dt1 tema10

212

UNIDAD

n esta Unidad se desarrolla el sistema isométrico en el marco del sistema axo-nométrico ortogonal, del que es un tipo. Su estudio se presenta según dos víasdiferenciadas. Por una parte se tratan la representación de los elementos bási-

cos y las construcciones basadas en las relaciones de paralelismo e intersección. Porotra, la consideración de los coeficientes de reducción, particularizados para el sistemaisométrico, facilitan la representación de polígonos y circunferencias situadas en losplanos coordenados. Por último se presentan las características del sistema dimétriconormalizado DIN-5.

Los procedimientos de geometría del espacio empleados en las construccionesbasadas en las relaciones de pertenencia, intersección y paralelismo, son los mismosque los utilizados en el sistema diédrico. Las características del lenguaje del sistematambién son similares, como puede observarse comparando los títulos de los apartados.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son:

1. Ser capaz de representar puntos, rectas y planos en cualquier posición.

2. Ser capaz de representar figuras planas situadas en los planos coordenados.

3. Ser capaz de realizar construcciones basadas en las relaciones de pertenen-cia, intersección y paralelismo.

Axonometría ortogonal:isométrico y DIN-510

E

213

1. SISTEMA ISOMÉTRICO: FUNDAMENTOS Y REPRESENTACIÓN DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO 2141.1. Fundamentos del sistema axonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2141.2. Características y utilidad del sistema axonométrico ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2151.3. Coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2161.4. Obtención de los coeficientes de reducción. Tipos de sistemas axonométricos ortogonales . . . . . . . 2171.5. Representación del punto en el sistema isométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2181.6. Posiciones del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2191.7. Representación de la recta. Pertenencia de un punto a una recta. Trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2201.8. Obtención de las trazas y demás proyecciones de una recta definida por sus proyecciones directa y horizontal . 2211.9. Posiciones de la recta respecto a los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2221.10. Representación del plano. Pertenencia de un punto o de una recta a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . 2221.11. Rectas notables del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2231.12. Posiciones del plano respecto a los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

2. SISTEMA ISOMÉTRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y REPRESENTACIÓN DE FIGURAS PLANAS 2252.1. Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.2. Intersección de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.3. Intersección de planos cuando las trazas se cortan fuera del papel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.4. Intersección de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2262.5. Paralelismo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2272.6. Paralelismo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282.7. Representación de polígonos situados en planos paralelos a los coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282.8. Perspectiva isométrica de un hexágono situado en un plano paralelo al plano XY . . . . . . . . . . . . . . . 2292.9. Perspectiva isométrica sin reducción de una circunferencia situada en un plano paralelo al plano XZ 230

3. SISTEMA DIMÉTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.1. Sistema dimétrico normalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.2. Relaciones métricas en el DIN - 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2313.3. Construcción de los ejes del DIN-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

Intersección derecta y plano

Intersección deplanos

Intersección derectas

Punto, recta y plano

Axonometría ortogonal Coeficientes de reducción

Trazas y rectas notables

Posiciones particulares

ConstruccionesCondiciones deparalelismo

Intersección

Representación

Sistema isométricoy DIN-5

ParalelismoConservación delparalelismo en la

proyección cilíndrica

Figuras planas situadasen planos paralelosa los coordenados

214

1. Sistema isométrico: fundamentos yrepresentación del punto, la recta y elplano

1.1. Fundamentos del sistema axonométrico

El sistema axonométrico utiliza un sistema de tres ejes coordenados ortogona-les X, Y, Z, que definen un triedro trirrectángulo cuyo vértice es el origen O. El obje-

to se dispone con sus caras paralelas a los planos coordenados XY, XZ, e YZ, llama-

dos respectivamente: horizontal, primer vertical y segundo vertical, que se represen-

tan con las letras H, V y W.

La representación del objeto (Ilust. 1 izquierda) se realiza mediante dos proyec-

ciones sucesivas:

1. El objeto se refiere a los tres planos coordenados XY, XZ, e YZ, mediante sus

proyecciones ortogonales sobre ellos, llamadas proyección horizontal, verticalprimera y vertical segunda

2. Se realiza la proyección del conjunto sobre un plano π, llamado plano del dibujo odel cuadro, obteniéndose cuatro imágenes del objeto referidas a las proyeccio-nes de los ejes X’, Y’, Z’ y de su origen O’. El sistema axonométrico utilizado se

llamará ortogonal u oblicuo de acuerdo con el tipo de proyección empleada.

AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

10UNIDAD

Y’X’

Z’ Z’

Y’X’

YX

Z

O’

O O’

π

Ilustración 1

215

La perspectiva axonométrica del objeto así obtenida (Ilust. 1 derecha), consta de:

• La proyección del objeto sobre el cuadro, llamada proyección directa o pers-pectiva axonométrica del objeto.

• Las proyecciones sobre el cuadro de las tres proyecciones del objeto sobre

los planos coordenados XY, XZ, e YZ, llamadas proyecciones axonométri-cas y también: proyección horizontal, vertical primera y vertical segunda,respectivamente.

• Las proyecciones X ’, Y ’, Z ’ de los ejes coordenados X, Y, Z, llamadas ejesaxonométricos, que definen las características particulares de la perspectiva.

En la práctica se utilizan dos tipos de representación axonométrica:

• La definida por la “perspectiva axonométrica del objeto”, que permite apre-

ciar su forma y por una de las tres proyecciones axonométricas, que informa

de su posición en el triedro de referencia o respecto a otros objetos igual-

mente representados.

• La definida exclusivamente por la perspectiva axonométrica del objeto, cuando

se desea conocer la forma del objeto en sí mismo, sin referencias.

1.2. Características y utilidad del sistemaaxonométrico ortogonal

En la Ilust. 1 puede verse que las caras del cubo no mantienen ni su forma, ni su

tamaño al ser proyectadas, por lo que no se pueden medir directamente ni longitu-

des ni ángulos. Sin embargo, la proyección directa de su representación axonométri-

ca permite hacerse una idea bastante precisa de la forma del cubo. De ahí las carac-

terísticas del sistema: facilidad de comprensión de la forma del cuerpo a partir de surepresentación axonométrica y dificultad de medida de las dimensiones lineales yangulares.

El sistema axonométrico se utiliza para facilitar la comprensión de la forma de

objetos cuya representación diédrica es dudosa o de difícil interpretación. Es infor-

mación complementaria en los planos de fabricación y construcción de proyectos de

ingeniería, arquitectura y diseño industrial.

El croquis acotado, realizado en cualquiera de los sistemas axonométricos, es

un procedimiento de gran utilidad tanto para la toma de datos de objetos existentes,

como para facilitar el estudio de su forma y proponer modificaciones sobre ésta.

216

1.3. Coeficientes de reducción

En la axonometría ortogonal, lo que caracteriza una perspectiva concreta es laposición del triedro de referencia OXYZ respecto al plano del cuadro. Este no es enrealidad un plano concreto, sino que, dependiendo de la operación que se desea rea-lizar, se elige uno cualquiera entre un sistema de planos paralelos.

En la Ilust. 2 puede verse un triedro OXYZ que corta al plano del cuadro π segúnun triángulo ABC llamado triángulo de las trazas. El origen O se proyecta sobre elcuadro en O’, mediante su perpendicular OO’, y los ejes coordenados X, Y, Z se pro-yectan como ejes axonométricos X ’, Y ’, Z ’, pasando por O’ y por los puntos A, B, C,que son dobles.

Como el eje Z es perpendicular al plano XY y a la traza AB contenida en él, suproyección Z ’ también será perpendicular a dicha traza AB. Razonando análogamen-te para los ejes X e Y, concluiremos que: los lados del triángulo de las trazas son per-pendiculares a los ejes axonométricos.

Los diferentes ángulos α, β, γ que forman los ejes coordenados X, Y, Z con elcuadro π, son los mismos que forman con sus respectivas proyecciones X ’, Y ’, Z ’sobre él. Si se toma una unidad de longitud u sobre uno cualquiera de los ejes coor-denados, por ejemplo Z, ésta se proyecta en Z ’ multiplicada por el coseno del ángu-lo que forman γ, y por tanto reducida. Se llama coeficiente de reducción cz del eje

z, a la razón entre la unidad reducida uz y la unidad u. Será pues: , y

análogamente y .c uux

x= = cosα cuuy

y= = cosβ

c uuzz= = cos γ


10UNIDAD

Y’

X’

Z’

π

O’

O

Z

Y

X

u

uz

β

α

γ

A

B

C

Ilustración 2

217

Así pues, podemos llevar una medida sobre un eje multiplicándola por su coefi-ciente de reducción. Recíprocamente, si se desea conocer la verdadera magnitud deuna longitud paralela a un eje coordenado de un objeto representado en axonomé-trico, se dividirá por su coeficiente de reducción.

