DUYARLILIK ANALİZİ

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin

değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki

katsayıların kesin olmadığı ve daha sonra ki dönemlerde değişime uğrayarak optimal çözümü

ne derece etkileyeceği incelenir. Bu değişiklik sonucunda optimal çözümde bir farklılık olacağı

gözleniyorsa, problemin yeniden çözülmesi gerekmektedir. Duyarlılık analizinde, amaç

fonksiyonu ve kısıtlayıcı katsayılarındaki ve kaynak değerlerindeki değer değişiklikleri ile yeni

bir değişken ve yeni bir kısıt eklenmesi halinde optimal çözümdeki değişiklik incelenir.

Normal olarak düşünüldüğünde, kaynaklarda veya kısıtlardaki her hangi bir değişikliğin

etkilerini, doğrusal programlama modelini yeniden çözerek bulmak mümkündür. Ancak, bu

şekilde yeniden çözüm genellikle gereksizdir. Çünkü aynı temel değişkenli farklı bir optimal

çözüme ulaşmak mümkündür. İşte duyarlılık analizi yeniden çözüme gitmeden bu gibi

değişikliğin etkisini optimal çözüm tablosundan belirlemeye çalışır.

Duyarlılık analizi; model parametrelerindeki yapılacak bu değişikliklerin;

a-) etkisini,

b-) etkinin yönünü

c-) değişim aralığını belirlemede yardımcı olmaktadır.

Kısaca Duyarlılık Analizinde;

1- Modeldeki amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcılardaki katsayıların değişmesinin

2- Kaynak değerlerindeki değişimin etki ve sonuçları incelenir.

Duyarlılık analizini aşağıdaki gibi 4 grupta toplamak mümkündür.

Sabitlerin veya kaynak değerlerinin (STD=bi) duyarlılık analizi

Amaç fonksiyonu katsayılarının (Ci) duyarlılık analizi

çözüme giren temel değişkenlerin amaç fonksiyonundaki

katsayılarının D.A.

çözüme girmeyen karar değişkenlerin amaç fonksiyonundaki

katsayılarının D.A.

Yeni bir değişkenin eklenmesinin D.A.

1-) Sabitlerin veya kaynak değerlerinin (STD=bi) duyarlılık analizi

Bir doğrusal programlama modelindeki kısıtlayıcı denklemlerin sağ

taraf değerlerindeki her hangi bir değişikliğin amaç fonksiyonu ve çözüm

kombinasyonuna olan etkisinin belirlenmesi işlemidir.

Simpleks yöntem sonucunda elde edilen optimal çözüm tablosundaki

her bir değerin bir anlamı bulunmaktadır. Özellikle indeks satırındaki değerler

çok önemlidir. Bu değerler;

1. İndirgenmiş maliyet

2. Gölge fiyat

Sonuç Simpleks Tablosu:

Duyarlılık Analizi:

İndirgenmiş maliyet Gölge fiyat=fırsat maliyeti

İndirgenmiş maliyet : Yapısal değişkenlerin indeks satırındaki

değerleridir. Bu değerler, çözüme girmeyen karar değişkenlerinin

çözüme girebilmesi için katsayılarında yapılması gereken minimum

değişikliği göstermektedir.

Bu konuyu aşağıdaki örnekle açıklamaya

çalışalım:

Z max= 5X1+X2+10X3

X1+X3 ≤ 100

X2 ≤ 1

X1, X2, X3 ≥ 0

İndirgenmiş Maliyet:

Öncelikle sonuç simpleks tablosuna bakalım:

İndeks satırında X1 temel değişkeni altında yer alan -5 değeri indirgenmiş maliyet

değerini göstermektedir. Yani, X1 değişkeninden 1 birimlik üretim yapılması durumunda

amaç fonksiyonunda meydana gelecek değişim -5 kadardır. Şöyleki:

X1=0 X2 =1 X3 = 100 bu durumda; Zmax= 0x5+1x1+10x100 = 1001

1 Birim X1’den üretilmesi yani X1’in çözüme girmesi durumunda Zmax -5 azalacak.

Zmax=1001-5 = 996 (yeni Zmax değeri). Peki bu değer nasıl hesaplandı:

