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分类号 密级 学校编码：10384
学号：25320121151707 UDC
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几类经典岩土类材料弹塑性本构模型及其敏感
性分析方法研究
Typical Elasto-Plastic Constitutive Models and Their Sensitivity Studies of Earth Materials
邱志坚
指导教师姓名： 古 泉 教 授
专 业 名 称： 结 构 工 程
论文提交日期： 2015 年 04 月
论文答辩时间： 2015 年 月
学位授予日期： 2015 年 月
答辩委员会主席：
评 阅 人：
2015 年 04 月
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年 月 日
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摘要
岩土类材料的非线性力学行为研究对于土-结构相互作用体系或者坝-地基-
库水耦合体系的地震动力响应分析具有重要意义。比如砂土液化可能导致地基失
效，继而引起上部结构破坏。混凝土坝的损伤开裂有可能演化成为坝的整体破坏
甚至溃坝等重大灾变行为。因此深入研究岩土类材料地震过程中非线性破坏的力
学行为是非常必要的。基于此，本文深入研究了三维J2模型，Cap模型、与压力
无关多屈服面黏土（MYS）模型、与压力有关的多屈服面可液化砂土模型（包
括砂土剪缩，剪胀，液化和应变滑移等复杂力学行为）、Drucker-Prager模型等
几类经典的岩土类材料本构关系，详细阐述了这些模型的计算流程和数值实现方
法。此外，本文对MYS模型进行了改进，提出新的MMYS模型及其一致切线模
量计算方法。基于连续最近点投影法，消除了MYS模型计算的三个最主要误差
来源，大大提高了其计算精度和数值稳定性。并且，本文推导了MMYS模型的一
致切线模量保证了牛顿迭代法具有二阶收敛性，进一步提高了计算效率。本文将
上述几种岩土类材料的本构模型在通用有限元软件 OpenSees （ http://
opensees.berkeley.edu）中编程实现，用于分析混凝土重力坝、桩土相互作用体系、
坝-地基-库水耦合体系的地震非线性动力响应。
另一方面，对于复杂的结构或者土-结构体系，仅仅研究其动力响应是不够
全面的，有限元响应的敏感性分析为其提供了一个非常重要和必要的补充。基于
直接微分法的有限元敏感性分析可以高效和精确地计算出其响应的梯度，为参数
不确定分析提供了一种重要分析方法，同时也为基于梯度的优化分析、系统识别、
模型更新和参数重要性研究等问题提供有效和实用的计算工具。在这个背景下，
本文基于直接微分法推导了三维J2模型，Cap模型、Drucker-Prager模型、库水模
型(Acoustic fluid model)，库水单元，坝体与水的接触单元，透射边界单元
(Transmitting-absorbing boundary) 和 地 基 粘 弹 性 人 工 边 界 (Viscous-spring
boundaries)的敏感性分析方法，并在OpenSees中编程实现。用有限差分法验证了
直接微分法推导和实现的正确性。通过计算混凝土重力坝和坝-地基-库水耦合体
系的地震非线性动力响应敏感性，验证了新推导的这几类模型敏感性分析方法的
正确性、计算精度和效率，并基于敏感性分析结果研究了材料参数的相对重要性，
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从而将基于直接微分法的敏感性分析方法拓展和应用到实际水利工程复杂问题
研究中。
关键词：土的本构模型；三维Cap弹塑性模型；改进多屈服塑性模型；砂土液
化模型；截断Drucker-Prager模型；响应敏感性；直接微分法；一致切线模量；
数值稳定性和收敛性；混凝土重力坝；坝-地基-库水耦合系统；桩土相互作用体
系；OpenSees.
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厦门大学硕士学位论文 摘要
ABSTRACT
Study on the nonlinear mechanics behavior of earth materials has significant
influence on the seismic dynamic response analysis of the soil-foundation-structures
interaction system (SFSI) and dam-foundation-water coupling system. For instance,
soil liquefaction may lead to foundation failure and in turn damage the upper
structures. The damage fracture on concrete dam could evolve into structural failure
or even lead to dam collapse. Therefore, it is of great importance to do more research
on the nonlinear mechanics behavior of earth materials during earthquake. Based on
this, several typical elasto-plastic constitutive models of the earth materials, such as
three-dimensional (3D) J2 model，Cap model、Pressure-Independent multi-yield-
surfaces clay model (MYS), Pressure-Dependent multi-yield-surfaces soil model used
to simulate soil contraction, dilation and liquefaction, and Druker-Prager model are
studied. Besides, derivations and implementations of these models in OpenSees are
also presented in details.