1.4. Obtención de los coeficientes de reducción.Tipos de sistemas axonométricos ortogonales

Sean X ’, Y ’, Z ’ los ejes axonométricos de una perspectiva (Ilust. 3).

Se dibuja un triángulo de las trazas ABC cualquiera, cuyos lados AB, BC y CAsean perpendiculares a los ejes Z ’, X ’ e Y ’ respectivamente. Se abate el triánguloOBC, que contiene a los ejes Z e Y, sobre el cuadro alrededor de la charnela BC.Para ello se traza la semicircunferencia de diámetro BC, que corta en (O) a la direc-ción de abatimiento de O, que es la perpendicular a la charnela BC que pasa por O’.Las rectas (O)C y (O)B son los ejes coordenados abatidos (Z) e (Y).

Llevando una unidad de longitud u sobre (Z) y trazando por sus extremos para-lelas a la dirección de abatimiento, se obtiene sobre Z’ la unidad reducida uz.Abatiendo el triángulo AOB se obtiene (X) e (Y); llevando sobre ellos la unidad delongitud se obtendrán ux y uy.

Y’

X’

Z’

π

O’

Z

Y

X

(O)

(O)

(Z)

(Y)

(Y)

(X)

u

(u)

uz

X’Y’

Z’

(Y)

(Y)

(X)

(Z)

uz

uy ux

u u

u(O)

(O)

O’

AB

C

A

B

C

Ilustración 3

218

Obtenidas las unidades reducidas de cada eje, los coeficientes de reducción sonlas razones entre estas y la unidad de longitud empleada.

Cuando los ángulos ρ, δ, σ que forman los ejes axonométricos X ’, Y ’, Z ’ entre síson distintos (Ilust. 4), también lo son los coeficientes de reducción de cada eje y elsistema se llama trimétrico. Cuando dos de dichos ángulos son iguales, los coeficien-tes de reducción de los ejes no comunes a dichos ángulos son iguales (en el ejem-plo ρ = σ y cx = cz) y el sistema se llama dimétrico.

Cuando los ángulos ρ, δ, σ son iguales los coeficientes de reducción de los tresejes también son iguales y el sistema se llama isométrico. El valor de dichos ángu-los es 120º y el de sus coeficientes de reducción 0,816.

1.5. Representación del punto en el sistemaisométrico


10UNIDAD

X

X

XX YY

Z ZZ

O

Trimétrico Dimétrico Isométrico

ρ

ρ=σ

ρ=σ

δ δσ 120º 120º

120ºc = X cZ c = = X c c = 0,816Y Z

O

O

Ilustración 4

Y’X’

Z’

Y

Z

X

Z

YX

O

O’

ππ

A

AA’

A1

A1

A’1

A2

A2

A’2

A3

A3A’3

Ilustración 5

219

Un punto A se representa mediante su proyección directa A’ y sus tres proyeccio-nes axonométricas A’1, A’2 y A’3 (Ilust. 5). Estas se llaman proyección horizontal, ver-tical primera y vertical segunda. En la práctica se prescindirá de las primas y serepresentará el punto A mediante su proyección directa A y una de las axonométri-cas, preferiblemente la horizontal A1, pues a partir de ellas se pueden obtener lasdemás. Se prescindirá también de las primas en la notación de los ejes y del origende coordenadas.

Las rectas proyectantes AA1, AA2, AA3 y sus proyecciones en los planos coorde-nados, definen un ortoedro cuyos lados son las coordenadas del punto A, que define

su posición en el espacio. Si hacemos se expresará el

punto A por sus coordenadas A (x, y, z).

1.6. Posiciones del punto

Los planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones en las que puedeencontrarse el punto. La región más próxima al observador se considera vista y enél las coordenadas de los tres ejes X, Y, Z, tienen signo positivo.

