2 = 1/2、(2) j1 = 32 , j2 = 1 の合成の場合に同様の式を書き、

両辺の状態数が一致することを示せ。

略解 (1) 1⊗ 12= 3

2⊕ 1

2, 状態数は 3×2 = 4+2で一致する。(2) 3

2⊗1 = 5

2⊕ 3

2⊕ 1

2, 状態数は 4×3 = 6+4+2

で一致する。

13.2.2 Step I: 合成系の最大の j = jmax = j1 + j2 に対して |jmax,m⟩⟩を求める

(13.14)式より、(m1 = j1, m2 = j2)における直積状態は合成系の同時固有状態であるから、j = jmax =

j1 + j2, m = jmax として、|jmax, jmax⟩⟩ = |j1, j1; j2, j2⟩ (13.23)

である。これを足がかりに、下降演算子を作用させていくことで |jmax,m⟩を求めていく。全系での下降演算子

J− = J1,− + J2,− (13.24)

を作用させると、J−|jmax, jmax⟩⟩ = (J1,− + J2,−)|j1, j1; j2, j2⟩ (13.25)

であるが、ここで J1,− は部分系 1だけに、J2,− は部分系 2だけに作用することに注意すれば、√2jmax|jmax, jmax − 1⟩⟩ =

√2j1|j1, j1 − 1; j2, j2⟩+

√2j2|j1, j1; j2, j2 − 1⟩ (13.26)

である。ここで (10.53)式をもちいた。これより

|jmax, jmax − 1⟩⟩ =

√j1jmax

|j1, j1 − 1; j2, j2⟩+

√j2jmax

|j1, j1; j2, j2 − 1⟩ (13.27)

13.2 角運動量の合成の手順 295

である。(13.10)式より、|j1, j1 − 1; j2, j2⟩, |j1, j1; j2, j2 − 1⟩ は共に合成系の Jz の固有状態であるから、

Jz|jmax, jmax − 1⟩⟩ = (jmax − 1)|jmax, jmax − 1⟩⟩ (13.28)

が成り立つ。

さらに J− = J1,− + J2,− を作用させると、

|jmax, jmax − 2⟩⟩ =

√1

jmax(2jmax − 1)

[√j1(2j1 − 1)|j1, j1 − 2; j2, j2⟩+ 2

√j1j2|j1, j1 − 1; j2, j2 − 1⟩

+√j2(2j2 − 1)|j1, j1; j2, j2 − 2⟩

](13.29)

となる。この操作を |jmax,−jmax⟩⟩が得られるまで繰り返せば、j = jmax の場合の合成系の同時固有状態

|jmax,m⟩⟩を直積状態 |j1,m1; j2,m2⟩の線型結合で表すことができる。

出席課題 S.13.4 : (13.27), (13.29)式を示せ。

13.2.3 Step II: j の値を 1つ下げた状態を求める

次に、j が 1つ小さい状態 j = jmax − 1の場合の合成系の同時固有状態 |jmax − 1, m⟩⟩を求めよう。

Step II.A: j の値を 1つ下げた状態 |jmax − 1, jmax − 1⟩⟩を求めるそのために、mが最も大きい状態 |jmax − 1, jmax − 1⟩⟩ まずはじめに求める。直積状態は完全系をなしているから、|jmax− 1, jmax − 1⟩⟩は直積状態 |j1, m1⟩|j2, m2⟩の線型結合で表すことができるはずである。(13.10)式より、

m = m1 +m2 (13.30)

であることが分かるから、m = jmax−1 = j1+j2−1となるためには、(m1,m2) = (j1−1, j2), (j1, j2−1)

の組だけが許される。したがって、

|jmax − 1, jmax − 1⟩⟩ = c1|j1, j1 − 1; j2, j2⟩+ c2|j1, j1; j2, j2 − 1⟩ (13.31)

でなければならない。|jmax − 1, jmax − 1⟩⟩と |jmax, jmax − 1⟩⟩は、J2 の固有値 j(j + 1)が異なるから直交

する。直交条件は (13.27)式より、 √j1c1 +

√j2c2 = 0 (13.32)

となる。

さらに規格化条件 |c1|2 + |c2|2 = 1を課せば、

|jmax − 1, jmax − 1⟩⟩ =

√j1jmax

|j1, j1; j2, j2 − 1⟩ −

√j2jmax

|j1, j1 − 1; j2, j2⟩ (13.33)

となる。これは合成系の J2 の固有状態になっていることが示される (演習問題)。

Step II.B: J− を作用させて |jmax − 1, m⟩⟩を求める(13.33)式に下降演算子 J− を繰り返し作用させれば、Step I の方法により、|jmax − 1, jmax − 2⟩⟩, · · · ,|jmax − 1, m⟩⟩, · · · を直積状態の線型結合で表すことができる。


演習問題 E.13.2 : (13.33)式の |jmax − 1, jmax − 1⟩⟩が J2 の固有状態になっていることを示せ。略解 (13.13)式より、

J2|j1, j1; j2, j2 − 1⟩ =[j1(j1 + 1) + j2(j2 + 1) + 2j1(j2 − 1)

]|j1, j1; j2, j2 − 1⟩

+2√j1j2 |j1, j1 − 1; j2, j2⟩

J2|j1, j1 − 1; j2, j2⟩ =[j1(j1 + 1) + j2(j2 + 1) + 2j2(j1 − 1)

]|j1, j1 − 1; j2, j2⟩

+2√j1j2 |j1, j1; j2, j2 − 1⟩ (13.34)

したがって、

J2|jmax − 1, jmax − 1⟩⟩ = −√

j2jmax

J2|j1, j1 − 1; j2, j2⟩+√

j1jmax

J2|j1, j1; j2, j2 − 1⟩

=[j1(j1 + 1) + j2(j2 + 1) + 2j1j2 − 2(j1 + j2)

]|jmax − 1, jmax − 1⟩⟩

= (jmax − 1)((jmax − 1) + 1

)|jmax − 1, jmax − 1⟩⟩ (13.35)

13.2.4 Step III: Step II を繰り返す

同様にして、j = jmax − n, (n = 1, 2, · · · ) の状態を逐次的に求めることができる。いま、j = jmax ∼jmax − n+ 1までの固有状態 |j,m⟩⟩は既に求められているものとする。そこからさらに j の値が 1つ小さ

い |jmax − n,m⟩⟩を求めることを考えよう。まず、m1 +m2 = jmax − nであるから、m1 = j1 − k とおけば、m2 = j2 −m− k と表されることに注意する。すると、|jmax − n, jmax − n⟩⟩を直積状態で展開したものは

|jmax − n, jmax − n⟩⟩ =∑

m1+m2=jmax−n

Cm1,m2 |j1,m1; j2,m2⟩

=n∑

k=0

Cj1−k, j2−n+k|j1, j1 − k; j2, j2 − n+ k⟩ (13.36)

のように展開できることが分かる。

例えば、n = 2のときは、

|jmax − 2, jmax − 2⟩⟩ = Cj1,j2−2|j1, j1; j2, j2 − 2⟩+ Cj1−1,j2−1|j1, j1 − 1; j2, j2 − 1⟩+Cj1−2,j2 |j1, j1 − 2; j2, j2⟩ (13.37)

と展開される。つまり、jmax − nのnを振り分ける場合の数 (n = 2の場合には (0, 2), (1, 1), (2, 0) の 3通

り)だけ項数がある。

一般の場合には、(n+ 1)個*7の係数 Cj1−k, j2−n+k を決めなければならないが、それは、規格化条件と、

既に求められている n個の

|jmax, jmax − n⟩⟩, |jmax − 1, jmax − n⟩⟩, · · · , |jmax − n+ 1, jmax − n⟩⟩ (13.38)

との直交条件から決められる。例えば、n = 2の場合には、規格化条件と |jmax, jmax−2⟩⟩, |jmax−1, jmax−2⟩⟩との直交条件の 3つの条件式から 3つの係数 Cj1,j2−2, Cj1−1,j2−1, Cj1−2,j2 が求まる。

|jmax − n, jmax − n⟩⟩が求まれば、J− を作用させていくことによって、すべての可能なmに対する固有

状態 |jmax − n,m⟩⟩を求めることができる。

*7 m1 は jmax − 0から jmax − nの (n+ 1)通りの振り分け方があり、m1 への振り分け方を決めるとm2 への振り分けも自動的に決まるから、(n+ 1)が振り分け方の総数である。

13.3 角運動量の合成の具体例 297

13.2.5 補足：クレブシュ-ゴルダン係数

このようにして、J2 と Jz の同時固有状態 |j,m⟩⟩は、直積状態 |j1,m1; j2,m2⟩ = |j1,m1⟩|j2,m2⟩ の線型結合

|j,m⟩⟩ =j1∑

m1=−j1

j2∑m2=−j2

Cm1,m2 |j1,m1; j2,m2⟩

=

j1∑m1=−j1

j2∑m2=−j2

⟨j1,m1; j2,m2|j,m⟩⟩ |j1,m1; j2,m2⟩ (13.39)

として表すことができる。このときの展開係数 Cm1,m2 = ⟨j1,m1; j2,m2|j,m⟩⟩ をクレブシュ・ゴルダン(Clebsch-Gordan)係数 (CG係数)という。

クレブシュ-ゴルダン係数の形式的表現

同時固有状態 |j,m⟩⟩の直積状態 |j1,m1; j2,m2⟩ = |j1,m1⟩|j2,m2⟩ による展開式に昇降演算子を作用させると、

J±|j,m⟩⟩ = (J1,± + J2,±)∑

m1,m2

⟨j1,m1; j2,m2|j,m⟩⟩ |j1,m1; j2,m2⟩

=∑

m1,m2

⟨j1,m1; j2,m2|j,m⟩⟩[(J1,±|j1,m1⟩

)|j2,m2⟩+ |j1,m1⟩

(J2,±|j2,m2⟩

)](13.40)

となる。ここで、(10.52), (10.53)式を用いると、漸化式√(j ∓m)(j ±m+ 1)⟨j1,m1; j2,m2|j,m± 1⟩⟩

=√(j1 ∓m1 + 1)(j1 ±m1)⟨j1,m1 ∓ 1; j2,m2|j,m⟩⟩

+√

(j2 ∓m2 + 1)(j2 ±m2)⟨j1,m1; j2,m2 ∓ 1|j,m⟩⟩ (13.41)

が得られる。

この漸化式を使うと、例えば、⟨j1, j1; j2, j2|j1 + j2, j1 + j2⟩⟩ = 1 から、他のすべてのクレブシュ・ゴル

ダン係数を求めることができる。その結果は、m = m1 +m2 として、

⟨j1,m1; j2,m2|j,m⟩⟩ =√(2j1 + 1)(j1 + j2 − j)!(j1 − j2 + j)!(−j1 + j2 + j)!

(j1 + j2 + j + 1)!

×√(j1 +m1)!(j1 −m1)!(j2 +m2)!(j2 −m2)!(j +m)!(j −m)!

×∑k

(−1)k

k!

1

(j1 + j2 − j − k)!(j1 −m1 − k)!(j2 +m2 − k)!(j − j2 +m1 + k)!(j − j1 −m2 + k)!

(13.42)

である。ここで∑

k の和は、分母の各因子が非負の範囲でとる。

13.3 角運動量の合成の具体例

前節までで展開した一般論を、具体的な問題に適用しよう。


13.3.1 スピン 1/2同士の合成

本節ではスピン j = s = 1/2 どうしの合成を考える。J1 = s1 (j1 = S1 = 1/2) , J2 = s2 (j2 = S2 =

1/2) として、13.2 節の手順に従い角運動量の合成を行う。合成系の角運動量量子数 j の取りうる値は、

(13.21)式より、j = 0, 1である。

j = 1のとき、合成系の j = 1, m = 1の同時固有状態は、直積状態を用いて

|1, 1⟩⟩ =∣∣∣∣12 , 12 ; 12 , 12

⟩=

∣∣∣∣12 , 12⟩

1

∣∣∣∣12 , 12⟩

2

= |+⟩1|+⟩2 = |+; +⟩ (13.43)

と表される*8。

j = 1に属する残りの状態 |1, 0⟩⟩, |1,−1⟩⟩ は、|1, 1⟩⟩に下降演算子 J− を作用させていくことによって得

られる。まず、J−|1, 1⟩⟩ = (J1,− + J2,−)|+; +⟩ (13.44)

において、左辺は (10.53)式より、J−|1, 1⟩⟩ =√2|1, 0⟩⟩であり、右辺は

(J1,− + J2,−)|+; +⟩ =(J1,−|+⟩1

)|+⟩2 + |+⟩1

(J2,−|+⟩2

)=

∣∣∣∣12 ,−1

2

⟩1

∣∣∣∣12 , 12⟩

2

+

∣∣∣∣12 , 12⟩

1

∣∣∣∣12 ,−1

2

⟩2

= |−⟩1|+⟩2 + |+⟩1|−⟩2 = |−; +⟩ + |+; −⟩ (13.45)

であるから、合成系の j = 1, m = 0の同時固有状態は

|1, 0⟩⟩ = 1√2

[|−; +⟩ + |+; −⟩

](13.46)

である。

(13.46) 式の両辺に J− = (J1,− + J2,−) を作用させれば |1,−1⟩⟩ が得られる。左辺は J−|1, 0⟩⟩ =√2|1,−1⟩⟩ 及び

1√2(J1,− + J2,−)

[|−; +⟩ + |+; −⟩

]=√2|−; −⟩ (13.47)

より、当然の結果|1,−1⟩⟩ = |−; −⟩ (13.48)

が得られる。

合成系の角運動量量子数 j の取りうるもう一つの値、j = 0については、|0, 0⟩⟩ という同時固有状態が可能である。これを求めるには、|1, 0⟩⟩ が mが同じで j の異なる状態であるから、|0, 0⟩⟩は |−; +⟩, |+; −⟩から作られる:

|0, 0⟩⟩ = c1 |−; +⟩ + c2|+; −⟩ (13.49)

さらに |1, 0⟩⟩が直交するという条件と規格化条件を課せば、c1 と c2 が定まり、

|0, 0⟩⟩ = 1√2

[|−; +⟩ − |+; −⟩

](13.50)

となる。

*8 いろいろな表記法が考えられるので、ここでまとめて書き下しておいた。


演習問題 E.13.3 : スピン 1/2同士の合成を行い、合成系の同時固有状態を直積状態の線型結合とし

て求めよ。演習問題 E.13.4 : 軌道角運動量 l = 1とスピン 1/2の合成を行い、合成系の同時固有状態を直積状

態の線型結合として求めよ。略解 L (l = 1) と s (S = 1/2) の合成である。J1 = L (j1 = l = 1) , J2 = s (j2 = S = 1/2) として、

13.2節の手順に従い角運動量の合成を行う。

l が与えられているので、軌道角運動量の固有状態は磁気量子数 mだけで区別できる。そこで |l,m⟩ =|1, 1⟩の状態を |1⟩、|l,m⟩ = |1, 0⟩の状態を |0⟩、|l,m⟩ = |1,−1⟩の状態を | − 1⟩とあらわし、スピンの固有状態は |±⟩であらわすことにする。まず、可能な合成系の角運動量量子数 j の値は j = 3/2, 1/2であり、演習問題 E.13.1 の表記法を用い

れば、

1⊗ 1

2=

3

2⊕ 1

2(13.51)

の合成となっている。左辺の直積状態は (2 · 1 + 1) · (2 · (1/2) + 1) = 6 通り、右辺の合成系の状態も

(2 · (3/2) + 1) + (2 · (1/2) + 1) = 6通りである。合成系の 6通りの状態を、直積状態の線形結合として求

めよう。

Step I. に従い、合成系の角運動量が最大となるとき、すなわち j = 3/2のときを計算する。まず、合成

系で最大の磁気量子数をとる状態は、(13.14)式の結果より、∣∣∣32,3

2

⟩⟩= |1⟩ |+⟩ (13.52)

であることは直ちに分かる。この状態に合成系での下降演算子

J− = J−,l + J−,s (13.53)

を作用させていけばよい。J− は∣∣∣32,3

2

⟩⟩、J−,l + J−,s は |1⟩ |+⟩ に作用するが、前者については、

J−

∣∣∣32,3

2

⟩⟩(10.53)=

√3∣∣∣32,1

2

⟩⟩(13.54)

となる。一方、後者については、J−,l が軌道角運動量部分 |1⟩ にのみ、J−,s がスピン角運動量部分 |+⟩ にのみ作用することに注意して計算すれば、(

J−,l + J−,s

)|1⟩ |+⟩ (10.53),(13.25)

=√2 |0⟩ |+⟩ + |1⟩ |−⟩ (13.55)

となる。(13.54), (13.55)式の右辺同士を等しいとおけば、∣∣∣32,1

2

⟩⟩=

√2

3|0⟩ |+⟩ +

√1

3|1⟩ |−⟩ (13.56)

を得る。

つづけて下降演算子を作用させていけば、同様に (必ず計算の詳細を示すこと)、∣∣∣32,−1

2

⟩⟩=

√1

3|−1⟩ |+⟩ +

√2

3|0⟩ |−⟩ (13.57)∣∣∣3

2,−3

2

⟩⟩= |−1⟩ |−⟩ (13.58)

を得る。

最後の∣∣∣32,−3

2

⟩⟩の結果は、実際上は、

∣∣∣32,−1

2

⟩⟩に下降演算子を作用させるのではなく、(13.15)式の

結果を用いて直ちに求められる。さらに、∣∣∣32,−1

2

⟩⟩についても、

∣∣∣32,1

2

⟩⟩に下降演算子を作用させるより

は、∣∣∣32,−3

2

⟩⟩に上昇演算子を作用させたほうが少ない計算量で求められる (試してみること)。

次に、Step. II に従い、合成系の j の値が 1つ小さい j = 1/2のときの状態を求める。まず、∣∣∣12,1

2

⟩⟩を磁気量子数が同じで角運動量量子数の異なる

∣∣∣32,1

2

⟩⟩に直交するように決める (エルミート演算子 Lz の


性質)。∣∣∣32,1

2

⟩⟩と同じ基底を用いて、

∣∣∣12,1

2

⟩⟩= a |0⟩|+⟩ + b |1⟩|−⟩ (13.59)

とおいて、直交条件に加え、規格化条件も考慮して係数 a, b を決定する。その結果は (必ず計算の詳細を示

すこと)、 ∣∣∣12,1

2

⟩⟩=

√1

3|0⟩ |+⟩ −

√2

3|1⟩ |−⟩ (13.60)

となる。次に、下降演算子を作用させて (必ず計算の詳細を示すこと)、∣∣∣12,−1

2

⟩⟩=

√2

3|−1⟩ |+⟩ −

√1

3|0⟩ |−⟩ (13.61)

を得る。

この問題では、Step. III はなく、これで合成系のすべての状態 6 通りが求まった。

13.3.2 スピン 1重項と 3重項

j1 = j2 = 1/2の場合、(2j1 +1)(2j2 +1)は 4であるから、合成の結果 4個の状態があるはずである。上

で求めた、|0, 0⟩⟩, |1, 1⟩⟩, |1, 0⟩⟩, |1,−1⟩⟩ がそれに対応する。j = 0の状態は 1つしかないのでスピン 1重

項、j = 1の状態は 3つあるのでスピン 3重項とよぶ。J1 と J2 の状態を入れ替えると、j = 0の状態は符

号を変えるが、j = 1の状態は不変である。この性質は、多粒子系を考えるときに重要になる。

13.3.3 補足：スピン 1/2と軌道角運動量の合成の一般論

J = L + S とする。合成系 J2, Jz の同時固有状態 |j,m⟩⟩ を、部分系である、L2, Lz の同時固有状態

|l,ml⟩l = |l,ml⟩とスピンの固有状態 |s,mS⟩S = |±⟩を用いて表す。軌道角運動量のような外部自由度と、スピンのような内部自由度は独立であるから、便宜上それぞれを部分系とみなすことができる。Lと S は

独立であるので、交換関係は[Li, Sj ] = 0 (13.62)

である。(13.21)式より、j と取りうる値は、l + 1/2, l − 1/2である。

|j,m⟩⟩がそのまま Jz の固有状態になっていることに注意して、合成系の磁気量子数 mに着目する。あ

る j に対して、合成系の磁気量子数が m になる部分系の組み合わせは (ml = m + 1/2, mS = −1/2),(ml = m− 1/2, mS = 1/2) だけである*9。すなわち、|j,m⟩⟩は直積状態 |l, m+1/2⟩|−⟩, |l, m− 1/2⟩|+⟩の線型結合で

|j,m⟩⟩ = c1

∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩+ c2

∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ (13.63)

と表すことができる。これは既に Jz の固有状態であるから、あとは J2 の固有状態にもなるように、lおよ

び係数 c1, c2 の値を決めればよい。

そのためには、J2 = L2 + S2 + 2L · S, 2L · S = 2LzSz + L+S− + L−S+ であることに注意して、

J2|j,m⟩⟩ =[L2 + S2 + 2L · S

] [c1

∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩+ c2

∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩

](13.64)

*9 mS = 0にはなり得ないことに注意しよう。


の両辺を計算して比較する。lh = l + 1/2とすると、

2L · S∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ = 2Lz

∣∣∣l, m− 1

2

⟩Sz|+⟩ + L+

∣∣∣l, m− 1

2

⟩S−|+⟩ + L−

∣∣∣l, m− 1

2

⟩S+|+⟩

= +(m− 1

2

) ∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ +

√(l +m+

1

2

)(l −m+

1

2

)∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩

= +(m− 1

2

) ∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ +

√l2h −m2

∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ (13.65)

2L · S∣∣∣l, m+

1

2

⟩|−⟩ = 2Lz

∣∣∣l, m+1

2

⟩Sz|−⟩ + L+

∣∣∣l, m+1

2

⟩S−|−⟩ + L−

∣∣∣l, m+1

2

⟩S+|−⟩

= −(m+

1

2

) ∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ +

√(l +m+

1

2

)(l −m+

1

2

)∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩

= −(m+

1

2

) ∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ +

√l2h −m2

∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ (13.66)

より、

J2∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ =

[l(l + 1) +

3

4+m− 1

2

] ∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ +

√l2h −m2

∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩

= (l2h +m)∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ +

√l2h −m2

∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ (13.67)

J2∣∣∣l, m+

1

2

⟩|−⟩ =

[l(l + 1) +

3

4−m− 1

2

] ∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ +

√l2h −m2

∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩

= (l2h −m)∣∣∣l, m+

1

2

⟩|−⟩ +

√l2h −m2

∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ (13.68)

である。

これらより、(13.64)式の右辺は、[c1(l

2h +m) + c2

√l2h −m2

]∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ +

[c2(l

2h −m) + c1

√l2h −m2

]∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ (13.69)

となる。これが (13.64)式の左辺、

j(j + 1)|j,m⟩⟩ = j(j + 1)

[c1

∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩+ c2

∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩

](13.70)

と等しくなるためには、(l2h +m− j(j + 1)

√l2h −m2√

l2h −m2 l2h −m− j(j + 1)

)(c1c2

)= 0 (13.71)

が成り立てばよい。永年方程式∣∣∣∣ l2h +m− j(j + 1)√l2h −m2√

l2h −m2 l2h −m− j(j + 1)

∣∣∣∣ = [lh(lh + 1)− j(j + 1)][lh(lh − 1)− j(j + 1)

]= 0 (13.72)

より、解は、j = lh = l + 1/2 あるいは j = lh − 1 = l − 1/2 である*10。これは (13.21)式と一致する。

j = lh = l + 1/2の場合、(13.71)式より、

c1 =j(j + 1)− l2h +m√

l2h −m2c2 =

√lh +m

lh −mc2 (13.73)

*10 j ≥ 0であったことに注意しよう。


であり、規格化条件 |c1|2 + |c2|2 = 1に代入して*11、

c2 =

√lh −m2lh

=

√l −m+ 1/2

2l + 1, c1 =

√lh +m

2lh=

√l +m+ 1/2

2l + 1(13.74)

となる。同様に、j = lh − 1 = l − 1/2の場合、

c2 =

√lh +m

2lh=

√l +m+ 1/2

2l + 1, c1 = −

√lh −m2lh

= −√l −m+ 1/2

2l + 1(13.75)

である。よって、合成系 J2, Jz の同時固有状態 |j,m⟩⟩は∣∣∣l± 1

2,m⟩⟩

= ±√l ±m+ 1/2

2l + 1

∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ +

√l ∓m+ 1/2

2l + 1

∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ (13.76)


加点問題 P.13.1 : (13.76)式を示せ。

13.4 スピン軌道相互作用

電子は原子核のまわりを運動しているので、電子の軌道運動によって環電流が作られているとみなすこと

ができる。環電流は磁気双極子を構成するから、電子の作る電流で磁気モーメント、あるいは磁場が生じて

いることになる。したがって、磁場が存在しない場合にも、電子の軌道運動に起因する磁気モーメント (磁

場)と電子スピンの間で相互作用が働く。これをスピン軌道相互作用という。

13.4.1 スピン軌道相互作用ハミルトニアン

電荷 Ze, (e > 0)をもつ原子核のつくる電場は (相対論効果を無視すれば)

E = −∇(−Ze4πε0r

)= − Ze

4πε0r3r (13.77)

である。この電場のもとで速度 v で運動する電子が受ける磁場は、

B =1

c2v ×E =

Ze

4πε0c2r3(r × v) =

Ze

4πε0mc2r3ℏL (13.78)

である。12.4節で考察した磁場とスピンとの相互作用の結果を用いれば、相互作用ハミルトニアンは、

HLS = µB · (2S) = ℏe2m

ℏZe4πε0mc2r3

L · (2S) = ℏ2Ze2

4πε0m2c2r3L · S (13.79)

で与えられる。ここで添字 LS は、スピン角運動量 S と軌道角運動量 L 間の相互作用であることから付

けた。

以上は完全に相対論的な取扱いではないが、より厳密な相対論的な計算によると、正しい結果は (13.79)

式の結果に 1/2の因子がついたものになることが示される。すなわち、スピン軌道相互作用のハミルトニア

ンは

HLS =ℏ2Ze2

8πε0m2c21

r3L · S = α

Z(ℏc)3

2(mc2)21

r3L · S ≡ VLS

r3L · S (13.80)


*11 c2 > 0の解を選んだ。

13.4 スピン軌道相互作用 303

加点問題 P.13.2 : (13.78)式を示せ。ヒントこれは量子力学の問題ではなく、電磁気学の問題である。以下に 2つの解法の方針と参考文献を示す。

この問題を解く場合には、参考文献の該当箇所を咀嚼理解し、なるべくただの丸写しにならないようにする

こと。

方針 1 電荷 q を持った粒子が軌道運動 r(t)するときの電磁場を与えるリエナール・ヴィーヒェルト (Lienard-

Wiechert)ポテンシャル (理論電磁気学 (砂川重信著, 岩波書店) 9章 3節参照)

ϕ(x, t) =q

4πε0

1

|x− r(t0)| − 1c

˙r(t0) · (x− r(t0))(13.81)

A(x, t) =µ0q

4π

r(t0)

|x− r(t0)| − 1cr(t0) · (x− r(t0))

(13.82)

ここで t0 はct0 = ct− |x− r(t0)| (13.83)

の解、を用いて計算する (理論電磁気学 (砂川重信著, 岩波書店) 9章 3節例題参照)。

方針 2 電荷 q とともに運動する系から見た電磁場は

E′(x′, t) =q

4πε0

x′

r′3, B′(x′, t) = 0, (r′ = |x′|) (13.84)


電荷の運動方向に x軸をとり、上記電磁場を −v = (−v, 0, 0)でローレンツ変換し、

Ex(x, t) =q

4πε0

x− vt

R30

(1− v2

c2

)(13.85)

Ey(x, t) =q

4πε0

y

R30

(1− v2

c2

)(13.86)

Ez(x, t) =q

4πε0

z

R30

(1− v2

c2

)(13.87)

Bx(x, t) = 0 (13.88)

By(x, t) = − qv

4πε0

z

R30

(1− v2

c2

)(13.89)

By(x, t) =qv

4πε0

y

R30

(1− v2

c2

)(13.90)

ただし

R20 = (x− vt)2 +

(1− v2

c2

)(y2 + z2) (13.91)

を用いて示す (理論電磁気学 (砂川重信著, 岩波書店) 11 章 2節例題参照)。

13.4.2 スピン軌道相互作用によるエネルギー準位の分裂

スピン軌道相互作用では、軌道角運動量とスピン角運動量が結合していることに注意しよう。そのため、

軌道角運動量の波動関数 (空間部分)とスピン波動関数 (スピン内部空間)がスピン軌道相互作用によって混

ざることになる。そのため、軌道角運動量 Lとスピン角運動量 S は独立ではなく、両者の和である全角運

動量 J = L+ S によって状態が指定される。

13.2.1節で一般論を説明し、13.3.3節で具体的に議論したように、この場合、角運動量の和 J の量子数

j が取りうる値は、j = l + 1/2 , j = l − 1/2 の 2 つである。すなわち、スピン軌道相互作用によって、

(l, s = 1/2) の 2(2l + 1) 個の状態は j = l − 1/2 の状態 2l 個と j = l + 1/2 の状態 2l + 2 個に分裂する。


合成系 j = l ± 1/2の状態は、実はスピン軌道相互作用ハミルトニアン、すなわち演算子 L · S の固有状態になっている。このことを確かめてみよう。(13.76)式を再掲すれば、

∣∣∣l± 1

2,m⟩⟩

= ±√l ±m+ 1/2

2l + 1

∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ +

√l ∓m+ 1/2

2l + 1

∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ (13.92)

である。状態 |l±1/2,m⟩⟩は j = l ± 1/2の場合の J2 の固有状態であり、かつ、右辺を見れば分かるよう

に、L2 の固有状態と S2 の固有状態の積からなっていることに注意しよう。

L+ S = J の両辺を 2乗すると、[Li, Sj ] = 0より

L · S =1

2

[J2 − L2 − S2

](13.93)

が得られる。これより、

(L · S)∣∣∣ l+1

2, m⟩⟩

=1

2

[J2 − L2 − S2

] ∣∣∣ l+1

2, m⟩⟩

=1

2

[(l +

1

2

)(l +

1

2+ 1

)− l(l + 1)− 1

2

(1

2+ 1

)] ∣∣∣ l+1

2, m⟩⟩

=l

2

∣∣∣ l+1

2, m⟩⟩

(13.94)

となる。同様に計算すれば、

(L · S)∣∣∣ l− 1

2, m⟩⟩

= − l + 1

2

∣∣∣ l− 1

2, m⟩⟩

(13.95)

となる。これらより、合成系 j = l ± 1/2の状態は、スピン軌道相互作用ハミルトニアンの固有状態になっ

ていることが示された。

本来は軌道部分の波動関数も考慮する必要があるが、簡単のためここではこれをを考えないことにしよ

う。スピン軌道相互作用によるエネルギー準位の変化は、摂動の 1次までで、j = l ± 1/2 に対して、

El+1/2 ≡⟨⟨l+

1

2,m∣∣∣HLS

∣∣∣l+1

2,m⟩⟩

=l VLS

2r3(13.96)

El−1/2 ≡⟨⟨l− 1

2,m∣∣∣HLS

∣∣∣l− 1

2,m⟩⟩

= − (l + 1)VLS

2r3(13.97)

となる。これがエネルギー準位の分裂幅となる*12。El+1/2 の状態に 2l + 2個、El−1/2 の状態に 2l個が分

裂して分かれるので、全体としては

(2l + 2)El+1/2 + 2lEl−1/2 = 0 (13.98)

となり、スピン軌道相互作用によって全エネルギーは変化しない*13。

出席課題 S.13.5 : (13.95)式を示せ。

出席課題 S.13.6 : スピン軌道相互作用による軌道角運動量量子数 l,スピン量子数 s = 1/2の状態の

エネルギー準位の分裂の概要を図示せよ。

演習問題 E.13.5 : スピン軌道相互作用を摂動ハミルトニアンとみなし、縮退のない場合の摂動法を

適用する。軌道方向の波動関数は考慮しなくて良い。

*12 一般の他電子原子の場合、主にスピン軌道相互作用によるエネルギー準位分裂によるエネルギースペクトルの構造を微細構造と呼ぶ。運動エネルギーに対する特殊相対論的な補正に起因する分裂など、スピン軌道相互作用に起因しない分裂もあり、そのような分裂も含めて微細構造と呼ばれる。微細構造のエネルギー幅は VLS によって決められるが、(13.80) 式よりこれは微細構造定数 αを用いて表される。これが αを微細構造定数と呼ぶ理由である。

*13 ゼーマン効果に場合のように外部磁場からエネルギーを受け取ることができないからである。


1. エネルギー固有値の 1次摂動を求めよ。

2. 摂動法の結果を (13.96), (13.97) 式およびゼーマン分裂の場合の結果と比較し、考察を述

べよ。略解 1. 無摂動ハミルトニアンの固有状態を |ψ0⟩ ≡ |l,m⟩|mS⟩ とする。縮退のない場合の摂動論では、エ

ネルギー固有値の 1次摂動は

E(1) = ⟨ψ0|HLS |ψ0⟩ =VLS

r3⟨ψ0|L · S|ψ0⟩ (13.99)

である。ここで、(13.12)式より

2L · S = 2LzSz + L+S− + L−S+ (13.100)

と展開し、軌道角運動量演算子 Lは |l,m⟩だけに、スピン演算子 S は |mS⟩だけに作用することに注意すれば、

2⟨ψ0|L · S|ψ0⟩ = ⟨mS |⟨l,m|(2LzSz + L+S− + L−S+

)|l,m⟩|mS⟩

= 2⟨l,m|Lz|l,m⟩⟨mS |Sz|mS⟩+ ⟨l,m|L+|l,m⟩⟨mS |S−|mS⟩+⟨l,m|L−|l,m⟩⟨mS |S+|mS⟩

= 2mmS (13.101)

ここで、最後の等号では (10.51), (10.52), (10.53)式を用いた。よって、エネルギー固有値の 1次摂

動は

E(1) =mmSVLS

r3(13.102)

2. 得られた結果は厳密解 (13.96), (13.97) 式とはまったく異なる。これは、無摂動ハミルトニアンの固

有状態 |ψ0⟩ ≡ |l,m⟩|mS⟩と、スピン軌道相互作用の固有状態 (スピン軌道相互作用のハミルトニアン

を対角化する状態) ∣∣∣l± 1

2,m⟩⟩

(13.103)

が異なっているためである。

z 方向に磁場をかけた場合のゼーマン分裂では、摂動ハミルトニアンが µBLz あるいは µB(Lz +

2Sz) であったために、無摂動ハミルトニアンの固有状態 (Lz, Sz の固有状態の直積状態) が摂動ハミ

ルトニアンも対角化していたため、縮退のある摂動論を適用してもうまく縮退が解け、エネルギー固

有値の摂動が正しく求まったのである。(演習問題 E.5.2, E.5.3 参照)

加点問題 P.13.3 : 縮退のある場合の摂動法を用いて、スピン軌道相互作用によるエネルギー固有値

の 1次摂動を計算せよ。ここで、行列要素 (永年方程式)を求める際には、

[L+ S, L · S] = 0 (13.104)

となることから、L+ S と L · S の同時固有状態が存在することを用いることで、無駄な計算を省略できることに注意せよ。

略解永年方程式を求めるためには、直積状態 |l,m⟩|mS⟩ 全てに対する摂動ハミルトニアン HLS の行列要素

を計算しなければならないが、(13.104)式が成り立つことに注意すれば、合成系 L+ S に関連する直積状

態、すなわち |l,m± 1/2⟩|∓⟩ に対する行列要素のみ計算すれば十分であることが分かる。行列要素の計算の前に、(13.104)式が成り立つことを示しておこう。

[Li, L · S] = [Li, LjSj ] = [Li, Lj ]S

j = iϵijkLkSj (13.105)

同様に、[Si, L · S] = [Si, L

jSj ] = Lj [Si, Sj ] = Lj iϵijkSk = −iϵijkLkSj (13.106)

両者を加えれば (13.104)式が成り立つ。


行列要素の計算に戻ろう。必要なのは(HLS

)+,+

≡ ⟨+|⟨l, m− 1

2

∣∣∣∣ HLS

∣∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩(

HLS

)+,−

≡ ⟨+|⟨l, m− 1

2

∣∣∣∣ HLS

∣∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩(

HLS

)−,+

≡ ⟨−|⟨l, m+

1

2

∣∣∣∣ HLS

∣∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩(

HLS

)−,−

≡ ⟨−|⟨l, m+

1

2

∣∣∣∣ HLS

∣∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩ (13.107)

である。ここで、

L · S = LxSx + LySy + LzSz =1

2

(L+S+ + L−S−

)+ LzSz (13.108)

を用いれば、

L · S∣∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩ = 1

2

[√(l −m+

1

2

)(l +m+

1

2

) ∣∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩

+

(m− 1

2

) ∣∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩

](13.109)

L · S∣∣∣∣l, m+

1

2

⟩|−⟩ = 1

2

[√(l −m+

1

2

)(l +m+

1

2

) ∣∣∣∣l, m− 1

2

⟩|+⟩

−(m+

1

2

) ∣∣∣∣l, m+1

2

⟩|−⟩

](13.110)

となるので、行列要素は

(HLS

)+,+

=VLS

2r3

(m− 1

2

),

(HLS

)−,+

=VLS

2r3

√(l −m+

1

2

)(l +m+

1

2

)(HLS

)−,−

= −VLS

2r3

(m+

1

2

),

(HLS

)+,−

=VLS

2r3

√(l −m+

1

2

)(l +m+

1

2

)(13.111)


求まった行列要素を用いて、永年方程式∣∣∣∣∣∣E(1) −

(HLS

)+,+

(HLS

)−,+(

HLS

)+,−

E(1) −(HLS

)−,−

∣∣∣∣∣∣ = 0 (13.112)

を解けば、

E(1) =l VLS

2r3,− (l + 1)VLS

2r3(13.113)

を得る。この結果は (13.96), (13.97)式の結果と一致する。

縮退が解けた場合の固有ベクトルが (13.92) 式と一致することを示すのは各自の演習問題とする。

加点問題 P.13.4 : l = 1の場合に、基底状態として

|1⟩ = |l, 1⟩|+⟩, |2⟩ = |l, 0⟩|+⟩, |3⟩ = |l,−1⟩|+⟩,|4⟩ = |l, 1⟩|−⟩, |5⟩ = |l, 0⟩|−⟩, |6⟩ = |l,−1⟩|−⟩ (13.114)

を採用した場合にの HLS の行列表示を求めよ。


答え

HLS =VLS

2r3

1 0 0 0 0 0

0 0 0√2 0 0

0 0 −1 0√2 0

0√2 0 −1 0 0

0 0√2 0 0 0

0 0 0 0 0 1

(13.115)

13.4.3 水素原子の場合

水素原子の場合に、軌道方向の波動関数 Rn,l(r) を含めて考える。まず、状態ベクトルは変数分離形

|n, l,m,mS⟩ = |Rn,l⟩|l,m⟩|mS⟩ で表されていることに注意しよう。ここで、|Rn,l⟩は軌道の状態ベクトル|l,m⟩は角運動量の状態ベクトル、|mS⟩はスピン状態ベクトルである*14。次に、(13.92)式から分かるよう

