ZLATNI PRESEK111 Dravni univerzitet u Novom Pazaru

ZLATNI PRESEK U UMETNOSTI

Departman: Za matematike,fizike i informatike naukeStudijski program: MatematikaPredmet: Projekat

Student: Mentor:Aida arovac 01-007/09 Prof.dr Milo anak

Novi Pazar 2012

SADRAJ

Uvod.3

Analiza teorijsko-praktine primene zlatnog preseka..5

Arhitektura..13

Slikarstvo I vajarstvo .17

Knjievnost.23

Muzika.25

Zakljuak.27

Literatura 28

UVOD

Zlatni presjek se prvi put spominje 500 god pne. u spisima koji govore o dodekaedru. Dodekaedar je geometrijsko tijelo koje se sastoji iz dvanaest pravilnih petougla. Te spise su napisali Etrurci. Prvi koji su ozbiljnije razmotrili zlatni presjek dui su bili pitagorejci. Oni su koristili zlatni presjek dui da bi konstruisali pravilan petougao, koji su u svome bratstvu proglasili simbolom zdravlja.Kod zlatnog preseka vrlo je bitne proporcije. Problem tanih proporcija je jedno od osnovnih pitanja ne samo u matematici, ve i u prirodi, pa i umetnosti. Od najstarijih vremena estetiari su se bavili problemom lijepe forme. Oni su se pitali postoji li neka forma koja bi bila najljepa od svih.Grci su smatrali da je to krug,jer je ova forma najsavrenijaPored ovih estetiara, koji su traili brojne odnose lijepih proporcija, treba pomenuti veliki broj estetiara koji su vjerovali da se tajna lijepe forme nalazi u raznim geometrijskim figurama (ravnostranom ili ravnokrakom trouglu, dijagonalama kocke, pentagonu i tako dalje).Mnogi od njih su uzimali zlatni presek za ,,recept lepote. Meutim,jo interesantnija je injenica da se zlatni presek uistinu nalazi u mnogim poznatim umetnikim delima. U matematici

Kao matemati~ki problem, zlatni presek privla~io je jo{ Pitagoru. Kepler }e da nazvati jednim od dva biseka geometrije. )Drugi deo je Pitagorina teorema.) kao i mnogi prethodnici, Keplar je zlatnom preseku video klju~ kosmi~ke harmonije. Nije stoga ~udno {to zlatni presek nalazimo u proporcijama Keopsove piramide, ili kasnije, na fasadi Partenona. Ako zlatni presek s lako}om vazujemo za plasti~ne umetnosti, njegovo prisustvo u takozvanim umetnostima vremena, kao sto je muzika, mo`e da izazove izvesne nedoumice. Me|utim, numeri~ka transpozicija mu`ike, dozvoljava tako|e

6primenu propozicije, naro~ito na nivou intervala, zasnovanih na zlatnom preseku. Zapravo, najzanimljivije kod zlatnog preeka je to {to, za razliku od proste simetrije, nudi ideju kretanja. Podelima li jednu du` na pola, dobijamo dva jednaka segmenta, odnos 1:1, ili simetrije, nudi ideju kretanja. Podelimo li duz po principu zlatnog preseka, dobijamo dva nejednaka segmenta koji omogu~avaju uspostavljanje progresije, poznate pod nazivom Fibonacijev niz (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144), kao kontinuelne proporcije gde tre~i segment uvek prestavlja zbir prva dva. Ova kontinualnost dozvoljava praki~no beskrajan pokredt u oba pravca, {to nas goni da mislimo na najnovije rezultate fraktalne geometrije. Time se i obja{njava princip organskog rasta: mogu} je rast bezbroj segmenta koji su jedan prema drugom u pomenuto odnosu, a da se osnovni princip i integritet bi}a ne naru{i. I upravo je ovaj dinami~ki aspekt taj koji nas interesuje. Zlatni presek pokazuje se kao princip dinami~ke simetrije. Jer nisu vi{e segmenti ti koji se postavljaju i umno`avaju, kao kod translatorne simetrije, ve} su to odnosi me|u segmentima.Posmatran iz ove dinamicke perspective, zlatni presek potvr|uje se kao najjednostavniji mogu}i odnos izme|u delova i celine, i verovatno je to razlog {to ga i genije prirode i ljudski genije odabiraju kao najsavr{eniji, time i najlep{i. ve} za Platona, bilo je mogu}e kombinovati dve stvari bez tre}e: potrebna im je veza koja }e ih ujediniti. A nema bolje veze od one koja, sa ovim {to spaja, ~ini celinu. Pokazuje se ponovo da jedan logi}ni kriterijum, jednostavnost, odnosno logi~no savr{enstno, postoje neosporni izvor estetskog zadovoljstva.Mehanizam neprekidne podele ili zlatnoga preseka igra posebnu ulogu u likovnom stvarala{tvu, a ponajvi{e u oblasti apstraktnih geometriskih oblika, kombinovanih kroz konstukciju, funkciju i merilo coveka u odredjene prostorne celina.