Çözüme girmeyen değişken olan X1 sütununda X3 değişkeni karşısında yer

alan 1 değeri, X1 in çözüme girmesi durumunda X3 değişkeninde meydana gelecek

azalmayı göstermektedir. Yani X3=100 idi. Yeni X3= 100-1 = 99

Zmax=1x5+1x1+10x99 = 996

Gölge fiyat : Aylak ve yapay değişkenlerin indeks satırındaki değerleri,

ekonomik anlamda gölge fiyatları veya fırsat maliyetlerini göstermektedir. Eğer

kaynaklarda bir birim değişiklik yapılırsa, bu değişimin amaç fonksiyonu

değerine olan birim etkisi gölge fiyatlar kadar olacaktır. Yani, amaç

fonksiyonunun değeri gölge fiyat kadar değişecektir.

≤ ve = ≥

B+1 B-1 B+1 B-1

Zmax + - - +

Zmin - + + -

1-) Zmax şeklindeki bir amaç fonksiyonunda;

a) ≤ veya = olması durumunda

- STD 1 birim artarsa, Zmax değeri gölge değer kadar artar.

- STD 1 birim azalırsa, Zmax değeri gölge değer kadar azalır.

b) ≥ olması durumunda

- STD 1 birim artarsa, Zmax değeri gölge değer kadar azalır.

- STD 1 birim azalırsa, Zmax değeri gölge değer kadar artar.

2-) Zmin şeklindeki bir amaç fonksiyonunda;

a) ≤ veya = olması durumunda

- STD 1 birim artarsa, Zmin değeri gölge değer kadar azalır.

- STD 1 birim azalırsa, Zmin değeri gölge değer kadar artar.

b) ≥ olması durumunda

- STD 1 birim artarsa, Zmin değeri gölge değer kadar artar.

- STD 1 birim azalırsa, Zmin değeri gölge değer kadar azalır.

X1+X3 ≤ 100

X2 ≤ 1

Örnek:

Z max= 5X1+X2+10X3

Z max= 5x0+1x1+10x100=1001

X1+X3 ≤ 100 şeklindeki kısıtlayıcı koşulu X1+X3 ≤ 101 haline dönüştürürsek;

Zmax=1001 olan değer, birinci kısıtlayıcı koşula ait yapay değişkenin altında yer alan

gölge değer kadar değişir. Burada amaç fonksiyonu Zmax ve işaret ≤ olduğundan, amaç

fonksiyonu değeri artacaktır.

Z max= 1001+10 = 1011 olur. Bunuda X3 değişkeninin katsayısındaki +1 lik değişme

ile sağlamaktadır.

Amaç fonksiyonu:

Zmin = 95x1+80x2+35x3

Kısıtlar:

228x1+210x2+144x3 ≥ 600.000

228x1+210x2+144x3 ≤ 850.000x1 ≤1500

x2 ≤ 1440

x3 ≤ 1260

2-) Amaç Fonksiyonu katsayılarının duyarlılık analizi

a) Çözüme girmeyen karar değişkenlerinin duyarlılık analizi

Eğer bir değişken çözüme girmemiş ise, bu değişkenin amaç denklemindeki

Katsayısı yeterli büyüklükte değil demektir. Dolayısıyla bu katsayının sonsuza kadar

azaltılması sonucu etkilemeyecektir. Peki nereye kadar arttırılabilir?

Bu sorunun cevabı da sonuç simpleks tablosundaki indeks satırında çözüme

girmeyen değişkenin altındaki değer kadardır.

Nasıl Hesaplanır:

Örnek tabloda çözüme girmeyen karar değişkeni X1’dir. Yani X1 karar değişkeninin amaç

fonksiyonundaki katsayısı (Cj) olan 5 değeri bu karar değişkeninin çözüme girebilmesi

için yeterli büyüklükte değildir. Yani bu değerin daha da azaltılması durumunda X1 karar

değişkeni yine çözüme girmeyecektir. Dolayısıyla da optimal çözüm değişmeyecektir.

Ne kadar arttırılabilir:

İndeks satırında X1 karar değişkeni altında yer alan (-5) değeri kadar

değişebilir. Bu da:

Cj-Zj=-5 5-Zj=-5 Zj=10 olarak hesaplanır. Bunun

anlamı; X1 kadar değişkeninin katsayısı en fazla 10 olabilir. Yani katsayı 10’dan küçük

olduğu sürece optimal çözüm değişmez. Kısaca en fazla 5 birim arttırılabilir.

b) Çözüme giren karar değişkenlerinin duyarlılık analizi

Optimal çözümün geçerli olduğu amaç denkleminin katsayılarının

maksimum ve minimum sınırlarının bulunmasıdır.