に、合成系の固有状態において、異なる角運動量量子数 lを持つ状態は混じらない。したがって、合成系の

状態も変数分離された形で表される:

|n, j, l,m,mS⟩⟩ ≡ |Rn,l⟩|j,m⟩⟩. (13.116)

|Rn,l⟩は軌道部分のみ、|j,m⟩⟩は軌道角運動量・スピン部分のみのハミルトニアンに作用するから、スピン軌道相互作用によるエネルギー準位の変化は

En,l+1/2 =⟨⟨n, l, l+

1

2,m∣∣∣HLS

∣∣∣n, l, l+1

2,m⟩⟩

= VLS⟨Rnl|(

1

r3

)|Rnl⟩

⟨⟨l+

1

2,m∣∣∣L · S∣∣∣l+1

2,m⟩⟩

=l VLS

2

∫ ∞

0

r2dr (Rnl)∗ 1

r3Rnl

=l VLS

2

⟨1

r3

⟩nl

(13.117)

で与えられる。ここで、 ⟨1

r3

⟩nl

≡∫ ∞

0

r2dr (Rnl)∗ 1

r3Rnl (13.118)

と定義し、水素原子の場合にはエネルギー準位の変化は主量子数にも依存するので、添字 n も加えて

En,l+1/2 と表記した。同様に、

En,l−1/2 = − (l + 1)VLS

2

⟨1

r3

⟩nl

(13.119)

となる。これより、一般の軌道についてスピン軌道相互作用によるエネルギー準位分裂を計算することがで

きる。

そのためには、動径方向の波動関数による 1/r3 の期待値の計算が必要であるが、結果だけを述べておく

と、水素原子型の場合、一般に、⟨1

r3

⟩nl

=

(Z

aB′

)31

n32

l(l + 1)(2l + 1)(13.120)

*14 |n, l,m,mS⟩本当はスピノルであるはずのものである。


であることを示すことができる (加点問題 P.11.7 参照)*15。これより、

En,l+1/2 = +VLS

2

1

n32

(l + 1)(2l + 1)　 (13.121)

En,l−1/2 = −VLS

2

1

n32

l(2l + 1)　 (13.122)

∆Enl ≡ En,l+1/2 − En,l−1/2 = +VLS

2

1

n32

l(l + 1)(13.123)

となる。

演習問題 E.13.6 : 水素原子において、主量子数 n = 2の状態のエネルギー準位は、スピン軌道相互作用によってどのように分裂するか。一般式 (13.120)を用いずに求め、これを図示せよ。

略解 (11.192)式より、n = 2 の場合に l が取りうる値は l = 1, 0の 2つであり、スピン軌道相互作用がな

い場合には、スピン縮退も含めて、それぞれ (2l + 1)(2s+ 1) = 6重 (l = 1), 2重 (l = 0)に縮退している

(合わせて 8重 (n2(2s+ 1) = 8)に縮退している)。

スピン軌道相互作用により、l = 1の状態は j = 3/2 (2j + 1 = 4個)と, j = 1/2 の状態 (2個)に分裂

する。分裂エネルギーは、

R2,1(r) =

(Z

aB′

)3/21

2√6

r

aB′exp

(− Zr

2aB′

)(13.124)

であるから、

E3/2 =VLS

2

∫ ∞

0

dr|R2,1|2

r=VLS

2

1

24a3B′

∫ ∞

0

dρ ρ e−ρ

=VLS

48a3B′(13.125)

となる。同様に計算すれば、

E1/2 = − VLS

24a3B′(13.126)

であり、分裂幅は∆E = E3/2 − E1/2 である。

一方、l = 0 の状態は、j の取りうる値が j ≥ 0であるために j = −1/2の状態が存在しないので、分裂

せずに j = 1/2の状態に変わるだけである。(13.117)式において l = 0より、エネルギー固有値がシフト

することもなく、変化しない。j = 1/2 の状態は |1/2,±1/2⟩⟩の 2重に縮退している。

l = 0 の状態が分裂しないという結果は、l = 0の場合には電子は軌道角運動量を有せず、したがって環

電流による磁場も存在しないためにそもそもスピン軌道相互作用が生じないからである、という古典的描像

とも整合的である。

以上の結果を図示すればよいが、これは各自の演習課題とする。

13.5 発展：超微細構造

工事中。

電子の軌道運動 (軌道角運動量)に起因する磁気モーメントと電子スピンの間の相互作用に起因するのが

スピン軌道相互作用であった。磁気モーメントの発生源は電子の軌道運動に限らない。原子核は一般に核磁

気モーメントを持つので、この核磁気モーメントと電子の角運動量の間に相互作用が働く。この場合には、

原子核の全角運動量 JN と電子の全角運動量 Je の間に働く相互作用 Je · JN を考える必要があるので、ス

*15 角度方向の波動関数 (球面調和関数) が規格化されているので、この動径方向の波動関数に関する期待値として定義された⟨1/r3⟩ は、全波動関数に関する期待値として定義された (11.215)式と同じものである。

13.6 発展：ベルの不等式 309

ピン軌道相互作用に比べてその取り扱いはかなり複雑になる*16。Je · JN 相互作用によるエネルギー準位

の多重項構造を超微細構造と呼ぶ。

13.6 発展：ベルの不等式

量子力学によれば、系の状態は波動関数あるいは状態ベクトルによって完全に指定される。しかし、系の

観測量 (物理量)は一般に決まった値をとらず、その確率分布のみが予言可能である。この結果に対して、2

つの解釈が可能である。1つは、量子力学は本質的に確率論的であるというものであり、それは自然自身が

備える確率的構造を反映しているとするものである。もう 1つの観点は、ほんとうは物理量の値を完全に決

定するパラメータが存在するのであるが、量子力学はその隠れたパラメータを含まない不完全な理論である

ため、測定結果がばらついているように見えるというものである。

13.6.1 EPR(Einstein-Podolsky-Rosen)の思考実験

アインシュタイン (Einstein)、ポドルスキー (Podolsky)、Rosen(ローゼン) は、後者の立場をとり、量

子力学は不完全な理論であると主張し*17、確率解釈は次のような不合理な結果を導くと論じた。スピン

s = 1/2の粒子の対が、粒子源 O のところで、スピン 1重項として生成されるとする。スピン 1重項の全

角運動量の大きさは 0であるから、2つ粒子のスピンは必ず反対方向を向いている。2つの粒子は互いに反

対方向に飛んでいき、遠くはなれたところにある装置 Aと B で、単位ベクトル n方向スピン成分が測定さ

れるとする。

今、Aでの粒子のスピンの n方向の成分を測定した結果が +1/2 (+)であったとすると、B で、対の相

手の粒子のスピンを測定すれば、かならず −1/2 (−)になる (合成系はスピン 1重項)。これは任意の nに

ついて成り立つ結果である。このことは、Aにおいて粒子の n方向のスピン成分を測定したとすると、B

におけるスピン成分も同時に知ることを意味する。また、このことは、先に B で測定を行った場合にも同

様に成り立つ。Aでの測定の結果、B におけるスピンの状態が決まったとすると、Aでの測定の過程は、B

における粒子にどのようにして伝わったのだろうか。

さらに、Aで ex 方向のスピン成分を測定して +の結果が得られたとする。ここで、B で ez 方向のスピ

ン成分の測定を行うと、+と −の結果が等確率で得られることが分かる*18。この場合、B での結果はもは

や事前には決まっていない。しかし、B で測定される粒子は Aでの測定結果をあらかじめ知っていたかの

ような振る舞いをする。原理的には、Aと B の装置を、(実際上の測定誤差の範囲内で)因果的に切り離し

た場所において測定することも可能である。この場合には、Aでの測定結果 (情報)が、超光速で B に伝わ

ることになり、不合理ではないだろうか。これが EPRパラドックスと呼ばれるものの概略である。

この思考実験に基づき、アインシュタインらは、量子力学は不完全な理論であり、局所実在論に基づくよ

り完全な理論に取って代わられるべきであると主張した。ここで局所実在論とは、

*16 合成系 Je = Le + Se のさらに原子核との合成系を考えなければならない。*17 アインシュタインは、自らがその創設者の一人である、量子力学に生涯満足しなかった。アインシュタインは友人であり論争相手でもあったボルン (Born)当ての手紙の中でこう記している。科学上の見解ではわれわれは対立者になってきました。あなたは神のサイコロ遊びを信じ、一方、私は客観的に存在する世界の完全な合法則性を信じ、その合法則性をきわめて思弁的な方法によってとらえようと試みたのです。私は、われわれが達成したものよりもっと実在的方法と、それに応ずるもっと直感的な基礎をたれかが発見することを期待しています。量子論の多くの第 1級の成果も、私に、原理としてのサイコロ遊びの存在を信じさせることはできません。

− M. Born, ”National Philosophy of Cause and Chance”, (Clarendon Press, 1949)

これが有名な「神はサイコロ遊びをしない」というフレーズの原典である。なお、ボルンは確率解釈の提唱者である。*18 ここの説明が理解できない場合には、12.3節をよく読んで、必ず理解できるようになっておくこと。


実在性: 物理系 (物理的実在)は観測とは独立に存在する。観測は、物理系をまったく乱さずに行うことが

原理的に可能であり、その場合、物理量の観測値は確実に決まる。

局所性: 空間的に離れた 2つの地点での観測は、観測情報が光速でも到達できない場合には、互いに独立

である。

という性質を物理法則が備えていることを主張するものである。

13.6.2 ベルの不等式

この問題に対して、1964年にベル (Bell)は、ベルの不等式として知られる 1つの基準を作った。この基

準は、局所実在論に基づくものなら、どんな理論でも従わなければならないものである。果たして、量子力

学におけるある相関実験の結果は、ベルの不等式を破ることが予言され、その後、アスペらによって、実際

にベルの不等式を破るような実験結果が得られた。すなわち、量子力学が今後修正を受けたとしても、その

修正理論は、局所実在論の枠にはおさまらない。以下では、局所実在論に基づき、ベルの不等式を導出する。

EPR思考実験の量子力学による定式化

まず、量子力学に基づいて EPR思考実験を定式化する。EPR思考実験では、2つの粒子のスピンの向き

は反対であるから、粒子対はスピン 1重項状態

|ψ⟩ = |0, 0⟩ (13.50)=1√2

(|+⟩1|−⟩2 − |−⟩1|+⟩2

)(13.127)

の状態にある。ここで検出器 Aにおける座標を基準座標にとるものとする。検出器 Aにおいて粒子 1のス

ピンの a方向の成分の測定をして、その値が +1/2であったとすると*19、測定の結果、粒子対の状態は

|ψ+⟩ = |+⟩1|−⟩2 (13.128)

に収縮し、その値が −1/2であったとすると、

|ψ−⟩ = |−⟩1|+⟩2 (13.129)

に収縮する。

一方、検出器 B のスピン測定軸 bは Aの軸 aに対して a · b = cos θ の傾きを持っているものとすると、

検出 B における粒子 2の状態は (12.91)式より、

|+; b⟩2 = cos

(θ

2

)|+⟩2 + eiφ sin

(θ

2

)|−⟩2 (13.130)

|−; b⟩2 = sin

(θ

2

)|+⟩2 − eiφ cos

(θ

2

)|−⟩2 (13.131)

で与えられる。検出器 Aの観測の後、検出器 B で粒子 2のスピンが +1/2である確率は

PB(+;+A) =∣∣∣(

2⟨+ : b|1⟨+|

)|ψ+⟩

∣∣∣2 = sin2(θ

2

)(13.132)

*19 式が煩雑になるのを避けるため、ℏ = 1とする。

13.6 発展：ベルの不等式 311

である。同様に、

PB(−; +A) =∣∣∣(2⟨− : b|1⟨+|

)|ψ+⟩

∣∣∣2 = cos2(θ

2

)(13.133)

PB(+;−A) =∣∣∣(

2⟨+ : b|1⟨−|

)|ψ−⟩

∣∣∣2 = sin2(θ

2

)(13.134)

PB(−;−A) =∣∣∣(2⟨− : b|1⟨−|

)|ψ−⟩

∣∣∣2 = cos2(θ

2

)(13.135)

である。

さて、EPR思考実験における Aと B での観測値 sA と sB の相関は

⟨sA(a)sB(b)⟩ =(+1

2

)(+1

2

)PA(+)PB(+;+A) +

(+1

2

)(−1

2

)PA(+)PB(−; +A)

+

(−1

2

)(+1

2

)PA(−)PB(+;−A) +

(−1

2

)(−1

2

)PA(−)PB(−;−A) (13.136)

である。ここで PA(±)は Aにおいて粒子 1のスピンの向きが ±1/2である確率である。Aの測定の段階では粒子のスピンの向きは不明であるので、

PA(+) = PA(−) =1

2(13.137)

である。したがって、量子力学に基づいて計算された相関は、

⟨sA(a)sB(b)⟩ =1

4

[sin2

(θ

2

)− cos2

(θ

2

)]= −1

4cos θ = −1

4a · b (13.138)

となる。

ベルの不等式: EPR思考実験の隠れた変数の理論による定式化

次に、局所実在論の例として、隠れた変数の理論を採用し、それに基づいて相関を計算する。隠れた変数

理論では、我々の測定にはかかっていないある変数 v が存在し、それをも考慮に入れれば測定値は決定論的

に求められるというものである。すなわち、スピンの観測値は、s1(v,a) = ±1/2, s2(v, b) = ±1/2のように v に依存して ±1/2いずれかの値をとるものとする。この場合にも、スピン角運動量の保存則により、

s1(v,a) = −s2(v,a) (13.139)

が成り立っている。

隠れた変数の確率密度を ρ(v)とすると、隠れた変数の理論における相関は、

⟨s1(a)s2(b)⟩ =∫dvρ(v)s1(v,a)s2(v, b) = −

∫dvρ(v)s1(v,a)s1(v, b) (13.140)

である。検出器 B において異なる軸 b′ を採用した場合の相関との差は、

⟨s1(a)s2(b)⟩ − ⟨s1(a)s2(b′)⟩ = −∫dvρ(v)s1(v,a)

[s1(v, b)− s1(v, b′)

](13.141)

であるが、(s1(v, b))2 = 1/4より 1 = 4(s1(v, b))

2 を挿入すると、

⟨s1(a)s2(b)⟩ − ⟨s1(a)s2(b′)⟩ = −∫dvρ(v)s1(v,a)

[s1(v, b)− 4(s1(v, b))

2s1(v, b′)]

= −∫dvρ(v)s1(v,a)s1(v, b)

[1− 4s1(v, b)s1(v, b

′)]

(13.142)


となる。両辺の絶対値を取ると、ρ(v) ≥ 0, s1(v, b)s1(v, b′) ≤ 1/4に注意すると、∣∣∣⟨s1(a)s2(b)⟩ − ⟨s1(a)s2(b′)⟩∣∣∣ =

∣∣∣ ∫ dvρ(v)s1(v,a)s1(v, b)[1− 4s1(v, b)s1(v, b

′)]∣∣∣

≤∫dvρ(v)

∣∣s1(v,a)s1(v, b)∣∣ [1− 4s1(v, b)s1(v, b′)]

≤∫dvρ(v)

1

4

[1− 4s1(v, b)s1(v, b

′)]

(13.139)=

∫dvρ(v)

1

4

[1 + 4s1(v, b)s2(v, b

′)]

(13.140)=

1

4+ ⟨s1(b)s2(b′)⟩ (13.143)

となる。これがベルの不等式 (Bell’s inequality)であり、任意の a, b, b′ に対して、局所実在論に基づく

理論が満たさなければならない不等式である。

13.6.3 ベルの不等式と量子力学の整合性

量子力学に基づく相関値 (13.138)式を用いてベルの不等式の両辺を評価すると、

∣∣⟨s1(a)s2(b)⟩ − ⟨s1(a)s2(b′)⟩∣∣ = 1

4

∣∣a · (b− b′)∣∣ (13.144)

1

4+ ⟨s1(b)s2(b′)⟩ =

1

4

(1− b · b′

)(13.145)

である。ここで、例えば a · b = 0, b′ = b cosϕ+ a sinϕと選ぶと、ベルの不等式は

1

4| sinϕ| ≤ 1

4(1− cosϕ) (13.146)

となるが、これは ϕ = 0, π/2, · · · 以外では成り立たない。すなわち、量子力学はベルの不等式を破る。最近の実験ではベルの不等式を破る結果が実際に得られており、少なくとも隠れた変数の理論のような局所実

在論では説明できない現象が見つかっている。

313

第 14章

電磁場中の運動

14.1 電磁場と荷電粒子の相互作用

14.1.1 最小結合における置き換え

スカラーポテンシャル A0*1、ベクトルポテンシャル A中の質量 m、電荷 q の荷電粒子のラグランジア

ン Lは

L =1

2mx2 + q x ·A− qA0 =

1

2mxkx

k + q xkAk − qA0 (14.1)

で与えられる (演習問題 E.14.1参照)。ここで、位置の正凖変数を xに選ぶと、その正凖共役運動量は、

pi =∂L

∂xi

=1

2m∂xk∂xi

xk +1

2mxk

∂xk

∂xi+ q

∂xk

∂xiAk

=1

2mδikx

k +1

2mxkδ

ki + qδki Ak

= mxi + qAi (14.2)

であるから*2、正準共役運動量 pは力学的運動量mxとは異なっている。

正凖共役運動量をもちいてハミルトニアンをあらわすと

H = x · p− L = x · (mx+ qA)− L

=1

2mx2 + qA0 (14.3)

=1

2m(p− qA)2 + qA0 (14.4)

となる。2.2節で説明したように、正準量子化では、力学変数の組を正準変数に選ばなければならないから、

(14.3)ではなくて、(14.4)式の形でハミルトニアンを用いなければならない。すなわち、電磁相互作用が

ある場合の時間に依存するシュレーディンガー方程式は

iℏ∂

∂t|ψ⟩ =

[1

2m

(p− qA(x)

)2+ qA0(x)

]|ψ⟩ (14.5)

となる。

*1 他の教科書では A0 = ϕと書かれることも多い。*2 アインシュタインの縮和規則を用いている。相対論を勉強した後に読み直しても混乱のないように意図的に使い分けているが、添字 i, j, k などの上付き、下付きは気にしないでよい。

314 第 14章電磁場中の運動

一方、電磁相互作用のない場合の時間に依存するシュレーディンガー方程式は、p0 ≡ mxとして

iℏ∂

∂t|ψ⟩ = p2

0

2m|ψ⟩ (14.6)

であった。(14.5), (14.6) 式を比較すると、iℏ ∂∂t −→ iℏ ∂

∂t − qA0, p0 −→ p − qA という置き換えをすれば、少なくとも電磁相互作用以外に相互作用 (ポテンシャル)のない場合のハミルトニアンおよび時間に依

存するシュレーディンガー方程式が得られることが分かる。

実は、これは電磁相互作用以外の相互作用 (ポテンシャル)が存在する場合にも成り立つ。すなわち、

電磁場のある場合のハミルトニアンとシュレーディンガー方程式電磁場との相互作用のない場合のハミルトニアン H(x, p0) において、

p0 =⇒ p− qA (14.7)

という置き換えをすれば電磁相互作用のある場合のハミルトニアンが得られ、さらに、時間に依存する

シュレーディンガー方程式の場合には、

iℏ∂

∂t=⇒ iℏ

∂

∂t− qA0 (14.8)

なる置き換えをすれば、電磁相互作用のある場合の時間に依存するシュレーディンガー方程式得られ

る。この置き換えを最小結合 (ミニマル結合)による置き換えという。電磁場と粒子が最小限の相互作

用をしているという意味である。出席課題 S.14.1 : 電磁場との相互作用が存在する場合の正準共役運動量が p = mx+ qA となるこ

とを示し、この正準共役運動量に対して正準量子化 [x, p] = iℏ (の処方を位置表示で行った結果

p→ −iℏ∇ ) を行うことで、電磁相互作用がある場合の時間に依存するシュレーディンガー方程

式 (14.5)を示せ。

演習問題 E.14.1 : 質量 m、電荷 q の荷電粒子のラグランジアン

L =1

2mx2 + q x ·A− qA0 (14.9)

から、運動方程式mxi = qEi + q (x×B)i (14.10)

を導け*3。

*3 この場合には運動方程式に合うようにラグランジアンを作ったように見えるかもしれないが、ラグランジアン形式 (解析力学)

は運動方程式が分かっていない場合に強力である。例えば特殊相対論ではラグランジアンはローレンツ変換で不変でなければならないが (ローレンツ不変性、ローレンツ対称性などといわれる)、この不変性 (対称性)を要請すると、荷電粒子のラグランジアンは (14.9) 式にほとんど一意に決まってしまう。物理数学で内積の不変性について学んだと思う。特殊相対論の舞台であるミンコフスキー時空での内積はミンコフスキー計量 ηab を用いて定義される。よって、ローレンツ不変な ηabp

apb = mc2(pa は4元運動量)を用いて運動エネルギーを評価することができる。さらに、電磁場との相互作用は、ローレンツ不変性より、4元電流 Ja = qua(ua は 4 元速度) と 4 元ベクトルポテンシャル Aa = (ϕ,A) の内積 ηabJ

aAb(の定数倍) に限られてしまうのである。このように、対称性しか分かっていないような未知の物理学に挑む場合には、ラグランジアン形式が強力な武器となる。

14.1 電磁場と荷電粒子の相互作用 315

略解オイラー・ラグランジュ (Euler-Lagrange)方程式は*4

dpidt

=∂L

∂xi=⇒ mxi + q

dAi

dt= −q∂iA0 + qx · (∂iA) (14.12)


dAi(xk, t)

dt=∂Ai

∂xkdxk

dt+∂Ai

∂t

dt

dt=∂Ai

∂xkxk +

∂Ai

∂t

= (∇Ai) · x+∂Ai

∂t(14.13)

である。オイラー・ラグランジュ方程式に代入して、ベクトル解析の公式

V × (∇×W ) = ϵijkVjϵklm(∂lWm) = ϵijkϵ

klmV j(∂lWm) = ϵkijϵklmV j(∂lWm)

= (δliδmj − δmi δ

lj)V

j(∂lWm) = V m(∂iWm)− V l(∂lWi)

= V · (∂iW )− (V · ∇)W (14.14)

を用いると、

mxi = q

[−∂iA0 −

∂Ai

∂t

]+ q x · [∂iA−∇Ai] = qEi + q [x× (∇×A)]i

= qEi + q (x×B)i (14.15)

となり、電場による力と磁場によるローレンツ力がある場合のニュートンの運動方程式が得られる。た

だし、

E ≡ −∇A0 −∂A

∂t, B ≡ ∇×A (14.16)

である。

14.1.2 スピン s = 1/2と磁場の相互作用

スピン s = 0の粒子の場合にはこれでよいが、有限のスピンを持つ粒子の場合には変更が必要になる*5。

スピン s = 1/2の粒子の場合、p0 × p0 = 0であるから、(12.39)式より、

(σ · p0)2 = p2

0 (14.17)

が成り立つ。これより、電磁場との相互作用がない場合のスピン s = 1/2の粒子のハミルトニアンを、

H0 =1

2m(σ · p0)

2 (14.18)

としてみよう。これに対して最小結合による置き換えをすると、電磁場がある場合のスピン s = 1/2の粒子

のハミルトニアン

H =1

2m

(σ · (p− qA)

)2+ qA0

=1

2m(p− qA)2 +

i

2mσ ·((p− qA)× (p− qA)

)+ qA0 (14.19)

*4 ここで∂L

∂xi= qxk∂iAk − q∂iA0 = qx · (∂iA)− q∂iA0 (14.11)

を用いた。*5 スピンと磁場の相互作用をきちんと取り扱うためには相対論的量子力学のディラック方程式が必要であるが、以下の議論は、それを非相対論的な近似のもとで行った結果に対応する。


が得られる。ここで (12.39)式を用いた。

ここで位置表示をとろう。位置表示では p = −iℏ∇, A = A(x) = A(x)である。右辺第 2項の外積項を

波動関数に作用させて計算すると、

(p− qA)× (p− qA)ψ = iℏq [A× (∇ψ) +∇× (Aψ)]

= iℏq(∇×A)ψ

= iℏqBψ (14.20)

となる。この結果をハミルトニアンに代入すると、

H =1

2m(p− qA)2 + qA0 − µ σ ·B (14.21)

となり、スピンに依存した項 −µ σ ·B があらわれる。ここで、

µ ≡ qℏ2m

(14.22)

と定義した。この項から、スピンは実効的に µσ の磁気モーメントを持つことが結論づけられる。

出席課題 S.14.2 : (14.20)式を示せ。略解アインシュタインの縮和規則を用いて書き下すと、

(p− qA)× (p− qA)ψ = ϵijk(pj − qAj)(pk − qAk)ψ

= [ϵijkpjpk − qϵijkpjAk − qϵijkAjpk + q2ϵijkAjAk]ψ

= −qϵijkpjAkψ − qϵijkAjpkψ (14.23)

ここで、ϵijk に交換可能なものが 2つかかると対称性から 0になることを用いた。ここで p = −iℏ∇とすると、

(p− qA)× (p− qA)ψ = iℏq[ϵijk∂j(Akψ) + ϵijkAj(∂kψ)]

= iℏq [∇× (Aψ) +A× (∇ψ)] (14.24)

が得られる。さらに、

[∇× (Aψ)]i = ϵijk∂j(Akψ) = ϵijk

((∂jA

k)ψ + (∂jψ)Ak)

= (∇×A)iψ + [(∇ψ)×A]i

= (∇×A)iψ − (A×∇ψ)i (14.25)

を用い、ベクトルポテンシャルによる磁場の表現 B = ∇×A を代入すれば結果を得る。

出席課題 S.14.3 : 14.1.2節を参考に、スピン s = 1/2の自由粒子のハミルトニアン (の非相対論的

極限)

H =1

2m(σ · p)2

から、電磁場との最小結合を仮定して、電磁場がある場合のハミルトニアン

H =1

2m(p− qA)2 + qA0 − µ σ ·B

を導出せよ。(14.20)式の導出に関しては任意課題の略解を参照せよ。

任意課題磁気モーメントについて調べ、スピンに依存した項 −µ σ ·B の存在から、スピンが実効的に µσ の磁気モーメントを持つとみなせることを説明せよ。

14.2 外部電場による摂動 317

14.2 外部電場による摂動

電磁場中の荷電粒子のハミルトニアンにおいて、静電ポテンシャル A0 のみが存在する場合を考える:

H =1

2mp2 + qA0. (14.26)

いま、原点の電荷−qがあり、原点から微小距離 dr離れた位置に+qの電荷がある場合、すなわち、µ = qdr

の電気双極子がある場合を考える。このとき、これら 2つの荷電粒子 (粒子 1, 2とする)からなる系のハミ

ルトニアンは、

H = H1 +H2 =p212m− qA0(0) +

p222m

+ qA0(dr)

≈ p212m− qA0(0) +

p222m

+ q(A0(0) + dr · ∇A0)

=1

2mp21 +

1

2mp22 + qdr · E (14.27)

で与えられる。ここでE = −∇A0 (14.28)

は電場である。µ ≡ qdrは 2粒子系の電気双極子モーメントであるから、この結果を一般化して、電気双極

子 µと電場との相互作用ハミルトニアンが

Hint = −µ · E (14.29)

で与えられると結論付けることができる。

14.2.1 シュタルク (Stark)効果

電気双極子 µ をもつ原子や分子に、一様な電場 E をかけたときの系のエネルギーや定常状態の変化を、摂動法によって調べる。電場との相互作用ハミルトニアン (摂動として取り扱う)は

V = −µ · E = −µkEk (14.30)

で表される。

いま、電場がないときの系の定常状態のエネルギーが E(0)n , 対応する固有状態が |n⟩ であったとする。エ

ネルギー固有状態に縮退はないとすれば、一様電場の印加によるエネルギー固有値の 1次および 2次の摂動

は、(4.15), (4.46)式より、

E(1)n = ⟨n|V |n⟩ = −⟨n|µ|n⟩ · E = −⟨n|µk|n⟩ · Ek (14.31)

E(2)n =

∑m =n


(0)n − E(0)

m

=∑m =n

⟨n|µk|m⟩Ek⟨m|µl|n⟩E l

E(0)n − E(0)

m

(14.32)


一方、無摂動状態 |n⟩の 1次摂動は、(4.18)式より、

|ψ(1)n ⟩ =

∑m =n

⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

|m⟩ = −∑m =n

⟨m|µk|n⟩Ek

E(0)n − E(0)

m

|m⟩

=∑m =n

⟨m|µk|n⟩Ek

E(0)m − E(0)

n

|m⟩ (14.33)



以上のように、一様な外部電場によってエネルギー準位が変動したり、縮退がある場合には縮退が解けた

りする現象をシュタルク (Stark)効果と呼ぶ。

演習問題 E.14.2 : 水素原子に対し、z 方向の一様な電場 E = Eez が摂動として印加された場合のシュタルク効果について考える。

1. 基底状態 (n = 1)に対しては、エネルギー固有値の 1次摂動が 0になることを示せ。

2. n = 2の状態に対しては、2s, 2p0 軌道の縮退が解けることを示せ。略解摂動ハミルトニアンは、

V = −µ · E = −ezE (14.34)

である (z = r cos θ)。n = 1, n = 2の場合の水素原子の波動関数は、11.4.3節の結果より、

ψ1s ≡ u1,0,0 =1√π

(1

aB′

)3/2

exp

(− r

aB′

)(14.35)

ψ2s ≡ u2,0,0 =1

4√2π

(1

aB′

)3/2(2− r

aB′

)exp

(− r

2aB′

)(14.36)

ψ2p0 ≡ u2,1,0 =1

4√2π

(1

aB′

)3/2r

aB′exp

(− r

2aB′

)cos θ (14.37)

ψ2p±1 ≡ u2,1,±1 = ∓ 1

8√π

(1

aB′

)3/2r

aB′exp

(− r

2aB′

)sin θ e±iφ (14.38)


1. 基底状態には縮退はないので、エネルギー固有値の 1次摂動は

E(1)1s = ⟨1s|V |1s⟩ =

∫r2d(cos θ)dφψ∗

1sV ψ1s

=

∫r2drd(cos θ)dφ

[ 1√π

(1

aB′

)3/2

e−r/aB′]∗[

− eEr cos θ][ 1√

π

(1

aB′

)3/2

e−r/aB′]∗

= − 1

π

eEa3B′

∫ ∞

0

drr3e−2r/aB′

∫ 1

−1

d(cos θ) cos θ

∫ 2π

0

dφ

= 0 (14.39)

最後の結果は θ 積分が 0になることから直ちに得られる。

2. n = 2 の状態は n2 = 4 重に縮退しているので、縮退のある場合の摂動法を適用する必要がある。永

年方程式にあらわれる行列要素を計算する ((5.99)式参照)。これは 16成分あるが、mの値が異なる

場合には φ 積分がゼロになることが直ちに分かるので寄与しない (計算して具体的に示せ)。よって、

0とならない可能性のある行列要素は

⟨2s|V |2p0⟩, ⟨2pm|V |2pm⟩ (14.40)

である。次に、θ 積分を考えると、cos θ の偶関数でないと積分が 0 になるので後者の ⟨2pm|V |2pm⟩も消えることが分かる (具体的に確かめよ)。よって 0でない行列要素は、

⟨2s|V |2p0⟩ = − 1

32π

eEa3B′

∫dr r3

(r

aB′

)(2− r

aB′

)e−r/aB′

∫d(cos θ) cos2 θ

∫dφ

(11.88)= 3eEaB′ (14.41)

のみである (計算せよ)。これより、永年方程式は、∣∣∣∣∣∣∣∣−E(1) ⟨2s|V |2p0⟩ 0 0

⟨2p0|V |2s⟩ −E(1) 0 0

0 0 −E(1) 0

0 0 0 −E(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣

−E(1) 3eEaB′ 0 0

3eEaB′ −E(1) 0 0

0 0 −E(1) 0

0 0 0 −E(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

(14.42)


となり、E(1) = ±3eEaB′ , 0, 0 (14.43)

が解として得られる。0 でない行列要素が ⟨2s|V |2p0⟩ = ⟨2p0|V |2s⟩∗ だけであることからも容易に分かるように、摂動電場によって 2p+1, 2p−1 状態は影響を受けないが、2s, 2p0 状態は影響を受け、

E(1)± = ±3eEaB′ だけ変化する。E(1)

± に対応する状態は

|n+⟩⟩ =1√2(|2s⟩+ |2p0⟩), |n−⟩⟩ =

1√2(|2s⟩ − |2p0⟩) (14.44)

で与えられる (導出の詳細を示せ)。

14.2.2 一様電場による誘起双極子モーメントと分極率

縮退のない場合、一様電場の印加によって誘起される双極子モーメントの期待値は、

⟨ψ(1)n | =

∑m =n

⟨m| ⟨m|µk|n⟩∗Ek

E(0)m − E(0)

n

=∑m=n

⟨m| ⟨n|µk|m⟩Ek

E(0)m − E(0)

n

(14.45)

より、

⟨n+ ψ(1)n |µj |n+ ψ(1)

n ⟩ = ⟨n|µj |n⟩+ ⟨n|µj |ψ(1)n ⟩+ ⟨ψ(1)

n |µj |n⟩+ ⟨ψ(1)n |µj |ψ(1)

n ⟩≈ ⟨n|µj |n⟩+ ⟨n|µj |ψ(1)

n ⟩+ ⟨ψ(1)n |µj |n⟩

= ⟨n|µj |n⟩+∑m=n

⟨m|µk|n⟩Ek ⟨n|µj |m⟩+ ⟨n|µk|m⟩Ek ⟨m|µj |n⟩E

(0)m − E(0)

n

= ⟨n|µj |n⟩+ Ek∑m =n

⟨m|µk|n⟩⟨n|µj |m⟩+ ⟨m|µk|n⟩∗⟨n|µj |m⟩∗

E(0)m − E(0)

n

≡ µ(0)j + µ

(1)j (14.46)

となる。ここで、電場 E の 2次の項は無視し、1次の摂動項まで考慮した。

いま、分極率テンソル αjk を

αjk ≡∑m =n

⟨m|µk|n⟩⟨n|µj |m⟩+ ⟨m|µk|n⟩∗⟨n|µj |m⟩∗

E(0)m − E(0)

n

≡ 2∑m =n

Re⟨n|µk|m⟩⟨m|µj |n⟩

E(0)m − E(0)

n

= αkj (14.47)

で定義すると、電場の印加によって誘起される双極子モーメントは、1次の摂動までで、

µ(1)j = αjkEk (14.48)

で与えられる。これを誘起双極子モーメントあるいは単に誘起モーメントと呼ぶ。一般には、αjk は非対角

成分を持つので、ある方向 (例えば z 方向)の電場の印加に対して、その方向だけでなく、他の方向にも双

極子モーメントが誘起され得ることに注意しよう*6。

また、エネルギー固有値の 2次摂動 (14.32)は、分極率を用いて

E(2)n = −1

2(αjkEk)Ej = −

1

2αjkEjEk (14.52)

*6 気体や液体の分極率の測定においては、分極率テンソルの主軸方向の成分が得られる。すなわち、(14.47)式より分極率テンソルは対称テンソルなので、直交行列を用いて主軸方向に対角化できる。対角化した分極率テンソルを αIJ とあらわすと、主軸


とあらわすことができるので、エネルギー固有値の 2次摂動が求まれば、分極率を

αij = −∂2E

(2)n

∂Ei ∂Ej(14.53)

によって計算することが可能である*7。この事実は実際の問題において有用である (演習問題 E.14.3, 加点

問題 P.14.1参照)。

出席課題 S.14.4 : エネルギー固有値の 2 次摂動 (14.52) から分極率を求める方法 (14.53) を確かめよ。

略解添字の混同が生じないように E(2)n = −αklEkE l/2 と表して (14.53)式の右辺を計算する。添字の上下は

(物理数学 C・Dではその違いを考慮したが)、量子力学 Bでは特に気にしないでよいので、

− ∂2E(2)n

∂Ei ∂Ej=

1

2αkl

∂

∂Ei

∂

∂Ej

(EkE l) = 1

2αkl

∂

∂Ei

(δkj E l + Ekδlj

)=

1

2αkl

(δkj δ

li + δki δ

lj

)=

1

2

(αji + αij

)= αij . (14.54)

演習問題 E.14.3 : 質量m, 電荷 eを持った粒子が、調和振動子ポテンシャル中 (振動数 ω)を運動している。x方向の一様電場による分極率を求めよ。

略解エネルギー固有値の 2次摂動の計算は、演習問題 E.4.5参照。分極率は

αij = − ∂2

∂Ei ∂Ej

(− e2E2

x

2mω2

)=

e2

mω2δxi δ

xj (14.55)

これより、x 方向の電場の印加に対して、x 方向にのみ分極が誘起されることが分かる。

加点問題 P.14.1 : 基底状態にある水素原子に対し、z 方向の一様な電場 E = Eez が摂動として印加された場合の分極について考える。

1. 摂動法: エネルギー固有値の 2次摂動の計算では、(14.32)式の和の計算をどうするかが問

題となる。以下の手法に基づきこれを近似的に計算し、分極率を求めよ。

（a）

∑m =n


(0)n − E(0)

m

=1

E(0)n

∑m =n

⟨n|V |m⟩⟨m|V |n⟩+∑m =n

E(0)m

E(0)n


(0)n − E(0)

m

=1

E(0)n

[⟨n|V 2|n⟩ − |⟨n|V |n⟩|2

]+∑m =n

E(0)m

E(0)n

|⟨n|V |m⟩|2

E(0)n − E(0)

m

(14.56)

が成り立つことを示せ。

の順番を分極率が小さい順に取れば、

αIJ =

α1 0 00 α2 00 0 α3

(14.49)

となる。α1, α2, α3 は分極率テンソルの主値である。主知の平均

αS ≡1

3(α1 + α2 + α3) (14.50)

をスカラー分極率、平均からのズレαT,i ≡ αi − αS , (i = 1, 2, 3) (14.51)

をテンソル分極率と定義する場合が多いようである。これより、実際の測定では、エネルギーシフトからスカラー分極率が得られ、エネルギーシフトまわりの分裂幅からテンソル分極率の情報が得られることが分かる。

*7 分極率テンソルは一般に量子数 n に依存するので、αij ではなく αn,ij などと添え字 n を加えてあらわすべきだが、ここでは表記の簡略化のためにそのような表記は用いなかった。


（b）基底状態 (n = 1)に関する摂動の場合、エネルギーの原点をうまく選べば、

∑m =n

E(0)m

E(0)n

|⟨n|V |m⟩|2

E(0)n − E(0)

m

≈ 0 (14.57)

と見なし得ることをを説明せよ。

（c）水素原子の基底状態について、上記 1.(b)の近似がエネルギーの原点の調整を行わなく

ても適用可能であると仮定し、これを用いてエネルギー固有値の 2次摂動を計算し、分

極率を求めよ。

2. 変分法: 基底状態にある水素原子に z 方向の一様電場をかけると、球対称な 1s状態は z 方

向にひずむと考えられる。ひずみの程度として eE の 1次の補正項までを考え、無摂動状態

|1s⟩に対して、電場の印加によって z 方向にひずんだ状態を

|ψ⟩ =[1− b(eE z)