Para representar un punto a partir de sus coordenadas, se construye el ortoedrode referencia de éste. Los tres primeros lados se sitúan sobre los ejes correspon-dientes, en sentido positivo o negativo a partir del origen.

En la Ilust. 6 izquierda se han representado los puntos A, B, C. Por ejemplo,

para representar el punto C se llevan , y

sobre los ejes X, Y, Z respectivamente. Al completar el ortoedro

se obtiene C.

En la Ilust. 6 derecha se han representado puntos situados en los planos, ejes uorigen de coordenadas. En ellos una o varias proyecciones axonométricas coincidencon la proyección directa.

OP cm= ×1 0 816,

OM cm= − ×3 0 816, ON cm= − ×2 0 816,

AA x AA y AA z3 2 1= = =, , ,

ZZ

YY

XX

A

C

B

AA1

C1

B2

B3

B1

A2

A3

C3C2

B

C A (2, 3, 1)

B (-3, -2, -3)

C (-3, -2, 1)

Coordenadas en cm

OO

P

N

M

Ilustración 6

220

1.7. Representación de la recta. Pertenenciade un punto a una recta. Trazas

Una recta r se representa mediante su proyección directa y sus tres proyeccio-nes axonométricas r1, r2 y r3. Estas se llaman proyección horizontal, vertical primeray vertical segunda. Sólo dos proyecciones son precisas para definirla, preferiblemen-

te la directa y la horizontal.

También puede definirse una recta (Ilust. 7) mediante dos de sus puntos A, B y

representarse por dos de sus proyecciones AB, A1B1. Recíprocamente, se puede

establecer la condición de pertenencia: un punto pertenece a una recta si al menosdos de las proyecciones del punto están contenidas en las homónimas de la recta.

Las trazas de una recta son los puntos de intersección de ésta con los planoscoordenados. Existen tres trazas Hr, Vr, y Wr con los planos Horizontal, primer verti-cal y segundo vertical respectivamente. Cada una de ellas, como la Hr, tiene tres pro-yecciones axonométricas Hr1, Hr2, Hr3, coincidiendo la correspondiente al plano decorte con la proyección directa (Hr con Hr1, Vr con Vr2, Wr con Wr3).

Las trazas de una recta r son los puntos en que ésta cambia de región y la divi-

den por tanto en varios tramos, de los cuales el situado en la región OXYZ es visto

y los demás ocultos. Los tramos vistos se dibujan con trazo continuo y los ocultos

con trazo discontinuo.


10UNIDAD

Z

Y

X

A

B

A1

B1

r1

r3

r2

A2

A3

O

r

WrWr3

VrVr2

Hr Hr1

Hr2

Hr3

Ilustración 7

221

1.8. Obtención de las trazas y demás pro-yecciones de una recta definida por susproyecciones directa y horizontal

Sea r la proyección directa y r1 la proyección axonométrica horizontal de una

recta r (Ilust. 8).

La traza con el horizontal será el punto de corte de r con r1.

Las proyecciones horizontales Vr1 y Wr1 de las trazas con el primer y segundo ver-

tical son los puntos de corte de r1 con los ejes X e Y respectivamente. Levantando

por ellos paralelas al eje Z hasta la recta r, se obtienen las trazas Vr y Wr.

Las otras dos proyecciones axonométricas r2 y r3 están definidas por las proyec-

ciones Hr2 y Hr3 de la traza con el horizontal de la recta r y por las trazas Vr y Wr res-

pectivamente.

Para averiguar cuál es la parte vista de la recta r, se sitúan puntos entre sus tra-

zas y se observa el signo de sus coordenadas. Se prueba el punto B y se observa

que su coordenada x es negativa. Se prueba el punto A y se observa que todas sus

coordenadas son positivas. No es preciso probar más, la parte vista se halla entre Hr

y Wr.

A

B

A1

B1

Z

Z

YY

X

X r1

r2

r3

r1

rr

Wr

Vr

Hr Hr1

Hr2

Hr3 Wr1

Vr1

Ilustración 8

222

1.9. Posiciones de la recta respecto a losplanos coordenados

Las rectas que son paralelas a los ejes o a los planos coordenados, o incidentesen el origen, los ejes o los planos coordenados, presentan características especialesen la disposición de sus proyecciones y trazas. El estudio de la Ilust. 9 facilitará lainformación necesaria.

