----------------------------------------------------------------------------------

NGUYỄN ANH KHOA (10 Toán, THPT Lê Khiết) I. Lời nói đầu: Bài toán tìm cực trị của một biểu thức hay chứng minh một bất đẳng thức là một dạng toán khó trong toán sơ cấp. Đặc biệt với các bài toán mà các biến bị ràng buộc bởi một số điều kiện nào đó thì việc tìm cực trị là điều khó khăn vì ta rất dễ nhầm lẫn về điểm rơi khi sử dụng các bất đẳng thức cổ điển để đánh giá. Vì thế việc dự đoán điểm rơi của bài toán ngay từ đầu là một điều rất quan trọng, nó giúp ta định tốt hướng lời giải của bài toán không dẫn đến sai lầm. Bài viết này sẽ giới thiệu cho các bạn về hướng làm đó. II. Một số ví dụ: Ta đến với các ví dụ sau:

Problem 1: (Tạp chí Toán học& tuổi trẻ) Cho ,a b thỏa mãn điều kiện:

0 42 3 4

b aab a b< ≤ ≤

≤ + Tìm max ( ) 2 2,P a b a b= +

Solution: Định hướng giải:Dự đoán điểm rơi của bài toán đạt tại 4, 3a b= = , khi đó max 2 24 3P = + . Trước hết ta có nhận xét sau: nếu như ta biến đổi theo chiều thuận tức là tách ghép các hạng tử trong biểu thức P để đánh giá cực trị sẽ khó vì việc tìm max của biểu thức P hơi ngược với lối thông thường (bạn đọc có thể làm thử ). Do đó ta nảy ra ý tưởng là sẽ biến đổi theo chiều nghịch tức là biến đổi từ 2 24 3+ .

2 2 2

1 24 3 4a b a

ε ε + +

Trong đó: 1 2,ε ε phải thỏa mãn: 2 2

1 2 12 2 2

1 2

a bb a b

ε ε ε

ε ε

+ = = ⇔ = = −

Tới đây ta giải bài toán như sau:

( ) ( )2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 24 3 4 1 4 3 44 32

b a b b a ba b a a b a

+ = + + − ≥ + + −

( )2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 3 4 4 22

a bb a b b a b a bab a

+ = + − ≥ + − = +

Vậy max ( , ) 25P a b = . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ), 4,3a b⇔ = . Note: Sau đây là hai cách giải khác của bài toán này đã được đăng trên số 371. C1: Xét trường hợp: 0 3,0 4b a< ≤ < ≤ thì 2 2 2 24 3 25a b+ ≤ + = .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Xét trường hợp: 3 4b a< ≤ ≤ thì ( )20 4 3 1a b a b a b< − < − = ⇒ − < − .

Do đó: ( )2 2 2 3 4 4 3a b ab a b a b a b a b+ < + − ≤ + + − = + . Sử dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có: ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 24 3 25 25 25a b a b a b a b a b+ ≤ + ⇔ + < + ⇔ + <

C2: Do 0 4b a< < ≤ nên ( )( ) 24 0 3 4 7a b a a b ab a a− − ≤ ⇔ + ≤ + − ,dựa vào điều kiện của bài toán

suy ra 22 7 7ab ab a a b a≤ + − ⇔ ≤ − . Do đó:

( )( )( )

22 2 2 2

2 2

7 2 14 49

2 4 3 25(1)

a b a a a a

a b a a

+ ≤ + − = − +

⇔ + ≤ − − +

Với 2 2 2 20 3 3 3 18b a a b< < < ⇒ + < + = . Với 3 4a≤ ≤ thì ( )( )4 3 0a a− − ≤ . Từ (1) suy ra 2 2 25a b+ ≤ .

Problem 2: (Nguyễn Anh Khoa) Cho , , , 0a b c n > thoả mãn điều kiện sau:

4

3 4 4 3

2 4 3 6 6

a

a b

ab bc ac

≥

+ ≥ + + ≥

Tìm min ( ), , n n nP a b c a b c= + +

Solution: Định hướng giải: Dự đoán điểm rơi đạt tại 4, 3, 2a b c= = = . Từ cấu trúc của biểu thức P ta liên tưởng đến phải dùng bất đẳng thức phụ sau:

( ) ( )1

1 , , , 0 (*)3

nn n nnX Y Z X Y Z X Y Z n−+ + ≥ + + ∀ > ( bạn đọc tự chứng minh BĐT này ).