]|1s⟩ (14.58)

とパラメータ bを導入してあらわす。これを試行関数としてエネルギー固有値の変化を変分

法によって求め*8、摂動法の結果と比べよ。ただし、

⟨1s|zH(0)z|1s⟩ = 0 (14.59)

を既知としてよい。略解 1. (a) エネルギー固有値の 2次摂動の表式に

1 = 1− E(0)m

E(0)n

+E

(0)m

E(0)n

=E

(0)n − E

(0)m

E(0)n

+E

(0)m

E(0)n

(14.60)

を乗じると、直ちに∑m =n


(0)n − E

(0)m

=1

E(0)n

∑m =n

⟨n|V |m⟩⟨m|V |n⟩+∑m=n

E(0)m

E(0)n


(0)n − E

(0)m

が得られる。さらに、∑m=n

⟨n|V |m⟩⟨m|V |n⟩ =∑m

⟨n|V |m⟩⟨m|V |n⟩ − ⟨n|V |n⟩⟨n|V |n⟩

= ⟨n|V

[∑m

|m⟩⟨m|

]V |n⟩ − ⟨n|V |n⟩⟨n|V |n⟩

= ⟨n|V 1V |n⟩ − ⟨n|V |n⟩⟨n|V |n⟩= ⟨n|V 2|n⟩ − ⟨n|V |n⟩⟨n|V |n⟩ (14.61)

より、 ∑m =n


(0)n − E

(0)m

=1

E(0)n

[⟨n|V 2|n⟩ − |⟨n|V |n⟩|2

]+∑m =n

E(0)m

E(0)n

|⟨n|V |m⟩|2

E(0)n − E

(0)m

が成り立つ。

(b) まず、基底状態 (n = 1) のエネルギー固有値が負になるようにエネルギーの原点をとる。する

と、m = n に対して、|⟨n|V |m⟩|2/(E(0)m − E

(0)n ) > 0 である。一方、E(0)

m /E(0)n は、E(0)

m > 0 のと

き負であり、E(0)m < 0 のとき正である。したがって、うまくエネルギーの原点を調節すれば、∑

m =n

E(0)m

E(0)n

|⟨n|V |m⟩|2

E(0)n − E

(0)m

*8 変分法については 9章参照。


の和の正と負の寄与がうまく打ち消し合って、

∑m =n

E(0)m

E(0)n

|⟨n|V |m⟩|2

E(0)n − E

(0)m

≈ 0

を達成することができると期待される。

(c) 水素原子の基底状態についてこの近似を適用すると、演習問題 E.14.2 の結果より

⟨1s|V |1s⟩ = 0

および

⟨1s|V 2|1s⟩ = 1

π

(eE)2

a3B′

∫drr4e−2r/aB′

∫d(cos θ) cos2 θ

∫dφ

= (eEaB′)2 (14.62)

より、

E(2)1s =

1

E(0)1s

[⟨1s|V 2|1s⟩ − |⟨1s|V |1s⟩|2

]=

(eEaB′)2

E(0)1s

(14.63)

となる。ここで無摂動状態のエネルギー固有値は、(11.155)式より、

E1s = En=1 = − m

2ℏ2

(e2

4πε0

)2

(14.64)

であるから、

E(2)1s = −(4πε0)2a

3B′E2 (14.65)

となる (導出せよ)。これより、分極率は、

αij =[(4πε0)4a

3B′]δzi δ

zj ≡ αδzi δ

zj (14.66)

と求められる*9。尚、一般の方向の電場の場合には E2 = δklEkEl であるから、

αij =[(4πε0)4a

3B′]δij (14.69)

となる。

2. 電場が印加された場合のハミルトニアンの期待値

⟨H(b)⟩ = ⟨ψ|H|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩

=⟨1s|(1− beE z)(H(0) − eE z)(1− beE z)|1s⟩

⟨1s|(1− beE z)(1− beE z)|1s⟩ (14.70)

を最小化するようにパラメータ bを決める。θ 積分を考えると、

⟨1s|z|1s⟩ = 0, ⟨1s|z3|1s⟩ = 0,

⟨1s|zH(0)|1s⟩ = ⟨1s|H(0)z|1s⟩ = E(0)1s ⟨1s|z|1s⟩ = 0 (14.71)

*9 より詳細な計算によると、水素分子の基底状態の分極率は

α = (4πε0)9

2a3B′ (14.67)

であり、実験値α = (4πε0)(4.4997515)a

3B′ (14.68)

に極めて近い値が得られている。一方、近似計算による結果は 11％ほど小さい値となっている。


である (具体的に示せ)。よって、残る項は

⟨H(b)⟩ =⟨1s|H(0)|1s⟩+ (eE)2

[2b⟨1s|z2|1s⟩+ b2⟨1s|zH(0)z|1s⟩

]⟨1s|1s⟩+ b2(eE)2⟨1s|z2|1s⟩

(14.72)

となる。ここで、(14.62)式から得られる

⟨1s|z2|1s⟩ = a2B′ (14.73)

および (14.59)式を用いると、eE の 2次までで、

⟨H(b)⟩ = E(0)1s + 2b(eEaB′)2

1 + b2(eEaB′)2

≈ E(0)1s + 2b(eEaB′)2 − b2E

(0)1s (eEaB′)2 (14.74)

を得る。bについて変分を行いエネルギー極小値を求めると、

∂⟨H(b)⟩∂b

= 2(eEaB′)2 − 2bE(0)1s (eEaB′)2 = 0 (14.75)

より、

b = b0 =1

E(0)1s

(14.76)

のときに極小値

⟨H(b0)⟩ = E(0)1s +

(eEaB′)2

E(0)1s

(14.77)

をとることが分かる。エネルギー固有値に関するこの結果は、摂動法の結果 (14.63) と同じである。

したがって、当然のことながら、分極率も同じ結果が得られる*10。

補足: (14.59)式の導出。面倒だが地道に計算する (aB と aB′ の違いに注意)。

⟨1s|zH(0)z|1s⟩ = (eE)2∫r2dr d cos θ dφu∗

1,0,0(r cos θ)

[− ℏ2

2m∇2 − e2

4πε0

1

r

](r cos θ)u1,0,0

=(eE)2

πa3B′

∫r2dr d cos θ dφ e−r/aB′ (r cos θ)

[− ℏ2

2m∇2 − ℏ2

meaB

1

r

](r cos θ)e−r/aB′

= −2(eE)2

a3B′

ℏ2

2m

∫dr d cos θ

[r3e−r/aB′ cos θ∇2(re−r/aB′ cos θ) +

2

aB′r3e−2r/aB′ cos2 θ)

](14.80)

ここで*11、

∇2(re−r/aB′ cos θ) =

[1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)](re−r/aB′ cos θ)

=1

aB′e−r/aB′

(r

aB′− 4

)cos θ (14.81)

*10 より高次の項まで導入した

|ψ⟩ =[1− b(eE z) + c

(eE z)2

sin θ

]|1s⟩ (14.78)

を採用して、b, cについて変分を取ると、実験値に近い結果

α = (4πε0)9

2a3B′ (14.79)

が得られる。*11 ここでも、L2(re−r/aB′ cos θ) = l(l+ 1)(re−r/aB′ cos θ)であるから地道に計算するしかない。


であるから、

⟨1s|zH(0)z|1s⟩ = −2(eE)2

a3B′

ℏ2

2m

∫cos2 θd cos θ

∫dr

r3

aB′e−2r/aB′

(r

aB′− 2

)= 0 (14.82)

最後の結果は r 積分をすることで得られる。

14.3 一様磁場中のスピン s = 1/2粒子

一様磁場中の電子 (q = −e)の運動を考えよう。電場は存在しないとして A0 = 0とすると、ハミルトニ

アンは、

H =1

2m(p+ eA)2 + µ σ ·B = Hext + Hint (14.83)


µ = µB ≡eℏ2m

(14.84)

はボーア磁子である。ハミルトニアンはスピンを含まない、外部自由度だけからなる

Hext =1

2m(p+ eA)2 (14.85)

の部分と、スピンを含み、(一様磁場を仮定したので外部自由度を含まない)内部自由度だけの

Hint = µ σ ·B (14.86)

に分けることができる。この場合、系の状態ベクトル |ψ⟩ は、外部自由度 (軌道)部分の状態ベクトル |φ(x)⟩と、内部自由度 (スピン)部分の 2成分スピノル |χ⟩ の積

|ψ⟩ = |φ(x)⟩|χ⟩ (14.87)

で表すことができる。

実際、|ψ⟩を時間に依存しない Schrodinger方程式に代入して、左から ⟨x|を作用させると

⟨x|Hext|φ⟩ |χ⟩+ ⟨x|φ⟩ Hint|χ⟩ = E⟨x|φ⟩ |χ⟩⟨x|Hext|φ⟩⟨x|φ⟩

|χ⟩ = (E − Hint) |χ⟩ (14.88)

となるが、右辺は外部自由度に依存しないから、⟨x|Hext|φ⟩⟨x|φ⟩

は定数でなくてはならない。これを Eext とお

くと、E = Eext + Eint として、Schrodinger 方程式が

Hext|φ⟩ = Eext|φ⟩, Hint|χ⟩ = Eint|χ⟩ (14.89)

のように分離される。時間に依存する Schrodinger方程式の場合にも同様に、

Hext|φ⟩ = iℏ∂

∂t|φ⟩, Hint|χ⟩ = iℏ

∂

∂t|χ⟩ (14.90)

のように分離できる (演習問題)。すなわち、軌道部分とスピン部分は独立に扱うことができる*12。

*12 これは一様磁場の場合だけである。磁場が外部自由度 (x など) に依存する場合には、このよう分離はできない。ただし、外部磁場が完全に一様でない場合でも、その一様性が十分に高ければ、Schrodinger方程式を分離して解析することが近似的に許されると期待される。

14.3 一様磁場中のスピン s = 1/2粒子 325

出席課題 S.14.5 : 一様磁場の場合のハミルトニアン

H =1

2m(p+ eA)2 + µ σ ·B = Hext + Hint

の場合には、内部自由度と外部自由度の部分が分離できることを、以下のそれぞれについて示せ。

1. 時間に依存しない場合 (14.89)

2. 時間に依存する場合 (14.90)

略解 1. 時間に依存しない場合は講義ノートの通り。

2. 時間に依存する場合について。|ψ⟩ = |φ(x)⟩|χ⟩を時間に依存するシュレーディンガー方程式に代入して、左から ⟨x|を作用させると、

⟨x|Hext|φ⟩ |χ⟩+ ⟨x|φ⟩ Hint|χ⟩ = ⟨x|(iℏ ∂∂t

)|φ⟩ |χ⟩+ ⟨x|φ⟩

(iℏ ∂∂t

|χ⟩)

(14.91)

両辺 ⟨x|φ⟩で割って整理すると、[⟨x|Hext|φ⟩

⟨x|φ⟩ − 1

⟨x|φ⟩ ⟨x|(iℏ ∂∂t

)|φ⟩

]|χ⟩ =

[iℏ ∂∂t

− Hint

]|χ⟩ (14.92)

右辺は外部自由度に依存しない (t は外部自由度ではない) ので、左辺と分離できる。あとは、11.1.2 節の

議論を参考に、分離定数を位相因子に吸収させればよい。

14.3.1 ラーモア歳差運動

ここではスピン部分の Schrodinger 方程式だけを考える。磁場の方向ベクトルを bとして B = Bbとす

ると、

iℏd

dt|χ(t)⟩ = µB(b · σ)|χ(t)⟩ (14.93)

である。2成分スピノルを

|χ(t)⟩ =(c+(t)c−(t)

)(14.94)

と行列表示する。c+ は磁場とスピンの方向が揃った状態、c− は反平行の状態に対応する。(12.79) 式を

n→ b, θ → θB , φ→ φB として適用すると、Schrodinger 方程式の行列表示は、

id

dt

(c+(t)c−(t)

)= ωB

(cos θB e−iφB sin θB

eiφB sin θB − cos θB

)(c+(t)c−(t)

)(14.95)


ωB ≡µB

ℏ(14.96)

と定義した。θB , φB は磁場の向きを示す角度である。これは 2準位系であり厳密に解ける (演習問題 E.6.1

参照)。

演習問題 E.14.4 :

1. 初期条件を c+(0), c−(0)として、シュレーディンガー方程式 (14.95)式の厳密解を求めよ。

2. 初期条件が、スピンの期待値が磁場方向から θS だけ傾いた状態とする。このとき、時刻 t

における磁場方向のスピンの期待値を求めよ。


略解厳密解は (導出はやや面倒であるが各自で必ず示すこと)(c+(t)c−(t)

)=

(cosωBt− i sinωBt cos θB −ie−iφB sin θB sinωBt−ieiφB sin θB sinωBt cosωBt+ i sinωBt cos θB

)(c+(0)c−(0)

)(14.97)

である。いま、磁場の向きを z 軸の正の向き (θB = 0)にとると、厳密解は(c+(t)c−(t)

)=

(cosωBt− i sinωBt 0

0 cosωBt+ i sinωBt

)(c+(0)c−(0)

)(14.98)

すなわち c±(t) = e∓iωBtc±(0) のように簡単になる。

ここで、初期条件として、スピンの期待値の方向が磁場から θS だけ傾いた状態をとる。それは、(n · σ)の固有状態 (12.91)の |χn,+⟩ で φ = 0とした(

c+(0)c−(0)

)=

(cos(θ/2)sin(θ/2)

)(14.99)

を採用すればよい。時間発展は、

|χ(t)⟩ =(c+(t)c−(t)

)=

(e−iωBt cos(θ/2)eiωBt sin(θ/2)

)= e−iωBt

(cos(θ/2)

ei2ωBt sin(θ/2)

)(14.100)

となる。

位相因子 e−iωBt を除いて、(n · σ) の固有状態 (12.91) の |χn,+⟩ と比べると、これはスピンの向きとして、

n(t) = ex sin θ cos 2ωBt+ ey sin θ sin 2ωBt+ ez cos θ (14.101)

と選んだ場合の (n · σ) の固有値 +1 の固有状態であることが分かる。期待値は ⟨σ⟩ = n(t) であるから、

これはスピンの期待値が磁場の方向の回りに角速度 2ωBt で歳差運動することを意味している*13。これを

ラーモア歳差運動 (Larmor precession) という。

14.3.2 スピン磁気共鳴

z方向の一定磁場 B0ez に、xy 平面で時間変動 (回転)する磁場 exB1 cosωt+ eyB1 sinωt, (B1 = 0) が

加わった系を考える。この節でもスピン部分の Schrodinger 方程式だけを考慮する。ハミルトニアンを行

列表示すると、

Hint(t) = µB · σ = µB0σz + µB1 (σx cosωt+ σy sinωt)

= µ

(B0 00 −B0

)+ µ

(0 B1e

−iωt

B1e+iωt 0

)(14.102)

である*14。Schrodinger 方程式は

iℏd

dt

(c+(t)c−(t)

)= µ

(B0 B1e

−iωt

B1eiωt −B0

)(c+(t)c−(t)

), |χ(t)⟩ =

(c+(t)c−(t)

)(14.103)

である。このシュレーディンガー方程式を解くことで、スピンと磁場の相互作用がもたらす共鳴的な振る舞

いを理解することができる

出席課題 S.14.6 : ハミルトニアンの行列表示が (14.102)式となることを示せ。

*13 歳差運動するのはあくまでも期待値であって、実際のスピンの観測値が確定した値を持ち、それがくるくると歳差運動するわけではない。

*14 これは 6.1.4 節で取り扱った 2 準位系の問題において、ℏω0 → −2µB0, ℏV → −2µB1 としたものに対応する。ここではもう一度、より一般の初期条件の場合について解いてみる。


演習問題 E.14.5 : (14.103)式を厳密に解き、磁場の振動数と共にスピンの向きがどのように変わるかを調べよ。

略解 ω0 ≡ µB0/ℏ, ω1 ≡ µB1/ℏ と定義すると、解くべき方程式は、

ic+ = ω0c+ + ω1e−iωtc−, ic− = −ω0c− + ω1e

iωtc+ (14.104)

である。第 2式 c+ = e−iωt(ic− + ω0c−)/ω1 を第 1式に代入すると、

c− − iωc− +(ω20 + ω2

1 − ωω0

)c− = 0 (14.105)

となる。c−(t) = eiαt として代入すると、

α2 − ωα−(ω20 + ω2

1 − ωω0

)= 0 (14.106)

これより、

α =ω ±

√ω2 − 4(ω2

0 + ω21 − ωω0)

2=ω

2±√ω 21 +

(ω0 −

ω

2

)2≡ ω

2± Ω (14.107)

となるので、a, bを積分定数として、

c−(t) = eiωt/2( a cosΩt+ b sinΩt)

(14.108)

となる。一方、c+ = e−iω1t(ic− + ω0c−)/ω1 だから、

c+(t) =e−iωt/2

ω1

[(ω0 −

ω

2

)a+ iΩb

cosΩt+

(ω0 −

ω

2

)b− iΩa

sinΩt

](14.109)

である。

t = 0を代入して、

c−(0) = a (14.110)

c+(0) =1

ω1

[(ω0 −

ω

2

)a+ iΩb

](14.111)

より a, bを初期値 c±(0)で表して代入すると、

c−(t) =e+iωt/2

Ω

[c−(0)Ω cosΩt− i

c+ω1 − c−(0)

(ω0 −

ω

2

)sinΩt

](14.112)

c+(t) =e−iωt/2

Ω

[c+(0)Ω cosΩt− i

c−ω1 + c+(0)

(ω0 −

ω

2

)sinΩt

](14.113)

となる。これが一般解である。

初期 (t = 0)に系の状態がスピンが上向き |+⟩ (c+(0) = 1, c−(0) = 0) の状態にあったとすると、時刻

tでの系の状態 |χ(t)⟩は

c−(t) = −i e+iωt/2

Ωω1 sinΩt (14.114)

c+(t) =e−iωt/2

Ω

[ΩcosΩt− i

(ω0 −

ω

2

)sinΩt

](14.115)

であらわされる。これを観測して、スピン下向き |−⟩ (c+ = 0, c− = 1) の状態である確率 P−(t)は、

P−(t) = ⟨−|χ⟩ =∣∣∣∣( 0 1 )

(c+c−

)∣∣∣∣2 = |c−(t)|2 =ω 21

Ω2sin2 Ωt

=(2µB1)

2

(ℏω − 2µB0)2 + (2µB1)2sin2 Ωt (14.116)

となる。


図 14.1 ℏω/(2µB0)の関数としての振幅 P の図示

回転磁場の付加がない場合 (B1 = 0)、確率は P−(t) = 0であり、スピンの反転は起こらない。回転磁場

を付加するとスピンの反転が起こるが、特に、回転角振動数が ℏω = 2µB0 を満たすとき、P−(t) = 1とな

り完全に反転する時刻がある。確率の振幅を

P ≡ (2µB1)2

(ℏω − 2µB0)2 + (2µB1)2=

(2µB1/B0)2

(ℏω/B0 − 2µ)2 + (2µB1/B0)2(14.117)

とする。回転磁場が強大 (B1 ≫ B0)な場合、

P =(2µB1)

2

(ℏω − 2µB0)2 + (2µB1)2≈ (2µB1/B0)

2

(2µB1/B0)2= 1 (14.118)

となるから、P は ω の値にあまりよらずほぼ 1の値をとる。一方、回転磁場が微弱 (B1/B0 ≪ 1)な場合、

P =(2µB1/B0)

2

(ℏω/B0 − 2µ)2 + (2µB1/B0)2≈ (2µB1/B0)

2

(ℏω/B0 − 2µ)2(14.119)

であるから、P ≈ 1となるのは ℏω = 2µB0 の近傍だけであり、B1/B0 が小さいほど P は鋭いピークにな

る (演習問題)。これは共鳴現象の一種であり、磁気共鳴と呼ばれる。

回転磁場が小さいとすると、それを摂動として取り扱うことも可能である。回転時場の付加がない場合

のエネルギー固有状態は |±⟩ であり、その固有エネルギーは E± = ±µB0 である。微弱な回転時場に対し

て、|+⟩ → |−⟩ の遷移確率が大きくなるのは、ℏω = 2µB0 のときであるが、これはすなわち、ℏω が始状

態 |+⟩ と終状態 |−⟩ のエネルギー差 E+ − E− = 2µB0 に等しい場合である。これは、6 章で説明したよ

うに、時間に依存する摂動法において、遷移確率にデルタ関数があらわれたことに対応する。一般に、系に

時間周期的な摂動あるいは外場が作用すると、このような共鳴現象が起こる。

加点問題 P.14.2 : gnuplot などのなんらかの描画ツールを用いて、振幅 P を図示し、B1/B0 が小さいほど ℏω = 2µB0 に鋭いピークを持つことを示せ。

略解図 14.1 に示す。

演習問題 E.14.6 : ハミルトニアン (14.102) において、B1 が小さいとして摂動法を適用し、初期(t = 0)に系の状態がスピンが上向き |+⟩ (c+(0) = 1, c−(0) = 0) の状態にあったときに、時刻tでの系の状態 |χ(t)⟩を観測して、スピン下向き |−⟩ (c+ = 0, c− = 1) の状態となる確率 P−(t)

を計算せよ。


略解時間に依存する Schrodinger方程式

iℏ ∂∂t

|χ(t)⟩ = H(t)|χ(t)⟩ =(H0 + V (t)

)|χ(t)⟩ (14.120)

において、固有状態ベクトルを

|χ(t)⟩ =∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (14.121)

と展開して代入すると、

iℏ∑n

dCn(t)

dtexp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ =

∑n

V (t)Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ (14.122)

となる。ここで ⟨m|を左から作用させると、Cm(t)の発展方程式

dCm(t)

dt=

1

iℏ∑n


(i(E

(0)m − E

(0)n )

ℏt

)(14.123)

が得られる。

展開係数をCn(t) = C(0)

n (t) + λC(1)n (t) + · · · (14.124)

と摂動展開すると、1次までで

d

dtC(0)

n (t) = 0 (14.125)

d

dtC(1)

n (t) =1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E

(0)m )

ℏt

)C(0)

m (t) (14.126)

すなわち C(0)n (t)は時間によらない一定値 C

(0)n で、これは初期条件によって決められる。

初期に |+⟩にあったので、C

(0)+ (0) = 1, C

(0)− (0) = 0 (14.127)

よって時刻 tで |−⟩にある場合の確率振幅は、

d

dtC

(1)− (t) =

1

iℏ⟨−|V (t)|+⟩ exp

(i(E

(0)− − E

(0)+ )

ℏt

)=

1

iℏ⟨−|V (t)|+⟩ e−2iω0t (14.128)

を積分して

C(1)− (t) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′⟨−|V (t′)|+⟩ e−2iω0t′

(14.129)

である。

今考えている摂動では⟨−|V (t)|+⟩ = ℏω1e

iωt (14.130)

であるから、

C(1)− (t) =

1

iℏ

∫ t

0

dt′ ℏω1ei(ω−2ω0)t

′=ω1

i

ei(ω−2ω0)t − 1

i(ω − 2ω0)

=ω1

i(ω/2− ω0)exp

[i(ω2− ω0

)t] ei(ω/2−ω0)t − e−i(ω/2−ω0)t

2i

=ω1

i(ω/2− ω0)exp

[i(ω2− ω0

)t]sin[(ω

2− ω0

)t]

(14.131)

確率は

P(1)− (t) = |C(1)

− (t)|2 =ω21

(ω/2− ω0)2sin2

[(ω2− ω0

)t]

(14.132)


となる。ω = 2ω0 の場合に共鳴が起こる。

(14.131), (14.132)式の別計算。

C(1)− (t) =

ω1

i

ei(ω−2ω0)t − 1

i(ω − 2ω0)= − ω1

ω − 2ω0(ei(ω−2ω0)t − 1) (14.133)

P(1)− (t) =

ω21

(ω − 2ω0)2(ei(ω−2ω0)t − 1)(e−i(ω−2ω0)t − 1)

=ω21

(ω − 2ω0)2(2− 2 cos(ω − 2ω0)t

)(14.134)

=ω21

(ω/2− ω0)21

2

(1− cos(ω − 2ω0)t

)=

ω21

(ω/2− ω0)2sin2

[(ω2− ω0

)t]

(14.135)

(14.134)式の段階でとどめておいてもよい。

14.4 補足：ランダウ準位

14.4.1 一様磁場中の運動の調和振動子による記述

(14.20)式は以下に示すように交換関係の形にあらわすことができる。まず、

P ≡ p− qA (14.136)

を定義する。これを用いて (14.20)式を成分表示した

ϵklmPlPm = iℏqBk (14.137)

の両辺に ϵijk を作用させると、左辺は、

ϵijkϵklmPlPm = (δliδ

mj − δmi δlj)P lPm = PiPj − PjPi = [Pi, Pj ] (14.138)

となるから、(14.20)式は[Pi, Pj ] = iℏqϵijkBk (14.139)

と同値である。より具体的には、

[Px, Py] = iℏqBz, [Py, Pz] = iℏqBx, [Pz, Px] = iℏqBy (14.140)

である。

いま、z 軸方向の一様磁場があるとしよう。この場合にはB = Bez であるから、交換関係は

[Px, Py] = iℏqB, [Py, Pz] = 0 [Pz, Px] = 0 (14.141)

となる。さらに電場はない (A0 = 0)とする。このとき、交換関係 (14.141)式をにらみ、ハミルトニアンを

H =1

2mP

2− µBσz =

1

2m

(P 2x + P 2

y

)+

1

2mP 2z − µBσz

≡ Hxy + Hz + Hσ

≡ Hext + Hσ (14.142)

のように、交換しない xy 方向と z 方向、およびスピン部分に分割しよう。

14.4 補足：ランダウ準位 331

前節で示したように、スピン自由度と軌道の自由度は分離できて、σz の固有状態である 2成分スピノル

|χσ⟩, ( σz|χσ⟩ = σ|χσ⟩, σ = ±1) を用いて、波動関数は |Φ⟩ = |ψ⟩|χσ⟩ と表すことができる。これより、

Hext|ψ⟩ = Eext|ψ⟩, (14.143)

Hσ|χσ⟩ = Eσ|χσ⟩ = −µBσ|χσ⟩ (14.144)

と分離できる。

動径方向の状態ベクトル |ψ⟩について考えよう。交換関係 (14.141)より、Hxy と Hz は可換なので Hxy

と Hz の同時固有状態が存在する。z 方向の一様磁場の場合には、ベクトルポテンシャルは (12.104)式で示

したように、z 方向成分を持たない (Az = 0)。したがって、この場合には

Pz = pz − qAz = pz (14.145)

である。Hz = P 2z /(2m) = p2z/(2m)の固有状態は 1次元自由粒子の運動量固有状態

pz|ψ⟩ = ℏkz|ψ⟩ (14.146)

であらわすことができることに注意すると、

Hxy|ψ⟩ = Exy|ψ⟩, Hz|ψ⟩ = Ez|ψ⟩ =ℏ2k2z2m|ψ⟩ (14.147)

である。

さて、Hz, Hσ については問題が解けたので、Hxy について考える。

Ξ ≡ − Py

qB, Π ≡ Px (14.148)

と定義すると、(14.141)式より、Ξ, Πは 1次元の正準交換関係

[Ξ, Π] = iℏ (14.149)

を満たす。また、Ξ, Πを用いると、ハミルトニアンは

Hxy =1

2mΠ2 +

1

2mω2Ξ2, ω ≡ |qB|

m(14.150)

と表すことができる。これは、Ξを位置座標、Πを運動量とする 1次元調和振動子と同型である。したがっ

て、そのエネルギー固有値は、

Exy = ℏω(n+

1

2

)=

ℏ|qB|m

(n+

1

2

)(14.151)

となる。

以上の結果は、次のように理解できる。電場がない場合、z 方向の一様磁場中の荷電粒子の軌道運動を考

えると、磁場方向 (z 軸方向)には力が働かないから、1次元の自由粒子のように振る舞う。一方、磁場と垂

直な方向 (x-y 平面)では、ローレンツ力のために荷電粒子は磁場 (磁力線)のまわりを回転運動する。動径

方向の運動に限れば、回転運動は振動運動と等価であるとみなせるので、磁場と垂直な方向 (x-y 平面)の軌

道は、調和振動子のように振る舞うとみなせるのである。古典力学では磁場に垂直な面での運動は角速度

ω = |qB|/mの等速円運動であったが、量子力学ではそのエネルギーは離散的な値 Exy = ℏω(n+ 1/2)に

なる。このエネルギー固有値の状態をランダウ準位という。

加点問題 P.14.3 : 14.4.1節を参考に、z 方向の一様磁場中において磁場と垂直方向の運動が量子化

されることを示し、ランダウ準位を求めよ。


14.4.2 ゲージ自由度とランダウ準位の縮退

ベクトルポテンシャルのゲージ自由度に対応して、∇×A = B = Bez を満たすAは無数に存在するが、

物理的な結果はこのゲージ自由度には依存しない。このことを簡単な例で説明しよう。

ベクトルポテンシャルをA = (Bx)ey (14.152)

とする。これは、ゲージ自由度を固定して、ベクトルポテンシャルがこのようにあらわされるように選んだ

たことに対応する。この場合には、Px = px, Py = py − qBxであるから、

Hxy =1

2m

[p2x + (py − qBx)2

](14.153)

となる。

これは y によらないので、Hxy と py は可換であり、Hxy と py の同時固有状態が存在する。すなわち、

Hxy|ψ⟩ = ℏω(n+

1

2

)|ψ⟩ (14.154)

py|ψ⟩ = ℏky|ψ⟩ (14.155)

となるように状態基底を選ぶことができる。すると、

Hxy|ψ⟩ =1

2m

[p2x + (ℏky − qBx)2

]|ψ⟩

=

[1

2mp2x +

1

2mω2

(x− ℏky|qB|

)2]|ψ⟩ = Exy|ψ⟩ (14.156)

となるが、これはℏky|qB|

を基準点とする調和振動子である。

基準点が ky に依存するため、状態ベクトル |ψ⟩は nだけでなく ky にも依存する。すなわち、状態ベクトル

|ψ⟩はベクトルポテンシャルのゲージ自由度に依存している。これより、ランダウ準位 Exy = ℏω(n+ 1/2)

に属する状態ベクトルは ky の選び方に自由度の数、すなわち無限に縮退していることになる。

しかし、状態ベクトル |ψ⟩そのものは観測できる量ではないので、このことが直ちに問題になるわけではない。遷移確率や物理量の期待値といった測定できる量が ky に依存していなければよい。例えば、ランダ

ウ準位 (ハミルトニアンの期待値)は Exy = ℏω(n+ 1/2)であり nのみによって決まっている。同様に、他

の物理量の期待値や遷移確率なども ky に依存しないことが示される。

14.5 発展：アハラノフ・ボーム (Aharonov-Bohm)効果

14.5.1 ファインマン核と微小ファインマン核

定常かつ一様な電磁場中の粒子の軌道運動を考える。軌道について興味があるので、スピンについてここ

では考えない。定常電磁場であるので、ハミルトニアン

H =1

2m(p− qA)2 + qA0 (14.157)

は時間に依存しない。したがって時間推進演算子は

U(t, 0) = exp

(−i H

ℏt

)(14.158)

14.5 発展：アハラノフ・ボーム (Aharonov-Bohm)効果 333

で与えられる。位置 y から xへの遷移に対するファインマン核は*15、

K(x, t;y, 0) = ⟨x|U(t, 0)|y⟩ (14.159)

である。

ここで、区間 (0, t)を N ステップに分割し、ϵ = t/N , x = rN , y = r0 とする。

U(t+ ϵ, t) = exp

(−i H

ℏϵ

)≡ U(ϵ) (14.160)

を定義すれば、U(t, 0) =

[U(ϵ)

]N(14.161)

である。ファインマン核K(x, t;y, 0) = ⟨rN |U(ϵ)U(ϵ) · · · U(ϵ)|r0⟩ (14.162)

の各 U(ϵ)の間に完全性条件

1 =

∫d3r|r⟩⟨r| (14.163)

を挿入すると、

K(x, t;y, 0) =

∫d3r1 · · ·

∫d3rN−1 ⟨rN |U(ϵ)|rN−1⟩ ⟨rN−1|U(ϵ)|rN−2⟩ · · · ⟨r1|U(ϵ)|r0⟩

=

∫d3r1 · · ·

∫d3rN−1KN−1(ϵ)KN−2(ϵ) · · ·K0(ϵ) (14.164)

となる。ここでKn(ϵ) ≡ ⟨rn+1|U(ϵ)|rn⟩ (14.165)

は微小ファインマン核である。

任意課題 : (14.161)式を示せ。略解ハミルトニアン同士はもちろん可換であるから、eaHebH = e(a+b)H が成り立つ。これより

U(t+ 2ϵ, t) = U(t+ 2ϵ, t+ ϵ)U(t+ ϵ, t) =[U(ϵ)

]2(14.166)

区間 (0, t)を N ステップに分割したのだから、

U(t, 0) = U(t, t− ϵ)U · · · U(2ϵ, ϵ)U(ϵ, 0) =[U(ϵ)

]N(14.167)

14.5.2 ファインマン核の経路積分表示

最終的に N → ∞の極限をとることを踏まえ、ϵ = t/N の 1次まで考えることにする。このとき、演算

子の指数関数の定義式 (1.41)より

eϵ(A+B) = eϵAeϵB +O(ϵ2) (14.168)

が成り立つので*16、

U(ϵ) = exp

[−ϵ i

ℏ

1

2m(p− qA)2 + qA0

]= exp

(−ϵ i

2mℏ(p− qA)2

)exp

(−ϵ i

ℏqA0

)(14.169)

*15 2.6.1節参照。*16 一般に Aと B は可換ではないので eϵ(A+B) = eϵAeϵB は成り立たないことに注意。ただし、両者の違いは O(ϵ2)である。


である。

ここで、(2.92)式を導いた計算と同様に、

exp

(−ϵ i

2mℏ(p− qA)2

)=

1

(2πi)3/2

∫d3r exp

[ir2

2− i√

ϵ

mℏ(p− qA) · r

](14.170)

を示すことができる*17。さらに、

eϵ(A+B) = eϵB/2eϵAeϵB/2 +O(ϵ3) (14.171)


exp

[−i√

ϵ

mℏ(p− qA) · r

]= exp

[i

√ϵ

mℏq

2A · r

]exp

[−i√

ϵ

mℏp · r

]exp

[i

√ϵ

mℏq

2A · r

](14.173)

となる。

以上を用いると、微小区間ファインマン核 (14.165)は、

Kn(ϵ) =1

(2πi)3/2

∫d3r exp

(ir2

2

)exp

(i

√ϵ

mℏq

2(An+1 +An) · r

)exp

(−ϵ i

ℏqA0,n

)×⟨rn+1

∣∣∣∣exp(−i√ ϵ

mℏp · r

)∣∣∣∣ rn⟩ (14.174)

となる。ここで、An ≡ A(rn), A0,n ≡ A0(rn) (14.175)

である。

(2.88)式のときと同様に、完全性条件

1 =

∫d3p|p⟩⟨p| (14.176)

を挿入し、運動量の固有関数

⟨r|p⟩ = 1

(2πℏ)3/2exp

(i

ℏp · x

)(14.177)

を用いると、⟨rn+1

∣∣∣∣exp(−i√ ϵ

mℏp · r

)∣∣∣∣ rn⟩ =

⟨rn+1

∣∣∣∣exp(−i√ ϵ

mℏp · r

)[∫d3p|p⟩⟨p|

]∣∣∣∣ rn⟩=

1

(2πℏ)3

∫d3p exp

(i

ℏp · (rn+1 − rn)

)exp

(−i√

ϵ

mℏp · r

)= δ

(rn+1 − rn −

√ϵℏm

r

)(14.178)

*17 微小ファインマン核においては、演算子 p− qA を一定とみなせるほど積分区間を細かく分割しているとしていることに注意。*18 演算子の指数関数の定義式 (1.41)より

eϵB/2eϵAeϵB/2 =

(1 +

ϵ

2B +

ϵ2

8B2 +O(ϵ3)

)(1 + ϵA+

ϵ2

2A2 +O(ϵ3)

)(1 +

ϵ

2B +

ϵ2

8B2 +O(ϵ3)

)= 1 + ϵ(A+ B) +

ϵ2

2(A2 + AB + BA+ B2) +O(ϵ3)

= eϵ(A+B) +O(ϵ3) (14.172)


となる。最後の等号を導く際に、デルタ関数のフーリエ積分表示

δ(r) =1

(2πℏ)3

∫d3p exp

(i

ℏp · r

)(14.179)

を用いた。

(14.179)式を (14.174)式に代入すれば、

Kn(ϵ) =( m

2πiϵℏ

)3/2exp

(iϵ

ℏLn

)(14.180)

が得られる。ここで、

Ln ≡1

2m

(rn+1 − rn

ϵ

)2

+ qA0,n +q

2(An+1 +An) ·

(rn+1 − rn

ϵ

)(14.181)

は、N →∞の極限で、経路 rn における古典ラグランジアン

L[rn] =1

2mr2n + qA0(rn) + qArn (14.182)

になる。

以上より、ファインマン核は

K(x, t;y, 0) = limN→∞

∫d3r1 · · ·

∫d3rN−1

( m

2πiϵℏ

)3N/2

exp(iϵ

ℏLN−1

)exp

(iϵ

ℏLN−2

)· · · exp

(iϵ

ℏL0

)= lim

N→∞

[N−1∏m=1

∫d3rm

]( m

2πiϵℏ

)3N/2

exp

(N−1∑n=0

iϵ

ℏLn

)

= limN→∞

( m

2πiϵℏ

)3/2 [N−1∏m=1

( m

2πiϵℏ

)3/2 ∫d3rm

]exp

(N−1∑n=0

iϵ

ℏLn

)ϵ= t

N= limN→∞

(Nm

2πiℏt

)3/2[N−1∏m=1

(Nm

2πiℏt

)3/2 ∫d3rm

]exp

(i

ℏt

N

N−1∑n=0

L[rn]

)(14.183)

となる。

ここで、N →∞の極限で、

t

N

N−1∑n=0

L[rn] =

∫ t

0

dtL[r(t)] = S[r(t)] (14.184)

となるので、ファインマン核は

K(x, t;y, 0) =

∫ x

yD[r(t)] exp

(i

ℏS[r(t)]

)(14.185)

となる。ここで ∫ x

yD[r(t)] ≡ lim

N→∞

(Nm

2πiℏt

)3/2[N−1∏m=1

(Nm

2πiℏt

)3/2 ∫d3rm

](14.186)

と定義した。これは、経路を N 分割し、各分割された区間において、考えうるすべての経路を足し上げる

積分であるが、N →∞の極限では、各時刻 tにおいて可能なすべての経路についての積分となる。

加点問題 P.14.4 : ファインマン核の経路積分表示 (14.185)を、式変形の詳細を明らかにしながら導出せよ。


ヒント (14.170)式の導出は以下の通り。

P ≡√

1

mℏ(p− qA) (14.187)