The thesis presents a modified multi-yield-surface (MMYS) plasticity model
employing a ‘sequential closest point projection’ method that is consistent with the
discretization of backbone curve of multi-yield-surface (MYS) model. Compared with
existing MYS model, the newly developed MMYS model eliminates the main sources
of the numerical errors caused by the inconsistency between model and discretized
backbone curve, significantly improving the numerical stability and convergence rate
of Newton-Raphson (N-R) iterative process in structural level. Furthermore,
consistent tangent operators consistent with the integration algorithm for the MMYS
model are derived, thus the quadratic rate of convergence in a N-R process is
preserved.
In addition, finite element (FE) response sensitivity analysis is a very important and
necessary complement to the response analysis, since the major focus placed only on
the seismic dynamic response analysis is incomplete to study the complex structural
or SFSI system. Besides, FE response sensitivity analysis based on the Direct
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Differentiation Method (DDM) is a very efficient and accurate method to calculate the
response gradient, as well as an essential tool in studying the propagation of
uncertainties in nonlinear dynamic analysis of structural and SFSI systems. It is worth
mentioning that the DDM based FE response sensitivities represent an essential
ingredient for gradient-based optimization methods which are needed in many
subfields of structural engineering, such as structural reliability analysis, structural
identification, structural optimization, and finite element model updating.
Furthermore, FE response sensitivities are extremely useful for obtaining the relative
importance of a system and the loading parameters with regard to structural response.
This thesis presents the derivations of response sensitivity analysis using DDM for
3D J2 model, Cap model, Druker-Prager model, acoustic model (for water), boundary
element (transmitting-absorbing boundaries), contact element (for fluid-solid
interaction) and spring element (viscous-elastic artificial boundary). The response and
response sensitivity algorithms for these models and elements have been implemented
into OpenSees. In order to validate the program implementation of the DDM in
OpenSees, the response sensitivities computed by using the DDM are shown to match
those computed through the finite difference method (FDM). Implementation of the
response and response sensitivity analysis for the gravity dam and dam-foundation-
water coupling system extends OpenSees’ capability to model 3D concrete structures,
so that it can be used to analyze the large hydraulic engineering (i.e., nonlinear
dynamic response and response sensitivity analysis for concrete gravity dam and
dam-foundation-water coupling system).
Key words：Soil constitutive model; Cap plasticity model；Modified MYS model;
Soil liquefaction model；Truncated Drucker-Prager model; Response sensitivity;
Direct Differentiation Method; Consistent Tangent; Numerical stability and
convergence; Concrete dam; Dam-foundation-water coupling system; Soil-
foundation-structures interaction system; OpenSees.
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第一章 绪论 .............................................................................................. 1
1.1 研究背景及意义 ............................................................................................. 1 1.2 岩土类材料本构模型研究现状 ..................................................................... 3 1.3 基于直接微分法的有限元响应敏感性分析研究现状 ................................. 4 1.4 软件模拟平台—Opensees ............................................................................. 6 1.5 本论文主要内容和创新点 ............................................................................. 6
1.5.1 本论文主要内容 ................................................................................................... 6
1.5.2 本论文创新点 ....................................................................................................... 8
第二章 响应敏感性分析及张量运算在 OpenSees 中的实现 .............. 10
2.1 引言 ............................................................................................................... 10 2.2 结构级上的响应敏感性分析 ....................................................................... 11 2.3 单元级上的响应敏感性分析 ....................................................................... 14 2.4 张量运算在 OpenSees 中的简化 ................................................................. 15 2.5 三维 J2 塑性本构模型及其敏感性分析在 OpenSees 中的实现................ 18