Örnekte çözüme giren karar değişkenleri X2 ve X3’tür. Yani bu iki karar

değişkenin optimal çözümü değiştirmeden değişebileceği maksimum ve

minimum sınırların belirlenmesi gerekmektedir.

3-) Yeni bir karar değişkeninin eklenmesi

Bu gibi durumlarda yeni bir karar değişkeninin eklenmesiyle optimal çözümün

etkilenip etkilenmediğinin belirlenmesi gerekir. Bunun için de yeni eklenecek

karar değişkeninin katsayısının hesaplanması gerekir. Bunu bir örnekle

açıklayalım:

Örnek:

Bir firma ticari ve bilimsel olmak üzere 2 farklı modelde hesap makinası

üretmek istemektedir. Her bir ticari hesap makinası için 4 diyot ve 2 digital

ekran, bilimsel hesap makinası için de 2 diyot ve 4 digital ekrana ihtiyç vardır.

Toplam diyot miktarı 600 ve digital ekran miktarı ise 480 dir. Ticari hesap

makinasının net karı 8 $, bilimsel hesap makinasının net karı ise 6 $’dır. Karı

maksimum yapan üretim modelini kurunuz.

Z max= 8X1 +6X2

4X1+2X2 ≤ 600

2X1+4X2 ≤ 480

Z max= 8X1 +6X2 Z max= 8x120 +6x60 = 1320

Bu durumda firma, 2 diyot ve 3 digital ekran kullanan net karı 6,5$ olan genel amaçlı

yeni bir hesap makinası üretmek istemektedir. Firma bu ürünü üretmek için karar

verme aşamasındadır. Bu yeni ürünün rasyonel olup olmadığını belirleyelim.

Bu durumda gölge fiyatlar (fırsat maliyetleri) dikkate alınacaktır.

1. kısıtlayıcı koşul diyot kısıtı olduğundan : 2x(1,6667)= 3,33 $

2. Kısıtlayıcı koşul digital ekran kısıtı olduğundan : 3x(0,6667)= 2 $

Toplam yeni maliyet = 5,33 $

Yeni hesap makinasının net karı 6,5 $ idi: 6,5 – 5,33 = 1,17$ bu değer pozitif

olduğundan yeni model hesap makinasının üretimi karlı olacaktır.

Örnek: Z max= 6X1+7X2+10X3 0.2X1+0.3 X2+0.4X3 ≤ 320

0.6X1+0.5 X2+0.4X3 ≤ 400

0.8X3 ≤ 160

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 6480.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 2.400000

X2 640.000000 0.000000

X3 200.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 48.000000 0.000000

3) 0.000000 14.000000

4) 0.000000 5.500000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 6.000000 2.400000 INFINITY

X2 7.000000 5.500000 2.000000

X3 10.000000 INFINITY 4.400000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 320.000000 INFINITY 48.000000

3 400.000000 80.000000 320.000000

4 160.000000 240.000000 160.000000

LINDO Çözüm Tablosunun Yorumlanması:OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 6480.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 0.000000 2.400000

X2 640.000000 0.000000

X3 200.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 48.000000 0.000000

3) 0.000000 14.000000

4) 0.000000 5.500000

NO. ITERATIONS= 2

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 6.000000 2.400000 INFINITY

X2 7.000000 5.500000 2.000000

X3 10.000000 INFINITY 4.400000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 320.000000 INFINITY 48.000000

3 400.000000 80.000000 320.000000

4 160.000000 240.000000 160.000000

Amaç Fonksiyonu Değeri

İndirgenmiş Maliyet Değerleri

Karar Değişkenlerinin Çözüm Değerleri

Aylak/Atık Kapasite

Gölge Fiyatı/Fırsat Maliyeti

Karar değişkeni katsayıları için azami azalış

miktarı

Karar değişkeni katsayıları için azami artış

miktarı

Kaynak değerleri (STD) için azami azalış miktarı

Kaynak değerleri (STD) için azami artış miktarı