Zlatni presek u matematici i umetnosti je specifini odnos izmeu dve veliine koje zadovoljavaju sledee pravilo: odnos njihovog zbira i vee veliine jednak je odnosu vee veliine prema manjoj.Zlatni presek se uglavnom obeleava malim grkim slovom fi. Matematiki izraeno:

Ova jednaina ima jedno jedinstveno (iracionalno) pozitivno reenje:

Zlatni pravougaonik je pravougaonik ije se stranice nalaze u odnosu zlatnog preseka, odnosno 1: (jedan-prema-fi), to je, priblino, 1:1.618.

Interesantna osobina zlatnog pravougaonika je da je, kada mu se odstrani upisani kvadrat, preostali pravougaonik ponovo zlatni, to znai da njegove stranice zadaovoljavaju istu proporciju kao stranice polaznog pravougaonika. Ukoliko se odstranjivanje kvadrata nastavi do beskonanosti, dobija se aproksimacija zlatne spirale.Konstrukcija zlatnog pravougaonika se odvija na sledei nain 1.Konstruie se obini kvadrad,stranica 12.Nadju se sredine naspramnih stranica3.Sledei korak obuhvata spajanje sredine stranice sa naspramnim temenom.4. Ta linija se koristi kao poluprenik kruga,iji se luk opisuje.Gde luk presee produetak stranice kvadrata,dobija se teme zlatnog pravougaonika.

Fibonacijevi brojevi se javljaju u rasporedu listova zato sto Fibonacijevi brojevi grade najbolju celobrojnu aproksimaciju za Zlatni Presek. Deleci svaki broj u Fibonacijevoj seriji sa onim koji mu prethodi, dolazimo do sledecih brojnih odnosa : 1/1=1

2/1=2

3/2=1.5

5/3=1.666666666

8/5=1.6

13/8=1.625

21/13=1.615384615

34/21=1.619047619

55/34=1.617647059

89/55=1.618181818

....................................................................

Dobijamo odnose koji u beskonacnosti teze vrednosti Zlatnog Preseka.

Deleci svaki broj u Lukasovoj seriji sa onim koji mu prethodi, doci cemo do sledeceg niza brojnih odnosa :3/1=3

4/3=1.3333333333

7/4=1.75

11/7=1.571428571

18/11=1.636363636

29/18=1.611111111

47/29=1.620689655

76/47=1.617021277

123//76=1.618421053

199/123=1.617886179

...........................

Na ovaj nacin se takodje dobijaju odnosi koji u beskonacnosti teze vrednosti Zlatnog Preseka :

Zlatni presek u elementarnoj geometriji?

Phi ()=1.61803398874989

Fi spada u grupu iracionalnih brojevaba{ kao , , is l. Phi je poseban zbog svojih neobi~nih matemati~kih osobina. Phi nalazimo svakodnevno u `ivotu, dizajnu, gra|evinarstvu, estetici, ekonomiji, fizici, matematici, svemiru

Ako neku du`inu podelimo na dva dela ta~kom T, tako da je|AB| : |AT| = |AT| : |BT| ka`emo da su oni u zlatnom preseku.Postavimo sada;X= |AT|a = |AB|i dobijemoa : x : = x (a x)Ili kada re{imo proporciju:

=

a(a-x)=x

Izvod formule za zlatni presek

Posmatraju}i sliku gore, zaklju~ujemo da prvo moramo dobiti iznos du`ine

|AC| = |AB| + |BC|

|AC|==

Kako bi dobili x veli~ini stranice |AC| moramo oduzeti , dakle

|AC|=X + Uvrstimo iznos duine |AC|

=x+iz toga sledi da je

Relacija 1. x=a*Ili Relacija 2. x=a* PhiOve dve relacije su uvod za zlatni presek ili bo`ansku proporciju!