1.10. Representación del plano. Pertenenciade un punto o de una recta a un plano

Un plano α se representa mediante sus tres trazas α1, α2 y α3 con los planos coor-denados.

En la Ilust. 10 se ve cómo las trazas α1 y α2 se cortan en el eje X, α2 y α3 en eleje Z y α1 y α3 en el eje Y. Dicho punto de corte puede hallarse en la parte negativade los ejes. De ahí la condición que deben cumplir las trazas:


10UNIDAD

Z Z Z

ZZ

Y Y Y

YY

X X X

XX

r1

r1

r1

r1

r1

r2 r2

r2

r2

r2

r3r3

r3 r3

r3

r

r

r r

rWr

Wr

Wr

Vr

Vr

Vr

Vr

Vr

Hr

Hr

Hr

Paralela a unplano coordenado

Contenida en unplano coordenado

Paralela a uneje coordenado

Que pasa por uneje coordenado

Que pasa porel origen

Ilustración 9

223

• Las trazas de un plano definen un triángulo, llamado triángulo de las trazas,cuyos vértices están en los ejes coordenados.

Las condiciones de pertenencia de una recta o un punto a un plano son:

• Una recta pertenece a un plano si al menos dos de sus trazas están conte-nidas en las trazas homónimas del plano.

• Un punto pertenece a un plano si pertenece a una recta de dicho plano.

Así en la Ilust. 10 la recta r pertenece al plano α porque Hr está en α1 y Vr estáen α2. Y el punto A pertenece a α porque es un punto de la recta r, que a su vez per-tenece a α.

Recíprocamente, si un plano se define mediante dos rectas secantes o parale-las, sus trazas estarán determinadas por las de las rectas. Si se define mediante unpunto y una recta, se estará en el caso anterior trazando una secante a la recta quepase por el punto. Por último, si está definido por tres puntos las trazas del planoquedarán determinadas por las de las rectas que pasan por ellos.

1.11. Rectas notables del plano

De todas las infinitas rectas que pertenecen a un plano algunas son, por suscaracterísticas, especialmente útiles como auxiliares en los trazados. Estas son(Ilust. 11):

• Horizontal de plano, sus proyecciones directa h y horizontal h1 son paralelas

a la traza α1 del plano y h2, h3 paralelas a los ejes X, Y.

• Frontal primera del plano, sus proyecciones directa f y vertical primera f2 son

paralelas a la traza α2 del plano y f1, f3 paralelas a los ejes X, Z.

Z Z

Y Y

X Xr1

r1

OO

rrWr

Wr

Vr

Vr

Hr

Hr

A

A

A1 A1

α1

α1

α2α2

α3

α3

Ilustración 10

224

• Frontal segunda del plano, sus proyecciones directa g y vertical segunda g3

son paralelas a la traza α3 del plano y g1, g2 paralelas a los ejes Y, Z.

1.12. Posiciones del plano respecto a losplanos coordenados


10UNIDAD

α1

α1

α2

α2

α2

α3

α1

α3

ZZ Z

YY YXX X

Horizontal Frontal segundaFrontal primera

f1

f3 f2

h1

h3 h2g3

g2

g1

f

hg

Ilustración 11

α1

α1

α1

α2

α2

α2

α1 α2

α3

α3

α3

α3

α3

Z

Z

Z Z

Z

Y

Y

Y Y

Y

X

X

X X

X

Paralelo a unplano coordenado

Incidente en uneje coordenado

Plano proyectante.Perpendicular al cuadro

Paralelo a uneje coordenado

Plano frontal.Paralelo al cuadro

Ilustración 12

225

Los planos paralelos a los planos coordenados, o paralelos o incidentes a losejes, presentan características especiales en la existencia o disposición de sus tra-zas. Los planos paralelos al del cuadro tienen el triángulo de las trazas semejante alsuyo. Los proyectantes al cuadro tienen sus trazas alineadas. El estudio de la Ilust.12 facilitará la información necesaria.

2. Sistema isométrico: intersección,paralelismo y representación defiguras planas

2.1. Intersección de rectas

Dos rectas se cortan si los puntos en que sus proyecciones homónimas se cor-tan son las proyecciones de un solo punto.