Dấu “=” của bất đẳng thức trên đạt tại X Y Z= = nhưng ta không thể sử dụng trực tiếp BĐT trên cho

biểu thức P được mà phải ngầm hiểu rằng trong này ; ;4 3 2a b cX Y Z= = = .

Đồng thời với mong muốn trong quá trình giải phải làm xuất hiện các giả thiết của bài toán nên ta viết lại biểu thức P dưới dạng giả định sau:

1 2 34 3 2 4 3 4

n n n n n na b c a b aε ε ε

+ + + + +

Trong đó 1 2 3, ,ε ε ε phải thỏa mãn :

1 2 3 1

1 2 2

1 3

4 2

3 3 22 4 3

n n

n n n

n n n

ε ε ε ε

ε ε ε

ε ε

+ + = =

+ = ⇔ = − = = −

Tới đây ta giải quyết bài toán như sau:

Ta có: ( ) ( )2 3 2 4 34 3 2 4 3 4

n n n n n nn n n n na b c a b a + + + − + + −

Sử dụng BĐT (*):

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1 1 1

1 1 1 .3 34 3 2 3 4 3 2 3 12 6 8 3

nn n n nn

n n na b c a b c ab bc ac

− − −

+ + ≥ + + ≥ + + ≥ =

2

1 1 1

1 1 1 1 .2 24 3 2 4 3 2 2 4 3 2

nn n n

nn n n

a b a b a b− − −

+ ≥ + ≥ + ≥ =

14

na ≥

Do đó ( ) ( )3.2 2. 3 2 4 3 4 3 2n n n n n n n nP ≥ + − + − = + + .

Vậy min ( ), , 4 3 2n n nP a b c = + + . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ), , 4,3, 2a b c⇔ = .

Problem 3: (Sưu tầm) Cho , , 0a b c > và thỏa mãn điều kiện:

( )

22 5

cab a b

≥ + + ≥

Tìm min ( ) 4 2 2 24

91 32 27, , 4 632 27

P a b c a a b c cc

= + + + + +

Solution:

Định hướng giải: Dự đoán điểm rơi đạt tại 1, 2a b c= = = . Trước hết ta có 32 32 .227 27

c ≥ .

Mặt khác nhận thấy rằng hạng tử 4

27c

có đặc điểm biến c nằm dưới mẫu không thể dung giả thiết của

bài toán để đánh giá được vì vậy ta nghĩ ngay tới việc tách ghép hạng tử 29132

c sao cho khi sử dụng BĐT

AM-GM vừa đảm bảo được dấu “=” vừa làm mất đi biến 4c nằm dưới mẫu:

32 2 24

1 3c cc

α α α+ + ≥ .

Đẳng thức xảy ra 24 6

1 1 164

cc c

α α= ⇔ = = .

Từ đây dẫn tới việc ta sẽ tách 2 2 291 27232 32

c c c= + .

Tiếp theo là ta nghĩ cách đánh giá các hạng tử còn lại: 4 2 2 24 6 2a a b c+ + + (*) Từ hai giả thiết của bài toán ta có đánh giá sau:

( )2 2 2 2 2 2 2

2 24 4 3 322 4 4 2 2 2

a b a c b c cab a b ab ac bc a b+ + ++ + ≤ + + ≤ + + = + +

Khi đó ta tách (*) như sau: 2

4 2 2 23 32 42 2 2

ca a a b

− + + +

. Việc còn lại hạng tử 4 22a a− vừa đúng với

đánh giá ( )22 1 0a − ≥ . Ta có lời giải bài toán như sau:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

( ) ( )2 2 2

4 2 2 24

3 3 32 1 32.2 27.3 11419, , 2 4 27 1 4.52 2 2 27 64 64 27 16 432

c c cP a b c a a a b cc

= − + + + + + + + ≥ − + + + =

Vậy min ( ) 11419, ,32

P a b c = . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ), , 1,1, 2a b c⇔ =