2.5.1 弹性预测 ............................................................................................................. 20
2.5.2 塑性校正 ............................................................................................................. 21
2.5.3 一致切线模量 ..................................................................................................... 22
2.5.4 三维 J2模型响应敏感性分析 ............................................................................ 22
2.5.5 算例分析 ............................................................................................................. 24
2.6 本章小结 ....................................................................................................... 30
第三章 三维 Cap 混凝土塑性本构模型响应及其敏感性分析 ............ 31
3.1 引言 ............................................................................................................... 31 3.2 Cap 模型本构方程 ....................................................................................... 32
3.2.1 屈服函数 ............................................................................................................. 32
3.2.2 流动法则 ............................................................................................................. 33
3.2.3 硬化法则 ............................................................................................................. 34
3.3 “弹性预测”和“塑性校正” ..................................................................... 35 3.4 不同塑性区域中加载 ............................................................................................. 37
3.4.1 受拉破坏区（Mode = 1） ................................................................................. 37
3.4.2 剪拉破坏区（Mode = 2） ................................................................................. 38
3.4.3 Cap 受压破坏区（Mode = 3） .......................................................................... 39
3.4.4 剪压破坏区（Mode = 4） ................................................................................. 40
3.4.5 剪力破坏区（Mode = 5） ................................................................................. 41
3.4.6 弹性区域（Mode = 6） ..................................................................................... 42
3.5 Cap 模型一致切线模量 ............................................................................... 42 3.5.1 受拉破坏区（Mode = 1） ................................................................................. 46
3.5.2 剪力破坏区（Mode = 5） ................................................................................. 47
3.5.3 剪拉破坏区（Mode = 2） ................................................................................. 47
3.5.4 剪压破坏区（Mode = 4） ................................................................................. 48
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3.5.5 Cap 受压破坏区（Mode = 3） .......................................................................... 49
3.6 Cap 模型算例响应分析 ................................................................................ 51 3.6.1 算例 1：三维混凝土块体模型 .......................................................................... 51
3.6.2 算例 2：平面应变混凝土模型 .......................................................................... 55
3.6.3 算例 3：二维混凝土重力坝 .............................................................................. 57
3.7 Cap 模型敏感性分析 .................................................................................... 58 3.7.1 受拉破坏区（Mode = 1） ................................................................................. 60
3.7.2 剪拉破坏区（Mode = 2） ................................................................................. 61
3.7.3 Cap 受压破坏区（Mode = 3） .......................................................................... 62
3.7.4 剪压破坏区（Mode = 4） ................................................................................. 67
3.7.5 剪力破坏区（Mode = 5） ................................................................................. 68
3.8 Cap 模型响应敏感性分析算例 .................................................................... 70 3.8.1 算例 4: 三维混凝土块体模型敏感性分析 ...................................................... 71
3.8.2 算例 5: 平面应变混凝土模型敏感性分析 ...................................................... 75
3.8.3 算例 6: 二维混凝土重力坝敏感性分析 .......................................................... 79
3.9 本章小结 ....................................................................................................... 83
第四章 坝-库水-地基等流固耦合问题的响应敏感性分析 ................ 84