Dokaz valjanosti relacije za zlatni presek!

Neka je a=2 uvr{tavanjem u relaciju 1. dobijamo vrednost x = 1,2360679774Iz prve relacije

a : x = x : (a-x)stoga je

= 1,61803398874989....no iz relacije 2. mo`emo primetiti

Phi = = 0.61803398874989....Ovaj broj je poznat Phi ili Phi 1.

Konstrukcija ta~ke koja deli du`inu u razmeri jednakoj Phi tj. zlatnom preseku bez poznavanja postupka izvo|enja formule

Data je du`ina koju delimo ta~kom T u zadatoj razmeri. Ras~lanimo izraz za zlatni presek

X=a=a-=-=-

Na du~inu se prenese du`ina , pa po{to je|BC|=preko Pitagorinog stava

|AC|==a

dobije se x prema gornjoj relaciji!

X=a-

Nakon {to smo dobili x na du`ini preneli smo ga {estarom na stranicu trougla du`ine a i time na stranici trougla dobili x i a.

ANALIZA TEORIJSKO-PRAKTINE PRIMENE ZLATNOG PRESEKA

Osnovni zadatak teorije proporcija sadran je u stvaranju vizuelnog rada i ravnotee. ovek je, da bi zadovoljio svoje potrebe izraivao, od davnina, proizvode i predmete koji, osim funkcije i namene, moraju biti u odreenoj razmeri, pre svega u odnosu na njega kao njihovog korisnika.

Tako je telo oveka, kao i njegovi delovi, postalo osnova za dimenzionisanje prostora, nametaja i upotrebnih predmeta. Bitne proporcije uoene su na glavi oveka,irina i visina i odnos pojedinih detalja glave i lica meu sobom. Tako je sredina glave, po visini, odreena horizontalnom linijom koja prolazi po sredini oiju, a slino je analizirano i sa ostalim detaljima.

Zatim je niz umetnika utvrivao koliko puta se glava oveka sadri u visini njegovog tela. K.Belane je visinu tela podelio na osam delova (glava). Poliklet je podelio telo na sedam delova, Lisip na osam, istovetno i Mikelanelo, a Vitruvije i Leonardo da Vini na sedam. Kod starih Egipana zabeleena je podela na devetnaest delova, ije su duine odgovarale duini srednjih prstiju

Proporcije irine tela postavio je Vitruvije pokazujui da se oko njega moe opisati krug iji se centar nalazi u pupku, pod uslovom da telo lei sa rairenim rukama i nogama. (1-32) Leonardo je ovaj postupak izmenio na taj nain to je ruke rairio u pravoj liniji, a noge skupio, tako da je kvadrat opisan oko tela imao presek dijagonala neto iznad pubisa, znai nie od pupka.

U mnogim sluajevima koriene su , kao merne jedinice, naroito u graditeljstvu, stopa (fut) i lakat, mada je on bio vrlo nepouzdan : u Nemakoj bilo je 136 vrsti lakata razliitih duina, dok su duine stopa, u raznim zemljama, bile izmeu 25 i 34 cm, u Engleskoj 30,5 cm , Japanu 30,3 cm, u Kini 31,8 cm. Znatno kasnije, Cajsung je (XIX vek) proporcije zasnivao na zlatnom preseku. Meutim, M.Borisavljevi je, etrdesetih godina XX veka, kritikovao Cajsunga, Fehnera, Valerija i druge, koji su u zlatnom preseku gledali jedinu lepotu forme .