Problem 4: (VUT Contest) Cho , , 0a b c > và thỏa mãn điều kiện

{ }{ }

0 43 min 6 8 12 ;72

2 min 3 4 ;24

c b aabc a b c

ab a b

< ≤ ≤ ≤

≤ + + ≤ +

Tìm max ( ) 2 2 2, ,P a b c a b c a b c= + + + + +

Solution: Nhận xét: Bài toán này thuộc cùng một dạng với bài toán 1. Định hướng lời giải:Dự đoán điểm rơi đạt tại 4, 3, 2a b c= = = . Trước hết ta tìm chặn trên của a b c+ + bằng cách biến đổi theo chiều nghịch. Ta có:

1 2 34 3 2 4 3 4a b c a b a

ε ε ε + + + + +

Trong đó: 1 2 3 1

1 2 2

1 3

a cb b c

c a b

ε ε ε εε ε εε ε

+ + = = + = ⇔ = − = = −

Tương tự tìm chặn trên của 2 2 2a b c+ + bằng cách biến đổi theo chiều nghịch. Ta có: 2 2 2 2 2 2

4 5 64 3 2 4 3 4a b c a b a

ε ε ε + + + + +

.

Trong đó:

2 24 5 6 4

2 2 24 5 5

2 2 24 6

a cb b c

c a b

ε ε ε ε

ε ε ε

ε ε

+ + = =

+ = ⇔ = − = = −

Tới đây ta có lời giải bài toán như sau:

. ( ) ( ) ( ) ( )34 3 2 4 3 4 24 124 3 2 .3. .2.c b c a b c b c a ba b c a b a abc ab

+ + = + + + − + + − ≥ + − + −

( ) ( )3 2c b c a b a b c≥ + − + − = + + (1)

. ( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 24 3 2 4 3 44 3 2 c b c a ba b c a b a

+ + = + + + − + + −

( ) ( )2 2

2 2 2 2 24 3 3 2 2 4 1 4 3 4. . .2

c b c a ba b b c c a a b a

≥ + + + − + + −

( ) ( )2 2

2 2 2 2 212 6 8 1 3 4 42

c a b a bc b c a babc ab a

+ + + = + − + −

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 2c b c a b a b c≥ + − + − = + + (2)

Từ (1)&(2) suy ra max ( ), , 38P a b c = . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ), , 4,3, 2a b c⇔ = .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Problem 5: (Việt Nam MO – 2001) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện:

{ }1 min ,2

3 6

3 10 2 5

z x y

x z

y z

≤ ≤ + ≥ + ≥

Tìm max ( ) 2 2 2

1 2 3, ,P x y zx y z

= + + .

Solution:

Định hướng giải: Dự đoán điểm rơi đạt tại 6 15 1; ;2 3 2

x y z= = = .Do sự xuất hiện của hai dữ kiện

thứ 2 và 3 của đầu bài nên ta có ý tưởng tách biểu thức P thành hai phần để đánh giá cực trị.

( ) 2 2 2 2

1 1 1 1, , 2P x y zx z y z

= + + +

Ta có: 2

2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 zx z x z x

+ = + −

.(1)

Mà: ( )

2 2 2 22

2 2

2

2

6 3 2 2 23 22 2 2 32

1 0

x x z zzx x

zx

≤ + ≤ + ⇒ ≤ +

− ≥

(2)

Từ (2) suy ra ( )2 2

2 2

2 2 81 2 13 3

z zx x

≤ + + − =

(*)

Ta có: 2

2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 zy z y z y

+ = + −

(3)

Mà :

2 22 2 2

2 2

2

2

3 3 2 3 22 2 2 25 55

1 0

zy z y zy y

zy

≤ + ≤ + ⇒ ≤ +

− ≥

(4)

Từ (4) suy ra ( )2 2

2 2 2 2

3 2 13 1 1 263 2 1 25 5 5

z zy y y z

≤ + + − = ⇒ + ≤

(**)

Từ (*)&(**) suy ra max ( ) 118, ,15

P x y z = . Đẳng thức xảy ra ( ) 6 15 2, , ; ;2 3 2

x y z

⇔ =

Comment: Điểm chung của các bài toán trên đó là tính bình đẳng (tình đối xứng) trong mỗi bài toán đều bị phá vỡ. Dẫn tới điểm rơi của các biến lệch nhau, việc dự đoán điểm rơi tùy thuộc vào dữ kiện và đặc điểm của mỗi bài toán. Cính đều này đã tạo nên sự đa dạng, phong phú cho những dạng toán như thế này. III. Lời kết: Qua một số bài toán trên có lẽ các bạn đã phần nào hiểu được tầm quan trong của việc dự đoán điểm rơi trong mỗi bài toán cực trị trước khi nghĩ đến lời giải. Có thể khẳng định đây là việc làm đầu tiên khi