(右辺の積分) =

∫d3r exp

[i

2

(r −

√ϵP)2

− iϵ

2P 2

]= exp

(− iϵ

2P 2

)∫d3r exp

[iϵ

2

(r −

√ϵP)2]

(14.188)

ここで、exp

(− iϵ

2P 2

)は (14.170)式の左辺そのものである。ここで、

(X,Y, Z) = R ≡ r −√ϵP (14.189)

と定義すると、 ∫d3r exp

[i

2

(r −

√ϵP)2]

=

∫d3r exp

(− 1

2iR2

)=

∫ ∞

−∞dx dy dz exp

(− 1

2iR2

)(14.190)

となるが、ここで積分変数を (x, y, z) = r → R = (X,Y, Z) に変換すると、∫d3r exp

[i

2

(r −

√ϵP)2]

=

∫ ∞

−∞dX dY dZ exp

(− 1

2iR2

)=

∫ ∞

−∞dX dY dZ exp

[− 1

2i

(X2 + Y 2 + Z2)]

=

∫ ∞

−∞dX exp

(− 1

2iX2

)∫ ∞

−∞dY exp

(− 1

2iY 2

)∫ ∞

−∞dZ exp

(− 1

2iZ2

)= (2πi)3/2 (14.191)

となる。最後の等号でガウス積分を用いた。以上の結果をまとめると (14.170) 式が導ける。

14.5.3 定常位相近似と経路積分の意味

ここで、(14.185)式の意味について考えよう。まずは、積分の意味について、通常の位相 ϕ(t)との対応

(S[r(t)]⇔ ϕ(t))を考えてその様子をつかむことにする、まず、解析力学によれば、古典軌道 rc は、作用が

極小 (極値)をとるときδS[rc] = 0 (14.192)

に実現される。これは古典軌道 rc においては S の 1次変分が 0ということである。

これを位相 ϕ(t)の観点に対応させていえば、ある時刻 t∗ において dϕ(t∗) = 0となるということに焼き

直せる。位相の時間微分 ϕ = 2πf は振動数であるから、これを用いると、(14.192)式は、ある時刻 t∗ で

2πf(t∗)dt = ϕ(t∗)dt = dϕ(t∗) = 0 (14.193)

となるというふうに捉えることができる*19。

*19 つまり、振動数 f が t = t∗ で 0になるということ。


図 14.2 定常位相近似の概念図

この場合に位相 ϕ(t)を t∗ まわりでの展開すると、(dt = t− t∗ に注意して)

ϕ(t) = ϕ(t∗) + 2πf(t∗)(t− t∗) +1

2

d2ϕ

dt2

∣∣∣∣t∗

(t− t∗)2

(14.193)= ϕ(t∗) +

1

2

d2ϕ

dt2

∣∣∣∣t∗

(t− t∗)2 (14.194)

となる。ここで積分 (ϵ≪ |ϕ|)

Iϕ ≡∫ tf

ti

dt eiϕ/ϵ (14.195)

を考えると、ガウス型の積分

Iϕ = eiϕ(t∗)/ϵ∫ tf

ti

dt exp

(i1

2ϵ

d2ϕ

dt2

∣∣∣∣t∗

(t− t∗)2)

(14.196)

となる。

一方、古典解 rc から外れた軌道では δS = 0であり、また、δS は古典解から離れれば離れるほど大きく

なると考えられる。これは、位相の例で言えば、t = t∗ からはずれると ϕ = 2πf、すなわち振動数が大きく

なることに対応する。この場合には、積分 (14.195)の eiϕ/ϵ は時間とともに激しく振動し、積分への寄与が

小さくなる。一方、あまり振動しない (f ∼ 0)場合には、積分の寄与は大きい。このことは、図 14.2を見

ると直感的に理解できるであろう。

すなわち、(14.195)の積分は、位相の時間変化が小さい時刻 t∗ のまわりでのガウス型積分 (14.196)で近

似することができる。これを定常位相近似と呼ぶ。定常位相近似を応用すると、(14.185)式の意味が明らか

になる (図 14.3参照)。

まず、古典軌道は、作用が極小 (極値)をとるとき (δS = 0) に与えられたことにもう一度注意しよう。こ


図 14.3 経路積分の概念図

れより、作用 S を古典解 rc の周りで形式的に展開すれば、極値ではδS

δr= 0であるから

S[r(t)] = S[rc] +δS

δr

∣∣∣∣rc

(r − rc) +1

2

δ2S

δr2

∣∣∣∣rc

(r − rc)2

= S[rc] +1

2

δ2S

δr2

∣∣∣∣rc

(r − rc)2 (14.197)

となる。定常位相近似の議論を適用すれば、軌道 r(t)が古典軌道からずれると、そのような軌道からの積

分 (14.185)への寄与は小さくなる (ℏを微小量とみなす)。

つまり、(14.185)式の意味するところは、指数の肩に古典作用 S[r]が乗った eiS/ℏ なる重みで、古典解

の周りの経路をすべて積分すればファインマン核が得られるが、古典解から離れた軌道の寄与は小さい (し

かし 0ではない)ということである。(14.185)式を、ファインマン核の経路積分表示という。

加点問題 P.14.5 : ファインマン核の経路積分表示 (14.185) の物理的解釈について、定常位相近似

に基づいて自分なりの理解の仕方で説明せよ。

14.5.4 アハラノフ・ボーム (Aharonov-Bohm)効果

経路積分の観点からは、量子力学的な軌道は古典軌道のまわりのあらゆる経路をとるが、一般に古典軌道

から大きくずれた軌道からの寄与は小さく、通常の場合その効果が際立つことはない。しかしながら、寄与

は小さくとも 0ではないので、古典論ではありえないような結果をもたらすことがある。

電荷 q を持つ粒子の 2重スリットによる干渉縞実験を考える (図 14.4参照)。ただし、スリットの裏側に

は、磁場B が存在する領域 S があるとする。磁場は領域 S からは漏れ出ず、領域 S には粒子 (の古典運動

で)は侵入できないようになっているとする。この場合、古典的に考えれば、粒子が磁場の影響を感じるこ

とはないから、スクリーンに生じる干渉縞は磁場B の影響を受けないはずである。

これを量子力学で考える。t = 0に位置 r0 にある粒子線源をでた粒子が、時刻 tにスクリーン上の点 rS

に見出される確率 P0→S を経路積分で評価する。

P0→s = |K(rS , t; r0, 0)|2 (14.198)


図 14.4 アハラノフ・ボーム効果の実験の概略図

古典軌道のラグランジアンは (14.1) 式で与えられるから、ファインマン核 K(rS , t; r0, 0) は (14.185) 式

より、

K(rS , t; r0, 0) =

∫ rS

r0

D[r(t)] exp(iS0

ℏ

)exp

(iq

ℏc

∫ t

0

dtA · r)

(14.199)

となる。ここで、S0 は磁場B = ∇×Aがない場合 (A = 0)の作用で、

S0 =

∫ t

0

dt

(1

2mr2 − qA0

)=

∫ t

0

dt(−E +mr2

)= −Et+m

∫ rS

r0

dr · r (14.200)

である。ここでラグランジアンが時間に依らないので、エネルギー (ハミルトニアン)

E = H =1

2mr2 + qA0 (14.201)

は保存量である。

ファインマン核 (14.199)において、磁場Aに依存する部分は

exp(iΘ) ≡ exp(iq

ℏc

∫ t

0

dtA · r)= exp

(iq

ℏc

∫ rS

r0

dr ·A)

(14.202)

である。いま、スリット 1を通る経路を r1、スリット 2を通る経路を r2 を表すことにする。スリット 1を

通った粒子とスリット 2を通った粒子がスクリーン上で干渉する場合を考えると、Θの差は、

∆Θ12 =q

ℏc

[∫r1

dr ·A−∫r2

dr ·A]=

q

ℏc

∮C

dr ·A (14.203)


となる。ここで経路 C は r1 に沿って r0 から rS まで進み、−r2 に沿って rS から r0 まで戻る閉曲線であ

る。B = ∇×Aに注意してストークスの定理を用いると、

∆Θ12 =q

ℏc

∮C

dr ·A ストークスの定理=

q

ℏc

∫S

dS · (∇×A)

=q

ℏc

∫S

dS ·B =q

ℏc2Φ (14.204)

となる。積分範囲 S は C が囲む領域であり、Φは S を貫く磁束である。

この結果は、ファインマン核の被積分関数が磁場の強さによって変化することを意味している。被積分関

数の変化に応じて、確率 P0→S も磁場とともに変化し、干渉縞のパターンも磁場に依存することになる。古

典的には磁場の影響は受けないと考えられるのに、量子力学的効果によってその影響があらわれるこの現象

を、アハラノフ・ボーム (Aharonov-Bohm)効果という。

アハラノフ・ボーム効果は実験的に確かめられている。電気通信学会の解説記事

http://www.journal.ieice.org/conts/kaishi_wadainokiji/200012/20001201-3.html

あるいは教科書として「目で見る美しい量子力学」(外村彰, サイエンス社)参照のこと。

加点問題 P.14.6 : アハラノフ・ボーム効果において、経路積分法に基づいて解析し、同じスリットを通った粒子同士の干渉の場合、磁場の影響はあらわれないことを示せ。

ヒント例えばスリット 1を通った 2粒子の軌道を r1, r1′ とすると、

∆Θ11′ =q

ℏc

[∫r1

dr ·A−∫r1′

dr ·A

]=

q

ℏc

∮C

dr ·A =q

ℏc

∫S

dS ·B

となるが、閉曲線 C には磁場の存在する領域が含まれないので、上記積分は ∆Θ11′ = 0 となる。

341

第 15章

散乱問題 I: 散乱問題の基礎

原子などの微小な対象の構造を調べる方法の一つに、調べようとしている対象に何らかの粒子を衝突させ

て、散乱されてくる粒子の分布や特性を測定することで、その対象を探るというものがある。このように、

散乱現象の解析は物理学において重要な位置を占め、「散乱問題」と呼ばれる*1。

15.1 補足：重心系と実験室系

2粒子の散乱問題において、2粒子間のポテンシャルが相対距離にのみよる場合、粒子の全運動量は保存

する。この場合、2粒子の相対運動を重心運動から分離して考えると都合が良い。すなわち、系の全運動量

が 0であるような座標系を考えると便利である。このような座標系を重心系と呼ぶ。重心系での量には添字

cをつける*2。一方、実際の実験室では、静止した標的粒子に入射粒子を照射してその散乱現象を観測する

ことになる。標的粒子が静止した系を実験室系と呼ぶ。実験室系での量には添字 lをつける*3。尚、以下で

は質量欠損による質量エネルギーの運動エネルギーへの転換を除いて、非相対論的な取り扱いをする。

15.1.1 重心系における記述

実験室系で、入射粒子 1が、静止した標的粒子 2と散乱し、散乱粒子 1′ となる場合を考える。重心系で

は、入射粒子 1が z 軸の負の向きから入射し、z 軸の正の向きからやってくる標的粒子 2と衝突して散乱が

起こる。入射粒子が天頂角 θc, 方位角 φc の方向に散乱され、散乱粒子 1′ になる。一方、標的粒子は粒子 2′

となり、散乱された入射粒子 1′ とは逆の方向 π − θc, φc + π の方向に散乱される (図 15.1参照)。入射粒子

と標的粒子の速度をそれぞれ v1c, v2c とすると、重心系での運動量保存則

m1v1c = −m2v2c (15.1)

よりm1v1c = m2v2c (15.2)

である。ここで vi = |vi|, (i = 1, 2)とおいた。散乱前 (始状態)の全エネルギーは

E =1

2m1v

21c +

1

2m2v

22c (15.3)

*1 散乱の量子論は一冊の教科書になるくらい奥が深い分野である。本講義ではその初等的取り扱いのみを紹介する。より進んだ内容については、例えば砂川重信著「量子力学」(岩波書店)の 7章を参照されたい。

*2 center of mass の c*3 laboratoryの l

342 第 15章散乱問題 I: 散乱問題の基礎

図 15.1 重心系 (上図)と実験室系 (下図)における 2粒子散乱の概要図

である。これらより、

v1c =

√2m2E

m1(m1 +m2)(15.4)

v2c =

√2m1E

m2(m1 +m2)(15.5)

である。

一方、散乱後の状態 (終状態)での運動量保存則より

m1′v1′c = m2′v2′c (15.6)

であり、全エネルギーは、

E +Q =1

2m1′v

21′c +

1

2m2′v

22′c (15.7)

である。ここでQ = (m1 +m2 −m1′ −m2′)c

2 (15.8)

は衝突前後での質量欠損であり、Qはすべて運動エネルギーに転化したと仮定している。これらより、

v1′c =

√2m2′(E +Q)

m1′(m1′ +m2′)(15.9)

v2′c =

√2m1′(E +Q)

m2′(m1′ +m2′)(15.10)

15.1 補足：重心系と実験室系 343

となる。

量子力学的な散乱現象では、入射粒子 1と散乱された入射粒子 1′、標的粒子 2と散乱された標的粒子 2′

が、それぞれまったく別種の粒子である場合も多い。そこで、以下では、散乱された入射粒子 1′ を粒子 3,

散乱された標的粒子 2′ を粒子 4として取り扱うことにする。

入射粒子と標的粒子の相対速度 v は、

v ≡ v1c − v2c = v1c +m1

m2v1c (15.11)

より、

v =

√2(m1 +m2)

m1m2E (15.12)

である。重心系における始状態の全エネルギーをこの相対速度で表すと、

E =1

2µv2 (15.13)

となる。ここで µは換算質量µ ≡ m1m2

m1 +m2(15.14)

である。

15.1.2 実験室系における記述

実験室系では、z 軸方向から入射粒子 1が、静止している標的粒子 2と散乱して、散乱粒子 3 (1′)となり、

天頂角 θL、方位角 φL の方向に出ていくとする (図 15.1参照)。実験室系における全運動量 pL と全エネル

ギー EL は

pL = m1v1L, (15.15)

EL =1

2m1v

21L (15.16)

である。実験室系における入射粒子の速度は、重心系における相対速度に等しいから、

v1L = v1c − v2c = v (15.17)

である。これと重心系における運動量保存則 (15.1)より、

v1c =m2

m1 +m2v1L, (15.18)

v2c = −m1

m1 +m2v1L (15.19)

となる。

これより、実験室系における全運動量は、

pL = −(m1 +m2)v2c (15.20)

ともあらわせる。実験室系における重心の速度 vG,L は、v2L = 0より

vG,L =m1v1L +m2v2L

m1 +m2= −v2c (15.21)


図 15.2 重心系と実験室系の間の散乱速度の関係

であることに注意すると、実験室系での全運動量は、重心に全質量が集まって重心の速度で動いているとし

た場合pL = (m1 +m2)vG,L = −(m1 +m2)v2c (15.22)

と同じになる。当然のことであるが、実験室系における全エネルギー EL は、重心運動のエネルギー EG と

相対運動のエネルギー E に分離できて、

EL = EG + E =1

2(m1 +m2)v

2G,L +

1

2µv2 (15.23)

となることを直接計算することで確かめることができる。

15.1.3 重心系から実験室系への変換

実際の実験では標的粒子 2 を静止させておくことが多いので、いろいろな測定で得られる散乱のデータ

は、多くの場合実験室系における諸量である。一方、理論計算では重心系が便利である。そこで、散乱角度

の重心系から実験室系への変換則を導こう。

重心系は、実験室系に対して速度 vG,L = −v2c で等速直線運動しているから、

v3L = v3c − vG,L = v3c + v2c (15.24)

より (図 15.2参照)、

v3L cos θL = v3c cos θc + v2c, (15.25)

v3L sin θL = v3c sin θc (15.26)

である。ここで、

γ ≡ v2cv3c

(15.5), (15.9)=

√m1m3(m3 +m4)

m2m4(m1 +m2)

E

E +Q(15.27)

を定義すると、(15.25), (15.26)式より、天頂角の変換式

tan θL =sin θc

γ + cos θc(15.28)

が得られる。一方、方位角方向の変換則は、φL = φc (15.29)

である。

天頂角の変換式 (15.28)は、γ > 1, γ = 1, γ < 1で定性的に異なる振る舞いを示す (図 15.3参照)。

15.1 補足：重心系と実験室系 345

図 15.3 天頂角の変換式 (15.28)のグラフ

1. γ < 1 の場合：重心系での散乱角度 θc が 0から π まで増加するに従って、実験室系での散乱角度 θL

も 0から π まで増加する。

2. γ = 1 の場合：重心系での散乱角度 θc が 0から π まで変化しても、実験室系での散乱角度 θL も 0

から π/2までしか増加しない。

3. γ > 1 の場合：重心系での散乱角度 θc が 0から arccos(−1/γ)まで増加する間は、実験室系での散乱角度 θL も 0から arcsin(1/γ)まで増加するが、その後は、θc の増加に伴って、θL は減少して 0に

なる*4。

以上の振る舞いは、弾性散乱m1 = m3 かつm2 = m4 の場合を考えると直感的に理解できる。弾性散乱

の場合には、γ =

m1

m2(15.30)

であるから、γ < 1 は標的粒子の質量のほうが、入射粒子よりも重い場合に相当する。γ ≪ 1 の場合には、

質量のほとんどを標的粒子が担っているため、重心系と実験室系はほぼ同じと見なせるため、θc と θL はほ

ぼ同一の振る舞いを示す (図 15.3の γ = 0.1の場合)。γ = 1 (m1 = m2) の場合には、正面衝突の場合に入

射粒子 1は止まるが、跳ね返ってくることはないので、θL ≤ π/2である。一方、γ ≫ 1 の場合には、質量

のほとんどを入射粒子が担っているため、標的粒子を散乱しても入射粒子の運動量はほとんど変わらないた

め、実験室系では常に前方に出ていく。したがって、重心系で大きな散乱角 θc ∼ π の場合でも、実験室系

での散乱角 θL は大きくない (図 15.3の γ = 2.0の場合)。。

*4 重心系での散乱角度が arccos(−1/γ) すなわち 1 + γ cos θc = 0 を超えると実験室系での角度が減少する理由については15.2.2節の演習問題参照。


15.2 散乱断面積

15.2.1 微分散乱断面積と全断面積

スリット S から入射してくる粒子の方向に z 軸を取り、原点 O に置かれた標的に衝突して散乱されるも

のとする (図 15.4参照)。この散乱実験で観測できるのは、標的から離れた場所に散乱されてくる、(入射粒

子が散乱された)散乱粒子の分布である。スリット S を通って入射する、単位面積あたり、単位時間あたり

の入射粒子数を jzin [cm−2s−1] とする。これは、入射粒子の平均密度 nin と平均速度 vzin を用いて、

jzin = ninvzin (15.31)

とあらわすことができる。このような量は一般にフラックスと呼ばれる。いまの場合では、jzin は入射粒子

の z 方向の粒子数フラックスである。入射粒子の粒子数フラックス jzin は実験において調節可能な量であ

り、すなわち、測定可能な量である。

位置 rにおける、動径方向外向きの散乱粒子の粒子数フラックスを jrout(r, t)とする。原点 Oを中心とす

る半径 r の球面を考え、その球面上、天頂角 θ、方位角 φの方向の微小面積要素 dS に散乱されてくる、単

位時間あたりの粒子数を dNout とすると、

dNout = jroutdS (15.32)

である。dNout も実験において測定することのできる量である。立体角 dΩの定義より、

dΩ ≡ dS

r2(15.33)

であるから、dNout = jroutr

2dΩ (15.34)

となる。

ここで測定可能な jzin と dNout の比から求めることのできる

dσ(θ, φ)

dΩdΩ ≡ dNout

jzin=jroutr

2dΩ

jzin(15.35)

は面積の次元を持ち、散乱の微分散乱断面積と呼ばれる。微分散乱断面積が測定可能量で定義されているこ

とにもう一度確認しよう。微分散乱断面積は、単位面積あたり、単位時間あたりに 1個の粒子が入射してく

るとき、単位球面の立体角 Ωの方向の単位立体角の中に散乱されてくる粒子の割合を表している。微分散

乱断面積を全立体角で積分した

σ =

∫dσ

dΩdΩ (15.36)

を散乱の全断面積という。

球形の古典粒子の散乱の場合、全断面積は球の幾何学的断面積 πR2に等しい。したがって、原子による電

子の散乱の場合には、散乱の全断面積の大きさは、Rとしてボーア (Bohr)半径を用いれば、σ ∼ 9× 10−21

m2 程度であると見積もられる。

任意課題微分散乱断面積が面積の次元を持つことを確かめよ。

加点問題 P.15.1 : 半径 aの球形の古典粒子の散乱の場合に、全断面積が球の幾何学的断面積 πa2 に

等しいことを示そう。粒子が球形なので、散乱の方向は z 軸周りの角度 φには依らない。した

がって、散乱の方向は z 軸からの逸れ角 θ のみで決定できる。

15.2 散乱断面積 347

図 15.4 散乱の実験 (砂川重信著「量子力学」(岩波書店)より転載)

1. 衝突パラメータ b(θ)を入射粒子の z 軸から測った距離で定義する。このとき、

dσ

dΩ=b(θ)

sin θ

∣∣∣∣dbdθ∣∣∣∣ (15.37)

を示せ。

2. 半径 aの剛体球の場合に、

b(θ) = a cosθ

2(15.38)


3. 微分断面積を計算し、それを積分することで全断面積が πa2 であることを示せ。

15.2.2 補足：重心系と実験室系の間の微分散乱断面積の変換公式

実際の散乱実験は、標的粒子が静止している実験室系で行われる場合が多い。15.2.1節で定義した微分散

乱断面積は実験室系におけるものである。一方、散乱問題の理論的解析は、重心系で行ったほうが便利であ

る。そこで、微分散乱断面積の重心系から実験室系への変換公式を導いておこう。これは、角度の変換公式

(15.28), (15.29)を用いれば直ちに得られる。

微小立体角要素の変換は

dΩL =|1 + γ cos θc|

(1 + γ2 + 2γ cos θc)3/2dΩc (15.39)

であるから、微分散乱断面積は

dσL(θL, φL)

dΩL=dΩc

dΩL

dσc(θc, φc)

dΩc=

(1 + γ2 + 2γ cos θc)3/2

|1 + γ cos θc|dσc(θc, φc)

dΩc(15.40)

のように変換される。尚、全断面積は、1個の粒子が入射したとき、散乱される全粒子の数をあらわしてい

るので、重心系でも実験室系でも同じ値になる。


加点問題 P.15.2 : 重心系と実験室系の間の微分散乱断面積の変換公式 (15.40)式を示せ。略解微小立体角 dΩ = sin θdθdφ の変換公式 (15.39) を角度の変換公式 (15.28), (15.29) を用いて示せばよ

い。まず、(15.29)式よりdφL = dφc (15.41)

(15.28)式の両辺を微分すると、

1

cos2 θLdθL =

1 + γ cos θc(γ + cos θc)2

dθc. (15.42)

これより、γ > 1 の場合、1 + γ cos θc < 0 すなわち θc > arccos(−1/γ) となると、dθc > 0 に対して

dθL < 0となり実験室系での角度が減少する。さらに (15.28)式より

1

cos2 θL= 1 + tan2 θL

(15.28)=

1 + γ2 + 2γ cos θc(γ + cos θc)2

. (15.43)

よって

dθL =1 + γ cos θc

1 + γ2 + 2γ cos θcdθc. (15.44)

sin θL についても (15.28)式より

tan θL =sin θL√

1− sin2 θL=

sin θcγ + cos θc

(15.45)

であるから

sin2 θL =sin2 θc

1 + γ2 + 2γ cos θc(15.46)

を得る。(15.41), (15.44), (15.46)式より、

dΩL = sin θLdθLdφL = ± 1 + γ cos θc(1 + γ2 + 2γ cos θc)3/2

dΩc (15.47)

となる。ここで、立体角の定義 (15.33)より、立体角は dΩ ≥ 0でなければならない。(15.47)式において、

分母は 1+ γ2 +2γ cos θc = (γ + cos θc)2 + sin2 θc より正であるが、分子は γ > 1で負になりうる。この

場合には sin θ の変換式 (15.46)で負符号をとらなければならない。結局、

dΩL = ± |1 + γ cos θc|(1 + γ2 + 2γ cos θc)3/2

dΩc (15.48)

を得る。

15.3 散乱振幅と散乱断面積の関係

15.3.1 散乱の境界条件と散乱振幅

一定のエネルギー E を持つ粒子が、標的粒子の作るポテンシャル V (x)によって散乱される問題を考え

る。以下では特に断らない限り重心系を採用し、重心系を表す添字 cを省略する。また、本講義では弾性散

乱のみを取り扱う。この場合、入射波の波数ベクトル kと無限遠における散乱波の波数 kr には

|k| = k = kr = |kr| (15.49)

の関係がある。

入射波を定常的に入れ続ければ、散乱波も定常的に生成されると期待される。このとき、系は定常状態と

見なせるため、定常状態のシュレーディンガー方程式 (エネルギー固有値問題) で記述できる。この系の相

対運動部分だけを取り出すことにすると、そのエネルギー固有値方程式は[− ℏ2

2m∇2 + V (x)

]ψ(x) = Eψ(x) (15.50)

15.3 散乱振幅と散乱断面積の関係 349

である。ここで、mは換算質量であり、∇, xは相対座標についてのものである。また、ポテンシャルは遠方で十分はやく 0 になるものとする。エネルギー固有値問題 (定常状態の偏微分方程式) を解くためには、

まず境界条件を決める必要がある。

境界条件の概要

粒子は遠く離れたスリットから入射するが、そこではポテンシャルは 0 であるから、入射波は波数

k = p/ℏの平面波として記述できる。図 15.4にあるように、入射波は z 軸の正方向に進む平面波であると

すると、ψin ∝ eik·x = eikz (15.51)

であり、エネルギーは

E =ℏ2k2

2m(15.52)

である。

一方、散乱波は、動径方向と角度方向を変数分離して

ψout ∝f(Ω)χ(r)

r(15.53)

とあらわされるとする。中心力ポテンシャルの場合にはこのような変数分離は常に可能である (9章の演習

問題参照)。

全波動関数は入射波と散乱波から構成されるので、ポテンシャル源の遠方では、

ψ(x)r→∞−−−→ A

(eik·x + f(Ω)

χ(r)

r

)(15.54)

と表される。ここで、Aは規格化定数である。ψ を Schrodinger方程式に代入すると、r →∞では V = 0

であると仮定しているので、

− ℏ2

2m∇2

(f(Ω)

χ(r)

r

)=

ℏ2k2

2mf(Ω)

χ(r)

r, (r →∞) (15.55)

である。ここで、平面波部分は左辺と右辺でキャンセルされている。

散乱波成分の具体形

p2 の極座標表示 (11.31)

p2ψ =∂2ψ

∂r2+

2

r

∂ψ

∂r− L2

r2ψ =

1

r

∂2

∂r2(rψ)− L2

r2ψ (15.56)

を用いると、

∇2

(f(Ω)

χ(r)

r

)=f(Ω)

r

d2χ(r)

dr2− χ(r) L

2

r3f(Ω) (15.57)

となるから、シュレーディンガー方程式は、

f(Ω)d2χ(r)

dr2− χ(r) L

2

r2f(Ω) = −k2f(Ω)χ(r) (15.58)

となる。r →∞では、遠心力項 ∝ L2/r2 も無視することができるから、χ(r)の満たすべき方程式は、

d2χ

dr2+ k2χ = 0 (15.59)


となるので、χ(r)は e±ikr の線形結合で表される：

χ(r) = Couteikr + Cine

−ikr (15.60)

ここで、散乱波は r →∞へ向かう成分であるから、χ(r) = χout(r) ≡ Couteikr を採用しなければならな

い。このことは以下のようにして分かる。時間依存性も考慮すると (1.3節参照)、

ω ≡ E

ℏ(15.61)

として、

ψout(x, t) ≡ f(Ω)χout(r)

re−iE

ℏ t = f(Ω)ei(kr−ωt)

r(15.62)

である*5。いま、波動関数の同位相の部分、例えば、波の山 kr − ωt = 0 に着目する。初期 t = 0 に位置

r = 0にある波の山は、時刻 tでは r = ωt/k > 0 に移動している。これより、χout(r)は、外向きの球面は

に対応していることが分かる。一方、χin(r) ≡ Cine−ikr は内向きの球面波に対応する。

散乱振幅

以上より、Schrodinger方程式 (15.50)を満たす ψ のうち、無限遠における境界条件として、内向きの入

射波と、外向きの散乱球面波だけが存在する

ψ(x, t)r→∞−−−→ A

(eik·x + f(Ω)

eikr

r

)e−iωt (15.63)

を満たす解を求める必要がある。ここで、f(Ω)Cout をあらためて f(Ω)と定義した。散乱波の角度依存性

をあらわす f(Ω) = f(θ, φ)を散乱振幅と呼ぶ。

出席課題 S.15.1 : e±ikz が±z方向に進む平面波であることを説明せよ。また、e−ikr/rが内向きの球面波に対応することを示せ。

略解 eikz について考える。時間依存性も含めれば、この波動関数は eikz−iωt である。eiθ = cos θ+ i sin θ に

注意すると、θ ≡ kz − ωt が同じであれば、波として同位相の状態にある。いま、t = 0 において z = 0

での位相が θ0 = 0 であったとする。時間 t ののちには θ0 = 0 = kz − ωt より z = ωt/k の位置の波が

θ0 = 0 と同じ位相を持っている。すなわち、波は z の正の方向に進んでいる。e−ikz, e−ikr/r については

割愛。

出席課題 S.15.2 : 散乱問題の境界条件が (15.63)式で与えられることを示せ。

演習問題 E.15.1 : ラプラシアン ∇2 の極座標表示が (15.56)式のように表されることを以下の手順

で示せ*6。

1. ℏ2L2x = (ypz − zpy)(ypz − zpy)を xと pが交換しないことに注意しながら計算し、

ℏ2L2x = y2p2z + z2p2y − yzpz py − zypypz + iℏ(ypy + zpz) (15.64)


2. ℏ2L2y, ℏ2L2

z についても同様に計算し、

ℏ2L2 = r2p2 − r(r · p) · p+ 2iℏ(r · p) (15.65)

を示せ。ここで r = (x, y, z), r2 = x2 + y2 + z2 である。

*5 エネルギー固有状態を考えているので、時間発展のシュレーディンガー方程式を解かなくても時間依存性が求まる。*6 演習問題 E.11.1参照。

15.3 散乱振幅と散乱断面積の関係 351

3. 10.5節の結果を用いて、右辺第 2,3項を位置表示すると

ℏ2L2 = r2p2 + ℏ2[r2∂2

∂r2+ 2r

∂

∂r

](15.66)


4. [r2, Lx] = 0, [r2, Ly] = 0, [r2, Lz] = 0 を示せ。これより [r2, L2] = 0 が成り立つので、

(15.66) 式に 1/r2 を作用させる際に、右からか左からかは気にしなくてよいので、p2 の位

置表示

p2 = −ℏ2∇2 = −ℏ2[∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

]+ ℏ2

L2

r2(15.67)

が得られる。

15.3.2 確率の保存則

実数ポテンシャルの場合には、確率密度の保存の式

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (15.68)

が成り立つ。ここで ρ(x, t)は確率密度

ρ(x, t) = ψ∗(x, t)ψ(x, t) (15.69)

であり、j(x, t)は確率の流れの密度

j =ℏ

2mi[ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗] (15.70)

である。

特に、ψ がエネルギー固有状態である場合、

ρ(x, t) = ψ∗(x)e+iEℏ t ψ(x)e−iE

ℏ t = ψ∗(x)ψ(x) (15.71)

であるから ρは時間に依らない。したがって、確率密度の保存より、∫S

j · dS = 0 (15.72)

が成り立つ*7。

演習問題 E.15.2 : 実数ポテンシャルの場合に、確率密度の保存の式

∂ρ(x, t)

∂t+∇ · j(x, t) = 0 (15.73)

が成り立つことを示せ。ここで、確率密度 ρと確率密度の流れ j は、

ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 (15.74)

j(x, t) =ℏ

2im[ψ∗∇ψ − (∇ψ∗)ψ ] (15.75)

である。複素ポテンシャルの場合には確率密度の保存の式は成り立つか？

*7 ここで、面積分は十分大きい半径 r の球面上で行う。


略解 : 位置表示におけるシュレーディンガー方程式とその複素共役

iℏ∂ψ∂t

= − ℏ2

2m∇2ψ + V ψ, −iℏ∂ψ

∗

∂t= − ℏ2

2m∇2ψ∗ + V ∗ψ∗ (15.76)

にそれぞれ左から ψ∗ および ψ を乗じて辺々引くと、

ψ∗ ∂ψ

∂t+ ψ

∂ψ∗

∂t= − ℏ

2im

(ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗)+ (V − V ∗)|ψ|2 (15.77)

を得る。実数ポテンシャル (V = V ∗)の場合には右辺第 2項は消える。

流体力学における質量保存則の場合を参考に*8、閉曲面 S で囲まれた領域 V における粒子の存在確率∫VρdV の保存則を考える：

d

dt

∫V

ρdV =

∫V

dV

(ψ∗ ∂ψ

∂t+ ψ

∂ψ∗

∂t

)(15.78)

であるが、(15.77)式およびガウスの定理を用いて変形すると、

d

dt

∫V

ρdV = − ℏ2im

∫V

dV(ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗)

= − ℏ2im

∫V

dV ∇ · (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) (15.79)

= − ℏ2im

∫S

dS · (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) (15.80)

となる。

(15.80)式は、領域 V における粒子の存在確率の変化が領域の境界面 S を通しての確率フラックス

j ≡ +(ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗) (15.81)

の流出入によるものであることを示している。ここで、dS = ndS における法線ベクトル nは境界から外

向きに定義されているので、n · j < 0の場合が確率フラックスの流入に対応している。

(15.79)式より、 ∫V

dV

(∂ρ

∂t+∇ · j

)= 0 (15.82)

であるが、任意の領域 V で成り立つためには

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (15.83)

である必要があり、確率密度の保存の式が得られる。

尚、複素ポテンシャルの場合には (15.77)式の右辺第 2項が残るため、確率密度の保存則はこのままでは

成り立たない。

15.3.3 散乱振幅による微分散乱断面積の表式

入射波をψin(x, t) = Aeik·xe−iωt = Aei(kz−ωt), (15.84)

散乱波を

ψout = Af(θ, φ)ei(kr−ωt)

r(15.85)

*8 物理数学 C・D講義ノート参照。

15.4 補足：光学定理 353

と表す。粒子数フラックスは確率の流れの密度に比例するから、入射波と散乱波の確率の密度の流れを計算

しよう。入射平面波の確率の流れの密度を jin とすると、

jin =ℏ

2mi[ψ∗

in∇ψin − ψin∇ψ∗in] =

ℏmIm [ψ∗

in∇ψin] =ℏkm|A|2ek (15.86)

で与えられる。ここで、ek は波数方向の単位ベクトルである。図 15.4の設定のように、z 軸正方向に進む

入射波の場合、

jin =ℏkm|A|2ez (15.87)

であるから、z 方向成分

jzin =ℏ

2mi

[ψ∗in

∂ψin

∂z− ψin

∂ψ∗in

∂z

]=

ℏkm|A|2 (15.88)

のみを持つ。

一方、散乱波の確率の流れの密度は、

∇ψout =

[er

∂

∂r+ eθ

1

r

∂

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂

∂φ

]ψout

= erf(Ω)

rikAei(kr−ωt) +O(1/r2) (15.89)

を用いると、r →∞では r 方向成分のみが寄与し、

jout =ℏmIm [ψ∗

out∇ψout]r→∞−−−→ ℏk

m

|f(θ, φ)|2

r2|A|2er (15.90)

である。すなわち、

jrout =ℏmIm

[ψ∗in

∂ψin

∂r− ψin

∂ψ∗in

∂r

]=

ℏkm

|f(θ, φ)|2

r2|A|2 (15.91)

となっている。

微分散乱断面積の定義式 (15.35)に代入すれば、

dσ(θ, φ)

dΩ=jroutr

2

jzin=jroutr

2

jzin= |f(θ, φ)|2 (15.92)

が得られる。すなわち、波動関数 ψ(x)の r → ∞での漸近形から、散乱振幅 f(θ, φ)が求まれば、微分断

面積が求められる。

出席課題 S.15.3 : 散乱振幅と微分散乱断面積の関係式 (15.92)式を示せ。

15.4 補足：光学定理

波動関数の漸近形 (15.63)

ψ(x, t)r→∞−−−→ A

(eik·x + f(Ω)

eikr

r

)e−iωt (15.93)

から確率の流れの密度 (15.70)を (15.89)を用いて計算すると、入射波部分 (15.86)、散乱波部分 (15.90)に

加えて、入射波と散乱波の干渉部分 jint

jint = |A|2ℏk2m

ez + err

[f(θ, φ)eik(r−z) + f∗(θ, φ)e−ik(r−z)

]+O(1/r2) (15.94)


が存在する。すなわち、j = jin + jint + jout (15.95)

である。

図 15.4 の問題設定のもとで、保存則 (15.72) を計算する。入射波に関しては、z の負の方向から球面 S

に入射する部分と、散乱されずに z の正の方向から球面 S の外に抜け出ていく部分に形式的に分ける。図

15.4のスリットの面積を ∆S とすると、∫S

jin · dS =

∫S−

jzinez · (−ez)dS +

∫S+

jzinez · ezdS = −|A|2 ℏkm

∆S + |A|2 ℏkm

∆S (15.96)

となる。散乱波の寄与は∫S

jout · dS =

∫S

jrouter · erdS =

∫S

jrouter · err2dΩ = |A|2 ℏkm

∫S

|f(θ, φ)|2dΩ (15.97)

である。

干渉波の寄与は、r →∞における主要項のみを考慮すれば、z = r cos θ より∫S

jint · dS ≈ |A|2ℏk2m

∫S

1

r

[f(θ, φ)eikr(1−cos θ) + f∗(θ, φ)e−ikr(1−cos θ)

](ez + er) · erdS

= |A|2 ℏk2m

∫S

1

r

[f(θ, φ)eikr(1−cos θ) + f∗(θ, φ)e−ikr(1−cos θ)

](ez + er) · err2d(cos θ)dφ

(15.98)

である。14.5.3節で議論したように、半径 r の大きいところでは、位相 kr(1− cos θ)は激しく振動するの

で、積分に寄与するのは θ ≈ 0の近傍のみとする定常位相近似 (14.5.3節参照)が使える。実際、

ϕ(θ) = kr(1− cos θ) (15.99)

とおくと、dϕ(0)

dθ= 0 (15.100)

となっている。

θ ≈ 0 (z 軸) では、ez ≈ er であることを用いると (ez + er) · er = 2であり、また、z 軸では方位角 φは

意味を持たないので、f(0, φ) = f(0)とすると、dφ積分は 2π となる。定常位相近似 (14.5.3節参照)より、

θ ≈ 0のまわりで積分すると、∫S

jint · dS = |A|2 ℏk2m

[f(0)

∫ δθ

0

eikr(1−cos θ)

r2 · 2πr2 sin θdθ + f∗(0)

∫ δθ

0

e−ikr(1−cos θ)

r2 · 2πr2 sin θdθ

]