Najzad je francuski arhitekta Korbizje uveo 1945. godine u teoriju i praksu sistem proporcija zasnovan na zlatnom preseku, primenjen na oveku, kao i modularni sistem - modulor. (3-207) H.Vesling je ukazao 1941. godine na neophodnost primene zakona u graditeljstvu, uz ogranienje, da je i najlepa proporcija samo jedno od sredstava u oblikovanju.Ovim je, sasvim saeto, naznaeno da je ovek prihvaen kao mera svih stvari i temelj proporcija svake umetnosti uopte.

Nema pouzdanih podataka da su egipatski graditelji i umetnici poznavali princip zlatnog preseka. Egipatski sistem proporcija zasnivao se na kvadratu i njegovim transformacijama u pravougaonike posredstvom dijagonala. Kvadrat je tako postao mera za povrinu, a proporcionisanje je obavljano u kombinaciji sa sistemom dijagonala. Pored ovih geometrijskih likova Egipani su koristili i " sveti trougao ", ije su stranice izraene brojevima 3,4 i 5.

Veliki napredak nainili su stari Grci stremei idealnom liku oveka u umetnosti, pa su i mere hramova zasnivali na antropomorfnim proporcijama, na usklaivanju graditeljskih mera sa merama ovejeg tela. Pitagorejci su, slino Egipanima, otkrili postojanje nesamerljive veliine, na primeru kvadrata, tj. odnosu njegove stranice i dijagonale. Zlatni presek bio je osnova grkih antropomorfnih proporcija u arhitekturi. Platon je pisao : " da se dve stvari na lep nain sjedine bez neeg treeg. Izmeu njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se moe najbolje izvriti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja, srednji odnosi prema najmanjem kao najvei prema srednjem, i obrnuto, najmanji prema srednjem kao srednji prema najveem, onda e poslednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i poslednje, sve je dakle, nuno isto, a budui da je isto ini jedno jedino ". Opis pristaje, kao to se uoava, pojmu zlatnog preseka.

O zlatnom preseku govorio je i Platonov uenik Eudoksije, ali je prvu jasnu definiciju izneo Euklid (oko 300.god.pre nove ere) u svojim "Elementima " . Zlatni presek primenjen je na najlepim grkim hramovima, posebno dorskim, na celom gabaritu i detaljima.

Nema podataka da su, znatno kasnije, poznavali proporcije zlatnog preseka Vitruvije i Alberti. Mnogi autori uoavali su te proporcije u prirodi, u biljnim i ivotinjskim oblicima, tako da su botaniari smatrali da je zlatni presek " osnovni niz rasporeda lia ", dok su neki to zapaali na mnogim primerima u organskom svetu.

Prvi astronom koji je ukazao na zlatni presek bio je Kepler i nazivao ga je " boanski rez ". Tako je on delio duinu po spoljnom i srednjem razmeru i to oznaavao "proporcionalnim deljenjem ", to se smatralo prikladnijim od zlatnog preseka koji su esto nazivali nekom vrstom alhemije. Pojedini autori taj rez su nazivali i" proporcionalno nizanje " analogno aritmetikom i geometrijskom nizu.

Proporcionalno nizanje primenio je V.en-Vildeneg na primeru ruke oveka.

Najvea, sauvana, Keopsova piramida ( oko 3000 god.pre nove ere ) pokazuje prilino tane odnose proporcionalnog nizanja i smatra se nekom vrstom kosmikog planetarijuma. Njena tano izraunata stranica prema zlatnom preseku samo je 6,3 cm vea od 230,364 m ili 440 lakata. Pogledajmo jedan primer koincidencije sa zlatnim presekom, zlatni presek je 1.618033989.. a ugao zasnovan na ovoj vrednosti bie arcsec(1.618033989) = 51 50'. Strane velike piramide su pod uglom 51 52'

Geometrijski oblici u obliku kocke ili poliedra ine osnovu trodimenzionanih kompozicija u graditeljstvu. Zlatan presek, kao to je navedeno, javlja se u mnogim prirodnim oblicima, kao opti zakon, na primer u kristalima, biljnim plodovima, cvetovima biljaka i drugim, tako to se njihovi delovi ili lanovi odnose kao 1 : 0,618. N.Brunov je zastupao gledite da su klasine grke graevine zasnovane na iracionalnim brojevima, posebno zlatnom preseku. Za teoriju primene zlatnog preseka u graditeljstvu znaajni su radovi Zoltovskog, Hembida i Mesela. Zoltovski je pored odnosa zlatnog preseka (0,618 : 0,382) uveo " funkciju zlatnog preseka " (0,528 : 0,472). Hembid je smatrao da se ceo rast organskog sveta odvija prema zlatnom preseku. On od poznatih pravougaonika izdvaja one sa dijagonalama 2,3 ,5.