4.1 引言 ............................................................................................................... 84 4.2 截断的 D-P 模型 ........................................................................................... 85
4.2.1 屈服函数 ............................................................................................................. 85
4.2.2 流动法则 ............................................................................................................. 86
4.2.3 弹性预测和塑性校正 ......................................................................................... 86
4.3 截断的 D-P 模型一致切线模量 .................................................................. 90 4.4 截断的 D-P 模型响应敏感性分析 .............................................................. 91 4.5 库水材料及其相关单元 ............................................................................... 94
4.5.1 库水本构及单元 ................................................................................................. 95
4.5.2 固体与流体接触单元 ......................................................................................... 96
4.5.3 流体透射边界单元 ............................................................................................. 96
4.5.4 粘弹性人工边界 ................................................................................................. 97
4.6 摩尔库伦和截断 D-P 模型参数的转化 ...................................................... 98 4.7 算例分析 ....................................................................................................... 99
4.7.1 块体单元受动震荷载作用 ................................................................................. 99
4.7.2 简单的坝-库水-地基耦合体系 ....................................................................... 107
4.7.3 复杂的拱坝-库水-地基耦合体系 ................................................................... 117
4.7 本章小结 ..................................................................................................... 127
第五章 多屈服面塑性模型 .................................................................. 128
5.1 引言 ............................................................................................................. 128 5.2 多屈服面模型 （MYS Model） ............................................................... 129
5.1.1 屈服函数 ........................................................................................................... 129
5.1.2 流动法则（连续形式） ................................................................................... 131
5.1.3 流动法则（离散形式） ................................................................................... 132
5.1.4 硬化法则 ........................................................................................................... 134
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5.1.5 多屈服面模型中的数值误差 ........................................................................... 136
5.3 改进的多屈服面模型 （MMYS Model） ............................................... 137 5.2.1 一般情况计算 ................................................................................................... 137
5.2.2 两种特殊情况处理 ........................................................................................... 142
5.4 一致切线模量 ............................................................................................. 143 5.5 算例分析 ..................................................................................................... 149
5.4.1 算例 1: 黏土块体模型 .................................................................................... 149
5.4.2 算例 2: 三维桩-土相互作用系统 .................................................................. 154
5.6 本章小结 ..................................................................................................... 163
第六章 与压力有关的多屈服面模型 .................................................. 164
6.1 引言 ............................................................................................................. 164 6.2 砂土液化的细观力学机理 ......................................................................... 165 6.3 本构方程 ..................................................................................................... 166
6.3.1 屈服函数 ........................................................................................................... 167
6.3.2 流动法则 ........................................................................................................... 168
6.3.3 加载的定义 ....................................................................................................... 169
6.3.4 剪缩阶段 ........................................................................................................... 169