= |A|2 2πℏkm

[f(0)

eikr(1−cos δθ) − 1

ik+ f∗(0)

e−ikr(1−cos δθ) − 1

−ik

](15.101)

が得られる。

実際の問題では、波束の散乱を考えるので、∫d3k 積分を行う必要がある。この場合、e±ikr(1−cos δθ)/k

は激しく振動するため寄与しない。結局、干渉波の寄与は∫S

jint · dS = −|A|2 4πℏm

f(0)− f∗(0)2i

= −|A|2 4πℏm

Im[f(0)] (15.102)

15.5 散乱振幅とポテンシャルの関係 355

となる。θ ≈ 0のみが寄与するということは、干渉波の確率の流れは前方に集中しているということである

から、面積分の積分範囲を ∫S

jint · dS =

∫S+

jint · dS = −|A|2 4πℏm

Im[f(0)] (15.103)

とすることができる。

以上をまとめると、確率密度の保存 15.72式より、

0 =

∫S

j · dS =

∫S

(jin + jint + jout) · S

=

∫S−

jin · S +

∫S+

(jin + jint) · S +

∫S

jout · S

= −|A|2 ℏkm

∆S +

[|A|2 ℏk

m∆S − |A|2 4πℏ

mIm[f(0)]

]+ |A|2 ℏk

m

∫S

|f(θ, φ)|2dΩ (15.104)

が得られる。この物理的意味は次のとおりである。散乱は入射波の一部が散乱されて散乱波となる過程であ

るから、z → −∞ における入射波の確率の流れ −∫S−

jin · dS に比べて、z → ∞ に出ていく確率の流れ∫S+

(jin + jint) · dS は、干渉項の寄与の分だけ減少している。この減少分が、遠方における散乱波の確率の流れとバランスして確率の保存が成り立っているわけである。(15.104)式より、

σ =

∫S

|f(θ, φ)|2dΩ =4π

kIm[f(0)] (15.105)

が成り立つ。確率の保存を表すこの関係式を光学定理と呼ぶ。

加点問題 P.15.3 : 15.4節の議論で自身の理解の足りない部分 (定常位相近似のところなど)を拡充

しながら、光学定理を示せ。

15.5 散乱振幅とポテンシャルの関係

15.5.1 グリーン関数

Schrodinger方程式 (15.50)は(∇2 + k2)ψ(x) = U(x)ψ(x) (15.106)

と表せる。ここで

U(x) =2m

ℏ2V (x) (15.107)

である。(∇2 + k2)G(x) = δ(x) (15.108)

を満たすグリーン関数 G(x)を用いると、(15.106)式は、

ψ(x) = φ(x) +

∫d3x′G(x− x′)U(x′)ψ(x′) (15.109)

のように積分方程式の形にかける。ここで、φ(x)は、

(∇2 + k2)φ(x) = 0 (15.110)


を満たす部分である*9。(15.109)式は、φ(x)と G(x)を適切に選べば、境界条件 (15.63)を自動的に満たす

ようにできる。

グリーン関数を求めよう。

∇2 1

r= −4πδ(x) (15.111)

であることに注意すると、(15.108)式のグリーン関数が

G±(x) = − 1

4π

e±ikr

r(15.112)

となることを示すことができる。

出席課題 S.15.4 : 積分表示 (15.109)式がシュレーディンガー方程式 (15.106)の解になっていることを示せ。

略解 (15.109)式を (15.106)式の左辺に代入すると、(15.110)式に注意して、

(∇2 + k2)ψ(x) =

∫d3x′(∇2 + k2)G(x− x′)U(x′)ψ(x′)

(15.108)=

∫d3x′δ(x− x′)U(x′)ψ(x′)

= U(x)ψ(x) (15.113)

演習問題 E.15.3 : (15.108) 式のグリーン関数が (15.112) で与えられることを示せ。ただし、(15.111)式は既知とする。

略解 1 +符号の場合について示す。−符号の場合も同様である。

(∇2 + k2)eikr

r= eikr∇2 1

r+ 2(∇eikr) · ∇1

r+

1

r∇2eikr + k2

eikr

r(15.114)

である。まず、(15.111)式より、

eikr∇2 1

r= −4πeikrδ(r) (15.115)

である。ここで、超関数の意味で−4πeikrδ(r) = −4πδ(r) (15.116)

である (示せ)。∇r = r

rより (示せ)、

2(∇eikr) · ∇1

r= −2ikeikr

r

r· r

r3= −2ik

eikr

r2(15.117)

∂r

∂x=x

rより (示せ)、

∂2

∂x2eikr =

∂

∂x

(ikeikr

x

r

)= ik

(1

r− x2

r3

)eikr − k2

x2

r2eikr (15.118)

よって、

∇2eikr =

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)eikr = 2ik

eikr

r− k2eikr (15.119)

以上をまとめれば、(15.112)式が得られる。

*9 これは常微分方程式における積分定数に相当するものである。偏微分方程式ではこれが「積分関数」になる。例えば、∂f(x, y)

∂x= 0 の解は、f = (定数)ではなく、g(y)を y の任意関数として、f(x, y) = g(y)である。この g は xには依存しな

いが、∂f(x, y)

∂x+∂f(x, y)

∂y= 0 の解は f = g(x − y) で与えられ、これは x にも依存する。偏微分方程式では「積分関数」

を決定する必要があるために、ある境界での関数形を与えないと解けないのである。


略解 2 +符号の場合について示す。−符号の場合も同様である。

(∇2 + k2)eikr

r= (∇2 + k2)

(eikr − 1

r+

1

r

)= ∇2

(eikr − 1

r

)− 4πδ(r) + k2

eikr

r(15.120)

となる。ここで、(eikr − 1)/r を r = 0でテイラー展開すれば分かるように、は r = 0 で有限な正則関数

であり (示せ)、正則な (発散や跳びのない) r だけの関数に対しては、

∇2 =1

r

d2

dr2r (15.121)

であるから (説明せよ)、

∇2

(eikr − 1

r

)= −k2 e

ikr

r(15.122)

となる。以上をまとめると、

(∇2 + k2)eikr

r= −4πδ(r) (15.123)

よって

G+(x) = − 1

4π

eikr

r(15.124)

演習問題 E.15.4 : (15.111)式を示せ。略解 r だけの関数に対しては、

∇2 =1

r

d2

dr2r (15.125)

であるから、

∇2 1

r=

(1

r

d2

dr2r

)1

r= 0 (15.126)

とするのは誤りである。関数 1/r は r = 0で発散しているので、原点で ∇2 を安直に作用させるわけには

いかないからである。

∇2f(x) = −δ(x)の特解が、f(x) = 1/(4π|x|) = 1/(4πr)であることを示せば良い。f(x)のフーリエ積

分表示

f(x) =1

(2π)3/2

∫ ∞

−∞f(k)eik·x d3k (15.127)

およびデルタ関数の積分表示

δ(x) =1

(2π)3

∫ ∞

−∞eik·xd3k (15.128)

を ∇2f(x) = −δ(x) に代入すると、f(k) =

1

(2π)3/21

k2(15.129)

を得る。これを逆フーリエ変換

f(x) =1

(2π)3/2

∫ ∞

−∞f(k)e−ik·xd3k =

1

(2π)3

∫ ∞

−∞

e−ik·x

k2d3k

(∗)=

1

(2π)3

∫ ∞

−∞

e+ik·x

k2d3k (15.130)

する ((∗)の式変形については下記参照)。

kと xのなす角を θ として、極座標 d3k = k2dk d cos θ dφ で積分すれば、

f(x) =1

(2π)3

∫ ∞

0

k2dk

∫ 1

−1

d cos θ

∫ 2π

0

dφeikr cos θ

k2= 2π

1

(2π)3

∫ ∞

0

dkeikr − e−ikr

ikr

= 2π1

(2π)31

r

∫ ∞

0

dk2 sin kr

k(15.131)


ここで、 ∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2(15.132)


f(x) =1

4πr(15.133)

となる。

(∗)の式変形について: ki = −ki と変換すると、

∫ ∞

−∞

e−ik·x

k2d3k =

∫ ∞

−∞dkx

∫ ∞

−∞dky

∫ ∞

−∞dkz

e−i(kxx+kyy+kzz)

k2x + k2y + k2z

ki=−ki=

∫ −∞

+∞(−dkx)

∫ −∞

+∞(−dky)

∫ −∞

+∞(−dkz)

e+i(kxx+kyy+kzz)

k2x + k2y + k2z

=

∫ +∞

−∞dkx

∫ +∞

−∞dky

∫ +∞

−∞dkz

+ei(kxx+kyy+kzz)

k2x + k2y + k2z

=

∫ ∞

−∞

e+ik·x

k2d3k (15.134)

15.5.2 散乱の積分方程式と散乱振幅

グリーン関数 (15.112)を積分方程式 (15.109)に代入すると、

ψ(x) = φ(x)− 1

4π

∫d3x′

exp(±ik|x− x′|)|x− x′|

U(x′)ψ(x′) (15.135)

を得る。これが散乱の積分方程式である。

これが散乱問題の境界条件 (15.63)

ψ(x)r→∞−−−→ A

(eik·x + f(Ω)

eikr

r

)(15.136)

を満たすことを示そう。ここで時間依存性は落としてある。散乱の積分方程式 (15.135)は、境界条件が自

動的に満たされるようにできるという点で、(偏微分方程式である)元の固有値問題 (15.50)よりも扱いやす

いものになっている。

無限遠 r →∞での境界条件を考えればよいので、

x = rer (15.137)

として、

|x− x′| = r

√1 +

r′2

r2− 2

x′ · err

r→∞−−−→ r

(1− x′ · er

r+O(1/r2)

)(15.138)

であるから、exp(±ik|x− x′|)|x− x′|

r→∞−−−→ exp(±ik(r − er · x′))

r(15.139)

となる。これより、(15.135)は、kr = ker (15.140)

*10 複素積分を用いる典型問題である。適当な複素解析の教科書を参照のこと。


として、

ψ(x)r→∞−−−→ φ(x)− 1

4π

e±ikr

r

∫d3x′ e∓iker·x′

U(x′)ψ(x′)

= φ(x)− 1

4π

e±ikr

r

∫d3x′ e∓ikr·x′

U(x′)ψ(x′) (15.141)

となる。

ここで、φ(x)は、(∇2 + k2)φ(x) = 0を満たすものであればよいから、特に

φ(x) = Aeik·x (15.142)

と選ぶことができる。このとき、グリーン関数として G+(x)を選べば、

ψ(x)r→∞−−−→ Aeik·x +

[− 1

4π

∫d3x′ e−ikr·x′

U(x′)ψ(x′)

]eikr

r(15.143)

となる。これは境界条件 (15.63)を満たす形になっている。このとき、散乱振幅は、Aを入射波の規格化定

数として、

f(Ω) = − 1

4πA

∫d3x′ e−iker·x′

U(x′)ψ(x′) (15.144)


出席課題 S.15.5 : 散乱の積分方程式 (15.135)が散乱の境界条件 (15.63) を満たすことを示し、散乱

振幅が (15.144)で与えられることを示せ。

演習問題 E.15.5 : シュレーディンガー方程式 (15.106) からはじめて、散乱の積分方程式 (15.135)

を示せ。

演習問題 E.15.6 : 散乱振幅は |kr⟩ ≡ |ker⟩ を動径方向に進む波数状態ベクトルの固有状態として、

f(Ω) = − 1

4πA2⟨kr|U |ψ⟩ (15.145)

とあらわされることをデルタ関数規格化の場合に示せ。略解まず、デルタ関数規格化された波数の固有状態ベクトル (7.63)

⟨x|kr⟩ =1

(2π)3/2e+ik·x = Ae+ik·x (15.146)

と内積の性質より、⟨kr|x⟩ = ⟨x|kr⟩∗ = Ae+ik·x (15.147)

であることに注意する。あとは 1 =∫d3x|x⟩⟨x|を 2つ挿入し、定義に従って計算する。

− 1

4πA⟨kr|U |ψ⟩ = − 1

4πA

∫d3x′d3x′′⟨kr|x′⟩⟨x′|U(x)|x′′⟩⟨x′′|ψ⟩

(1.38)= − 1

4π

∫d3x′d3x′′e−ikr·x′

⟨x′|[∫

d3xU(x)|x⟩⟨x|]|x′′⟩ψ(x′′)

(2.8)= − 1

4π

∫d3xd3x′d3x′′ e−ikr·x′

U(x)ψ(x′′)δ(x′ − x)δ(x− x′′)

= − 1

4π

∫d3x′e−ikr·x′

U(x′)ψ(x′)

= Af(Ω) (15.148)

ここで U = U(x)は演算子であり、U(x) は演算子ではないことに注意。


図 15.5 経路 C±：半円の半径を Rとして、R → ∞の極限操作が取られるものとする。

加点問題 P.15.4 : ダランベール演算子の遅延グリーン関数は

(−∂2t +∇2)Gret(xα, x′α) = −δ(xα − x′α) = −δ(t− t′)δ(x− x′) (15.149)

の解で、遅延条件*11

Gret(xα, x′α) = 0, for t < t′ (15.150)

を満たすものとして定義される*12。遅延グリーン関数のフーリエ変換を

Gret(kµ, x′α) =

∫d4xGret(x

α, x′α) e−ikµxµ

=

∫dt d3xGret(x

α, x′α) ei(ωt−k·x) (15.151)

逆フーリエ変換を

Gret(xα, x′α) =

1

(2π)4

∫d4k Gret(k

µ, x′α) e+ikµxµ

=1

(2π)4

∫dω d3k Gret(k

µ, x′α)e−i(ωt−k·x) (15.152)

とする。

1. (15.149)式の両辺をフーリエ表示して

Gret(kµ, x′α) = − e

−ikµx′µ

ω2 − k2= −e

i(ωt′−k·x′)

ω2 − k2(15.153)

を示せ。

2. (15.153)式を逆フーリエ変換することで遅延グリーン関数が求められる：

Gret(xα, x′α) = − 1

(2π)4

∫d3k eik·(x−x′)

∫ ∞

−∞dω

e−iω(t−t′)

ω2 − k2. (15.154)

ここで ω-積分

Iret ≡ −1

2π

∫ ∞

−∞dω

e−iω(t−t′)

ω2 − k2(15.155)

*11 これが時間方向の境界条件を与える。*12 情報が発せられた時刻 t′ より未来でのみ値を持つ (遅延効果)という条件である。


図 15.6 経路 C1 および C2

は ω = ±kに特異点を含むので、単純に計算することはできない。ここで、ジョルダンの補題および留数定理を用いて、複素積分によって計算する*13。

ただし、この問題のように、実軸上に特異点を持つ場合にはジョルダンの補題が適用でき

ないので、特異点を虚軸方向に無限小ずらす技巧的操作*14が必要となる。どのように特異

点をずらすべきかは (時間方向の)境界条件に応じて定まる*15。

例として、2つの特異点を両方とも +iεずらす場合を考える (図 15.6参照)。すると、ジョ

ルダンの補題が適用できるようになるので、t− t′ の正負に応じて経路 C± を選んで複素積

分を行う。

t− t′ > 0 の場合には、図 15.5の C+ を選んで図 15.6のように経路 C1 を構築し、

I1 ≡∮C1

f(z)dz −∫C+

f(z)dz (15.156)

とする。右辺第 2項はジョルダンの補題により R → ∞で 0であり、右辺第 1項は留数定

理を用いて計算できる。その結果を用いて、∫ ∞

−∞f(x)dx = lim

ϵ→0lim

R→∞I1 (15.157)

によって、左辺の積分計算を右辺の複素積分によって実行できる。

t− t′ < 0 の場合には、図 15.5の C− を選んで図 15.6のように経路 C2 を構築して同様

の計算をすればよい。

上述の計算法に従って、

Iret =sin k|t− t′|

kθ(t− t′) =

sin k|t− t′|

k(t− t′ > 0)

0 (t− t′ < 0)(15.158)

となることを示せ。この解は遅延条件を満たす。すなわち、2つの特異点を両方とも +iεず

らす操作は、境界条件として遅延条件を採用する場合に対応している。

*13 ジョルダンの補題および留数定理については問題の最後を参照のこと。また、適切な複素関数論の教科書を参照すること。*14 コーシー (Cauchy)の主値積分という。*15 x = ±k の 2 つの特異点の虚軸方向へのずらし方は、(+iε,+iε), (+iε,−iε), (−iε,+iε), (−iε,−iε) のの 4 通り考えられる。


3. 2つの特異点を両方とも −iεずらす場合からは、先進グリーン関数解

Iadv =sin k|t− t′|

kθ(t′ − t) =

0 (t− t′ > 0)

sin k|t− t′|k

(t− t′ < 0)(15.159)

が得られることを示せ。

4. x = −k の特異点を −iεずらし、x = +k の特異点を +iεずらす場合からは、外向きグリー

ン関数解

Iout = −i

2ke+ik|t−t′| =

− i

2ke+ik(t−t′) (t− t′ > 0)

− i

2ke−ik(t−t′) (t− t′ < 0)

(15.160)

が得られ、x = −k の特異点を +iεずらし、x = +k の特異点を −iεずらす場合からは、内向きグリーン関数解

Iin =i

2ke−ik|t−t′| =

i

2ke−ik(t−t′) (t− t′ > 0)

i

2ke+ik(t−t′) (t− t′ < 0)

(15.161)

が得られることを示せ。これらの解は時間 (t − t′)を空間 (r − r′)に置き換えたかたちで、量子力学における散乱問題などで用いられる。

5. Iret を (15.154)式に代入して、d3k = k2dk sin θdθdφ と極座標表示することによって積分

を計算し、

Gret(xα, x′α) =

1

|x− x′|δ(|t− t′| − |x− x′|)θ(t− t′) (15.162)

を導け。

ジョルダンの補題 f(z) は実軸上に極 (特異点)を持たないとする。このとき、z = Reiθ として、|f(z)| < M

Rn,

(M > 0) で抑えられるならば

limR→∞

∫C+

f(z)eitzdz = 0, (t > 0) (15.163)

limR→∞

∫C−

f(z)eitzdz = 0, (t < 0) (15.164)

である。ここで、C± は図 15.5に示す半円の経路である。留数定理

反時計回りに廻る任意の閉曲線 C 内に、f(z)の極 (特異点) α1, α2, ·, αN があるとき、∮C

f(z)dz = 2πiN∑

k=1

Res(αk) (15.165)

が成り立つ。特に、f(z)が C 内に特異点を持たない場合には∮Cf(z)dz = 0 である。ここ

で、留数 Res(α)は、グルサ (Goursat)の公式を用いて計算できる。


グルサ (Goursat)の公式 f(z)が n位の極 (特異点) αを持つとき、留数 Res(α)は

Res(α) = limz→α

1

(n− 1)!

dn−1

dzn−1[(z − α)nf(z)] (15.166)


365

第 16章

散乱問題 II: ボルン近似と部分波展開法

16.1 ボルン近似

散乱の積分方程式 ((15.135)式を再掲)

ψ(x) = φ(x)− 1

4π

∫d3x′

exp(±ik|x− x′|)|x− x′|

U(x′)ψ(x′) (16.1)

を厳密に解くことは、ほとんどの場合不可能である。そこで、Schrodinger方程式 (15.50)において、ポテ

ンシャル V (x)を摂動として扱い、散乱振幅を近似的に求めよう。

16.1.1 ボルン近似における散乱振幅

散乱の積分方程式 (16.1)の右辺の ψ(x)に、再び (16.1)を形式的に代入すると、

ψ(x) = φ(x) +

∫d3x′G+(x− x′)U(x′)ψ(x′)

= φ(x) +

∫d3x′G+(x− x′)U(x′)

[φ(x′) +

∫d3x′′G+(x′ − x′′)U(x′′)ψ(x′′)

]= φ(x) +

∫d3x′G+(x− x′)U(x′)φ(x′)

+

∫d3x′d3x′′G+(x− x′)G+(x′ − x′′)U(x′)U(x′′)ψ(x′′) (16.2)

となる。これを散乱振幅 (15.144)に代入して、ポテンシャルを摂動として取り扱い、U の 2次以上の項を

無視する。これはすなわち、積分方程式 (16.1)の右辺にあらわれる ψ(x′)を φ(x′) = Aeik·x′で近似する

ことにほかならない。このとき、(15.144)式より、

f(Ω) ≈ fBorn(Ω) ≡ − 1

4πA

∫d3x′ e−ikr·x′

U(x′)Aeik·x′

(15.107)= − 1

4π

2m

ℏ2

∫d3x′ e−iq·x′

V (x′) (16.3)

となる。これをボルン (Born)近似という。ここで

q ≡ ker − k ≡ kr − k (16.4)

と定義した。

366 第 16章散乱問題 II: ボルン近似と部分波展開法

ボルン近似 (16.3)式の積分は、∫d3x′ e−ikr·x′

V (x′)eik·x ∼ ⟨kr|V |k⟩ (16.5)

とあらわされる。ここで k が入射平面波の波数ベクトル (初期状態)、kr が散乱球面波の波数ベクトル (終

状態)であるから、これは 6章で取り扱ったフェルミの黄金率にあらわれる行列要素 ⟨f |V |i⟩ と本質的に同じものである。ボルン近似ではポテンシャルを摂動的に扱い、その 1次までの展開を行ったことからも分か

るように、ボルン近似の結果はフェルミの黄金率による結果 (7.96)と一致する (加点問題)。

右辺はポテンシャル V (x)のフーリエ変換の形をしているから、ボルン近似では、散乱振幅はポテンシャ

ル V (x)のフーリエ変換に比例する。ℏq は散乱により粒子がポテンシャルから受け取る運動量である。kr,

k, q からなる三角形を考えると、弾性散乱条件 (15.49)より |kr| = |k|であるから、この三角形は二等辺三角形である。kr と kのなす角を θとすると、

q = 2k sinθ

2(16.6)

である。低エネルギー入射粒子の散乱 k ≈ 0の場合、q ≈ 0 より q · x′ ≈ 0となるから、ボルン近似におけ

る散乱振幅は方向に依らず等方的になる。これは入射粒子のエネルギーが小さい場合、ポテンシャルによる

散乱の影響が強くあらわれるためである。

一方、高エネルギー入射粒子の散乱の場合、被積分関数の e−iq·x′が激しく振動するため、θ ≈ 0以外の

寄与を無視する近似が採用できる (定常位相近似 (14.5.3節参照))。このとき、ボルン近似における散乱振幅

は前方に強く集中する。これはこれは入射粒子のエネルギーが大きい場合、散乱粒子がポテンシャルをほぼ

透過するように前方に集中すると期待されることと整合的である。

出席課題 S.16.1 : 散乱の積分方程式 (16.1)からはじめて、ボルン近似の表式 (16.3)を導け。。加点問題 P.16.1 : 摂動法 (フェルミの黄金率)による結果と、ボルン近似の結果が一致することを

示せ。略解以下の解説では用いる記号の定義も不十分であり、省略されている部分も多いので、必ず 7.4節を参照す

ること*1。

ボルン近似では (16.3)式より、

dσ

dΩ= |f(Ω)|2 =

( m

2πℏ2)2 ∣∣∣∣∫ d3x′ e−iq·x′

V (x′)

∣∣∣∣2 (16.7)

である。これが摂動法による結果と一致することを箱型規格化を用いて示そう。

散乱問題では、終状態が連続スペクトルを持つから (|f⟩ = |k′L⟩)、エネルギー E のまわりの dE の幅

の領域で、かつ、k′ のまわりの微小立体角 dΩk′ 方向に散乱される確率 dP(1)i→Gk′ (t) を考えることにな

る。これは、フェルミの黄金率 (7.42) において、(全) 状態密度 ρL(E) を微小立体角 dΩk′ 方向の状態密

度 ρk′,L(E) dΩk′ に置き換えることで得られる:

dP(1)i→Gk′ (t) =

2πt

ℏ

∣∣∣⟨k′L|V |i⟩

∣∣∣2 ρk′,L(E) dΩk′

=2πt

ℏ

∣∣∣⟨k′L|V |i⟩

∣∣∣2 ( L

2πℏ

)3

mℏk′ dΩk′ (16.8)

散乱問題では、さらに、始状態も連続スペクトルを持つから (|i⟩ = |kL⟩)、始状態の状態密度も考慮する

*1 ただし、7.4節では終状態のベクトルを k、始状態のベクトルを k′ としていることに注意。

16.1 ボルン近似 367

ことが必要になる:

dP(1)Gk→Gk′ (t) =

2πt

ℏ

∣∣∣⟨k′L|V |kL⟩

∣∣∣2 ρk′,L(E′) dΩk′ ρk,L

(E) dΩk

=

(L

2πℏ

)62πt

ℏ

∣∣∣⟨k′L|V |kL⟩

∣∣∣2mℏk′ dΩk′ mℏk dΩk

=

(1

2πℏ

)62πt

ℏ

∣∣∣∣∫ d3x′e−i(k′−k)·x′V (x′)

∣∣∣∣2mℏk′ dΩk′ mℏk dΩk (16.9)

一方、入射粒子も連続スペクトルを持ち、粒子数密度 1/L3 (箱型規格化), 速度 v = p′/m = ℏk′/mで入射するので、t秒間の間に入射してくる粒子数は

dNk =ℏkmL3

t ρk,L(E) dΩk =

(1

2πℏ

)3

ℏ2k2 t dΩk (16.10)

である。

微分散乱断面積は、入射粒子で規格化した散乱確率であるから、

dσ =dP

(1)Gk→Gk′ (t)

dNi,k

=( m

2πℏ2)2 k′

k

∣∣∣∣∫ d3x′e−i(k′−k)·x′V (x′)

∣∣∣∣2 dΩk′ (16.11)

いまの場合、k′ = kr であり、入射粒子と散乱粒子のエネルギーは等しいので k = k′ であるので、1次の

摂動法による微分散乱断面積はボルン近似による結果と一致する。

16.1.2 ボルン近似の成立条件

ここで、ボルン近似が良い近似となる条件を定性的に調べておこう*2。ψ(x) ≈ φ(x) = eik·x なる近似が

良い近似であれば良い。そのためには、展開式 (16.2)において、

|φ(x)| ≫∣∣∣∣∫ d3x′G+(x− x′)U(x′)φ(x′)

∣∣∣∣ (16.12)

であれば良い。φ(x) = Aeik·x を代入すれば

|eik·x| ≫∣∣∣∣∫ d3x′G+(x− x′)U(x′)eik·x′

∣∣∣∣ (16.13)

となる。

いま、原点から離れるとポテンシャルは十分はやく 0に近づくと仮定しているので、原点近傍 x ≈ 0で

この条件を評価しよう。このとき、条件 (16.13)にグリーン関数

G+(x− x′) =exp ik|x− x′||x− x′|

x≈0=

exp ik|x′||x′|

(16.14)

を代入すると、|x′| = r′ として、

1≫ 1

4π

∣∣∣∣∫ d3x′exp(ikr′ + ik · x′)

r′U(x′)

∣∣∣∣ (16.15)

である。さらに、ポテンシャルの有効半径を aとして、積分を以下のように近似的に評価する。∣∣∣∣∫ d3x′exp(ikr′ + ik · x′)

r′U(x′)

∣∣∣∣ ≈ ∣∣∣∣∫ a

0

r′2dr′∫dΩ′ exp(ikr

′ + ik · x′)

r′U(0)

∣∣∣∣ (16.16)

*2 厳密な議論は講義の範疇を超える。


以上より、条件 (16.13)は、

1≫ 1

4π

2m|V (0)|ℏ2

∣∣∣∣∫ a

0

r′2dr′∫dΩ′ exp(ikr

′ + ik · x′)

r′

∣∣∣∣=m|V (0)|2πℏ2

∣∣∣∣2π ∫ a

0

r′eikr′dr′

∫ 1

−1

d cos θ′ eikr′ cos θ′

∣∣∣∣=m|V (0)|

ℏ2

∣∣∣∣1k∫ a

0

(e2ikr′− 1) dr′

∣∣∣∣=m|V (0)|

ℏ21

2k2∣∣e2ika − 2ika− 1

∣∣ (16.17)

となる。

低エネルギー入射粒子の散乱の場合

入射エネルギーが低く、ka ≪ 1 の場合には、指数関数をベキ展開することができる。このとき条件

(16.17)はm

ℏ2a2 |V (0)| ≪ 1 (16.18)

となる。ここで、条件 ka≪ 1より a≪ 1/k であるから、

m

ℏ2a2 |V (0)| ≪ m

ℏ2k2|V (0)| ≪ 1 (16.19)

であるが、入射粒子の運動エネルギーが EK ≡ ℏ2k2/(2m) であることに注意すると、これは

m

ℏ2a2 |V (0)| ≪ 2 |V (0)|

EK≪ 1 (16.20)

を意味する。

ここで、この結果は a ≪ 1/k の下で得られたものであるが、この条件は a ≪ ℏ/√2mEK を意味する。

すなわち、EK に対応してポテンシャルの有効距離 aも十分小さいことが必要である。

これより、低エネルギー粒子の散乱の場合にボルン近似が成立するためには、ポテンシャルの強さ |V (0)|が入射粒子の運動エネルギー EK より十分小さいという条件 |V (0)|/EK ≪ 1だけでは不十分であり、その

有効領域 aも十分小さいことが必要であることが分かる。これは、ポテンシャルの有効領域が非常に広い場

合には、|V (0)|が小さくてもじわじわとその影響が積算されてしまい、波動関数が入射波から大きくずれてしまうからである。

高いエネルギー入射粒子の散乱の場合

一方、入射粒子のエネルギーが大きい ka≫ 1 の場合には、条件 (16.17)の e2ika の部分は激しく振動す

るので、定常位相近似の考えに従ってこの項を無視することができる。このとき、条件 (16.17)は

ma

ℏ2k|V (0)| = |V (0)|

ℏa

v≪ 1 (16.21)

となる。ここで v ≡ ℏk/mは入射粒子の速度の大きさである。これより、|V (0)|が小さく、また入射粒子の速さ vが十分に大きい場合に、ボルン近似が成り立つ。ℏ/|V (0)|は時間の次元を持つので、これは、ポテンシャルが粒子に作用する時間スケールを意味していると捉えることができる。一方、a/v は入射粒子がポ

テンシャルを通過する時間スケールである。これより、条件 (16.21)は、平面波として入射した粒子の波動

関数がポテンシャルによって歪められてしまう前に、ポテンシャルの有効領域から脱出できれば、散乱波を

含めて平面波近似できる、という物理的な解釈をすることができる。

16.1 ボルン近似 369

出席課題 S.16.2 : (16.12) 式からはじめて (16.17) 式を示し、ボルン近似が成り立つ条件について

説明せよ。

16.1.3 中心力ポテンシャルによる散乱

中心力ポテンシャル V (x) = V (r)の場合、q と x′ のなす角を θ′ として極座標を用いると

fBorn(Ω) = −m

2πℏ22π

∫ ∞

0

r′2dr′∫ 1

−1

d cos θ′e−iqr′ cos θ′V (r′) = −2m

ℏ21

q

∫ ∞

0

dr′V (r′) r′ sin(qr′)

≡ fBorn(q) (16.22)

となる。全断面積は

σ =

∫dΩ|fBorn(q)|2 = 2π

∫ 1

−1

d cos θ|fBorn(q)|2 (16.23)

において、(16.6) 式を用いて積分変数を θ から q にかえる：qdq = k2 sin θdθ = k2d cos θ、0 ≤ q ≤ 2k

より、

σ =2π

k2

∫ 2k

0

dqq|fBorn(q)|2 (16.24)

を計算することで得られる。

3次元井戸型ポテンシャルによる散乱

例題として、井戸型ポテンシャル (V0 > 0)

V (x) =

−V0 (r ≤ a)0 (r > 0)

(16.25)

による散乱について、ボルン近似を用いて散乱振幅を求めよう。(16.22)式にポテンシャルを代入すると、

fBorn(q) =2m

ℏ21

q

∫ a

0

dr′V0 r′ sin(qr′) =

2mV0a3

ℏ21

(aq)3[sin(qa)− qa cos(qa)] (16.26)

となる。

散乱振幅を qaのべき級数に展開すると、

fBorn(q) =2mV0a

3

ℏ21

3

(1− (qa)2

10+O((qa)4)

)(16.27)

となるから、ボルン近似では前方散乱 θ = 0 の微分断面積がエネルギー q or k に依らないことが分かる。

また、低エネルギーの入射粒子 qa ≈ 0に対しても散乱振幅はエネルギーに依存しないことが分かる。

尚、積分を厳密に実行すると、全断面積は

σ = 2π

(2ma2V0kℏ2

)2

S(2ak) (16.28)


S(x) =

∫ x

0

dqq|fBorn(q)|2 =1

4

[1−

(sinx− x cosx

x2

)2

− sin2 x

x2

](16.29)

である。


出席課題 S.16.3 : (16.22)式を示せ。　

演習問題 E.16.1 : ガウス型ポテンシャル

V (r) = V0 exp

(− r

2

a2

)(16.30)

の場合にボルン近似の散乱振幅を求めよ。略解球対称ポテンシャルの場合のボルン近似の公式 (16.22)より、

fBorn(q) = −2mV0

ℏ2q

∫ ∞

0

dr r sin(qr)e−r2/a2

= −mV0

ℏ2q

∫ ∞

−∞dr r sin(qr)e−r2/a2

= −mV0

ℏ2q

∫ ∞

−∞dr r

eiqr − e−iqr

2ie−r2/a2

= −mV0

ℏ2q1

2i

∫ ∞

−∞dr r

[exp

(− 1

a2

(r − i

2a2q

)2

− (qa2)2

4a2

)− exp

(− 1

a2

(r +

i

2a2q

)2

− (qa2)2

4a2

)]

= −mV0

ℏ2qe−(qa/2)2

2i

[∫ ∞

−∞dx

(x+

i

2a2q

)e−x2/a2

−∫ ∞

−∞dx

(x− i

2a2q

)e−x2/a2

]= −mV0a

3√π2ℏ2

e−(qa/2)2 (16.31)

ここで、2番めの等号では f(x)が偶関数 (f(−x) = f(x))である場合に成り立つ公式∫ a

−a

f(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx (16.32)

を用い、最後の等号では∫ ∞

−∞dxxe−x2/a2

= −a2

2

∫ ∞

−∞dx

d

dx

(e−x2/a2)

=[e−x2/a2

]∞−∞

= 0 (16.33)

であることおよびガウス積分を用いた。

演習問題 E.16.2 : 湯川型ポテンシャル

V (r) = V0e−r/a

r(16.34)

の場合の散乱振幅をボルン近似で求めよ。略解

fBorn(q) = −2mV0

ℏ2q

∫ ∞

0

dr sin(qr)e−r/a (7.77)= −2mV0

ℏ2a2

1 + (qa)2(16.35)

公式 (7.77)を用いなくても、指数関数表示 sin(qr) = (eiqr − e−iqr)/(2i)を用いて積分すれば計算できる。

演習問題 E.16.3 : 指数関数型ポテンシャル

V (r) = V0 exp(− ra

)(16.36)

の場合にボルン近似の散乱振幅を求めよ。略解

fBorn(q) = −2mV0

ℏ2q

∫ ∞

0

dr r sin(qr)e−r/a (7.76)= −2mV0

ℏ22a3

(1 + (qa)2)(16.37)

16.2 部分波展開法 371

16.2 部分波展開法

ボルン近似は、一般に入射粒子のエネルギーが大きい場合に良い近似となる。一方、入射粒子のエネル

ギーが低い場合にはどのような近似法を用いたらよいであろうか。以下ではポテンシャルが中心力ポテン

シャルなどのように球対称である場合、あるいは実効的 (ポテンシャルの絶対値の小さい部分は非球対称で

あるが、大きい部分は球対称である場合など)に球対称とみなせる場合に適用できる部分波展開法について

解説する。

16.2.1 3次元シュレーディンガー方程式のエネルギー固有値問題

極座標におけるラプラシアン

3次元シュレーディンガー方程式のエネルギー固有値問題は軌道角運動量の極座標表示 (10.119)(導出は

10.5.1節参照)

L = −i(eφ

∂

∂θ− eθ

1

sin θ

∂

∂φ

)(16.38)

より L2 の極座標表示 (10.124)が

L2 = − 1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)− 1

sin2 θ

∂2

∂φ2(16.39)

となること、および、スカラー場へのラプラシアンの作用 (11.34)が

∇2f =1

r2∂

∂r

(r2∂f

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂f

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2f

∂φ2(16.40)

となることを用いると、ℏ2

2m

[− 1

r2∂

∂r

(r2∂

∂r

)+L2

r2

]ψ + V (x)ψ = Eψ (16.41)

となる (11.36式参照)。

変数分離：球対称ポテンシャルの場合

ここで、球対称ポテンシャル V (x) = V (r)の場合には波動関数を球面調和関数をもちいて変数分離する

ことができる*3。波動関数をψ(r, θ, φ) = Rl(r)Ylm(θ, φ) (16.42)

おいてシュレーディンガー方程式に代入すると、

1

Rl

d

dr

(r2dRl

dr

)+

2mr2

ℏ2(E − V (r)) = − 1

Ylm

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Ylm∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2Ylm∂φ2

]=

1

YlmL2Ylm (16.43)

*3 10.5節、11章とは少しだけ違ったやり方で変数分離を行う。


のように変数分離される。すなわち、左辺は θ, ψ に依存せず、右辺は r に依存しないので、それぞれ定数

でなければ方程式を成り立たせることができない。この定数を λとすると、

1

r2d

dr

(r2dRl

dr

)+

(2m

ℏ2(E − V )− λ

r2

)Rl = 0 (16.44)

L2Ylm = − 1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Ylm∂θ

)− 1

sin2 θ

∂2Ylm∂φ2

= λYlm (16.45)

となる。

角運動量の一般論の結果を用いれば、(16.45)式より λは軌道角運動量の量子数 lを用いて

λ = l(l + 1) (16.46)

と表すことができる。これより、動径方向のシュレーディンガー方程式は

d2Rl(r)

dr2+

2

r

dRl(r)

dr+

[− l(l + 1)

r2+

2m

ℏ2(E − V (r)

)]Rl(r) = 0 (16.47)

となる。

一方、角度方向のシュレーディンガー方程式において、さらに

Ylm(θ, φ) = Θlm(θ)Φm(φ) (16.48)

と変数分離して、両辺を Ylm = ΘlmΦm で割って整理すると、

sin θ

Θlm

∂

∂θ

(sin θ

∂Θlm

∂θ

)+ l(l + 1) sin2 θ = − 1

Φm

∂2Φm

∂φ2(16.49)

となる。ここで、左辺は θのみの関数、右辺は φのみの関数であるから、やはり両辺定数でなければならな

い。この定数を µとおくと、

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Θlm

∂θ

)+

µ

sin2 θΘlm + l(l + 1)Θlm = 0 (16.50)

∂2Φm

∂φ2+ µΦm = 0 (16.51)

を得る。

(16.51)式は直ちに解けて、Φm(φ) = Aei

√µφ +Be−i

√µφ (16.52)

となるが、波動関数の連続性条件として

Φm(0) = Φm(2π), (16.53)

dΦm(φ)

dφ

∣∣∣∣φ=0

=dΦm(φ)

dφ

∣∣∣∣φ=2π

(16.54)