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

đứng trước các bài toán cực trị. Tuy nhiên trong một số bài toán thì việc xác định điểm rơi là một điều khó khăn (chẳng hạn điểm rơi của bài toán là số vô tỉ), chả lẽ lúc đó ta “bó tay”? Câu trả lời là không, bạn đọc hãy theo dõi bài toán sau và bài toán này sẽ thay cho lời kết của chúng ta.

Problem 6: (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho , ,m n p là độ dài ba cạnh tam giác cho trước và ABC∆ nhọn. Tìm min tan .tan .tanm n pA A B C=

Solution:

Xét biểu thức 1 cot .cot .cotm n pB A B CA

= = . Bài toán qui về việc tìm max của biểu thức B với điều kiện

cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A+ + = . Và từ đây ta nghĩ ngay rằng bài toán có thể được giải quyết bằng BĐT AM-GM suy rộng, do đó ta đưa vào các tham số dương , ,x y z ( được xác định sau) sao cho:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cot cot . cot cot . cot cot cot . cot . cotx y z x z x y y zB A B B C C A A B C+ + += =

Ta chọn , ,x y z thỏa mãn :

( )

( )

( )

121212

x m n px z mx y n y m n py z p

z m n p

= + −+ =

+ = ⇔ = − + + + = = − +

Ta có: cot cot cot cot cot cot. .yx z

x y zB A B B C C A

x y z x y z =

Áp dụng BĐT AM-GM suy rộng ta có:

( ) ( )1 cot cot cot cot cot cot 1.

x y z

x y z x y zx y zB A B B C C Ax y z

x y z x y zx y z x y z

+ +

+ + + +

≤ + + = + + + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ). .

x y z m n px y z

x y z m n p m n p m n px y z

x y z m n px y zB Ax y zx y z m n p m n p m n p

+ + + +

+ + − + + − + + −

+ + + +⇒ ≤ ⇒ ≥ =

+ + − + + − + + −

Đẳng thức xảy ra cot cot cot cot cot cotA B B C C Ax y z

⇔ = =

( ) ( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )

cot

cot

cot

m n p m n pA

m n p m n p

m n p m n pB

m n p m n p

m n p m n pC

m n p m n p

− + + −=

− + + + +

− + + + −⇔ = − + + +

− + − + + = + − + +

Qua bài toán trên ta thấy khi không dự đoán được điểm rơi của bài toán ta đưa vào các tham số để giải hệ phương trình sau đó ta mới tìm được điểm rơi của bài toán. Tuy đôi ta phải giải quyết nhiều hệ phương trình phức tạp nhưng đây được coi là công việc bắt buộc khi ta gặp phải những bài toán không đối xứng không hoán vị các biểu thức lệch nhau.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

IV. Bài tập tự luyện: Problem 7: (Tạp chí Toán học&Tuổi trẻ) Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn điều kiện

0 8

13 4 max ; 82

z y x

x y xy xyz z

< ≤ ≤ ≤ + ≥ −

Tìm max ( ) 5 5 5, ,P x y z x y z= + + . Problem 8: (Võ Duy Khanh) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện:

5

4 5 4 5

12 15 20 6 15

a

a b

a b c

≥

+ ≥ + + ≥

Tìm min ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 4 3 2 4 3 2, , 1 1 1P x y z a a a a a b b b b b c c c c c= + + + + + + + + + + + + + +

Problem 9: (Nguyễn Anh Khoa) Cho , ,x y z R+∈ và thỏa mãn điều kiện:

{ } 1max ,3

2 3 6

10 3 5 2 3

x y z

yz y z

xz x z

≤ ≤ ≤ + ≤ +

Tìm min ( ) 2 2 2, , 5 4 9P x y z x y z= + + .

Problem 10: (Olympic 30-4) Cho [ ]0;1x ∈ . Tìm max 2 2( ) 9 1 13 1P x x x x x= + + − .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com