6.3.5 剪胀阶段 ........................................................................................................... 170
6.3.6 卸载阶段 ........................................................................................................... 170
6.3.7 理想塑性阶段 ................................................................................................... 171
6.3.8 硬化法则 ........................................................................................................... 173
6.4 算例分析 ..................................................................................................... 173 6.5 计算流程 ..................................................................................................... 175 6.6 本章小结 ...................................................................................................... 187
第七章 总结与展望 .............................................................................. 188
7.1 总结 ............................................................................................................. 188 7.2 展望 ............................................................................................................. 191
参考文献 ................................................................................................ 192
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厦门大学硕士学位论文 第一章 绪论
1
第一章 绪论
1.1 研究背景及意义
随着我国经济持续高速发展,大型土木工程建设不断增多,比如重大基础工
程、超高层建筑或者超大跨桥梁、大型水利工程等。例如我国有腰身“纤细”而
且总高度达 600 米的广州塔，还有当今世界上最大的水利水电枢纽工程——长江
三峡大坝。然而，我国是世界上地震发生频率和强度较高的国家之一，并且是世
界上震灾最为严重的国家之一。据统计，20 世纪以来，在我国发生的所有地震
中，震级在 6.0 以上的近 800 次，地震造成的死亡人数达 55 万之多。仅仅 2008
年汶川大地震就造成 87150 人死亡，直接经济损失达 8451 亿元。这些伤亡和财
产损失大多是因为建筑物破坏造成的，因此建筑物正确的抗震设防方法[1-6]对于
防震减灾非常重要。
在地震过程中，土与结构相互作用[7-9]是一个普遍存在的问题，对于结构的抗
震行为影响很大。以往研究表明，地震中结构的动力响应除了取决于结构本身外，
还取决于震源性质（地质断层的力学机理）、波在地层中的传播路径、近场效应、
土结相互作用等因素。而在这些因素中，土结相互作用对土结体系的动力响应至
关重要[10,11]。同样的结构如果建在软土地基上或者坚硬的岩石地基上，在地震中
的反应可能截然不同。这些不同主要是因为土的存在使得土结体系的自震频率往
往较结构的自震频率增加；由于波辐射和土的阻尼造成的土结体系的总体阻尼变
化；以及由于能量在土中的耗散导致的有效地震激励的改变等[12,13]。土结相互作
用对结构在地震中的响应可能是有利（比如减小其幅值）或者有害，取决于特定
的结构、基础和土的性质[14,15]。同时，根据实际地震中的观察和实验所得数据分
析可知，即使在很小的地震作用下，土的力学行为以及土结相互作用也可能是非
线性的。不仅如此在可液化砂土区域的建筑物，由于砂土发生液化现象可能导致
地基失效，继而引起上部结构破坏，液化成为结构破坏最重要的影响因素之一。
因此土与结构相互作用以及岩土的力学行为分析和模拟具有重要的研究意义。此
外，土结动力相互作用是一个相对复杂的问题,涉及到非线性有限元、结构动力
学和岩土地震工程等诸多领域的理论与技术热点问题的前沿性研究课题。随着科
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厦门大学硕士学位论文 第一章 绪论
2
学计算方法和实验技术的不断发展、重大工程不断建造,土结相互作用问题越来
越多得到国内外广泛重视和研究。
此外，我国水资源十分丰富，近年来大力发展水利工程的建设，有很多已建
或在建的土石坝、重力坝、拱坝或者其他水利枢纽工程。在这些工程中，仅仅拱
坝就有 1600 余座,而坝高在 200m 以上的拱坝约有 17 座，不少拱坝的高度或规
模已经赶超了世界先进水平。而这些水利工程大多建在坝址地质条件相对复杂、
地震烈度较高的地区，例如大岗山拱坝设计地震加速度高达 0.558g。一旦发生溃
坝失事造成的人民财产损失将极为严重。因此，对于坝体材料在地震中损伤、开
裂和破坏全过程的非线性力学行为的研究至关重要。并且，在大坝强震分析中需
要将坝-库水-地基作为一个完整的流固耦合系统[16-21]，同时考虑模拟库水和地基
边界能量耗散机理的边界条件。因此本文不仅对几类岩土类材料非线性本构模型
进行了深入研究，还对坝-库水-地基耦合系统及其边界条件进行模拟分析。
另一方面，对于复杂结构或者土-结相互作用体系，仅仅研究其动力响应是
不够全面的，有限元响应的敏感性分析为其提供了一个非常重要和必要的补充。
本文分析了几种常用的敏感性分析方法的优缺点，选择了其中一种高效和实用的
方法，即直接微分法[22-29]。直接微分法不仅为有限元敏感性分析提供了高效和精
确的计算方法，还为参数不确定分析提供了一种重要分析方法，同时也为基于梯
度的优化分析、系统识别、模型更新和参数重要性研究等问题提供有效和实用的
计算工具。在这个背景下，本文基于直接微分法推导了三维J2模型，Cap模型、
Druker-Prager模型[30, 31]、库水模型(Acoustic fluid model)，库水单元，坝体与水的
接触单元，透射边界单元（Transmitting-absorbing boundary）和地基粘弹性人工
边界（Viscous-spring boundaries）[32]的敏感性分析方法，并在通用有限元OpenSees
中编程实现。用有限差分法验证了直接微分法推导和实现的正确性。通过计算混
凝土重力坝和坝-地基-库水耦合体系的地震非线性动力响应敏感性，验证了新推
导的这几类模型敏感性分析方法的正确性、计算精度和效率，并基于敏感性分析
结果研究了材料参数的相对重要性，从而将基于直接微分法的敏感性分析方法拓
展和应用到实际水利工程复杂问题研究中。
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厦门大学硕士学位论文 第一章 绪论
3
1.2 岩土类材料本构模型研究现状
岩土类材料包括混凝土、岩石、土和其他材料（矿物质、水等），其中混凝
土、岩石和土的本构模型为本文研究重点问题，因此下面文中‘岩土类’材料仅
指这几类材料。岩土类材料塑性本构模型最早是根据金属材料的经典塑性理论拓
展得到，通常采用塑性增量理论，即以增量的形式来反映应力增量和应变增量之
间相互关系。岩土的塑性增量理论同样可以由三个条件推导出来，分别为：1）
屈服准则，即通过定义屈服面方程确定塑性应变增量产生的条件，2）流动法则，
规定了塑性应变增量的大小和方向，3）硬化准则，规定了屈服面大小和移动方
式。早在 20 世纪 50 年代，Drucker 和 Prager[30, 31]就将金属的经典塑性本构拓展
应用到描述土的塑性变形当中，从而提出了一个考虑静水压力影响屈服准则的圆
锥形屈服面模型。随后,Drucker[33]在这个屈服面的基础上，增加一个椭球形的“帽
子”，可用于描述土在硬化时的塑性变形特性，即圆锥面和“帽子”随着土的硬
化而发生膨胀。
英国剑桥大学 Roscoe（1963）及其同事[34, 35]在实验的基础上,提出了著名的
剑桥模型，假定土体为加工硬化材料且满足相关流动法则, 从而建立了剑桥模
型。魏汝龙[36]在基于正常固结粘土不排水三轴压缩试验的应力路径资料并考虑
弹性剪应变,从而把屈服面的位置推广到更一般的情况。黄文熙等[37-39]根据试验
资料，直接确定了应变硬化规律和塑性势面,并保证了塑性势面和屈服面一致,
这不仅符合了相关流动法则,而且能很好地模拟中密承德砂从剪缩到剪胀的全过
程。姚仰平[40, 41]等对反映不同组构所形成的结构性、各向异性和颗粒破碎等特
性的弹塑性本构模型进行了综述，引进了描述应力状态的三维化方法、反映应力
历史影响的超固结土模型和模拟渐近状态路径的渐近状态模型等。陈云敏[42]建
立了考虑生化反应-骨架变形–水气运移–溶质迁移耦合作用的模型及其控制方
程，界定并明确了模型参数及测试方法
Lade 和 Duncan 基于砂土的真三轴试验结果并采用非关联流动法则，提出了
适用于砂类土的弹塑性本构模型[43]。由于 Lade 模型在开始建立模型时没有充分
考虑体积变形的影响,因此后来 Lade 又在原模型基础上，加了一个体积屈服面,
从而提出了一个双屈服面模型[44]。为了能更准确地描述土复杂的应力应变关系,
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