Danas je opste prihvaceno misljenje da je grcki arhitekta primenjivao zlatni presek kao najlepsu proporciju za najskladnije oblike arhitekture. Proporcija zlatnog preseka je trazeni zakon lepote koji se nalazi u srazmernosti izmedju pojedinih delova i delova prema celini. Kroz istoriju pravougaonik stranica 1 i 1.6180339887... smatran je najprijatnijim za oci.Grcki vajar Fidija izgradio je Partenon i mnoge figure na njemu. Prisutna je proporcija zlatnog preseka u njegovim radovima koji su pronadjeni u Atini, u Grckoj. Bergerova studija kae da su pitagorejski idealni brojevi korieni u konstrukciji Partenona. Odnos 2 : 3 i njihov kvadrat 4 : 9 bili su osnovna proporcija, a osnova oblika pravougaonika ije su stranice u odnosu 4 : 9 konstruisane su kao tri pravougaonika stranica 3 i 4, dijagonale 5. Odnos 3 : 4 : 5 stranica trougla bi obezbeivao prav ugao zgrade.

Mehanizam neprekidne podele ili zlatnoga preseka igra posebnu ulogu u likovnom stvaralastvu, a ponajvise u oblasti apstraktnih geometrijskih oblika, kombinovanih kroz konstrukciju, funkciju i merilo coveka u odredjene prostorne celine. U sesnaestom veku Luka Pacoli (1445-1514), geometar i prijatelj velikih Renesansnih slikara, ponovo je otkrio " zlatnu tajnu". Luka Pacoli je bio veliki pobornik ideje zlatnog preseka, sto se vidi iz imena njegove rasprave o " Bozanskoj Proporciji " koja se sastoji iz tri nezavisna rada ( 1509 ). Pacioli, franjevaki fratar, bio je poznat uglavnom kao matematiar, ali je takoe bio itekako zainteresovani za umetnost. De Divina Proportione istrauje matematiki aspekt Golden Ratio. Pacioli takoe vidio katoliki verski znaaj u razmeri koja je dovela do titule njegovog dela. Koji sadri ilustracije materijale Leonarda da Vinija, Paciolijevog dugogodinjrg prijatelja i saradnika, De Divina Proportione je veliki uticaj na generacije umetnika i arhitekata podjednako .

Leonardo Da Vinci (1451-1519) je pokazao veliki interes za matematiku umetnosti i prirode. On je, kao i Pitagora, uradio kompletnu studiju figure coveka i pokazao kako su njeni razliciti delovi u proporciji zlatnog preseka.Dok u muzici dobro poznavanje nauke o harmoniji prethodi vestini komponovanja, dotle u likovnim umetnostima i arhitekturi, preovladjuje misljenje da poznavanje proporcija nije neophodno pa da cak i sputava intuitivni tok slobodnog stvaralastva. Ipak najistaknutiji savremeni arhitekti pobijaju takvo misljenje. Na mnogim danasnjim svetskim skolama za arhitekturu i primenjenu umetnost, problemu proporcija u kompoziciji posvecuje se ozbiljna paznja.

Skice po Vitruviju,Leonardo Da Vini

ARHITEKTURA

Keopsova piramida ili Velika piramida u Gizi izgradjena je pre vie od 6000 godina.Ona predstavlja izraz drevne I visoko razvijene civilizacije I kulture Starog Egipta.NJen taan poloaj u odnsou na etiri strane sveta I viestruko ponavljanje odreenih proporcija u njenoj gradnji navodi na zakljuak da je graenje vreno prema unapred proraunatim geomterijskim principima.