En la Ilust. 13 izquierda las proyecciones directas de las rectas r y s se cortan,pero al trazar una paralela al eje Z por su punto de intersección, se determina la pri-mera proyección de un punto A en la recta r y de otro B en s. Se dice que las rectasr y t se cruzan. En cambio las rectas s y t tienen un punto C común, por tanto las rec-tas s y t se cortan.

2.2. Intersección de planosLa intersección de dos planos es una recta común a ambos cuyas trazas son los

puntos de corte de las trazas homónimas de dichos planos.

Así en la Ilust. 13 derecha se obtiene la traza Hi de la recta intersección i en el

Z Z

Y Y

X Xr1

s1

t1

i1

OO

r s

t

i

Wi

Wi1

Vi

HiHi1

A B C

A1

C1

B1α1

α2

α3

β3

β2

β1

Ilustración 13

226

punto de corte de α1 y β1, la traza Vi en el punto de corte de α2 y β2 y la traza Wi en el

punto de corte de α3 y β3. La proyección directa i se obtiene uniendo dichas trazas.

La proyección horizontal i1 es la recta que une las primeras proyecciones Hi1 y Wi1 de

sus trazas y análogamente las demás.

2.3. Intersección de planos cuando las trazasse cortan fuera del papel

Sean α y β los planos (Ilust. 14).

El punto de corte de las trazas α1 y β1 es la traza Hi de la recta intersección i. Para

obtener otro punto se traza el plano auxiliar γ, paralelo al horizontal y se hallan las

rectas de intersección a y b con los dados. La intersección de α3 y γ3 es la traza Wa

de la horizontal de plano a, cuyas proyecciones directa a y horizontal a1 son parale-

las a la traza α1. Obtenida análogamente b, se traza la recta i, que une el punto A de

intersección de ambas con la traza Hi.

2.4. Intersección de recta y plano

Para hallar la intersección de una recta con un plano se traza un plano auxiliarque contenga a la recta, preferiblemente proyectante en uno coordenado y se hallasu punto de corte con la recta intersección de ambos planos.


10UNIDAD

Z Z

Y Y

X Xi1

a1 b1

i

a b

α1 α1

α3 α3

γ3

β2 β2

γ2

β1 β1

Wa

Wa1

HiHi1

A

A1

Ilustración 14

227

Sea α el plano y r la recta (Ilust. 15).

Se traza el plano proyectante en el horizontal β, de modo que su traza β1 coincida

con r1. Trazada la recta i, de intersección de los planos α y β, se obtiene la perspectiva

I del punto de intersección,en el punto de corte de las proyecciones directas i y r. Una

paralela al eje Z trazada desde Ihasta r1 dará I1.

2.5. Paralelismo entre rectas

ZZ

YYXX

i1

r1r1

O

i

rr

Wi

Vi

Hi

II1

α1α1

α2α2

α3α3

β3

β1

Ilustración 15

Z Z

Y Y

X Xh1

r1s1

O

hr

s

Wi

Vh

α1

α2

α3

β2

β1

A

A

A1

A1

Ilustración 16

228

Dos rectas son paralelas cuando al menos dos de sus proyecciones homónimasson paralelas.

Para trazar por un punto A la paralela s a una recta r (Ilust. 16 derecha), se tra-

zan por A y A1 sus proyecciones s y s1 paralelas a r y r1 respectivamente.

2.6. Paralelismo entre planos

Dos planos son paralelos si al menos dos de sus trazas homónimas son paralelas.

Para trazar por el punto A un plano β paralelo al plano α (Ilust. 16 derecha), se

traza una horizontal de plano h que pase por A. Sus proyecciones directa h y hori-

zontal h1 pasarán por A y A1 y serán paralelas a α1. Obtenida Vh la traza β2 del plano

β pasará por él y será paralela a α2, y la horizontal β1 concurrirá con ella en el eje Xy será paralela a α1 y h1.