を課すと、A = 0, B = 0とするとe2πi

√µ = 1 (16.55)

が得られる。

これより√µは整数でなければならないので、

m =√µ, (mは整数) (16.56)


とすると、Φm(φ) = Aeimφ +Be−imφ (16.57)

となる。これは e±imφ なる波の重ね合わせになっているが、mの値で両者は区別できる。ここで、状態を

表す基底としてΦm(φ) = Aeimφ (16.58)

の方を採用することにすれば、φ方向の波動関数について、10.5節と 11章の結果を再現する。

一方、θ 方向の波動関数については、(16.50) 式に (16.56) を代入すれば、ルジャンドルの陪微分方程式

(10.134)に一致するので、ルジャンドルの陪多項式で表される。両者をまとめれば、角度方向の波動関数は

球面調和関数で表されることになる。

任意課題 10.5.1節、10.5.1節、11章も参考にしつつ、上述のやり方で、波動関数が動径方向と角度

方向に変数分離できることを示せ。

16.2.2 部分波展開法の概要

一般の波動関数は、異なる軌道角運動量 lの重ねあわせ状態で記述できるから、(16.42)式より、

ψ(r, θ, φ) =∑l

Rl(r)Ylm(θ, φ) (16.59)

と表すことができる。各 lにおける波動関数を部分波と呼ぶ。特に、入射粒子の入射方向を z 軸として、そ

のまわりの回転対称性がある場合には、球面調和関数はルジャンドル関数で与えられる*4：

Yl,0 =

√2l + 1

4πPl(cos θ) (16.60)

散乱振幅 f(Ω) = f(θ, φ)が角度座標にのみ依存し、動径座標 r には依らないことから、散乱は角度方向

の波動関数、すなわち Ylm(θ, φ)によって決定されると考えられる。球対称ポテンシャルの場合、角度方向

の波動関数を決定するのは角運動量演算子 L2 であるから、特に入射方向まわりに回転対称性がある場合に

は、軌道角運動量量子数 lによって散乱を特徴づけることができると期待される。

さて、一般に、散乱ポテンシャル V (x)は、湯川型ポテンシャル e−αr/rのように、ある領域 ∼ 1/αより

外側では急激に小さくなる場合が多い。そこで、ポテンシャルがある半径 aの領域の中だけに存在すると仮

定する。このポテンシャルに、運動量 p, 衝突パラメータ bの粒子が入射してくるとき、散乱が起こるのは、

b < aの場合だけであり、b > aのときには入射粒子はそのまま素通りしてしまう。

粒子が原点 O のまわりにもつ角運動量の値は

pb = ℏk · b ∼ ℏl, (l = 0, 1, 2, · · · ) (16.61)

である。角運動量は量子化されていることに注意しよう。b < aの粒子のみが散乱されるということは、角

運動量でいえば、l < ak の粒子のみが散乱を受けるという事である。低エネルギーで k の値が小さい場合、

散乱に寄与するのは l の小さいものだけであり、l の大きな値は散乱に寄与しない。また入射粒子のエネル

ギーが大きい場合でも、必要な lまでの寄与を考慮することで、散乱問題を精度良く解くことができると期

待される。散乱の波動関数を角運動量の固有関数で展開するこの方法を部分波展開法という。

*4 z 軸まわりの角度 φについての回転対称性がある場合には、波動関数は φに依存しなくなる。このことは、φ方向の波動関数においてm = 0とすることと等価である。10.B節で説明したとおり、m = 0の場合のルジャンドルの陪多項式はルジャンドルの多項式と一致するので、入射粒子の入射方向を z 軸として、そのまわりの回転対称性がある場合には、波動関数はルジャンドル関数で展開される。


図 16.1 散乱現象と角運動量 (砂川重信著「量子力学」(岩波書店)より転載)

出席課題 S.16.4 : 部分波展開法について説明せよ。特に、部分波展開法が球対称ポテンシャルの場

合にのみ適用できることを説明せよ。ポテンシャルが球対称でない場合には上述の議論のどこが

破綻するのか？

16.2.3 s波の散乱：最低次 (l = 0)近似の場合

部分波展開法の一般論の展開は他書*5に譲るとして、ここでは、pb < 1の場合、すなわち軌道角運動量子

数 l = 0の成分だけが寄与する場合について考える。l = 0の部分波を s波という。この場合、Schrodinger

方程式 (16.47)において l = 0であるから、遠心力項は寄与せず、動径方向の方程式は

− ℏ2

2m

1

r

∂2rRl(r)

∂r2+ V (r)Rl(r) = ERl(r) (16.62)

となる。

入射波と散乱波における s波の抽出

入射粒子は、z 方向に向かう運動量 p = ℏk の平面波状態

ψin(x) = Ae−ikz = Aeikr cos θ (16.63)

である。この状態は原点周りのあらゆる角運動量成分を含んでおり、eikr cos θ を厳密に表すには lについて

無限個の Yl,0 が必要であるが、ここで取り扱う最低次近似の場合、入射波のうち、s波のみが散乱に寄与す

るので話が簡単になる。

s波成分だけを抜き出すには |Y0,0⟩を作用させればよい。Y0,0(θ, ϕ) = 1/√4π であるから

⟨Y0,0|ψin⟩ =∫ψin(x)Y0,0 dΩ = A

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

−1

d cos θ1√4πeikr cos θ

= A√π

1

ikr

(eikr − e−ikr

)(16.64)

となる。

*5 例えば砂川重信著「量子力学」(岩波書店)。


ここで、規格化定数 Aは入射波 ψin が仮に l = 0の球面波 ψin,0 であった場合に

⟨Y0,0|ψin,0⟩ = A

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

−1

d cos θ1√4π

eikr

r= A√4πeikr

r=eikr

r(16.65)

と簡単になるように

A =1√4π

(16.66)

と選ぶ。すると

⟨Y0,0|ψin⟩ =1

2ikr

(eikr − e−ikr

)(16.67)

となる。これが外向き及び内向きの球面波からなっていることに注意しよう。

次に散乱波について考える。散乱波は f(Ω)eikr/r で与えられたが、部分波すなわち l の情報を含んでい

るのは散乱振幅 f(Ω)の部分である。このうち、l = 0の Y0,0 成分だけを抜き出すと、球面調和関数の直交

性と、Y0,0 が (θ, φ)に依らないことから、f(Ω)のうち、角度方向に依らない等方的な成分だけが抜き出さ

れる。散乱振幅の等方成分をを f0 とあらわすと、散乱波の s波成分は、

f0eikr

r(16.68)

となる。

結局、s波散乱の境界条件は

ψr→∞−−−→ 1

2ikr

(eikr − e−ikr

)+ f0

eikr

r=

1

2ikr

[(1 + 2ikf0

)eikr − e−ikr

]=

1

2ikr

(Seikr − e−ikr

)(16.69)

で与えられる。ここで、S ≡ 1 + 2ikf0 (16.70)

と定義した。

出席課題 S.16.5 : s波の散乱問題の境界条件 (16.69)を示せ。

16.2.4 位相のずれ

はじめに z 方向からの入射ビームを考えたが、散乱状態の波動関数 (16.69)は内向きと外向きの球面波成

分から構成されている。波動関数は確率密度の保存の式に従うから、もし内向きと外向きの球面波成分で釣

り合いがとれていないと、粒子が原点に蓄積されていく、あるいは、原点から粒子が無限に湧き続けるとい

う不合理が生じる。したがって、(16.69)式の S は

|S|2 = 1 (16.71)

を満たす必要がある。これより、S = e2iδ (16.72)

と表すことができる。ここで、因子 2をつけてるのは最終的に得られる結果を見越してのことである。散乱

状態の波動関数は、

ψr→∞−−−→ 1

2ikr

(ei(kr+2δ) − e−ikr

)(16.73)


となる。

これは次のように解釈できる。すなわち、入射する内向きの球面波 ∝ −e−ikr/rが、ポテンシャルによる

散乱を受けた結果、散乱された外向きの球面波位相が 2δだけずれたというものである。したがって、δは位

相のずれ (phase shift)と呼ばれる。位相のずれは散乱実験によって測定することのできる量であり、ポ

テンシャルの情報を含んでいる。

散乱の境界条件 (16.73)を

ψr→∞−−−→ 1

2ikr

(eikr − e−ikr

)+

(e2iδ − 1

2ik

)eikr

r(16.74)

のように変形し、(16.69)式と比べると、

f0 =e2iδ − 1

2ik=eiδ

k

eiδ − e−iδ

2i=eiδ sin δ

k(16.75)

を得る。これより、微分断面積は、dσ

dΩ=

sin2 δ

k2(16.76)

となり、全断面積は

σ = 4πsin2 δ

k2= π

(2 sin δ

k

)2

(16.77)

となる。これより、2 sin δ/k が標的の実効的な半径であることが分かる。

低エネルギー入射粒子の散乱 k2σ ≪ 1の場合、(16.77)式より sin δ も微小であるから δ も微小であり、

f0 ≈δ

k(16.78)

dσ

dΩ≈ δ2

k2(16.79)

σ ≈ π(2δ

k

)2

(16.80)

である。

実際の計算では、散乱状態の波動関数 (16.73)を

ψr→∞−−−→ 1

r

eiδ

k

ei(kr+δ) − e−i(kr+δ)

2i=

1

rCk sin(kr + δ) (16.81)

としておくと便利である。ここで Ck = eiδ/k とした。

出席課題 S.16.6 : (16.71)式が成り立たなければならないことを説明せよ。

演習問題 E.16.4 : 部分波展開法を用いて、最低次 (l = 0)近似における位相のずれと微分散乱断面

積の間の関係式 (16.76)を示せ。

16.2.5 剛体球による s波散乱

位相のずれからポテンシャルの情報が得られる例として、剛体球による入射波の散乱について考える。剛

体球のポテンシャルは

V (r) =

∞ (r < a)0 (r > a)

(16.82)

で与えられる。したがって、ポテンシャルは 1つのパラメータ aだけで特徴づけられる。


散乱波に関係する r > aでは自由粒子状態 (V = 0)であり、l = 0では L2 の項は寄与しないから、動径

方向の方程式 (16.47)より、

d2R0(r)

dr2+

2

r

dR0(r)

dr+

2mE

ℏ2R0(r) = 0, (r > a) (16.83)


R0(r) =χ0(r)

r(16.84)

とおくと、d2χ0(r)

dr2+

2mE

ℏ2χ0(r) = 0, (r > a) (16.85)

となる。波数

k2 ≡ 2mE

ℏ2(16.86)

を導入すると、一般解はχ0(r) = Ck sin(kr + δ) (16.87)

と求められる。r = aでの境界条件 R0(a) = 0より

χ0(a) = 0 (16.88)

であるから、位相のずれは (16.81)式より求めることができて

δ = −ka (16.89)

となる。半径 aは剛体球ポテンシャルの唯一のパラメータであるが、その情報は位相のずれに含まれている

ことが分かる。

これより、全断面積は

σ =4π

k2sin2(ka) (16.90)

であり、低エネルギー極限 ka≪ 1では、

σka→0−−−−→ 4πa2 (16.91)

となる。すなわち、低エネルギー散乱におけるポテンシャルの有効半径は 2aであり、同じ問題を古典力学

で解いた場合の 2倍の半径を持っている。これも量子力学における波動性のあらわれの一つである。

演習問題 E.16.5 : 部分波展開法の最低次近似で、剛体球による散乱問題を解き、散乱の全断面積が

σ =4π

k2sin2(ka) となることを示せ。

加点問題 P.16.2 : 3次元井戸型ポテンシャル (V0 > 0)

V (r) =

−V0 (r < a)0 (r > a)

(16.92)

における s波散乱の位相のずれを求め、位相のずれにポテンシャルの情報、すなわち V0と aが含まれていることを示せ。入射エネルギーが低い極限 ka≪ 1の場合に散乱振幅を計算し、V0 → 0

の極限でボルン近似の低エネルギー極限 (16.27)と一致することを示せ。


略解 s波散乱 (l = 0)の場合、動径方向の方程式 (16.47)より、

d2R0.out(r)

dr2+

2

r

dR0,out(r)

dr+

2mE

ℏ2R0,out(r) = 0 (r > a) (16.93)

d2R0,in(r)

dr2+

2

r

dR0,in(r)

dr+

2m(E + V0)

ℏ2R0,in(r) = 0 (r < a) (16.94)

R0 = χ0/r、k2 = 2mE/ℏ2,

κ2 =2mE

ℏ2+

2mV0

ℏ2= k2 + v20 (16.95)

として方程式を解くと、

χ0,out = A sin(kr + δ) (r > a) (16.96)

χ0.in = B sin(κr + δ′) (r < a) (16.97)

動径方向の波動関数は、3次元のエネルギー固有値問題における境界条件 (11.48), (11.49)

limr→∞

rRl(r) = 0 (16.98)

limr→0

rRl(r) = 0 (16.99)

を満たさなければならない。原点での境界条件より、

δ′ = 0 (16.100)

r = aでの接続条件より、波動関数 Rl = χl/r の値と微係数がともに連続でなければならないので、

Bsin(κa)

a= A

sin(ka+ δ)

a(16.101)

Bκa cos(κa)− sin(κa)

a2= A

ka cos(ka+ δ)− sin(ka+ δ)

a2(16.102)

辺々割ると、κa

tan(κa)=

ka

tan(ka+ δ)(16.103)

を得る。これより、位相のずれは

tan δ =

k

κtan(κa)− tan(ka)

1 +k

κtan(κa) tan(ka)

(16.104)

位相のずれにはポテンシャルの情報 aと (κを通じて)V0 の情報が含まれていることが分かる。異なる 2

つエネルギーの入射粒子 k1, k2 の場合に散乱実験をして、位相のずれ δ1, δ2 を得たとすると。

tan δ1 =

k1√k21 + v20

tan a√k21 + v20 − tan(k1a)

1 +k1√k21 + v20

tan a√k21 + v20 tan(k1a)

(16.105)

tan δ2 =

k2√k22 + v20

tan a√k22 + v20 − tan(k2a)

1 +k2√k22 + v20

tan a√k22 + v20 tan(k2a)

(16.106)

を連立して解くことでポテンシャルの情報 aと V0 の情報を得ることができる。

低エネルギー極限 ka≪ 1では tan(ka) → ka+ (ka)3/3 + · · · , κ2 ≈ κ20 ≡ 2mV0/ℏ2 より、

δ ≈ tan δ = −ka(1− tanκ0a

κ0a

)(16.107)

16.3 発展：部分波展開法の一般論 379

となるので、散乱振幅は (16.78)式より、

f0 = −a(1− tanκ0a

κ0a

)(16.108)

これはボルン近似の結果 (16.27)と一致していないが、ポテンシャルが小さい極限 V0 → 0では、

f0 ≈ a

3(κ0a)

2 =2mV0a

3

3ℏ2(16.109)

となりボルン近似の結果に一致する。

16.3 発展：部分波展開法の一般論

工事中。

381

第 17章

同種粒子系

量子力学においては、系が同種粒子 (たとえば電子のような)から構成されているとき、それらの粒子を互

いに識別することは不可能である。すなわち、それらの粒子のうちの任意の 2つを入れ換えても、観測でき

るような変化は生じない。粒子の入れ換えで観測可能な変化が生じないことは古典力学でも同じであるが、

古典力学では粒子の運動を逐次追跡することで、2つの粒子は原理的には区別可能である。一方、量子力学

においては、2つ粒子は原理的に区別することができない。2つの同種粒子からなる系を考え、状態ベクト

ルを |q1; q2⟩とする。ここで、qi には、外部自由度、内部自由度を両方含んだ、粒子の状態を指定するのに必要な変数のすべてが含まれているものとする。量子力学的粒子が区別できないということは、状態関数に

おいて、粒子のラベルを交換して、|q1; q2⟩ → |q2; q1⟩ としてもそれは同一の状態を表しているということである。

時刻 t = 0 で粒子が状態 |a⟩ および |b⟩ にある同種 2 粒子系を考える。1 粒子状態は規格化 ⟨a|a⟩ =⟨b|b⟩ = 1 されているとする。位置表示の波動関数を ψa(x) = ⟨x|a⟩, ψb(x) = ⟨x|b⟩とする。いま、2つの粒子は区別できないが、便宜上のラベルをつけ、粒子 1が状態 a、粒子 2が状態 bにある 2

粒子系の状態をψa,b(x1,x2) = ψa(x1)ψb(x2) (17.1)

と表し、逆に、粒子 1が状態 b、粒子 2が状態 aにある場合を

ψb,a(x1,x2) = ψb(x1)ψa(x2) (17.2)

と表すことにする。実際には粒子は区別できないので、これらの線型結合

ψ(x1,x2) ≡ c1ψa,b(x1,x2) + c2ψb,a(x1,x2) (17.3)

が粒子が状態 a, bにある 2粒子系の状態を表す。

t = 0で粒子の波動関数には重なりがないとすると、⟨a|b⟩ = 0より、

0 = ⟨a|∫d3x |x⟩⟨x|b⟩ =

∫d3xψa(x)

∗ψb(x) (17.4)

であるから (同様に∫d3xψb(x)

∗ψa(x) = 0)、規格化条件は、∫d3x1d

3x2|ψ(x1,x2)|2 =

∫d3x1d

3x2

[|c1|2|ψa,b|2 + |c2|2|ψb,a|2

]= |c1|2 + |c2|2 = 1 (17.5)

である。

このとき、t = 0で粒子を位置 xと y に見出す確率密度 P (x,y, 0)は、

P (x,y, 0) = |ψ(x,y)|2 + |ψ(y,x)|2 = |ψa(x)|2|ψb(y)|2 + |ψb(x)|2|ψa(y)|2 (17.6)

382 第 17章同種粒子系

となり、c1, c2 に依らないから、t = 0の観測によって係数 c1, c2 を決定することはできない。

その後系が時間発展したとする。時間発展によって 2粒子の波動関数には重なりが生じうるから、時刻 t

における確率密度 P (x,y, t)は

P (x,y, t) = |ψa(x, t)|2|ψb(y, t)|2 + |ψb(x, t)|2|ψa(y, t)|2

+4Re(c∗1c2)Re(ψ∗a(x, t)ψb(x, t)ψ

∗b (y, t)ψa(y, t)

)(17.7)

となり、未決定の c1, c2 に依存してしまう。すなわち、確率が一意的に決定できなくなってしまう。

この問題を回避するためには、2粒子系の状態が一般の線型結合 (17.3)ではなく、c1, c2 の確定した状態

になっていることが必要である。そこで同種粒子からなる多粒子系の量子力学では、系の状態について以下

の対称化仮説を要請する。すなわち、

同種粒子の多粒子系の状態は、任意の 2つの粒子の交換について対称 (不変)か、または反対称 (符号

が変わる)でなければならない

ことを要請する。すると、(17.3)式の c1, c2 はそれぞれの場合に、位相因子を除いて一意的に定まり、対称

な場合には

ψS(x1,x2) =1√2

(ψa(x1)ψb(x2) + ψb(x1)ψa(x2)

)(17.8)

となり、反対称な場合には

ψA(x1,x2) =1√2

(ψa(x1)ψb(x2)− ψb(x1)ψa(x2)

)(17.9)

となる。

出席課題 S.17.1 : t = 0 で波動関数に重なりがない場合には (17.6) 式のように干渉項があらわれ

ず、その後の時間発展で波動関数に重なりが生じる可能性がある場合には、(17.7)のように干渉

項があらわれることを示せ。

17.1 ボソンとフェルミオン

(17.8)と (17.9)の 2つの可能性のうちどちらにするべきかは粒子のスピンにより決まる。スピンが整数

の場合 (ボソン、ボース粒子)には対称な状態、スピンが半整数の場合 (フェルミオン、フェルミ粒子) の場

合には反対称な状態を採用するべきであることが、多くの実験事実から知られている。フェルミオンの場

合、同じ粒子が同じ 1粒子状態を占める (|a⟩ = |b⟩)とすると、(17.9)より波動関数は恒等的に 0になるの

で、そのような状態は存在しない。このことをパウリ (Pauli)の排他原理という。

元素の周期律では、パウリの排他原理が決定的な役割を果たしている。原子番号 Z の原子には Z 個の電

子が束縛されている。パウリの排他原理により、原子の基底状態はエネルギーの低い状態から順に Z 個の

電子を詰めた状態である。軌道角運動量が l の状態数は (2l + 1)個であり、さらにスピン状態 ±を考慮すると、各エネルギーには 2(2l+ 1)個の電子を詰めることができる。例えば水素の 1s軌道では l = 0 である

から、電子を 2つまで詰めることができる。

ボソンの場合、 N 粒子系の基底状態は, エネルギーが最低の 1粒子状態に N 個の粒子すべてが占める状

態である。これをボーズ・アインシュタイン凝縮という。これは粒子間の相互作用が無視できる理想系での

現象であるが、理想系に近い巨視的な系において、ボーズ・アインシュタイン凝縮が実際に観測されている。

17.2 同種粒子系のハミルトニアンの対称性 383

原子や原子核のように複数の粒子からなる系が基底状態にあるとき、この系を励起するのに必要なエネル

ギーに比べて十分に小さいエネルギー領域では、基底状態の複合粒子系をあたかも 1 つの基本粒子として

扱ってもよい。このとき、複合粒子の全スピンに応じてボソンであるかフェルミオンであるかが決まる。例

えばスピン 1/2の陽子と電子からなる水素原子の全スピンは 1であるから、水素原子はボソンである。た

だし、原子物理学で「水素原子」と言えば水素原子における電子の運動に注目しており、電子はもちろんス

ピン 1/2のフェルミオンである。一方、原子核物理学で「水素原子」と言えば水素原子核を指し、そのスピ

ンは核スピンを意味することが多い。

出席課題 S.17.2 : ヘリウム原子核、ヘリウム原子、光子はそれぞれボソンかフェルミオンか。

任意課題ボーズ・アインシュタイン凝縮と液体ヘリウムの超流動について調べよ。

17.2 同種粒子系のハミルトニアンの対称性

2 粒子系に限らず、同種粒子の多体系では、ハミルトニアン H は粒子座標の入れ替えに対して対称

である。2 粒子系の場合、H(x1,x2) = H(x2,x1) である。より一般に、N 粒子系のハミルトニアン

H(x1,x2, · · · ,xN )と、同種 N 粒子状態 |ψ(x1,x2, · · · ,xN )⟩を考え、i番目の粒子と j 番目の粒子を交換

する座標交換演算子 Pij の作用を

Pijψ(x1, · · · ,xi, · · · ,xj · · · ,xN ) = ψ(x1, · · · ,xj , · · · ,xi · · · ,xN ) (17.10)

で定義する。座標交換を 2回行うと元に戻るから、

P 2ij = 1 =⇒ P−1

ij = Pij (17.11)

である。すなわち、Pij の固有値は ±1である。また、任意の N 粒子系の演算子 A(i, j) ≡ A(x1, · · · ,xi, · · · ,xj · · · ,xN ) と任意の同種 N 粒子状態

|ψ(i, j)⟩ ≡ |ψ(x1, · · · ,xi, · · · ,xj · · · ,xN )⟩に対して、

PijA(i, j)|ψ(i, j)⟩ = PijA(i, j)P−1ij Pij |ψ(i, j)⟩ = PijA(i, j)P

−1ij |ψ(j, i)⟩ (17.12)

である。一方、|φ(i, j)⟩ ≡ A(i, j)|ψ(i, j)⟩ とおくと、

PijA(i, j)|ψ(i, j)⟩ = Pij |φ(i, j)⟩ = |φ(j, i)⟩ = A(j, i)|ψ(j, i)⟩ (17.13)

である。両者を比べると、PijA(i, j)P

−1ij = A(j, i) (17.14)

である。

Aとしてハミルトニアン H を選ぶと、座標交換演算子の作用でハミルトニアンが不変である H(i, j) =

H(j, i)条件は、

PijH(i, j)P−1ij = H(i, j) ⇔ PijH(i, j) = H(i, j)Pij ⇔ [Pij , H] = 0 (17.15)

となる。これより、Pij と H は同時固有関数を持つ。Pij の固有値は ±1であるから、

Pij |ψ(i, j)⟩ = ±|ψ(i, j)⟩ (17.16)

である。固有値 +1はボソンが示す対称な状態、−1はフェルミオンが示す反対称な状態である。


対称化の要請は系の時間発展と矛盾しない。すなわち、ある時刻で系の状態が対称ならば、任意の時刻で

も状態は対称であり、ある時刻で反対称であったならば、任意の時刻で反対称である。2粒子系のハミルト

ニアンと系の時刻 tでの状態を、H(1, 2)と ψ(1, 2; t)のように仮想的な粒子のラベルで記述しよう。系の

時間発展は、

iℏ∂

∂tψ(1, 2; t) = H(1, 2)ψ(1, 2; t) (17.17)

である。ここで粒子 1と 2を交換すれば、

iℏ∂

∂tψ(2, 1; t) = H(2, 1)ψ(2, 1; t) (17.18)

であるが、ハミルトニアンの対称性 H(1, 2) = H(2, 1)より、ψ(1, 2; t)と ψ(2, 1; t)は同じ微分方程式を満

たす。t = 0で ψ が対称であるとする。

ψ(2, 1; 0) = ψ(1, 2; 0) (17.19)

このとき、ψ(2, 1; t) と ψ(1, 2; t) は同じ 1 階の微分方程式を満たし、初期条件も一致するから、任意の時

刻でψ(2, 1; t) = ψ(1, 2; t) (17.20)

である。同様に、初期に ψ が反対称の場合にも、任意の時刻で状態は反対称であることが示せる。

演習問題 E.17.1 : Helium原子の相対運動部分のの Hamiltonianを作り、これが二つの電子の入れ

替えに関して、対称であることを示せ。スピンの寄与は考えないで良い。

17.3 状態の対称化

17.3.1 フェルミオンの 2粒子状態

2電子系を考えよう。2電子系の軌道部分のハミルトニアン

H = H1 + H2 + H12 ≡[− ℏ2

2me∇2

1 −2e2

4πε0r1

]+

[− ℏ2

2me∇2

2 −2e2

4πε0r2

]+

e2

4πε0r12(17.21)

は確かに位置座標の交換に対して不変である。これまでは、粒子の位置座標のみを考えてきたが、粒子のス

ピン自由度を考量する場合には、交換演算子 Pij の作用によって、位置座標だけではなく、スピンの向きも

交換する必要がある。スピン交換演算子は

P spin12 =

1

2

(1 + σ1 · σ2

)(17.22)

と表すことができる (演習問題)。

電子は位置の座標とスピンをもつが、位置座標の波動関数については、すでに対称な波動関数 (17.8)と

反対称な波動関数 (17.9)を与えた。次に、2電子系のスピン波動関数の対称性を考える。1番目の電子スピ

ン状態 |χ1⟩、2番目の電子がスピン状態 |χ2⟩にある 2電子系の状態を |χ1; χ2⟩と表すと、2電子系のスピ

ンとしては、|+; +⟩, |+; −⟩, |−; +⟩, |−; −⟩ (17.23)

の 4通りが考えられる。ここで、1番目と 4番目の状態は粒子の交換に対して対称な状態であり、これらか

ら粒子の交換に対して反対称な状態を作り出すことはできない。2番目と 3番目の状態からは、対称な状態

1√2

(|+; −⟩+ |−; +⟩

)(17.24)

17.3 状態の対称化 385

と、反対称な状態1√2

(|+; −⟩ − |−; +⟩

)(17.25)

を作ることができる。対称な状態 3つはスピン 3重項、反対称な状態 1つはスピン 1重項である。電子の

状態は空間部分とスピン部分の積からなるから、その対称性としては、

空間状態関数スピン状態関数全波動関数

対称対称対称

対称反対称反対称

反対称対称反対称

反対称反対称対称

の 4つが考えられるが、電子がフェルミオンであり、2電子系の波動関数は粒子の交換に対して反対称で

なければならないから、2番目と 3番目の場合だけが 2電子系の波動関数を表している。

17.3.2 一般の同種フェルミオン多体系

1粒子状態

スピン 1/2粒子を考える。1粒子状態 |a⟩は規格直交化されているとする。波動関数 ua(x) = ⟨x|a⟩は、2成分スピノルの行列表示を用いて

ua(x) =

(ua,+(x)ua,−(x)

), u†a(x) =

(u∗a,+(x), u

∗a,−(x)

)(17.26)

と表すことができる。規格直交性は、

⟨a|b⟩ =∑σ

∫d3xu∗a,σ(x)ub,σ(x) =

∫d3xu†a(x)ub(x) = δab (17.27)

である。

任意の 1粒子状態 |ψ⟩ =∑

a⟨a|ψ⟩|a⟩ =∑

a ca|a⟩ の波動関数は、

ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ =∑a

ca⟨x|a⟩ =∑a

caua(x) (17.28)

であり、係数 ca を波動関数を用いて表すと、

ca = ⟨a|ψ⟩ = ⟨a|[∫

d3x |x⟩⟨x|]|ψ⟩ =

∫d3xu†a(x)ψ(x) (17.29)

である。

ψ(x)をスピノルで

ψ(x) =

(ψa,+(x)ψa,−(x)

)=

( ∑a caua,+(x)∑a caua,−(x)

)(17.30)

と表すことも可能である。(17.29)式を代入すれば、

ψσ(x) =∑a

ua,σ(x)∑σ′

∫d3x′ u∗a,σ′(x′)ψσ′(x′)

=∑σ′

∫d3x′

[∑a

ua,σ(x)u∗a,σ′(x′)

]ψσ′(x′) (17.31)


となる。したがって、 ∑a

ua,σ(x)u∗a,σ′(x′) = δ(x− x′)δσσ′ (17.32)

であり、これより、2× 2行列の関係式∑a

ua(x)u∗a(x

′) = δ(x− x′) (17.33)

が得られる。これがスピンを持つ 1粒子状態の完全性条件である。

同種 N 粒子系

同種 N 粒子系を考え、i番目の粒子が 1粒子状態 |ψ⟩にあることを |ψ⟩i と表すことにする。N 粒子状態

|a1, a2, · · · , aN ⟩ = |a1⟩1|a2⟩2 · · · |aN ⟩N (17.34)

に対して、1→ p1, 2→ p2, · · · , N → pN なる粒子の置換

P =

(1 2 · · · Np1 p2 · · · pN

)(17.35)

に対応した置換演算子 P の作用を

P |a1, a2, · · · , aN ⟩ = |ap1⟩1|ap2⟩2 · · · |apN⟩N (17.36)

によって定義する。

ここで、|ψ⟩ ≡ P |a1, a2, · · · , aN ⟩, |ψ′⟩ ≡ P |a′1, a′2, · · · , a′N ⟩ (17.37)

に対して、⟨ψ′|ψ⟩ =1 ⟨a′p1

|ap1⟩1 2⟨a′p2|ap2⟩2 · · · N ⟨a′pN

|apN⟩N (17.38)

を考える。ここで、

i⟨a′pi|api⟩i =

∫d3xiu

†a′(xi)ua(xi) =

∫d3xu†a′(x)ua(x)⟨a′pi

|api⟩ (17.39)

であるから、添字 iを落とすことができる。p1, p2, · · · pN は 1から N までの互いに異なる整数のいずれか

であるから、並び替えることで必ず

⟨ψ′|ψ⟩ = ⟨a′1|a1⟩ ⟨a′2|a2⟩ · · · ⟨a′N |aN ⟩ = ⟨a′1, a′2, · · · , a′N |a1, a2, · · · , aN ⟩ (17.40)

とすることができる。これと

⟨ψ′|ψ⟩ = ⟨a′1, a′2, · · · , a′N |P †P |a1, a2, · · · , aN ⟩ (17.41)

を比べれば、P †P = 1 (17.42)

すなわち置換演算子 P はユニタリ演算子であり、P † = P−1 は P の逆置換

P−1 =

(p1 p2 · · · pN1 2 · · · N

)(17.43)

に対応する置換演算子である。


対称化仮説の要請を満たす同種 N 粒子系の状態を求めるために、対称化演算子 S(スピン演算子と混同し

ないように注意)

S ≡ 1

N !

∑P

P (17.44)

および反対称化演算子 A

A ≡ 1

N !

∑P

(−1)P P (17.45)

を定義する。ここで和は N !個のすべての可能な置換についてとり、(−1)P は置換 P が偶置換なら +1、奇

置換なら −1をとるものとする。対称化演算子 S と、ある置換演算子 P1 に対して、

P1S =1

N !

∑P

P1P (17.46)

を考える。2つの置換 P1P の結果も置換であるから、P ′ = P1P となる置換 P ′ が存在する。∑

P P はすべ

ての可能な置換についての和であったから、∑

P ′ P ′ に替えることができる。すなわち、

P1S =1

N !

∑P

P1P =1

N !

∑P ′

P ′ = S (17.47)

である。P1 を右から作用させ他場合にも同様に、

SP1 = S (17.48)

が成り立つ。

反対称化演算子 Aについても同様に、

P1A =1

N !

∑P

(−1)P P1P =(−1)−P1

N !

∑P

(−1)P+P1 P1P =(−1)−P1

N !

∑P ′

(−1)P′P ′ = (−1)−P1A (17.49)

およびAP1 = (−1)−P1A (17.50)

が成り立つ。

(17.47)式について、両辺 P1 についての和をとると、右辺は S について N !個足されるだけであるから、

1

N !

∑P1

S = S (17.51)

となる。一方、左辺は、1

N !

∑P1

P1S = S1

N !

∑P1

P1 = S2 (17.52)

である。これよりS2 = S (17.53)


P † = P−1 は P の逆置換であり、偶奇性は P と同じである。すべての P についての和をとることは、す

べての P−1 についての和と等価であるから、

S† =1

N !

∑P−1

P−1 =1

N !

∑P

P = S (17.54)


であり、S はエルミート演算子である。同様に、

A2 = A, A† = A (17.55)

であることを示すことができる。

対称化演算子 S および反対称化演算子 Aを用いれば、任意の N 粒子状態 |ψ⟩から

|ψS⟩ ≡ S|ψ⟩, |ψA⟩ ≡ A|ψ⟩ (17.56)

によって、完全対称な N 粒子状態 |ψS⟩および完全反対称な状態 |ψA⟩を作ることができる。

17.3.3 スレーター (Slater)行列式

N 粒子状態 |ψ⟩が直積で与えられるとき、完全反対称化された状態

|ψA⟩ = CN A|a1, a2, · · · aN ⟩ =CN

N !

∑P

(−1)P |ap1⟩1|ap2⟩2 · · · |apN ⟩N (17.57)

の規格化定数 CN を求めよう。A† = A, A2 = Aであることに注意すると、

⟨ψA|ψA⟩ = |CN |2⟨ψ|A†A|ψ⟩ = |CN |2⟨ψ|A|ψ⟩

=|CN |2

N !

∑P

(−1)P ⟨a1, a2, · · · , aN |ap1 , ap2 , · · · , apN⟩

=|CN |2

N !

∑P

(−1)P ⟨a1|ap1⟩⟨a2|ap2⟩ · · · ⟨aN |apN ⟩ (17.58)

となる。ここで、規格直交性 ⟨ai|aj⟩ = δij を用いると、

⟨ψA|ψA⟩　 =|CN |2

N !(17.59)

となるので、規格化定数は CN =√N !である。すなわち、規格化された完全反対称状態は、

|ψA⟩ =1√N !

∑P

(−1)P |ap1⟩1|ap2⟩2 · · · |apN ⟩N (17.60)

である。

これと N ×N 行列Mij の行列式 detM の定義

detM =∑P

(−1)PMp11Mp22 · · · MpNN (17.61)

を比べると、規格化された完全反対称状態は、行列式を用いて

|ψA⟩ =1√N !

det(|ai⟩j) =1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣|a1⟩1 |a1⟩2 · · · |a1⟩N|a2⟩1 |a2⟩2 · · · |a2⟩N...

.... . .