Jo je Herodot pisao da je od egipatskog svetenika saznao za sledei podatak.Oblik Keopsove piramide ispunjava uslov da je kvadrat nad njenom visinom jednak povrini trougaone bone strane.h2=ab

Na osnovu Pitagorine teoremeh2=a2-b2

dobija se

(a/b)2-a/b-1=0 I odavde konano

a/b=Phi

Primetimo da ne postoji nijedan podatak o tome da je starim Egipanima bio poznat zlatni presek.S druge strane,I navedeni citat Herodota je dovoen u pitanje.

Posmatrajmo potom sliku Partenona ,koji je Perakle izgradio u periodu 447-432.g. pre Hrista.

Prednji front se skoro tano poklapa sa zlatnim pravougaonikom.I na drugim klasinim gradjevinama u staroj Atini se moe pronai odnos zlatnog preseka.Pored Grke arhitekture, i u ostalim arhitekturama se sree zlatni presek.

Fasada zgrade Zgrafito u Firenci odgovara pravougaoniku konstruisanom po zlatnom preseku, a ta je podela vidljiva u postavljanju ulaznog portala i odvajanju prizemnog dela zgrade i zavrnog sprata.

Notr Dam manastir Banje kod Priboja

SLIKARSTVO I VAJARSTVO

Na mnogim slikama I skulpturama se moe uoiti i merenjem ustanoviti prisustvo zlatnog preseka.Njegova funkcija je sa jedne strane,da doprinese harmoninoj podeli umetnikog dela,a as druge strane da naglasi vane detalje.

Posmatrajmo, na primer ,uvenu Rafaelovu Sikstinsku Madonu.Horizontala koja visinu slike deli po zlatnom preseku prolazi tano izmedju gornjeg i donjeg delatela Madonei istovremeni povezuje lica Sikstusa i Barbare.

Ako se donji odseak ponovo podeli po zlatnom preseku ,tada e odgovarajua linija oznaiti tano desno stopalo (najniu taku) Madone.

Ako se visina slike podeli po zlatnom preseku s veim delom gore,tada linija podele oznaava mesto na odori Madone koje se, kao pod lakim vazdunim udarom podiglo gore.

Sikstinska Madona

Na uvenoj Mona Lizi Leonarda da Vinija takodje se uoava zlatni presek.

Zlatni presek je uoljiv i u delima drugih velikih umetnika kao to su Mikelanelo,kasnije Rembrant,Salvador Dali,Pjet Mondrain i drugi.

Tondo doni,Mikelanelo

Poslednja veera,Salvador Dali

Autoportrer,Rembrant

Takodje ,u vajarstvu je zastupljen zlatni presek.Posmatrajamo skulpturu Apolona iz Belvederau Vatikanu.

Oto Hagenmajer o njoj pie : ,,Sve mere I proporcije ovog prekrasnog ,harmonikog ,grkog ideala lepote dobijaju se prirodno po pravilu zlatnog preseka.

KNJIEVNOST

itav niz istraivanja posveen je ispoljivanju zlatnog preseka u literaturi.Najstarije literarno delo za koje se tvrdilo da je stvoreno uz pomo zlatnog preseka jeste ep Enej rimskog pesnika Vergilija ( 70-19 pre Hrista). U jednoj studiji prepunoj tabela i detalja G.Duckworth je pokuavao da pokae da je zlatan presek uobliavajua ema Eneja koja se provlai kroz ceo ep.S tim ciljem on je prebrojavao redove i pojedine strofe i odnos dobijenih brojeva je bio blizak zlatnom preseku.Re blizak ovde oznaava da je sve vrednosti izmedju 0,6 i 0,636 prihvatao za aproksimacije broja Phi-1.

Takoe se utvrivalo prisustvo Fibonaijevih brojeva u pojedinim literarnim delima.Zadrimo se prosvetljenim reima Igumana Stefana uzetim iz Gorskog vijenca ,vladike Njegoa.