2.7. Representación de polígonos situadosen planos paralelos a los coordenados

En el sistema isométrico sólo se pueden leer o llevar medidas directas (sin aba-

timientos) sobre rectas paralelas a los ejes axonométricos. Por ello, la medida de

segmentos situados en posición oblicua a los ejes coordenados se debe referir a las

de segmentos paralelos a los ejes. Así pues:

Para representar en isométrico un polígono situado en un plano paralelo a unplano coordenado se traza un rectángulo cuyos lados contengan a sus vértices (Ilust.17). La perspectiva de la figura formada por dicho rectángulo y los vértices a él refe-ridos, determina la del polígono. Si quedaran vértices del polígono sin referir, se com-

pletará la figura mediante paralelas a los lados que pasen por ellos.

Si se trata de una circunferencia se traza un cuadrado circunscrito y sus parale-las medias (Ilust. 18). La perspectiva del conjunto es una elipse definida por dos diá-metros conjugados y las tangentes en sus extremos.

Las medidas se llevan sobre paralelas a los ejes multiplicadas por el coeficiente

de reducción, pero como en isométrico los coeficientes de los tres ejes son iguales,

es posible transportar las medidas reales sin que la perspectiva sufra más distorsión

que una modificación de su escala.


10UNIDAD

229

2.8. Perspectiva isométrica de un hexágonosituado en un plano paralelo al plano XY

Sea el hexágono regular ABCDEF que se desea situar sobre el plano α, en el

sistema isométrico dado (Ilust. 17).

Se traza el rectángulo PQRS de modo que sus lados contengan los vértices del

hexágono dado.

Se sitúa el rectángulo y los vértices contenidos en sus lados sobre el plano α.

Para ello se transportan las dimensiones reducidas de los segmentos SE__

, ED__

, DR__

sobre la traza α2, y las de los de los segmentos SF__

y FP__

sobre la traza α3. Mediante

paralelas a las trazas quedan determinados los vértices del cuadrado y del hexágo-

no, que unidos definen su perspectiva isométrica.

Al ser α proyectante, las proyecciones axonométricas verticales coinciden con

las trazas α2 y α3, y para obtener la horizontal se utiliza el ortoedro de referencia de

cada vértice.

α2α3

Z

X

O

aa b

c

c

A B

C

DE

F

P Q

RS

α2α3

Z

Y X

O

0,816 c

0,816 c

0,816 a

0,816 a

0,816 b

P R

SE

F

F1

A1

B1

C1

D1

E1

A

BC

Q

Ilustración 17

230

2.9. Perspectiva isométrica sin reducción deuna circunferencia situada en un plano paraleloal plano XZ

Sea α el plano y r el radio de la circunferencia (Ilust. 18).

Se llevan sobre cada una de las trazas α1 y α3 dos segmentos iguales al radio r,sin reducir y se trazan por sus extremos paralelas a ellas. Estas determinan dos diá-

metros conjugados AB y CD de una elipse, que es la perspectiva isométrica sin

reducción de la circunferencia. Las proyecciones axonométricas horizontal y vertical

segunda de los diámetros coinciden con las trazas α1 y α3. La vertical primera se

obtiene mediante los ortoedros de referencia de sus extremos.

Las elipses se construyen mediante haces proyectivos según se detalla para la

mitad ADB.

Es suficiente con indicar que se trata de una perspectiva sin reducción, pero si

no se hace así, se modificaría la escala del dibujo multiplicando el denominador por

0,816.


10UNIDAD

Z

Z

Y

Y

X

X

O

O

r

r

r

r

P

A

C

B

D

Q

R

S

r

r

r r

A

C

B

D

P Q

RS

α1 α1

α3

α3

A2

C2

B2

D2

ESCALA 1:1

ESCALA 1:0,816

Ilustración 18

231

3. Sistema dimétrico

3.1. Sistema dimétrico normalizado

En el sistema dimétrico dos de los ángulos que forman los ejes axonométricosson iguales, asi sucede con los ángulos X ’O’Y ’ e Y ’O’Z ’ en la Ilust. 19 izquierda. Losejes X ’, Z ’, que determinan el ángulo distinto X ’O’Z ’, tienen unidades reducidas ux,uz iguales y coeficientes de reducción cx, cz también iguales.