...|aN ⟩1 |aN ⟩2 · · · |aN ⟩N

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (17.62)

のように与えられることが分かる。これをスレーター (Slater)行列式という。

出席課題 S.17.3 : N = 2, 3の場合にスレーター行列式を用いて完全反対称化された状態を求めよ

出席課題 S.17.4 : A2 = A, A† = Aを示せ。


演習問題 E.17.2 : スピン交換演算子が

P spin12 =

1

2

(1 + σ1 · σ2

)(17.63)

と表すことができることを示せ。略解スピン s = 1/2の 2粒子系の状態 |+;−⟩ = |+⟩1|−⟩2 を考える。k = 1, 2に対し、

σx,k|±⟩k = |∓⟩k, σy,k|±⟩k = ±i|∓⟩k, σz,k|±⟩k = ±|±⟩k (17.64)

であることに注意して、

P spin12 |+;−⟩ = 1

2

(1 + σx,1σx,2 + σy,1σy,2 + σz,1σz,2

)|+⟩1|−⟩2

=1

2

(|+⟩1|−⟩2 + |−⟩1|+⟩2 + |−⟩1|+⟩2 − |+⟩1|−⟩2

)= |−⟩1|+⟩2 (17.65)

となって、スピンの状態が交換する。|−; +⟩ = |−⟩1|+⟩2 の場合も同様示せるが。これは各自の演習問題と

する。

391

第 18章

1次元ポテンシャル問題

18.1 矩形ポテンシャル問題の解き方

1次元の矩形ポテンシャル V (x)の中の 1粒子 (質量 m)の定常状態を座標表示の波動関数で考える。こ

こで、矩形ポテンシャルとは「区分的に」V (x) が一定値をとるようなポテンシャルのことである。区間

x0 ≤ x ≤ x1 においてポテンシャルが一定値 V0 をとるとすると、Schrodinger 方程式は、

− ℏ2

2m

d2ψ

dx2+ V0ψ = Eψ, (x0 ≤ x ≤ x1) (18.1)

である。この問題を解く手順は以下のとおりである。

手順 1：区間ごとに Schrodinger方程式を解く

1. E > V0 の場合：(18.1)式の解 ψ0 は、波数 k0 を

k0 =

√2m(E − V0)

ℏ(18.2)


ψ0(x) = A+ exp(ik0x) +A− exp(−ik0x), (x0 ≤ x ≤ x1) (18.3)

である。ここで A+, A− は積分定数で、他の区間との接続条件および境界条件から後で決められ

る。エネルギー固有状態 (E = ℏω)における時間依存性を考えると、振幅が A+ の項は xの正方

向に進む波動関数であり、振幅が A− の項は xの負方向に進む波動関数である。

2. E < V0 の場合：古典力学ではこのような運動は存在しないが、量子力学では、

κ0 =

√2m(V0 − E)

ℏ(18.4)


ψ0(x) = B+ exp(κ0x) +B− exp(−κ0x), (x0 ≤ x ≤ x1) (18.5)

なる解が存在しうる。

手順 2：各区間の波動関数を接続する

量子力学の要請から、波動関数 ψ(x)はどこでも有限である。ポテンシャル V (x)も区間と区間の

間で飛びはあるが各区間で有限であるので、V (x)ψ(x)は有限である。Schrodinger 方程式 (18.1)よ

り、エネルギー固有値 E が有限であるためには、d2ψ/dx2 も区間と区間の間を含む全領域で有限で

なければならない。この 2階導関数の有限性から、

392 第 18章 1次元ポテンシャル問題

• 波動関数の 1階導関数は区間と区間の間で連続である

という条件を導くことができる。さらに、1階導関数の連続性より、

• 波動関数そのものも区間と区間の間で連続である

ことになる。つまり、区間と区間の間での ψ(x)と dψ/dxの連続性が接続条件になる。ただし、ポテ

ンシャルが発散している場合には、ψ(x)は連続であるが、dψ/dxは不連続となる。

区間の個数が N 個の場合、各区間で 2階微分方程式である Schrodinger方程式を解かなければな

らないので、積分定数の数は 2N 個である。これに加えてエネルギー固有値 E を求める必要がある。

したがって、未知量の数は合計 (2N +1)個である。一方、ポテンシャルの不連続点の個数は (N − 1)

個であり、各不連続点で ψ と dψ/dx の 2つの連続性条件があるので、接続条件の数は 2(N − 1)個

である。これでは条件が 3つ足りないが、残りの 3つの条件として、x→ ±∞ での境界条件と、波動関数の規格化条件が存在するので問題を解くことができる。

粒子があるポテンシャルにとらわれている場合など、x → ±∞で ψ(x) → 0になる場合を束縛状

態といい、そうでない場合を非束縛状態 (連続状態、散乱状態)と呼ぶ。束縛状態についての問題で

は、接続条件、無限遠での境界条件、および規格化条件からエネルギー固有値を求めてる Schrodinger

方程式を完全に解くことになるが、非束縛状態に関する問題では、あるエネルギー E をもった粒子

がポテンシャルにどのように散乱されるかについてのみ着目する場合も多い。

出席課題 S.18.1 : 1次元の Schrodinger 方程式

− ℏ2

2m

d2ψ

dx2+ V0ψ = Eψ, (x0 ≤ x ≤ x1)

の一般解を E > V0 と E < V0 の場合にそれぞれ求めよ。

出席課題 S.18.2 : exp(ik0x)が xの正方向に進む波に対応し、exp(−ik0x)が xの負方向に進む波

に対応することを説明せよ。ヒント：エネルギー固有状態 (E = ℏω)における時間依存性まで考えると、例えば前者は exp(ik0x) exp(−iωt) = exp[−i(ωt− k0x)]となる。ここで波の山、例えば ωt− k0x = π の位置が時間とともにどのように変わるか考察してみよ。

演習問題 E.18.1 : ポテンシャルが x = 0で不連続になっているとして、

V (x) =

0 x < 0V0 x ≥ 0

であるとする。1次元 Schrodinger方程式を微小区間 −ϵ < x < ϵで積分して、ϵ→ 0の極限を

とることで、x = 0において波動関数の 1階導関数が連続であることを示せ。

演習問題 E.18.2 : x = 0で発散するポテンシャルの例として、

V (x) = V0δ(x) (18.6)

を考える。1次元 Schrodinger方程式を微小区間 −ϵ < x < ϵで積分して、ϵ→ 0の極限をとる

ことで、dψ

dx

∣∣∣∣x=0+

− dψ

dx

∣∣∣∣x=0−

=2mV0ℏ2

ψ(0) (18.7)

であることを示せ。ここで dψ/dx|x=0+ は x = 0における右 1階導関数、dψ/dx|x=0− は x = 0

における左 1階導関数である。すなわち、波動関数の 1階導関数は x = 0で不連続である。ま

た、1階導関数の「跳び」は有限なので、波動関数そのものは連続であることを示せ。

18.2 階段状ポテンシャル問題 393

18.2 階段状ポテンシャル問題

次の階段状ポテンシャルを考える。

V (x) =

0 x < 0V0 x ≥ 0

(18.8)

このポテンシャル場に x = −∞からエネルギー E(既知とする)の粒子が入射してきて定常状態になってい

る場合について考える。

18.2.1 0 ≤ E < V0 の場合：完全反射

x < 0の領域での波動関数を ψ1、x ≥ 0での波動関数を ψ2 とすると、

ψ1(x) = A+1 exp(ik1x) +A−

1 exp(−ik1x), (18.9)

ψ2(x) = B+2 exp(κ2x) +B−

2 exp(−κ2x) (18.10)

で与えられる。ここで、

k1 =

√2mE

ℏ, κ2 =

√2m(V0 − E)

ℏ(18.11)

である。ここで A+1 exp(ik1x)が x = −∞から入射される波、A−

1 exp(−ik1x)が x = −∞へ反射される波、ψ2 はポテンシャル障壁へと浸み出す透過波である。

まず、x → ∞で波動関数が発散しないという境界条件から B+2 = 0であることに注意しよう。さらに、

不連続境界点 x = 0での接続条件から、

A+1 +A−

1 = B−2 , (18.12)

ik1A+1 − ik1A

−1 = −κ2B−

2 (18.13)

となる。

ここで、実数ポテンシャルの場合の確率密度の保存の式

∂ρ(x, t)

∂t+∇ · j(x, t) = 0, (18.14)

(ここで、確率密度 ρと確率密度の流れ j は、

ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 (18.15)

j(x, t) =ℏ

2im[ψ∗∇ψ − (∇ψ∗)ψ ] (18.16)

である)、において、定常状態では ∂ρ/∂t = 0であるから、∇ · j = 0となり湧き出しがないので、確率密度

の流れ j が保存する。1次元問題の場合、∂j/∂x = 0である。

入射波のうちどれくらいの割合が反射されるかを求めよう。入射波、反射波、透過波の確率度密度の流れ

は、それぞれ、

j+1 =ℏk1m|A+

1 |2, j−1 = −ℏk1m|A−

1 |2, j2 = 0 (18.17)

となる。入射波に対する確率密度の流れの比によって、透過率を T = |j2|/|j+1 |、反射率を R = |j−1 |/|j+1 |

によって定義すると、

T = 0, R =|A−

1 |2

|A+1 |2

=

∣∣∣∣k1 − iκ2k1 + iκ2

∣∣∣∣2 = 1 (18.18)


となる。すなわち、古典力学の場合と同じく、量子力学においても粒子は完全反射される。

しかしながら、量子力学の場合、B−2 = 0 であるので、ポテンシャルの壁の中にも粒子の存在確率がある。

つまり、粒子は壁の中に浸み込んでいる。粒子の波動関数は壁の中に浸み込みつつも反射されていき、最終

的にはすべて反射されてしまうのである。浸み込みの特徴的長さ D を、波動関数の振幅が 1/eになるくら

いまでの長さとすると、

D ∼ 1

κ2=

ℏ√2m(V0 − E)

(18.19)

である。ポテンシャル障壁の厚みが D 程度かそれよりも短い場合には何が起こるのであろうか？これが

18.3節で取り扱うトンネル効果である。

18.2.2 E ≥ V0 の場合：量子反射

x < 0の領域での波動関数を ψ1、x ≥ 0での波動関数を ψ2 とすると、


1 exp(−ik1x), (18.20)


2 exp(−ik2x) (18.21)

であり、波数は

k1 =

√2mE

ℏ, k2 =

√2m(E − V0)

ℏ(18.22)

である。

境界条件として、x =∞からの波の入射はないとしよう。この場合、A−2 = 0である。接続条件から、

A−1

A+1

=

(√E

V0−√E

V0− 1

)2

(18.23)

A+2

A+1

= 2

(E

V0−√E

V0

√E

V0− 1

)(18.24)

と求まる。また、入射波、反射波、透過波の確率度密度の流れは、それぞれ、

j+1 =ℏk1m|A+

1 |2, j−1 = −ℏk1m|A−

1 |2, j+2 =ℏk2m|A+

2 |2 (18.25)

である。これらより、反射率と透過率は、

R =

(√E

V0−√E

V0− 1

)4

(18.26)

T = 4

√E

V0

√E

V0− 1

(√E

V0−√E

V0− 1

)2

(18.27)

となる。

この結果から分かるように、粒子がポテンシャルより高いエネルギーを持っている場合でも、波動関数は

部分的に反射される。これを量子反射と呼ぶ。なお、確率の保存より T +R = 1は成り立っている。

出席課題 S.18.3 : (18.17), (18.18)式を示せ。

出席課題 S.18.4 : (18.23), (18.26)式を示せ。

18.3 ポテンシャル障壁 395

演習問題 E.18.3 : 時間に依存する 3次元 Schrodinger 方程式

iℏ∂ψ(x, t)

∂t=

[− ℏ2

2m∇2 + V (x)

]ψ(x, t) (18.28)

において、V (x) = U(x)+iW (x)とおく。Schrodinger方程式にψ∗を掛けたものと、Schrodinger

方程式の複素共役に ψ を掛けたものの差を取ることで、確率密度 ρ(x, t) ≡ |ψ(x, t)|2 に関する方程式

∂ρ(x, t)

∂t+∇ · j(x, t) = 2

ℏW (x, t)ρ(x, t) (18.29)

を示せ。ここで j(x, t) = ℏ2im [ψ∗∇ψ − (∇ψ∗)ψ ]の意味は何か。これより、実ポテンシャルの

場合には確率密度が保存することを議論せよ。

18.3 ポテンシャル障壁

階段状ポテンシャルの場合にみられたように、量子力学では、波動関数は古典力学では禁止されているポ

テンシャルの中にまで浸み込んでいる。浸み込みは D ∼ 1/κ2 = ℏ/√2m(V0 − E) の長さで指数関数的に

減衰するが、ポテンシャル障壁が十分に薄い場合には、浸み込んだ波動関数はポテンシャルを通過してしま

う。これがトンネル効果である。電子の場合にはD ∼ 0.2/√

(V0 − E)[eV][nm]程度であり、この程度の薄

いポテンシャル障壁は現在の技術で作ることができる。本節ではこのトンネル効果について調べる。

ポテンシャル障壁

V (x) =

0 x < 0V0 0 ≤ x ≤ L0 x > L

(18.30)

に x = −∞からエネルギー E の粒子が入射して定常状態になっている場合を考える。

18.3.1 0 ≤ E < V0 の場合：トンネル効果

x < 0(領域 1)、0 ≤ x ≤ L(領域 2)、x > L(領域 3)における波動関数は、それぞれ、


1 exp(−ik1x), (18.31)

ψ2(x) = B+2 exp(κ2x) +B−

2 exp(−κ2x), (18.32)


3 exp(−ik3x) (18.33)

となり、ここで、

k1 = k3 =

√2mE

ℏ, κ2 =

√2m(V0 − E)

ℏ(18.34)

である。

領域 3において、x = ∞からの入射波がないという境界条件から A−3 = 0である。各ポテンシャル不連


続点での接続条件から、

A−1

A+1

=(k21 + κ22) sinh(κ2L)

(k21 − κ22) sinh(κ2L) + 2ik1κ2 cosh(κ2L)(18.35)

B+2

A+1

=ik1(κ2 + ik1) exp(−κ2L)


B−2

A+1

=ik1(κ2 − ik1) exp(κ2L)


A+3

A+1

=2ik1κ2 exp(−ik1L)


が得られる。

これより、ポテンシャル障壁の反射率 R = |j−1 |/|j+1 | 透過率 T = |j+3 |/|j

+1 |は、それぞれ

R =

sinh2[√

2m(V0−E)

ℏ L

]4 EV0

(1− E

V0

)+ sinh2

[√2m(V0−E)

ℏ L

] (18.39)

T =4 EV0

(1− E

V0

)4 EV0

(1− E

V0

)+ sinh2

[√2m(V0−E)

ℏ L

] (18.40)

で与えられる。一般に T > 0 であり、粒子がポテンシャル障壁を通り抜ける確率が存在する。例えば、

L = 0.1 nm、V0 = 1 eV のポテンシャル障壁に E = 0.5 eV の電子が入射した場合、透過率は T ≈ 0.9 で

あり、約 90%もの確率で電子はポテンシャル障壁を通り抜ける。

エネルギーが低い極限 E ≪ V0 では

T ∼ 4E/V0

sinh2(L√2mV0/ℏ)

(18.41)

となり、E/V0 に比例して透過率は大きくなる。一方 E ≈ V0 の極限では、

T ∼ 1

1 + (πL/λ0)2(18.42)

となる。ここで λ0 ≡ 2πℏ/√2mV0 ≈ 2πℏ/

√2mE は E ≈ V0 の場合には入射粒子のド・ブロイ波長であ

る。したがって、E ≈ V0 の場合にも、ポテンシャル障壁の厚みが入射粒子のド・ブロイ波長よりも大きい

場合には粒子はポテンシャル障壁を透過できない。

出席課題 S.18.5 : トンネル効果における透過率と反射率 (18.39)式を示せ。

18.3.2 E ≥ V0 の場合：量子反射

各区間における波動関数は、それぞれ、


1 exp(−ik1x), (18.43)


2 exp(−ik2x), (18.44)


3 exp(−ik3x) (18.45)

k1 = k3 =

√2mE

ℏ, k2 =

√2m(E − V0)

ℏ(18.46)

18.4 井戸型ポテンシャル 397

である。境界条件と接続条件から積分定数を求め、反射率 Rと透過率 T を計算すると、

R =

(V0

E

)2sin2

[√2m(E−V0)

ℏ L

]4(1− V0

E

)+(V0

E

)2sin2

[√2m(E−V0)

ℏ L

] (18.47)

T =4(1− V0

E

)4(1− V0

E

)+(V0

E

)2sin2

[√2m(E−V0)

ℏ L

] (18.48)

となる。一般に R > 0であるので、量子反射が起こる。

さらに興味深いことに、

sin

[√2m(E − V0)

ℏL

]= sin(k2L) = 0 (18.49)

を満たす場合には粒子は完全に透過する (T = 1)。これは、L = nπ/k2 = nλ2/2、つまりポテンシャル障壁の

厚みが領域 2における粒子のド・ブロイ波長の半分の整数倍であることから、粒子の波動関数がポテンシャル

障壁の間で定在波となっている場合に相当する。一方、反射率が最大となるのは L = nπ/k2 = (2n−1)λ2/4の場合である (演習問題 4.3.2：これはポテンシャル障壁中で波動関数がどのようになっている場合に相当す

るか)。これらの例は粒子が波動性も兼ね備えていることを示す具体的な現象の例の 1つである。

演習問題 E.18.4 : 量子反射における透過率と反射率 (18.47)式を示せ。透過率が T = 1となる条件

を求め、その物理的意味を考察せよ。

18.4 井戸型ポテンシャル

井戸型ポテンシャル

V (x) =

0 x < −L/2−V0 −L/2 ≤ x ≤ L/20 x > L/2

(18.50)

の中にエネルギー −V0 ≤ E < 0の粒子がとらえられている定常束縛状態を考える。

x < −L/2(領域 1)、−L/2 ≤ x ≤ L/2(領域 2)、x > L/2(領域 3)における波動関数は、

k = k2 =

√2m(E + V0)

ℏ, κ = κ1 = κ3 =

√2m(|E|)ℏ

(18.51)

とすると、

ψ1(x) = B+1 exp(κx) +B−

1 exp(−κx), (18.52)

ψ2(x) = A+2 exp(ikx) +A−

2 exp(−ikx), (18.53)

ψ3(x) = B+3 exp(κx) +B−

3 exp(−κx) (18.54)

である。

束縛状態であるという境界条件から、B−1 = B+

3 = 0 である。ポテンシャルの不連続点での連続性条件

から、

(κ− ik)A+2 = −(κ+ ik)A−

2 exp(ikL), (18.55)

(κ+ ik)A+2 = −(κ− ik)A−

2 exp(−ikL) (18.56)


であるが、辺辺割ることで関係式κ− ikκ+ ik

= ± exp(ikL) (18.57)

が得られる。これを書き換えると2kκ

k2 + κ2= ∓ sin(kL) (18.58)

となるが、k ≥ 0, κ > 0に注意すると、sin(kL) ≥ 0でなければならない。また、k と κの間には

√k2 + κ2 =

√2mV0ℏ

≡ K0 (18.59)

の関係がある。

18.4.1 寄パリティの場合: (κ− ik)/(κ+ ik) = + exp(ikL)

(18.57)式からκ

k= − cot

(kL

2

)(18.60)

を得るが、κ/k > 0であるから、

(2n− 1)π < kL ≤ 2nπ, (n = 1, 2, · · · ) (18.61)

でなければならない。(18.59),(18.60)式から k についての方程式∣∣∣∣sin(kL2)∣∣∣∣ = k

K0(18.62)

が得られる。領域 (18.61)の範囲にある (18.62)式の解が許される k、すなわちエネルギー E の値である。

(18.62)式をグラフにあらわすと分かるように、K0L > π のときに、最低 1つは解が存在する。この解を

k = kodd1 として、以降小さい順に kodd1 , kodd2 , kodd3 , · · · , koddNodd とすると、エネルギー固有値は

En =ℏ2

2m(koddn )2 − V0 (18.63)

であらわされる離散値になる。また、A+2 = −A−

2 であることから、ψ2(−x) = −ψ2(x)が成り立つので、波

動関数は奇関数となる。

全領域での波動関数の具体形は、

ψ1(x) = −Coddn sin

[koddn L

2

]exp

[+κoddn

(x+

L

2

)], (18.64)

ψ2(x) = Coddn sin(koddn x), (18.65)

ψ3(x) = +Coddn sin

[koddn L

2

]exp

[−κoddn

(x− L

2

)](18.66)

となる。ここで規格化定数は

Coddn =

1√L

2− sin(koddn L)

2koddn

+sin2(koddn L/2)

κoddn

(18.67)

である。

18.4 井戸型ポテンシャル 399

18.4.2 偶パリティの場合: (κ− ik)/(κ+ ik) = − exp(ikL)

(18.57)式からκ

k= tan

(kL

2

)> 0 (18.68)

であるから、kLの範囲は

(2n− 2)π < kL ≤ (2n− 1)π, (n = 1, 2, · · · ) (18.69)

でなければならない。(18.59),(18.68)式から∣∣∣∣cos(kL2)∣∣∣∣ = k

K0(18.70)

となる。(18.70) 式をグラフにあらわすと分かるように、最低 1 つは解が存在し、解を小さい順に keven1 ,

keven2 , keven3 , · · · , kevenNeven とすると、エネルギー固有値は

En =ℏ2

2m(kevenn )2 − V0 (18.71)

である。また、A+2 = A−

2 であることから、ψ2(−x) = ψ2(x)が成り立つので、波動関数は偶関数となる。

全領域での波動関数の具体形は、

ψ1(x) = Cevenn cos

[kevenn L

2

]exp

[+κevenn

(x+

L

2

)], (18.72)

ψ2(x) = Cevenn cos(kevenn x), (18.73)

ψ3(x) = Cevenn cos

[kevenn L

2

]exp

[−κevenn

(x− L

2

)](18.74)

となる。ここで規格化定数は

Cevenn =

1√L

2+

cos(kevenn L)

2kevenn

+cos2(kevenn L/2)

κevenn

(18.75)

である。

加点問題 P.18.1 : 井戸型ポテンシャル問題について、寄パリティと偶パリティの場合それぞれにつ

いて、エネルギー固有値と全領域での波動関数を求めよ。波動関数の規格化は行わなくてよい。

401

第 19章

WKB(Wentzel-Kramers-Brillouin)法

WKB法は Schrodinger方程式が空間 1次元の問題に帰着でき、かつポテンシャルの変化が緩やかである

場合に適用できる近似法であり、準古典近似法とも呼ばれる。WKB法を用いると、厳密解が求められない

ポテンシャルの形状の場合にも近似的に解を求めることができる。

空間 1次元の Schrodinger 方程式

d2ψ(x)

dx2+

2m

ℏ2[E − V (x)]ψ(x) = 0 (19.1)

において、波動関数を

ψ(x) = exp

(iS(x)

ℏ

)(19.2)

とおいて代入すると、S(x)が満たすべき方程式は(dS(x)

dx

)2

− iℏd2S

dx2− 2m[E − V (x)] = 0 (19.3)

である。ここで S について ℏ/iを微小パラメータとして

S = S0 +ℏiS1 +

(ℏi

)2

S2 + · · · (19.4)

と展開し、ℏ/iの各次数ごとに方程式が満たされるとして S(x)の近似解を求めることができる。特に ℏ/iの一次までの近似解を求めることを準古典近似という。

各次数で満たされるべき方程式は、[dS0(x)

dx

]2= 2m[E − V (x)], (19.5)

2dS1(x)

dx= −

d2S0(x)

dx2

dS0(x)

dx

(19.6)

2dS2(x)

dx= −

[dS1(x)

dx

]2+d2S1(x)

dx2

dS0(x)

dx

(19.7)

である。

E > V (x)の場合の解を求める。p(x) ≡

√2m[E − V (x)] (19.8)

402 第 19章 WKB(Wentzel-Kramers-Brillouin)法

とおくと、ℏ/iの一次までの解は、

S0(x) = ±∫ x

p(x′)dx′ + c′0, (19.9)

S1(x) = −1

2ln[p(x)] + c′1 (19.10)

と求まるので、2つの独立な波動関数が

ψ(x) = exp

[i

ℏ

(±∫ x

p(x′)dx′ + c′0

)+

ℏi

(−1

2ln[p(x)] + c′1

)]=

C√p(x)

exp

[± iℏ

∫ x

p(x′)dx′]

(19.11)

と求まる。E > V (x)の場合の一般解はこれらの線形結合で与えられ、

ψ(x) =C+√p(x)

exp

[+i

ℏ

∫ x

p(x′)dx′]+

C−√p(x)

exp

[− iℏ

∫ x

p(x′)dx′]

(19.12)

である。

同様に、E < V (x)の場合の解は、ρ(x) = ip(x)として、

ψ(x) =D+√ρ(x)

exp

[+1

ℏ

∫ x

ρ(x′)dx′]+

D−√ρ(x)

exp

[−1

ℏ

∫ x

ρ(x′)dx′]

(19.13)


出席課題 S.19.1 : WKB近似において、ℏ/iの 1次までの解を求めよ。

19.1 適用範囲と古典的回帰点

WKB近似では ℏ/iを微小なパラメータとして展開している。つまり、展開の 0次項の大きさ |S0|に比べて 1次項の大きさ |(ℏ/i)S1|が十分小さいことを想定しているのである。この場合、解の補正項 (ℏ/i)S1

は十分小さいので、S0(x) だけでも良い近似になっているはずである。(19.3) 式 (と (19.5) 式) をみると、

[d2S0/dx]2 に比べて (−iℏ)d2S0/dx

2 が十分小さければ、この条件は満たされる。すなわち、

ℏ∣∣∣∣ d2S0/dx

2

(dS0/dx)2

∣∣∣∣≪ 1 (19.14)

がWKB近似が有効であるために必要な条件である。

dS0(x)/dx = p(x)であるから、条件式は∣∣∣∣dp/dxp

∣∣∣∣≪ p

ℏ=

2π

λ(19.15)

と書き換えることができる。ここで λ = h/pは粒子のド・ブロイ波長である。ここで、ポテンシャルが変

化する特徴的な長さ ∆xを用いて dp/dx ∼ p/∆x と近似すると、(19.15)式は

λ

2π≪ ∆x (19.16)

となる。これは、運動量の変化の空間スケールがド・ブロイ波長よりも十分長いことが、WKB 近似が成

立するためには必要であることを意味している。運動量はポテンシャルによる力を受けて変化するので、

19.2 古典的回帰点で dV/dx > 0である場合の解の接続 403

WKB近似が成立するための条件は、ド・ブロイ波長の数倍程度にわたってポテンシャルが実質的に一定で

あること、といっても良い。

古典力学の場合、E = V (x)となる位置で粒子は跳ね返されるので、古典的回帰点と呼ばれる。ここでは

p(x) = 0 となるので、粒子のド・ブロイ波長が無限大となりWKB 近似が成立しなくなる。したがって、

古典的回帰点近傍では、ポテンシャルが直線的に変化する (ポテンシャルの変化率 dV/dxは一定である)と

仮定して、この近似のもとで Schrodinger方程式を正確に解き、両側の解を求めて接続する必要がある。こ

の手順はかなり込み入っているので本講義では割愛するが (解の接続の詳細について知りたい場合には、例

えば、[猪木・川合]の第 10章を参照せよ)、結果だけをまとめると以下のようになる。

古典的回帰点を x = aとする。

1. 古典的回帰点で dV/dx > 0 の場合。

ψ =

1√psin

[1

ℏ

∫ a

x

pdx+π

4

], (x < a)

1

2√ρexp

[−1

ℏ

∫ x

a

ρdx

], (x > a)

(19.17)

2. 古典的回帰点で dV/dx < 0 の場合。

ψ =

1√psin

[1

ℏ

∫ x

a

pdx+π

4

], (x > a)

1

2√ρexp

[−1

ℏ

∫ a

x

ρdx

], (x < a)

(19.18)

ただし、ここでは規格化定数は考慮にいれていない。

19.2 古典的回帰点で dV/dx > 0である場合の解の接続

接続公式 (19.17) で与えられている組だけでは完全系をつくれないので、それとは線形独立なWKB 解

の組

ψ =

1√pcos

[1

ℏ

∫ a

x

pdx+π

4

], (x < a)

C√ρexp

[+1

ℏ

∫ x

a

ρdx

], (x > a)

(19.19)

を導入する必要がある。ここで C = 1である。

定数 C の決定は以下のように行われる。まず、ψ と ψ から作られるロンスキアン

W [ψ; ψ] =

∣∣∣∣∣∣∣ψ

dψ

dx

ψdψ

dx

∣∣∣∣∣∣∣ (19.20)

が xに依存しない定数であることを示す。

2階の常微分方程式 [d2

dx2+ f(x)

d

dxg(x)

]f(x) = 0 (19.21)


の 2つの独立解を f , f とする。ロンスキアン

W [ψ; ψ] =

∣∣∣∣∣∣∣ψ

dψ

dx

ψdψ

dx

∣∣∣∣∣∣∣ (19.22)

のしたがう方程式は、

dW

dx= ψ

d2ψ

dx2− ψ

d2ψ

dx2= ψ

[−f dψ

dx− gψ

]− ψ

[−f dψ

dx− gψ

]= −f

[ψdψ

dx− ψ

dψ

dx

]= −fW (19.23)

である。ここで、矩形ポテンシャルにおける Schrodinger方程式の場合には f(x) = 0であるから、W (x)は定

数になる。

W (x)を具体的に計算する。まず、x < aの領域では、

dψ

dx= − 1

2√p3/2

dp

dxsin

[1

ℏ

∫ a

x

pdx+π

4

]−

√p

ℏcos

[1

ℏ

∫ a

x

pdx+π

4

](19.24)

であるが、WKB 近似の成立条件 (19.15) より |(dp/dx)p−1| ≪ |√p/ℏ| であるから、(19.24) 式において右辺

第 1項は無視できる。同様に、dψ

dx=

√p

ℏsin

[1

ℏ

∫ a

x

pdx+π

4

](19.25)

と近似できるので、WKB近似の範囲内で、

W (x) =1

ℏ, (x < a) (19.26)

を得る。x > aの領域についても同様に計算すると、W (x) = C/ℏが得られる。これが (19.26)と等しいこと

から、(19.19)式の C はC = 1 (19.27)

となる。

これで完全系が作られたので、任意の波動関数を構成することができる。

19.2.1 転回点の左側に入射波があった場合の右側への接続

転回点の左側では E − V (x) > 0であるから、平面波的な振動する波動関数の解が存在する。たとえば、

転回点の左側で入射波

ψ+ =1√pexp

[+i

ℏ

∫ a

x

pdx

], (x < a) (19.28)

があったとしよう。これを先ほど作った x < aの場合の完全系 (19.17),(19.19)の線形結合で表す必要があ

る。実際、ψ と ψ から

ψ+ = (ψ + iψ)e−iπ/4 =1√pexp

[+i

ℏ

∫ a

x

pdx

], (x < a) (19.29)

と構成できる。

このように構成すると、転回点の右側 x > aの E < V (x)の領域の波動関数は、

ψ+ = (ψ + iψ)e−iπ/4 =1√ρexp

[1

ℏ

∫ x

a

ρdx− iπ4

]+

1

2√ρexp

[−1

ℏ

∫ x

a

ρdx− iπ4

], (x > a) (19.30)

と自動的に求まる。これが転回点の左側に入射波があった場合に、右側への接続された波動関数の形で

ある。

19.3 古典的回帰点で dV/dx < 0である場合の解の接続 405

19.2.2 転回点の左側に進行波があった場合の右側への接続

同様に、転回点の左側で x = −∞へ向かう進行波

ψ− =1√pexp

[− iℏ

∫ a

x

pdx

], (x < a) (19.31)

があったとすると、この解は

ψ− = (ψ − iψ)e+iπ/4 =1√pexp

[− iℏ

∫ a

x

pdx

], (x < a) (19.32)

と構成できるので、転回点の右側の E < V (x)の領域の波動関数は

ψ− =　 (ψ−iψ)e+iπ/4 =1√ρexp

[1

ℏ

∫ x

a

ρdx+ iπ

4

]+

1

2√ρexp

[−1

ℏ

∫ x

a

ρdx+ iπ

4

], (x > a) (19.33)

となる。

19.3 古典的回帰点で dV/dx < 0である場合の解の接続

接続公式 (19.18)とは線形独立な

ψ =

1√pcos

[1

ℏ

∫ x

a

pdx+π

4

], (x > a)

C√ρexp

[1

ℏ

∫ a

x

ρdx

], (x < a)

(19.34)

を導入する。ロンスキアンが定数であることから、C = 1が得られる。

19.3.1 転回点の右側に入射波/進行波があった場合の左側への接続

転回点の右側では E − V (x) > 0であるから、平面波的な振動する波の解が存在する。xの正の方向へ進

行する波動関数 ψ+ と xの負の方向に進む波 ψ− は、x > aの ψ と ψ の線形結合として、

ψ± =1√pexp

[± iℏ

∫ x

a

pdx

]= (ψ ± iψ)e∓iπ/4, (x > a) (19.35)

で与えられる。この場合、転回点の左側への接続は、x < aの場合に (ψ ± iψ)e∓iπ/4 を計算して、

ψ± =1√ρexp

[1

ℏ

∫ a

x

ρdx∓ iπ4

]+

1

2√ρexp

[−1

ℏ

∫ a

x

ρdx∓ iπ4

], (x < a) (19.36)



19.3.2 転回点の左側に指数関数的に増大/減衰する波動関数があった場合の右側への

接続

転回点の左側では E − V (x) < 0であるから、指数関数的に増大 ψ↑、または減少 ψ↓ する波動関数が存在

するはずである。x < aの ψ と ψ のかわりに、ψ+ と ψ− の線形結合でこれらの波動関数をあらわすと、、

ψ↑ =1√ρexp

[1

ℏ

∫ a

x

ρdx

]=

1

2(ψ+ − iψ−)eiπ/4, (x < a) (19.37)

ψ↓ =1√ρexp

[−1

ℏ

∫ a

x

ρdx

]=

1

2(ψ+ + iψ−)e−iπ/4, (x < a) (19.38)

となる。この場合の転回点の右側への接続は、x > aの場合の ψ と ψ から、

ψ↑ =1

2√pexp

[i

ℏ

∫ x

a

pdx+ iπ

4

]+

1

2√pexp

[− iℏ

∫ x

a

pdx− iπ4

], (x > a) (19.39)

ψ↓ =1√pexp

[i

ℏ

∫ x

a

pdx− iπ4

]+

1√pexp

[− iℏ

∫ x

a

pdx+ iπ

4

], (x > a) (19.40)

である。

19.4 WKB法の応用

19.4.1 ボーア・ゾンマーフェルド (Bohr-Sommerfeld)の量子条件

緩やかに変化する下に凸のポテンシャル井戸における束縛状態の粒子のエネルギー準位を　WKB近似

で求める。古典的回帰点を a, b (a < b)として、x < a(領域 1)、a < x < b(領域 2)、b < x(領域 3)とす

る。束縛状態にあるという境界条件から、領域 1においては (19.18)式の (x < a)の場合の波動関数、領域

1においては (19.17)式の (x > a)の場合の波動関数を採用しなければならない。

領域 1→領域 2、領域 2←領域 3の接続によって与えられる波動関数

ψ1→2 =B√psin

[1

ℏ

∫ x

a

pdx+π

4

], (a < x < b) (19.41)

ψ3→2 =A√psin

[1

ℏ

∫ b

x

pdx+π

4

], (a < x < b) (19.42)

は区間 a < x < bで一致しなければならない。未知数が 2つだけなので、ψ1→2 = ψ3→2および dψ1→2/dx =

dψ3→2/dxの 2つの条件を考える。

WKB近似の成立条件 (19.15)より |(dp/dx)p−1| ≪ |√p/ℏ|であるから ((19.25)式参照)、2つの条件はsin

(1

ℏ

∫ b

x

pdx+π

4

)− sin

(1

ℏ

∫ x

a

pdx+π

4

)√p

ℏ cos

(1

ℏ

∫ b

x

pdx+π

4

)√p

ℏ cos

(1

ℏ

∫ x

a

pdx+π

4

)

A

B

= 0 (19.43)

となる。

19.4 WKB法の応用 407

A,B が非自明な解を持つためには行列式が 0になる必要があり、

sin

(1

ℏ

∫ b

a

pdx+π

2

)= 0 (19.44)

が得られる。これより離散的エネルギー準位は、∫ b

a

pdx = πℏ(n+

1

2

)(19.45)

の条件から与えられる。これは前期量子論におけるボーア・ゾンマーフェルドの量子条件として知られて

いる。

19.4.2 ガモフ (Gamow)の透過因子

緩やかに変化する上に凸のポテンシャル障壁に、x = −∞から粒子が入射して x =∞へと通り抜ける透過率を求めよう。古典的回帰点を a, b (a < b)として、x < a(領域 1)、a < x < b(領域 2)、b < x(領域 3)

とする。WKB近似で領域 3における透過波は

C√pexp

[i

ℏ

∫ x

b

pdx

]の形をしている。後の便宜上、C = 2De−iπ/4 とおく。すると透過波は

ψ+3 =

2D√pexp

[i

(1

ℏ

∫ x

b

pdx− π

4

)], (x > b) (19.46)

とあらわすことができる。

x = bでは dV/dx < 0であるから、19.3節で用いた線形独立なWKB解

ψ =

1√psin

[1

ℏ

∫ x

b

pdx+π

4

], (x > b)

1

2√ρexp

[−1

ℏ

∫ b

x

ρdx

], (x < b)

(19.47)

ψ =

1√pcos

[1

ℏ

∫ x

b

pdx+π

4

], (x > b)

1√ρexp

[1

ℏ

∫ b

x

ρdx

], (x < b)

(19.48)

を用いる。すると。ψ+3 は

ψ+3 = 2D(ψ − iψ) (19.49)

と表されるので、領域 2(a < x < b)における波動関数へは

ψ2 =D√ρ

[exp

(−1

ℏ

∫ b

x

ρdx

)− 2i exp

(1

ℏ

∫ b

x

ρdx

)], (a < x < b) (19.50)

と接続される。


さらに領域 1へと接続しなければならない。そのために、まず (19.50)式の積分区間を、任意の関数に対

して ∫ b

a

fdx =

∫ x

a

fdx+

∫ b

x

fdx (19.51)

であることを用いて、次のように変更する。

ψ2 =D√ρ

[e−L exp

(1

ℏ

∫ x

a

ρdx

)− 2ieL exp

(−1

ℏ

∫ x

a

ρdx

)], (a < x < b) (19.52)

ここで

L ≡ 1

ℏ

∫ b

a

ρdx (19.53)

である。

x = aでは dV/dx > 0であるから、19.3節で用いた線形独立なWKB解

ψ =

1√psin

[1

ℏ

∫ a

x

pdx+π

4

], (x < a)

1

2√ρexp

[−1

ℏ

∫ x

a

ρdx

], (x > a)

(19.54)

ψ =

1√pcos

[1

ℏ

∫ a

x

pdx+π

4

], (x < a)

1√ρexp

[1

ℏ

∫ x

a

ρdx

], (x > a)

(19.55)

を用いる。これらの線形結合によって ψ2 は

ψ2 = D(−4ieLψ + e−Lψ) (19.56)

と表されるので、領域 1(x < a)へ接続された波動関数 ψ1 は

ψ1 =2D

i√p

(eL − 1

4e−L

)exp

[+i

(1

ℏ

∫ a

x

pdx− π

4

)]+

(eL +

1

4e−L

)exp

[−i(1

ℏ

∫ a

x

pdx− π

4

)](19.57)

≡ ψ+1 + ψ−

1 (19.58)


以上より、領域 3での透過波の波動関数が

ψ+3 =

2D√pexp

[i

(1

ℏ

∫ x

b

pdx− π

4

)], (x > b)

である場合の領域 1での入射波は

ψ+1 =

2D

i√p

(eL − 1

4e−L

)exp

[i

(1

ℏ

∫ a

x

pdx− π

4

)], (x < a) (19.59)

であることが分かった。

19.4 WKB法の応用 409

これより確率密度の流れは

|j+1 | =4|D|2

m

(eL +

1

4e−L

)2

(19.60)

|j+3 | =4|D|2

m(19.61)

と求まるので、透過係数は

T = e−2L

(1 +

1

4e−2L

)−2

≈ e−2L = exp

[−2

ℏ

∫ b

a

√2m(V (x)− E)dx

](19.62)

となる。これをガモフ (Gamow)の透過因子と呼ぶ。

加点問題 P.19.1 : ガモフの透過因子を用いて、原子番号 Z の原子核における α 崩壊の確率を計算

する。α粒子 (ヘリウム原子核)は、半径 aの原子核内では平均ポテンシャル −V0 を感じ、原子核の外に出るとクーロンポテンシャル 2Ze2/xを感じるものとする。

V (x) =

−V0 0 ≥ x < a

2Ze2

xx ≥ a

(19.63)

1. 古典的回帰点 b(a < b)を求めよ。

2. ガモフの透過因子の積分 (19.62)について x = b cos2 θ とおいて計算すると、∫ b

a

√2m(V (x)− E)dx =

√4mZe2b(θa − sin θa cos θa)

=√4mZe2b(θa − cos θa

√1− cos2 θa) (19.64)

となることを示せ。ここで cos θa =√a/bである。

3. a ≪ b として、 θa = π/2 − arcsin√a/b ≈ π/2 −

√a/b に注意すると、

√a/b の 1 次ま

でで、 ∫ b

a

√2m(V (x)− E)dx ≈ π

2

√4mZe2b− 2

√4mZe2a (19.65)