Obrana je s zivotom skopcana.Sve priroda snabd'jeva oruzjemprotiv neke neobuzdne sile,protiv nuzde, protiv nedovoljstva:ostro osje odbranjuje klasje,trnje ruzu brani ocupati;zubovah je tuste izostrila,a rogovah tuste zasiljila;kore, krila i brzine nogah,i cjeli ovi besporecipo poretku nekomu sljeduju.Nad svom ovom grdnom mjesavinomopet umna sila torzestvuje;

Ove rei su izvaene iz celine I posmatrane same za sebe kao da obrazuju novu celinu I otkrivaju nov smisao.Uz pomoc niza Fibonacijevih brojeva 13,8,5,3,2 mogue je najpre kompoziciono I sadrajno podeliti 13 redova iz teksta u dva dela od osam do pet redova.U prvom veem delu nabrajaju se sva ona sredstva koja je priroda podelila svim ivim biima da bi mogla da preive I opstanu.No smisao sa I dalje zgunjavau drugom dalu od 5 redova ,koji se nanovo moe podeliti u dva reda od po tri I dva reda.Za harmonijskog istraivaa izvodi s eosnovni zakljuak da harmonija ovladava haosom ,a asmisao besmislom.

Uopteno , dela Gorski vijenac i posebno Lua mikrokozma izuzetno su nepogodna za harmonijsku analizu.Ali ako istraujemo veze izmeu matematike I literature ,ne moramo se ograniiti na prebrojavanj eredova I strofa ve moemo koristiti I neke druge ,rafiniranije metode I postupke.

U delu Lua mikrokozma Njego se obraa Pitagori I Epikuru I izvodi matematiko logiko-poetski dokaz o besmrtnosti ljudske due.

,,Ako istok sunce svjetlo radja, Ako bie vri u lue sjajne, Ako zemlja privienje nije, dua ljudska jeste besmrtna, mi smo iskra u msrtnu prainu, mi smo lua tamom obuzeta

Ovakvo izvoenje dokata svojstveno je umovima kojima zapravo dokaz nije ni potreban,jer imaju neposredan uvid u ivo protkivanje matematike,muzike i svekolikog ljudskog ljudskoj znanja.

Rei Njegoa koje smo citirali suvie su jake da bi ostale nezapaene.Na mnogo mesat u Lui Njego izraava svoje divljenje svetlsoti ,zbog ega je uporeen sa persijskim Zaratustrom.

Pravi matematiar e esto koristiti metodu reductio ad absurdum i polazei od suprotne pretpostavke ,dovesti netano tvrenje do oiglednog apsurda.Isto ini i Njego,zakljuujui da u sluaju ovekove konanosti u intervalu od rodjenja do smrti preostaje da bude hrana crvima , i to iskazuje u stotom redu prve pesme reima:,,Za mah smrtni samo iznikao, On je ruak gada puzeega Pitagora ili Njego ? Ako ve moramo ad se opredelimo onda voeni harmonijskom milju ,odluujemo se za obojicu! Jer protivrenost je samo providna.Kao to je savreni pitagorejski trougao (3,4,5) izraava durski trozvuk , koji predstavlja osnovu klasine muzike harmonije i tonaliteta,tako i uenja ova dva genija moemo poput dve katete ujediniti u jedan savren pitagorejski duhovni trougao.Hipotenuza tog trougla predstavljae tada sintezu ta dva uenja.

Prouavanjem Pukinove pesme "Shoemaker" Vasutinski je otkrila sledee: Pesma se sastoji od 13 stihova ( ili linija ). U njima mogu biti izabrana dva semantika dela, prvi deo iz 8 stihova i drugi iz 5 stihova. (Imajte na umu da su brojevi 13, 8 i 5 Fibonaijevi brojevi!)

Analiza uvenog romana "Evgenije Onjegin", za Vasutinski predstavlja nesumnjivo veliki interes. Ovaj roman se sastoji od 8 poglavlja, svako poglavlje se sastoji, u proseku, od oko 50 stihova. Osmo poglavlje je najsavrenije i najvie emotivno zasieno. Ovo poglavlje se sastoji od 51 stiha. Zajedno sa Evgenijevim pismom Tatjani veliini ovog poglavlja odgovara upravo Fibonaijev broj 55. Rosenov je analizirao brojne poetske radove Ljermontova, ilera, Tolstoja i takoe pronaao u njima "zlatni presek".