De entre los infinitos dimétricos que cumplen dichas condiciones las normas DIN-5 y UNE 1-031-75-B proponen aquel cuyas unidades reducidas guardan la proporción

3.2. Relaciones métricas en el DIN - 5En la Ilust. 20 se han dibujado unos ejes DIN-5, la traza AC del triángulo de las

trazas y el abatimiento de los ejes X, Z. Si llamamos m a las longitudes iguales A(O),C(O), la hipotenusa AC del triángulo rectángulo A(O)C será m√2

_ . Además, la longi-

tud real m, multiplicada por el coeficiente de reducción cx = cz, dará las longitudes

Los coeficientes de reducción están relacionados mediante lla expresión

, sustituyendo los valores de c c cx y x2 2 2 2+ + = cc c

c c c

y z

xx

x

y se obtiene la expresión

que p2

2

2

22+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ = eermite obtener los valores , .c c cx z y= = =2 2

3

2

3

u u u c c cx z y x z y

2 2 1 2 2 1= = = =, de donde (Ilust. 19 derecha).

Dimétrico

ρ σ=

ρ σ=

δ

c = X cZ

X’

Y’

Z’

(Y)(X)

(Z)

uz

uy

ux

u u

(O)

(O)

O’

AB

C

u

(X)

Z’

X’

Y’

Z’

X’Y’

DIN-5

Ilustración 19

232


10UNIDAD

reducidas . Si dividimos los tres lados del triángulo rectángulo A(O)C

entre √2_

obtenemos otro semejante de lados m, 2/3 m, 2/3 m, que facilita la construc-ción de los ejes.

3.3. Construcción de los ejes del DIN-5

AO O C m' '= = 2 2

3

O’

(O)(Z)

(X)

C

A

Z’

X’

Y’

m

m

O’

C

A

Z’

X’

m

23

m

23

m

2 2√ 3

m

2 2√ 3

m

m √2

Ilustración 20

O’

C

A

Z’

X’

Y’

O’

C

AX’

n

n

n

Ilustración 21

Se traza una semirrecta vertical de origen C y se transportan sobre ella tres seg-mentos iguales n (Ilust. 21 izquierda). La segunda división es el centro de los ejesaxonométricos O’. El extremo A, de la traza CA, es el punto de corte de los arcos decentros O’, C y radios 2n, 3n, respectivamente.

Dibujados los ejes axonométricos Z ’=O ’C y X ’=O ’A (Ilust. 21 derecha) el tercereje Y’ es la mediatriz de la traza CA.

R e c u e r d a

U El sistema isométrico utiliza un triedro de referencia formado por tres ejes coorde-

nados X, Y, Z, tres planos coordenados XY, XZ, YZ y el origen O.

U Las proyecciones ortogonales del objeto sobre los planos coordenados se llaman

horizontal, vertical primera y vertical segunda.

U La proyección del objeto en el plano del cuadro es su perspectiva isométrica.

U La proyección ortogonal de las proyecciones horizontal, vertical primera y vertical

segunda en el cuadro son sus proyecciones axonométricas.

U La proyección de los ejes coordenados en el plano del cuadro son los ejes axono-

métricos.

U Los lados del triángulo de las trazas del plano del cuadro son perpendiculares a los

ejes axonométricos.

U Los coeficientes de reducción son las razones entre las unidades reducidas y la

unidad de longitud empleada. En isométrico su valor es 0,816 en los tres ejes.

U A partir de dos cualesquiera de las proyecciones de un punto se pueden obtener

las otras dos mediante el ortoedro de referencia.

U Para obtener la perspectiva isométrica de figuras planas situadas en planos para-

lelos a los coordenados, se encajan en rectángulos, de modo que la perspectiva de

éstos determine la suya.

233

234


10UNIDAD

A c t i v i d a d e s

1. Se dan las proyecciones directa y pri-mera de la recta r. Obtener las demásproyecciones, las trazas y dibujar suspartes vistas y ocultas.

Z

Y Xr1

O

r

2. Trazar la paralela a los planos α y βque pasa por el punto A.

Z

Y X

O

α1

α2

α3

β2

β1

A

A1

3. Hallar las trazas del plano definido porla recta r y el punto A.

4. Se da el croquis de una piscina.Obtener su perspectiva isométrica sinreducción, situándola en el plano XY.

Z

Y X

r1

O

r

A

A1ESCALA 1:1000COTAS EN M

26,8

29,2

6,1

14,6

dt1 tema10

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