4. 透過因子を E,m,Z, aを用いて表せ。

411

量子力学 B 2019年中間テスト

全 4問。試験時間 90分間。問題 1, 2, 3は選択問題である。ただし、問題 1において 1.1 を選んだ場合

には問題 2において 2.2を選ぶこと。一方、問題 1で 1.2 を選んだ場合には問題 2で 2.1を選ぶこと。

採点方法：略解にある部分点を基準とする。問題 2.2に出題ミスがあったので、記載ミスのまま解いた場

合にも導出過程が正しければ得点としている。

問題 1: (1.1 と 2.2) か (1.2 と 2.1) のいずれか選択

以下において、H(0) の固有値 E(0)n には縮退はなく、E(0)

n とそれに属する固有状態 |n⟩は既知とする。

1.1: 無摂動ハミルトニアン H(0) に、摂動ハミルトニアン V が加わった系のエネルギー固有値問題を摂動

法で考える。

1. 以下のエネルギー固有値と状態ベクトルに対する 1次摂動の表式を導出せよ：

E(1)n = ⟨n|V |n⟩

|ψ(1)n ⟩ =

∑m =n

|m⟩ ⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

2. 以下のエネルギー固有値の 2次摂動を導出せよ：

E(2)n =

∑m =n


(0)n − E(0)

m

ただし、上記問題において、状態ベクトルに対する摂動 |ψ(k)n ⟩は次の関係式を満たすものとする：

0 = ⟨n|ψ(1)n ⟩ = ⟨n|ψ(2)

n ⟩ = ⟨n|ψ(3)n ⟩ = · · ·

1.2: 時間に依存するシュレーディンガー方程式を摂動法によって解きたい。

1. 状態ベクトルを

|ψ(t)⟩ =∑n

Cn(t) exp

(− iℏE(0)

n t

)|n⟩

と展開するとき、係数 Cn(t)の従う方程式が

dCn(t)

dt= λ

1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩Cm(t) exp

(i

ℏ(E(0)

n − E(0)m

)t

)で与えられることを示せ。

2. 係数係数 Cn(t)を摂動法にしたがって

Cn(t) = C(0)n (t) + λC(1)

n (t) + λ2C(2)n (t) + · · ·

と展開するとき、C(0)n , C

(1)n の従う方程式を導出せよ。

412 量子力学 B 2019年中間テスト

問題 1：解答例

1.1: シュレーディンガー方程式

H|ψn⟩ = (H(0) + λV )|ψn⟩ = En|ψn⟩

に摂動展開

En = E(0)n + λE(1)

n + λ2E(2)n + · · ·

|ψn⟩ = |n⟩+ λ|ψ(1)n ⟩+ λ2|ψ(2)

n ⟩+ · · ·

を代入して、λの同じ次数の項を両辺で比較すると、λの 2次までで、

0 = (E(0)n − H(0))|n⟩

V |n⟩ = (E(0)n − H(0))|ψ(1)

n ⟩+ E(1)n |n⟩

(V − E(1)n )|ψ(1)

n ⟩ = (E(0)n − H(0))|ψ(2)

n ⟩+ E(2)n |n⟩

が得られる。(5点)

1. λの 1次の式に左から ⟨m|を作用させると、

⟨m|V |n⟩ = (E(0)n − E(0)

m )⟨m|ψ(1)n ⟩+ E(1)

n δmn

となる。ここでm = nとおくと、エネルギー固有値の 1次補正項が

E(1)n = ⟨n|V |n⟩

と求まる。(6点)

次に、m = nとすると、固有値に縮退のない場合を考えているので E(0)n = E

(0)m であるから、

⟨m|ψ(1)n ⟩ =

⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

を得る。無摂動ハミルトニアンの固有状態は完全系であるから、

ψ(1)n =

∑m

|m⟩⟨m|ψ(1)n ⟩ =

∑m =n

|m⟩⟨m|ψ(1)n ⟩

と展開できる。よって、固有状態の 1次の補正項は、

|ψ(1)n ⟩ =

∑m =n

|m⟩ ⟨m|V |n⟩E

(0)n − E(0)

m

で与えられる*1。(7点)

2. 2次摂動の式に左から ⟨m|を作用させると、

⟨m|V |ψ(1)n ⟩ − E(1)

n ⟨m|ψ(1)n ⟩ = (E(0)

n − E(0)m )⟨m|ψ(2)

n ⟩+ E(2)n δmn

を得る。m = nとして直交条件 ⟨n|ψ(1)n ⟩および前問で求めた |ψ(1)

n ⟩の表式を用いれば、エネルギー固有値の 2次の補正項は、

E(2)n = ⟨n|V |ψ(1)

n ⟩ =∑m =n


(0)n − E(0)

m


*1 一部で「∑

m =n |m⟩ を作用させれば · · ·」のような記述をする学生がいたが、これは完全に誤りである。

413

1.2: 1. 状態ベクトルの展開式を時間に依存するシュレーディンガー方程式

iℏ∂

∂t|ψ(t)⟩ =

(H(0) + λV (t)

)|ψ(t)⟩

に代入して、整理すると

(左辺) = iℏ∑n

[dCn(t)

dt+−iE(0)

n

ℏCn(t)

]exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩

= iℏ∑n

dCn(t)

dtexp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩+

∑n

E(0)n Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩

(右辺) =∑n

E(0)n Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩+ λ

∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)V (t)|n⟩

となる。これより

iℏ∑n

dCn(t)

dtexp

(−iE

(0)n t

ℏ

)|n⟩ = λ

∑n

Cn(t) exp

(−iE

(0)n t

ℏ

)V (t)|n⟩

を得る。(5点)

ここで ⟨m|を作用させると Cm(t)の発展方程式が

dCm(t)

dt= λ

1

iℏ∑n


(i(E

(0)m − E(0)

n )

ℏt

)

と求まる。あとは添字を書き換えればよい。(10点)

2. 係数の摂動展開を前問の結果に代入すれば、

dC(0)n (t)

dt+ λ

dC(1)n (t)

dt+O(λ2) = λ

1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt

)C(0)

m (t) +O(λ2)

を得る。λの 0次および 1次の項を比較すれば、C(0)n , C

(1)n の従う方程式が

d

dtC(0)

n (t) = 0

d

dtC(1)

n (t) =1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt

)C(0)

m (t)


問題 2: (1.1 と 2.2) か (1.2 と 2.1) のいずれか選択

2.1: 質量m, 電荷 q を持った粒子が、振動数 ω0 の 1次元調和振動子ポテンシャル中に束縛されて運動し

ている。そこに

V = ϵ(aa+ a†a†)

なる摂動が加わった。エネルギー固有値 En の摂動を 2次まで求めよ。


2.2: 質量m, 電荷 qを持った粒子が、振動数 ωの 1次元調和振動子ポテンシャル中を運動しており、基底

状態 |0⟩ にあるとする。t = 0 において摂動

V = 2Ex cos(ωt), (ω ≈ ω0)

が加わった。摂動による励起状態 |n⟩への遷移確率を 1次摂動まで求めよ (t→∞の極限を取る必要はない)。


2.1: 行列要素 ⟨m|V |n⟩ を計算すると、

⟨m|V |n⟩ = ϵ(⟨m|aa|n⟩+ ⟨m|a†a†|n⟩

)= ϵ(√

n(n− 1)⟨m|n− 2⟩+√

(n+ 1)(n+ 2)⟨m|n+ 2⟩)

= ϵ(√

n(n− 1)δm,n−2 +√(n+ 1)(n+ 2)δm,n+2

)を得る。(10点)

これより、エネルギー固有値の 1次摂動は

E(1)n = ⟨n|V |n⟩ = 0

である。(5点)

エネルギー固有値の 2次摂動は

E(2)n =

∑m =n


(0)n − E(0)

m

= ϵ2∑m =n

(√n(n− 1)δm,n−2 +

√(n+ 1)(n+ 2)δm,n+2

)2E

(0)n − E(0)

m

となるが、δm,n−2δm,n+2 の項はmについての和で δn−2,n+2 となり寄与しない。寄与する項だけ残

して計算すれば

E(2)n = ϵ2

∑m =n

(n(n− 1)δm,n−2δm,n−2 + (n+ 1)(n+ 2)δm,n+2δm,n+2

)E

(0)n − E(0)

m

= ϵ2

[n(n− 1)

E(0)n − E(0)

n−2

+(n+ 1)(n+ 2)

E(0)n − E(0)

n+2

]

= −2ϵ2

ℏω

(n+

1

2

)と求まる。(10点)

2.2: 初期に基底状態 |0⟩にあるので、C(0)n = δn0 であるから、問題 1.2の結果より、

d

dtC(1)

n (t) =1

iℏ∑m

⟨n|V (t)|m⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

m )

ℏt

)δm0 =

1

iℏ⟨n|V (t)|0⟩ exp

(i(E

(0)n − E(0)

0 )

ℏt

)

=1

iℏ⟨n|V (t)|0⟩einω0t

415

である。(5点)

V (t) = Ex(eiωt + e−iωt), x =√ℏ/2mω0 (a+ a†)であるから、行列要素は、

⟨n|V (t)|0⟩ = E(eiωt + e−iωt)

√ℏ

2mω0⟨n|(a+ a†)|0⟩ = E(eiωt + e−iωt)

√ℏ

2mω0δn1

となるので、n = 1状態への遷移のみが可能である。(7点)

この結果より、E(0)n −E(0)

0 → E(0)1 −E

(0)0 = ℏω0 であり、エネルギーの吸収が起こる。したがって、

d

dtC

(1)0→1(t) =

E

iℏ

√ℏ

2mω0

(ei(ω0+ω)t + ei(ω0−ω)t

)を積分して、

C(1)0→1(t) = −

E

ℏ

√ℏ

2mω0

[ei(ω0+ω)t

(ω0 + ω)+ei(ω0−ω)t

(ω0 − ω)

]t0

を得るが、ω ≈ ω0 の条件より、遷移振幅は

C(1)0→1(t) = −

E

ℏ(ω0 − ω)

√ℏ

2mω0

(1− ei(ω0−ω)t

)となる。(6点)

これより、遷移確率が

P(1)0→1(t) = |C

(1)0→1|2

=E2

ℏ2(ω0 − ω)2ℏ

2mω0

(1− e+i(ω0−ω)t

)∗ (1− e+i(ω0−ω)t

)=

E2

ℏ2(ω0 − ω)2ℏ

2mω0

(1− e−i(ω0−ω)t

)(1− e+i(ω0−ω)t

)=

E2

mℏω0

1

(ω0 − ω)2[1− cos

((ω0 − ω)t

)]=

2E2

mℏω0

1

(ω0 − ω)2sin2

[1

2(ω0 − ω)t

]と求まる。(7点)

問題 3: (3.1 か 3.2 のいずれか選択)

3.1: 離散スペクトル (束縛状態) |i⟩ から離散スペクトル |f⟩ へエネルギー ℏω を吸収して遷移する場合の単位時間あたりの遷移確率は

Pi→f =2π

ℏ

∣∣∣⟨f |V †|i⟩∣∣∣2 δ(E(0)

f − E(0)i − ℏω)

で与えられる。ここで E(0)i は始状態 |i⟩のエネルギー準位、E(0)

f は終状態 |f⟩のエネルギー準位である。一方、連続スペクトルへの遷移の場合、E(0)

f − ∆E2 ∼ E

(0)f + ∆E

2 にある終状態の 1群 Gf へ

の遷移とする必要がある。この場合の遷移確率が

Pi→Gf=

2π

ℏ

∣∣∣⟨f+|V †|i⟩∣∣∣2 ρ(E(0)

i + ℏω)

で与えられることを示せ。ここで |f+⟩ = |f(E(0)i + ℏω)⟩であり、ρ(E)は状態密度である。


3.2: 1辺 Lの箱で箱型規格化された自由粒子の波動関数は

⟨x|k⟩ = ψk(x) =1√L3eik·x

で与えられる。この場合の状態密度を求めたい。

1. 周期的境界条件 ψk(x) = ψk(x + L), (y, z についても同様) を課したとき、波数ベクトル

k = (kx, ky, kz)が満たすべき条件を書き下せ。

2. 波数空間の微小領域 d3k に含まれる状態数が

dN =

(L

2π

)3

k2dkdΩk

となることを示せ。ここで dΩk は、kまわりの微小立体角である。

3. 単位エネルギー、単位立体角当たりの状態密度が

ρk(E) = m

(L

2πℏ

)3√2mE



3.1: E(0)f − ∆E

2 ∼ E(0)f + ∆E

2 にある、連続スペクトルを持つ終状態の 1群 Gf への遷移確率は、1つの

終状態への遷移確率 Pi→f をこのエネルギー領域にある状態数で足し上げることで得られる。連続ス

ペクトルであることを考慮すれば、足し上げは積分となるので、

Pi→Gf=

∫ E(0)f +∆E/2

E(0)f −∆E/2

Pi→GfdNf

=2π

ℏ

∫ E(0)f +∆E/2

E(0)f −∆E/2

∣∣∣⟨f(Ef )|V †|i⟩∣∣∣2 δ(E(0)

f − E(0)i − ℏω)dNf

である。(5点)

ここで状態密度を用いれば、dNf = ρ(Ef )dEf であるから、

Pi→Gf=

2π

ℏ

∫ E(0)f +∆E/2

E(0)f −∆E/2

∣∣∣⟨f(Ef )|V †|i⟩∣∣∣2 δ(E(0)

f − E(0)i − ℏω)ρ(Ef )dEf

となる。(10点)

ここで、デルタ関数の積分範囲を拡大して積分すれば、遷移確率が

Pi→Gf=

2π

ℏ

∫ ∞

−∞

∣∣∣⟨f |V †|i⟩∣∣∣2 δ(E(0)

f − E(0)i − ℏω)ρ(Ef )dEf

=2π

ℏ

∣∣∣⟨f(Ei + ℏω)|V †|i⟩∣∣∣2 ρ(Ei + ℏω)


3.2: 1. x 方向の境界条件 ψk(x) = ψk(x + L) より、ei(kxx+kyy+kzz) = ei(kx(x+L)+kyy+kzz) よって

eikxL = 1 これより kx = 2πnx/L, (nx = 0,±1,±2, · · · )。y, z 方向も同様なので

k = (kx, ky, kz) =

(2πnx

L,2πny

L,2πnz

L

), (nx, ny, nz = 0,±1,±2, · · · )

(9点)

417

2. 波数空間の微小領域 d3k = dkxdkydkz に含まれる状態数 dN は、前問の結果を用いて

dN = dnxdnydnz =

(L

2π

)3

dkxdkydkz =

(L

2π

)3

d3k

ここで波数空間の極座標表示を用いると、

dN =

(L

2π

)3

d3k =

(L

2π

)3

k2dk sin θkdθkdϕk =

(L

2π

)3

k2dkdΩk

となる。(7点)

3. 単位エネルギー、単位立体角あたりの状態密度は ρk(E) =dN

dEdΩkで与えられるが、自由粒子

のエネルギー E = ℏ2k2/(2m)より dk/dE = m/(ℏ2k)を用いれば、

ρk(E) =dN

dkdΩk

dk

dE=

(L

2π

)3

mℏk =

(L

2π

)3

m√2mE

を得る。(9点)

問題 4:

角運動量演算子 J2, Jz の同時固有状態 |j,m⟩を考える。

1. 次の式の右辺を書き下せ：

J2|j,m⟩ =Jz|j,m⟩ =J+|j,m⟩ =J−|j,m⟩ =

2. j = 1の場合に、|j,m⟩を基底ベクトルとする行列表示を考える。

|1⟩ = |1, 1⟩ =

100

, |2⟩ = |1, 0⟩ =

010

, |3⟩ = |1, −1⟩ =

001

と設定するとき、Jx の行列表示を求めよ。


1. (1+1+3+3=8点)

J2|j,m⟩ = j(j + 1)|j,m⟩Jz|j,m⟩ = m|j,m⟩J+|j,m⟩ =

√j(j + 1)−m(m+ 1)|j,m+ 1⟩ =

√(j −m)(j +m+ 1) |j,m+ 1⟩

J−|j,m⟩ =√j(j + 1)−m(m− 1)|j,m− 1⟩ =

√(j +m)(j −m+ 1) |j,m− 1⟩

2. Jx を昇降演算子で表すと、

Jx = (J+ + J−)/2

となる。(2点)

前問の公式を用いれば、

⟨j,m|Jx|j,m′⟩ = 1

2

[⟨j,m|J+|j,m′⟩+ ⟨j,m|J−|j,m′⟩

]=

1

2

[√j(j + 1)−m′(m′ + 1)⟨j,m|j,m′ + 1⟩

+√j(j + 1)−m′(m′ − 1)⟨j,m|j,m′ − 1⟩

]=

1

2

[√j(j + 1)−m′(m′ + 1)δm,m′+1 +

√j(j + 1)−m′(m′ − 1)δm,m′−1

]となる。(7点)

j = 1の場合、

⟨j,m|Jx|j,m′⟩ = 1

2

[√2−m′(m′ + 1)δm,m′+1 +

√2−m′(m′ − 1)δm,m′−1

]であり、m,m′ のとりえる値は −1, 0, 1である。(5点)

419

よって、Jx の行列表示は、

Jx =1√2

0 1 01 0 10 1 0

となる。(3点)

421

量子力学 B 2019年期末テスト

全 4問。試験時間 120分間。問題 1は選択問題である。1.1 あるいは 1.2 のいずれか一方を選ぶこと。

必要であれば次の積分公式を用いてよい。

In =

∫ ∞

0

rn exp(−αr) dr = n!

αn+1

採点方法：略解にある部分点を基準とする。その上で、得点上位の 3問の点数を 90/75倍し、得点下位の

1問の点数を 10/25倍する重みを付けて合計得点とする。

問題 1: (1.1 か 1.2 のいずれか選択)

1.1: エネルギー E =ℏ2k2

2mを持つ入射波 ψin =

1√4πeikz の散乱問題を、部分波展開法の s 波近似で考

える。

1. 入射波と散乱波 (ψout)の s波成分が、それぞれ

ψsin =

1

2ikr

(eikr − e−ikr

), ψs

out = f0eikr

r


2. これより、散乱の境界条件が

ψr→∞−−−→ 1

2ikr(Seikr − e−ikr)

の形にあらわせることを S の具体形とともに示せ。ここで、|S|2 = 1 でなければならないこと

を詳述せよ。

3. これより、S ≡ e2iδ によって位相のずれ δ を導入すると、散乱振幅と散乱の境界条件がそれぞれ

f0 =eiδ sin δ

k

ψr→∞−−−→ 1

rCk sin(kr + δ)

の形にあらわせることを示せ。

4. 剛体球ポテンシャル

V (r) =

∞ (r < a)0 (r > a)

による s波散乱の全断面積が、σ =4π

k2sin2 (ka) となることを示せ。

422 量子力学 B 2019年期末テスト

1.2: 波数 kを持つ入射粒子の定常散乱問題のシュレーディンガー方程式は

(∇2 + k2)ψ(x) =2m

ℏ2V (x)

で与えられる。境界条件は |x| = r として、

ψ(x)r→∞−−−→ exp (ik · x) + f(Ω)

exp (iker · x)r

である。ここで簡単のため、最終結果にはあらわれない規格化定数を 1とおいた。

1. 散乱の積分方程式による ψ(x)の積分表示

ψ(x) = exp (ik · x) + 2m

ℏ2

∫d3x′G(x− x′)V (x′)ψ(x′)

が、シュレーディンガー方程式の解になっていることを示せ。ここで G(x)は

(∇2 + k2)G(x) = δ(x)

を満たすグリーン関数であり、

G(x) = − 1

4π

exp (k|x|)|x|


2. 境界条件を考慮することにより、散乱振幅 f(Ω) が

f(Ω) = − 1

4π

2m

ℏ2

∫d3x′ exp (−iker · x′)V (x′)ψ(x′)


3. 球対称ポテンシャル V (x) = V (r) の場合について、ボルン近似における散乱振幅が

fBorn(q) = −2m

ℏ21

q

∫ ∞

0

dr V (r) r sin(qr)

で与えられることを示せ。ここで、q ≡ ker − kとして q = |q| である。4. 湯川型ポテンシャル

V (r) = V0exp (−r/a)

r

の場合に fBorn(q) を求めよ。

問題 1: 解答例

1.1: 1. s波成分を抽出するためには、|Y0,0⟩を作用させればよい。入射波については

⟨Y0,0|ψin⟩ =∫ψin(x)Y0,0 dΩ =

1√4π

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

−1

d cos θ eikr cos θ =1

ikr

(eikr − e−ikr

)である。(3点)

散乱波については ⟨Y0,0|ψout⟩ =∫f(Ω)

eikr

rY0,0 dΩ であるが、球面調和関数の直交性より、

f(Ω)の角度に依存しない成分のみが抽出される。これを f0 をおけば、

⟨Y0,0|ψin⟩ = f0eikr

r

を得る。(2点)

423

2. 散乱の境界条件 ψr→∞−−−→ ψin + ψout の s波成分は

ψr→∞−−−→ 1

2ikr

(eikr − e−ikr

)+ f0

eikr

r=

1

2ikr

[(1 + 2ikf0

)eikr − e−ikr

]ここで S ≡ 1 + 2ikf0 とすれば、

ψr→∞−−−→ 1

2ikr

(Seikr − e−ikr

)となる。(2点)

散乱状態の境界条件は内向きと外向きの球面波成分から構成されている。波動関数は確率密度の

保存の式に従うから、入射波と比べたとき、もし内向きと外向きの球面波成分で釣り合いがとれ

ていないと、粒子が原点に蓄積されていく、あるいは、原点から粒子が無限に湧き続けるという

不合理が生じる。したがって、

|S|2 = 1

を満たす必要がある。(3点)

3. S = e2iδ とおくと、

ψr→∞−−−→ 1

2ikr


)=

1

2ikr

(eikr − e−ikr

)+

(e2iδ − 1

2ik

)eikr

r

これを 1. の散乱の境界条件と比べれば、

f0 =e2iδ − 1

2ik=eiδ

k

eiδ − e−iδ

2i=eiδ sin δ

k

を得る。(3点)

一方、次の変形

ψr→∞−−−→ 1

2ikr


)=

1

r

eiδ

k

ei(kr+δ) − e−i(kr+δ)

2i

に注意して Ck = eiδ/k とおけば、

ψr→∞−−−→ 1

rCk sin(kr + δ)

を得る。(3点)

4. 剛体球の外側では V = 0であるから、シュレーディンガー方程式は、

d2R0(r)

dr2+

2

r

dR0(r)

dr+

2mE

ℏ2R0(r) = 0, (r > a)

ここで、R0(r) =χ0(r)

rとおくと、

d2χ0(r)

dr2+

2mE

ℏ2χ0(r) = 0, (r > a)

となる。一般解は χ0(r) = Ck sin(kr + δ) である。ここで、r = aでの境界条件 R0(a) = 0よ

り χ0(a) = 0 であるから、位相のずれが δ = −ka と求まる。(5点)

これより、微分断面積はdσ

dΩ= |f0|2 =

sin2(ka)

k2であり、全断面積は

σ =

∫dσ

dΩdΩ =

4π

k2sin2 (ka)

となる。(4点)


1.2: 1. 積分表示をシュレーディンガー方程式の左辺に代入する。まず、

∇2eik·x =

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)ei(kxx+kyy+kzz) =

(− k2x − k2y − k2z

)ei(kxx+kyy+kzz)

= −k2eik·x

である。(2点)

∇2 は x′ には作用せず、xにのみ作用することに注意すれば、

(∇2 + k2)

∫d3x′G(x− x′)V (x′)ψ(x′) =

∫d3x′ V (x′)ψ(x′) (∇2 + k2)G(x− x′)

=

∫d3x′ V (x′)ψ(x′) δ(x− x′)

= V (x)ψ(x)

以上の結果を用いれば、

(左辺) =2m

ℏ2V (x)ψ(x) = (右辺)

となり、シュレーディンガー方程式を満たす。(5点)

2. 散乱の積分方程式において r →∞を考える、x = rer とすれば、

|x− x′| = r

√1 +

r′2

r2− 2

x′ · err

r→∞−−−→ r

(1− x′ · er

r+O(1/r2)

)であるから、

exp(ik|x− x′|)|x− x′|

r→∞−−−→ exp(ik(r − er · x′))

r

である*2。(2点)

これより、

ψ(x)r→∞−−−→ eik·x +

[− 1

4π

2m

ℏ2


]eikr

r

散乱の境界条件と比べて、

f(Ω) = − 1

4π

2m

ℏ2


を得る。(4点)

3. ボルン近似では、f(Ω)の式の右辺において、ψ(x′) を入射波 eik·x′で置き換えて、

fBorn(Ω) = −1

4π

2m

ℏ2

∫d3x′ e−i(ker−k)·x′

V (x′) = − 1

4π

2m

ℏ2

∫d3x′ e−iq·x′

V (x′)

である。(3点)

球対称ポテンシャルの場合、q と x′ のなす角を θ′ として極座標を用いて角度積分をすると

(1点)

fBorn(Ω) = −1

4π

2m

ℏ2

∫ ∞

0

r′2dr′∫ 1

−1

d cos θ′∫ 2π

0

dφ′ e−iqr′ cos θ′V (r′)

= −2m

ℏ21

q

∫ ∞

0

dr′V (r′) r′ sin(qr′) ≡ fBorn(q)

を得る。(3点)

*2 eik|x−x′| = eik|x|e−ik|x′| という初等的な間違いをしている学生が多く見られた。

425

4. sin(qr′) = (eiqr′ − e−iqr′)/2i を用いて、(1点)

fBorn(q) = −1

i

m

ℏ2V0q

∫ ∞

0

dr′(e−r(1−iqa)/a − e−r(1+iqa)/a

)= −1

i

m

ℏ2V0q

(a

1− iqa− a

1 + iqa

)= −2mV0

ℏ2a2

1 + (qa)2

となる。(4点)

問題 2:

軌道角運動量 l = 1とスピン S = 1/2の合成を行い、合成系の同時固有状態を直積状態の線形結合とし

て表せ。

ただし、軌道角運動量の固有状態を |1, 1⟩ = |1⟩, |1, 0⟩ = |0⟩, |1,−1⟩ = | − 1⟩とあらわし、スピンの固有状態は

∣∣12,±1

2

⟩= |±⟩ と表記せよ。

問題 2: 解答例

可能な合成系の角運動量量子数は j = 3/2, 1/2 であり、合成系の状態は 3× 2 = 4 + 2 = 6通りである。

(2点)

j = 3/2, m = ±3/2 の状態は∣∣∣32,3

2

⟩⟩= |1⟩ |+⟩,

∣∣∣32, −3

2

⟩⟩= | −1⟩ |−⟩

で与えられる。(2+2点)∣∣∣32,3

2

⟩⟩に合成系の下降演算子 J− を作用させると、

J−

∣∣∣32,3

2

⟩⟩=√3∣∣∣32,1

2

⟩⟩一方、|1⟩ |+⟩ に合成系の下降演算子を部分系の下降演算子で表した JL

− + JS− を作用させると、(

JL− |1⟩

)|+⟩+ |1⟩

(JS− |+⟩

)=√2 |0⟩ |+⟩+ |1⟩ |−⟩

これら両者は等しいので、 ∣∣∣32,1

2

⟩⟩=

√2

3|0⟩ |+⟩+

√1

3|1⟩ |−⟩

となる。(4点)∣∣∣32, −3

2

⟩⟩に合成系の上昇演算子 J+ を作用させると、

J+

∣∣∣32, −3

2

⟩⟩=√3∣∣∣32, −1

2

⟩⟩一方、| − 1⟩ |−⟩ に上昇演算子 JL

+ + JS+ を作用させると、(

JL+| − 1⟩

)|−⟩+ | −1⟩

(JS+|−⟩

)=√2 |0⟩ |−⟩+ | −1⟩ |+⟩


これら両者は等しいので、 ∣∣∣32, −1

2

⟩⟩=

√2

3|0⟩ |−⟩+

√1

3| −1⟩ |+⟩

となる。(4点)

j = 1/2 の状態を求める。 ∣∣∣12,1

2

⟩⟩= a |0⟩ |+⟩ + b |1⟩ |−⟩

と置くことができるが、mが同じで角運動量量子数が異なる状態の直交性より、これは∣∣∣32,1

2

⟩⟩と直交す

る。(2点)

直交条件より、

0 =⟨⟨3

2

1

2

∣∣∣12,1

2

⟩⟩= a

√2

3+ b

√1

3

これと規格化条件 a2 + b2 = 1 より 3a2 = 1. a =√1/3と選べば b = −

√2/3. よって、∣∣∣1

2,1

2

⟩⟩=

√1

3|0⟩ |+⟩ −

√2

3|1⟩ |−⟩

となる。(4点)

これに下降演算子を作用させると、左辺は

J−

∣∣∣12,1

2

⟩⟩=∣∣∣12, −1

2

⟩⟩右辺は √

1

3

[(JL−|0⟩

)|+⟩ + |0⟩

(JS−|+⟩

)]−√

2

3

[(JL−|1⟩

)|−⟩ + |1⟩

(JS−|−⟩

)]=

√1

3

[√2 | −1⟩ |+⟩ + |0⟩ |−⟩

]−√

2

3

[|0⟩ |+⟩ + 0

]=

√2

3| −1⟩ |+⟩ −

√1

3|0⟩ |−⟩

となるので、 ∣∣∣12, −1

2

⟩⟩=

√2

3| −1⟩ |+⟩ −

√1

3|0⟩ |−⟩

これで全ての合成系の状態が求まった。(5点)

問題 3:

エネルギー E の束縛状態にある水素原子の固有状態を考える。動径方向の波動関数Rが満たす方程式は、

d2R

dρ2+

2

ρ

dR

dρ+

(γ

ρ− 1

4− l(l + 1)

ρ2

)R = 0

で与えられる。ここで、mを系の換算質量として、

ρ = 2

√2m|E|ℏ

r, γ ≡ e2

4πε0ℏ

√m

2|E|

である。

427

1. 上記の微分方程式において、ρ→ 0 及び ρ→∞ の極限を考え、ρ→ 0 及び ρ→∞ における R の

関数形 (漸近形)を求めよ。

この結果を踏まえて、動径方向の波動関数を

R(ρ) = ρle−12ρ χ(ρ)

とおくと、χの満たす方程式は、

d2χ

dρ2+

[2(l + 1)

ρ− 1

]dχ

dρ+γ − l − 1

ρχ = 0

となる。χ(ρ) =∞∑k=0

akρk を代入すれば、展開係数は次の漸化式に従うことが示される。

ak+1 =k + l + 1− γ

(k + 1)(k + 2l + 2)ak

2. Rが発散しないためには漸化式が途切れなければならないことを示せ。

3. 主量子数 nを用いてエネルギー固有値が

En = − m

2ℏ2

(e2

4πε0

)21

n2

とあらわされることを示せ。負符号を取る理由は何か？

4. n = 1の場合、規格化された動径方向の波動関数が、

R(r) = 2

(1

aB′

)3/2

exp

(− r

aB′

)

となることを示せ。ここで aB′ ≡ 4πε0ℏ2

me2である。

問題 3: 解答例

1. R(ρ) ∼ ρα とおいてシュレーディンガー方程式に代入すると、ρ→ 0 の極限では、ρの冪が最も小さ

いもの同士を比べればよいので、

ρα−2[α(α− 1) + 2α− l(l + 1)

]= 0

が満たされる必要がある。これより、α(α+1) = l(l+1)を解いて α = l,−(l+1) となるが、ρ→ 0

で発散しないためには α = l. よって、

R(ρ) ∼ ρl, (ρ→ 0)

のように振る舞う。(2点)

一方、ρ→∞ ではシュレーディンガー方程式は

d2R

dρ2− 1

4R = 0


に漸近する。これより R(ρ) ∼ e±ρ/2 であるが、ρ→∞ で発散しないためには

R(ρ) ∼ e−ρ/2, (ρ→∞)

(2点)

2. 展開 χ(ρ) =∞∑k=0

akρk において、k の大きいところでは、

ak+1

ak∼ 1

k, (k →∞)

である。ρ→∞では k の大きい部分の寄与ほど大きいから、 (3点)

χl(ρ) ∼∞∑k=0

1

k!ρk ∼ eρ, (ρ→∞)

という形に近づいていく。この場合には、

Rl = ρle−ρ/2χl ∼ ρle+ρ/2

となるので波動関数が無限遠で発散してしまう。したがって、漸化式が途切れて有限級数となる必要

がある。(4点)

3. 漸化式が途切れて有限級数となるためには、γ が漸化式を途切れさせるような特別の値をとる必要が

あるが、γ = k + l + 1 より γ は自然数値を取らなければならない。これが主量子数 n = γ である。

問題文中の γ の定義式より、主量子数 nの状態のエネルギー固有値は

En = − m

2ℏ2

(e2

4πε0

)21

n2= −m(αc)2

2

1

n2

で与えられる。(4点)

ここで、束縛状態を考えているのでエネルギーの符号は負である (2点)

4. 主量子数が n = 1の場合、k = l = 0でなければならない。このとき、級数展開は初項で途切れる。

よって、動径方向の波動関数は R1,0(ρ) = Ae−ρ/2 の形をしている。(2点)

aB′ ≡ 4πε0ℏ2

me2を用いると、無次元化座標は ρ =

2r

aB′である。(2点)

角度方向の波動関数である球面調和関数は規格化されているから、動径方向の波動関数を規格化して

規格化因子 Aを求める。r 積分を ρ積分に変えて計算すれば、冒頭の積分公式を用いて、

1 = |A|2∫ ∞

0

(aB′ρ

2

)2 aB′

2dρ e−ρ =

|A|2

4a3B′

である。これより、規格化因子は A = 2

(1

aB′

)3/2

となるので、規格化された動径方向の波動関

数は、

R1,0(r) = 2

(1

aB′

)3/2

exp

(− r

aB′

)となる。(4点)

429

問題 4:

水素原子に対し、z 方向の一様な電場による摂動ハミルトニアン

V = −eE z

が印加された場合のシュタルク効果について考える。

1. 基底状態 (n = 1)に対しては、エネルギー固有値の 1次摂動が 0になることを示せ。

2. n = 2の状態は

⟨x|2s⟩ = 1

4√2π

(1

aB′

)3/2(2− r

aB′

)exp

(− r

2aB′

)⟨x|2p0⟩ =

1

4√2π

(1

aB′

)3/2r

aB′exp

(− r

2aB′

)cos θ

⟨x|2p±1⟩ = ∓1

8√π

(1

aB′

)3/2r

aB′exp

(− r

2aB′

)sin θ e±iφ

の 4重に縮退している。摂動によって状態 |2s⟩ と |2p0⟩ の縮退が解けることを次のようにして示せ。

（a）磁気量子数 mが異なる場合には摂動ハミルトニアンの行列要素が 0になることを示せ (あるい

は根拠を含めて詳述せよ)。

（b）⟨2p1|V |2p1⟩ = ⟨2p0|V |2p0⟩ = 0 を示せ。

（c）行列要素 ⟨2s|V |2p0⟩ を計算し、摂動の永年方程式を導け。

（d）永年方程式を解き、縮退が解けた状態のエネルギー固有値および固有状態ベクトルを求めよ。

問題 4: 解答例

1. n = 1の状態には縮退がないので、縮退のない場合の摂動法により、エネルギー固有値の 1次摂動は

E(1)n=1 = ⟨1s|V 1s⟩ = −eE

∫d3xψ∗

1sr cos θψ1s

で与えられる。ψ1s = R10(r)Y00 であることに注意すると、θ 積分にはポテンシャルからの cos θ し

か寄与しないので ∫ 1

−1

cos θ d cos θµ=cos θ=

∫ 1

−1

µdµ = 0

より*3、E(1)n=1 = 0である。φ積分が 0になることを示してもよい。(4点)

2.（a）摂動ハミルトニアンには φ 依存性がないので、行列要素の φ積分は一般に∫ 2π

0

dφe−imφeim′φ

の形となる。これは Lz の固有関数の内積 (の定数倍)であるので、m = m′ の場合には 0とな

る。直接計算しても示しても良い。(3点)

（b）θ積分の部分のみ抜き出すと、

⟨2p1|V |2p1⟩ ∼∫ 1

−1

d cos θ sin2 θ cos θ =

∫ 1

−1

d cos θ (cos θ − cos3 θ)µ=cos θ=

∫ 1

−1

dµ (µ− µ3) = 0

*3 以下にも示すように、被積分関数が奇関数であるから計算するまでもなく分かる結果である。


ここで、被積分関数が µ = cos θの奇関数であることを用いた*4 (3点)

同様に、

⟨2p−1|V |2p−1⟩ ∼∫ 1

−1

d cos θ (cos θ − cos3 θ) = 0

⟨2p0|V |2p0⟩ ∼∫ 1

−1

d cos θ cos θ = 0

である。(2点)

（c）冒頭に与えられた積分公式を用いれば*5、

⟨2s|V |2p0⟩ = − 1

32π

eEa3B′

∫ ∞

0

dr r3(

r

aB′

)(2− r

aB′

)e−r/aB′

∫ 1

−1

d(cos θ) cos2 θ

∫ 2π

0

dφ

y=r/aB′= − 1

32πeEaB′

∫ ∞

0

dy y4(2− y)e−y · 23· 2π

積分公式= − 1

32πeEaB′ · (2 · 4!− 5!) · 2

3· 2π

= 3eEaB′

(4点)

これより、

|n⟩⟩ = C2s|2s⟩+ C2p0 |2p0⟩+ C2p1 |2p1⟩+ C2p−1 |2p−1⟩

と展開した場合、−E(1) ⟨2s|V |2p0⟩ 0 0

⟨2p0|V |2s⟩ −E(1) 0 00 0 −E(1) 00 0 0 −E(1)

C2s

C2p0

C2p1

C2p−1

= 0 (⋆)

より、永年方程式が∣∣∣∣∣∣∣∣−E(1) ⟨2s|V |2p0⟩ 0 0

⟨2p0|V |2s⟩ −E(1) 0 00 0 −E(1) 00 0 0 −E(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣∣−E(1) 3eEaB′ 0 03eEaB′ −E(1) 0 0

0 0 −E(1) 00 0 0 −E(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

となる。(3点)

*4 積分 ∫ a

−af(x) dx =

∫ 0

−af(x) dx+

∫ a

0f(x) dx

において、f(x)が奇関数 f(−x) = −f(x)の場合、∫ 0

−af(x) dx

x=−x=

∫ 0

af(−x) d(−x) =

∫ a

0f(−x) dx f(−x)=−f(x)

= −∫ a

0f(x) dx

となるので、 ∫ a

−af(x) dx = 0

*5 θ 積分は ∫ 1

−1d(cos θ) cos2 θ = 2

∫ 1

0µ2 dµ =

2

3

431

（d）永年方程式は (E(1)

)2 (E(1) + 3eEaB′

)(E(1) − 3eEaB′

)= 0

となるので、これを解けば、

E(1) = ±3eEaB′ , 0, 0

が解として得られる。これより、摂動によって一部の縮退が解けて、エネルギー固有値が

E(1)± = ±3eEaB′ だけ変化する。(3点)

E(1)± に対応する状態 |n±⟩⟩は、(⋆)式より係数 C2s, · · · , C2p−1 を求めれば、

|n+⟩⟩ =1√2(|2s⟩+ |2p0⟩), |n−⟩⟩ =

1√2(|2s⟩ − |2p0⟩)

で与えられる。すなわち、0でない行列要素が ⟨2s|V |2p0⟩ = ⟨2p0|V |2s⟩∗ だけであることからも分かるように、摂動電場によって 2p+1, 2p−1 状態は影響を受けないが、2s, 2p0 状態の縮退

が解ける。(3点)

量子力学 b 講義ノート - 京都大学yuichiro.sekiguchi/lecture_qm.pdf2 ^ ^ 発展：^

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