MUZIKA

U okviru obimne literature o zlatnom preseku i njegovom ispoljavanju ,muzici nije posveena dovoljna panja.Ova ispoljavanja najee se posmatraju u dva pravca.Pre svega dva tona (ili tanije odnosi njihovih frekvencija) mogu da obrazuju zlatni presek. S druge strane , neka muzika kompozicija moe se sastojati od delova iji je odnos duina jednak zlatnom preseku.

Ako se frekvencije dva tona nalaze u odnsou na Fibonaijeve brojeve 8:5 (ili 5:8 ) , tada s edobije sazvuje male sekste.Kako je kolinik 8/5 = 1,6 blizak zlatnom preseku , to je poznati australijski harmoniar Rudolf Haze tvrdio da se zapravo mala seksta zasniva na zlatnom preseku a da je prosta proporcija 8:5 zapravo njegova aproksimacija.

Haze pie : ,,Moe se ustanoviti jedna interesantna inverzija: Dok se, s jedne straen , proporcija 5: 8 moe matematiki posmatrati kao aproksimacija za zlatan presek vai obrnuto , tj.zlatan presek se estetiki ukazuje kao akcenat i oivljavanje ove proste proporcije.

Zlatni presek pojavljuje se i u gradnji muzikih instrumenata.To vai posebno za gradnju violina i flauta gde je zlatni presek ponekad predstavljao i tajno sredstvo za ostvarivanje naroito prijatnih tonskih boja.

Najzad osvrnimo se i na drugo vano ispoljavanje zlatnog preseka u celini muzike kompozicije i u odnosu pojedinih delova. Uvek je bilo pojedinaca koji su ,,otkrivali zlatan presek u Bahovim fugama, Hajdnovim gudakim kvartetima i kompozicijama Mocarta i Betovena.Ovakve .esto laike nalaze treba uzimati sa najveom rezervom iz dva razloga .Ili je muzika aproksimacija broja Phi bila suvie gruba ili mesat u kompoziciji koja su odgovarala zlatnom preseku nisu imala poseban muziki znaaj.

Do sada je najubedljivije prisustvo zlatnog preseka i Fibonaijevih brojeva otkriveno u kompozicijama Bele Bartoka.To se posebno odnosi na sonatu za dva klavira,ali i druga njegova dela.

U svojoj doktorskoj disertaciji ,,Simetrija muzikog dela Jadranka Hofman Jablan pokazala je da se u velikom broju poznatih muzikih kompozicija mesta gde s eodigravaju najznaajnije promene lokalne i globalne kulminacije ,take modulacije i sl. poklapaju s podelom te kompozicije u skladu sa zlatnim presekom.Svaka od navedenih kulminacionih taaka praena je promenom simetrije melodije,harmonije i dinamike.Na primer,u prvom delu Microcosma Bele Bartoka,kulminacione take, melodijski vrhunci, poklapaju se s levom i desnom takom zlatnog preseka.

ZAKLJUAK

Primeri koji su predoeni pokazuju da je zlatni presek, kao proporcijski sistem, korien i u praksi, nekada tano a ponekad sa izvesnim odstupanjem. U svakom sluaju, kada je u pitanju tzv.zlatni pravougaonik, bitno je i kod takvih odstupanja da je kod graditelja bio prisutan oseaj za dobru proporciju. U nekim primerima, koji ovde nisu prikazani, proporcionisanje je vreno i na drugi nain, ali u detaljima je mogla da se otkrije primena zlatnog preseka. Ogranien obim ovog rada nije dopustio brojniju analizu primene zlatnog preseka, ali je pokazano da se on primenjivao i da ga je mogue primeniti u mnogim sluajevima. Zlatni presek ne treba shvatit kao kanon, ali e uvek moi da olaka nedoumice u zasnivanju proporcijskih problema, a mogua lutanja stvaraoca svee na minimum. Meutim, dobro je da u proizvoljnosti projektovanja postoji neka mera vrednosti koja je prihvatljiva za najiri krug korisnika. Znai da zlatan presek, uz najire matematiko i umetniko obrazovanje, moe neizmerno da koristi svakom stvaraocu.

Literatura

Matematika i muzika,prof.dr Milo anakApolo,opta istorija likovnih umetnosti,Solomon Renakwww.google.comwww.wikipedia.comwww.dizajnzona.comwww.zlatnipresek.co.yu